Κ. Μουστάκας Ι. Παλιόκας Α. Τσακίρης Δ. Τζοβάρας ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ

Transcript

1 Κ. Μουστάκας Ι. Παλιόκας Α. Τσακίρης Δ. Τζοβάρας ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ

2 ΚΩΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΟΥΣΤΑΚΑΣ Επ. Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πατρών ΙΩΑΝΝΗΣ ΠΑΛΙΟΚΑΣ Μεταδιδακτορικός Ερευνητής, ΙΠΤΗΛ, EKETA ΘΑΝΟΣ ΤΣΑΚΙΡΗΣ Βοηθός Έρευνας, ΙΠΤΗΛ, ΕΚΕΤΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΖΟΒΑΡΑΣ Ερευνητής Α, Διευθυντής ΙΠΤΗΛ, ΕΚΕΤΑ ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 2

3 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Συγγραφή Κωνσταντίνος Μουστάκας Ιωάννης Παλιόκας Αθανάσιος Τσακίρης Δημήτριος Τζοβάρας Κριτικός αναγνώστης Νικόλαος Νικολαΐδης Συντελεστές έκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σοφία Σέγκουλη ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Παλιόκας, Ιωάννα Πετρή ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ: Ιωάννης Παλιόκας, Αθανάσιος Τσακίρης Copyright ΣΕΑΒ, 2015 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου ISBN:

4 Περιεχόμενα Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια...10 Πρόλογος...13 Κεφάλαιο 1 - Εισαγωγή Εισαγωγικά στοιχεία Σχετικά με το παρόν βιβλίο Προαπαιτούμενα Τρόποι διδασκαλίας Για τον φοιτητή Εισαγωγή στα Γραφικά και στην Εικονική Πραγματικότητα Ένα πρακτικό παράδειγμα Σωλήνωση γραφικών Εφαρμογές Διασκέδαση Ιατρική Απεικόνιση πληροφορίας Δεδομένα μεγάλου όγκου Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 2 - Σχεδίαση Εισαγωγή Το πρόβλημα της Σχεδίασης Παραμετρική Αναπαράσταση Ευθείας Παραμετρική Αναπαράσταση Κωνικών Τομών Παραμετρική Αναπαράσταση Καμπυλών Μπεζιέ Σχεδίαση Ευθύγραμμων Τμημάτων Σχεδίαση με βάση την Εξίσωση Ευθείας Αυξητικός Υπολογισμός Ημιτόνων Αλγόριθμος Υπολογισμού Σφάλματος Ο Αλγόριθμος του Bresenham Πυκνότητα Εικονοστοιχείων και Στυλ Γραμμών Σχεδιασμός Χονδρών Γραμμών Σχεδίαση Πολυγώνων Αλγόριθμοι Σχεδίασης Τριγώνου Αλγόριθμοι Σάρωσης Πολυγώνου Έλεγχος Εσωτερικότητας Σημείων Χρωματισμός Εσωτερικού Πολυγώνων Σχεδίαση Καμπυλών Αλγόριθμοι Σχεδίασης Κύκλου Σχεδίαση Καμπυλών Bezier Ταύτιση και Αντιταύτιση Το Θεώρημα Nyquist

5 Το πρόβλημα της Ταύτισης στο Χώρο και στο Χρόνο Αλγόριθμοι Αντιταύτισης Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Εισαγωγή Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Μεταφορά Αλλαγή Κλίμακας Περιστροφή στις 2Δ Περιστροφή στις 3Δ Σύνθετοι 2Δ Μετασχηματισμοί Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενής 2Δ Κλιμάκωση Ομογενής 2Δ Περιστροφή Ομογενής 2Δ Μεταφορά Ομογενείς 2Δ Σύνθετοι Μετασχηματισμοί Δ Ομογενείς Μετασχηματισμοί Ομογενής 3Δ Κλιμάκωση Ομογενής 3Δ Μεταφορά Ομογενής 3Δ Περιστροφή Περιστροφή Γύρω από Τυχαίο Άξονα Προβολές Προοπτική Προβολή Ορθογραφική Προβολή Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 4 Αναπαράσταση Τρισδιάστατων Αντικειμένων Εισαγωγή Καμπύλες Επιφάνειες Μοντελοποίηση και Αναπαράσταση Επιφανειών Παραμετρική Αναπαράσταση Αναλυτικών Επιφανειών Παραμετρική Αναπαράσταση Σύνθετων Επιφανειών Εμβαλωματικές Επιφάνειες Μοντέλα Παράστασης 3Δ Αντικειμένων Το Πολυγωνικό Μοντέλο Ψηφιοποίηση 3Δ Αντικειμένων Διαίρεση Χώρου σε Ογκοστοιχεία Κατασκευαστική Στερεά Γεωμετρία Το Μοντέλο των Συστημάτων Σωματιδίων

6 4.4. Δομές Παράστασης Πολυγωνικού Μοντέλου Δεικτοδοτημένη Λίστα Εδρών Πτερωτή Ακμή Άλλες Δομές Δεδομένων Απλοποίηση Πολυγωνικών Μοντέλων Ομαδοποίηση Κορυφών Συγχώνευση (ή Κατάρρευση) Ακμών Αναπαράσταση του Επιπέδου Λεπτομέρειας Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 5 Χρώμα και Υφή Εισαγωγή Η Χρήση του Χρώματος στις Ψηφιακές Εικόνες Βάθος Χρώματος Η Τεχνική του Μεσοτονισμού (Halftoning) Αναπαράσταση Χρώματος Χρωματικά Μοντέλα Το Μοντέλο RGB Το Μοντέλο CIE ΧΥΖ Το Μοντέλο CMY Το Μοντέλο HSV Άλλα μοντέλα Χάρτης Υφής Επίπεδη Απεικόνιση Κυλινδρική Απεικόνιση Σφαιρική Απεικόνιση Προσανατολισμένη Απεικόνιση Ανακλαστική και Περιβαλλοντική Απεικόνιση Mip-mapping Απόδοση Υφής με Παραμετρική Απεικόνιση Ανάγλυφο Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 6 Μοντέλα Φωτισμού Εισαγωγή Ιδιότητες Μοντέλων Φωτισμού Πηγές Φωτός Σημειακή Πηγή Φωτός Κατευθυντική Πηγή Φωτός Πηγή Προβολέα Το μοντέλο τοπικού φωτισμού Phong

7 Περιβάλλων Φωτισμός Διάχυτη Ανάκλαση Κατοπτρική Ανάκλαση Εκπεμπόμενος φωτισμός Μοντέλο Phong Υπολογισμός Διανυσμάτων Κανονικό Διάνυσμα Διανύσματα φωτισμού και θέασης Διάνυσμα Ανάκλασης Φωτοσκίαση Σταθερή Φωτοσκίαση Φωτοσκίαση Gouraud Φωτοσκίαση Phong Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 7 Διαχείριση Σκηνής Εισαγωγή Πρότυπα και Στιγμιότυπα Αντικειμένων Ιεραρχικά Μοντέλα Αντικειμένων Αρθρωτές Δομές Δεντρικές Δομές και Διάσχιση Δέντρων Γράφοι Σκηνής Μέθοδοι και Παράμετροι Αντικειμενοστραφής σχεδιασμός Βασικές λειτουργίες του Γράφου Σκηνής Μεταφορά Μηνυμάτων Ορατότητα Αντικειμένων και Χωρική Κατάτμηση Ιεραρχίες περιβαλλόντων όγκων Κατάτμηση με Octrees Κατάτμηση με BSPTrees Κατανεμημένη Σχεδίαση Κατανομή στο πεδίο του τρισδιάστατου χώρου Κατανομή στο πεδίο του χρόνου Κατανομή στο πεδίο της εικόνας Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 8 Συνθετική Κίνηση Εισαγωγή Κίνηση βάσει καρέ-κλειδιών Μεταφορά Περιστροφή

8 8.3. Σκελετική κίνηση Δυναμική Δυναμική στερεών σωμάτων Συστήματα σωματιδίων Αριθμητική ολοκλήρωση Δυνάμεις Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 9 Εικονική Πραγματικότητα Εισαγωγή Πεδία Εφαρμογής Αρχιτεκτονική και Πολεοδομικές Εφαρμογές Στρατιωτικές Εφαρμογές Ιατρική Βιομηχανία και Κατασκευές Εκπαίδευση και Επαγγελματική Κατάρτιση Πολιτισμός Μέθοδοι και Υλικά Μέθοδοι Ανίχνευσης Θέσης και Προσανατολισμού Υλικό (Hardware) Το Λογισμικό Το Εικονικό Περιβάλλον Τα avatars Πλοήγηση, Αλληλεπίδραση και Επικοινωνία Αρχιτεκτονικές και Πρότυπα Γενική Αρχιτεκτονική Διαδικασία Εξομοίωσης Ανίχνευση Συγκρούσεων Στοιχεία Φωτισμού Ηχητικά Στοιχεία Κωδικοποίηση Αρχείων, Σκηνών και Λειτουργικότητας Εργαλεία Δημιουργίας Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Κεφάλαιο 10 Επαυξημένη Πραγματικότητα Εισαγωγή Τι είναι η Επαυξημένη Πραγματικότητα; Βασικές Έννοιες και Υλικό Επαυξημένης Πραγματικότητας Αισθητήρες Κάμερα (Υπολογιστική όραση) GPS (Global Positioning System)

