x. Αν ισχύει ( ) ( )

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ 000 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος τις συνάρτησης c f είναι ίση με c f Θεωρία σχολικό σελίδα 0 Β. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Β το σύνολο των A στα οποία η f είναι f παραγωγίσιμη. Να δώσετε τον ορισμό της πρώτης παραγώγου Θεωρία σχολικό σελίδα 7 Β. Έστω ένα δείγμα v παρατηρήσεων, με v άρτιο αριθμό. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου. Θεωρία σχολικό σελίδα 87 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις... Ισχύει ότι ( f ( g )) f ( g ) g. Λ. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και τότε στο σημείο η f παρουσιάζει ελάχιστο. Σ. Ισχύει ότι Nκ Nκ + + ν κ. Λ. Έστω ένα δείγμα με μέση τιμή > 0 CV. Λ s.. Αν ισχύει f f για κάθε και τυπική απόκλιση s τότε ο συντελεστής μεταβολής. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω.Αν ισχύει P ( A) P( B) ισχύει N ( A) N ( B). Λ ΘΕΜΑ Β τότε Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P ( A B) και P( A B) α) Να αποδείξετε ότι P ( A) + P( B) 7 P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) P ( A) + P( B) β) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. ( A B) ( B A) P ( A) P ( A B) + P( B) P( A B) P ( A) + P( B) P ( A B) 8 P( A) + P( B), aν γ) Θεωρούμε και τη συνάρτηση : f P ( A B), αν η οποία είναι συνεχής.

2 i) i) Να βρείτε τις πιθανότητες P ( A) και P( B) P ( B) P( A) P A + P B P( A) + P( A) lim lim P( A)( ) ( ) P( A)( )( + ) ( ) lim lim ( ) ( P( A)( + ) ) lim f lim lim P ( A)( + ) P( A) f P A B όμως η f είναι συνεχής στο άρα lim ( ) f f P A P A B P A P A P A B P A P A + P A B 6P ( A) + 6P( A) P( A). Οπότε 8 P (B) ii) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Γ : πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β Δ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β, να εξετάσετε αν το δείγμα των αριθμών : P Γ, P, P A B, P B A είναι ομοιογενές. 7 P ( Γ ) P ( A B) P A B P ( ) P ( A B) P A B 8 8 P A B P A + P B P A B P A + P B P B A 7 P ( A) + P( B) P( B) + P( A B) P( A) + P( A B) ( ) ( ) P B A P B P B A P B P A B 7 P( B) + P ( A B) Άρα P ( Γ), P( ), P( A B), P( B A ) είναι 7,, 7, s s s 8 CV CV 7% > 0%, όχι ομοιογενές 8

3 ΘΕΜΑ Γ Α. Δίνεται η συνάρτηση f +. Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα Α και Β ενός P( A) και P A B είναι διαφορετικές μεταξύ τους και δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες { } ανήκουν στο σύνολο: Σ µ, λ, f ( ξ ), f ( q) α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, 0 0 6,6 f f f όπου μ το ελάχιστο της f και λ lim f Γνησίως φθίνουσα στο ( ], γνησίως αύξουσα στο [ ) f , +. β) Να βρείτε ότι μ - και λ 6 µ f ( 6) f ( 0)( ) λ lim lim lim ( )( ) ( ) γ) Να βρεθούν οι πιθανότητες P( A) και P ( A B) 0 τ. ε 8 6 A B A 0 PA B P( A) άρα P( A) και P( A B) δ) Να αποδείξετε ότι P( B) ή P( B) 6 A B B P( A B) P( B) P( B) P ( B A) P ( B) P ( A B) P( B) + P( B) ή P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( B) + P( B) 6 ε) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β είναι 7 να βρείτε την πιθανότητα: i) Να πραγματοποιηθεί το Β ασυµβ ίβαστα ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) A B B A P A B P B A A B B A P A P B P A B 7 + P( B) P( B) 7 + 9

