ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΑ PETRI ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΟΥ-ΓΙΑΝΝΕΛΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΥΣΟΛΕΩΝ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή 2. Δυνατότητες κι εφαρμογές των δικτύων Petri 3. Συνήθη δίκτυα Petri Δομικά στοιχεία δικτύων Petri Μαθηματικός ορισμός συνήθων δικτύων 3.3. Ενεργοποίηση μεταβάσεων 3.4. Σημάνσεις δικτύων Petri 3.5. Βασικές δυναμικές καταστάσεις που μοντελοποιούνται Ιδιότητες δικτύων Petri 4. Κατηγορίες Δικτύων Petri 4.1. Δίκτυα Petri χαμηλού επιπέδου 4.2. Δίκτυα Petri υψηλού επιπέδου 4.3. Χρονικές εκδόσεις δικτύων Petri Δίκτυα Petri με χρονισμένες μεταβάσεις Χρονισμένα δίκτυα Petri Χρονικά δίκτυα Petri Μνήμη Πολλαπλή ενεργοποίηση (Multiple Enabling) 4.5. Δίκτυα με χρονισμένες θέσεις 4.6. Στοχαστικές εκδόσεις Στοχαστικά δίκτυα Petri Γενικευμένα στοχαστικά δίκτυα Petri 4.7. Δίκτυα Petri με ουρές 5. YAWL(Yet Another Workflow Language) 5.1. Χαρακτηριστικά 5.2. Σχεδιασμός ενός απλού παραδείγματος 5.3. Συμπέρασμα 6. Συμπερασματα 7. Βιβλιογραφία

3 1. Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται η θεωρία σχετικά με τα δίκτυα Petri. Συγκεκριμένα παρατίθενται ο ορισμός, οι ιδιότητες, οι τεχτικές ανάλυσεις, οι κατηγορίες καθώς και οι εφαρμογές των δικτύων Petri. Στο τέλος της εργασίας γίνεται η παρουσίαση ενός πακέτου λογισμικού που βασίζεται στα δίκτυα Petri, το Yawl. Χρησιμοποιώντας ένα απλό παραάδειγμα ροής εργασίας, δίνονται όλες οι απαραίτητες οδηγίες για την χρήση του Yawl. Το εγχειρίδιο αυτό μπορεί να αποτελέσει μία καλή βάση για οποιονδήποτε θελήσει να εργαστεί στο Yawl και να κατασκευάσει το μοντέλο ροής εργασιών πολυπλοκότερων συστημάτων.

4 2. Δυνατότητες και εφαρμογές των δικτύων Petri Η επινόηση των Δικτύων Petri (ΔP) έγινε το 1962 από τον Carl Adam Petri και συναντάται για πρώτη φορά στην διδακτορική του διατριβή με τίτλο «Επικοινωνία με Αυτόματα» [3]. Στην άνω διατριβή, έγινε χρήση των ΔP ως μαθηματικού εργαλείου με σκοπό αυτά να αποτελέσουν τη βάση μιας θεωρίας επικοινωνίας (συσχετίσεων και γεγονότων) μεταξύ των συστατικών μερών ενός υπολογιστικού συστήματος. Η κύρια ιδέα την οποία διαπραγματεύεται στην εργασία του ο Petri ήταν πως η πιο αποτελεσματική μέθοδος για την τυποποιημένη ανάλυση ενός συνόλου από επικοινωνούντα αυτόματα, ήταν να δηλωθούν με τον ίδιο τρόπο οι αλλαγές κατάστασης στα αυτόματα και η επικοινωνία μεταξύ τους [4]. Η χρήση των δικτύων Petri έγινε για την περιγραφή διασυνδεδεμένων συστημάτων, χωρίς τη λεπτομερή θεώρηση χρόνου. Η εργασία αυτή οδήγησε στην ανάπτυξη, από θεωρητικής απόψεως, των βασικών κανόνων λειτουργίας των δικτύων Petri. Η πρώτη παρουσίαση και αναπαράσταση των δικτύων Petri πραγματοποιήθηκε στο εργαστήριο Επιστήμης Υπολογιστών του MIT από μια ομάδα επιστημόνων με επικεφαλής τους A. Holt, F. Commoner και M. Hack κατά το χρονικό διάστημα από 1968 έως Η άνω ενέργεια έδωσε το έναυσμα για την αύξηση του ενδιαφέροντος για τα ΔP, με κύρια συνέπεια την συμπλήρωση και εξέλιξη σε σημαντικό βαθμό της αρχικής θεωρίας. Από την αρχική διατύπωση του ορισμού των ΔP έως σήμερα που αποτελούν ένα από τα πλέον διάσημα και εύχρηστα εργαλεία μαθηματικής και γραφικής μοντελοποίησης, μεσολάβησε η παρουσίαση εκατοντάδων ορισμών, διευκρινίσεων, εργαλείων ανάλυσης κι επεκτάσεων του αρχικού μοντέλου, που πρόσφεραν περισσότερες δυνατότητες αναπαράστασης και μελέτης συστημάτων. Τα δίκτυα Petri είναι ένα θεωρητικό μοντέλο ροής πληροφορίας. Ο σκοπός για τον οποίο αναπτύχθηκαν οι έννοιες, τα χαρακτηριστικά, οι ιδιότητες, τα εργαλεία ανάλυσης και οι τεχνικές που σχετίζονται με αυτά, ήταν η εύρεση απλών και αποτελεσματικών μεθόδων προκειμένου να γίνει η περιγραφή και ανάλυση της ροής πληροφορίας και ο έλεγχος συστημάτων[5]. Τα δίκτυα Petri απαιτούν τον συνδυασμό μαθηματικών και γραφικών εργαλείων για την πραγμάτωση της μοντελοποίησης συστημάτων που προσδιορίζονται ως παράλληλα, ασύγχρονα, κατανεμημένα, στοχαστικά ή μη αιτιοκρατικά. Τα μοντέλα που δημιουργούνται αποτελούνται από έναν μικρό αριθμό στοιχείων (tasks), κάτι που καθιστά τα δίκτυα Petri μια γλώσσα

5 μοντελοποίησης, η οποία είναι κατανοητή και εύκολη στην χρήση [6]. Η χρήση των δικτύων Petri, ως γραφικoύ εργαλείου, είναι ιδιαίτερα δημοφιλής στην απεικόνιση και στην επικοινωνία στοιχείων όπως τα διαγράμματα ροής και τα λογικά δένδρα. Επίσης, αναπαριστούν με φυσικό τρόπο τις λογικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των συστατικών μερών και των δραστηριοτήτων σε ένα σύστημα. Τα δίκτυα Petri υλοποιούν τα στατικά και τα δυναμικά χαρακτηριστικά πραγματικών συστημάτων συνδυάζοντας την έννοια της κατανεμημένης κατάστασης με ένα κανόνα αλλαγής κατάστασης. Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με την ύπαρξη υπολογιστικών εργαλείων που επιτρέπουν την προσομοίωση τους, τα καθιστούν ένα ιδιαίτερα αποτελεσματικό εργαλείο ανάπτυξης πολύπλοκων συστημάτων. Ως μαθηματικό εργαλείο χρησιμοποιούνται για την εκπόνηση εξισώσεων κατάστασης, αλγεβρικών εξισώσεων και άλλων μαθηματικών μοντέλων, τα οποία καθορίζουν τη συμπεριφορά των συστημάτων. Επειδή μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο από θεωρητικούς όσο και από εφαρμοσμένους επιστήμονες, αποτελούν ισχυρό μέσο επικοινωνίας και συνεννόησης μεταξύ μελών δύο ίδιων ομάδων [8]. Μερικές από τις πλέον κοινές καταστάσεις συστημάτων διακριτών γεγονότων για την αναπαράσταση των οποίων χρησιμοποιούνται δίκτυα Petri είναι αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα, κατανομή κοινών πόρων σε ένα σύστημα, περιορισμούς προαπαιτουμένων και ακολουθίες γεγονότων. Τα βασικότερα αντικείμενα για τα οποία χρησιμοποιούνται τα ΔP είναι η μοντελοποίηση, προσομοίωση, αξιολόγηση αποδοτικότητας, ανάλυση συμπεριφοράς, επιβεβαίωση δομικών ιδιοτήτων, παρακολούθηση χρονοπρογραμματισμός, εποπτικός έλεγχος και ο έλεγχος σε πραγματικό χρόνο συστημάτων [8]. Τα ΔP μπορούν να εντοπίσουν παράγοντες που περιορίζουν την απόδοση ενός συστήματος, δίνοντας παράλληλα τη δυνατότητα να προτιμηθούν αλλαγές και βελτιώσεις που θα συμβάλλουν στη βελτιστοποίηση της συμπεριφοράς του [9]. Περαιτέρω, έχουν τη δυνατότητα να προσομοιώσουν τις δυναμικά εξελισσόμενες και παράλληλες δραστηριότητες των συστημάτων, να κάνουν εφικτή την ιεραρχική μοντελοποίηση και τη μοντελοποίηση συστημάτων με διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας. Τα δίκτυα Petri έχουν μέχρι σήμερα χρησιμοποιηθεί κυρίως σε επιστημονικούς τομείς που προέρχονται από χώρους με τελείως διαφορετικά χαρακτηριστικά. Επίσης, έχουν χρησιμοποιηθεί σε πληθώρα τομέων, από τους οποίους οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και τα συστήματα επεξεργασίας πληροφορίας είναι αυτός, όπου έχει παρατηρηθεί ο μεγαλύτερος αριθμός και ποικιλία εφαρμογών των ΔΡ. Προβλήματα σχετικά με

