ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σημειώσεις Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

2 Περιεχόμενα Εισαγωγή σελ. Κεφάλαιο 1 Ευθύγραμμη Κίνηση Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Θεωρία σελ. 4 Μεθοδολογία σελ. 9 Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Θεωρία σελ. 1 Μεθοδολογία σελ. 6 Κεφάλαιο Δυναμική σε μία διάσταση Θεωρία σελ. 41 Μεθοδολογία σελ. 48 Κεφάλαιο 3 Δυναμική στο επίπεδο Θεωρία σελ. 57 Μεθοδολογία σελ. 63 Κεφάλαιο 4 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Θεωρία σελ. 69 Μεθοδολογία σελ. 76 Παράρτημα σελ

3 Εισαγωγή Μεγέθη Μονόμετρα: έχουν μόνο μέτρο, δηλαδή είναι κάποιος καθαρός αριθμός Παράδειγμα 1: η απόσταση Αθήνας-Πάτρας είναι 16 χιλιόμετρα Παράδειγμα : ο Κώστας ζυγίζει 70 κιλά Διανυσματικά: έχουν κατεύθυνση στο χώρο και μέτρο Παράδειγμα 1: ο Γιάννης ασκεί σ ένα κιβώτιο δύναμη 7 Ν ενώ η Μαρία -4 Ν Βασικά Μεγέθη Μέγεθος Ονομασία Συμβολισμός Απόσταση Μέτρο m Μάζα Χιλιόγραμμο kg Χρόνος Δευτερόλεπτο s Ένταση Ρεύματος Αμπέρ A Θερμοκρασία Κέλβιν K

4 Κεφάλαιο 1 Ευθύγραμμη Κίνηση 3

5 Βασικές Έννοιες τροχιά του. Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία. Αν ενώσουμε όλα αυτά τα σημεία σχηματίζουμε την Τροχιά ενός σώματος είναι το σύνολο τον διαδοχικών θέσεων από τις οποίες αυτό διέρχεται κατά την διάρκεια της κίνησής του. Για λόγους ευκολίας πλέον κάθε σώμα θα το αναπαριστούμε μ ένα σημείο (σημειακό αντικείμενο). Έτσι πλέον δεν θα υπάρχει λόγος να ασχολούμαστε με το μέγεθος του κάθε σώματος που θα μελετήσουμε από δω και πέρα. Μπορούμε πλέον με έναν χάρακα να τραβήξουμε μία ευθεία γραμμή, στο μέσον της να ορίσουμε το μηδέν. Έτσι έχουμε φτιάξει ένα απλό σύστημα αναφοράς (άξονας x). Η θέση του σώματος θα προσδιορίζεται από την απόσταση που έχει από το σημείο αναφοράς, δηλαδή το μηδέν. Αν το σώμα όμως δεν κινείται παράλληλα με την γραμμή αλλά σχηματίζει κάποια γωνία η τροχιά του με την αρχική μας γραμμή, τότε απλά φέρνω μία νέα γραμμή (άξονας y) κάθετη στην αρχική, κι έτσι έχω φτιάξει ένα επίπεδο (καρτεσιανό). Οπότε το σώμα πλέον έχει μία θέση που προσδιορίζεται από τα x (τετμημένη) και μίας ως προς τα y (τεταγμένη). Και οι δυο μαζί αποτελούν τις συντεταγμένες της θέσης. Σπουδαίο ρόλο όμως στην κίνηση ενός σώματος παίζει ο χρόνος. Για την μελέτη της κίνησης χρησιμοποιούμε τις εξής έννοιες: Χρονική στιγμή: αντιστοιχεί στην ακριβή ένδειξη ενός ρολογιού ή χρονομέτρου. Συμβάν (γεγονός): είναι κάτι που συμβαίνει (π.χ. ένα σώμα είναι στη θέση x=3cm τη χρονική στιγμή t=4sec) Χρονική Διάρκεια: Συμβολίζεται με Δt και είναι ουσιαστικά η χρονική μεταβολή μεταξύ δύο γεγονότων. 4

6 Στη συνέχεια θα ορίσουμε δύο έννοιες οι οποίες αρκετές φορές είναι εύκολο να τις μπερδέψουμε. Αυτές είναι η μετατόπιση και το διάστημα. Μετατόπιση, ονομάζουμε το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχική θέση του σώματος και τέλος την τελική του θέση. Άρα είναι η μεταβολή της θέσης Συμβολίζεται ως Δx, και να x 1 η αρχική θέση και x η τελική τότε η μετατόπιση θα είναι Δx=x -x 1. Αν η μετατόπιση είναι θετική σημαίνει πως το σώμα κινείται προς τα θετικά (προς τα δεξιά) ενώ αν είναι αρνητική τότε κινείται προς τα αρνητικά (προς τα αριστερά). Διάστημα, είναι το άθροισμα των απόλυτων τιμών όλων των διαδοχικών μετατοπίσεων του σώματος. Αν το σώμα κινείται μόνο προς μία κατεύθυνση τότε το διάστημα είναι ίσο με την μετατόπιση (κατά απόλυτη τιμή). Το διάστημα είναι μόνο θετικό. Μετατόπιση Διάστημα Διανυσματικό Μέγεθος Εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση και είναι ανεξάρτητη της τροχιάς του κινητού Η αλγεβρική τιμή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική Μονόμετρο Μέγεθος Εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το κινητό Είναι πάντα θετικός αριθμός 5

7 Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Σ αυτό το σημείο πλέον μπορούμε να ορίσουμε και την ταχύτητα του σώματος. Ένα σώμα καθώς κινείται καλύπτει κάποια απόσταση σε συγκεκριμένη χρονική διάρκεια. Το πηλίκο λοιπόν αυτό ονομάζεται ταχύτητα και συμβολίζεται με u. Άρα διανυσματικό μέγεθος το ίδιο θα ισχύει και για την ταχύτητα οπότε Διεθνές Σύστημα είναι το 1m/s. x u t. Αφού η μετατόπιση είναι x u. Μονάδα μέτρησης στο t Αν το σώμα που μελετάμε κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή καθ όλη την διάρκεια της κίνησης η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή, τότε θα ισχύει εξίσωση κίνησης. x u t Η σχέση αυτή ονομάζεται και Αν θεωρήσουμε ένα καρτεσιανό επίπεδο, στο οποίο έχουμε στον x άξονα τη μετατόπιση x και στον y τον χρόνο t, τότε αν βάλουμε τις τιμές που θα έχουμε από την παραπάνω σχέση θα σχηματιστεί μία ευθεία γραμμή η οποία θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων (το μηδέν). Η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η γραφική παράσταση με τον οριζόντιο άξονα (δηλαδή η κλίση της ευθείας) είναι η ταχύτητα του σώματος. Ένα απλό παράδειγμα φαίνεται παρακάτω: Η κλίση της ευθείας, θα μας δίνει την ταχύτητα. 6

8 Αν τώρα κάνουμε γραφική παράσταση της ταχύτητας με τον χρόνο τότε θα έχουμε το παρακάτω γράφημα. Όπως παρατηρούμε το εμβαδόν του τετράπλευρου που σχηματίστηκε, υπολογίζεται από τη σχέση A u t, και είναι η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα που μελετάμε. Το εμβαδόν του τετράπλευρου είναι η μετατόπιση. Μέση Ταχύτητα Όταν ένα σώμα κινείται στον πραγματικό κόσμο, δεν μπορεί να έχει πάντα σταθερή ταχύτητα, αφού δεν ένα δρόμος δεν είναι πάντα ευθεία. Υπάρχουν στροφές, φανάρια κ.α. Για τον λόγο αυτό έχουμε εισάγει ένα ακόμα μέγεθος την μέση ταχύτητα u ή u. Το μέγεθος αυτό μας δείχνει ουσιαστικά την ταχύτητα που θα είχε το σώμα αν εκτελούσε καθ όλη την διάρκεια της κίνησης του ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Για τον υπολογισμός της, χρησιμοποιούμε τη σχέση: κινείται. u s t, όπου s το διάστημα που διένυσε το σώμα που Σ αυτό το σημείο να τονίσουμε πως η μέση ταχύτητα είναι ένα μονόμετρο μέγεθος, σε αντίθεση με την ταχύτητα η οποία είναι διανυσματικό μέγεθος. 7

9 Στιγμιαία Ταχύτητα Τελευταία έννοια που συσχετίζεται με την ταχύτητα είναι αυτή της στιγμιαίας ταχύτητας. Είναι η ταχύτητα που έχει το σώμα κάποια δεδομένη χρονική στιγμή. Σ αυτό το επίπεδο θα ασχοληθούμε μόνο με τον υπολογισμό της στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση όπου η στιγμιαία ταχύτητα έχει ίδια τιμή με την μέση ταχύτητα. 8

10 Μεθοδολογία Ασκήσεων Αρχικά ας δώσουμε κάποιες χρήσιμες πληροφορίες. Είπαμε και παραπάνω πως η ταχύτητα έχει μονάδα μέτρησης στο Διεθνές Σύστημα, m/s. Αν παρατηρήσετε όμως για παράδειγμα τις ταχύτητες που καταγράφονται σε αγώνες ταχύτητας αυτοκινήτων θα δείτε ότι δίνεται σε χιλιόμετρα ανά ώρα. Πως λοιπόν μπορούμε να «πάμε» από χιλιόμετρα ανά ώρα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο; 1000m 1000m 1000m 10 Θα ισχύει: 1km / h m / s 60min 6060s 3600s 36 Και αντίστοιχα: 1m / s 3.6km/ h Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση i. Διαβάζουμε προσεχτικά την εκφώνηση. Στη συνέχεια καταγράφουμε τα δεδομένα. ii. iii. Αν μας δίνεται η μετατόπιση και ο χρόνος τότε θα μας ζητάει την ταχύτητα (u=x/t). Αν μας δίνει χρόνο και ταχύτητα θα μας ζητάει την μετατόπιση (x=ut). Τέλος αν μας δίνει την ταχύτητα και την μετατόπιση θα μας ζητάει τον χρόνο (t=x/u) Αν μας δίνουν κάποια γραφική παράσταση εφαρμόζουμε τα όσα είπαμε και προηγουμένως για εμβαδό και κλίση και θα έχουμε τα αποτελέσματα που μας ζητάνε. Συχνά θα μας ζητάνε να βρούμε το σημείο συνάντησης δύο σωμάτων ή ανθρώπων που εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η επίλυση είναι αρκετά εύκολη και φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα. 9

