ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: ,
|
|
- Ἑστία Βούλγαρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
2 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ ΕΔΟΥΑΡΔΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: edlag@otenet.gr, Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.
3 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Θεωρείστε την Lagrangian L q q η οποία περιγράφει ένα μονοδιάστατο Δυναμικό Σύστημα με γενικευμένη συντεταγμένη q. Βρείτε το q(t) ολοκληρώνοντας την αντίστοιχη εξίσωση Lagrange. Είναι γνωστό ότι η εξίσωση Lagrange είναι: d L L 0 d t q q Αντικαθιστώντας με την Lagrangian που μας δίνεται, έχουμε: d 4 q q 4 q q 0 q q q q q q q 0 dt qq q q 0 q qq 0 Έχουμε ότι: d q d q d q d q q q d t d q d t d q Επομένως η ανωτέρω εξίσωση Lagrange γίνεται: dq dq q q q 0 q q 0 dq dq Για την επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Συνεπώς: d q dq ln q ln q A q q (όπου Α : σταθερά) dq q q C q C dt Ολοκληρώνουμε για να βρούμε το q(t) και προκύπτει ότι: Και συνεπώς: q Ct C q (t) C3t C4 ( C 3, C 4 σταθερές) Έστω ένα σωματίδιο που κινείται σε μία διάσταση υπό την επίδραση της δύναμης Fx F σταθ. (α) Γράψτε τη Hamiltonian του σωματιδίου Ηx, p x και τις εξισώσεις κίνησης αυτού. 3
4 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, (β) Τώρα αλλάξτε συντεταγμένες ως ακολούθως: Q p x, P x Είναι ο μετασχηματισμός αυτός συντεταγμένων κανονικός; (γ) Κατασκευάστε την καινούρια Hamiltonian KQ, P που προκύπτει από την παλιά εξαιτίας της αλλαγής των συντεταγμένων, και γράψτε τις εξισώσεις Χάμιλτον για τη νέα Hamiltonian. K (δ) Κατασκευάστε τη Lagrangian L από τη Hamiltonian K και δείξτε ότι η διαφορά της από την αρχική Lagrangian (στις αρχικές συντεταγμένες) δεν είναι τίποτε άλλο από μια τέλεια χρονική παράγωγο μιας συνάρτησης των x,t. [Υπόδειξη: Θα χρειαστεί τη διαφορά αυτή να την ξαναγράψετε στις αρχικές συντεταγμένες ως συνάρτηση των x, x, και να επικαλεστείτε και την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου]. (α) H Hamiltonian ορίζεται ως εξής: L H qi L q Επίσης η γενικευμένη ορμή ορίζεται ως εξής: Στη μία διάσταση, έστω x, θα ισχύει: Εύρεση της Lagrangian T m x με Fx F σταθ. με H Hq i, p i,t i i L pi q i i, όπου L T V i H p q L L T Vx με: H px x L dv dv F V Fxˆi ˆi Fx dv Fxdx dx dx i, το δυναμικό γίνεται Vx Άρα V x Fx c και ορίζοντας c 0 Fx. Τελικά: L m x F x Αφού βρήκαμε τη Lagrangian, επιστρέφουμε στη Hamiltonian και αντικαθιστούμε: H px x m x Fx Όμως η Hamiltonian πρέπει να περιέχει μόνο τις γενικευμένες θέσεις και γενικευμένες ορμές. 4
5 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, L px m x (Νευτώνεια ορμή) x px x m px px H px m F x m m px px H F x m m px H F x m Η παραπάνω είναι η τελική έκφραση της Hamiltonian του σωματιδίου. H εύρεση των εξισώσεων κίνησης θα γίνει μέσω των κανονικών εξισώσεων του Hamilton: H H qi και pi pi qi Στη μία διάσταση γίνονται: H px px x x px m m Καταλήξαμε στην ίδια έκφραση με αυτήν που βρήκαμε από τον ορισμό της γενικευμένης ορμής. H Επίσης έχουμε px F px F. x Τελικά έχουμε: p m Συνεχίζουμε παραγωγίζοντας μια φορά ακόμη: Αντικαθιστούμε το Επομένως: px F και έχουμε x x και px F p x x m F x. Η διαφορική εξίσωση κίνησης είναι m d x F F F F dx dt dx dt x t C dt m m m m F x 0. m dx F F t C dx t Cdt dt m m Ft xt C t C m 5
