Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Transcript

1 Προβολές

2 Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Διαγραφή Πίσω Επιφανειών 3Δ Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισμός Απόκρυψη Γραμμών/ Επιφανειών Προβολή Υφή Γραφική σωλήνωση εξόδου

3 Προβολές (projection) Δύο κατηγορίες προβολών: Προοπτική (perspective): πεπερασμένη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Παράλληλη: άπειρη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Ιδιότητες προβολών: Ευθείες προβάλλονται σε ευθείες. Αποστάσεις αλλάζουν (γενικά). 3Δ παράλληλες ευθείες, που είναι μη παράλληλες με επίπεδο προβολής, δεν προβάλλονται σε παράλληλες ευθείες, αλλά τέμνονται σε κάποιο σημείο φυγής. Γωνία μεταξύ ευθειών αλλάζει, εκτός αν επίπεδο γωνίας παράλληλο με επίπεδο προβολής.

4 Προοπτική Προβολής Στον πραγματικό κόσμο, τα αντικείμενα παρουσιάζουν μια προοπτική να μικραίνουν: τα μακρινά αντικείμενα φαίνονται μικρότερα Απλή περίπτωση:

5 Προοπτική Προβολής Όταν φτιάχνουμε 3-D γραφικά, θεωρούμε την οθόνη ως ένα -D παράθυρο μέσα στον 3-D κόσμο: Πόσο ψηλό πρέπει Να είναι?

6 Προοπτική Προβολής Η γεωμετρία της συγκεκριμένης κατάστασης είναι παρόμοια με τα τρίγωνα. Φαίνεται: X View plane P (x, y, z) (,,) x =? Z d Πόσο είναι το x?

7 Προοπτική Προβολής Το επιθυμητό αποτέλεσμα για ένα σημείο [x, y, z, ] T προβάλλεται μέσα στο πλάνο απεικόνισης: x ' x y ' y, d z d z d x x d y y x ', y ', z ' d z z d z z d Ποιος θα μπορούσε να είναι ο πίνακας?

8 Προοπτική Προβολή Έστω προβολή στο επίπεδο ΧΥ με κέντρο προβολής K,, d K,, d Κέντρο προβολής P 3 P X P Y P x, y, Επίπεδο προβολής P x, y, z P 3 P Z Ισχύει x d x d x x d z d z y d y d y y d z d z P

9 Προοπτική Προβολή Δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός (διαίρεση με z). Δεν μπορεί να δοθεί με μορφή πίνακα. Ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεταβολή του w. Ακολουθεί διαίρεση με την τιμή της ομογενούς συντεταγμένης w (αφού πρέπει w=) d d d P pers d z d y d x z y x P w z y x pers / d z d y d z d x w w z y x P Οπότε Οπότε το τελικό σημείο:

10 Προοπτική Προβολή Χαρακτηριστικό: κεντρική σμίκρυνση (όπως το ανθρώπινο μάτι αντιλαμβάνεται το βάθος). Y K Z X

11 Μετασχηματισμός Προοπτικής Τα αντικείμενα που βρίσκονται πιο κοντά στον παρατηρητή φαίνονται μεγαλύτερα Οι παράλληλες γραμμές συγκλίνουν σε ένα σημείο

12 Προβολή Προοπτικής Πόσα σημεία? 3-Point Προοπτική -Point Προοπτική -Point Προοπτική

13 Πίνακες προβολής Αφού μπορούμε να εκφράσουμε την προοπτική μίκρυνσης (perspective foreshortening) ως έναν πίνακα, μπορούμε να τα συνδυάσουμε με τους άλλους πίνακες με τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό πινάκων Ένας μόνο πίνακας θα περιέχει τους μετασχηματισμούς μοντελοποίησης, προβολής και προοπτικής

14 Παράλληλη Προβολή Κέντρο προβολής στο άπειρο, δίνεται κατεύθυνση προβολής. Διατηρεί αποστάσεις, χρήσιμο στοιχείο π.χ. στην αρχιτεκτονική. Ορθογώνια παράλληλη προβολή: πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα με κάθετες ακτίνες προβολής. Προβολή Κατεύθυνση προβολής