11 Λυμένο Παράδειγμα 1 Ένα αγόρι κι ένα κορίτσι τρέχουν προς την ίδια κατεύθυνση. Την χρονική στιγμή t=0 το αγόρι είναι στη θέση x α= -15m και το κορίτσι στην x κ=+5m. Το αγόρι τρέχει με σταθερή ταχύτητα u α=4m/s και το κορίτσι με σταθερή ταχύτητα u κ=m/s. Θα καταφέρει το αγόρι να φθάσει το κορίτσι; Αν ναι σε ποια θέση και σε ποια χρονική στιγμή; Λύση παρακάτω Παρατηρούμε εδώ πως το αγόρι είναι πιο πίσω από το κορίτσι όπως φαίνεται και στην εικόνα Άρα για να μπορέσει το αγόρι να φτάσει κάποια στιγμή το κορίτσι πρέπει να έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, να τρέχει δηλαδή πιο γρήγορα. Κάτι τέτοιο όντως ισχύει. Άρα το πρόβλημα έχει λύση. Θεωρούμε κάποια τυχαία θέση (μεγαλύτερη του x=+5m) όπου θα είναι η θέση όπου θα συναντηθούν και την συμβολίζουμε με Α. Αφού τα δύο παιδιά ξεκινάνε ταυτόχρονα και στο Α είναι το ένα δίπλα στο άλλο εύκολα καταλαβαίνουμε πως θα χρειαστούν τον ίδιο ακριβώς χρόνο για να φτάσουν στο Α. Άρα θα ισχύει ότι: 10

12 s ύ s x A xa ua t s x x u t s A ύ x x A A x x a u u a t t Στον τελευταίο όρο μπορούμε ν απαλείψουμε τον χρόνο, μιας και είναι ο ίδιος και στις δύο περιπτώσεις, οπότε αν βάλουμε και τα δεδομένα που μας δίνονται θα έχουμε: s s ύ xa 15 4 x 5 A xa 15 x x 5 A A 15 x 5 x 15 x 10 A A A Οπότε πλέον αρκεί να χωρίσουμε γνωστούς από αγνώστους και θα έχουμε να επιλύσουμε μία απλή πρωτοβάθμια εξίσωση, την xa x x 5m A A Άρα εύκολα βρήκαμε την θέση στην οποία θα συναντηθούν. Οπότε για να βρούμε και την χρονική στιγμή αρκεί να αντικαταστήσουμε το x A που βρήκαμε στην εξίσωση κίνησης είτε του αγοριού είτε του κοριτσιού. Για το αγόρι: s ύ x A x a 5 ( 15) 40m u t 40 4t 40 t 10sec a Για το κορίτσι: s ύ x A x 5 (5) 0m u t 0 t 0 t 10sec Σημείωση: Αν έτρεχαν προς αντίθετες κατευθύνσεις θα κάναμε ακριβώς τα ίδια, απλά θα έπρεπε να βάλουμε το σημείο συνάντησης κάπου ανάμεσα στα δύο παιδιά. 11

13 Λυμένο Παράδειγμα Δύο πόλεις Α και Β απέχουν απόσταση d 50km. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την πόλη Α με κατεύθυνση τη Β και κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u A 10m / s. Αντίστοιχα ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την πόλη Β με κατεύθυνση την Α με ταχύτητα μέτρου u B 15m / s. Να βρείτε σε πόση απόσταση από την πόλη Α θα συναντηθούν τα δύο οχήματα και ποια χρονική στιγμή; Λύση Αρχικά κάνουμε το σχήμα όπως φαίνεται και παραπάνω. Ορίζουμε το σημείο συνάντησης ως Γ. Επειδή το αυτοκίνητο από την πόλη Β κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα απ ότι αυτό της Α το σημείο συνάντησης θα είναι πιο κοντά στην πόλη Α, αφού θα προλάβει να διανύσει μικρότερη απόσταση. Επιπλέον ο χρόνος κίνησης των δύο οχημάτων θα είναι ακριβώς ο ίδιος. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις κίνησης: Για το όχημα από την πόλη Α θα ισχύει: Για το όχημα από την πόλη Α θα ισχύει: u A u B x t d x t 1

14 13 Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς τον χρόνο και εισάγουμε την σχέση που θα εξάγουμε στη δεύτερη,, κάνουμε δηλαδή απαλοιφή του χρόνου. Έτσι θα έχουμε: u A x t και d u u u x u u x u d u d u x u x u x u d u x u x d u x u x x d u u x x d u B A A B A A A A B A A B A B A B A B Επομένως αντικαθιστώντας θα έχουμε: km d u u u x B A A Άρα τα δύο οχήματα θα συναντηθούν 0 km από την πόλη Α. Για τον υπολογισμό της χρονικής στιγμής θα έχουμε: s u x t A Προσοχή, πρέπει να μετατρέψουμε την απόσταση σε μέτρα για να πάρουμε τον χρόνο σε δευτερόλεπτα.

15 Άρα ανακεφαλαιώνοντας, όταν μας ζητάνε στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση να βρούμε σημείο συνάντησης κάνουμε τα εξής βήματα: 1. Ελέγχουμε αν η ταχύτητα του σώματος που προηγείται είναι μικρότερη απ αυτού που έπεται. Διαφορετικά δεν υπάρχει λύση.. Θέτουμε τυχαίο σημείο Α (ή όπως αλλιώς επιθυμούμε) ως σημείο συνάντησης 3. Βρίσκουμε την απόσταση που έχει διανύσει το κάθε σώμα μέχρι να φθάσει στο Α. Καταγράφουμε τις εξισώσεις κίνησης για αυτές τις αποστάσεις. 4. Ο χρόνος κίνησης και των δύο θα είναι κοινός. 5. Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς τον χρόνο και αντικαθιστούμε την ποσότητα αυτή στη δεύτερη, κάνουμε δηλαδή απαλοιφή του χρόνου 6. Πλέον έχουμε μία εξίσωση με έναν άγνωστο οπότε λύνοντας την βρίσκουμε το σημείο συνάντησης 7. Τέλος μπορούμε πλέον εύκολα να υπολογίσουμε και την χρονική στιγμή 14

16 Λυμένο Παράδειγμα 3 Στο παρακάτω γράφημα φαίνεται η μεταβολή της θέσης ενός κινητού σε συνάρτηση με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το κινητό; Μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητά του; Λύση Παρατηρούμε πως η γραφική παράσταση της απόστασης με τον χρόνο είναι μία ευθεία γραμμή. Άρα το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή κίνηση Για τον υπολογισμό της ταχύτητας θα έχουμε: x u t x x1, δηλαδή πρέπει να επιλέξουμε t t δύο χρονικές στιγμές και να υπολογίσουμε την μετατόπιση του σώματος στο χρονικό αυτό διάστημα. Επιλέγουμε ως t 1 την χρονική στιγμή t 0 (για να κάνουμε και πιο απλές πράξεις) και ως t την χρονική στιγμή t 1s. Θα έχουμε λοιπόν: x x u 10m / s t t

17 Λυμένο Παράδειγμα 4 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η ταχύτητα ενός σώματος συναρτήσει με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το σώμα; Μπορείτε να υπολογίσετε την μετατόπιση του τη χρονική στιγμή t 5s ; Λύση Παρατηρούμε πως η γραφική παράσταση της ταχύτητας με τον χρόνο είναι μία ευθεία γραμμή παράλληλη με τον άξονα του χρόνου. Άρα το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή κίνηση Για τον υπολογισμό της μετατόπισης αρκεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν που δημιουργείται όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. 16

18 Άρα θα έχουμε: x u t m Λυμένο Παράδειγμα 5 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η θέση ενός σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το σώμα; Μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα του; Ποια είναι η μέση ταχύτητα που έχει το σώμα; 17

19 Λύση Παρατηρούμε πως το σώμα σ αυτή την περίπτωση κάνει μία σύνθετη κίνηση. Από τη χρονική στιγμή t 0 έως τη χρονική στιγμή t s το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Επίσης από τη χρονική στιγμή t 6s έως τη χρονική στιγμή t 10s το σώμα εκτελεί πάλι ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Από τη χρονική στιγμή καθηλωμένο στη θέση τη κίνηση του. x 0m t s έως τη χρονική στιγμή t 6s παρατηρούμε πως το σώμα παραμένει. Άρα για εκείνη τη χρονική περίοδο το σώμα δεν κινείται, έχει σταματήσει Επομένως σπάσαμε τη κίνηση του σώματος σε τρεις διαφορετικές χρονικές περιόδους προκειμένου να τη μελετήσουμε ευκολότερα. Οπότε ξεκινάμε πλέον την μελέτη της κίνησής του. Για t 0 έως x x t s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με u 1 10m / s t t 0 1 Για t s έως t 6s : Το σώμα είναι ακίνητο με u 0 x4 x Για t 6 έως t 10s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με u 5m / s t t Παρακάτω φαίνεται και το γράφημα της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο

20 Η μέση ταχύτητα της κίνησης του σώματος θα είναι η: s 40 u 4m / s t 10 Λυμένο Παράδειγμα 6 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η ταχύτητα ενός σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το σώμα; Μπορείτε να υπολογίσετε την συνολική του μετατόπιση; Λύση Όπως και πριν πρέπει να σπάσουμε την κίνηση σε τρεις διαφορετικές χρονικές περιόδους, αφού βλέπουμε πως η ταχύτητα δεν είναι κάθε χρονική στιγμή σταθερή. Την χρονική στιγμή t 0 έως τη χρονική στιγμή t 4s το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, αφού η γραφική παράσταση είναι παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου. Επίσης από τη χρονική στιγμή t 8s έως τη χρονική στιγμή t 10s το σώμα εκτελεί πάλι ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 19

21 Αντίθετα παρατηρούμε πως από t 4s έως τη χρονική στιγμή εκείνη τη χρονική περίοδο το σώμα έχει σταματήσει να κινείται. t 8s η ταχύτητα είναι μηδέν. Άρα Οπότε πλέον μπορούμε να ξεκινήσουμε την μελέτη της κίνησης του σώματος. Για t 0 έως t 4s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με x u t m 1 1 Για t 4s έως t 8s : Το σώμα είναι ακίνητο, επομένως με x 0 Για t 8s έως t 10s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με x u t 1 4m 3 3 Η ολική μετατόπιση του σώματος θα δίνεται από τη σχέση s x x x m. 1 3 Άρα το σώμα τη χρονική στιγμή t 10s έχει φθάσει στη θέση σώματος συναρτήσει του χρόνου. t 4s x 40m έχει φθάσει στη θέση x1 16m ενώ την χρονική στιγμή. Παρακάτω φαίνεται και η γραφική παράσταση της θέσης του 0

22 Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Ένα σώμα δεν κινείται πάντα με σταθερή ταχύτητα. Πλέον θα μελετήσουμε την κίνηση σωμάτων τα οποία κινούνται σε ευθεία γραμμή αλλά με μεταβαλλόμενη ταχύτητα, δηλαδή την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Το μέγεθος που διατηρείται τώρα σταθερό ονομάζεται επιτάχυνση και μας δείχνει την μεταβολή της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο. Συμβολίζεται με α και ισχύει u a t. Όπως θα είναι πλέον κατανοητό αφού η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος το ίδιο θα ισχύει και για την επιτάχυνση, u a t. Επιταχυνόμενη Κίνηση Α Περίπτωση Κίνηση με θετική επιτάχυνση Οι εξισώσεις κίνησης θα δίνονται από τις σχέσεις u u 0 a t και x u 0 t 1 a t, όπου u 0 η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t 0. Παρακάτω φαίνεται το γράφημα της μετατόπισης του σώματος συναρτήσει του χρόνου. 1