9 Γυροσκόπια, Επιταχυνσιόμετρα και άλλοι τύποι Αισθητήρων Αισθητήρες Διεπαφής Χρήστη Επεξεργαστής Προβολή Στοιχεία Λογισμικού Συστημάτων Εικονικής Πραγματικότητας Διεπαφές Επαυξημένης Πραγματικότητας Χειρισμός Πλοήγηση Επικοινωνία Εφαρμογές Επαυξημένης Πραγματικότητας Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Βιβλιογραφία/Αναφορές Παράρτημα

10 Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια APA 3DMLW AABB ACM API ART ATF BOOM BREP BSP CAD CBT CIE CLOD CMY CMYK COLLADA CSG DDA DLOD DOF DOI EOG GPL GPS GPU GUI HD HMD HRTF HSI HSV American Psychological Association (Αμερικάνικος Σύνδεσμος Ψυχολογίας) 3D Markup Language for Web (Γλώσσα για το διαδίκτυο) Axis Aligned Bounding Box (Κουτί οριοθέτησης προσανατολισμένο με τους άξονες) Association for Computing Machinery (Σύνδεσμος για Υπολογιστικά Μηχανήματα) Application Interface (Διεπαφή Εφαρμογής) Advanced Real-time Tracking (Σύνθετη Παρακολούθηση Πραγματικού Χρόνου) Anatomic Transfer Function (Ανατομική Συνάρτηση Μεταφοράς) Binocular Omni-Orientation Monitor Boundary Representation (Διατήρηση Ορίων) Binary Space Partitioning (Δυαδικός καταμερισμός του χώρου) Computer Aided Design (Σχεδιασμός με τη βοήθεια Η/Υ) Computer Based Treatment (Θεραπεία βασισμένη σε Η/Υ) Commission internationale de l'éclairage (Θεραπεία βασισμένη σε Η/Υ) Continuous Level of Detail (Συνεχές Επίπεδο λεπτομέρειας) Cyan Magenta Yellow (Κυανό Ματζέντα Κίτρινο) Cyan Magenta Yellow Key (Κυανό Ματζέντα Κίτρινο Κλειδί) COLLAborative Design Activity (Συνεργατικό σχέδιο Δραστηριότητας) Constructive Solid Geometry (Εποικοδομητική Στερεά Γεωμετρία) Digitizer Differential Analyzer (Ψηφιοποιητής Διαφορικός Αναλυτής) Discrete Level of Detail (Διακριτό Επίπεδο λεπτομέρειας) Degrees of Freedom (Βαθμοί Ελευθερίας) Digital Object Identifier (Αναγνωριστικό Ψηφιακού Αντικειμένου) Electrooculogram (Ηλεκτροοφθαλμογράφημα) General Public License (Γενική Άδεια δημόσιας χρήσης) Global Positioning System (Παγκόσμιο Σύστημα Θέσης) Graphics Processing Unit (Κάρτα Γραφικών) Graphical User Interfaces (Γραφικές Διεπαφές) High Definition (Υψηλή Ευκρίνεια) Head Mounted Display (Οθόνη προσαρτημένη στο κεφάλι) Head Related Transfer Function (Συνάρτηση μεταφοράς Συσχετισμένη με το κεφάλι) Hue Saturation Intensity (Απόχρωση Κορεσμός Ένταση) Hue Saturation Value (Απόχρωση Κορεσμός Τιμή) 10

11 IEC IEEE ILD IR ISBN ISO ISSN ITD LCD LED LGPL LLC LOD MIP MMORPG MoCap NASA NFF NTSC NURBS NYIT OABB OS POV RAM RGB RGBD RYB SDK SSAO VBAP International Electrotechnical Commission (Διεθνής Επιτροπή Ηλεκτροτεχνικών) Institute of Electrical and Electronics Engineering (Ινστιτούτο Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρονικών Μηχανικών) Interaural Level Differences (Διαωτικές διαφορές έντασης) Infrared (Υπεριώδεις ακτίνες) International Standard Book Number (Παγκόσμιο Στάνταρτ Αρίθμησης βιβλίων) International Standards Organization (Παγκόσμιος Οργανισμός Στάνταρτ) International Standard Serial Number (Διεθνές Στάνταρτ Σειριακών αριθμών) Interaural Time Differences (Διαωτικές χρονικές διαφορές) Liquid Crystal Displays (Οθόνη υγρών κρυστάλλων) Light Emitting Diode (Δίοδος εκπομπής φωτός) Lesser General Public License (Γενική μικρή Άδεια δημόσιας χρήσης) Limited Liability Company (Εταιρεία Περιορισμένης ευθύνης) Level of Detail (Επίπεδο λεπτομέρειας) multum in parvo (Καλή επιλογή σε μικρό χώρο) Massively Multiplayer Online Role-Playing Game (Massively Multiplayer Online Role-Playing Game) Motion Capture (Καταγραφή κίνησης) National Aeronautics and Space Administration (Εθνική διοίκηση αεροναυτικής και διαστήματος) Neural File Format (Format αρχείου neural) National Television System Committee (Επιτροπή εθνικού συστήματος τηλεόρασης) Non-Uniform Rational Basis Spline (Spline με μη κανονική βάση) New York Institute of Technology (Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Νέας Υόρκης) Object Aligned Bounding Box (Κουτί οριοθέτησης προσανατολισμένο με το αντικείμενο) Operating System (Λειτουργικό σύστημα) Persistence of Vision (Persistence of Vision) Random Access Memory (Μνήμη τυχαίας προσπέλασης) Red Green Blue (Κόκκινο Πράσινο Μπλε) Red Green Blue Depth (Κόκκινο Πράσινο Μπλε Βάθος) Red Yellow Blue (Κόκκινο Κίτρινο Μπλε) Software Development Kit (Πακέτο ανάπτυξης λογισμικού) screen space ambient occlusion (ambient occlusion στον χώρο της οθόνης) Vector Based Amplitude Panning (Μετακίνηση ύψους βασισμένη σε 11

12 διάνυσμα) VIRCON VM VR VRET VRLE VRML VTK XML YIQ The virtual construction site (site εικονικής κατασκευής) Virtual Machine (Εικονική μηχανή) Virtual Reality (Εικονική Πραγματικότητα) Virtual Reality Exposure Therapies (Έκθεση σε θεραπείες Εικονικής Πραγματικότητας) Virtual Reality Learning Environments (Περιβάλλοντα Εικονικής Πραγματικότητας για μάθησης) Virtual Reality Modeling Language (Γλώσσα Μοντελοποίησης Εικονικής Πραγματικότητας) Visualization Toolkit (Εργαλείο Οπτικοποίησης) Extensible Markup Language (Επεκτάσιμη Markup Γλώσσα) luminance (Y), I (chromaticity) Q (type of color) (Φωτεινότητα, Χρωματικότητα, Τύπος) 12

13 Πρόλογος Το παρόν βιβλίο παρουσιάζει τις κυριότερες έννοιες της περιοχής των Γραφικών και της Εικονικής Πραγματικότητας και απευθύνεται σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές αλλά και σε όλους όσοι έχουν θεωρητικό και πρακτικό ενδιαφέρον στην περιοχή αυτή. Η πλειονότητα των εννοιών που περιγράφονται δεν είναι νέες αλλά έχουν γραφεί επανειλημμένα σε διάφορα συγγράμματα. Οπότε ποια είναι η προστιθέμενη αξία της συγγραφής ενός νέου συγγράμματος σε μια καθιερωμένη περιοχή; Πρώτα από όλα ένα σύγχρονο σύγγραμμα συμπεριλαμβάνει τις πλέον νέες εξελίξεις σε μία περιοχή, ενώ παράλληλα μπορεί να παρουσιάσει την πληροφορία στον αναγνώστη με πιο κατανοητό τρόπο επενδύοντας στη γνώση του παρελθόντος. Η ηλεκτρονική μορφή παρουσίασης της πληροφορίας φιλοδοξεί να αναπτύξει μια διαδραστική σχέση με το χρήστη παρουσιάζοντας μαζί με την έντυπη μορφή πολυμεσική πληροφορία και περιεχόμενο, όπως βίντεο και αλληλεπιδραστικές ασκήσεις, το οποίο δε θα μπορούσε να είναι άμεσα προσβάσιμο με την παραδοσιακή μορφή ενός βιβλίου. Οι συγγραφείς και η συγγραφική ομάδα ελπίζουν οι αναγνώστες να διασκεδάσουν μαθαίνοντας και να μάθουν διασκεδάζοντας από το παρόν βιβλίο με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο και οι ίδιοι με ευχάριστο τρόπο συνέγραψαν το παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο. 13

