ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36

2 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις που λαμβάνονται σε θέματα σύνθεσης διεργασιών είναι διακριτές εξ ορισμού (αριθμός δίσκων σε μία στήλη απόσταξης, η χρήση μίας συσκευής ορισμού τύπου κλπ. Εάν ακολουθηθεί μία αλγοριθμική προσέγγιση στο πρόβλημα της σύνθεσης χρειαζόμαστε αυτές τις διακριτές επιλογές να τις μοντελοποιήσουμε μαθηματικά και να μάθουμε πώς να λύνουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης που θα προκύπτει. Σε αυτό το κεφάλαιο εξετάζουμε το θέμα της μοντελοποίησης διακριτών αποφάσεων σε θέματα σύνθεσης διεργασιών. Υπάρχουν τρία βασικά βήματα σε αυτό το θέμα: Προσδιορισμός όλων των δυνατών εναλλακτικών. Ορισμός των διακριτών μεταβλητών αποφάσεων. Ανάπτυξη αλγεβρικών εξισώσεων που αντιπροσωπεύουν αυτές τις εναλλακτικές επιλογές.. Ανάπτυξη Υπερδομής Το πρώτο βήμα απεικονίζεται καλύτερα γραφικά. Για ομογενή συστήματα όπως δίκτυα εναλλακτών θερμότητας, αλληλουχία αποστακτικών στηλών και δίκτυα βοηθητικών παροχών πρέπει να αναπτυχθεί μια συστηματική αναπαράσταση. Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει ένα δίκτυο αποστακτικών στηλών για ένα διαχωρισμό τεσσάρων συστατικών (Andrecovch and Westerberg, 985. Σε αυτό το διάγραμμα απεικονίζονται όλες οι δυνατές αλληλουχίες των στηλών. Το επόμενο διάγραμμα δείχνει μία υπερδομή από ένα σύστημα CSTR/PFR. Οι αντιδραστήρες μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνοι τους, παράλληλα, σε σειρά ή σε οποιαδήποτε άλλη διάταξη καθώς και να συμπεριληφθούν ανακυκλώσεις. 37

3 Δίκτυο Αποστακτικών Στηλών με διαχωρισμούς αντιπροσωπεύοντας όλες τις δυνατές επιλογές και αλληλουχίες Υπερδομή ενός συστήματος CSTR/PFR Για ετερογενή μίγματα, όπως ολικά διαγράμματα ροής, οι εναλλακτικές θα πρέπει να οριστούν από τον χρήστη. Για παράδειγμα, διαφορετικοί τύποι αντιδραστήρων μπορεί να προταθούν, διαφορετικές διατάξεις των ανακυκλώσεων να οριστούν, μερικές επιλογές πρώτων υλών να επιλεγούν, Γενικά πρέπει να χρησιμοποιηθεί καλή γνώση της διεργασίας, ιεραρχικοί κανόνες και θερμοδυναμική, πληροφορία προκειμένου να χτιστεί σωστά μια υπερδομή του διαγράμματος ροής. Μεγάλη προσοχή πρέπει να δοθεί στην ανάπτυξη της υπερδομής, καθώς η βέλτιστη λύση που θα βρεθεί καθορίζεται από τις παραδοχές που έχουν γίνει σε 38