23 Από το γράφημα ταχύτητας χρόνου η κλίση μας δίνει την επιτάχυνση ενώ το εμβαδόν του τραπεζίου μας δίνει την μετατόπιση. Η κλίση της ευθείας, θα μας δίνει την επιτάχυνση. Το εμβαδόν θα μας δίνει την μετατόπιση του σώματος. Από το γράφημα επιτάχυνσης χρόνου το εμβαδόν θα μας δίνει την μεταβολή της ταχύτητας

24 Το εμβαδόν θα μας δίνει την μεταβολή της ταχύτητας του σώματος. Β Περίπτωση Κίνηση με αρνητική επιτάχυνση Η αρνητική επιτάχυνση σημαίνει πως το σώμα κινείται με μικρότερη ταχύτητα σε σχέση με κάποια προηγούμενη χρονική στιγμή, όχι ότι το σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση.οι εξισώσεις κίνησης τώρα θα είναι οι: u u 0 at και x u 0 t 1 at Οι γραφικές παραστάσεις θα μας δίνουν πάλι ακριβώς τις ίδιες ποσότητες απλά τώρα θα είναι οι: 3

25 Μέγιστη μετατόπιση Χρόνος κίνησης Στην επιβραδυνόμενη κίνηση υπάρχουν δύο ακόμη μεγέθη που μας ενδιαφέρουν. Συνήθως θεωρούμε πως το σώμα μεταβαίνει από κάποια κίνηση στην επιβραδυνόμενη, οπότε στην επιβραδυνόμενη θα είναι σχεδόν αδύνατο το σώμα να μην έχει αρχική ταχύτητα. χρονική στιγμή Θεωρούμε λοιπόν πως το σώμα αρχικά κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και την t 0 ξεκινάει την επιβραδυνόμενη κίνηση. Η ταχύτητα του σώματος συνεχώς θα μειώνεται οπότε κάποια στιγμή θα σταματήσει να κινείται. Συνήθως θα μας ζητάνε να υπολογίσουμε το μέγιστο χρόνο κίνησης και την μέγιστη μετατόπιση του σώματος. Ξεκινάμε με τις δύο εξισώσεις κίνησης, οι οποίες θα είναι οι u u 0 at και x 1 at u 0 t. Θεωρούμε την χρονική στιγμή t t1, όπου το σώμα πλέον έχει ταχύτητα μηδέν. Άρα εκείνη τη χρονική στιγμή θα ισχύει: u u at 0. Προκειμένου να προχωρήσουμε θα λύσουμε την τελευταία εξίσωση ως προς τον χρόνο t. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται απαλοιφή του χρόνου. Άρα θα έχουμε: 4

26 u a 0 u0 at1 t1 άρα θα έχουμε: Πλέον εισάγουμε την ποσότητα που έχουμε βρει για τον χρόνο στην εξίσωση της απομάκρυνσης, x 1 u0t at u 0 u0 a 1 u0 a a x u0 a u0 a x u0 a απομάκρυνση Άρα ο μέγιστος χρόνος της κίνησης θα είναι s max u0 a u t 0 max a και η μέγιστη 5

27 Μεθοδολογία i. Διαβάζουμε προσεχτικά την εκφώνηση. Στη συνέχεια καταγράφουμε τα δεδομένα. ii. Συνήθως η αρχική ταχύτητα u 0, είναι μηδέν. Άρα θα έχουμε πλέον x 1 at και u at. iii. iv. Αν μας δίνει τον χρόνο και την επιτάχυνση μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση και την μετατόπιση. Αν μας δίνει την μετατόπιση και την ταχύτητα μπορούμε να υπολογίσουμε την τον χρόνο αρχικά και μετά την επιτάχυνση. Αν μας δίνουν κάποια γραφική παράσταση τότε από το κλίση του γραφήματος x-t μπορούμε να καταλάβουμε το πρόσημο της επιτάχυνσης ή αν έχουμε να συγκρίνουμε δύο κινητά να βρούμε ποιο έχει πιο μεγάλη επιτάχυνση. Από το γράφημα της ταχύτητας χρόνου το εμβαδόν θα μας δώσει την μετατόπιση ενώ η κλίση της ευθείας θα μας δώσει την τιμή της επιτάχυνσης. Σε περίπτωση που η αρχική ταχύτητα δεν είναι μηδέν τότε απλά έχουμε να κάνουμε λίγες πράξεις παραπάνω. Λυμένο Παράδειγμα 1 Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση a 4m / s. Αν την χρονική στιγμή t 0 ακίνητο να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του μετά από 10 s, β) την μετατόπιση του ίδιο χρονικό διάστημα. ήταν Λύση Αφού το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση τότε οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του θα είναι οι: u u 0 a t και x 1 u0 t a t. 6

28 Βάση της εκφώνησης γνωρίζουμε πως την χρονική στιγμή t 0 το αυτοκίνητο έχει u 0 0, άρα οι εξισώσεις θα γίνουν: u a t και x 1 a t. Τέλος γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση είναι a 4m / s και ο ζητούμενος χρόνος αντικαθιστώντας αυτές τις δύο ποσότητες στις δύο τελευταίες εξισώσεις θα έχουμε: t 10s άρα u 40m / s και x 00m Λυμένο Παράδειγμα Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση a m / s που το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα ίση με. Θεωρούμε ως t 0 την χρονική στιγμή u 4m / s. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του μετά από s, β) την 0 μετατόπιση του ίδιο χρονικό διάστημα, γ) την χρονική στιγμή που θα έχει ταχύτητα u 1m / s Λύση Αφού το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση τότε οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση 1 του θα είναι οι: u u 0 a t και x u0 t a t. Βάση της εκφώνησης γνωρίζουμε πως την χρονική στιγμή u 4m / s, άρα οι εξισώσεις θα γίνουν: u 4 t και x t 4t. 0 t 0 το αυτοκίνητο έχει Άρα μετά από s η μετατόπιση θα είναι x 1m και η ταχύτητα u 8m / s Αν η ταχύτητα είναι 1m/ s θα ισχύει: 7

29 u 1m / s 4 t t 8 t 4s 1 Εναλλαγή κινήσεων Αν έχουμε ένα κινητό που ξεκινάει για παράδειγμα να εκτελεί μία ΕΟΜΚ (με θετική επιτάχυνση) στη συνέχεια, εκτελεί ΕΟΚ, και στο τέλος κάνει ΕΟΜΚ (επιβραδυνόμενη). Σ αυτή την περίπτωση κάθε φορά που αλλάζει κίνηση στην επόμενη θα θεωρούμε ως αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που είχε την στιγμή που άλλαξε κίνηση. 1 η Περίπτωση Επιταχυνόμενη/Επιβραδυνόμενη Θα θεωρήσουμε πως το σώμα ξεκινάει από την ηρεμία. Επομένως αρχικά θα έχουμε 1 at x και u at. Την χρονική στιγμή t 1 η ταχύτητα θα είναι u 1 και εκείνη τη στιγμή ξεκινάει η επιβράδυνση. Οι εξισώσεις τώρα θα είναι u t και u u1. Την χρονική στιγμή t ξεκινάει να εκτελεί την επιβραδυνόμενη x 1 1 τότε οι εξισώσεις θα είναι οι x u 1 t at και u u1 at. Σ αυτές τις περιπτώσεις το πιο συνηθισμένο ερώτημα είναι να βρεθεί ο χρόνος κίνησης και η μέγιστη μετατόπιση του σώματος. Λυμένο Παράδειγμα 3 Ένα σώμα, αρχικά ακίνητο, κινείται με σταθερή επιτάχυνση αρχίζει και κινείται με επιτάχυνση a 4m / s t 4 a m / s. Την χρονική στιγμή s. Να υπολογίσετε: α) τη μέγιστη μετατόπιση που θα κάνει το σώμα, από τη χρονική στιγμή t 0 μέχρι να σταματήσει να κινείται, β) τον συνολικό χρόνο κίνησης, γ) να δώσετε τα διαγράμματα κίνησης. 8

30 Λύση στιγμή Αρχικά η κίνηση του σώματος θα περιγράφετε από τις εξισώσεις t 4s θα έχουμε: x 1t και u t. Την χρονική x 16m και u 8m / s Άρα το σώμα ξεκινάει την επιβράδυνση αφού έχει διανύσει 16m και με αρχική ταχύτητα u 0 8m / s. Άρα για την επιβράδυνση θα έχουμε: x 8t t και u 8 4t (S.I.) Όταν το σώμα σταματήσει να κινείται θα έχουμε: σταματάει την κίνηση του μετά από s. u 0 8 4t t s. Άρα το σώμα Σ αυτό το χρονικό διάστημα έχει μετατοπιστεί κατά x 8t t 8 4 x 8m. Άρα το συνολικό διάστημα που έχει διανύσει το σώμα είναι x 4m σε χρόνο t 6s Τα διαγράμματα που περιγράφουν την κίνηση είναι τα παρακάτω: 9

31 30

32 η Περίπτωση ΕΟΚ Επιταχυνόμενη Μελετάμε την κίνηση σώματος το οποίο αρχικά κινείται με σταθερή ταχύτητα και μετά αποκτά κάποια επιτάχυνση. Υπάρχει περίπτωση να συμβαίνει και το αντίθετο, δηλαδή να ξεκινάει με επιταχυνόμενη και να καταλήγει σε ευθύγραμμη ομαλή. Αν η ΕΟΚ προηγείται της ΕΟΜΚ τότε το σώμα όταν ξεκινήσει να εκτελεί ΕΟΜΚ έχει ως αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που είχε στην ΕΟΚ. Αντίθετα αν το σώμα εκτελεί αρχικά την ΕΟΜΚ, θα έχει ως ταχύτητα στην ΕΟΚ την ταχύτητα που είχε λόγω της ΕΟΜΚ την χρονική στιγμή που ξεκίνησε να κάνει ΕΟΚ. Λυμένο Παράδειγμα 4 Ένα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα u 10 m s. Την χρονική στιγμή t 4s αποκτά επιτάχυνση a 4m s. Να υπολογίσετε: i. την εξίσωση κίνησης του σώματος κάθε χρονική στιγμή ii. να δώσετε τα γραφήματα Λύση i. Το σώμα ξεκινάει και εκτελεί ΕΟΚ αφού κινείται με σταθερή ταχύτητα. Άρα από τη χρονική στιγμή t 0 έως και τη χρονική στιγμή t 4s το σώμα εκτελεί ΕΟΚ ενώ από την χρονική στιγμή t 4s και μετά εκτελεί ΕΟΜΚ (επιταχυνόμενη) με αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που είχε κατά την ΕΟΚ, δηλαδή u 10 m 0 s. Άρα οι εξισώσεις κίνησης θα είναι οι: u t 10t, 0 t 4 s x 1 και uo t a t 10t t, t 4s u u u 0 10, 0 t 4 s a t 10 4t, t s o