14 Κεφάλαιο 1 - Εισαγωγή Σύνοψη Στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου μετά από μια συζήτηση για τα προαπαιτούμενα και τον προτεινόμενο τρόπο διδασκαλίας, γίνεται μια εισαγωγή στα περιεχόμενα του βιβλίου. Στη συνέχεια δίνεται ένα πρακτικό παράδειγμα υλοποίησης μιας σκηνής γραφικών στα πλαίσια του οποίου παρουσιάζονται με παραδείγματα τα περισσότερα κεφάλαια του βιβλίου. Τέλος, δίνονται κάποιες ενδεικτικές εφαρμογές στην περιοχή των γραφικών και της εικονικής πραγματικότητας. Προαπαιτούμενη γνώση Το κεφάλαιο αυτό δεν απαιτεί γνώση άλλων αντικειμένων για την κατανόησή του. Στην παράγραφο γίνεται μια συζήτηση περί της προαπαιτούμενης γνώσης για την κατανόηση όλου του βιβλίου Εισαγωγικά στοιχεία Το βιβλίο αυτό έχει ως στόχο την παρουσίαση των σημαντικότερων στοιχείων των συστημάτων Γραφικών και Εικονικής Πραγματικότητας στον αναγνώστη, ο οποίος μπορεί να είναι προπτυχιακός ή μεταπτυχιακός φοιτητής, ερευνητής ή εργαζόμενος στην περιοχή αυτή. Πολλές από τις έννοιες που πραγματεύεται έχουν αναπτυχθεί την τελευταία τριακονταετία, είναι ώριμες και θεωρούνται θεμελιώδεις στα Γραφικά. Κάποιες άλλες, ειδικά στα πιο προχωρημένα κεφάλαια του βιβλίου έχουν αναπτυχθεί πιο πρόσφατα και μπορούν να θεωρηθούν τεχνολογίες αιχμής Σχετικά με το παρόν βιβλίο Τα Γραφικά, κυρίως, αλλά και η Εικονική Πραγματικότητα είναι έννοιες ελαφρώς παρεξηγημένες στην ελληνική γλώσσα. Δε θα πρέπει να συγχέονται με την περιοχή της Γραφιστικής αλλά και των Γραφικών Διεπαφών Χρήστη (GUI-Graphical User Interfaces). Για το λόγο αυτό αναφέρουμε παρακάτω τι πραγματεύεται το παρόν βιβλίο και τι όχι. Τι θα απαντήσει το παρόν βιβλίο: - Πώς αναπαρίσταται και πώς σχεδιάζεται ένα τριών διαστάσεων (3Δ) αντικείμενο σε συσκευές απεικόνισης δύο διαστάσεων (οθόνη). - Πώς μπορούμε να αποδώσουμε κίνηση σε ένα αντικείμενο (animation); - Πώς μπορώ να αναπτύξω μια αλληλεπιδραστική εφαρμογή εικονικής πραγματικότητας (μηχανές παιχνιδιών); - Τι επιρροή έχει ο φωτισμός στην εμφάνιση της σκηνής μου; - Τι είναι η εικονική και η επαυξημένη πραγματικότητα και πώς μπορώ να αναπτύξω αντίστοιχες εφαρμογές; - Πέρα από τη γεωμετρία των αντικειμένων πώς μπορώ να χρωματίσω ένα αντικείμενο χρησιμοποιώντας μια εικόνα; Τι δε θα απαντήσει το παρόν βιβλίο: - Πώς μπορώ να φτιάξω μια Γραφική Διεπαφή Χρήστη για μια εφαρμογή μου σε υπολογιστή; - Ποιοι συνδυασμοί χρωμάτων και καμπυλών είναι οι πιο ενδεδειγμένοι (Γραφιστική); - Πώς μπορώ να δημιουργήσω αντικείμενα τριών διαστάσεων (Σχεδιαστικά Προγράμματα 3Δ αντικειμένων, π.χ. Blender). Βάσει των παραπάνω πρέπει να σημειωθεί ότι το βιβλίο αυτό έχει ως στόχο να παρουσιάσει τα θεμέλια της περιοχής των Γραφικών και της Εικονικής Πραγματικότητας, να μεταδώσει στον αναγνώστη πληροφορία για το πώς ακριβώς δουλεύει ένα τέτοιο σύστημα και όχι να τον εκπαιδεύσει σε ένα συγκεκριμένο εργαλείο λογισμικού. 14

15 Προαπαιτούμενα Η περιοχή των Γραφικών και της Εικονικής Πραγματικότητας είναι ένα αντικείμενο αρκετά πολύπλοκο από πολλές απόψεις. Χρησιμοποιεί μαθηματικές έννοιες, οι οποίες υλοποιούνται με προγράμματα σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού, ενώ παράλληλα οι περισσότερες έννοιες που πραγματεύεται, όπως για παράδειγμα ο φωτισμός και οι δυναμικές προσομοιώσεις έχουν άμεση σχέση με τους φυσικούς νόμους. Έτσι, για να είναι εφικτή η εστιασμένη παρουσίαση, μέσω του βιβλίου, των σημαντικότερων στοιχείων ενός συστήματος γραφικών υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης έχει ήδη γνώση των παρακάτω αντικειμένων: Γραμμική Άλγεβρα Μαθηματικά. Ένα εικονικό περιβάλλον απαρτίζεται από γεωμετρικά αντικείμενα τα οποία αναπαρίστανται σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Τα αντικείμενα αυτά περιγράφονται ως σύνολα σημείων (διανυσμάτων) ή συνηθέστερα ως σύνολα στοιχειωδών γεωμετρικών οντοτήτων, όπως είναι τα τρίγωνα, τα οποία όμως και πάλι είναι τριάδες σημείων. Οποιαδήποτε κίνηση του αντικειμένου ή του σημείου παρατήρησης περιγράφεται από τους κατάλληλους συσχετισμένους μετασχηματισμούς, οι οποίοι εν γένει ανάγονται σε πολλαπλασιασμούς πινάκων. Η γραμμική άλγεβρα είναι το σημαντικότερο προαπαιτούμενο για το παρόν βιβλίο. Προγραμματισμός. Η υλοποίηση ενός συστήματος Γραφικών ή/και Εικονικής Πραγματικότητας γίνεται γράφοντας ένα πρόγραμμα σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού. Για το βιβλίο αυτό, θεωρούμε ότι ο αναγνώστης έχει γνώσεις κάποιας γλώσσας προγραμματισμού. Σε κάποια κεφάλαια δίνονται παραδείγματα σε μορφή ψευδοκώδικα και κάποιες φορές δίνεται και κώδικας συνήθως σε γλώσσα C, τον οποίο μπορεί ο αναγνώστης να χρησιμοποιήσει άμεσα. Η γνώση προγραμματισμού είναι ένα σημαντικό προαπαιτούμενο. Φυσική Οι γνώσεις φυσικής είναι επιθυμητές, διότι πολλά από τα συστήματα Γραφικών είναι εμπνευσμένα από φυσικές διεργασίες. Έτσι οι αλγόριθμοι φωτισμού βασίζονται στην κλασική αλληλεπίδραση φωτός και ύλης την οποία «προσπαθούν» να μιμηθούν. Ακόμα οι δυναμικές προσομοιώσεις έχουν ως στόχο την αλγοριθμική υλοποίηση των νόμων της κλασικής Νευτώνιας μηχανικής. Δε θα λέγαμε, όμως, ότι είναι απαραίτητη η εις βάθος γνώση των αντίστοιχων κεφαλαίων της φυσικής. Μια ανασκόπηση των βασικών νόμων γίνεται στα κεφάλαια όπου αυτό είναι απαραίτητο Τρόποι διδασκαλίας Το βιβλίο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε ως εγχειρίδιο αναφοράς είτε ως κύριο σύγγραμμα εξαμηνιαίου μαθήματος. Στη δεύτερη περίπτωση υπάρχουν διάφοροι τρόποι διδασκαλίας, κάποιοι εκ των οποίων ενδεικτικά παρουσιάζονται παρακάτω. Γενικά, μπορούμε να χωρίσουμε τα κεφάλαια του βιβλίου σε 2 μέρη: Μέρος Α Θεμελιώδεις έννοιες: - κεφάλαιο 1: Εισαγωγή, - κεφάλαιο 2: Σχεδίαση, - κεφάλαιο 3: Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές, - κεφάλαιο 4: Αναπαράσταση αντικειμένων, - κεφάλαιο 5: Χρώμα και υφή, - κεφάλαιο 6: Μοντέλα φωτισμού. Μέρος Β Προχωρημένα κεφάλαια: - κεφάλαιο 7: Διαχείριση σκηνής, - κεφάλαιο 8: Συνθετική κίνηση, - κεφάλαιο 9: Εικονική Πραγματικότητα, - κεφάλαιο 10: Επαυξημένη Πραγματικότητα. 15