6 ηλεκτρονικούς υπολογιστές στα οποία χρησιμοποιούνται ΔP αναφέρονται σε πρωτοκόλλα επικοινωνίας και κατανεμημένα συστήματα, επεξεργασία δεδομένων, συστήματα πολυμέσων, μεταγλωττιστές, ψηφιακά κυκλώματα, υπολογιστικά συστήματα ροής δεδομένων, τοπικά δίκτυα, συστήματα πολλαπλών πρακτόρων, πληροφοριακά συστήματα γραφείου, ηλεκτρονικές υπηρεσίες και κατανεμημένες ηλεκτρονικές επιχειρήσεις, μοντελοποίηση υλικού (hardware), συστήματα μνήμης πολλαπλών επεξεργαστών, ψηφιακά φίλτρα, αναζήτηση και επαλήθευση γνώσης, τηλεπικοινωνιακά δίκτυα και κέντρα, VLSI, αλγοριθμικά συστατικά, παράλληλα προγράμματα και βάσεις δεδομένων. Τέλος, τα ΔP έχουν χρησιμοποιηθεί σε πολλούς άλλους τομείς, μεταξύ των οποίων ενδεικτικά συμπεριλαμβάνεται η μοντελοποίηση και αξιολόγηση αποδοτικότητας συστημάτων πολλών εξυπηρετητών -πολλαπλών ουρών, η μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων παραγωγής, οι εφαρμογές ρομποτικού ελέγχου, χημικών εργοστασίων, προβλήματα χρονοπρογραμματισμού και ελέγχου σιδηροδρομικών δικτύων, ενεργειακών συστημάτων, εφοδιαστικών αλυσίδων, η αυτοματοποίηση εργοστασίων, συστημάτων ελέγχου κυκλοφορίας (εναέριας ή επίγειας), συστήματα στρατιωτικών εντολών και ελέγχου, η επιλογή συμπεριφοράς πλοήγησης, η προσομοίωση πολλαπλών μη επανδρωμένων αεροσκαφών και η διαχείριση έργων. Τα τελευταία χρόνια η χρήση των δικτύων Petri έχει επεκταθεί και σε εφαρμογές που απέχουν σημαντικά από τις παραδοσιακές μέχρι τώρα εφαρμογές μηχανικών. Παράδειγμα αυτής της ευρύτερης χρήσης αποτελεί η μελέτη συμπεριφοράς και αντίδρασης ομάδων ή ατόμων κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, διαδικασιών εξέλιξης και νευρωνικών δικτύων, μοντέλα αποφάσεων, εφαρμογές που προέρχονται από την εργονομία (π.χ. διάγνωση σφαλμάτων), εφαρμογές στην ιατρική και τη βιοτεχνολογία, μοντελοποίηση οικολογικών διαδικασιών και περιβαλλοντικών θεμάτων, μοντελοποίηση βιολογικών διαδικασιών και βιοχημεία [1].

7 3. Συνήθη δίκτυα Petri Τα συνήθη δίκτυα Petri (Ordinary Petri Nets - OPNs) υπήρξαν το βασικότερο μοντέλο για όλες τις παραλλαγές και επεκτάσεις που ακολούθησαν. Το αρχικό μοντέλο είναι ανεξάρτητο με την έννοια του χρόνου, αλλά παρουσιάζει ακολουθίες εκτέλεσης διακριτών γεγονότων όπως επίσης και τις λογικές συνδέσεις και αλληλεπιδράσεις μεταξύ των συστατικών μερών του υπό μελέτη συστήματος. Η δομή του δικτύου επιτρέπει την ακολουθία εκτέλεσης των γεγονότων σε ένα σύστημα μοντελοποιημένο με δίκτυα Petri, γεγονός που οδηγεί σε μη αιτιοκρατία στην εκτέλεση του [1]. 3.1 Δομικά στοιχεία δικτύων Petri Ένα δίκτυο Petri είναι ένα προσανατολισμένο γράφημα που αποτελείται τις θέσεις, τις μεταβάσεις και τις τελείες. Οι θέσεις και οι μεταβάσεις είναι κόμβοι ενώ οι τελείες είναι αυτές που μετακινούνται. Οι τελείες συμβολίζονται ως μαύρες τελείες ( ) και δεν εμφανίζονται αυτόνομα στο δίκτυο, αλλά αλληλεπιδρούν με τους δύο τύπους κόμβων από τους οποίους αποτελείται. Οι θέσεις περιγράφουν τις καταστάσεις και τους πόρους του συστήματος και συμβολίζονται με κύκλους (Ο). Οι θέσεις είναι τα παθητικά στοιχεία του δικτύου, που αποθηκεύουν υλικά συστατικά ενός συστήματος, όπως για παράδειγμα κομμάτια σε μηχανές και αποθήκες ή πληροφορίες. Επομένως, σε ένα σύνθετο σύστημα οι θέσεις αναπαρηστούν την κατανεμημένη κατάσταση της πληροφορίας. Οι μεταβάσεις αναπαριστούν τα γεγονότα που συμβαίνουν στο σύστημα και συμβολίζονται με τετράγωνα ή μπάρες. Αποτελούν τα ενεργά στοιχεία του συστήματος, που δείχνουν την μεταβολή της κατάστασης του. Μια μετάβαση μπορεί να δείχνει μια ενέργεια ή μια διαδικασία που γίνεται και είναι αυτές που παράγουν και μεταφέρουν τελείες. Οι θέσεις μαζί με τις μεταβάσεις αναπαριστούν τη στατική δομή ενός δικτύου Petri ενώ οι τελείες καθορίζουν τη δυναμική του κατάσταση. Οι θέσεις και οι μεταβάσεις συνδέονται με προσανατολισμένα τόξα (τα τόξα συνδέουν θέσεις με μεταβάσεις ή το αντίστροφο, αλλά ένα τόξο δεν επιτρέπεται να συνδέσει στοιχεία του ίδιου συνόλου). Τα τόξα αναπαριστούν την φυσική και λογική σύνδεση μεταξύ θέσεων και μεταβάσεων και την απαίτηση πόρων, ενώ καθορίζουν την προτεραιότητα ή την σειρά των εργασιών που θα γίνουν. Κάθε τόξο συνοδεύεται

8 από ένα θετικό ακέραιο που αντιπροσωπεύει το βάρος πολλαπλότητας του. Σε περίπτωση που για κάποιο τόξο δεν εμφανίζεται ο αριθμός αυτός, το βάρος του θεωρείται μοναδιαίο. Στα συνήθη δίκτυα Petri, τα βάρη όλων των τόξων είναι ίσα με τη μονάδα. Οι τελείες αποθηκεύονται μέσα στις θέσεις του δικτύου, ενώ ταξιδεύουν μέσω των τόξων κι η ροή τους στο δίκτυο ρυθμίζεται από τις μεταβάσεις που τίθενται σε ετοιμότητα από την παρουσία τους στις κατάλληλες θέσεις. Όταν μια θέση περιέχει μεγάλο αριθμό τελειών αναγράφεται μέσα σε αυτή ο αντίστοιχος αριθμός. Οι τελείες σε μια θέση αναπαριστούν τη διαθεσιμότητα ενός πόρου, την κατάσταση του πόρου (π.χ. αν μια μηχανή είναι διαθέσιμη ή όχι), υποθέσεις ή σήματα εισόδου κι εξόδου. Το βάρος πολλαπλότητας ενός τόξου αντιστοιχεί στον αριθμό από τελείες που προστίθενται ή αφαιρούνται στη θέση εισόδου (ή στις θέσεις εισόδου) ή εξόδου αντίστοιχα της μετάβασης που λειτουργεί.[1] 3.2 Μαθηματικός ορισμός συνήθων δικτύων Petri Ο ορισμός των δικτύων Petri, όπως έχει διατυπωθεί στην εργασία του Γεωργίου Ι. Τσιναράκη είναι: «Ένα σύνηθες δίκτυο Petri είναι ένα προσανατολισμένο γράφημα που ορίζεται από την πεντάδα στοιχείων: ΔP = {P, T, I, O, m0 }, όπου P = {p1, p2... p} είναι ένα πεπερασμένο και μη κενό σύνολο από θέσεις και T = {t1, t2... tntnp} ένα πεπερασμένο και μη κενό σύνολο από μεταβάσεις. Η τομή των συνόλων των θέσεων και των μεταβάσεων είναι το κενό σύνολο (P T = O), ενώ η ένωση τους ορίζει το σύνολο V των κόμβων του δικτύου =P TV. Το I: (P x T) > είναι ο πίνακας συμβάντων εισόδου, που αντιστοιχεί στο σύνολο των τόξων με κατεύθυνση από θέσεις προς μεταβάσεις και το O: (P x T) > είναι ο πίνακας συμβάντων εξόδου, που αντιστοιχεί στο σύνολο των κατευθυνόμενων τόξων από μεταβάσεις προς θέσεις αντίστοιχα. Το σύνολο των τόξων ενός δικτύου Petri Α, είναι A IO=. Το αναπαριστά το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών. Ως m0 συμβολίζεται η αρχική σήμανση του ΔP, δηλαδή η αρχική κατανομή των τελειών στις θέσεις του (οι αριθμοί τελειών που βρίσκονται σε κάθε θέση).»[1] 3.3 Ενεργοποίηση μεταβάσεων Για να ενεργοποιηθεί μια μετάβαση θα πρέπει πρώτα να είναι σε ετοιμότητα (enabled), που σημαίνει πως όλες οι θέσεις εισόδου της περιέχουν το λιγότερο μια τελεία. Δηλαδή, οι θέσεις εισόδου μιας μετάβασης λειτουργούν ως προϋποθέσεις για