6 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, (β) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι ο μετασχηματισμός είναι κανονικός. Ένας τρόπος, ίσως ο απλούστερος, είναι χρησιμοποιώντας την αγκύλη Poisson. Θα πρέπει: Q,P δηλαδή Q P P Q p x x x px Q, P x px x px x px x px Όμως: p x x 0 και 0 x px Q, P Και συνεπώς ο μετασχηματισμός είναι κανονικός! (γ) Αφού ο μετασχηματισμός είναι κανονικός θα βρούμε τη νέα Hamiltonian KQ, P κάνοντας μια απλή αντικατάσταση px Q και x P στην αρχική Hamilton. Q K Q, P FP m Οι εξισώσεις Hamilton για την Q K Q, P F P m K Q, P είναι οι εξής: K K Q και P P Q Q Q F, P m K (δ) Κατασκευάζουμε τη νέα χρησιμοποιώντας τον ορισμό που δώσαμε στο ερώτημα. K L PQ K K Q, P. Ισχύει L από τη Hamiltonian K PQ L K Θυμόμαστε όμως ότι K Q L PQ F P m K K L L Q,Q. Πρέπει να εξαφανίσουμε την P. Από τις κανονικές εξισώσεις του Hamilton έχουμε: Q F Άρα : 6
7 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, K Q L P F F P m Βρίσκουμε την διαφορά Άρα L K L L K m x. Επομένως: K Q L m K. Αρχικά γράφουμε την L στις αρχικές συντεταγμένες x, x : L K Q px m m με p m x x L L m x F x m x K K L L m x F x F Στο (α) ερώτημα έχουμε βρει x t C. Αντικαθιστώντας στην διαφορά m K F L L m t C F x m K L L βρίσκουμε: K F Ft F L L m t C C t FC t FC, m m m 3 F t m 3Ft C m C FC C3 όπου C mc FC 3 dt m 3 d F t 3 FC t C 3 t Δηλαδή: όπου: K dg LL, dt 3 F t 3 G FCt C3t m 7
8 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Σε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας R είναι περασμένες 3 σημειακές χάντρες με μάζες,,σ, αντίστοιχα, οι οποίες μπορούν να κινούνται επί της στεφάνης δίχως τριβές. Οι τρεις μάζες συνδέονται μεταξύ τους με τρία όμοια γραμμικά ελατήρια σκληρότητας τα οποία έχουν το καθένα φυσικό μήκος όσο το / 3 της περιμέτρου της στεφάνης δηλαδή ίσο με π/3. Αρχικά οι χάντρες βρίσκονται ακίνητες στις γωνιακές θέσεις 0, π/3 και 4π/3 και το σύστημα ισορροπεί. Το σύστημα τώρα διαταράσσεται και η πρώτη μάζα βρίσκεται στη θέση θ, η δεύτερη στη θέση π/3 θ και η τρίτη στη θέση 4π/3 θ3 (όλες οι γωνίες λαμβάνονται με την ίδια φορά). Χρησιμοποιήστε στα ακόλουθα ερωτήματα τις θέσεις αυτές ως συντεταγμένες. (α) Κατασκευάστε τη Lagrangian του συστήματος και τους πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας. (β) Υποθέστε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών θi t Ωt, για όλα τα i Επιβεβαιώστε ότι η κίνηση αυτή αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange του συστήματος. Ποια η ιδιοσυχνότητα της κατάστασης αυτής; (γ) Υποθέστε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών θl t θ t sin ωt, θ3 t 0 Επιβεβαιώστε ότι και αυτή η κίνηση αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange του συστήματος για μια συγκεκριμένη τιμή της ω. Προσδιορίστε την τιμή αυτή της ω. Γράψτε της ιδιοκατάσταση (δεν είναι ανάγκη να την κανονικοποιήσετε) που περιγράφεται από την κίνηση αυτή. (δ) Υποθέστε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών θl t θ t sin ωt, θ3 t Asin ωt Το ω που εμφανίζεται στις παραπάνω εκφράσεις είναι άγνωστο και δεν έχει σχέση με το ω του προηγούμενου ερωτήματος. Δείξτε ότι η κίνηση αυτή μπορεί να αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler- Lagrange του συστήματος αν τα ω και A ικανοποιούν το σύστημα εξισώσεων: ω A, A σω Το σύστημα αυτό με δεδομένη την τιμή του σ έχεις ως λύση δύο τιμές για το ω και αντίστοιχα δύο τιμές για το A. Προσδιορίστε τις δύο αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις. Η