4 iii) Να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β. P A B P A P B P A B P A P B P A B P ( A) + P( B) P( A) + P( A B) + + α 0 Β. Δίνεται η συνάρτηση f όπου α R. Η εφαπτόμενη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M, f είναι παράλληλη στην ευθεία : 6 ζ y α) Να αποδείξετε ότι α0. ( + a)( ) ( + a 0) f 0 + a + a f 6 6 a ( + a) a a a a a 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) f y λ + β 6, y + β διέρχεται από Μ λ f 6 άρα 6 + β β 8 και εξίσωση εϕαπτοµ ένης : y γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ( + 0)( ) f ( ) + + f f, f 0 0 ( ) 0 0 ή τ. ε τ. µ. (,0] [, ) [ 0,) (, ] Γνησ ίως ϕθίνουσα στο + Γνησ ίως αύξουσα στο

5 δ) Μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή ίση με το τοπικό ελάχιστο της f και τυπική απόκλιση s ίση με το τοπικό μέγιστο της f. f 0 0, s f i) Να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ δεν είναι ομοιογενές. s CV % > 0%, όχι ομοιογενές. 0 ii) Αν γνωρίζετε ότι υπάρχουν 00 παρατηρήσεις με τιμή μεγαλύτερη του, να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων που ανήκουν στο διάστημα (, ),% έχουν 00 παρατηρ ήσεις 8,8 έχουν παρατηρ ήσεις 0,,,, 00 8,8, 0, , iii) Να βρείτε τον μικρότερο αριθμό c > 0 που πρέπει να προσθέσουμε σε καθεμιά από τις παρατηρήσεις της μεταβλητής X, ώστε το δείγμα των αριθμών που θα προκύψουν να είναι ομοιογενές. s s + c 0 + c s CV 0% ( 0 c) 0 + c c c 0, άρα η μικρότερη τιμή του για c 0 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω {,,,,} ισχύει ότι P ( κ ) ακ + β µε κ Ω.Θεωρούμε επίσης το ενδεχόμενο. Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω Α { κ Ω οι παρατηρήσεις,, κ, κ +, κ +, έχουν συντελεστ ή µεταβολής CV < για τον οποίο ισχύει ότι P ( A) 0 α) Να αποδείξετε ότι a και β 0 0 P a + β, P() a + β, P() a + β, P() a + β, P() a + β P P P P P a β 0 + κ + κ ( κ ) + κ + + ( κ + ) + ( κ + ) s κ κ κ κ κ κ κ

6 κ + 8κ + 0 ( κ + κ + ) s ( κ + κ + ) CV < < s < < ( + κ ) 7 κ + κ + < ( + κ + κ ) 0κ + 0κ + < 8 + κ + 7κ κ 8κ ± 0 κ 8κ < 0, 00, κ, κ ή κ 6 κ, κ, άρα Α {, } κ Ω P ( A) P + P a + β + α + β α + β 0α + 0β () 0 0 0α + 0β Απ ό () και () 0α 0β 0β β και α + β α + α 0 0 β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο B κ Ω το ελά χιστο της f ln + κ κ είναι µεγαλύτερο του + { } i) Να βρείτε την πιθανότητα P ( B) f ln + κ κ, > 0 f ( ) f 0 0 ±, > 0 άρα 0 + f f 0 + τ. ε f κ κ + f > + κ κ > κ κ + 6< 0 κ ή κ κ κ κ (, ) (, + ) κ,, κ Ω 9 P ( B) P + P + P 0a + β άρα Β {,,}

7 ii) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της g P (( A B) ( B A) ) που σχηματίζουν γωνία ο με τον άξονα P A B. ασυµβ ίβαστα A B B A P A Β + P B A P A + P B P A B , αϕού Α Β { } P( A B) P a + β P A B P A + P B P A B P A + P B P A B P A + P B P A + P A B 9 P( B) + P( A B) Άρα g έστω M ( o, g ( o )) το σημείο επαφής ο g + 7 και g ( o ) εϕ, επομένως o + o 7 o + o 6 0 o + o 0 o ή o (, ) και, Σηµεία επαϕής M g Ν g Εξίσωση εφαπτομένης y λ + β, λ άρα ε : y + β 0 g και g ( ) ( ) + ( ) 7( ) Μ ε άρα + β β και ε: y N ε άρα + β β 9 και ε : y + 9