9 την ενεργοποίηση της. Γενικά, μια μετάβαση τίθεται σε ετοιμότητα όταν όλες οι θέσεις εισόδου περιέχουν αριθμό από τελείες μεγαλύτερο ή ίσο των βαρών των αντίστοιχων τόξων σύνδεσης της μετάβασης με τις θέσεις εισόδου. Μόλις οι τελείες απομακρυνθούν από τις θέσεις εισόδου και προστεθούν στις θέσεις εξόδου, όπως ορίζουν τα βάρη των αντίστοιχων τόξων, η μετάβαση αυτή θεωρούμε πως ενεργοποιείται (fires). Ο αριθμός των τελειών που αφαιρούνται από τις θέσεις εισόδου δεν είναι πάντα ίδιος με τον αριθμό τελειών που προστίθενται στις θέσεις εξόδου. Ο μηχανισμός αυτός ενεργοποίησης μεταβάσεων είναι γνωστός κι ως token game. Στην περίπτωση που πολλές μεταβάσεις (που είναι σε ετοιμότητα) έχουν μια κοινή θέση εισόδου, η οποία περιέχει μια μόνο τελεία δεν μπορούν να ενεργοποιηθούν. Το φαινόμενο αυτό συναντάται σε συστήματα που έχουν πρόβλημα κατανομής κοινών πόρων ή διαθέτουν αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα. Μια μετάβαση χωρίς καμία θέση εισόδου ονομάζεται μετάβαση πηγής (source transition) και τροφοδοτεί με τελείες το σύστημα χωρίς να καταναλώνει κάποιες από τις υπάρχουσες. Μια τέτοια μετάβαση ορίζεται για την εμφάνιση μη ελεγχόμενων γεγονότων, όπως οι βλάβες κι οι αφίξεις παραγγελιών σε ένα σύστημα. Μια μετάβαση χωρίς καμία θέση εξόδου ονομάζεται μετάβαση βύθισης (sink transition) και καταναλώνει τελείες χωρίς να παράγει νέες. Η μετάβαση βύθισης ορίζεται σε ένα σύστημα για να δηλώσουμε τα έτοιμα προϊόντα που απομακρύνονται από το σύστη,α και παραδίνονται στον πελάτη [1]. 3.4 Σημάνσεις δικτύων Petri Για την σήμανση ενός δικτύου Petri χρησιμοποιείται ένας ακέραιος μη αρνητικός αριθμός για κάθε θέση, ο οποίος δείχνει τον αριθμό των τελειών που βρίσκονται στην θέση αυτή την χρονική στιγμή. Η σήμανση ενός δικτύου Petri συμβολίζεται με το γράμμα m κι είναι ένα διάνυσμα μεγέθους ίσου με τον αριθμό θέσεων του. Η αρχική σήμανση ενός δικτύου Petri είναι υπεύθυνη για όλες τις σημάνσεις που εμφανίζονται κατά την εκτέλεση των διαδοχικών ενεργοποιήσεων. Οι σημάνσεις αυτές συμβολίζονται ως mi, όπου ο δείκτης i είναι θετικός ακέραιος αριθμός που δείχνει τον αύξοντα αριθμό της τρέχουσας ενεργοποίησης. Όταν σε ένα ΔP η κατάσταση του οποίου περιγράφεται αρχικά από τη σήμανση mj ενεργοποιηθεί μια μετάβαση t σε ετοιμότητα, προκύπτει η νέα του σήμανση m i +1 που περιγράφεται από την εξίσωση: mi+1(pj) = mi (pj ) + O(pj, ti) - I(pj, ti), για j = 1,2,,n (3.1)

10 όπου n ο αριθμός των θέσεων που συνθέτουν το δίκτυο. Η σήμανση m i+1 λέγεται προσεγγίσιμη από την αρχική σήμανση mi. Η αλλαγή κατάστασης του ΔP από mi σε mi+1 λόγω της ενεργοποίησης της tj συμβολίζεται ως: mi->mi+1 (3.2) [1]. 3.5 Βασικές δυναμικές καταστάσεις που μοντελοποιούνται με ΔP Οι βασικότερες καταστάσεις που συναντάμε κατά τη μελέτη συστημάτων διακριτών γεγονότων είναι η ακολουθία γεγονότων, η παραλληλία, ο αμοιβαίος αποκλεισμός, ο συγχρονισμός, το αδιέξοδο και η σύγκρουση. Στο σημείο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος με τον οποίο μονελοποιούνται οι καταστάσεις αυτές με τα δίκτυα Petri. Η ακολουθία αναφέρεται σε ένα δίκτυο που αποτελείται από δύο μεταβάσεις, όπου η θέση εξόδου της πρώτης αποτελεί τη θέση εισόδου της δεύτερης. Στην περίπτωση αυτή η δεύτερη μετάβαση ενεργοποιείται μόνο εάν ενεργοποιηθεί η πρώτη μετάβαση. Η παραλληλία συμβαίνει όταν δύο μεταβάσεις είναι σε ετοιμότητα και δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, οπότε μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα. Ο αμοιβαίος αποκλεισμός συμβαίνει όταν έχουμε κοινούς πόρους σε ένα σύστημα. Σε αυτόν, δύο μεταβάσεις είναι παράλληλα σε ετοιμότητα σε κάποια σήμανση, όμως δεν μπορούν να ενεργοποιηθούν κι οι δύο εξαιτίας της ύπαρξης κοινής θέσης εισόδου η οποία περιέχει μια μόνο τελεία. Η ενεργοποίηση της μιας μετάβασης αφαιρεί την ετοιμότητα της άλλης, η οποία έχει μια τουλάχιστον κενή θέση εισόδου. Ο αμοιβαίος αποκλεισμός αποτελεί περίπτωση σύγκρουσης. Σε περιπτώσεις συγκρούσεων, η επιλογή της μετάβασης που θα ενεργοποιηθεί, μπορεί να γίνει με διαφορετικά κριτήρια, όπως για παράδειγμα την ύπαρξη προτεραιοτήτων. Ο συγχρονισμός παρατηρείται όταν μια μετάβαση έχει περισσότερες από μια θέσεις εισόδου. Στην περίπτωση αυτή, η μετάβαση δεν μπορεί να τεθεί σε ετοιμότητα μέχρι να βρεθούν τελείες σε όλες της τις θέσεις εισόδου. Χαρακτηριστική περίπτωση κατεργασίας που είναι αναγκαίος ο συγχρονισμός αποτελούν οι συναρμολογήσεις στα συστήματα παραγωγής. Αδιέξοδο εμφανίζεται σε ένα δίκτυο Petri όταν φτάσει σε μια κατάσταση όπου καμία μετάβαση δεν μπορεί να τεθεί σε ετοιμότητα και να ενεργοποιηθεί και συνεπώς η εκτέλεση του δικτύου διακόπτεται. Με λίγες εξαιρέσεις (π.χ. όταν μελετάται η εξυπηρέτηση συγκεκριμένου αριθμού πελατών σε ένα σύστημα), πρόκειται για

11 ανεπιθύμητη κατάσταση που οφείλεται σε λάθος σχεδιασμού, κι απαιτεί τον επανασχεδιασμό μέρους του συστήματος ή του μοντέλου του [1]. Σχήμα1: Αναπαράσταση δικύων Petri (Πηγή: Γεωργίου Ι. Τσιναράκη(2007)) 3.6 Ιδιότητες δικτύων Petri Τα δίκτυα Petri, ως μαθηματικό εργαλείο, έχουν μια σειρά από ιδιότητες, τις οποίες τις διαχωρίζουμε σε ιδιότητες συμπεριφοράς και δομικές ιδιότητες. Οι ιδιότητες συμπεριφοράς εξαρτώνται από την αρχική κατάσταση του δικτύου ενώ οι δομικές ιδιότητες περιγράφουν το δίκτυο σχετικά με την δομή και την τοπολογία ανεξατρήτως της αρχικής του κατάστασης. Στο σύνολό τους οι ιδιότητες αυτές, επιτρέπουν την αναγνώριση της παρουσίας ή μη μιας σειράς από λειτουργικά χαρακτηριστικά στα υπό εξέταση συστήματα. Με τον τρόπο αυτό, γίνεται δυνατή η κατηγοριοποίηση τους κι η εξαγωγή συμπερασμάτων για τη συμπεριφορά των μοντέλων που υλοποιούνται Ιδιότητες συμπεριφοράς Οι πιο χαρακτηριστικές ιδιότητες συμπεριφοράς είναι η προσεγγισιμότητα (reachability), η k-περιοριστικότητα (k-boundedness) κι η ασφάλεια (safety), η ζωτικότητα (liveness), η αντιστρεπτότητα (reversibility) κι η επιμονή (persistence). Η έννοια της προσεγγισιμότητας έχει ήδη περιγραφεί. Γενικά, μια σήμανση mr λέγεται προσεγγίσιμη από την αρχική σήμανση m0, αν ξεκινώντας από τη m0 υπάρχει μια ακολουθία μεταβάσεων σ, η ενεργοποίηση των οποίων οδηγεί στη mr. Συμβολικά αυτό γράφεται: m0->mr (3.3)