μία ιδιοκατάσταση είναι αυτή που βρήκατε στο ερώτημα (). Γράψτε την άλλη ιδιοκατάσταση όταν σ και την αντίστοιχη ιδιοσυχνότητα. Σε αυτή την περίπτωση όλες οι μάζες είναι ίδιες και θα περίμενε κανείς, όπως και στο ερώτημα (3), να είναι ιδιοκατάσταση και η 0,, T με ιδιοσυχνότητα ίδια με εκείνη του ερωτήματος (3). Η ιδιοκατάσταση όμως που έχετε βρει για σ είναι διαφορετική. Φτιάξτε ένα γραμμικό συνδυασμό των δύο ιδιοκαταστάσεων, εκείνης του ερωτήματος (3) και της καινούριας που βρήκατε στο παρόν ερώτημα για σ, ο οποίος να περιγράφει ίδιου τύπου ταλάντωση σαν εκείνη του ερωτήματος (3), δηλαδή δύο από τις μάζες να ταλαντώνονται με ανάποδη φάση και η τρίτη να είναι ακίνητη (για παράδειγμα την 0,, T ). (α) L T V 8
9 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Το σύστημα έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας: T mr θ mr θ m3r θ3 T θ θ σθ3 Τη δυναμική συνάρτηση την βρίσκουμε χρησιμοποιώντας γνώσεις από συζευγμένες ταλαντώσεις. Επομένως: V kθ θ k θ θ3 k θ3 θ θ θ θ θ3 θ3 θ διότι k (σταθερά ελατηρίου). Άρα L θ θ σθ 3 θ θ θ θ3 θ3 θ Εύρεση πίνακα κινητικής ενέργειας: Γνωρίζουμε ότι ο πίνακας M της κινητικής ενέργειας είναι ένας διαγώνιος πίνακας. Πάνω στην διαγώνιο τοποθετούνται οι συντελεστές των θ, θ, θ, δηλαδή έχουμε: 3 Εύρεση πίνακα δυναμικής ενέργειας: 0 0 M σ Έχουμε ήδη φτιάξει την δυναμική ενέργεια: V θ θ θ θ3 θ3 θ V θ θ θ θ θ3 θ3 θ θ θ θ θ θ3 θ3 θ θ3 θ θ θ3 Το σκεπτικό για την κατασκευή του πίνακα είναι το εξής: Ο πρώτος όρος θθ μας θυμίζει το στοιχείο πίνακα α. Όμοια και οι όροι θ θ,θ3 θ 3 τα στοιχεία α, α 33 αντίστοιχα. Ο όρος θθ το στοιχείο α. Ομοίως συμπληρώνουμε τον πίνακα διαστάσεων 3x3: K (β) Υποθέτουμε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών: θi t Ωt. Υπολογίζουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange του συστήματος, υπό μορφή πινάκων: Mθ Kθ 0 Για να επιβεβαιώσουμε ότι η κίνηση αυτή αποτελεί λύση την δοκιμάζουμε: θ t Ωt, θ t Ωt, θ t Ωt 3 9
10 Βρίσκουμε το ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: , edlag@otenet.gr, θ t,θ t : Ωt θt Ωt Ωt Ωt 0 θt Ω, θt Αντικαθιστούμε στην Mθ Kθ 0 : Ωt 0 0 Ωt Η κίνηση που μας δίνεται επαληθεύει τις εξισώσεις Euler-Lagrange. Παρατηρούμε όμως ότι η λύση που βρήκαμε δεν έχει περιοδική μορφή, δηλαδή δεν είναι ταλαντωτική. Επομένως η ιδιοσυχνότητα της κατάστασης αυτής είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι οι τρεις μάζες κινούνται ελεύθερα πάνω στη στεφάνη, χωρίς τα ελατήρια να συμπιέζονται! (γ) Έστω θ t sin ωt, θ t sin ωt, θ3 t 0. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με το ερώτημα (β). Δηλαδή: sin ωt θ sin ωt sin ωt θ ω sin ωt Αντικαθιστούμε στην εξίσωση Euler-Lagrange: Mθ Kθ σ ω sin ωt sin ωt ω sin ωt 0 0 sin ωt 0 ω 3 0 sin ωt ω
11 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Πρέπει λοιπόν να ισχύει: Δηλαδή 0 0 ω 3 0 ω 3 0 ω 3 0, ω 3 0. Λύνοντας βρίσκουμε ω 3. Δοκιμάσαμε ταλαντωτική λύση της μορφής θ sin ωt, 0 ιδιοκατάσταση που περιγράφεται από την κίνηση αυτή. (δ) όπου ο πίνακας 0 είναι η θ t θ t sin ωt, θ t Asin ωt l 3 sin ωt θ sin ωt sin ωt Asin ωt A Δοκιμάζουμε πάλι τον παραπάνω πίνακα στις εξισώσεις Euler-Lagrange: θ ω cosωt, θ ω sin ωt A A Αντικαθιστούμε στην Mθ Kθ σ A A 0 ω sin ωt 0 0 sin ωt 0 A 0 σa A 0 ω sin ωt sin ωt A 0 ω A sin ωt ω sin ωt ω σa 0 A 0 A 0 ω A 0 sin ωt ω A 0 ω σa A 0
