Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Transcript

1 ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη η οποία ισχύει για αυτές είναι ότι µεταβάσεις µεταξύ καταστάσεων λαµβάνουν χώρα µονάχα µεταξύ γειτονικών (eighborig) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov διακριτού χρόνου εάν X =i, τότε X + =i, i ή i+. Τα περισσότερα από τα πιο απλά µοντέλα συστηµάτων αναµονής που εµφανίζονται σε πρακτικά προβλήµατα επαληθεύουν την υπόθεση ότι οι αφίξεις και οι εξυπηρετήσεις συµβαίνουν σύµφωνα µε τη διαδικασία γεννήσεων θανάτων. Το όνοµα της διαδικασίας προέρχεται από τη ζωή του ανθρώπου, όπου µια γέννηση ισοδυναµεί µε µια άφιξη στο σύστηµα αναµονής και ένας θάνατος µε µια αναχώρηση..2 ιαµόρφωση µοντέλου Η διαδικασία γεννήσεων-θανάτων, που µας ενδιαφέρει εδώ είναι εκείνη, στην οποία οι γεννήσεις και οι θάνατοι συµβαίνουν κατά εντελώς τυχαίο τρόπο και ο µέσος ρυθµός τους εξαρτάται µόνο από την παρούσα κατάσταση του συστήµατος αναµονής (δηλαδή από τον αριθµό πελατών στο σύστηµα). Ακριβέστερα, οι υποθέσεις πάνω στις οποίες βασίζεται η διαδικασία γεννήσεων-θανάτων είναι οι ακόλουθες: Ι. Παραδοχή γεννήσεων (αφίξεων) Εάν το σύστηµα αναµονής βρίσκεται στην κατάσταση N(t)= (=0,, 2, ) η πιθανότητα να συµβεί ακριβώς µια άφιξη (γέννηση) στο σύστηµα κατά το χρονικό διάστηµα από t έως (t+ t) είναι [λ t+o( t)] όπου λ είναι µια θετική Συστήµατα αναµονής Σελίδα από 9

2 σταθερά. ηλαδή η πιθανότητα αυτή εξαρτάται µόνο από την κατάσταση του συστήµατος Ν(t)= και δεν εξαρτάται από το ιστορικό των αφίξεων, δηλαδή από τον χρόνο που παρήλθε από την τελευταία άφιξη. ΙΙ. Παραδοχή θανάτων (αναχωρήσεων) Εάν ένα σύστηµα αναµονής βρίσκεται στην κατάσταση N(t)= (=0,, 2, ) η πιθανότητα να συµβεί µια ακριβώς αναχώρηση (θάνατος) από το σύστηµα κατά το χρονικό διάστηµα από t έως (t+ t) είναι [µ t+ο( t)] όπου µ 0 =0 και µ είναι µια θετική σταθερά για >0. ηλαδή η πιθανότητα αυτή εξαρτάται µόνο από την κατάσταση N(t)= και δεν εξαρτάται από τον χρόνο που έχει παρέλθει από την στιγµή ενάρξεως της εξυπηρετήσεως του πελάτη που βρίσκεται υπό εξυπηρέτηση. ΙΙΙ. Παραδοχή πολλαπλών ενδεχοµένων (αφίξεων και αναχωρήσεων) Εάν ένα σύστηµα αναµονής βρίσκεται στην κατάσταση N(t)= (=0,, 2, ) η πιθανότητα όπως το άθροισµα των αφίξεων και αναχωρήσεων (γεννήσεων και θανάτων) που συµβαίνουν στο σύστηµα κατά το χρονικό διάστηµα από t έως (t+ t), υπερβαίνει την µονάδα, είναι ο( t). Λόγω της παραδοχής ΙΙΙ και δεδοµένου ότι από την πρόσθεση ή την αφαίρεση αµελητέων όρων προκύπτει επίσης όρος αµελητέος, η παραδοχή Ι θα ισχύει αν αντικατασταθεί η φράση «ακριβώς µια άφιξη» µε την φράση «ακριβώς µια άφιξη και καµιά αναχώρηση», η δε παραδοχή ΙΙ θα ισχύει αν αντικατασταθεί η φράση «ακριβώς µια αναχώρηση» µε την φράση «ακριβώς µια αναχώρηση και καµιά άφιξη». Συνεπώς µπορεί να συµβεί ένα από τα ακόλουθα τέσσερα αµοιβαίως αποκλειόµενα ενδεχόµενα:. ακριβώς µια άφιξη και καµιά αναχώρηση: πιθανότητα [λ t+o( t)] 2. ακριβώς µια αναχώρηση και καµιά άφιξη: πιθανότητα [µ t+ο( t)] 3. αριθµός αφίξεων και αναχωρήσεων µαζί µεγαλύτερος του : πιθανότητα [ο( t)] Συστήµατα αναµονής Σελίδα 2 από 9