12 Αν η mr προσεγγίζεται από τη m0 με την ενεργοποίηση μιας μόνο μετάβασης ονομάζεται άμεσα προσεγγίσιμη. Το σύνολο των προσεγγίσιμων από την αρχική σημάνσεων ονομάζεται σύνολο προσεγγισιμότητας του ΔP, συμβολίζεται ως R(m0) και παίζει σημαντικό ρόλο κατά την ανάλυση και τον έλεγχο του. Η k-περιοριστικότητα έχει έννοια τόσο για συγκεκριμένες θέσεις όσο και για ολόκληρα ΔP. Μια θέση pi είναι k-περιορισμένη με αναφορά στην m0, αν ο αριθμός τελειών της θέσης αυτής είναι το πολύ ίσος με τον πεπερασμένο αριθμό k για όλες τις σημάνσεις που ανήκουν στο R(m0). Δηλαδή, η pi είναι περιορισμένη αν: mj(pi) k,mjr(m0) (3.4) Ομοίως, το ΔP είναι περιορισμένο αν όλες του οι θέσεις είναι k-περιορισμένες. Μια σημαντική συνέπεια της περιοριστικότητας είναι πως συνεπάγεται πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Για ένα ΔP που αποτελείται από N θέσεις κι είναι k- περιορισμένο, ο αριθμός καταστάσεων του δεν υπερβαίνει τις (k+1)n. Η ασφάλεια είναι η ειδική περίπτωση της k-περιοριστικότητας, όπου το k είναι ίσο με τη μονάδα. Η επιβεβαίωση της k-περιοριστικότητας σε ένα μοντέλο συστήματος παραγωγής εγγυάται εξάλειψη της περίπτωσης υπέρβασης της χωρητικότητας των πεπερασμένων αποθηκευτικών χώρων του. Η ασφάλεια έχει την επιπλέον έννοια διαθεσιμότητας ενός πόρου κάθε χρονική στιγμή, ειδικά για την περίπτωση κοινών πόρων. Στα συστήματα παραγωγής η έννοια της περιοριστικότητας συσχετίζεται στην πράξη με την έννοια της ευστάθειας, ειδικά αν το σύστημα μοντελοποιείται ως αναμονητικό δίκτυο. Η έννοια της ζωτικότητας συνδέεται με την μη εμφάνιση αδιεξόδων σε ένα ΔP. Ένα μοντέλο είναι ζωτικό αν κάθε μετάβαση του είναι ζωτική. Μια μετάβαση t είναι ζωτική αν υπάρχει η δυνατότητα ενεργοποίησής της μετά από την ενεργοποίηση μιας ακολουθίας μεταβάσεων. Δηλαδή: Για mir(m0),mjr(mi)έτσι ώστε η t να τίθεται σε ετοιμότητα στη mi (3.5) Ουσιαστικά, η μετάβαση αυτή δεν αποτελεί αδιέξοδο. Όταν σε ένα δίκτυο Petri έστω και μια μετάβαση είναι ζωτική, αυτό δε μπορεί να οδηγηθεί σε αδιέξοδο. Μια μετάβαση που δεν είναι ζωτική αναφέρεται ως νεκρή. Ένα ΔP του οποίου μόνο κάποιες από τις μεταβάσεις είναι ζωτικές, ονομάζεται μερικά ζωτικό. Ένα ΔP ονομάζεται αντιστρεπτό αν για κάθε σήμανση mi R(m0) ισχύει και m0 R(mi). Επομένως, για να είναι ένα ΔP αντιστρεπτό, πρέπει η αρχική του σήμανση να μπορεί να προσεγγιστεί από όλες τις προσεγγίσιμες σημάνσεις. Η αντιστρεπτότητα συνεπάγεται κυκλική συμπεριφορά του συστήματος. Επίσης, συνεπάγεται ότι το

13 μοντέλο μπορεί από μόνο του να κάνει τις αναγκαίες ρυθμίσεις για την επανεκκίνηση του συστήματος, ιδιότητα σημαντική για την ανάκαμψη από σφάλματα (π.χ. βλάβες μηχανών) σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Η επιμονή εμφανίζεται σε ένα ΔP, όταν για οποιαδήποτε σήμανση του mj R(m0), μια μετάβαση σε ετοιμότητα μπορεί να πάψει να βρίσκεται σε ετοιμότητα μόνο από δική της ενεργοποίηση. Αυτό κάνει φανερό πως η ύπαρξη σύγκρουσης ή αμοιβαίου αποκλεισμού σε ένα μοντέλο, σημαίνει αυτόματα πως αυτό δεν εμφανίζει επιμονή.[1] Δομικές ιδιότητες Δομικές ιδιότητες των ΔP είναι η δομική ζωτικότητα και η δομική περιοριστικότητα, που αποτελούν επεκτάσεις των αντίστοιχων ιδιοτήτων συμπεριφοράς και ισχύουν για οποιαδήποτε πεπερασμένη σήμανση mj. Επιπλέον, στην κατηγορία αυτή ιδιοτήτων εντάσσονται η συντηρητικότητα (conservativeness), η επαναληπτικότητα (repetitiveness) και η συνέπεια (consistency). Ένα ΔP ονομάζεται αυστηρά συντηρητικό, όταν ο αριθμός τελειών σε οποιαδήποτε σήμανση προσεγγίσιμη από την m0 ισούται με τον αντίστοιχο αριθμό τελειών της m0. Δηλαδή, m j (p i) = m0 (p i) = c, c = σταθερό (3.6) Στη γενική περίπτωση που τα βάρη των τόξων περιγράφονται από διάνυσμα w > 0, το ΔP λέγεται συντηρητικό αν: w(pi)m0 (p i) = w(p i)m j (p i) =c (3.7) Αν στην εξίσωση 3.7 ισχύσει w 0, το ΔP ονομάζεται μερικώς συντηρητικό. Συνεπές ονομάζεται ένα ΔP αν υπάρχει μια σήμανση m j, μια ακολουθία ενεργοποίησης σc που ονομάζεται κυκλική ακολουθία ενεργοποίησης κι ένα συνδεόμενο διάνυσμα v σ που αναφέρεται στο πλήθος ενεργοποιήσεων κάθε μετάβασης, ώστε ξεκινώντας από την m j, η ενεργοποίηση της σ c να φέρνει το δίκτυο πίσω στην m j. mj->mj (3.8) Το vσ δεν πρέπει να περιέχει μηδενικά στοιχεία, δηλαδή στη σ c πρέπει να ενεργοποιείται κάθε μετάβαση τουλάχιστον μια φορά. Στην περίπτωση που το vc έχει και μηδενικά στοιχεία, δηλαδή δεν ενεργοποιούνται όλες οι μεταβάσεις στην ακολουθία σσ, το δίκτυο ονομάζεται μερικά συνεπές. Επαναληπτικό ονομάζεται ένα ΔP αν υπάρχει πεπερασμένη m0 και ακολουθία ενεργοποίησης σc ώστε τα στοιχεία του συνδεόμενου διανύσματος vσ να είναι άπειρα. Δηλαδή, η ακολουθία

14 ενεργοποίησης μεταβάσεων που επαναφέρει το δίκτυο στην αρχική κατάσταση μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές. Αν το νσ περιέχει κάποιες από τις μεταβάσεις το δίκτυο είναι μερικά επαναληπτικό. Στην περίπτωση των συστημάτων παραγωγής η έννοια της επαναληπτικότητας σχετίζεται με την επανάληψη της ίδια κατεργασίας όσες φορές είναι αναγκαίο. Η επαναληπτικότητα αποτελεί αναγκαία συνθήκη και για τη ζωτικότητα, ενώ ένα ζωτικό και αντιστρεπτό ΔP είναι και συνεπές.

15 4.Κατηγορίες ικτύων Petri 4.1 ίκτυα Petri Χαµηλού Επιπέδου Οι δομικοί περιορισμοί που έχουν τεθεί στο γενικό μοντέλο των δικτύων Petri και έχουν περιγραφεί στο προηγούμενο κεφάλαιο, οδηγούν στον ορισμό μιας νέας σειράς κατηγοριών δικτύων Petri, τα λεγόμενα χαμηλού επιπέδου (low-level Petri nets). Η διαδικασία κατηγοριοποίησης ενός δικτύου σε µια συγκεκριµένη δοµική κατηγορία είναι εξαιρετικά χρήσιµη, διότι οι ιδιότητες που παρουσιάζουν τα δίκτυα κάθε κατηγορίας χρησιµοποιούνται για την διευκόλυνση της ανάλυσης. Συνεπώς, στην περίπτωση που κύριος στόχος ενός σχεδιαστή είναι η εφαρµογή της ανάλυσης, η επιλογή ενός δικτύου χαµηλού επιπέδου αποδεικνύεται εξαιρετικά χρήσιµη. Ωστόσο, στην περίπτωση µοντελοποίησης πολύπλοκων ρεαλιστικών συστηµάτων, ενδέχεται να προκύψουν σύνθετα δίκτυα, εάν επιλεγεί ένα µοντέλο χαµηλού επιπέδου. Για τη διευκόλυνση, ως ένα βαθμό, της συστηματικής δόμησης δικτύων έχουν προταθεί στην παρούσα εργασία, τεχνικές σύνθεσης και αποσύνθεσης µε βάση συνιστώσες (τµήµατα δικτύων) που ανήκουν σε µια συγκεκριµένη κάθε φορά κατηγορία, όπου µπορούν εύκολα να εφαρµοστούν µέθοδοι ανάλυσης. Οι κατηγορίες των δικτύων Petri χαµηλού επιπέδου είναι οι εξής : 1) Μηχανές Κατάστασης (State Machines) Μηχανή κατάστασης είναι ένα δίκτυο Petri µε την ιδιότητα ότι κάθε µετάβαση έχει ακριβώς µία θέση εισόδου και ακριβώς µία θέση εξόδου. Αυτό σημαίνει πως κάθε µετάβαση έχει µόνο ένα εισερχόµενο και µόνο ένα εξερχόµενο τόξο. Οι µηχανές κατάστασης επιτρέπουν την αναπαράσταση των συγκρούσεων αλλά δεν µπορούν να περιγράψουν συγχρονισµό ανάµεσα σε ταυτόχρονες ενέργειες. Σχήµα 2(α) 2) Μαρκαρισµένοι Γράφοι (Marked Graphs) Μαρκαρισµένος γράφος είναι ένα δίκτυο Petri µε την ιδιότητα ότι κάθε θέση έχει ακριβώς µία µετάβαση εισόδου και ακριβώς µία µετάβαση εξόδου. Αυτό σημαίνει πως κάθε θέση έχει µόνο ένα εισερχόµενο και µόνο ένα εξερχόµενο τόξο. Όλοι οι µαρκαρισµένοι γράφοι είναι επίµονοι και επιτρέπουν την αναπαράσταση ταυτόχρονων ενεργειών, αλλά αδυνατούν να περιγράψουν δοµές συγκρούσεων. Εποµένως, οι µαρκαρισµένοι γράφοι κρίνονται κατάλληλα για τη µοντελοποίηση ταυτόχρονων συστηµάτων που είναι ελεύθερα αποφάσεων (decision-free). Σχήµα 2(β) 3) ίκτυα Petri Ελεύθερης Επιλογής(Free Choice Nets)