12 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Για να ισχύει η παραπάνω σχέση πρέπει: ω A 0 ω A ω σa A 0 AσA A 0 Άρα σa σa A 0 Εύκολα βρίσκουμε τις λύσεις: A, σa σ A 0 σ σ 8σ σ A, σ σ σ σ σ σ Επομένως: A και A σ Επιστρέφουμε στην σχέση ω A Για A το ω. σ σ Για A το ω 0 ω 0. Η ιδιοσυχνότητα ω 0 είναι ίδια με αυτήν που βρήκαμε στο ερώτημα (). Η άλλη ιδιοσυχνότητα για σ γίνεται ω 3 με ιδιοκατάσταση. A Στο ερώτημα (3) βρήκαμε την ιδιοκατάσταση 0 ενώ γι αυτό το ερώτημα βρήκαμε ιδιοκατάσταση. Φτιάχνουμε ένα γραμμικό συνδυασμό των δύο ιδιοκαταστάσεων που να περιγράφει δυο από τις μάζες να ταλαντώνονται με ανάποδη φάση και η τρίτη να είναι ακίνητη. 0 Δηλαδή θέλουμε να φτιάξουμε μια νέα ιδιοκατάσταση λ.χ.. Εύκολα παρατηρούμε ότι αν σχηματίσουμε την υπέρθεση
13 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Ένα σχετικιστικό σωματίδιο με μάζα ηρεμίας m το οποίο κινείται σε κάποιο δυναμικό Vx (θεωρείστε για ευκολία ότι η κίνηση συμβαίνει επί του άξονα x μόνο) περιγράφεται από την ακόλουθη Lagrangian: L x,υ mc υ /c V x όπου υ x και c η ταχύτητα του φωτός. (α) V x (β) Γράψτε την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου και λύστε την στην περίπτωση που Fx. Συγκρίνετε το διάστημα που θα διανύσει το σωματίδιο ξεκινώντας από την ηρεμία με το αντίστοιχο ενός μη σχετικιστικού σωματιδίου που υπόκειται σε ίδιο δυναμικό λαμβάνοντας όρους μέχρι τέταρτης τάξης στο ανάπτυγμα του xt για το σχετικιστικό σωματίδιο. Δίδεται το ολοκλήρωμα ε ε / ε /8 Ο ε 4 6. s xdx/ x s καθώς και το ανάπτυγμα του 0 (γ) Ποια είναι η γενικευμένη ορμή του σωματιδίου; Κατασκευάστε την Hamiltonian που αντιστοιχεί στο σωματίδιο αυτό. (δ) Ποια ποσότητα διατηρείται κατά τη διάρκεια της κίνησης του σωματιδίου; (α) Με βάση τη σχετικιστική Lagrangian: L mc υ /c V x βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης μέσω των Euler-Lagrange: d L L 0 dt υ x με υ x. Συνεπώς: L mυ υ / c υ / L x dv x dx 3
14 Δεδομένου ότι: Επομένως: ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: , edlag@otenet.gr, d mυ υ /c 0 dt dx / dv x dv x Vx Fx F dx d / / mυ υ /c F 0 d mυ υ /c Fdt dt Ολοκληρώνοντας καταλήγουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα: υt t / / υ d mυ υ / c Fdt mυ Ft υt c 0 0 F t m c Αξίζει να σημειώσουμε ότι αν δεν είχε δοθεί η Lagrangian τότε η πρώτη σκέψη θα ήταν να την υπολογίσουμε μέσω της γνωστής διαδικασίας L T V. Η σχετικιστική κινητική ενέργεια είναι: mc T E mc γ mc mc mc υ / c / T mc υ / c Άρα η L θα ήταν: Χρησιμοποιώντας εν συνεχεία τις εξισώσεις Euler-Lagrange / L mc υ /c V x Ft θα παίρναμε: d L L 0 dt υ x L mυ υ / c υ 3/ L dv x x dx Άρα αντικαθιστώντας θα είχαμε: d 3/ dv x mυ υ /c 0 dt dx Παρατηρούμε ότι δεν καταλήγουμε στην αναμενόμενη σχετικιστική διαφορική εξίσωση κίνησης. H ορθή Lagrangian προκύπτει αν δεχτούμε ότι και για την περίπτωση της σχετικιστικής ορμής ισχύει η γνωστή σχέση που συνδέει τη γενικευμένη ορμή με τη Lagrangian: L m υ L m υ p mυ γ L dυ υ υ υ /c υ /c 4
15 Θέτοντας Lagrange: ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: , edlag@otenet.gr, xυ /c και ολοκληρώνοντας, εύκολα καταλήγουμε στην ορθή συνάρτηση L mc υ /c (β) Αρχικά υπολογίζουμε το διάστημα που θα διανύσει το σωματίδιο ξεκινώντας από την ηρεμία: dx Ft dx F t dt υ dx dt Ft dt m m mc mc Ft Θέτουμε w. mc Δίνεται ότι s 0 x dx x t w x xt / / 0 0 Ft w dw m F F F m c mc xt w w 0 0 s. Επομένως: t w w dw / mc mc F t xt w xt F F m c Με βάση το ανάπτυγμα: 4 w w w 8 (όπου κρατήσαμε όρους μέχρι τέταρτης τάξης) θα έχουμε: mc F t F t Ft F t xt x 4 4 t 3 F m c 8 m c. m 8 m c Συγκρίνοντας τις δύο σχέσεις παρατηρούμε ότι ο δεύτερος όρος είναι αυτός που διαφοροποιεί την διανυθείσα απόσταση για το σχετικιστικό σωματίδιο από τον αντίστοιχο για το νευτώνειο (πρώτος όρος). (γ) Η γενικευμένη ορμή του σωματιδίου είναι: L υ p mυ υ c / Κατασκευάζουμε τη Hamiltonian: H Hx,p pυ L Αντικαθιστούμε την υ από την σχέση της ορμής: pc υ / m c p p p c H c mc V x / m c p c m c p 5