3 4. Καµιά άφιξη και καµιά αναχώρηση Άρα η πιθανότητα του ενδεχοµένου 4 είναι προφανώς ίση µε την µονάδα µείον τις πιθανότητες των τριών πρώτων ενδεχοµένων, όπως προκύπτουν από τις τρεις παραπάνω παραδοχές. Έτσι συνάγεται το ακόλουθο πόρισµα: Πόρισµα: Αν ένα σύστηµα αναµονής βρίσκεται στην κατάσταση N(t)= η πιθανότητα να µην συµβεί ούτε άφιξη ούτε αναχώρηση από το σύστηµα κατά το χρονικό διάστηµα από t έως (t+ t) είναι [- λ t- µ t- ο( t)]..3 Αριθµός πελατών στο σύστηµα αναµονής Μετά τα παραπάνω µπορούµε, υπό ορισµένες προϋποθέσεις που θα δούµε στη συνέχεια, να προσδιορίσουµε την συνάρτηση κατανοµής του αριθµού πελατών στο σύστηµα αναµονής, που αποτελεί το ένα από τα δύο βασικά χαρακτηριστικά µεγέθη των συστηµάτων αναµονής, από τα οποία µπορούν να προκύψουν όλα τα ενδιαφέροντα βασικά µεγέθη τους. Το άλλο βασικό χαρακτηριστικό είναι η κατανοµή των χρόνων παραµονής των πελατών στο σύστηµα αναµονής, το οποίο δεν µπορεί να προσδιορισθεί απ ευθείας µε όσα έχουν εκτεθεί ως τώρα, παρά µόνο σε απλές περιπτώσεις, που θα δούµε παρακάτω. Για >0 το σύστηµα αναµονής µπορεί να φθάσει στην κατάσταση N(t)= τη χρονική στιγµή (t+ t) από την κατάστασή του την χρονική στιγµή t κατά ένα από τους τέσσερις αµοιβαίως αποκλειόµενους τρόπους, που περιγράφονται στον επόµενο πίνακα µαζί µε τις πιθανότητές τους. Κατάσταση Συστήµατος Αναµονής σε χρόνο t Ενδεχόµενα µεταξύ t και (t+ t) Πιθανότητα N(t) = Μία άφιξη P - (t)[λ - t+o( t)] N(t) = + Μία αναχώρηση P + (t) [µ + t+ο( t)] Πολλαπλά ενδεχόµενα ο( t) N(t) = Κανένα P (t) [- λ t- µ t- ο( t)] Συστήµατα αναµονής Σελίδα 3 από 9

4 Από τις πιθανότητες αυτές προκύπτει ότι: P (t+ t) = P - (t)[λ - t+o( t)] + P + (t) [µ + t+ο( t)] + ο( t) + P (t) [- λ t- µ t- ο( t)] Συνδυάζοντας τους αµελητέους όρους ο( t), αφαιρώντας από τα µέλη της ισότητας P και διαιρώντας µε t έχουµε: P (t + t) P (t) = P - (t)λ - + P + (t)µ + -P (t) [λ +µ ]+ο( t)/ t t και θεωρώντας το όριο των µελών της για t 0 λαµβάνουµε: dp (t) = dt P- (t)λ + P (t)µ -P (t) [λ +µ ] για > Για = 0 θέτουµε λ - =0 και µ 0 = 0, οπότε: dp (t) 0 = dt P (t)µ P (t)λ 0 0 Έτσι έχουµε ένα σύνολο ( = 0,, 2, ) διαφορικών εξισώσεων, που θα µας έδιναν τις τιµές των P (t)..4 Παράδειγµα: ιαδικασία γεννήσεων Poisso Υποθέτουµε λ =λ και µ =0 για όλα τα ( = 0,, 2, ). Αυτό σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν αναχωρήσεις από το σύστηµα, αλλά µόνο αφίξεις µε σταθερό ρυθµό λ. Οι διαφορικές εξισώσεις στην περίπτωση αυτή γίνονται: dp 0 (t) = P0 (t)λ (για =0) dt και dp (t) = dt [P- (t)- P (t)]λ για > 0 Συστήµατα αναµονής Σελίδα 4 από 9