16 Το Δίκτυο Petri ελεύθερης επιλογής έχει την ιδιότητα ότι στην τελική σχέση, κάθε θέση µε κάθε µετάβαση συνδέονται ως εξής : είτε η µετάβαση είναι η µοναδική µετάβαση εξόδου αυτής της θέσης είτε η θέση είναι η µοναδική θέση εισόδου αυτής της µετάβασης. ηλαδή κάθε τόξο, είτε είναι το µοναδικό εξερχόµενο τόξο µιας θέσης, είτε είναι το µοναδικό εισερχόµενο τόξο µιας µετάβασης. Αυτά τα δίκτυα δεν αναπαριστούν καταστάσεις σύγχυσης. Σχήµα 2(γ) 4) Απλά ίκτυα Petri (Simple Nets) Ένα απλό δίκτυο Petri είναι ένα δίκτυο µε την ιδιότητα ότι όλες οι µεταβάσεις έχουν το πολύ µία θέση εισόδου που οδηγεί σε άλλες µεταβάσεις. ηλαδή, δεν υπάρχουν στο δίκτυο, δύο µεταβάσεις οι οποίες να έχουν τις ίδιες θέσεις εισόδου και ταυτόχρονα τις ίδιες θέσεις εξόδου. Σχήµα 2(δ) Σχήµα 2: Κατηγορίες ικτύων Petri (Πηγή: Αβραμίδου Ευτέρπη)

17 Στο Σχήµα 3 φαίνονται οι σχέσεις µεταξύ των παραπάνω κατηγοριών δικτύων Petri. Οι µηχανές κατάστασης και οι µαρκαρισµένοι γράφοι είναι υποσύνολα των δικτύων Petri ελεύθερης επιλογής που µε τη σειρά τους είναι υποσύνολα των απλών δικτύων Petri [2]. Σχήµα 3: Οι σχέσεις µεταξύ των κατηγοριών των δικτύων Petri (Πηγή: Αβραμίδου Ευτέρπη) 4.2 ίκτυα Petri Υψηλού Επιπέδου Βασικός περιορισµός όλων των µοντέλων δικτύων Petri χαµηλού επιπέδου είναι η πολυπλοκότητα των χρησιμοποιούμενων δικτύων, για την περιγραφή εφαρµογών µεσαίου βαθµού πολυπλοκότητας. Με αυτόν τον τρόπο καθίσταται δύσκολη, τόσο η διαδικασία υπολογισµού των αµετάβλητων διανυσµάτων όσο και η ανάλυση του δένδρου προσιτότητας, αφού σε µη πεπερασµένα δίκτυα παρουσιάζεται το λεγόµενο πρόβληµα της έκρηξης του χώρου καταστάσεων (state explosion problem). Ένα επιπλέον πρόβλημα είναι, η μη επαρκής υποστήριξη των χαμηλού επιπέδου μοντέλων για τον προσδιορισµό των διακεκριµένων οντοτήτων ενός συστήµατος (individuals), των ιδιοτήτων και των συσχετισµών µεταξύ τους. Τέλος, ο φορµαλισµός των περισσότερων µοντέλων δεν υποστηρίζει ρητά τον προσδιορισµό συγκεκριµένων µηχανισµών δόµησης, όπως είναι οι τελεστές σύνθεσης. Για όλους τους προαναφερθέντες λόγους, έχουν προταθεί γενικευµένα µοντέλα, γνωστά και µε τον όρο υψηλού επιπέδου δίκτυα Petri (high-level Petri nets / HPNs) ή ακόμη ως, µοντέλα βασισµένα στα δίκτυα Petri (PN-based models). Τα µοντέλα αυτά προσφέρουν τόσο περιεκτικότητα, όσο και ευχρηστία στην τελική αναπαράσταση

18 ενός συστήµατος, ενώ ταυτόχρονα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να περιγράψουν µε σαφήνεια λειτουργίες όπως τη ροή δεδοµένων και ελέγχου, σύνθετες συνθήκες και ενέργειες πυροδότησης, ποικίλα χαρακτηριστικά για τους διαφορετικούς πόρους καθώς και τις οντότητες ενός συστήµατος. Ορίζονται τέσσερις γενικές κατηγορίες για τα υψηλού επιπέδου δίκτυα Petri : επεκτάσεις που εµφανίζουν διακεκριµένες µάρκες (individual tokens), οι οποίες καλούνται και καθαρά δίκτυα Petri υψηλού επιπέδου (pure HPNs), υψηλού επιπέδου δίκτυα που εµφανίζουν τροποποιηµένη σηµασιολογία (high-level PNs with modified semantics), επεκτάσεις που προτείνουν συγκεκριµένους µηχανισµούς δόµησης, γνωστές και ως ιεραρχικά δίκτυα Petri υψηλού επιπέδου (hierarchical high-level PNs / HHPNs), και µοντέλα που υιοθετούν χαρακτηριστικά από άλλες τυπικές µέθοδες προσδιορισµού προδιαγραφών Κατηγορίες ικτύων Petri Υψηλού Επιπέδου Στην πρώτη κατηγορία, δηλαδή στα µοντέλα µε διακεκριµένες µάρκες ( καθαρά δίκτυα Petri Υψηλού Επιπέδου), ανήκουν φορµαλισµοί όπως τα Χρωµατισµένα δίκτυα Petri (Coloured PNs - CPNs), τα δίκτυα Κατηγορήµατος-Μετάβασης (Predicate-Transition nets / PrT-nets) και τα δίκτυα µε ιακεκριµένες Μάρκες (Individual Token Nets - ITNs). Τα Χρωµατισµένα δίκτυα Petri επεκτείνουν τα δίκτυα χαµηλού επιπέδου συσχετίζοντας χρώµατα µε τις µάρκες, τις θέσεις ή και τις µεταβάσεις ενός δικτύου. Σε αντιστοιχία µε τις έννοιες που συναντάµε σε µια γλώσσα προγραµµατισµού, µε τον όρο χρώµα χαρακτηρίζεται απλά ένας τύπος, µια µέθοδος δηλαδή µε την οποία διακρίνονται κλάσεις αντικειµένων που παρουσιάζουν χαρακτηριστικά µιας κοινής δοµικής κατηγορίας. Ένα Χρωµατισµένο δίκτυο Petri µπορεί να µετασχηµατιστεί στο αντίστοιχο, αλλά σαφώς πιο σύνθετο, δίκτυο Θέσης Μετάβασης, όταν ο αριθµός των χρωµάτων του δικτύου είναι πεπερασµένος. Αυτό συµβαίνει διότι κάθε δίκτυο Θέσης-Μετάβασης µπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση (ένα στιγµιότυπο) ενός αντίστοιχου Χρωµατισµένου δικτύου Petri, όπου κάθε σύνολο χρωµάτων αποτελείται από ένα και µοναδικό στοιχείο. Στην γενική περίπτωση όµως, όταν ο αριθµός των χρωµάτων γίνεται µη πεπερασµένος (σε µή πεπερασµένα δίκτυα), το µοντέλο των Χρωµατισµένων δικτύων Petri αποκτά την