16 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Οπότε H c p mc Vx p c m c 4 Vx (δ) Παρατηρώντας προσεκτικά την έκφραση που καταλήξαμε για τη Hamiltonian, είναι σαφές ότι είναι το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Δηλαδή υπάρχει το ολοκλήρωμα Jacobi και επομένως η ποσότητα που διατηρείται είναι η ενέργεια: E T V γmc Vx Η Lagrangian φορτισμένου σωματιδίου μάζας m και φορτίου e το οποίο κινείται εντός μαγνητικού x x, y,z είναι: πεδίου και βρίσκεται στη θέση L m x ex Ax, όπου το Ax, το ανυσματικό δυναμικό, δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και σχετίζεται με το μαγνητικό πεδίο μέσω της σχέσης: B A (α) Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange δείξτε κάνοντας με προσοχή τις διανυσματικές πράξεις ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι οι εξής: m x e x B (β) Δείξτε τώρα ότι κατά την κίνηση διατηρείται η κινητική ενέργεια K του σωματιδίου. B 0,0,dF/dx όπου (γ) Θεωρείστε τώρα ότι το μαγνητικό πεδίο έχει την ακόλουθη μορφή Fx μια τυχαία συνάρτηση. Αφού επιβεβαιώσετε ότι ένα κατάλληλο ανυσματικό δυναμικό είναι το A 0,Fx,0 εντοπίστε τις κυκλικές μεταβλητές και τις αντίστοιχες διατηρούμενες ορμές. Στη συνέχεια δείξτε ότι θα πρέπει να ισχύει η σχέση: K c ef x x d, m m όπου c,d σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. (α) Με δεδομένη τη Lagrangian οι εξισώσεις Euler-Lagrange θα δώσουν: L m u e u A x d L L 0 dt u x L m u e A x u L Ax e u x x 6
17 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, du d A x da x A x m u e Ax e u 0 m e e u 0 dt x dt dt x Όμως: da A A dx A dy A dz dt t x dt y dt z dt da A A A A A ux uy uz dt t x y z t u A Επίσης εύκολα βρίσκουμε ότι: A u u A x du A m e u A eu A 0 dt t Θεωρώντας ότι A A Ax (δηλ. 0 ) t και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα u A ua u A θα έχουμε: αφού ως γνωστόν B A. du m e u A e ub dt (β) Για να διατηρείται η κινητική ενέργεια του σωματιδίου θα πρέπει dk 0 dt. Δηλαδή: dk d du m u m u 0 dt dt dt Όμως βρήκαμε στο ερώτημα (α): διότι τα διανύσματα (γ) Για να είναι το du m eu B dt dk e u u B 0 dt u και u B είναι ορθογώνια. Επομένως η κινητική ενέργεια διατηρείται. ορθά το μαγνητικό πεδίο μέσω της σχέσης: A 0,F x,0 ένα κατάλληλο ανυσματικό δυναμικό, θα πρέπει να παράγει Δηλαδή: A B 7
18 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, ˆi ˆj kˆ ˆF x ˆ F x A i k x y z z x 0 F x 0 Όμως: Fx 0 z και επομένως: dfx A k ˆ B dx Επομένως A B οπότε το A είναι κατάλληλο ανυσματικό δυναμικό. Κυκλικές μεταβλητές (ή αγνοήσιμες μεταβλητές) είναι εκείνες για τις οποίες ισχύει: L 0 q i Η L γράφεται: L m u e uy Fx L L Παρατηρούμε ότι 0 y z Οι αντίστοιχες διατηρήσιμες γενικευμένες ορμές θα είναι οι: L py m uy e Fx m y e Fx c y L pz m uz m z d z Από την διατήρηση της κινητικής ενέργειας θα έχουμε λοιπόν: K K K m u m x y z x y z x y z m m Από τις διατηρήσιμες ορμές έχουμε: py e y F x m m, όμως p c y pz pz z, d m m K C e F x x d m m 8