33 ii. Το δύσκολο στη μελέτη αυτών των ασκήσεων είναι η χάραξη των γραφικών. Πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας κάποιες παραμέτρους. Αρχικά πρόβλημα έχουμε όσο αφορά τον χρόνο. Όπως φαίνεται και παραπάνω η κάθε κίνηση αφορά διαφορετική χρονική περίοδο. Για να μπορέσουμε όμως να πάρουμε τα σωστά αποτελέσματα θα πρέπει να κάνουμε κάποιες «τροποποιήσεις». Όσο αφορά τον χρόνο λοιπόν το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αντικαταστήσουμε τους όρους t και t με t t 0 και t t 0 όπου t 0 η χρονική στιγμή που γίνεται η αλλαγή στην κίνηση. Στο πρόβλημά μας θα ισχύει t 0 4s. Δεύτερο ζήτημα που πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας είναι η μετατόπιση. Μετά την αλλαγή στην κίνηση πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε αποτέλεσμα και την μετατόπιση που είχε κάνει το σώμα συνολικά καθ όλη την διάρκεια της ΕΟΚ. Για να γίνει κατανοητό αυτό θα δώσουμε το παρακάτω παράδειγμα. Τη χρονική στιγμή 4s, το σώμα έχει διανύσει απόσταση 40m. Για το 5 ο δευτερόλεπτο κάνοντας χρήση των παραπάνω θα έχουμε: x m. Δεν είναι όμως δυνατόν το σώμα να κινήθηκε προς τα πίσω ενώ επιταχύνει και να βρέθηκε από τα 40m στα 1m. Εμείς λοιπόν μ αυτό τον τρόπο υπολογίσαμε πόσο μετακινήθηκε από την στιγμή που άλλαξε το είδος κίνησης άρα το σώμα θα βρίσκεται στη θέση x m. Άρα η σωστή έκφραση για την εξίσωση της μετατόπισης θα είναι η: 10t, 0 t 4 s x 4010 t 4 t 4, t 4s 3

34 Επομένως το γράφημα της μετατόπισης θα είναι το παρακάτω: Και για την ταχύτητα του σώματος θα έχουμε: 33

35 Και για την επιτάχυνση θα έχουμε: Λυμένο Παράδειγμα 5 Ένα σώμα κινείται με επιτάχυνση a 8m s. Την χρονική στιγμή t 10s το σώμα ξεκινά και κινείται με σταθερή ταχύτητα. Να υπολογίσετε: i. την σταθερή ταχύτητα που θα έχει το σώμα από τη χρονική στιγμή t 10s και μετά ii. iii. να δώσετε την εξίσωση κίνησης του σώματος κάθε χρονική στιγμή να δώσετε τα γραφήματα. Να θεωρήσετε πως το σώμα ξεκινάει και κινείται από την ηρεμία. Λύση i. Το σώμα ξεκινάει και εκτελεί ΕΟΜΚ (επιταχυνόμενη) αφού έχει επιτάχυνση. Άρα από τη χρονική στιγμή t 0 έως και τη χρονική στιγμή t 10s το σώμα εκτελεί ΕΟΜΚ ενώ από την χρονική στιγμή t 10s και μετά εκτελεί ΕΟΚ αφού έχει σταθερή ταχύτητα. Για τον υπολογισμό της ταχύτητας που θα έχει στην ΕΟΚ αρκεί να υπολογίσουμε την ταχύτητα που θα έχει όταν γίνει αλλαγή στο είδος κίνησης. Μ αυτή την ταχύτητα θα συνεχίσει να κινείται μετά το σώμα σταθερά. Άρα θα έχουμε: 34

36 u a t u 8 10 u 80m s ii. Για τις εξισώσεις κίνησης θα έχουμε: 1 a t x x u o 0 4t, x 80t t 0 και a t 8t u u o 80 Για να ολοκληρώσουμε την απάντηση μας πρέπει να υπολογίσουμε την ποσότητα x 0, όπου είναι η συνολική απόσταση που έχει διανύσει το σώμα κατά την διάρκεια της ΕΟΜΚ και να κάνουμε τις απαραίτητες αλλαγές στον χρόνο όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα. Άρα θα έχουμε: 1 1 x0 a t x0 810 x0 400m. Επομένως θα ισχύει 4t, x και t 10 8t, 0 t 10 u 80, t 10s iii. Τα γραφήματα που θα περιγράφουν την κίνηση είναι τα παρακάτω: Για την μετατόπιση: 35

37 Για την ταχύτητα: Και για την επιτάχυνση: 36

38 3 η Περίπτωση ΕΟΚ Επιβραδυνόμενη Τέλος θα μελετήσουμε την περίπτωση όπου το σώμα αρχικά εκτελεί ΕΟΚ και στη συνέχεια επιβραδυνόμενη κίνηση (ΕΟΜΚ) Λυμένο Παράδειγμα 6 Ένα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα u 15 m s. Την χρονική στιγμή t 4s αποκτά επιτάχυνση a 1m s. Na δώσετε: i. Τις εξισώσεις κίνησης του σώματος ii. iii. iv. Τον συνολικό χρόνο κίνησης Τη συνολική μετατόπιση τα διαγράμματα κίνησης Λύση i. Αρχικά το σώμα εκτελεί μία ΕΟΚ και στη συνέχεια μία ΕΟΜΚ. Το τι πρέπει να κάνουμε το είδαμε και παραπάνω στο παράδειγμα 4. Το μόνο που θα αλλάξει τώρα είναι το πρόσημο όπου χρειάζεται. Δηλαδή θα έχουμε: x u t x u 15t o t t 0 a t t t 4 t 4, u u u 0 o a 15 t t 15 t 4 0 ii. Για τον ολικό χρόνο διάρκειας της ΕΟΜΚ θυμόμαστε υπάρχει ο τύπος t max u 0 a. Άρα για το 15 πρόβλημά μας θα έχουμε: t max 15s. Στον χρόνο που βρήκαμε προσθέτουμε και τον χρόνο 1 όπου το σώμα εκτελεί ΕΟΚ και θα έχουμε t ol s 37

39 iii. Για την ολική μετατόπιση θα έχουμε: s s seomk, άρα θα έχουμε: s EOK u t m 0 u0 15 s EOMK 11. 5m a Άρα συνολικά θα είναι s 60 11,5 17, 5m iv. Οι γραφικές παραστάσεις που δίνουν την κίνηση του σώματος φαίνονται παρακάτω: Για την μετατόπιση: Για την ταχύτητα: Για την επιτάχυνση: 38

40 39

41 Κεφάλαιο Δυναμική σε μία διάσταση 40

42 Βασικές Έννοιες Στο προηγούμενο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με την ευθύγραμμη κίνηση, την ομαλή και την ομαλά μεταβαλλόμενη. Η κύρια διαφορά τους ήταν πως στην δεύτερη υπήρχε ένα επιπλέον μέγεθος η επιτάχυνση, η οποία απουσίαζε από την ομαλή. Σε τι οφείλεται λοιπόν η ύπαρξη αυτού του επιπλέον μεγέθους; Η απάντηση είναι απλή. Στη δύναμη. Τι είναι όμως δύναμη; Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί μεταβολή της κινητικής κατάστασης ενός σώματος. Για παράδειγμα ένα σώμα που ήταν ακίνητο και μετά κινείται του έχει ασκηθεί κάποια δύναμη. Ένα σώμα που κινείται επιταχυνόμενα, του ασκείται κάποια δύναμη. Κάθε σώμα που κινείται του ασκούνται κάποιες δυνάμεις. Ακόμα και σ ένα σώμα που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση μπορεί να του ασκούνται δυνάμεις (όσο παράξενο κι αν ακούγεται!). Επιπλέον δύναμη ονομάζουμε και την αιτία που παραμορφώνεται ένα σώμα. (Ν), όπου Την δύναμη την συμβολίζουμε με το γράμμα F και στο διεθνές σύστημα την μετράμε σε νιούτον 1N s 1kg m /. Η μέτρηση μιας δύναμης μπορεί να γίνει με χρήση ενός δυναμόμετρου, βασιζόμενο στο Νόμο του Hooke, δηλαδή όπως μάθαμε και στο Γυμνάσιο η επιμήκυνση ενός ελατήριου είναι ανάλογη με τη δύναμη που ασκείται στο ελεύθερο άκρο του, F k x (1). Παρακάτω μπορείτε να δείτε κι ένα απλό δυναμόμετρο. 41

43 Σύνθεση Δυνάμεων Σ ένα σώμα υπάρχει περίπτωση να ασκούνται πάνω από μία δυνάμεις. Σ αυτή την περίπτωση μπορούμε να αθροίσουμε με συγκεκριμένο τρόπο τις δυνάμεις και να τις αντικαταστήσουμε όλες με μία νέα δύναμη, την συνισταμένη, η οποία επιφέρει το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα με τις αρχικές. Την συγκεκριμένη διαδικασία άθροισης την ονομάζουμε σύνθεση δυνάμεων. Σ αυτό το σημείο πρέπει να θυμηθούμε πως η δύναμη είναι μέγεθος διανυσματικό, δηλαδή μας ενδιαφέρει η φορά και η διεύθυνση της δύναμης. Έστω ότι ασκούνται σ ένα σώμα δύο δυνάμεις, οι F 1 και F. Αφού έχουν ίδια διεύθυνση αν θα έχουν και την ίδια φορά θα ισχύει: F F 1 F (), ενώ αν έχουν αντίθετη φορά F F 1 F (3). Στην δεύτερη περίπτωση οι δυνάμεις ονομάζονται αντίθετες. Νόμοι του Νεύτωνα Για την μελέτη των δυνάμεων χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα των μελετών του Νεύτωνα, γνωστοί ως και Οι Τρεις Νόμοι του Νεύτωνα. 1 ος Νόμος Νόμος της Αδράνειας. Όταν είμαστε σ ένα λεωφορείο ή γενικά σε κάποιο όχημα και ο οδηγός πατήσει ξαφνικά φρένο (μειώσει δηλαδή απότομα την ταχύτητα του οχήματος) όλοι θα έχουμε παρατηρήσει πως το σώμα μας τείνει να κινηθεί προς τα μπροστά. 4