19 υπολογιστική ισχύ των Μηχανών Turing, επιτρέποντας έτσι την αναπαράσταση κάθε υπολογιστικού συστήµατος. Τα Χρωματισμένα δίκτυα Petri θα αναλυθούν εκτενέστερα στο επόμενο κεφάλαιο. Τα Χρωµατισµένα δίκτυα Petri παρουσιάζονται ισοδύναµα σε σχέση µε τα δίκτυα Κατηγορήµατος-Μετάβασης, αναλογικά με την ισχύ υπολογισµού. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε έννοια, αλγόριθµος ανάλυσης ή θεώρηµα που βρίσκει εφαρµογή στο πρώτο µοντέλο µπορεί να εφαρµοστεί ανάλογα και στο δεύτερο µοντέλο. Βέβαια τα Χρωµατισµένα δίκτυα Petri κρίνονται ως καταλληλότερα στην ευκρινέστερη περιγραφή της λειτουργίας ενός συστήµατος. Ο φορµαλισµός των δικτύων Κατηγορήµατος-Μετάβασης βασίζεται σε µια σηµειογραφία αλγεβρικού τύπου (algebraic notation) και γι αυτό το λόγο τα δίκτυα Κατηγορήµατος-Μετάβασης αποτέλεσαν τον πρόδροµο µιας σειράς δικτύων Petri υψηλού επιπέδου που συνιστούν αλγεβρικές επεκτάσεις στο βασικό µοντέλο. Έτσι, για παράδειγµα, τα βέλη ενός δικτύου Κατηγορήµατος-Μετάβασης επιγράφονται µε αθροίσµατα ν-άδων µεταβλητών (sums of tuples of variables). Στην ίδια κατηγορία των επεκτάσεων µε διακεκριµένες µάρκες, ανήκουν και τα δίκτυα µε ιακεκριµένες Μάρκες. Ο φορµαλισµός τους είναι ανάλογος µε εκείνον των Χρωµατισµένων δικτύων. Ωστόσο παρατηρούνται μικρές διαφοροποιήσεις στους κανόνες ενεργοποίησης και πυροδότησης κάθε µετάβασης στο συγκεκριμένο μοντέλο. Το µοντέλο αυτό δύναται να συσχετίζει επιπρόσθετες συνθήκες (conditions) και λειτουργίες (operations) µε κάθε µετάβαση, επηρεάζοντας αντίστοιχα τους κανόνες ενεργοποίησης και πυροδότησης. Τα δίκτυα Petri υψηλού επιπέδου περιλαµβάνουν ένα σύνολο µοντέλων που παρουσιάζουν τροποποιηµένη σηµασιολογία, όσων αφορά στον καθορισµό της δυναµική τους συµπεριφοράς. Τα µοντέλα αυτής της κατηγορίας προτείνουν τροποποιήσεις πάνω σε συγκεκριµένες παραµέτρους, όπως στην χωρητικότητα των θέσεων, ορίζουν συγκεκριµένους τύπους για τα βέλη, τις µεταβάσεις και τις θέσεις ή ακόµη τροποποιούν τη σηµασιολογία της πυροδότησης των µεταβάσεων. Ωστόσο, στην περίπτωση συστηµάτων υψηλού βαθµού πολυπλοκότητας, ακόµη και εκείνα τα µοντέλα που εµφανίζουν τροποποιηµένα σηµασιολογικά χαρακτηριστικά, δεν µπορούν να κριθούν ως επαρκή όσον αφορά στη δυνατότητα περιγραφής. Η κύρια αιτία για τον περιορισµό αυτό είναι ότι οι περισσότεροι φορµαλισµοί παρέχουν µια απλή, επίπεδη όψη (flat view) για το υπό µοντελοποίηση σύστηµα. Για τη λύση του προβλήµατος έχουν προταθεί τα Ιεραρχικά δίκτυα Petri υψηλού επιπέδου

20 (hierarchical high-level PNs/HHPNs). Αυτά ενσωµατώνουν συγκεκριµένους µηχανισµούς µε σκοπό τη συστηµατική και ιεραρχική δόµηση ενός δικτύου. Ένα ιεραρχικό µοντέλο δίνει έµφαση (i) είτε στην αντικατάσταση (αποσύνθεση) των θέσεων ή των µεταβάσεων του δικτύου από τµήµατα δικτύων (υποδίκτυα) που παρουσιάζουν υψηλότερο βαθµό λεπτοµέρειας, (ii) είτε στη σύνθεση των τµηµάτων ενός δικτύου µέσω της σύµπτυξης µεταβάσεων, θέσεων ή βελών. Οι διαδικασίες σύνθεσης προδιαγράφουν και τους µηχανισµούς επικοινωνίας µεταξύ των τµηµάτων ενός δικτύου. Η σύνθεση µέσω της σύµπτυξης µεταβάσεων επιτρέπει την αναπαράσταση σύγχρονης επικοινωνίας. Η προσέγγιση αυτή πρέπει να διατηρεί σταθερές τις ιδιότητες τόσο των δικτύων-συνιστωσών (υποδίκτυα) όσο και του συνολικού δικτύου, µε αποτέλεσµα να διευκολύνεται η εφαρµογή της διαδικασίας της ανάλυσης. Η σύµπτυξη µεταβάσεων ωστόσο µπορεί να οδηγήσει σε υποδίκτυα με ισχυρό βαθµό σύζευξης (tightly coupled net components), µε αποτέλεσµα κάθε υποδίκτυο να µην αντιστοιχεί ευκρινώς σε ένα αυτόνοµο υποσύστηµα του συστήµατος. Η σύνθεση µέσω της σύµπτυξης θέσεων επιτρέπει την αναπαράσταση ασύγχρονης επικοινωνίας ανάµεσα σε υποδίκτυα. Στην περίπτωση αυτή η επικοινωνία λαµβάνει χώρα µέσω κοινών θέσεων που αντιστοιχούν στους κοινά διαµοιραζόµενους πόρους (shared resources) του υπό αναπαράσταση συστήµατος. Αυτή η τεχνική είναι συµβατή µε τη βασική θεώρηση της θεωρίας των δικτύων Petri, αφού οι µεταβάσεις θεωρούνται ως οι ενεργητικές οντότητες που επικοινωνούν µεταξύ τους µέσω των θέσεων, οι οποίες µε τη σειρά τους παίζουν τον ρόλο των παθητικών οντοτήτων. Το πρόβληµα όµως που µπορεί να προκύψει στην περίπτωση αυτή είναι η απαιτηση επιπρόσθετης πολυπλοκότητας στην περιγραφή, όταν πρέπει να εξασφαλιστεί ορθότητα κατά το συγχρονισµό (correct synchronization) των επικοινωνούντων υποδικτύων. Παρόλα αυτά, παραµένει η πιθανότητα ανάκυψης του προβλήµατος δημιουργίας ισχυρού βαθµού σύζευξης ανάµεσα στις συνιστώσες του τελικού δικτύου. Τέλος, ενδιαφέρουσα είναι η σύνθεση µέσω της σύµπτυξης βελών, η οποία µπορεί να οδηγήσει σε χαµηλό βαθµό σύζευξης. Με βάση αυτήν την τεχνική, η επικοινωνία ανάµεσα στα υποδίκτυα µπορεί να θεωρηθεί ως µια διαδικασία ανταλλαγής µηνυµάτων (message passing), κατά την οποία στέλνονται και λαµβάνονται δεδομένα (µηνύµατα) ανάµεσα στις συνιστώσες ενός δικτύου. Αν και τα ιεραρχικά δίκτυα Petri

21 υψηλού επιπέδου διευκολύνουν τη συστηµατική προδιαγραφή των παραµέτρων ενός συστήµατος, οι διαδικασίες ανάλυσης εφαρµόζονται στο τελικά παραγόµενο, επίπεδο, πολυσύνθετο και εκτελέσιµο δίκτυο. Συνεπώς, είναι πιθανό το πρόβληµα της έκρηξης του χώρου καταστάσεων. Για αυτό το λόγο, έχουν προταθεί συγκεκριµένοι µηχανισµοί δόµησης και ολοκληρωµένες τεχνικές που υποστηρίζουν διαδικασίες άµεσης, συνθετικής ( compositional ) ανάλυσης στο τελικά παραγόµενο δίκτυο. Οι τεχνικές αυτές δίνουν έµφαση στον προσδιορισµό τµηµάτων δικτύου που υποκαθιστούν µε ισοδύναµο τρόπο (δηλ. παρουσιάζουν τις ίδιες ιδιότητες) µε συγκεκριµένα υποδίκτυα. Έτσι επιτυγχάνεται µείωση της πολυπλοκότητας του χώρου καταστάσεων ενός δικτύου.[2] 4.3 Χρονικές Εκδόσεις ικτύων Petri Κοινή συνισταµένη όλων των έως τώρα ανελυμένων δικτύων Petri είναι η εµφάνιση ασύγχρονης, µη ντετερµινιστικής και χρονικά ανεξάρτητης δυναµικής συµπεριφοράς. Τα µοντέλα δεν λαµβάνουν υπόψη τη χρονική διάσταση της συµπεριφοράς ενός συστήµατος και η εκτέλεσή τους δεν εξαρτάται από τη ροή του χρόνου. Πρόκειται λοιπόν για συµβατικά, µη-χρονικά µοντέλα, στα οποία οποιεσδήποτε, ανεξάρτητες µεταξύ τους, πυροδοτήσεις µεταβάσεων δεν προβάλλονται πάνω στο γραµµικό χρονικό άξονα. Αντίθετα, οποιεσδήποτε, ανεξάρτητες µεταξύ τους, πυροδοτήσεις µεταβάσεων συνδέονται µε µια µερική, µη παρεµβαλλόµενη στο χρόνο διάταξη (noninterleaving partial-order relation). Η σχέση αυτή δεν προσδιορίζει τη χρονική διάταξη που ισχύει ανάµεσα σε δύο ή περισσότερα γεγονότα (πυροδοτήσεις µεταβάσεων), καθώς η διάταξη λαµβάνει χώρα µε τρόπο τυχαίο. Επομένως τα κλασσικά δίκτυα Petri, αν και ιδιαιτέρως χρήσιµα στη διερεύνηση των ποιοτικών ή λογικών ιδιοτήτων ταυτόχρονων συστηµάτων, όπως είναι ο αµοιβαίος αποκλεισµός, η παρουσία και η απουσία αδιεξόδων, η περατότητα και η δικαιοσύνη, οφείλουν να επαυξηθούν µε χρονικές παραµέτρους, ώστε να µπορούν να εκτιµήσουν ποσοτικά ένα σύστηµα. Πρώτοι που επιχείρησαν αυτήν την προσέγγιση ήταν οι Ramchandami το 1973 στο ΜΙΤ και ακολούθησαν ο Sifakis το 1977 και οι Ramamoorthy και Ηο το Η έννοια του χρόνου εισάγεται σε διάφορες επεκτάσεις, τις λεγόµενες χρονικές εκδόσεις δικτύων Petri (timed versions of PNs), µοντέλα ευρέως χρησιμοποιημένα στην αναπαράσταση ταυτόχρονων συστηµάτων µε χρονικά εξαρτηµένη συµπεριφορά και, ειδικότερα, στη µοντελοποίηση συστηµάτων