16 Ένα εξαμηνιαίο μάθημα Γραφικών με έμφαση στη θεωρία θα μπορούσε να αποτελείται από τα κεφάλαια του Μέρους Α. Ένα μάθημα Γραφικών βασισμένο σε πρακτικά παραδείγματα και εφαρμογές με εργαστηριακό σκέλος θα μπορούσε να ακολουθήσει τα Κεφάλαια 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Τέλος, ένα πλήρες εξαμηνιαίο μάθημα Γραφικών και Εικονικής Πραγματικότητας με σημαντικό θεωρητικό και εργαστηριακό σκέλος θα μπορούσε να ακολουθήσει όλα τα κεφάλαια του βιβλίου δίνοντας σαφώς έμφαση στα κεφάλαια 3, 4, 6, 7, 8, 10. Ακόμα αξίζει να αναφερθεί μια στρατηγική εκμάθησης που έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα αποτελεσματική στην πράξη από τους συγγραφείς. Ως στοιχείο εκμάθησης και ταυτόχρονα στοιχείο εξέτασης μπορεί να χρησιμοποιηθούν ιδιαίτερα απαιτητικές εργασίες. Ανάλογα με τη δυσκολία τους μπορεί ο διδάσκων να επιλέξει να έχουν οι εργασίες συμμετοχή στον τελικό βαθμό ή ακόμα και να απαλλάσσεται ο φοιτητής από τη γραπτή εξέταση. Αυτή η υποκατηγορία των απαλλακτικών εργασιών που πραγματεύονται θέματα αιχμής, έχει δείξει ότι: - Κινεί το ενδιαφέρον του φοιτητή για την ανάπτυξη ενός ολοκληρωμένου συστήματος. - Καθιστά απαραίτητη την αναζήτηση και ανάγνωση εργασιών (papers). - Μεγιστοποιεί τη θεωρητική και πρακτική γνώση που αποκομίζει ο φοιτητής γύρω από ένα υποσύνολο της περιοχής των Γραφικών Για τον φοιτητή Η πράξη έχει δείξει ότι η πλειοψηφία των φοιτητών που επιλέγουν ένα μάθημα Γραφικών και Εικονικής Πραγματικότητας στον κύκλο σπουδών τους έχουν ισχυρό κίνητρο και ενδιαφέρον από μόνοι τους, οπότε κάποιες από τις παρακάτω παροτρύνσεις, ίσως, να τις θεωρήσουν αυτονόητες. Όπως και σε κάθε θεωρητικό μάθημα με πρακτικές εφαρμογές η αρχή της εις βάθος γνώσης είναι η αμφισβήτηση! Ειδικά στα Γραφικά όπου επιχειρείται πολλές φορές προσέγγιση φυσικών νόμων με αλγορίθμους και μοντέλα τα οποία εμπεριέχουν σφάλματα είναι πολύ σημαντικό να μαθαίνουμε γιατί μία ακριβής αναπαράσταση δεν είναι αποδεκτή (συνήθως, η απάντηση είναι η υπολογιστική πολυπλοκότητα) και γιατί ένα προσεγγιστικό μοντέλο με εγγενή σφάλματα είναι αποδεκτό! Μη διστάζετε να αμφισβητείτε ό,τι ακούτε και διαβάζετε, διότι οι απαντήσεις στις ερωτήσεις σας είναι αυτό που θα σας μείνει. Πολλές φορές δε θα μπορείτε να απευθύνετε τις ερωτήσεις σας στο διδάσκοντα για πρακτικούς λόγους. Η αναζήτηση πηγών από τη βιβλιογραφία είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την εις βάθος εκμάθηση των εννοιών που παρουσιάζονται. Μπορείτε να βρείτε αξιόλογες εργασίες σε μια σειρά συνεδρίων, όπως το Siggraph και το Eurographics. Πολύ γνωστά περιοδικά στην περιοχή είναι το ACM Transactions on Graphics, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics και το Eurographics Computer Graphics Forum. Πέρα από την εκμάθηση θεωρητικών εννοιών, ένα πλήρες μάθημα Γραφικών και Εικονικής Πραγματικότητας πρέπει να συνοδεύεται από πρακτικό-εργαστηριακό σκέλος. Ακόμα και αν δε σας δίνεται αυτή η δυνατότητα στα πλαίσια ενός μαθήματος, προσπαθήστε να χρησιμοποιήσετε εργαλεία ανοιχτού κώδικα που είναι διαθέσιμα, για να μπορέσετε να υλοποιήσετε και να δείτε πρακτικά παραδείγματα των θεωρητικών εννοιών. Ενδεικτικά παραδείγματα βιβλιοθηκών που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είναι η OGRE και το VTK Εισαγωγή στα Γραφικά και στην Εικονική Πραγματικότητα Τα Γραφικά (Computer Graphics) είναι η επιστήμη που ασχολείται με όλα τα ζητήματα που σχετίζονται με την οπτική επικοινωνία ανθρώπου και μηχανής. Συνήθως, η επικοινωνία αυτή περιορίζεται στη σύνθεση εικόνων μέσω ενός υπολογιστή τις οποίες παρατηρεί ένας χρήστης. Δεν είναι λίγες όμως και οι εφαρμογές κατά τις οποίες και ο υπολογιστής «παρακολουθεί» και αναγνωρίζει τις κινήσεις του χρήστη. Η Εικονική Πραγματικότητα είναι η επιστήμη που έχει ως στόχο την ανάπτυξη κατάλληλων συσκευών και συστημάτων τα οποία έχουν ως απώτερο στόχο την πλήρη αποκοπή ενός χρήστη από το πραγματικό περιβάλλον και την εμβύθισή του (immersion) σε ένα εικονικό περιβάλλον. Για να το επιτύχει αυτό ένα σύστημα εικονικής πραγματικότητας πρέπει να αποκόψει κάθε πληροφορία που προέρχεται από τον πραγματικό κόσμο από τα αισθητήρια του χρήστη και να την αντικαταστήσει με εικονική. Το πρώτο και σημαντικότερο κανάλι αλληλεπίδρασης το οποίο χρησιμοποιείται στην εικονική πραγματικότητα είναι η 16

17 όραση και ακολουθούν η ακοή και η αφή, ενώ πρόσφατα έχουν αναπτυχθεί και συστήματα για την παραγωγή συνθετικών ερεθισμάτων όσφρησης και γεύσης. Όσον αφορά την όραση, τα τελευταία χρόνια οι όροι Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα έχουν γίνει ταυτόσημοι, οπότε όλες οι διαδικασίες που θα αναλυθούν στα επόμενα κεφάλαια αφορούν και τα συστήματα Γραφικών εν γένει, αλλά και τα συστήματα Εικονικής Πραγματικότητας. Κάποιες ιδιαιτερότητες των τελευταίων θα αναλυθούν σε ξεχωριστό κεφάλαιο Ένα πρακτικό παράδειγμα Μια από τις πιο ενδιαφέρουσες σχέσεις είναι αυτή της επιστημονικής περιοχής των Γραφικών (Computer Graphics) και της Υπολογιστικής Όρασης (Computer Vision). Όπως φαίνεται και στην Εικόνα 1.1α σε ένα σύστημα γραφικών είναι γνωστά όλα τα αντικείμενα και οι παράμετροι του τρισδιάστατου (συνήθως κόσμου). Αυτό που ζητείται είναι η απεικόνισή τους σε ένα επίπεδο προβολής δύο διαστάσεων το οποίο αναπαριστά και το «παράθυρο» του χρήστη προς τον εικονικό κόσμο. Αντίθετα, στην Υπολογιστική Όραση (Εικόνα 1.1β) αυτό που δίνεται είναι μία εικόνα, ή μία ακολουθία εικόνων δύο διαστάσεων από την οποία ζητείται ο υπολογισμός δεδομένων και χαρακτηριστικών των αντικειμένων και του κόσμου τριών διαστάσεων όπως είναι το βάθος, η γεωμετρία των αντικειμένων, η κίνησή τους, κ.ά. Για το λόγο αυτό οι θεμελιώδεις έννοιες, όπως οι μετασχηματισμοί, οι προβολές (Κεφάλαιο 3) αλλά και οι χρωματικές αναπαραστάσεις (Κεφάλαιο 5), είναι κοινές και στις δύο αυτές περιοχές οι οποίες διαφοροποιούνται στον τρόπο με τον οποίο κάνουν χρήση των μαθηματικών αυτών εργαλείων. Εικόνα 1.1. Υπολογιστική όραση και Γραφικά. Στα Γραφικά (αριστερά) είναι γνωστό το μοντέλο ενός τρισδιάστατου περιβάλλοντος και προσπαθούμε να σχεδιάσουμε ρεαλιστικά και αποδοτικά την εικόνα στο επίπεδο προβολής. Στην Υπολογιστική Όραση (δεξιά) μας δίνεται μια εικόνα ενός περιβάλλοντος και προσπαθούμε να εκτιμήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητές του. (Τροποπ. από Wikimedia Commons, Jo Yardley, CC-BY-SA 3.0) Ας δούμε, όμως, τώρα ένα παράδειγμα ενός προβλήματος Γραφικών και πώς εμπλέκονται σε αυτό οι έννοιες που θα συναντήσουμε σε κάθε κεφάλαιο του παρόντος βιβλίου. Η σκηνή μας είναι ένα δωμάτιο, στη μέση του οποίου βρίσκεται ένα τραπέζι. Πάνω στο τραπέζι βρίσκεται μια τσαγιέρα, ενώ στο δωμάτιο περιφέρεται ένας εικονικός χαρακτήρας. Ακριβώς πάνω από τραπέζι υπάρχει μια λάμπα, η οποία φωτίζει τη σκηνή. Έστω τώρα τα εξής υπολογιστικά προβλήματα τα οποία πρέπει να αντιμετωπίσουμε: 1. Τι είναι ένα εικονικό αντικείμενο και πώς αναπαρίσταται; Ένα εικονικό αντικείμενο είναι συνήθως ένα σύνολο σημείων, τα οποία είναι κατάλληλα συνδεδεμένα μεταξύ τους, ώστε να σχηματίζουν ένα σύνολο τριγώνων τα οποία απαρτίζουν την επιφάνεια του αντικειμένου. Αυτή η αναπαράσταση καθώς και διάφορες ακόμα περιγράφονται στο Κεφάλαιο Πώς ορίζεται η σχετική θέση των αντικειμένων στο χώρο; Τα αντικείμενα είναι, συνήθως, κεντραρισμένα στο τοπικό τους σύστημα συντεταγμένων. Τοποθετούνται στο σύστημα συντεταγμένων κόσμου με τη χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών, οι οποίοι περιγράφονται στο Κεφάλαιο Από ποιο σημείο κοιτάμε εμείς τον κόσμο και πώς προκύπτει η δύο διαστάσεων εικόνα που βλέπουμε; Σε κάποιο σημείο του εικονικού κόσμου τοποθετείται μια εικονική κάμερα, η οποία προσομοιώνει τη 17