44 Αυτό συμβαίνει επειδή το σώμα «αρνείται» να αλλάξει την κινητική του κατάσταση. Η δυσκολία αυτή, να αλλάξει δηλαδή η κινητική κατάσταση ενός σώματος, ονομάζεται αδράνεια. Μέτρο της αδράνειας είναι η μάζα, όπως μάθαμε και στη Β Γυμνασίου. Ο Νεύτωνας λοιπόν παρατήρησε πως όταν σ ένα σώμα δεν ασκούνται δυνάμεις ή η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό είναι μηδέν, τότε η ταχύτητα του παραμένει σταθερή δηλαδή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ή παραμένει ακίνητο. ΟΤΑΝ ΣΕ ΕΝΑ ΣΩΜΑ Η ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ ΤΟΤΕ ΕΙΤΕ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΑΚΙΝΗΤΟ ΕΙΤΕ ΘΑ ΕΚΤΕΛΕΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ος Νόμος Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής Πλέον θα δούμε πως συσχετίζεται η δύναμη με την κίνηση των σωμάτων. Έχουμε μάθει από το Γυμνάσιο πως η δύναμη είναι η αιτία που τα σώματα μεταβάλλουν την κινητική τους κατάσταση. Άρα όταν σ ένα σώμα ασκείται κάποια δύναμη τότε αυτό θα κινείται. Μέσα από τα πειράματα που έκανε ο Νεύτωνας κατάφερε να δει πως η δύναμη είναι ανάλογη της επιτάχυνσης και πιο συγκεκριμένα ότι ισχύει: F m a (4) ή πιο απλά F m a. Άρα υπολογίζοντας την συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα και γνωρίζοντας την μάζα του σώματος πλέον θα είμαστε σε θέση να ξέρουμε την επιτάχυνση του σώματος. Όπως είδαμε λοιπόν, τα μεγέθη δύναμη και επιτάχυνση είναι ανάλογα. Άρα αν η δύναμη είναι σταθερή τότε και η επιτάχυνση είναι σταθερή (χρονοανεξάρτητη) άρα το σώμα θα εκτελέσει μία 43

45 ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Αν η δύναμη είναι μεταβλητή (εξαρτημένη από τον χρόνο) τότε η επιτάχυνση θα είναι και αυτή μεταβλητή. Την τελευταία αυτή περίπτωση δεν θα την μελετήσουμε σ αυτό το επίπεδο, θα την δούμε μόνο μέσα από γραφήματα. Επιπλέον πρέπει να θυμηθούμε πως η δύναμη και η επιτάχυνση είναι μεγέθη διανυσματικά, αρά μας ενδιαφέρει η διεύθυνση και η φορά. Θετική δύναμη σημαίνει πως το σώμα κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και επιταχύνει. Αρνητική σημαίνει πως το σώμα επιβραδύνει. Δεν είναι υποχρεωτικό να κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση και για να αναλύσουμε περαιτέρω την κίνηση του σώματος θα πρέπει να δούμε και τις πληροφορίες που μας δίνει η κάθε άσκηση. Για να αποφανθούμε σχετικά εύκολα τη συμβαίνει κάθε φορά θα ελέγχουμε την φορά της δύναμης και της ταχύτητας. Αν δύναμη και ταχύτητα έχουν ίδια φορά τότε η κίνηση είναι επιταχυνόμενη. Αν έχουν διαφορετική φορά τότε είναι επιβραδυνόμενη. Αν τότε η κίνηση είναι επιταχυνόμενη Αν τότε η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη Άρα συνοψίζοντας τους δύο νόμους που έχουμε δει μέχρι στιγμής (ο τρίτος νόμος θα διδαχθεί στο επόμενο κεφάλαιο): 1. Όταν σ ένα σώμα η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν, F 0,τότε αυτό είτε θα είναι ακίνητο είτε θα εκτελεί ΕΟΚ. Όταν σ ένα σώμα η συνισταμένη των δυνάμεων είναι διάφορη του μηδενός, F m a, τότε αυτό θα εκτελεί ΕΟΜΚ. 44

46 Εξισώσεις κίνησης Στις εξισώσεις κίνησης, στην ΕΟΜΚ, τώρα μπορούμε να προσθέσουμε την να μελετήσουμε την κίνηση ενός σώματος. Άρα οι εξισώσεις κίνησης θα είναι οι: a F m προκειμένου x u 0 t 1 a t u u 0 a t (5) a F m Βάρος και Μάζα Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με δύο έννοιες τις οποίες συγχέουμε και τις θεωρούμε ταυτόσημες ενώ δεν είναι. Αυτές είναι το βάρος και η μάζα. Βάρος ονομάζουμε την δύναμη που ασκεί ο πλανήτης (ελκτική) σε κάθε σώμα. Αφού το βάρος λοιπόν είναι δύναμη το μετράμε σε νιούτον (Ν). Για τον υπολογισμό του βάρους χρησιμοποιούμε την σχέση B m g (6), όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας μία σταθερά που ισούται με: g 9.8m. Για s την μέτρηση του βάρους επιπλέον χρησιμοποιούμε κι άλλες μονάδες όπως το kilopond (kp) όπου 1kp 9. 81N αλλά δεν είναι μονάδα του Διεθνούς Συστήματος. 45

47 Όπως είδαμε και παραπάνω μάζα ονομάζουμε το μέτρο της αδράνειας. Γι αυτό το λόγο την ονομάζουμε και αδρανειακή μάζα. Όσο πιο μεγάλη είναι μάζα του σώματος τόσο μεγαλύτερη και η αδράνεια. Για να υπολογίσουμε την αδρανειακή μάζα ενός σώματος αρκεί να του ασκήσουμε μία δύναμη και να μετρήσουμε την επιτάχυνση. Είδαμε όμως πως η μάζα συνδέεται και με το βάρος. Αυτή είναι η βαρυτική μάζα, είναι η αιτία που μας έλκει η Γη. Για τον υπολογισμό της μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποιο ζυγό. m Στον κόσμο που ζούμε υπάρχουν δύο είδη μάζας. Έχουμε όμως την τύχη οι m τιμές αυτών των δύο να συμπίπτουν πάντα επομένως χειριζόμαστε την μάζα ως μία ενιαία έννοια με δύο φύσεις. Μονάδα μέτρησης της μάζας είναι το 1 kg. Η περεταίρω μελέτη των δύο μαζών απαιτεί γνώση βασικών αρχών της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Οι δύο μάζες είναι πρακτικά ίσες. Ελεύθερη Πτώση Η μελέτη της ελεύθερης πτώσης από τον Γαλιλαίο ήταν η πρώτη απ ευθείας αμφισβήτηση των θεωριών του Αριστοτέλης περί κίνησης των σωμάτων. Ο Αριστοτέλης υποστήριζε πως όταν αφήσουμε δύο σώματα ελεύθερα να πέσουν, το σώμα με τη μεγαλύτερη μάζα θα φθάσει πρώτο στο έδαφος. Παρόλο που αρκετοί είχαν παρατηρήσει πως κάτι τέτοιο δεν ισχύει εκτελώντας σχετικά εύκολα πειράματα, κανείς δεν είχε τολμήσει να αντιταχθεί στον Έλληνα φιλόσοφο. Πρώτος ο Γαλιλαίος αμφισβήτησε ευθέως την άποψη αυτή και απέδειξε εύκολα ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει και πως εντός πεδίου βαρύτητας όλα τα σώματα, ανεξάρτητα της μάζας τους, όταν αφεθούν από το ίδιο ύψος χρειάζονται τον ίδιο χρόνο προκειμένου να φθάσουν στο έδαφος. 46

48 Οι εξισώσεις κίνησης που χρησιμοποιούμε τώρα είναι οι: h 1 g t και u g t (7) Δηλαδή τα σώματα εκτελούν επιταχυνόμενη κίνηση με κατακόρυφη διεύθυνση προς το έδαφος, η μάζα δεν παίζει κάποιο ρόλο. Το κυριότερο είναι πως όλα τα σώματα κινούνται με την ίδια ακριβώς επιτάχυνση, την επιτάχυνση της βαρύτητας. ΟΛΑ ΤΑ ΣΩΜΑΤΑ ΟΤΑΝ ΕΚΤΕΛΟΥΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ, ΤΗΝ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ, g. 47

49 Μεθοδολογία Βασικές Αρχές Πρώτα απ όλα φτιάχνουμε πάντα σχήμα και τοποθετούμε στο σχήμα όλες τις δυνάμεις που μας δίνονται στην εκφώνηση. Έτσι θα μας είναι πιο εύκολο να καταλάβουμε προς τα πού θα κινηθεί το σώμα. Την φορά κίνησης την θεωρούμε και θετική φορά. Τώρα πρέπει να διακρίνουμε τις περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή της συνισταμένης δύναμης. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν τότε το σώμα είτε θα εκτελεί ΕΟΚ είτε θα είναι ακίνητο. Αυτό θα μας το ξεκαθαρίζει η εκφώνηση. Αν το σώμα εκτελεί ΕΟΚ τότε χρησιμοποιώ τη μεθοδολογία που μάθαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων δεν είναι μηδέν τότε το σώμα θα εκτελεί ΕΟΜΚ. Προσοχή όμως αν η συνισταμένη είναι θετική τότε η κίνηση θα είναι επιταχυνόμενη, αλλιώς θα είναι επιβραδυνόμενη. Πάλι εργαζόμαστε όπως μάθαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Συνήθως όμως στην ΕΟΜΚ θα έχουμε πιο σύνθετα προβλήματα, με δυνάμεις που καταργούνται κατά τη διάρκεια της κίνησης. Σύνθεση Δυνάμεων Αρχικά παρατηρούμε τις δυνάμεις στο σώμα. Αν αυτές είναι ομόρροπες τότε τις προσθέτουμε και το άθροισμα είναι η συνισταμένη δύναμη. Αν οι δυνάμεις είναι αντίρροπες τότε η συνισταμένη δύναμη είναι η διαφορά των δυνάμεων. Τέλος αν οι δυνάμεις είναι κάθετες τότε εφαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα για τον υπολογισμό της συνισταμένης δύναμης. 48

50 Λυμένο Παράδειγμα 1 Σ ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη και να τη σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα. Λύση Παρατηρούμε πως οι δύο δυνάμεις είναι αντίρροπες. Επομένως για τον υπολογισμό της συνισταμένης δύναμης αρκεί να τις αφαιρέσουμε. Άρα θα έχουμε: F 15 5 F 10N Και στο σχήμα τώρα θα έχουμε την παρακάτω εικόνα: 49

51 Λυμένο Παράδειγμα Σ ένα σώμα ασκείται μία δύναμη, τότε: x 8t F 10N, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η εξίσωση κίνησης του σώματος είναι η i. Να βρείτε το είδος κίνησης που κάνει το σώμα. ii. iii. iv. Να υπολογίσετε τη ταχύτητα του σώματος. Να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα. Να σχεδιάσετε στο σχήμα όλες τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό. Λύση i. Παρατηρούμε πως η εξίσωση κίνησης είναι η x 8t, πρωτοτάξια εξίσωση ως προς τον χρόνο, επομένως το σώμα εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση. ii. Από την εξίσωση κίνησης καταλαβαίνουμε εύκολα ότι u 8 m s iii. Αφού το σώμα εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση τότε θα ισχύει F 0 iv. Για να είναι η συνισταμένη δύναμη μηδέν θα πρέπει να ασκείται στο σώμα ακόμη μία δύναμη με φορά προς τα αριστερά και μέτρου 10 Ν κι αυτή. Άρα το τελικό σχήμα θα είναι το παρακάτω: 50

