ΘΕΜΑ Α. A2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 2. Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες 6

Transcript

1 Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ()>0 στο (α, 0 ) και f ()<0 στο ( 0, β), τότε να αποδείξετε ότι το f( 0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f Μονάδες 7 A. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f β) Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. γ) Αν είναι 0<α<, τότε lim α = + + δ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε ΘΕΜΑ Β β α f (t)dt = G( α ) G( β) Μονάδες 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z, για τους z οποίους ο αριθμός w= z + Να αποδείξετε ότι: είναι φανταστικός. B. z = B. Ο αριθμός 4 z είναι πραγματικός. z Μονάδες 7 B3. + (z +z ) 4, όπου z, z δύο από τους παραπάνω z z μιγαδικούς αριθμούς z B4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει u ui= w i w, w 0, ανήκουν στην υπερβολή y = ΘΕΜΑ Γ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:ø, για την οποία ισχύει: f()+=e, για κάθε. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι f()= e,, 0 = 0 Γ. Να αποδείξετε ότι oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α ( 0,f (0)). Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση. f()=+, Γ4. Να βρείτε το lim [ ( ln) ln( f ())] ΘΕΜΑ + 0 Μονάδες 8 Μονάδες 5 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:aø με Α=(0,+ ), για την οποία ισχύουν: f(a)=(,0] η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ), και f () f (t) f()+ e e f + = (t) t + dt +, για κάθε >0 t Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση F()= f (t) dt, >0. Να αποδείξετε ότι f()= l n, >0 + Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της F έχει μοναδικό σημείο καμπής Σ ( 0,F(0)), 0 >0, το οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ( 0, β) με β> 0, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της F στο σημείο M( ξ, F( ξ) ) να είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: F(β) (β )y+0 (β )=0 3. Αν β>, να αποδείξετε ότι η εξίσωση [ F( β) ( β)f ( β) ] 5 + ( β )( + ) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς, στο διάστημα (,3) Μονάδες 5 4. Να αποδείξετε ότι f t dt t f (t)dt, για κάθε > 0 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 8.30 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46 Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z - z - z - - z B. w I w = - w = - = z + z + z + z + B. (z - )(z + ) = ( - z)(z + ) zz + z - z - = z - - zz - z zz = zz = z = z = z = zz = z = () z 4 z z () 4 z - = z - z 4 = Imzi = 6 Im 4 zi 4 = 6 Im 4 z IR z B3. Ισχύουν : z = () και z = (3) () + z + z = z + zz + z = z + z z + z = 4 z (3) z B4. w Ι, άρα w = βi, με βιr Έστω u = + yi, με, y ΙR i i u - ui = - w + yi - ( + yi)i = - βi w βi + yi - i + y = - βi ( + y) + (y - )i = - βi β β y - = - β + y = () β y - = - - y = άρα οι εικόνες του u ανήκουν στην υπερβολή - y =

6 ΘΕΜΑ Γ Γ. f () + = e f () = e - e - Για 0 είναι f () = f συνεχής e - e f (0) = im f () = im = im = 0 0 DL'H 0 e -, αν 0 Άρα f () =, αν = 0 e - e- e + Γ. Για 0 είναι f () = = e - f () - f (0) - e - - im = im = im e - e = im = im = DL'H 0 DL'H 0 e - e +, αν 0 Άρα f () =, αν = 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = e - e +, g () = e, IR IR g () - + g g min = g (0) = 0, άρα g () > 0, για κάθε 0. Επομένως f () > 0, για κάθε ΙR, άρα f γν. αύξουσα στο IR, άρα f, άρα f αντιστρέψιμη.

7 e - im f () = im = f e - e im f () = im = im = DL'H + - D = f (IR) = im f (), im f () = (0, + ) f - + Γ3. (ε) : y - f (0) = f (0) ( - 0) (ε) : y - = (ε) : y = + oς τρόπος H f είναι κυρτή στο IR, άρα η C f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη ( ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Α (0, ), άρα f () + f () + και το "=" ισχύει μόνο για = 0. Eπομένως η εξίσωση f () = + έχει ακριβώς μια λύση την = 0. oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f () - -, IR Eίναι h () = f () -, IR f κυρτή < f ( ) < f ( ) f ( ) < f ( ) f f ( ) - < f ( ) - h ( ) < h ( ) άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR, επομένως η h () = 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο IR. h (0) = f (0) - = 0, άρα η h () = 0 έχει μοναδική ρίζα το 0. Eπομένως η εξίσωση f () = + έχει ακριβώς μια λύση την = 0. n Γ4. im ( n) = im = im = im (-) = DL'H im+ n 0 f () = u f () = im f () = 0 + u im nu = 0 άρα im f () = ( ) f () = 0 0 = 0 + n n im n im + + n 0 0 0