22 µε χρονικές απαιτήσεις. Σήµερα πάρα πολλά εργαλεία λογισµικού χρησιµοποιούν χρονικές εκδόσεις δικτύων Petri για τη µοντελοποίηση και την ανάλυση απόδοσης συστηµάτων. Ένας πλήρης κατάλογος µε εργαλεία λογισµικού παρατίθεται στην ιστοσελίδα : Ένα από τα πιο γνωστά εργαλεία που χρησιµοποιούν δίκτυα Petri µε χρόνο είναι το TimeNet. Περισσότερες πληροφορίες υπάρχουν στην ιστοσελίδα του εργαλείου : Αντιπροσωπευτικές χρονικές εκδόσεις των δικτύων Petri είναι τα Χρονισµένα δίκτυα (Timed PNs), τα Απλά Χρονικά δίκτυα (Simple Time PNs), τα Χρονικά δίκτυα (Time PNs), τα Επικοινωνούντα Χρονικά δίκτυα (Communicating Time PNs), τα δίκτυα µε Χρονισµένες Θέσεις (Timed Place PNs), τα δίκτυα µε Χρονικούς Περιορισµούς (Timing Constraint PNs), τα (Γενικευµένα) Στοχαστικά δίκτυα (Stochastic (Generalized or not) PNs), τα Χρονικά δίκτυα µε Ουρές (Queuing PNs), τα δίκτυα Περιβάλλοντος-Συσχέτισης (Environment-Relationship Nets), τα Χρονικά Βασικά δίκτυα (Time Basic nets), τα Χρονισµένα δίκτυα µε Χρώµατα (Timed Coloured PNs), και τέλος, τα Χρονισµένα δίκτυα µε Χρώµατα και Χρονικά ιαστήµατα (Interval Timed Coloured PNs). Η διαδικασία ορισµού χρονικών παραµέτρων σε ένα µη-χρονικό, συµβατικό µοντέλο εξαρτάται από να σύνολο από γενικούς βασικούς παράγοντες και επιλογές. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη τα παρακάτω βασικά ζητήµατα : Εντοπισμός των Χρονικών Στοιχείων (Location of Time Semantics) Σε ένα χρονικό μοντέλο χαμηλού επιπέδου οι χρονικές προδιαγραφές συνδέονται µε διαφορετικά στοιχεία ενός δικτύου Petri, με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους : Χρονισµένες µεταβάσεις (timed transitions) : Ο χρόνος συνδέεται µε τις µεταβάσεις ενός δικτύου. Η εκκίνηση της δράσης που σχετίζεται µε µια µετάβαση αντιστοιχεί στην ενεργοποίηση της µετάβασης, ενώ ο τερµατισµός της δράσης αντιστοιχεί στην πυροδότηση της µετάβασης. Σχήµα 4(α) Χρονισµένες θέσεις (timed places) : Ο χρόνος συνδέεται µε τις θέσεις ενός δικτύου. Οι µάρκες στη θέση εισόδου µιας µετάβασης επιτρέπεται να πυροδοτήσουν τη µετάβαση, µόνο µετά το τέλος της χρονικής καθυστέρησης που σχετίζεται µε τη συγκεκριµένη θέση εισόδου. Σχήµα 4(β)

23 Χρονισµένα τόξα (timed arcs) : Ο χρόνος συνδέεται µε τα τόξα ενός δικτύου. Μια καθυστέρηση ταξιδιού (traveling delay) συνδέεται µε κάθε τόξο. Οι µάρκες µπορούν να πυροδοτήσουν µια µετάβαση µόνο όταν φτάσουν στη µετάβαση. Σχήµα 4(γ) Χρονισµένες µάρκες (timed tokens) : Στην περίπτωση ενός χρονικού µοντέλου υψηλού επιπέδου, οι χρονικές προδιαγραφές συνήθως σχετίζονται µε τις µάρκες του δικτύου, υπό τον τύπο χρονικών σφραγίδων (time stamps). Οι µάρκες φέρουν µια χρονική σφραγίδα, η οποία υποδεικνύει πότε µπορούν να πυροδοτήσουν µια µετάβαση. Αυτή η χρονική σφραγίδα µπορεί να προσαυξηθεί σε κάθε πυροδότηση µετάβασης. Σχήµα 4(δ) Σχήµα 4: Χρονικά στοιχεία δικτύων Petri (Πηγή: Αβραμίδου Ευτέρπη) Ο Τύπος Xρονικών Στοιχείων (Type of Time Semantics) Οι χρονικές εκδόσεις δικτύων Petri ανάλογα με την περιοχή εφαρμογής, παρουσιάζουν διαφορετικούς τύπους χρονικών προδιαγραφών. Πιο συγκεκριμένα, τύποι χρονικών στοιχείων είναι οι ακόλουθοι : σταθεροί χρονοµετρητές οι οποίοι εισάγουν σταθερές χρονικές καθυστερήσεις (fixed delays),

24 χρονικά διαστήµατα (time intervals) που προσδιορίζονται από ζεύγη χρονικών τιµών (time pairs) ή, ακόµη στοχαστικές καθυστερήσεις (stochastic delays). Ο Τύπος Χρονικής Αναφοράς (Τime Μode) Η επιλογή του χρονικού σηµείου, που αποτελεί το σηµείο αναφοράς για την εκτέλεση ενός µοντέλου, καθορίζει τη δυναµική συµπεριφορά του µοντέλου στο χρόνο, και κατά συνέπεια, τον τρόπο µε τον οποίο θα εφαρµοστεί η διαδικασία της ανάλυσης. Υπάρχουν δύο εναλλακτικές δυνατότητες. Πρώτον, όταν η χρονική αναφορά είναι απόλυτη (absolute time mode), οι µεταβάσεις από µια κατάσταση (µαρκάρισµα) σε µια άλλη, εξαιτίας των πυροδοτήσεων των µεταβάσεων του δικτύου, λαµβάνουν χώρα σε προκαθορισµένες χρονικές στιγµές. εύτερον, όταν επιλεγεί η χρονική αναφορά να είναι σχετική (relative time mode), κάθε αλλαγή από µια κατάσταση σε µια άλλη είναι σχετική µε τη χρονική στιγµή της εµφάνισης ενός συγκεκριµένου γεγονότος, δηλαδή, πραγµατοποιείται σε ένα χρονικό ορίζοντα από τη στιγµή που εναποτίθενται µάρκες στις θέσεις εισόδου µιας µετάβασης, καθιστώντας µε τον τρόπο αυτό τη µετάβαση ενεργοποιηµένη. Η Σηµασιολογία του Τρόπου Πυροδότησης των Μεταβάσεων (Semantics of Transition Firing Mode) Όλα τα συµβατικά, µη-χρονικά µοντέλα υπακούουν τον ασθενή κανόνα πυροδότησης (weak firing mode) για τη εκτέλεση κάθε µετάβασης του δικτύου. Ο ασθενής κανόνας έχει άµεση σχέση µε τη µη-ντετερµινιστική συµπεριφορά του µοντέλου. Ειδικότερα, το γεγονός ότι µια µετάβαση είναι ενεργοποιηµένη δεν σηµαίνει αναγκαστικά ότι αυτή θα πυροδοτήσει. Στις χρονικές εκδόσεις των δικτύων Petri µπορεί συµβατικά να θεωρηθεί, είτε ο ασθενής κανόνας, είτε, διαφορετικά, να υιοθετηθεί ο ισχυρός κανόνας πυροδότησης (strong firing mode), σύµφωνα µε τον οποίο κάθε ενεργοποιηµένη µετάβαση πυροδοτείται κατά τρόπο άµεσο και υποχρεωτικό.[2] Ο Βαθµός Ενεργοποίησης για κάθε Μετάβαση (Degree of Transition Enabling) Ο βαθµός ενεργοποίησης για κάθε µετάβαση ενός χρονικού µοντέλου πρέπει κατά σύµβαση να καθοριστεί στην περίπτωση που ο συνολικός αριθµός των µαρκών σε µια θέση εισόδου επιτρέπει πολλαπλές πυροδοτήσεις της µετάβασης. Ο βαθµός

25 ενεργοποίησης προσδιορίζει το µέγιστο αριθµό όλων των ανεξάρτητων µεταξύ τους περιπτώσεων, κατά τις οποίες κάθε µετάβαση είναι ενεργοποιηµένη (maximum number of transition enablings ) και µπορεί ταυτόχρονα να πυροδοτήσει. Ο Τύπος Χρονικής Ροής (Time Model) Το κοινό χαρακτηριστικό που κατά βάση υιοθετούν οι περισσότερες χρονικές εκδόσεις είναι ότι είναι δυνατόν εναλλακτικά να ακολουθούν το δυϊκό µοντέλο ροής του χρόνου (dual model of time). Ένα χρονικό µοντέλο µπορεί να εκτελεστεί υποθέτοντας, είτε πυκνή χρονική ροή (dense time model), είτε σποραδική χρονική ροή (sparse time model). Στην πρώτη περίπτωση υποθέτουµε ότι ανάµεσα σε οποιεσδήποτε δύο χρονικές στιγµές µεσολαβεί ένας µη πεπερασµένος αριθµός από άλλες χρονικές στιγµές, ενώ στη δεύτερη περίπτωση υποθέτουμε ότι ανάμεσα σε δύο τυχαίες χρονικές στιγμές μεσολαβεί ένας πεπερασμένος αριθµός από διακεκριμένες (discrete) χρονικές στιγμές, που τοποθετούνται σε συγκεκριμένη χρονική απόσταση μεταξύ τους µε βάση ένα ελάχιστο χρονικό διάστημα (minimum time granularity). Τα περισσότερα χρονικά μοντέλα μπορούν να εκτελεστούν δυναμικά, είτε µε την πρώτη, είτε µε τη δεύτερη επιλογή. Ωστόσο, το πρόβλημα της έκρηξης του χώρου καταστάσεων ενός μοντέλου (άρα και η δυσκολία εφαρμογής των μεθόδων ανάλυσης) επαυξάνει µε την επιλογή της πυκνής χρονικής ροής, διότι έτσι οι πιθανές καταστάσεις (μαρκαρίσματα) στις οποίες μπορεί να βρεθεί το δίκτυο, κατά την εκτέλεσή του στο χρόνο, είναι σαφώς περισσότερες. Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή των πιο σημαντικών χρονικών εκδόσεων των δικτύων Petri : τα δίκτυα Petri µε χρονισμένες μεταβάσεις και τα δίκτυα Petri µε χρονισμένες θέσεις. Στην αναλυτική περιγραφή κάθε μοντέλου θα διευθετηθούν ζητήματα σχετικά με την αναπαράσταση των χρονικών προδιαγραφών και µε την πρακτική εφαρµογή του σε προβλήµατα µοντελοποίησης συστηµάτων µε χρονικά εξαρτηµένη και ταυτόχρονη συµπεριφορά. 4.4 ίκτυα Petri µε Χρονισµένες Μεταβάσεις Σε αυτήν την κατηγορία ανήκουν μοντέλα που συσχετίζουν χρονικές προδιαγραφές µε τις μεταβάσεις ενός δικτύου. Πρόκειται για την κατηγορία που περιλαμβάνει τις περισσότερες χρονικές εκδόσεις. Τα μοντέλα της κατηγορίας ακολουθούν γενικά δύο