18 θέση του ματιού μας. Μπορούμε να κινήσουμε την κάμερα αυτή με τη χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών, ώστε να περιηγηθούμε στο χώρο. Η προβολή του κόσμου τριών διαστάσεων σε μια εικόνα δύο διαστάσεων γίνεται με κατάλληλους μετασχηματισμούς, οι οποίοι περιγράφονται, επίσης, στο Κεφάλαιο Αν υποθέσουμε ότι έχουμε προβάλει μια καμπύλη στο επίπεδο, πώς μπορούμε να την σχεδιάσουμε στην εικόνα της οθόνης. Αυτή η διαδικασία είναι θεμελιώδης στα Γραφικά. Στην πράξη υπάρχει μετάβαση από ένα συνεχή χώρο σε ένα διακριτό (εικονοστοιχεία της εικόνας). Περισσότερες λεπτομέρειες, κάποιες ιδιαιτερότητες όπως και χειρισμός προβλημάτων για παράδειγμα η ταύτιση (aliasing) αναλύονται στο Κεφάλαιο Πώς μπορούμε να χρωματίσουμε τα αντικείμενα; Η αναπαράσταση χρώματος και κυρίως η απόδοση υφής περιγράφονται στο Κεφάλαιο Πώς θα επηρεαστεί η εμφάνιση της τσαγιέρας αν αλλάξουμε τις ιδιότητες της λάμπας και πώς μεταδίδεται το φως στο περιβάλλον; Ο φωτισμός είναι μια από τις σημαντικότερες διεργασίες στα συστήματα Γραφικών. Στο Κεφάλαιο 6 περιγράφονται διάφοροι τύποι φωτιστικών σωμάτων, μοντέλα φωτισμού και αλγόριθμοι φωτοσκίασης. Ακόμα περιγράφονται και οι ιδιότητες του υλικού των αντικειμένων όπως η ανακλαστικότητα. 7. Είναι προφανές ότι όταν κινείται ο εικονικός χαρακτήρας κινούνται και όλα τα μέλη του και τα ρούχα του. Πρέπει να προσέχουμε να τα κινούμε όλα ταυτόχρονα ή υπάρχει κάποιος πιο έξυπνος τρόπος; Υπάρχει έξυπνος τρόπος που βασίζεται σε μια ιεραρχική αναπαράσταση της σκηνής η οποία, ονομάζεται γράφος σκηνής. Ο γράφος σκηνής αλλά και διάφορες ιδιότητές του αναλύονται στο Κεφάλαιο Πώς όμως μπορούμε να κάνουμε τον εικονικό χαρακτήρα να κινείται; Η απόδοση κίνησης (animation) είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά στοιχεία ενός συστήματος Γραφικών. Λεπτομέρειες σχετικά με την απόδοση κίνησης συμπαγών σωμάτων, αρθρωτών αντικειμένων αλλά καθώς και προσομοιώσεις βάσει των φυσικών νόμων παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο Το δωμάτιο της παραπάνω εικόνας είναι πολύ ενδιαφέρον. Μπορώ κάπως «να μπω» μέσα στο χώρο αυτό και να αισθάνομαι ότι είμαι πραγματικά μέσα; Στο Κεφάλαιο 9 περιγράφονται λεπτομέρειες των συστημάτων εικονικής πραγματικότητας καθώς και πώς μπορούμε να επιτύχουμε εμβύθιση του χρήστη στο εικονικό περιβάλλον (immersion). 10. Έχω δει εικόνες σε φορητές συσκευές όπου ένα εικονικό αντικείμενο παρουσιάζεται πάνω σε κάποιο πραγματικό! Η επαυξημένη πραγματικότητα έχει την ιδιαιτερότητα να συνδυάζει πληροφορία από τον πραγματικό και τον εικονικό κόσμο. Έτσι υπάρχει η δυνατότητα να καταγράφουμε με την κάμερα μίας φορητής συσκευής (π.χ. κινητό τηλέφωνο) ένα τραπέζι και να τοποθετούμε πάνω στο πραγματικό τραπέζι την εικονική τσαγιέρα (στην οθόνη του κινητού προφανώς). Στο Κεφάλαιο 10 αναλύονται οι τεχνικές επαυξημένης πραγματικότητας Σωλήνωση γραφικών Ο όρος σωλήνωση γραφικών (computer graphics pipeline) χρησιμοποιείται για να περιγράψει τον τρόπο με τον οποίο γίνεται η επεξεργασία των δεδομένων, προκειμένου να σχεδιαστεί μία σκηνή. Στην πιο αφηρημένη μορφή, ένα σύστημα γραφικών μπορεί να θεωρηθεί ως ένα «μαύρο κουτί», το οποίο δέχεται ως είσοδο κάποια δεδομένα και παράγει στην έξοδό του μια εικόνα. Πρακτικά, στα συστήματα γραφικών όλα τα στοιχειώδη αντικείμενα μιας σκηνής υπόκεινται σε επεξεργασία ακολουθιακά από διάφορα υποσυστήματα. Ένας από τους λόγους για τους οποίους χρησιμοποιείται μια τέτοιου τύπου αρχιτεκτονική είναι η παράλληλη λειτουργία όλων των υποσυστημάτων. Έτσι, όταν ένα υποσύστημα ολοκληρώσει την επεξεργασία ενός στοιχειώδους αντικειμένου προωθεί το αποτέλεσμα στο επόμενο υποσύστημα, ενώ ταυτόχρονα ξεκινά την επεξεργασία του επόμενου στοιχειώδους αντικειμένου. Στην Εικόνα 1.2 απεικονίζεται ένα παράδειγμα σωλήνωσης γραφικών. Τα πολλών μορφών δεδομένα που απαιτούνται, χρησιμοποιούνται σε διάφορες φάσεις της επεξεργασίας. Ένα γεωμετρικό αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί ότι διασχίζει όλες τις διαδικασίες της σωλήνωσης γραφικών έως ότου προβληθεί σε μια συσκευή απεικόνισης. Όλα τα δεδομένα και οι διαδικασίες της σωλήνωσης γραφικών θα αναλυθούν λεπτομερώς στο παρόν σύγγραμμα. Στη συνέχεια περιγράφονται συνοπτικά και ενδεικτικά τα κυριότερα χαρακτηριστικά και οι λειτουργίες τους. 18