15 Παράλληλη Προβολή Κέντρο προβολής στο άπειρο, δίνεται κατεύθυνση προβολής. Διατηρεί αποστάσεις, χρήσιμο στοιχείο π.χ. στην αρχιτεκτονική. Ορθογώνια παράλληλη προβολή: πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα με κάθετες ακτίνες προβολής. Z P x, y, z B A Διεύθυνση Προβολής X A Px, y, Πίνακας μετασχηματισμού για ορθογώνια π.χ. στο ΧΥ. Το επίπεδο προβολής το z= B Y

16 Ορθογραφικές Προβολές Κατεύθυνση προβολής για να προβληθεί το σχέδιο Μπροστά Πάνω Πλάγια

17 Ορθογραφικές Προβολές Απλός Ορθογραφικός Μετασχηματισμός Διατηρούνται οι αρχικές μονάδες Προτιμούνται μονάδες pixel

18 Ορθογραφικό: Μετασχηματισμός στο χώρο Οθόνης left = m right = m top= m (max pix x, max pix y ) (height in pixels) bottom= m (, ) (width in pixels)

19 Ορθογραφικό: Μετασχηματισμός στο χώρο Οθόνης (Κανονικκοποίηση) Τα left, right, top, bottom αναφέρονται στις συντεταγμένες μοντελοποίησης Τα width και height είναι μονάδες pixel Αυτός ο πίνακας κλιμακώνει και μετασχηματίζει τις μονάδες

20 Παράλληλη Προβολή Παράλληλες προβολές διακρίνονται σε: Ορθογραφικές: ακτίνες προβολής κάθετες στο επίπεδο προβολής. Πλάγιες: ακτίνες όχι κάθετες. Ορθογραφικές διακρίνονται σε: Ορθογώνιες: ακτίνες προβολής παράλληλες με Χ, Υ ή Ζ. (π.χ. κάτοψη πάνω σε επίπεδο XY) Αξονομετρικές: μη ορθογώνιες. Το επίπεδο προβολής τέμνει ή 3 άξονες Ισομετρικές: ακτίνες προβολής παράλληλες με κύρια διαγώνιο χώρου, όπως στο παρακάτω σχήμα. Z I I I3 I 3 I I Y X

21 Χαρακτηρίζεται από γωνίες α (πρόσπτωσης) και φ. Αλλά Πίνακας πλάγιας παράλληλης προβολής Πλάγια Παράλληλη Προβολή O X Y Z z y x P,, y x P, y x P, L a sin cos L y y L x x P P L με c z L L z a tan όπου a c tan sin cos c c

22 Πλάγια Παράλληλη Προβολή Ειδικές περιπτώσεις. Cavalier ( a 45 c ) P Cav Ευθείες κάθετες στο επίπεδο προβολής δεν μεταβάλλουν το μήκος τους. Z Y a 45 X

23 Πλάγια Παράλληλη Προβολή Ειδικές περιπτώσεις Cabinet Ευθείες κάθετες στο επίπεδο προβολής μικραίνουν κατά / ) 3, 63 ( c a P Cab X Y Z 63 a

24 Πλάγια Παράλληλη Προβολή Cavalier (Προβολή = 45 o ) tan() = Cabinet (Προβολή = 63.4 o ) tan() =

25 Πλάγια Παράλληλη Προβολή Πλάγια Προβολή Μετασχηματισμένη Προβολή

26 Πλάγια Παράλληλη Προβολή Πλάγια Προβολή Μετασχηματισμένη Προβολή

27 Παράδειγμα. Σχεδιάστε στο επίπεδο XY την Cavalier προβολή του μοναδιαίου κύβου. Αναπαράσταση μοναδιαίου κύβου με χρήση πίνακα ABCDEFGH V Z Y X A B C D E F G H

28 Πλάγια Παράλληλη Προβολή Cavalier ) 45 ( c a P Cav V P V Cav ABCDEFGH V

29 Παράδειγμα Αναπαράσταση μοναδιαίου κύβου μετά την Cavalier προβολή του V P V Cav Y X A B C D E F G H ' ' ' ' ' ' ' ' ' H G F D E A B C V

30 Παράδειγμα Σχεδιάστε στο επίπεδο XY την Cabinet προβολή του μοναδιαίου κύβου V P V Cab Y X A B C D E F G H ' ' ' ' ' ' ' ' ' H G F D E A B C V P Cab