26 εναλλακτικές προσεγγίσεις για την αναπαράσταση εφαρμογών µε χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά. Η πρώτη προσέγγιση επικεντρώνεται στην αναπαράσταση των δράσεων (action oriented design) που συνθέτουν µια εφαρµογή. Περιγράφεται λεπτομερώς o τρόπος µε τον οποίο κάθε δράση αποσυντίθεται σε επιμέρους δράσεις. Κάθε δράση αντιστοιχεί σε µια διαφορετική μετάβαση και η χρονική διάρκεια εκτέλεσης της δράσης εκφράζεται µε ένα χρονικό προσδιορισμό για την αντίστοιχη μετάβαση. Η διαθεσιμότητα ενός επεξεργαστή ή οποιουδήποτε άλλου κοινά διαμοιραζόμενου πόρου είτε αναπαρίσταται από την ύπαρξη μιας μάρκας σε µια αντίστοιχη θέση, είτε, πολλές φορές, δεν αναπαρίσταται καθόλου. Στο Σχήμα 5(α) δίνεται ένα παράδειγμα δικτύου που επικεντρώνεται στην αναπαράσταση δράσεων. Αυτή η προσέγγιση γενικά μπορεί να εφαρμοστεί για να αναπαρασταθεί η δομή μιας εφαρμογής. Βασικό ωστόσο μειονέκτημα που παρουσιάζει είναι η αδυναμία περιγραφής φαινομένων όπως η καταχώρηση των πόρων του συστήματος στις δράσεις και η διακοπή εκτέλεσης (preemption) των δράσεων. Η δεύτερη προσέγγιση επικεντρώνεται στην αναπαράσταση των πόρων (resource oriented design) που χρησιμοποιούν οι δράσεις της εφαρμογής. Οι δράσεις αναπαρίστανται µε μάρκες που διακινούνται στο δίκτυο. Δίνεται έμφαση στην αναπαράσταση της δέσμευσης και της αποδέσμευσης κάθε εμπλεκόμενου πόρου (π.χ. του επεξεργαστή) αλλά δεν περιγράφεται ο τρόπος αποσύνθεσης κάθε δράσης, όσο και η ακριβής χρονική διάρκεια της εκτέλεσής της. Η προσέγγιση εφαρμόζεται συνήθως στο πεδίο της ανάλυσης της απόδοσης εφαρμογών. Στο Σχήμα 5(β) δίνεται ένα παράδειγμα δικτύου που δίνει έμφαση στην αναπαράσταση πόρων.[2]

27 (α) (β) Σχήµα 5: ίκτυα χρονισµένων µεταβάσεων : (α) σχεδίαση επικεντρωµένη στις δράσεις και (β) σχεδίαση επικεντρωµένη στους πόρους (Πηγή: Αβραμίδου Ευτέρπη) Αντιπροσωπευτικά μοντέλα στην κατηγορία των δικτύων µε χρονισμένες μεταβάσεις είναι τα Χρονισμένα δίκτυα (Timed PNs) και τα Χρονικά δίκτυα (Time PNs). Στη γενική περίπτωση, και σε σύγκριση µε το μοντέλο των Χρονικών δικτύων, ένα Χρονισμένο δίκτυο υπολείπεται σε εκφραστικές δυνατότητες αφού αδυνατεί να περιγράψει αλλαγές στη διάρκεια της πυροδότησης μιας μετάβασης, και επομένως, διακυμάνσεις στη χρονική διάρκεια μιας αντίστοιχης δράσης της υπό σχεδίαση εφαρμογής (εάν υιοθετηθεί ο προσανατολισμός σε δράσεις). Το μοντέλο όµως των Χρονισμένων δικτύων υπερέχει στη δυνατότητα εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης καθώς (πάντοτε στη γενική περίπτωση) παρουσιάζει σαφώς μικρότερο χώρο καταστάσεων. Τα δύο μοντέλα θα παρουσιαστούν εκτενώς στις ακόλουθες παραγράφους Χρονισµένα ίκτυα Petri Στο µοντέλο των Χρονισµένων δικτύων κάθε µετάβαση συνδέεται µε ένα σταθερό χρονοµετρητή που αντιστοιχεί σε µια συγκεκριµένη, κάθε φορά, σταθερή χρονική καθυστέρηση. Η πυροδότηση µιας µετάβασης καθυστερεί για χρονική διάρκεια ίση

28 µε τον αντίστοιχο χρονοµετρητή. Στο χρονικό διάστηµα αυτό διατηρούνται στις θέσεις εισόδου της µετάβασης όλες οι µάρκες που την κατέστησαν ενεργοποιηµένη. Τελικά, η µετάβαση πυροδοτείται όταν λήξει ο χρονοµετρητής, δηλαδή µε την εκπνοή της αντίστοιχης καθυστέρησης. Κάθε χρονική καθυστέρηση είναι σαφώς καθορισµένη και προβλέψιµη (ντετερµινιστική). Συνεπώς, εάν υιοθετηθεί το παράδειγµα σχεδίασης που επικεντρώνεται στις δράσεις, το µοντέλο κρίνεται ως κατάλληλο για να εκφραστούν χρόνοι εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσης (worstcase execution times) για τις δράσεις, που συνθέτουν µια εφαρµογή µε απαιτήσεις πραγµατικού χρόνου. Το µοντέλο ακολουθεί τον ισχυρό κανόνα πυροδότησης για κάθε µετάβαση. Η τυχαία µετάβαση t συνδέεται µε µια χρονική καθυστέρηση Tdel και θα πυροδοτήσει άµεσα στη χρονική στιγµή T0 + Tdel, υπό την προϋπόθεση ότι στις θέσεις εισόδου της t υπάρχει ο απαιτούµενος αριθµός µαρκών από τη χρονική στιγµή T0. Ένα Χρονισµένο δίκτυο είναι δυνατόν να περιλαµβάνει και άµεσες µεταβάσεις (immediate transitions), προκειµένου να εκφραστεί η εκτέλεση συγκεκριµένων δράσεων και η αλλαγή λογικών συνθηκών που λαµβάνουν χώρα χωρίς να καταναλώνουν χρόνο (δηλ. δράσεις και συνθήκες που η εκτέλεση τους και ο έλεγχος τους θεωρείται αµελητέας χρονικής διάρκειας). Κάθε άµεση µετάβαση συνδέεται αντίστοιχα µε µια µηδενική καθυστέρηση (null delay) και εάν ενεργοποιηθεί πυροδοτείται άµεσα. Οι άµεσες µεταβάσεις πλεονεκτούν σε προτεραιότητα (priority), σε σύγκριση µε τις χρονισµένες µεταβάσεις. Έτσι οι πρώτες υπερέχουν από τις δεύτερες σε καταστάσεις σύγκρουσης/απόφασης (conflict/decision). Στη γραφική αναπαράσταση των Χρονισµένων δικτύων Petri, oι άµεσες µεταβάσεις παριστάνονται ως µπάρες και συνήθως συµβολίζονται µε ένα όνοµα τύπου t x, όπου x κάποιος αριθµός ή κάποια µνηµονική λέξη, ενώ οι χρονισµένες µεταβάσεις παριστάνονται ως ορθογώνια κουτιά (λευκά ή µαύρα) και συνήθως συµβολίζονται µε ένα όνοµα τύπου Τ x. Οι συγκρούσεις που περιλαµβάνουν άµεσες και χρονισµένες µεταβάσεις έχουν µια σηµαντική χρήση στα Xρονισµένα δίκτυα Petri : επιτρέπουν τη διακοπή (ή την προεκχώρηση) των δράσεων που βρίσκονται σε εξέλιξη, όταν συµβαίνει µια έκτακτη κατάσταση. Έστω για παράδειγµα, το υποδίκτυο του Σχήµατος 6 που έχει µία χρονισµένη µετάβαση, τη Τ1 και µία άµεση µετάβαση, τη t2. Μία µάρκα στη θέση p1 εκκινεί τη δράση που µοντελοποιείται από τη Τ1, δηλαδή ενεργοποιεί τη Τ1. Εάν µία µάρκα φτάσει στη θέση p2 πριν την πυροδότηση της Τ1, η άµεση µετάβαση t2