52 Λυμένο Παράδειγμα 3 Σ ένα σώμα μάζας m 1. 5kg ξεκινάει από την ηρεμία. Να υπολογίσετε: ασκείται μία δύναμη F1 6N και F 1N, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα i. Τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα. ii. iii. Να χαρακτηρίσετε την κίνηση του σώματος. Να δώσετε τις εξισώσεις κίνησης. Λύση i. Οι δύο δυνάμεις είναι αντίρροπες άρα αρκεί να τις αφαιρέσουμε για να βρούμε την συνισταμένη δύναμη. Θα έχουμε δηλαδή: F F F 1 6 6N 1 ii. Η συνισταμένη κίνηση είναι διάφορη του μηδενός άρα το σώμα εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλά F 6 Μεταβαλλόμενη Κίνηση, με επιτάχυνση a a 4m. m 1.5 s iii. Αφού το σώμα ξεκινάει από την ηρεμία θα ισχύει u 0 0. Επομένως θα έχουμε: x 1 a t 1 4 t x t u at 4t u 4t 51

53 Λυμένο Παράδειγμα 4 Ένα σώμα κινείται όπως φαίνεται στο σχήμα. Η συνισταμένη δύναμη είναι t 5s έχει ταχύτητα u 0 m s. i. Να χαρακτηρίσετε την κίνηση ως επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη. F 3N και την χρονική στιγμή ii. iii. iv. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της κίνησης. Να υπολογίσετε την μάζα του σώματος. Να δώσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου. Λύση i. Παρατηρούμε πως η ταχύτητα και η δύναμη είναι ομόρροπες άρα η κίνηση είναι επιταχυνόμενη. ii. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι η u a t, άρα για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης θα έχουμε: u 0 a a a 4m t 5 s F 3 iii. Για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης θα έχουμε: F m a ή m m 8kg a 4 iv. Η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι η θα είναι όπως φαίνεται παρακάτω: x 1 a t ή x t. Επομένως η γραφική παράσταση 5

54 Λυμένο Παράδειγμα 5 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας ενός σώματος συναρτήσει του χρόνου. Να υπολογίσετε: i. Την επιτάχυνση του σώματος ii. Την απόσταση που θα έχει διανύσει μέχρι τη χρονική στιγμή 10s. 53

55 iii. Την συνισταμένη δύναμη που του ασκείται αν το βάρος του είναι 15Ν. Δίνεται g 10m s Λύση i. Για την επιτάχυνση ισχύει: u a t, δηλαδή πρέπει να επιλέξουμε από το γράφημα δύο χρονικές στιγμές όπου η ταχύτητα είναι γνωστή. Για παράδειγμα επιλέγουμε την χρονική στιγμή t 0, όπου u 0 και t 5s, όπου u 40 m s 40 0 Επομένως θα έχουμε: a a 8 m s 5 0 ii. Θα υπολογίσουμε την μετατόπιση από το γράφημα, υπολογίζοντας το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν. Το τρίγωνο έχει βάση 10 και ύψος 80 άρα θα ισχύει: x x 400m 54

56 B 15 iii. Το βάρος του σώματος είναι 15Ν άρα θα ισχύει: B m g m m 1. 5kg. g 10 Επομένως για την συνισταμένη δύναμη θα ισχύει: F ma F 1N Λυμένο Παράδειγμα 6 Αφήνουμε από ύψος h 180m ένα σώμα ελεύθερο να πέσει. Να υπολογίσετε: i. Τον χρόνο που χρειάζεται για να φθάσει στο έδαφος. ii. Την ταχύτητα που θα έχει λίγο πριν φθάσει στο έδαφος. Δίνεται g 10m s Λύση 1 i. Αφού το σώμα αφήνεται ελεύθερο έχουμε μελέτη ελεύθερης πτώσης. Άρα θα ισχύει ότι h g t. h 180 Οπότε για τον υπολογισμό του χρόνου θα έχουμε t 36 t 6s g 10 ii. Το σώμα θα φθάσει στο έδαφος με ταχύτητα: u g t u 106 u 60m s 55

57 Κεφάλαιο 3 Δυναμική στο επίπεδο 56

58 Βασικές Έννοιες Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε οριζόντιες δυνάμεις και την σύνθεσή τους, τη δημιουργία δηλαδή της συνισταμένης δύναμης. Στον κόσμο μας όμως μπορεί να συναντήσουμε δυνάμεις οι οποίες να σχηματίζουν τυχαία γωνία με τον οριζόντιο άξονα ή να είναι κάθετες. Επιπλέον δεν έχουμε μελετήσει τον 3 ο Νόμο του Νεύτωνα καθώς και δυνάμεις που ασκούνται σε σώματα από άλλα σώματα. Όλα αυτά θα τα μελετήσουμε σ αυτό το κεφάλαιο. 3 ος Νόμος του Νεύτωνα Δράση Αντίδραση Από το Γυμνάσιο έχουμε μάθει την έννοια της αλληλεπίδρασης. Τα σώματα έχουμε μάθει ότι αλληλεπιδρούν. Ένα απλό παράδειγμα είναι όταν ασκούμε μία δύναμη σ ένα τραπέζι προκειμένου να το μετακινήσουμε. Σύμφωνα όμως με τον 3 ο Νόμο του Νεύτωνα, που πλέον θα μάθουμε, και το τραπέζι με τη σειρά του μας ασκεί μία δύναμη, ίση κατά μέτρο και αντίθετης φοράς, δηλαδή: F 1 F 1 (1) ΟΤΑΝ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΟΥΝ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΑΣΚΕΙ ΔΥΝΑΜΗ F ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ, ΤΟΤΕ ΚΑΙ ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΑΣΚΕΙ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΔΥΝΑΜΗ F ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ. Άρα σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα δεν μπορούν να υπάρξουν μεμονωμένες δυνάμεις, οι δυνάμεις εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη, την μία την καλούμε δράση και την άλλη αντίδραση. Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε είναι πως οι δυνάμεις αυτές δρουν σε διαφορετικά σώματα. 57

59 Ένα απλό παράδειγμα δυνάμεων δράσηςαντίδρασης από το σχολικό βιβλίο. Το χέρι μας ασκεί δύναμη στο ελατήριο και το ελατήριο στο χέρι μας. Δυνάμεις από επαφή και απόσταση Μπορούμε να χωρίσουμε τα είδη δυνάμεων σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στις δυνάμεις από επαφή και από απόσταση. Δυνάμεις από επαφή είναι αυτές που τα δύο σώματα πρέπει να έρθουν σε επαφή προκειμένου να ασκήσει το ένα δύναμη στο άλλο. Τέτοιες είναι η δύναμη τριβής, η τάση του νήματος, η δύναμη του ελατηρίου, η κάθετη δύναμη που ασκεί η επιφάνεια σε ένα σώμα, η άνωση, η αντίσταση του αέρα. Για να υπολογίσουμε το πλήθος των δυνάμεων επαφής που ασκούνται σ ένα σώμα αρκεί να υπολογίσουμε με πόσα άλλα σώματα έρχεται σε επαφή. Δυνάμεις από απόσταση είναι αυτές που τα δύο σώματα δεν είναι ανάγκη να έρθουν σε επαφή προκειμένου να ασκηθούν από το ένα σώμα στο άλλο. Τέτοιες δυνάμεις είναι η βαρυτική, η ηλεκτρική και η μαγνητική. Σ ένα σώμα υπάρχει περίπτωση ν ασκούνται δυνάμεις από επαφή και από απόσταση. Για παράδειγμα όταν περπατάμε, μας ασκείται η τριβή από το έδαφος και η βαρυτική από τη Γη. 58

60 Σύνθεση Δυνάμεων στο επίπεδο Ας δούμε τώρα τι γίνεται όταν έχουμε σύνθεση δυνάμεων που δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Στο δίπλα σχήμα βλέπουμε παραστατικά δύο δυνάμεις που ασκούνται στο ίδιο σημείο αλλά προς διαφορετικές συνθήκες. Οι δύο δυνάμεις αυτές σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Οι πλευρές του είναι ίσες με το μέτρο του διανύσματος των δύο δυνάμεων. Το μέτρο της συνολικής δύναμης το δίνει η διαγώνιος, όσο είναι δηλαδή το μήκος της είναι και το μέτρο της συνολικής δύναμης. Την κατεύθυνση μας την δίνει μία από τις γωνίες θ ή φ. Ειδική περίπτωση είναι αν η F 1 είναι κάθετη στην F. Τότε σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουμε ότι F ol F F (). x y Μας ενδιαφέρει όμως και η γωνία θ, μεταξύ της συνισταμένης και της οριζόντιας δύναμης. Fy Εφαρμόζοντας βασικές γνώσεις τριγωνομετρίας θα έχουμε: (3). F x Υπάρχει και η περίπτωση να δράσουμε αντίθετα, δηλαδή να χρειαστεί να αναλύσουμε μία δύναμη σε συνιστώσες της. Κάτι τέτοιο θα μας φανεί χρήσιμο για παράδειγμα όταν έχουμε κίνηση σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο. Ένα απλό παράδειγμα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Το σώμα κινείται λόγω του βάρους, το οποίο όμως σχηματίζει τυχαία γωνία θ με το επίπεδο κίνησης. Αναλύουμε το βάρος σε δύο κάθετους άξονες και μπορούμε πλέον να προχωρήσουμε στην επίλυση της άσκησης. Με χρήση απλή γεωμετρίας μπορούμε να εξάγουμε τους εξής δύο τύπους σ αυτή την περίπτωση: 59

61 W y W x W και W Τριβή Τέλος σ αυτό κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη δύναμη της τριβής. Η τριβή όπως είδαμε και παραπάνω είναι μία δύναμη που οφείλεται στην επαφή δύο σωμάτων. Ο καθένας μας θα έχει παρατηρήσει ότι δεν μπορούμε να περπατήσουμε το ίδιο εύκολα σε όλες τις επιφάνειες. Για παράδειγμα σε μία γυαλιστερή επιφάνεια π.χ. πάγος γλιστράμε και δεν μπορούμε να κινηθούμε εύκολα καθότι γλιστράμε. Επίσης όταν ένα αυτοκίνητο βρεθεί σε λασπωμένο έδαφος μπορεί να κολλήσει και να μην μπορεί να προχωρήσει. Το έδαφος πάντα μας ασκεί την δύναμη της τριβής κατά την κίνηση μας. Θα μελετήσουμε στη συνέχεια την τριβή ολίσθησης και την στατική τριβή. Τριβή Ολίσθησης Όταν ένα σώμα γλιστράει, δηλαδή ολισθαίνει, σε μία επιφάνεια τότε η επιφάνεια του ασκεί μία δύναμη. Η δύναμη αυτή ονομάζεται τριβή ολίσθησης ή πιο απλά τριβή. Η τριβή ολίσθησης μας επιτρέπει να περπατάμε, να κρατάμε αντικείμενα, στα τροχοφόρα οχήματα να κινούνται κ.α. 60