5 Υποθέτοντας ότι το σύστηµα αναµονής βρίσκετε στην κατάσταση Ε0 κατά τη χρονική στιγµή t=0, βρίσκουµε εύκολα ότι η λύση της πρώτης από τις παραπάνω εξισώσεις είναι: P 0 (t)=e -λt Η γενική λύση εξ άλλου είναι: P (t)=(λt) e -λt /! για =0,, 2, Όπως επαληθεύεται εύκολα µε αντικατάσταση. Παρατηρούµε ότι η κατανοµή πιθανότητας για το είναι η κατανοµή Poisso µε παράµετρο λt..5 Μοντέλα αναµονής γεννήσεων-θανάτων Στο Σχήµα παριστάνεται ο γράφος µεταβάσεων για τη διαδικασία γεννήσεων-θανάτων. λ 0 λ λ - λ µ µ 2 µ µ + Σχήµα - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων Ονοµάζουµε (t) την πιθανότητα να βρίσκεται η διαδικασία στην κατάσταση την χρονική στιγµή t. Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη των οριακών πιθανοτήτων: lim t (t) Αν υποθέσουµε προς το παρόν ότι η κατανοµή υπάρχει και αντιπροσωπεύει την στατική κατανοµή για τη διαδικασία, τότε θα ισχύουν οι εξισώσεις: () (λ ) + λ + + λ00 = 0 = 0, Συστήµατα αναµονής Σελίδα 5 από 9

6 Επιπλέον θα πρέπει να ισχύει η σχέση: (2) = 0 = Στο σηµείο θα προσπαθήσουµε να αναλύσουµε περαιτέρω τις εξισώσεις (). Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν τη δυναµική εξέλιξη της διαδικασίας και θα µπορούσαµε να πούµε ότι εκφράζουν τη ροή της πιθανότητας µέσα από τις διάφορες καταστάσεις. Παρατηρώντας τα βέλη στις ακµές του γράφου στο Σχήµα µπορούµε να θεωρήσουµε ότι: Ρυθµός ροής προς την κατάσταση = λ + + Ρυθµός ροής από την κατάσταση = ( λ ) Εφόσον ενδιαφερόµαστε για τη µόνιµη (στατική) κατάσταση της διαδικασίας, το σύστηµα πρέπει να βρίσκεται σε ισορροπία και οι ρυθµοί αυτοί να είναι ίσοι, πράγµα το οποίο εκφράζεται από την πρώτη εξίσωση στις (). Για το λόγο αυτό, οι εξισώσεις () ονοµάζονται εξισώσεις ισορροπίας του συστήµατος. Η έννοια της ισορροπίας της ροής δεν ισχύει µονάχα σε κάθε κατάσταση, αλλά για οποιοδήποτε σύνολο καταστάσεων, θεωρώντας τις ροές από και προς το συγκεκριµένο σύνολο. Για παράδειγµα αν θεωρήσουµε το σύνολο καταστάσεων {0,,, -} η ισορροπία της ροής δίνει: (3) λ = µ Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι το σύνολο των εξισώσεων που προκύπτουν από την (3) για =, 2, είναι ισοδύναµο µε το σύνολο των εξισώσεων που περιγράφεται από τις (). Η γενική λύση του συστήµατος εξισώσεων βρίσκεται εύκολα: (4) λi = 0, =,2,... i= 0 µ i+ όπου η πιθανότητα 0 προσδιορίζεται µε βάση την συνθήκη (2): Συστήµατα αναµονής Σελίδα 6 από 9