19 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες - Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο 9
ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΑNΔΡIΑNΑ ΜΑΡΤΙΝΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,
ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓ Α ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ Ι ΑΚΤΩΡ ΕΜΠ Ε
Διαβάστε περισσότεραΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό : Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: ,
ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D., Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΝΤΡΟ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ Αμπελόκηποι, ΛΑΓΑΝΑ Αθήνα Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, e-mal: edlag@otenet.g, www.edlag.g Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.g ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΝΤΡΟ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Λεωφ Κηφισίας 56, ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ Αμπελόκηποι, ΛΑΓΑΝΑ Αθήνα PhD Τηλ: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenetg, wwwedlagg Λεωφ Κηφισίας 56, Τηλ: 10 69 97 985, wwwedlagg ΛΥΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 013 ΘΕΜΑ Α [35 μόρια] Θεωρήστε τη Λαγκραντζιανή L(x, ẋ, t που εξαρτάται απο τη θέση x ενός σωματιδίου πάνω σε μια ευθεία, το χρόνο t,
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,
Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (9/8/1) Θέμα 1: (1), (), (3), (4), όπου, (5),, (6), (7), (8), (9), όπου, (1), (11) ενέργεια [ ], όλες οι συνιστώσες της στροφορμής [ ], (1), (13), (κυματ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό: Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό: Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης
ΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης 1. Μια µάζα m είναι εξαρτηµένη από το άκρο ενός ελατηρίου µε φυσική συχνότητα ω. Η µάζα αφήνεται να κινηθεί από την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 200 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 3 θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα
Διαβάστε περισσότεραΣυζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα
ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016
ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016
ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά
Διαβάστε περισσότεραΑ. ο σώμα αρχίζει να κινείται όταν η προωστική δύναμη γίνει ίση με τη δύναμη της τριβής. Έχουμε δηλαδή
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (8-7-007) Μηχανική Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ A. Υλικό σώμα μάζας βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο με μέγιστο συντελεστή στατικής τριβής η και συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις κίνησης του Hamilton
ΦΥΣ 211 - Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραHamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα
Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;
Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 2 Kg με αρχική ταχύτητα υ 0 8i κινείται με σταθερή επιτάχυνση
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις
Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)
ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός
Διαβάστε περισσότεραΒασική έννοια. Μηχανική ενέργεια.