62 Στατική Τριβή Θα μελετήσουμε το παρακάτω σχήμα. Έχουμε ένα σώμα που κινείται σ ένα επίπεδο επειδή του ασκείται μία οριζόντια δύναμη F. Στο σχήμα βέβαια φαίνονται όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Αρχικά ασκείται το βάρος του, W, κάθετο στην κίνηση, καθώς και η κάθετη αντίδραση, N. Το έδαφος επίσης ασκεί δύναμη τριβής στο σώμα, την Τ. Ανάλογα την τιμή της οριζόντιας δύναμης F θα εξαρτηθεί και η μελέτη που θα κάνουμε. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: 1. Η οριζόντια δύναμη είναι μικρότερη της τριβής Σ αυτή την περίπτωση το σώμα δεν κινείται. Η οριζόντια δύναμη δεν είναι ικανή να προκαλέσει μεταβολή στην κινητική κατάσταση του σώματος. Το σώμα παραμένει στατικό και γι αυτό η τριβή ονομάζεται στατική.. Η τριβή είναι ίση με την οριζόντια δύναμη Αυξάνουμε την οριζόντια δύναμη και κάποια στιγμή παρατηρούμε πως το σώμα ξεκινάει να γλιστρά στην επιφάνεια. Η στατική τριβή έχει πάρει πλέον τη μέγιστη τιμή και λέγεται οριακή τριβή. 61

63 Η στατική τριβή δεν έχει συγκεκριμένη τιμή. Η τιμή της κυμαίνεται από μηδέν έως τη τιμή της οριακής τριβής. Επιπλέον η τιμή της τριβής ολίσθησης είναι μικρότερη από την οριακή τριβή. Δηλαδή: 0 T T και T T (4) Γενικά η τριβή ολίσθησης μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: T N (5), όπου μ ο συντελεστής της τριβής ολίσθησης και Ν η κάθετη αντίδραση του εδάφους. 6

64 Μεθοδολογία Η λογική της επίλυσης σ αυτό το κεφάλαιο δεν αλλάζει από του προηγούμενου. Όπως και πριν το σχήμα είναι απαραίτητο για την επίλυση της άσκησης. Επιπλέον πρέπει να σχεδιάσουμε προσεχτικά σε κάθε σώμα τις δυνάμεις που του ασκούνται προκειμένου να εργαστούμε με μεγαλύτερη ευκολία. Μεγάλη προσοχή πρέπει να δώσουμε κάθε φορά στην τριβή, όσο αφορά το είδος. Επιπλέον δεν πρέπει να ξεχνάμε να υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της συνισταμένης δύναμης και της οριζόντιας συνιστώσας. Λυμένο Παράδειγμα 1 Σ ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη και να τη σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα. Λύση 63

65 Παρατηρούμε πως οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι κάθετες μεταξύ τους άρα εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα για τον υπολογισμό της συνισταμένης δύναμης, η οποία ουσιαστικά θα είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Οι δύο κάθετες πλευρές θα έχουν μέτρο ίσο με το μέτρο τις κάθε δύναμης, δηλαδή η μία 6 και η άλλη 8. Επομένως θα έχουμε: F F N Η γωνία θ θα είναι: F F y x Για την χάραξη της συνιστάμενης δύναμης στο σχήμα η διαδικασία είναι σχετικά απλή και γνωστή από το Γυμνάσιο. Φέρουμε μία παράλληλη γραμμή από την κορυφή καθενός «βέλους» προς το άλλο. Στο σημείο που τέμνονται οι δύο παράλληλες θα είναι η κορυφή του νέου «βέλους», της συνισταμένης δύναμης. Αρχή του «βέλους» θα είναι το σημείου που τέμνονται αρχικά τα δύο «βέλη». Η σωστή ορολογία δεν είναι «βέλος» αλλά διάνυσμα. Τα διανύσματα όμως δεν τα έχετε διδαχθεί ακόμα στα μαθηματικά. Λυμένο Παράδειγμα 64

66 στιγμή Ένα σώμα μάζας t 0 m 4kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου u 5m / s. Τη χρονική, ασκείται στο σώμα, δύναμη ίδιας κατεύθυνσης με τη ταχύτητά του και μέτρου 0Ν, οπότε το σώμα κινείται με επιτάχυνση το μέτρο της οποίας είναι ίσο με 4m / s 0 i. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του σώματος, από τη χρονική στιγμή t 0, μέχρι τη στιγμή t1 5s ii. Να εξετάσετε αν ασκείται στο σώμα δύναμη τριβής και αν ασκείται, τότε να υπολογίσετε το μέτρο της. iii. Να χαρακτηρίσετε το είδος της τριβής και να υπολογίσετε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, μ. Λύση Αρχικά κάνουμε το σχήμα της άσκησης το οποίο φαίνεται παρακάτω: Αρχικά τοποθετούμε στο σχήμα τις δυνάμεις που ξέρουμε ότι του ασκούνται. Το βάρος και η κάθετη αντίδραση είναι κάθετα στην κίνηση άρα δεν την επηρεάζουν. Προχωράμε τώρα στην επίλυση της άσκησης. 65

67 i. Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Η επιτάχυνση του είναι a 4m / s και η αρχική του ταχύτητα 0 s θα ισχύει: u 5m /. Επομένως τη χρονική στιγμή t1 5s 1 1 x1 uo t1 a t x1 75m ii. Κάνουμε χρήση του ου Νόμου του Νεύτωνα για τον υπολογισμό της συνισταμένης δύναμης. Θα έχουμε: F m a F N Άρα στο σώμα ασκείται κι άλλη δύναμη με αντίθετη φορά απ αυτή της F. Η δύναμη αυτή είναι η τριβή και θα έχει μέτρο: F 16N F T 16 0T 16 T 4N iii. Το σώμα κινείται και του ασκείται τριβή. Άρα στο σώμα ασκείται τριβή ολίσθησης. Για τον υπολογισμό του συντελεστή τριβής θα έχουμε: 66

68 T N T N T mg

69 Κεφάλαιο 4 Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας 68

70 Βασικές Έννοιες Τελευταίο κομμάτι της φετινής διδακτικής ύλης είναι η ενέργεια. Τον όρο ενέργεια τον ακούτε στη φυσική από το δημοτικό, αλλά κανένας δεν μπήκε στον κόπο να σας εξηγήσει τι είναι. Και λογικό εν μέρει αφού, όσο παράξενο και αν σας ακουστεί, δεν ξέρουμε τι ακριβώς είναι. Το μόνο που γνωρίζουμε είναι πως είναι ένα μέγεθος μονόμετρο, το οποίο πάντα διατηρείται σταθερό και μπορεί να αλλάζει μορφές. Έχουμε μάθει λοιπόν διάφορα είδη ενέργειας κατά καιρούς, την φωτεινή, την ηλεκτρική, την κινητική, την δυναμική κ.α. Έχετε μάθει επίσης πως η ενέργεια μπορεί να μετατρέπεται από τη μία μορφή σε άλλη (π.χ. η ηλεκτρική ενέργεια που διαρρέει ένα κύκλωμα μετατρέπεται σε φωτεινή στη λάμπα και έτσι έχουμε το φως). Επιπλέον η ενέργεια μπορεί να μεταφερθεί από ένα σώμα σε κάποιο άλλο. ΤΟ ΠΟΣΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΜΟΡΦΗ ΣΕ ΜΙΑ ΑΛΛΗ Ή ΜΕΤΑΦΕΡΕΤΑΙ ΑΠΟ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΣΕ ΚΑΠΟΙΟ ΑΛΛΟ, ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΕΡΓΟ. Υπολογισμός Έργου Η ύπαρξη του έργου οφείλεται πάντα στην επίδραση κάποιας δύναμης. Επίσης μας ενδιαφέρει ποια είναι η μετατόπιση του σώματος ενώ δρα αυτή η δύναμη. Το γινόμενο της δύναμης F, που εμφανίζεται σε κάθε μεταφορά ή μετατροπή ενέργειας, επί τη μετατόπιση x του σημείου εφαρμογής της κατά την διεύθυνση της, το ονομάζουμε έργο. Δηλαδή για τον υπολογισμό του έργου κάνουμε χρήση της σχέσης: W F x (1) Το έργο δεν παύει να είναι κι αυτό ενέργεια επομένως μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το 1 Joule. Για να ισχύουν τα παραπάνω πρέπει όμως να ισχύουν και δύο προϋποθέσεις: 1. Η δύναμη F είναι σταθερή καθ όλη την διάρκεια της κίνησης.. Η διεύθυνση της δύναμης και της μετατόπισης του σημείου εφαρμογής είναι ομόρροπες. 69

71 Δύναμη και μετατόπιση είναι στην ίδια διεύθυνση. Το έργο υπολογίζεται από τη σχέση: W F x Σε περίπτωση η διεύθυνση της δύναμης και της μετατόπισης του σημείου εφαρμογής δεν είναι ομόρροπες χρησιμοποιούμε την σχέση: W F x (), όπου θ η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των δύο διευθύνσεων. Δύναμη και μετατόπιση δεν είναι στην ίδια διεύθυνση. Φροντίζουμε η x συνιστώσα της δύναμης να είναι στην ίδια διεύθυνση με την μετατόπιση του σημείου εφαρμογής. Το έργο υπολογίζεται από τη σχέση: W F x Πλέον παρατηρούμε πως το μέτρο του έργου ανάλογα την γωνία μπορεί να είναι θετικό (αν 0 0 ). ), μηδέν (αν 0 90, δηλαδή αν οι δύο διευθύνσεις είναι κάθετες) και αρνητικό (αν Όταν το έργο είναι θετικό σημαίνει πως η ενέργεια προσφέρεται στο σώμα που ασκείται η δύναμη ενώ αν είναι αρνητικό σημαίνει πως η ενέργεια αφαιρείται από το σώμα. Για παράδειγμα μία δύναμη που κινεί ένα σώμα του προσφέρει ενέργεια και αυτή ουσιαστικά δίνεται στο σώμα ως κινητική ενέργεια (θετικό έργο). Από την άλλη η τριβή ενός σώματος με το έδαφος του μειώνει την ταχύτητα άρα του αφαιρεί ενέργεια και τη μετατρέπει σε θερμότητα (αρνητικό έργο). 70

72 Τέλος όταν η δύναμη δεν είναι σταθερή για τον υπολογισμό του έργου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γράφημα F-x και από το εμβαδόν που παίρνουμε, από την καμπύλη και τον οριζόντιο άξονα, υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. Γενικά σε οποιαδήποτε περίπτωση το έργο θα δίνεται από το εμβαδό της καμπύλης με τον οριζόντιο άξονα. Έργο Σταθερής Δύναμης Έργο Μεταβλητής Δύναμης 71