7 (5) 0 + = λ µ = i= 0 i+ i Οι στατικές πιθανότητες θα υπάρχουν αν ισχύει: (6) λ S = + µ = i= 0 i+ i < δηλαδή, εάν ισχύει 0 > 0. Η σηµασία της τελευταίας συνθήκης γίνεται πιο εµφανής διαισθητικά, αν θεωρήσουµε ότι η διαδικασία γεννήσεων-θανάτων περιγράφει ένα απλό σύστηµα αναµονής, όπου οι γεννήσεις και οι θάνατοι αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα αφίξεις και αναχωρήσεις πελατών. Η συνθήκη 0 > 0 εκφράζει απλά ότι για να είναι µια ουρά ευσταθής θα πρέπει κατά καιρούς να αδειάζει. Από την (6) παρατηρούµε ότι η σειρά S συγκλίνει αν υπάρχει κάποιο 0 τέτοιο ώστε για κάθε 0 να ισχύει λ /µ <, ή σε σχέση µε το σύστηµα αναµονής, οι αφίξεις να γίνονται µε µικρότερο ρυθµό από τις αναχωρήσεις..6 Το σύστηµα αναµονής M/M/ Το σύστηµα M/M/ είναι το απλούστερο σύστηµα αναµονής και χαρακτηρίζεται από αφίξεις Poisso (εκθετικά κατανεµηµένους χρόνους µεταξύ αφίξεων) και εκθετικά κατανεµηµένους χρόνους εξυπηρέτησης. Οι ρυθµοί γεννήσεων-θανάτων είναι ανεξάρτητοι από την κατάσταση του συστήµατος: λ = λ, =0,,2,... µ = µ, =0,,2,... Έχουµε ένα () εξυπηρετητή και χωρητικότητα. Με εφαρµογή στην γενική λύση βρίσκουµε: = 0 (λ/µ), 0 Συστήµατα αναµονής Σελίδα 7 από 9

8 0 λ = 0 µ = εφόσον ισχύει η συνθήκη: S = λ =0 µ < Η παραπάνω σειρά συγκλίνει για λ<µ στην τιµή /(-λ/µ), οπότε: (7) 0 = -λ/µ Η ποσότητα ρ=λ/µ, όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, ονοµάζεται ένταση κυκλοφορίας (traffic itesity) του συστήµατος. Σύµφωνα µε την (4.7) η ένταση κυκλοφορίας εκφράζει την πιθανότητα να µην είναι άδειο το σύστηµα ή ισοδύναµα να είναι απασχοληµένη η µονάδα εξυπηρέτησης, για αυτό ονοµάζεται και βαθµός χρησιµοποίησης (utilizatio) της µονάδας εξυπηρέτησης και συµβολίζεται µε u και παριστάνει το ποσοστό του χρόνου στον οποίο το σύστηµα είναι απασχοληµένο. Με χρήση του ρ, η πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστηµα θα είναι: = (-ρ)ρ, 0 δηλαδή ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή. Ο µέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα θα είναι: N = = ( ) = = 0 = 0 και µε βάση το θεώρηµα του Little ο µέσος χρόνος παραµονής στο σύστηµα θα είναι: T = N/λ = µ Συστήµατα αναµονής Σελίδα 8 από 9

9 Αυτός είναι ο µέσος χρόνος που περιµένει ο πελάτης από τη στιγµή που µπαίνει στο σύστηµα µέχρι τη στιγµή που τελειώνει η εξυπηρέτησή του. Π.χ. για u = << ο µέσος χρόνος αυτός είναι περίπου ίσος µε το χρόνο εξυπηρέτησης. Ο χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα είναι το άθροισµα του χρόνου αναµονής και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο µέσος χρόνος αναµονής είναι: W = T = µ µ Π.χ. για u = << ο µέσος χρόνος αυτός είναι περίπου ίσος µε µηδέν. Συστήµατα αναµονής Σελίδα 9 από 9