19 Δεδομένα Η κυριότερη, ίσως, μορφή δεδομένων σε ένα σύστημα γραφικών είναι το γεωμετρικό αντικείμενο. Ένα αντικείμενο αποτελείται συνήθως από κορυφές οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους σχηματίζοντας τρίγωνα. Υπάρχουν και άλλες εναλλακτικές μορφές αναπαράστασης αντικειμένων, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Πέρα, όμως, από τη γεωμετρική αναπαράσταση, ένα αντικείμενο, συνήθως, συνοδεύεται από χάρτες υφής, οι οποίοι περιγράφουν την κατανομή του χρώματος πάνω στην επιφάνεια του αντικειμένου και από πληροφορία σχετικά με το είδος του υλικού, η οποία έχει συχνά να κάνει με την ανακλαστικότητα του αντικειμένου. Πέρα από τα αντικείμενα αυτά καθαυτά, απαραίτητη πληροφορία για ένα σύστημα γραφικών είναι και οι πηγές φωτός της σκηνής αλλά και η θέση και ο προσανατολισμός του παρατηρητή. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα γεωμετρικά μοντέλα εν γένει μοντελοποιούνται σε ένα σύστημα συντεταγμένων το οποίο να διευκολύνει τους υπολογισμούς. Το σύστημα συντεταγμένων αυτό ονομάζεται τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Για παράδειγμα το τοπικό σύστημα συντεταγμένων μιας σφαίρας είναι κεντραρισμένο στο κέντρο της και οι τρεις ορθογώνιοι άξονες επιλέγονται τυχαία. Για την περίπτωση ενός κύβου, συνήθως, επιλέγεται ως αρχή των αξόνων το κέντρο του (κέντρο βάρους) και οι άξονες ευθυγραμμίζονται με τις πλευρές του. Στη συνέχεια το μοντέλο τοποθετείται στο σύστημα συντεταγμένων κόσμου. Στην πράξη αυτό που γίνεται είναι να οριστεί ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός που να μεταφέρει το τοπικό σύστημα συντεταγμένων στη συγκεκριμένη θέση του κόσμου (μεταφορά) και να το προσανατολίζει επιθυμητά (περιστροφή). Το παραπάνω είναι ένα παράδειγμα γεωμετρικού μετασχηματισμού τριών διαστάσεων. Η δουλειά, όμως, των μετασχηματισμών δεν τελειώνει εδώ. Όλα τα αντικείμενα που περιγράφονται πλέον στο σύστημα συντεταγμένων κόσμου πρέπει να μετασχηματιστούν ως προς το σύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή, κάτι το οποίο εμπλέκει ένα νέο 3Δ γεωμετρικό μετασχηματισμό όμοιο με το μετασχηματισμό του τοπικού συστήματος συντεταγμένων σε σύστημα συντεταγμένων κόσμου (το σύστημα συντεταγμένων παρατηρητή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων για το «αντικείμενο» παρατηρητής). Στη συνέχεια πρέπει όλη η τρισδιάστατη πληροφορία των αντικειμένων να προβληθεί πάνω στο επίπεδο προβολής (viewport), το οποίο στη συνέχεια θα «αντιγράψουμε» στην οθόνη μας. Οι μετασχηματισμοί αυτοί ονομάζονται μετασχηματισμοί προβολής. Οι μετασχηματισμοί έχουν θεμελιώδη σημασία στα Γραφικά, διότι συμμετέχουν σχεδόν σε όλες τις διαδικασίες ενός Συστήματος Γραφικών, από τη σχεδίαση, έως την υφή και την απόδοση κίνησης. Εικόνα 1.2. Η Σωλήνωση γραφικών περιγράφει όλες τις διαδικασίες που εμπλέκονται σε ένα σύστημα γραφικών. Στην παραπάνω θεώρηση τα μαύρα βέλη ιχνηλατούν τους αλγορίθμους της σωλήνωσης γραφικών, ενώ τα κόκκινα χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ποια δεδομένα αποτελούν είσοδο σε ποια διαδικασία. 19

20 Χρώμα - Απεικόνιση υφής Η γεωμετρική αναπαράσταση ενός αντικειμένου δεν είναι στην πλειονότητα των περιπτώσεων τίποτα παραπάνω από ένα σύνολο σημείων, τα οποία είναι κατάλληλα συνδεδεμένα μεταξύ τους, ώστε να σχηματίζουν τρίγωνα. Άρα ως δεδομένα έχουμε: 1. Σημεία και 2. Τρίγωνα. Εάν θέλουμε να χρωματίσουμε τα αντικείμενά μας, το μόνο που μπορούμε αρχικά να κάνουμε είναι να ορίσουμε ένα χρώμα για κάθε τρίγωνο του αντικειμένου. Αυτό είναι αρκετά περιοριστικό, διότι δε μας δίνει τη δυνατότητα να «ζωγραφίσουμε» την επιφάνεια ενός τριγώνου κατά το δοκούν. Η απεικόνιση υφής έχει ως στόχο να λύσει το πρόβλημα αυτό. Έχοντας ως είσοδο μια εικόνα, ορίζεται ένας νέος μετασχηματισμός ο οποίος προβάλει τις κορυφές έστω ενός τριγώνου πάνω στην εικόνα αυτή. Στη συνέχεια με μια διαδικασία που ονομάζεται απεικόνιση υφής, «κόβουμε» το τρίγωνο της εικόνας που σχηματίζεται από τα τρία αυτά σημεία και το χρησιμοποιούμε για να χρωματίσουμε το αντίστοιχο τρίγωνο του 3Δ αντικειμένου. Έτσι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να αποδώσουμε διάφορα πρότυπα και μοτίβα χρωμάτων πάνω στο αντικείμενό μας. Φωτισμός Έστω τώρα ότι έχουμε τη γεωμετρική αναπαράσταση ενός αντικειμένου μαζί με τους εμπλεκόμενους μετασχηματισμούς, πάνω στο οποίο έχει εφαρμοστεί απεικόνιση υφής. Είναι σαφές και προφανές ότι ανάλογα με το φωτισμό της σκηνής το είδωλο του αντικειμένου πάνω στο επίπεδο προβολής θα είναι διαφορετικό. Πώς, όμως, μπορεί να κωδικοποιηθεί κάτι τέτοιο; Η αρχική μας υπόθεση είναι ότι τα αντικείμενα αντανακλούν, ή διαθλούν, ή απορροφούν το φως, είτε συνδιάζουν τα παραπάνω σε κάποιο ποσοστό το καθένα. Ακόμα ο αέρας ούτε αντανακλά (σκέδαση) ούτε απορροφά φως. Στη συνέχεια καθορίζεται ο τρόπος με τον οποίο αντανακλά μια επιφάνεια το φως. Πιο συγκεκριμένα το φως μπορεί να αντανακλάται μόνο σε μια κατεύθυνση (καθρέφτης) είτε να διαχέεται προς όλες τις κατευθύνσεις (ματ επιφάνειες). Όλες οι παραπάνω παράμετροι κωδικοποιούνται στο μοντέλο φωτισμού Phong, το οποίο θα εξετάσουμε διεξοδικά στο αντίστοιχο κεφάλαιο. Παρά το γεγονός, όμως, ότι το μοντέλο Phong χρησιμοποιείται ευρύτατα, δεν παύει να είναι μια χαμηλού υπολογιστικού κόστους προσέγγιση του τρόπου με τον οποίο αλληλεπιδρά το φως με την ύλη. Σχεδιασμός Το τελευταίο στοιχείο της σωλήνωσης γραφικών μπορεί να θεωρηθεί ο σχεδιασμός των γεωμετρικών στοιχείων και καμπυλών μιας σκηνής. Εδώ το σημαντικότερο πρόβλημα είναι το πώς μπορεί κανείς να απεικονίσει συνεχείς καμπύλες (ευθύγραμμα τμήματα, τόξα, τρίγωνα) σε ένα πλέγμα πεπερασμένου αριθμού σημείων (εικονοστοιχεία). Για την αντιμετώπιση των προβλημάτων που συνεπάγεται η διακριτοποίηση αυτή χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές όπως η αντι-ταύτιση (anti-aliasing). Συσκευές παρατήρησης Παραδοσιακά οι συσκευές παρατήρησης σε ένα σύστημα γραφικών θεωρούνται οι προσωπικοί υπολογιστές και κατ επέκταση οι οθόνες τους. Ενώ η τεχνολογία κατασκευής οθονών εξελίσσεται ραγδαία παραμένει αναλλοίωτος έως σήμερα ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η απεικόνιση της πληροφορίας με χρήση εικονοστοιχείων. Πιο συγκεκριμένα, η επιφάνεια μιας οθόνης χωρίζεται σε ένα πλέγμα από εικονοστοιχεία (pixels) τα οποία μπορούν να πάρουν ένα συγκεκριμένο χρώμα. Αυτή η διακριτή μορφή αναπαράστασης είναι πολύ σημαντική υπόθεση για το σχεδιασμό αντικειμένων, όπως θα δούμε και στο Κεφάλαιο 2. Με τη ραγδαία, όμως, αύξηση της ισχύος των φορητών υπολογιστικών μηχανών, ως συσκευές παρατήρησης συστημάτων γραφικών λογίζονται πλέον και όλες οι φορητές συσκευές συμπεριλαμβανομένων των κινητών τηλεφώνων. Ακόμα, πολύπλοκες συσκευές παρατήρησης εικονικής και επαυξημένης πραγματικότητας που τη δεκαετία του 2000 είχαν απαγορευτικό κόστος, πλέον είναι προσιτές στο ευρύ κοινό και παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όπως θα δούμε και στο Κεφάλαιο Εφαρμογές Τα συστήματα γραφικών έχουν εφαρμογή σε πάρα πολλές περιοχές της επιστήμης αλλά και της καθημερινότητάς μας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ενδεικτικά κάποιες από τις περιοχές αυτές. 20

21 Διασκέδαση Μια από τις κύριες και άμεσες εφαρμογές των Συστημάτων Γραφικών είναι στην περιοχή της διασκέδασης. Στην περιοχή αυτή την πλειοψηφία κατέχουν τα 3Δ παιχνίδια (Εικόνα 1.3) τα οποία αποτελούν ένα πολύ μεγάλο κομμάτι της παγκόσμιας οικονομίας, ενώ παρουσιάζουν και ραγδαία αύξηση στον 21 ο αιώνα. α) πολλαπλών χρηστών (Πηγή: Wikimedia Commons, Jo Yardley, CC-BY-SA 3.0) β) περιπέτειας με εκπαιδευτικό περιεχόμενο [Καραμπάτη & Πατρινός, 2009] Εικόνα 1.3. Παραδείγματα αλληλεπιδραστικών παιχνιδιών Ιατρική Τα τελευταία χρόνια παρουσιάζει ιδιαίτερη ανάπτυξη στον τομέα της ιατρικής η περιοχή της απεικόνισης (imaging), η οποία έχει ως στόχο τη μεταφορά πληροφορίας του οργανισμού ενός ασθενούς σε κάποιο εξωτερικό μέσο (π.χ. πλάκα ακτινογραφίας) με μη επεμβατικό τρόπο. Η περιοχή αυτή εμπλέκει τεχνολογίες υπολογισμού μιας εικόνας (εκπομπή ηλεκτρονίων, ποζιτρονίων, μαγνητικός συντονισμός, κ.ά.) αλλά και τεχνολογίες γραφικών και απεικόνισης της πληροφορίας αυτής με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι χρήσιμη στο θεράποντα ιατρό (Εικόνα 1.4). α) Καρδιαγγειακό σύστημα (Πηγή: BruceBlaus, Blausengallery, CC BY 3.0) β) Αραχνοειδίτιδα (Πηγή: BruceBlaus, Blausen gallery, CC BY 3.0) γ) Ανατομία μυοσκελετικού συστήματος (Πηγή: Wikimedia Commons, BodyParts3D/ Anatomography, CC BY-SA 2.1 JP) 21 δ) Πνεύμονες (Πηγή: Wikimedia Commons, Eboelen, CC0 1.0) Εικόνα 1.4. Παραδείγματα 3Δ απεικόνισης ιατρικών δεδομένων