31 Προοπτική vs. Παράλληλη Προοπτική Προβολή + Το μέγεθος μεταβάλλεται με την απόσταση- μοιάζει ρεαλιστικό Οι αποστάσεις και οι γωνίες δεν διατηρούνται (γενικά) Οι παράλληλες γραμμές δεν παραμένουν (γενικά παράλληλες) Παράλληλη προβολή + Κατάλληλη για ακριβής μετρήσεις + Οι παράλληλες γραμμές παραμένουν παράλληλες Οι γωνίες δεν διατηρούνται (γενικά) Λιγότερο ρεαλιστική απεικόνιση

32 Κλασσικές προβολές

33 Ταξινόμηση Προβολών

34 d d d P pers Παράδειγμα 5. Σχεδιάστε στο επίπεδο XY την Προοπτική Προβολή του μοναδιαίου κύβου. Αναπαράσταση μοναδιαίου κύβου με χρήση πίνακα ABCDEFGH V Z Y X A B C D E F G H V P V pers

35

36

37

38 Παράδειγμα 5.

39

40

41 Παράδειγμα 5.3

42

43

44 Παράδειγμα 5.4

45

46

47

48 Παράδειγμα 5.5 Προσδιορίστε την προοπτική προβολή σχήματος (κάθε σημείου του) πάνω στο επίπεδο προβολής z = d χρησιμοποιώντας ως κέντρο προβολής την αρχή των αξόνων, σχήμα 5.7. Λύση:

49

50 Ερωτήσεις. Ποια από τα παρακάτω αποτελούν χαρακτηριστικά της προοπτικής προβολής; Δώστε μια σύντομη περιγραφή τους. a. πεπερασμένη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. b. άπειρη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. c. κεντρική σμίκρυνση d. διατηρεί τις αποστάσεις Σωστές απαντήσεις: a,c a. Θεωρούμε πως το κέντρο προβολής απέχει πεπερασμένη απόσταση από το επίπεδο προβολής. Συνήθως όταν το επίπεδο προβολής είναι το ΧΥ, θεωρούμε πως το κέντρο προβολής είναι πάνω στον αρνητικό Ζ άξονα, σε κάποιο σημείο έστω Κ(,,-d). c. Επίσης, σημαντικό χαρακτηριστικό της προοπτικής προβολής είναι η κεντρική σμίκρυνση, δηλαδή η μείωση του μεγέθους των αντικειμένων κατά ένα παράγοντα που είναι ανάλογος της απόστασης του αντικειμένου από το κέντρο προβολής,

51 Ερωτήσεις. Ποιο είναι το μειονέκτημα της προοπτικής προβολής που μας οδηγεί στη χρήση της παράλληλης προβολής; Η προοπτική προβολή προσομοιώνει καλά τον τρόπο που αντιλαμβάνεται το βάθος το ανθρώπινο μάτι. Όμως σε πολλές εφαρμογές, π.χ αρχιτεκτονικό σχέδιο, θέλουμε να διατηρήσουμε τις αποστάσεις αναλλοίωτες. Τότε καταφεύγουμε στην παράλληλη προβολή.

52 Ερωτήσεις 3. Περιγράψτε τις κατηγορίες στις οποίες διακρίνονται οι παράλληλες προβολές και αναλύστε μία από αυτές. Οι παράλληλες προβολές διακρίνονται σε: Ορθογραφικές όπου οι ακτίνες προβολής είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής Πλάγιες όπου οι ακτίνες προβολής δεν είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής. Πιο συγκεκριμένα οι ορθογραφικές διακρίνονται σε: Ορθογώνιες όπου οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες με τους άξονες Χ, Υ ή Ζ. Αξονομετρικές οι οποίες είναι μη ορθογώνιες. Ισομετρικές όπου οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες με την κύρια διαγώνιο του χώρου.

53 Ερωτήσεις 4. Ποια είναι η απλούστερη παράλληλη προβολή; Δώστε ένα παράδειγμα. Η απλούστερη παράλληλη προβολή είναι η ορθογώνια προβολή πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα συντεταγμένων x=, y=, z=. Για παράδειγμα, εάν το επίπεδο προβολής είναι το z=, τότε ένα σημείο Α(x,y,z) στον τρισδιάστατο χώρο προβάλλεται στο Α'(x,y,). Ο πίνακας μετασχηματισμού είναι ο