8 ΘΕΜΑ f () f (t). f () + + e = e f (t) t + dt +, > 0 () t Παραγωγίζουμε κατά μέλη και έχουμε : = e f () + f () f () f () + - e + e f () + f () = - - e -e f () = - -f () e = + f () -f () f () -f () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. προκύπτει ότι e = + + c () Aπό την () για = έχουμε : f () f () f () + e = f () + e = Θεωρούμε τη συνάρτηση S, με S () = + e, Είναι S () = + e > 0, άρα η S είναι γνησίως αύξουσα άρα η S είναι " - ". IR S " - " f () f () + e = S (f ()) = S (0) f () = 0 = f () = 0 -f () () e = + c = + c c = 0 c = 0 -f () () e = + e f () f () e = + f () + e + = = f () = n, > 0 +

9 . F () = f (t) dt = f (), > 0 F () = f () = n = = = =, > 0 To πρόσημο της f άρα και την κυρτότητα της f την καθορίζει ο παράγοντας ( - ) 0 + F () + - F σ.κ. F () = f (t) dt = 0, άρα σημείο καμπής της C το Σ (, 0) H F είναι παραγωγίσιμη στο [, β] Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (, β), τέτοιο ώστε F (β) - F () F (β) F (ξ) = = = λ ε β - β - άρα υπάρχει ξ (, β), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ (ξ, F (ξ)) είναι παράλληλη στην (ε). F F Είναι F () < 0 στο [, β], άρα η F είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β], άρα το ξ είναι μοναδικό.

10 3. Θεωρούμε συνάρτηση φ, με 3 φ () = ( - 3)[F (β) + ( - β)f (β)] + (β - )( - )( + ), [, 3] Η φ συνεχής στο [, 3] ως πράξεις συνεχών φ () = - [F (β) + ( - β) f (β)] < 0, διότι F στο [, + ) F (β) < ξ < β F (ξ) > F (β) > f (β) β - F (β) > (β - ) f (β) F (β) + ( - β) f (β) > 0 φ (3) = 8 (β - ) > 0 Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, 3), τέτοιο ώστε φ ( ) = 0 3 ( - 3)[F (β) + ( - β)f (β)] + (β - )( - )( + ) = 0 ( - 3) [F (β) + ( - β)f (β)] ( - 3) ( - ) F (β) + ( - β) f (β) (β - ) ( + ) (β - )( - ) ( + ) ( - 3) ( - ) 3 + = 0 3 = 0 3 F (β) + ( - β) f (β) (β - ) ( + ) άρα η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, 3) Θα δείξουμε ότι για κάθε > 0 ισχύει : t f dt t f (t) dt f (u) du t f (t) dt f (t) dt t f (t) dt () t = u t = u dt = du t u

11 oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f (t) dt - t f (t) dt, > 0 h () = f (t) dt - t f (t) dt = () f (t) dt + f (t) dt - t f (t) dt = f (t) dt + f () - f () = f (t) dt = F () f (A) = (-, 0], άρα f () 0 - f () 0 και το "=" ισχύει μόνο για = αν 0 < <, τότε -f (t) dt > 0 f (t) dt > 0 h () > 0 αν >, τότε -f (t) dt > 0 - f (t) dt > 0 h () < h () + - h h ma = h () = 0 Eπομένως για κάθε > 0 είναι : h () 0 f (t) dt - t f (t) dt 0 t f dt t f (t) dt ()

12 oς τρόπος αν 0 < t, τότε : - t 0 ( - t) f (t) 0, άρα f (t) 0 ( - t) f (t) dt 0 f (t) dt - tf (t) dt 0 f (t) dt tf (t) dt - f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt αν t, τότε : - t 0 ( - t) f (t) 0 -( - t) f (t) 0, άρα f (t) 0 -( - t) f (t) dt 0 - f (t) dt + tf (t) dt 0 - f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt Επομένως για κάθε > 0 ισχύει : f (t) dt tf (t) dt () t f dt t f (t) dt