Έργο - Ενέργεια Βασική έννοια. Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική, Χημική, Θερμική, Πυρηνική, κ.α. Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη. Μηχανική ενέργεια. Λύση προβλημάτων μηχανικής. α) ος νόμος Νεύτωνα,
Διαβάστε περισσότερα( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία
Ταλαντώσεις ΦΥΣ 211 - Διαλ.20 1 q Για μονοδιάστατο σύστημα το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία στο q 0 : V ( q) dv dq q=q0 = 0 B A C q q Αναπτύσοντας γύρω από το q 0, η δυναμική του συστήματος είναι αυτή του
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 017 Πρόβλημα Α Ένα σημειακό σωματίδιο μάζας m βάλλεται υπό γωνία ϕ και με αρχική ταχύτητα μέτρου v 0 από το έδαφος Η κίνηση εκτελείται στο ομογενές
Διαβάστε περισσότεραReynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας
Διαβάστε περισσότεραΑνακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i
Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας
1 Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Σκοπός της δέκατης διάλεξης: 10/11/12 Η κατανόηση των εννοιών της ολικής ενέργειας, της κινητικής ενέργειας και της ορμής στην ειδική θεωρία της
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ PhD Τηλ: 1 69 97 985, wwwdlaggr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ: 1 69 97 985, E-mail: dlag@ottgr, wwwdlaggr Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, PhD KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ: 1 69
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση
Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία
Διαβάστε περισσότεραm 2 (ż2 + R 2 θ2 )dt ż = a/t + ζ, θ = η m 2 ( ζ 2 + R 2 η 2 )dt m
Λύσεις Μηχ. ΙΙ Σεπτεµβριος 9 Πρόβληµα 1 Η Λαγκραντζιανή είναι L = (ż + R θ ) Η δράση που αντιστοιχεί στη διαδροµή z(t), θ(t) που αρχίζει στο z() =, θ() = και καταλήγει στο θ( ) = z( ) = είναι: S = (ż +
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών
ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότερα1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).
Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.
Διαβάστε περισσότεραγ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.
Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.
Κεφάλαιο : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.. Γεγονότα, συστήματα αναφοράς και η αρχή της Νευτώνειας Σχετικότητας. Ως φυσικό γεγονός ορίζεται ένα συμβάν το οποίο λαμβάνει χώρα σε ένα σημείο του χώρου μια συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΜικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις
Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ταλαντώσεις εμφανίζονται παντού Ø Μικρές ταλαντώσεις γύρω από θέση ισορροπίας Ø Εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα κβαντοµηχανικής Ø Έχουμε ήδη συναντήσει σε
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός.
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός / Βασικές Έννοιες Η επιστήμη της Φυσικής συχνά μελετάει διάφορες διαταραχές που προκαλούνται και διαδίδονται στο χώρο.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης
Hamiltonian φορμαλισμός q Πριν αρκετό καιρό, είδαµε τον φορµαλισµό Hamilton: Ø Για ένα σύστηµα µε βαθµούς ελευθερίας και Lagrangian ² Ορίσαµε p i = L! ² και την hamiltonian: H = και ² Λύσαµε την εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "
Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2
Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης
Μηχανική των Ρευστών Ενότητα 9: Ασκήσεις Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΟρμή - Κρούσεις, ΦΥΣ Διαλ.19 1
Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 2 Κρούσεις σε 2 διαστάσεις q Για ελαστικές κρούσεις! p 1 + p! 2 = p! 1! + p! 2! όπου p = (p x,p y ) Δηλαδή είναι 2 εξισώσεις, µια για κάθε διεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΈνα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο
Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη
Διαβάστε περισσότερα( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j
Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.
Διαβάστε περισσότεραΝα γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.
Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση Α.1. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωµάτων ισχύει ότι : (δ) η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων παραµένει
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη οριζόντια και λεία τροχιά
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων
Διαβάστε περισσότεραdx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.
Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια
Διαβάστε περισσότερα