73 Και στις δύο περιπτώσεις το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του οριζόντιου άξονα μας δίνει το έργο της δύναμης. Έργο Βάρους και μεταβολή Κινητικής Ενέργειας Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με το έργο του βάρους και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας. Για τις ανάγκες της μελέτης μας θα εκτελέσουμε το εξής απλό πείραμα. Είμαστε σε ένα μπαλκόνι και αφήνουμε μία μπάλα να πέσει. Το ερώτημα που πρέπει να απαντήσουμε είναι, «ποια δύναμη ευθύνεται για την κίνηση της μπάλας;». Η απάντηση σχετικά απλή και την έχουμε δει και σε άλλες μελέτες που έχουμε κάνει, είναι το βάρος του σώματος. Ποιο ποσό ενέργειας είναι αυτό που αποθηκεύεται στο σώμα εξαιτίας του βάρους ή πιο απλά Ποιο είναι λοιπόν το έργο του βάρους; Για να το υπολογίσουμε κάνουμε χρήση της σχέσης W F x, όπου: i. η δύναμη τώρα είναι το βάρος του σώματος, άρα F B m g ii. η απόσταση είναι το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα να πέσει, άρα x h iii. η δύναμη και η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής έχουν ίδια φορά και διεύθυνση άρα 1. Οπότε η σχέση γίνεται W m g h Έχουμε μάθει σε παλιότερο κεφάλαιο ότι στην ελεύθερη πτώση ισχύει: h 1 g t και u g t Αν χρησιμοποιήσουμε αυτές τις δύο σχέσεις τότε θα μπορέσουμε να εξάγουμε την εξής: 7

74 W W m g h m g 1 m u (3) 1 g t 1 m g t Από την τελευταία σχέση παρατηρούμε ότι το έργο του βάρους είναι ίσο με την Κινητική Ενέργεια του σώματος. Βασιζόμενοι σ αυτό το πόρισμα λοιπόν μπορούμε να θεωρήσουμε πως το έργο κάθε δύναμης που είναι υπαίτιο για την κίνηση ενός σώματος είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. Η ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ ΤΟ ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΔΡΟΥΝ ΠΑΝΩ ΤΟΥ, Ή ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ, ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ ΤΟ ΕΡΓΟ ΗΣ ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ. Δηλαδή θα ισχύει ότι: K W F W F (4). Η παραπάνω γενίκευση είναι γνωστή κι ως Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ). Δυναμική Ενέργεια Τώρα θα μελετήσουμε το εξής πείραμα. Θέλουμε να ανυψώσουμε ένα αντικείμενο. Πιο θα είναι το έργο της δύναμης που του ασκούμε; Για να απαντήσουμε τώρα αυτό το ερώτημα πρέπει να κάνουμε κάποιες απλές παραδοχές προκειμένου να λυθεί πιο εύκολα το πρόβλημα. i. Το σώμα για να μπορέσει να κινηθεί αρκεί να του ασκήσουμε δύναμη ίση με το βάρος του, τότε θα ισχύει ότι F 0 άρα το σώμα θα εκτελεί ΕΟΚ. ii. Επίσης η μετατόπιση και η δύναμη που θα του ασκούμε θα είναι προς την ίδια φορά και διεύθυνση για ευκολία μας. 73

75 Μ αυτές τις παραδοχές θα ισχύει ότι: W F B h m g h (5) Την ποσότητα αυτή την ονομάζουμε δυναμική βαρυτική ενέργεια, U, ή για ευκολία απλά δυναμική ενέργεια.. Παρατηρούμε ότι δεν έχει να κάνει με την κινητική κατάσταση του σώματος. Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης είναι η ενέργεια που έχει το σώμα λόγω της θέσης του, δηλαδή U m g h Μηχανική Ενέργεια Μέχρι τώρα έχουμε δει ότι ένα σώμα μπορεί να έχει ενέργεια επειδή κινείται, Κινητική Ενέργεια, και να έχει ενέργεια λόγω της θέσης που βρίσκεται, Δυναμική Ενέργεια. Κάνουμε λοιπόν το εξής πείραμα. Παίρνουμε ένα μπαλάκι και την αφήνουμε να πέσει ελεύθερα από κάποιο ύψος h. Αρχικά το μπαλάκι είναι ακίνητο στο χέρι μας. Μέχρι να το αφήσουμε ελεύθερο έχει μόνο δυναμική ενέργεια. Όταν το μπαλάκι αρχίσει να κινείται, η δυναμική ενέργεια θα μειωθεί, αφού πλησιάζει προς την επιφάνεια της Γης, αλλά η κινητική ενέργεια αυξάνεται, αφού πριν ήταν ακίνητο. Λίγο πριν χτυπήσει το έδαφος, η δυναμική ενέργεια θα έχει γίνει μηδέν, ενώ η κινητική ενέργεια θα έχει γίνει μέγιστη. Όταν το μπαλάκι αναπηδήσει στο έδαφος (και με την προϋπόθεση πως δεν υπάρχουν απώλειες) τότε αυτό θα αρχίσει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Η δυναμική ενέργεια τώρα θα αυξάνεται ενώ η κινητική θα μειώνεται μέχρι να φθάσει στο αρχικό σημείο απ όπου το αφήσαμε όπου θα σταματήσει προσωρινά. Στη συνέχεια η κίνηση θα επαναλαμβάνεται, καθώς έχουμε κάνει την υπόθεση πως δεν υπάρχουν τριβές. Αν, σε κάθε θέση, προσθέσουμε την κινητική και την δυναμική ενέργεια, θα παρατηρήσουμε πως το άθροισμα των δύο ενεργειών θα είναι πάντα σταθερό, δηλαδή K U. Το άθροισμα αυτό το ονομάζουμε μηχανική ενέργεια, E, και είναι πάντα σταθερή, δηλαδή E K U (6). 74

76 Ισχύς Τελευταίο μέγεθος που θα μελετήσουμε είναι η ισχύς, P. Η ισχύς ουσιαστικά μας δείχνει πως αξιοποιεί ο κάθε κινητήρας, ή οποιοδήποτε μηχανή, την ενέργεια που παράγει στη μονάδα του χρόνου. Δηλαδή η ισχύς είναι το πηλίκο του έργου που παράγει η μηχανή, προς το χρονικό διάστημα στο οποίο αυτό παρήχθη, W P t (7). Η ΙΣΧΥΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΡΥΘΜΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΟΠΟΙΟ ΠΑΡΑΓΕΙ ΕΡΓΟ Ο ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ Μονάδα μέτρησης της ισχύς στο S.I. είναι το Watt, χρησιμοποιούμε είναι ο ίππος (HP), όπου 1HP W. 1W 1 J s. Άλλη μονάδα μέτρησης που Τέλος το έργο δίνεται από τη σχέση W F x, επομένως θα έχουμε: W P t F x t F u (8) 75

77 Μεθοδολογία Οι ασκήσεις αυτού του κεφαλαίου είναι σχετικά οι πιο απαιτητικές που θα συναντήσουμε. Ο λόγος ότι χρειάζεται να εφαρμόσουμε πλέον ότι μάθαμε όλη τη χρονιά στο μάθημα της φυσικής. Για την επίλυση λοιπόν των ασκήσεων θα χρειαστούμε να σκεφτούμε πιο σύνθετα και να συνδυάσουμε τις γνώσεις μας. Σε μαθηματικό επίπεδο δεν θα συναντήσουμε δυσκολίες. Το σχήμα είναι πάντα απαραίτητο προκειμένου να λύσουμε την άσκηση και να βοηθήσουμε πρώτα απ όλα τον εαυτό μας. Μεγάλη προσοχή πρέπει να δίνουμε και στη δύναμη που μελετάμε. Αν είναι σταθερή ή όχι η δύναμη που δημιουργεί το έργο θα χρησιμοποιήσουμε και τα κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία. Επίσης στη θεωρία κάναμε λόγο για την γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του διανύσματος της δύναμης και της μετατόπισης του σημείου εφαρμογής. Για διευκόλυνσή μας θα χρησιμοποιούμε την γωνία μεταξύ της δύναμης και της ταχύτητας. Άρα μας ενδιαφέρει η φορά κίνησης και η φορά της δύναμης. Λυμένο Παράδειγμα 1 Μικρό σώμα μάζας m kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης Τη χρονική στιγμή t 0 0, στο σώμα αρχίζει να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη F 30N μέχρι τη χρονική στιγμή t1 3s, οπότε παύει να ασκείται η δύναμη. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g 10m s i. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: ii. iii. Το έργο της F στη χρονική διάρκεια που ασκείται στο σώμα Τη χρονική στιγμή που το σώμα θα σταματήσει να κινείται iv. Τη μετατόπιση του σώματος από τη χρονική στιγμή t 0 0 μέχρι να σταματήσει την κίνησή του 76

78 Λύση i. Για τον υπολογισμό της τριβής ολίσθησης χρησιμοποιούμε τη σχέση που μάθαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο: T N T m g T 10N ii. Όσο ασκείται η F στο σώμα αυτό κινείται επιταχυνόμενο με ολική δύναμη F F T 0N, άρα το σώμα έχει επιτάχυνση F 0 F m a1 a1 a 10m s. m Άρα το σώμα θα έχει μετακινηθεί κατά: x a t 10 3 x 45m Άρα το έργο της F θα είναι WF F x 3045W J F iii. Την χρονική στιγμή t1 3s η δύναμη παύει να ασκείται στο σώμα, το σώμα έχει φορά κίνησης προς τα δεξιά ενώ η συνισταμένη των δυνάμεων είναι προς τα αριστερά. Άρα το σώμα εκτελεί τότε επιβραδυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση μέτρου T 10 a a 5 m s και αρχική m ταχύτητα u0 a1 t u u0 30m θα είναι: s, άρα η εξίσωση κίνησης μετά την παύση της F x u t.5t και t 77

79 Όταν το σώμα σταματήσει να κινείται θα έχει u 0 άρα θα ισχύει: 30 5t 0 5t 30t 6s iv. Η συνολική μετατόπιση του σώματος θα είναι s x 1 x. Το x 1 υπολογίστηκε στο δεύτερο ερώτημα και είναι x1 45m. Για το x θα ισχύει: 6 x x 90m Άρα συνολικά θα έχει μετατοπιστεί κατά s m Λυμένο Παράδειγμα Σε σώμα μάζας μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση υπολογίσετε: m kg το οποίο βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται δύναμη F η οποία i. Το έργο της F στη χρονική διάρκεια που ασκείται στο σώμα ii. Τη κινητική ενέργεια που έχει το σώμα στη θέση x 10m F 3x 15 μέχρι το σώμα να φθάσει στη θέση x 10m. Να iii. Την τελική του ταχύτητα. 78

80 Λύση i. Η δύναμη σ αυτή την περίπτωση δεν είναι σταθερή. Άρα για να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης πρέπει να κάνουμε τη γραφική παράσταση της δύναμης με την μετατόπιση. Το σώμα ξεκινάει από την θέση και φθάνει έως τη θέση και η εξίσωση που μας δίνει τη δύναμη η F 3x 15, μία απλή πρωτοβάθμια εξίσωση. Άρα η γραφική θα είναι η παρακάτω: x 0 x 10m Το σχήμα που έχει δημιουργηθεί είναι ένα τραπέζιο το οποίο φαίνεται καλύτερα στην παρακάτω εικόνα: 79