22 Πέρα από τις παραδοσιακές μεθόδους απεικόνισης σε πλάκες και αντίστοιχα συμβατικά μέσα, τα τελευταία χρόνια η πληροφορία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να ανακατασκευαστεί ένα 3Δ αντίγραφο του εσωτερικού του οργανισμού ενός ασθενούς και το οποίο μπορεί στη συνέχεια να εξετάσει ο ιατρός Απεικόνιση πληροφορίας Δεδομένα μεγάλου όγκου Μια ιδιαίτερα σημαντική εφαρμογή των συστημάτων γραφικών είναι η απεικόνιση πληροφορίας και γενικότερα η οπτικοποίηση δεδομένων (Εικόνα 1.5). Ιδιαίτερα η συνεργασία των γραφικών με τη στατιστική και την οπτικοποίηση δεδομένων ακολούθησε μια ιστορική πορεία αλληλεξάρτησης του ενός από τα άλλα [Friendly, 2006)]. Εδώ, σε αντίθεση με την περίπτωση της ιατρικής απεικόνισης όπου συνηθίζεται η πληροφορία που απεικονίζεται να αφορά γεωμετρικές οντότητες (π.χ. πνευμόνια, σκελετός), η απεικόνιση γίνεται, συνήθως, σε αφηρημένους χώρους οι οποίοι επιλέγονται ανάλογα με την εφαρμογή. α) Ζώνες Van Allen (Πηγή: NASA, Goddard Space Flight Center) β) Αεροδυναμική φτερού (Πηγή: Wikimedia Commons, Thierry Dugnolle, CC0 1.0) γ) 3Δ απεικόνιση δικτύων και δενδρικών δομών (K-partite graph visualization) [Papadopoulos et al., 2014] δ) Απεικόνιση μεγάλου όγκου δεδομένων (Πηγή: Wikimedia Commons, Lawrence Livermore National Laboratory, Public Domain) Εικόνα 1.5. Παραδείγματα απεικόνισης πληροφορίας Βιβλιογραφία/Αναφορές Blausengallery (2014). Wikiversity, Journal of Medicine, DOI: /wjm/ , ISSN Friendly M. (2006). A Brief History of Data Visualization, Handbook of Computational Statistics: Data Visualization, pp Papadopoulos S., Mavroudis V., Drosou A., Tzovaras D. (2014). Visual Analytics for Enhancing Supervised Attack Attribution in Mobile Networks, Information Sciences and Systems, pp

23 Καραμπάτη Π., Πατρινός ΑΙ. (2009). Η χρήση των ηλεκτρονικών παιχνιδιών ως μουσειακών εκπαιδευτικών εργαλείων: η περίπτωση του Μουσείου Μακεδονικού Αγώνα, MUSEOLOGY International Scientific Electronic Journal, 5, σελ

24 Κεφάλαιο 2 - Σχεδίαση Σύνοψη Στον τομέα των γραφικών, υπάρχει από τη μια μεριά η μαθηματική περιγραφή των σχημάτων που χαρακτηρίζεται από την ανάλογη αυστηρότητα και από την άλλη οι περιορισμοί της πλεγματικής οθόνης πάνω στην οποία τελικά θα γίνει η σχεδίαση. Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται ανάλυση αυτών των περιορισμών της πλεγματικής οθόνης σε σχέση με τις ανάγκες σχεδίασης. Θα μελετηθούν οι πιο γνωστοί αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών σχημάτων, όπως είναι το ευθύγραμμο τμήμα, ο κύκλος, τα πολύγωνα και οι ελεύθερες καμπύλες. Τα τρίγωνα και άλλα πολύγωνα προσεγγίζονται σχεδιαστικά με την επαναληπτική εφαρμογή των αλγορίθμων σχεδίασης ευθύγραμμων τμημάτων. Οι καμπύλες περιγράφονται ως καμπύλες Bezier και τα κλειστά σχήματα γεμίζονται με χρώμα, ενώ ελέγχεται αν κάθε εικονοστοιχείο βρίσκεται εντός ή εκτός του κλειστού σχήματος. Τα παραπάνω σε συνδυασμό με τις τεχνικές αντι-ταύτισης ολοκληρώνουν το κεφάλαιο δίνοντας μια πλήρη εικόνα της σύγχρονης στάθμης της τεχνικής αναφορικά με το πρόβλημα της σχεδίασης. Προαπαιτούμενη γνώση Γνώσεις μαθηματικής περιγραφής των βασικών σχημάτων (παραμετρικές εξισώσεις). Βασικές γνώσεις δομών δεδομένων όπως λίστες, πίνακες, κτλ. Άνεση στην ανάγνωση κώδικα για την κατανόηση των αλγοριθμικών λύσεων που προτείνονται Εισαγωγή Στον τομέα των γραφικών, υπάρχει από τη μια μεριά η μαθηματική περιγραφή των σχημάτων που έχει την ανάλογη αυστηρότητα και από την άλλη οι περιορισμοί της πλεγματικής οθόνης πάνω στην οποία τελικά θα γίνει η σχεδίαση. Η οθόνη συμμετέχει στο πρόβλημα της σχεδίασης ως καμβάς πάνω στον οποίο θα σχηματιστούν οι μορφές κάθε σκηνής. Από πρακτικής πλευράς, η οθόνη προσεγγίζεται με έναν ορθογωνικό πίνακα εικονοστοιχείων πάνω στον οποίο οι αλγόριθμοι σχεδίασης εξάγουν τα αποτελέσματά τους με γνώμονα την προσεγγιστική ακρίβεια και την αποδοτικότητα. Από την πλευρά της πρακτικής χρήσης των τεχνικών που θα μελετηθούν, πολλά από τα θέματα που πραγματεύεται αυτό το κεφάλαιο, όπως για παράδειγμα οι αλγόριθμοι σχεδίασης, θεωρούνται ήδη υλοποιημένα στα σύγχρονα συστήματα γραφικών και τα διαθέσιμα προγραμματιστικά εργαλεία που έχει για χρήση ο προγραμματιστής, προσφέρουν έτοιμες συναρτήσεις σχεδιασμού. Το αντικείμενο της αλγοριθμικής της σχεδίασης προσεγγίζεται για ακαδημαϊκούς λόγους, ενώ η γνώση που προκύπτει από την τριβή με το συγκεκριμένο αντικείμενο θεωρείται προθάλαμος για πιο πολύπλοκες διαδικασίες της γραφικής με υπολογιστές. Επιπρόσθετα, η γνώση αυτή μπορεί να φανεί χρήσιμη μελλοντικά στην κατανόηση πιο σύνθετων προβλημάτων και των προτεινόμενων λύσεών τους Το πρόβλημα της Σχεδίασης Οι οθόνες είναι δισδιάστατες επιφάνειες πάνω στις οποίες προβάλλεται η οπτική πληροφορία. Έχουν πεπερασμένες διαστάσεις και συγκεκριμένες τεχνικές προδιαγραφές (π.χ. μέγιστη ανάλυση). Έτσι, λοιπόν, μοιάζουν σαν ένα πλέγμα από εικονοστοιχεία ή αλλιώς pixels (Picture Element) με το καθένα να είναι χρωματικά ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα. Το πρόβλημα της σχεδίασης ξεκινάει από την ανάγκη να αναπαρασταθούν σχήματα στις πλεγματικές οθόνες λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που αναφέρθηκαν παραπάνω. Ένα υπολογιστικό σύστημα δεν έχει όλους τους πόρους και τις δυνατότητες που θα θέλαμε για να αναπαραστήσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, έναν κύκλο ή μια ελεύθερη καμπύλη. Η προβληματική της σχεδίασης αναφέρεται στην επιλογή ενός υποσυνόλου από τα διαθέσιμα εικονοστοιχεία της οθόνης τα οποία σε κάθε στιγμή (καρέ) θα πρέπει να επιλεγούν, ώστε να αποδοθεί σε αυτά ένας διαφορετικός χρωματισμός από τα άλλα εικονοστοιχεία που αναπαριστούν το υπόβαθρο. Στην πιο απλή μορφή συναντάται σε ένα περιβάλλον μονοχρωματικής απεικόνισης βασικών σχημάτων όπου το υπόβαθρο είναι λευκού χρώματος, ενώ στα εικονοστοιχεία που ανήκουν στο απεικονιζόμενο σχήμα αποδίδεται το μαύρο χρώμα. Το ανθρώπινο οπτικό σύστημα χρειάζεται έναν μεγάλο αριθμό από εικονοστοιχεία για να αντιληφθεί μια εικόνα με ενιαίο τρόπο. Η ανάλυση της οθόνης φτάνει σήμερα στα επίπεδα της υψηλής και πολύ υψηλής 24

