Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Επίλυση κυκλωμάτων εναλλασομένου ρεύματος Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Ημέθοδοςτωνμιγαδικώνμεγεθών Η επίλυση κυκλωμάτων εναλλασσομένου ρεύματος ανάγεται στην επίλυση κυκλωμάτων συνεχούςρεύματοςεάνθεωρήσουμεότιταμεγέθηv,iκαιζείναιμιγαδικοίαριθμοί.έστω ότιεφαρμόζουμετάσηv 0 sin(ωt)σταάκραενόςεξαρτήματος,οπότεαυτόδιαρρέεταιαπό ρεύμα I 0 sin(ωt + φ). Θεωρούμε τώρα την μιγαδική τάση V(t) = V 0 e iωt, δηλαδή, τέτοια ώστε V 0 sin(ωt) = Im(V). Το αντίστοιχο μιγαδικό ρεύμα γράφεται I(t) e i(ωt +φ ). Η μιγαδικήαντίστασητουεξαρτήματοςορίζεταιως Z = V I = V 0 eiωt I 0 e = V 0 e iφ = Ze iφ i(ωt +φ ) I 0 όπου Z είναιηεμπέδισητουεξαρτήματος. Μεταμιγαδικάμεγέθησεπολικήμορφήείναιπολύεύκολονακάνουμεπράξεις.Στοτέλος βρίσκουμετοαποτέλεσμάμαςπαίρνονταςτοφανταστικόμέρος. ΣτησυνέχειαδίνουμετιςμιγαδικέςαντιστάσειςτωνεξαρτημάτωνR,LκαιC,βασιζόμενοι στηνδιαφοράφάσηςμεταξύρεύματοςκαιτάσηςπουβρήκαμεσταπροηγούμενα. ΩμικήαντίστασηR:φ = 0 Z R = V 0 I 0 e 0 = R Z R = R ΠυκνωτήςC: φ = π ΠηνίοαυτεπαγωγήςL: φ = π Z C = V 0 e i π = i I 0 ωc Z C = 1 iωc Z L = V 0 e i π = iωl Z L = iωl I 0 ΓιατηνεπίλυσηενόςκυκλώματοςACχρησιμοποιούμεμιγαδικέςαντιστάσειςγιαόλατα εξαρτήματακαιαναλύουμετοκύκλωμαωςκύκλωμασυνεχούςρεύματος. 1) Γιαεξαρτήματασυνδεδεμένασε σειρά: Z = Z 1 + Z + ) Γιαεξαρτήματασυνδεδεμένα παράλληλα: 1 Z = 1 Z Z + 3) Ησυνολικήσύνθετηαντίστασητου κυκλώματοςγράφεται Z = Z 0 e iφ = Z 1 + iz όπου εμπέδισητουκυκλώματος είναιη 4) Ηενεργόςτιμήτηςτάσηςσυνδέεταιμετηνενεργότιμήτηςέντασηςτου ρεύματοςμετηνσχέση: Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015)

4 5) Ηφάσητηςτάσηςπροηγείταιτουρεύματοςκατάτηνφάση: 6) Ηκυκλικήσυχνότητασυντονισμούτουκυκλώματοςείναιεκείνηγιατηνοποία,δηλαδή. Χρήσιμεςείναιοιακόλουθεςιδιότητεςτωνμιγαδικώναριθμών: 1. Εάν,. Έστω.Εάν,τότε καιαντίστροφα. Παράδειγμα1.ΝαβρεθείησυχνότητασυντονισμούενόςκυκλώματοςRLCσεσειρά. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκυκλώματοςείναι: Z = Z R + Z L + Z C = R + iωl i ωc = R + i ωl 1 ωc Ηεμπέδισηείναι Ηεφαπτομένητηςδιαφοράςφάσηςμεταξύρεύματοςκαιτάσηςείναι Γιασταθερήενεργότάση,τοενεργόρεύμα γίνεταιμέγιστοότανηζ 0 γίνει ελάχιστη.αυτόσυμβαίνειστηνκυκλικήσυχνότητασυντονισμού Παρατηρήσατεότιστηνσυχνότητασυντονισμού, αντίστασηγίνεταιπραγματικόςαριθμός. καιησυνολικήσύνθετη Παράδειγμα.Ναβρεθείησυχνότητασυντονισμούτου κυκλώματος:

5 1 Z = = 1 Z C Z R + Z L 1 iωc + 1 R + iωl R + iω( R C + ω L C L) = = R + ω L Το1/Ζ(άρακαιτοΖ)γίνεταιπραγματικόςαριθμόςόταν. Άρα, Παρατηρούμεότιεάνσυμβείναισχύειότι R C = L,τότετοκύκλωμααυτόδενέχει συχνότητασυντονισμού. Φίλτρασυχνοτήτων Η μέθοδος των μιγαδικών μεγεθών διευκολύνει την ανάλυση κυκλωμάτων φίλτρων συχνοτήτων. Τα κυκλώματα αυτά περιλαμβάνουν μία έξοδο, η οποία επιτρέπει την διέλευση εναλλασσομένων τάσεων μίας περιοχής συχνοτήτων ενώ παρεμποδίζει (αποκόπτει)τάσειςσεάλλεςπεριοχές. Στα επόμενα παραδείγματα, V in και V out είναι η ενεργός τιμή της τάσης εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. Για να κατανοήσουμε την συμπεριφορά του κάθε κυκλώματος, υπολογίζουμετηναπολαβή,δηλαδή,τονλόγοv out V in. Παράδειγμα1. ΚύκλωμαRCδιέλευσηςυψηλώνσυχνοτήτωνήαποκοπήςχαμηλώνσυχνοτήτων. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι Z = Z R + Z C = R + 1 iωc Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + 1 ωc Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι

6 V in,0 Z R + 1 ωc καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι V out,0 R Άρα, V out V in = V out,0 V in,0 = R R + 1 ωc 0, (ω 0) 1, (ω 1) Άρα,τοκύκλωμαεπιτρέπειτηνδιέλευσηυψηλώνκαιαποκόπτειτηνδιέλευσηχαμηλών συχνοτήτων. Παράδειγμα. ΚύκλωμαRCδιέλευσηςχαμηλώνσυχνοτήτωνήαποκοπήςυψηλώνσυχνοτήτων. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι Z = Z R + Z C = R + 1 iωc Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + 1 ωc Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι V in,0 Z R + 1 ωc καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι V out,0 Z C 1 ωc

7 Άρα, V out V in = V out,0 V in,0 = 1 ωc R + 1 = 1 1, (ω 0) 1+ ω R C 0, (ω ) ωc Άρα, το κύκλωμα επιτρέπει την διέλευση χαμηλών και αποκόπτει την διέλευση υψηλών συχνοτήτων. Παράδειγμα3. ΚύκλωμαRLδιέλευσηςχαμηλώνσυχνοτήτωνήαποκοπήςυψηλώνσυχνοτήτων. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι Z = Z R + Z L = R + iωl Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + ( ωl) Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι V in,0 Z R + ( ωl) καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι V out,0 Z R R Άρα, V out V in = V out,0 V in,0 = R R + ωl 0, (ω ) 1, (ω 0) ( ) Άρα, το κύκλωμα επιτρέπει την διέλευση χαμηλών και αποκόπτει την διέλευση υψηλών συχνοτήτων.

8 Πρόβλημα Το κύκλωμα σειράς RLC μπορεί να χρησιμεύσει σαν φίλτρο, εάν πάρουμε έξοδο από την αντίσταση.ναπροσδιορίσετετηναπολαβή. Ησυνολικήμιγαδικήαντίστασητουκλειστούβρόχουείναι Z = Z R + Z L + Z C = R + iωl + 1 iωc = R + i ωl 1 ωc Άρα,ησυνολικήεμπέδισηείναι Z = R + ωl 1 ωc Τοπλάτοςτηςτάσηςεισόδουείναι V in,0 Z R + ωl 1 ωc όπουω 0 = 1 LC, R 1+ ω LC 1 ωrc ω ω 1 R 1+ 0 ωrc καιτοπλάτοςτηςτάσηςεξόδουειναι V out,0 Z R R Άρα, V out V in ω = V out,0 ω 1 = 1+ 0 V in,0 ωrc Παρατηρούμε ότι στη συχνότητα συντονισμού, ω = ω 0, η απολαβή V out Vin =1. Επίσης, όταν ω 0ή ω ηαπολαβή V out Vin 0.Άρα,τοκύκλωμαεπιτρέπειτηνδιέλευση συχνοτήτων στην περιοχή της συχνότητας συντονισμού και αποκόπτει την διέλευση τόσο τωνχαμηλώνόσοκαιτωνυψηλώνσυχνοτήτων.

9 Τέλος Ενότητας

10 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

11 Σημειώματα

12 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=198.

13 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής. «Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός. Επίλυση κυκλωμάτων εναλλασομένου ρεύματος. Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=198.

14 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/