ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Ι1. Συνδυαστική Ανάλυση Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Πολλαπλασιαστική αρχή ή αρχή του γινομένου Έστω τεστ με ερωτήματα X i (i=1,,) κάθε ένα από τα οποία μπορεί να απαντηθεί με N i διαφορετικούς τρόπους. Τότε υπάρχουν N 1 xn x xn διαφορετικοί τρόποι να απαντηθούν τα ερωτήματα. Δηλαδή, υπάρχουν N 1 xn x xn διαφορετικές διατεταγμένες -άδες (ή) τρόποι διαδοχικής επιλογής αντικειμένων, όπου κάθε αντικείμενο έχει N i δυνατές τιμές. Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (1/6)

4 Ι1. Συνδυαστική Ανάλυση (συν.) (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε στο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Το ίδιο αντικείμενο μπορούμε να το επιλέξουμε περισσότερες από 1 φορές. Έτσι, N i = i=1,,n είναι οι δυνατές τιμές σε κάθε επιλογή και επομένως σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν δυνατές επιλογές. Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (/6)

5 Ι1. Συνδυαστική Ανάλυση (συν.) (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Έτσι: 1 η επιλογή N 1 = η επιλογή N = -1 η επιλογή N = -(-1) = -+1 Αρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουνε συνολικά (-1) (-+1) δυνατές επιλογές ή διατάξεις Διάταξη ανά : κάθε διατεταγμένη -άδα που αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία ενός συνόλου με αντικείμενα. Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (3/6)

6 Ι1. Συνδυαστική Ανάλυση (συν.) (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη (συν.) Αν =, δηλ. επιλέγουμε από δοχείο με αντικείμενα έως ότου αδειάσει τότε πλήθος διατάξεων: x (-1) x (-) x x x 1 =! παραγοντικό! μεταθέσεις: πλήθος διατάξεων αντικειμένων Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (4/6)

7 Ι1. Συνδυαστική Ανάλυση (συν.) (Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη συνδυασμοί ανά Πλήθος διαφορετικών (μη διατεταγμένων) υποσυνόλων αντικειμένων ενός συνόλου με αντικείμενα. (ή) Πλήθος διαμερίσεων ενός συνόλου Α με αντικείμενα σε δύο ξένα υποσύνολα Α 1 με αντικείμενα και A με - αντικείμενα. Οι!!! είναι οι διωνυμικοί συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος a b 0 a b Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (5/6)

8 Ι1. Συνδυαστική Ανάλυση (συν.) (Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη (συν.) Ισχύουν τα εξής - - Πλήθος διαμερίσεων ενός συνόλου Α με αντικείμενα σε m το πλήθος ξένα υποσύνολα Α 1, A,, Α m με 1,,, m αντικείμενα, αντίστοιχα Είναι οι πολυωνυμικοί συντελεστές του αναπτύγματος: Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (6/6)!!!! 1 1 m m m m m m m a a a a a a 1 1 1,,, 1 1 1

9 Τέλος Ενότητας

10 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

11 Σημειώματα

12 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

13 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας. «Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

14 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]