25 ανάλυσης (HD) και ένα πλήθος εικονοστοιχείων 1920 στο πλάτος επί 1080 στο ύψος θεωρείται συνηθισμένο για ένα μέτριο υπολογιστικό σύστημα γραφείου. Επίσης, τα εικονοστοιχεία δεν είναι πάντοτε τετραγωνικά, αλλά χαρακτηρίζονται από το λόγο διάστασης που εκφράζει το κατά πόσο πλησιάζει το σχήμα του ένα κανονικό τετράγωνο. Για παράδειγμα, ένας λόγος 1.2:1, δηλώνει ότι το πλάτος του εικονοστοιχείου είναι 1.2 φορές πιο μεγάλο από το ύψος του. Στην Εικόνα 2.1, απεικονίζεται ένα παράδειγμα μονοχρωματικής εικόνας σε άσπρο-μαύρο και ο αντίστοιχος πίνακας με τις τιμές των εικονοστοιχείων της. Επειδή το βάθος χρώματος της εικόνας είναι 1, οι πιθανές τιμές που προκύπτουν για το χρώμα είναι 0 ή 1. Το 0, συνήθως, αντιστοιχεί στο λευκό το οποίο εδώ εξυπηρετεί ως χρώμα υποβάθρου, ενώ το 1 αντιστοιχεί στο μαύρο το οποίο χρησιμοποιείται ως χρώμα για τα περιγράμματα των σχημάτων, αλλά και ως χρώμα γεμίσματος. Σε μια εικόνα που αποδίδεται σε κλίμακα του γκρι, στον πίνακα bitmap εισάγονται τιμές χρώματος 8 bit που κυμαίνονται στο διάστημα [0, 255]. Τα περισσότερα από τα παραδείγματα του κεφαλαίου βασίζονται σε μονοχρωματικές εικόνες ή εικόνες στην κλίμακα του γκρι. Για μεγαλύτερα βάθη χρώματος, το μήκος της λέξης του χρώματος αυξάνεται έως τα 64bit (48bit για το χρώμα και 16bit για το alpha channel) Εικόνα 2.1. Μια μονοχρωματική εικόνα (δεξιά) και ο αντίστοιχος πίνακας τιμών (αριστερά) Ένα δεύτερο μεγάλο θέμα που απασχολεί τη σχεδίαση στον υπολογιστή είναι η αντιστοίχιση των μαθηματικά ορισμένων σημείων πάνω στην οθόνη, με δεδομένο ότι τα εικονοστοιχεία έχουν κάποιο σεβαστό μέγεθος. Στη θέση της οθόνης θεωρούμε ένα δισδιάστατο ορθογωνικό πλέγμα τετραγωνικών εικονοστοιχείων, το κέντρο των οποίων μπορεί να είναι είτε πάνω στις ακέραιες συντεταγμένες είτε πάνω σε ημίσειες συντεταγμένες. Στην πρώτη περίπτωση, το κάτω αριστερά εικονοστοιχείο (που συχνά θεωρείται το μηδενικό εικονοστοιχείο καθώς βρίσκεται κοντά στο κέντρο των ημιαξόνων που ορίζουν το δισδιάστατο χώρο), έχει συντεταγμένες [0, 0], ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχει συντεταγμένες [0.5, 0.5]. Σε κάποιο άλλο σύστημα αναφοράς που θεωρεί αντεστραμμένο τον άξονα των Y, το μηδενικό εικονοστοιχείο βρίσκεται πάνω αριστερά, όπως συμβαίνει συχνά σε περιβάλλοντα ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας. Για λόγους απλότητας, στη συνέχεια του βιβλίου θα θεωρείται ότι τα εικονοστοιχεία έχουν ακέραιες συντεταγμένες στο ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς (xοy) και ότι κάθε εικονοστοιχείο καλύπτει επιφάνεια από (x-0.5, y-0.5) έως (x+0.5, y+0.5) όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.2. Εικόνα 2.2. Πλεγματική οθόνη όπου τα εικονοστοιχεία έχουν ακέραιες συντεταγμένες. 25

26 Οι ποιοτικοί παράγοντες που χαρακτηρίζουν κάθε λύση του προβλήματος της σχεδίασης είναι η ακρίβεια και η απόδοση. Με λίγα λόγια, αυτό που καθιστά μια μέθοδο ή έναν αλγόριθμο σχεδίασης προτιμητέο από κάποιον άλλον είναι: α. η δυνατότητα σχεδίασης όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματικότητα (στην ελάχιστη δυνατή απόσταση από την μαθηματικά ορισμένη πραγματικότητα), β. η ταχύτητα σχεδίασης (αποδοτικότητα) και γ. η ελαχιστοποίηση της κατανάλωσης πόρων (π.χ. μνήμη RAM). Σε ένα βιντεοπαιχνίδι για παράδειγμα, είναι επιθυμητό η σχεδίαση πολύπλοκων σκηνών που αποτελούνται από πολλά σχήματα και χρώματα, να γίνεται σε πραγματικό χρόνο που σημαίνει τουλάχιστον 25 με 30 fps (frames per second) Παραμετρική Αναπαράσταση Ευθείας Αν για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x,y) θεωρηθεί ότι ισχύει η ισότητα με το μηδέν, τότε μπορεί για ένα δεδομένο χ 0 να υπολογιστεί μέσα από τη σχέση f(x,y)=0, μία τιμή για το y 0. Με την επανάληψη αυτής της διαδικασίας για τα σημεία ενός συνόλου τιμών Α, ορίζεται μια συνάρτηση f(x,y)=0 που ονομάζεται Πεπλεγμένη συνάρτηση. Ωστόσο, ο προαναφερόμενος δεν είναι ο μόνος τρόπος να οριστεί ένα σχήμα. Αν τα x και y μπορούν να εκφραστούν με συναρτήσεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής t, δηλαδή x=f(t) και y=g(t), τότε το παραπάνω ζεύγος εξισώσεων ονομάζεται παραμετρική εξίσωση της καμπύλης C. Γενικά, ο παραμετρικός ορισμός καμπυλών παρουσιάζει ορισμένα πλεονεκτήματα, όπως η δυνατότητα περιγραφής κλειστών καμπυλών, η δυνατότητα επέκτασης σε περισσότερες διαστάσεις (π.χ. από τις δισδιάστατες καμπύλες στις τρισδιάστατες), ευκολότερη χρήση συσχετισμένων μετασχηματισμών (λόγω ανεξαρτησίας των συντεταγμένων) και ανεξαρτησία από το ίδιο το σύστημα συντεταγμένων. Στην απλή περίπτωση της ευθείας, αυτή μπορεί να οριστεί είτε από δύο σημεία P 1 και P 2 (Εικόνα 2.3), είτε από ένα σημείο P και ένα διάνυσμα, ή συντελεστή διεύθυνσης, ενώ μπορεί ακόμη να οριστεί με βάση μια άλλη ευθεία. Κάθε ευθεία χωρίζει τα σημεία του χώρου σε δύο σύνολα: τα σημεία που ανήκουν στην ευθεία και αυτά που δεν ανήκουν σε αυτή. Ορισμένες φορές στον καθημερινό λόγο χρησιμοποιείται ο όρος ευθεία για να προσδιορίσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, πράγμα που δεν ισχύει. Στο πρόβλημα της σχεδίασης υπάρχει πάντοτε ένα αρχικό και ένα τελικό σημείο, ακόμη κι αν αυτά είναι τα όρια της οθόνης. Μια ευθεία ορίζεται ως: ax+by=c {Εξ. 2.1} όπου a + b 0. Στην περίπτωση του ευθύγραμμου τμήματος (Εικόνα 2.3) έχουμε ένα σημείο αρχής, έστω το P 1 με συντεταγμένες (x 1, y 1 ) και ένα σημείο τερματισμού, έστω το P 2 με συντεταγμένες (x 2, y 2 ). Με δεδομένα αυτά τα δύο σημεία ορίζεται η παραμετρική εξίσωση: T(t)= P 1 +t(p 2 - P 1 ), t [0, 1] {Εξ.2.2} Έτσι, για κάθε τιμή του t προκύπτει ένα ζεύγος τιμών (x, y) που επιτρέπει τη δημιουργία σημείων πάνω στην καμπύλη, δυνατότητα που δεν προσφέρεται από την Πεπλεγμένη μορφή. Επίσης, επειδή συνήθως έχουμε να κάνουμε με ευθύγραμμα τμήματα που είναι τμήματα κάποιας ευθείας, είναι πιο βολική η παραμετρική μορφή για τις δύο μεταβλητές Χ και Υ που εκφράζονται έτσι ανεξάρτητα η μία από την άλλη [Blundell, 2008]. Εικόνα 2.3. Το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τα σημεία P1 και P2. 26