4 αυτό το στάδιο: μόνο οι εναλλακτικές που έχουν χρησιμοποιηθεί στην υπερδομή μπορούν να επιλεχθούν στην βέλτιστη λύση. Η απόδοση/αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου βελτιστοποίησης που θα χρησιμοποιηθεί για την βελτιστοποίηση της υπερδομής εξαρτάται από την μαθηματική αναπαράσταση αυτής. Απαιτείται καλή γνώση των αλγορίθμων βελτιστοποίησης, ακόμη και για καλά μοντελοποιημένα προβλήματα.. Μοντελοποίηση της Υπερδομής μίας Διεργασίας ή Διαγράμματος ροής Από την στιγμή που οριστεί το σετ των εναλλακτικών επιλογών των διαφόρων συσκευών ή διεργασιών, πρέπει να γίνει η μαθηματική αναπαράσταση/μοντελοποίηση της υπερδομής.. Συνεχής Αναπαράσταση Μια δυνατότητα είναι η ανάπτυξη ενός μοντέλου της διεργασίας, το οποίο περιλαμβάνει όλα τα δυνατά εναλλακτικά σενάρια με συνεχή τρόπο. Όταν βελτιστοποιείται αυτή η διεργασία, το μεγάλο κόστος της επιλογής όλων των συσκευών πρέπει να επιβάλει μηδενικές τιμές σε κάποιους από τους ρυθμούς ροής στην βέλτιστη λύση. Οι συσκευές με μηδενικές ροές εισόδου και εξόδου μπορούν κατόπιν να διαγραφούν από την διεργασία. Σε αυτήν την περίπτωση οι διακριτές αποφάσεις (πρέπει να χρησιμοποιηθεί CSTR, PFR ή και οι δύο? λαμβάνονται έμμεσα. Ωστόσο, μπορεί να υπάρχουν αποφάσεις οι οποίες είναι δύσκολα να ποσοτικοποιηθούν και να χρησιμοποιηθούν στην αντικειμενική συνάρτηση χρησιμοποιώντας αυτήν την έμμεση προσέγγιση. Για παράδειγμα μπορεί να απαιτείται να επιβληθεί ένα ελάχιστο στο μέγεθος μιας συσκευής όταν αυτή επιλεχθεί. Όταν ο ελάχιστος όγκος ενός αντιδραστήρα είναι V mn, θέλουμε ο βέλτιστος όγκος του αντιδραστήρα V να ικανοποιεί μία από τις παρακάτω σχέσεις: V = 0 ή V Vmn Πως μπορεί το παραπάνω να εκφραστεί μαθηματικά?... Μερικοί Ορισμοί Λογικές Εκφράσεις όπως η παραπάνω μπορούν να εκφραστούν μέσω Λογικών προτάσεων σχετίζοντας ένα σετ από όρους P, =,... r με βάση τα σύμβολα του παρακάτω πίνακα: Σύμβολο Ορισμός Η (διαζευκτικό- ισχύει τουλάχιστον Αποκλειστικό Η (μόνο ένα ΚΑΙ ΟΧΙ 39

5 Η πρόταση P P μπορεί να γραφεί ως P P. Το παράδειγμα του αντιδραστήρα μπορεί να εκφραστεί ως ( V = ( V 0 V mn Αλγεβρικές Εξισώσεις. Λογικές εκφράσεις μπορούν να μετατραπούν σε αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτές περιλαμβάνουν μόνο αλγεβρικές εκφράσεις όπως +,,,, τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Μπορεί να είναι ισότητες ή ανισότητες. Αυτό απαιτεί την εισαγωγή δυαδικών μεταβλητών. Οι δυαδικές μεταβλητές είναι μεταβλητές που μπορούν να πάρουν μόνο τιμές 0 και. Συχνά συμβολίζονται με το σύμβολο. Συχνά, μια δυαδική μεταβλητή σχετίζεται με μία συσκευή διεργασίας: αν η συσκευή υπαρχει = 0 αν η συσκευή δεν υπάρχει (ή δεν επιλεχθεί Αν μια τέτοια μεταβλητή οριστεί για το παράδειγμα του αντιδραστήρα που είδαμε πριν τότε η λογική έκφραση γράφεται: V mn V M Όπου Μ είναι ένας μεγάλος αριθμός (ή το μέγιστο όριο στον όγκο του αντιδραστήρα αν είναι γνωστό αυτό. Όταν ο αντιδραστήρας δεν επιλεγεί τότε V = 0 ενώ όταν επιλεχθεί V V M. mn... Από τις λογικές εκφράσεις στις Αλγεβρικές Εξισώσεις... Μερικοί βασικοί μετασχηματισμοί Λογική Πρόταση Μαθηματική αναπαράσταση = ή 0 P P P P3 P P P3 P P (ισοδύναμο του P P P ή ( P P ( P P P P P3 P P P3 P P3 P P3 = + + 3,, 3 + 0, = 3 0, 3 P ή 0 0 ή = ή ( ( 0 Στον παραπάνω πίνακα το P δηλώνει μια αληθή έκφραση-πρόταση ενώ το P δηλώνει την αντίθεση (μη ισχύ της πρότασης αυτής. Παράδειγμα P : Επιλογή της συσκευής ι, εκτέλεση ενός έργου κλπ.... Μία Συστηματική Προσέγγιση 40

6 Κάθε λογική έκφραση μπορεί να μετατραπεί σε μία ισοδύναμη αλγεβρική εξίσωση με δυαδικές μεταβλητές χρησιμοποιώντας μία συστηματική προσέγγιση Βήμα. Εισάγουμε δυαδικές μεταβλητές για κάθε όρο P. Αν το P είναι αληθές (ισχύει, τότε =. Αν το P είναι ψευδές (δεν ισχύει, τότε = 0. Βήμα. Μετατρέπουμε την λογική έκφραση σε μία ισοδύναμη συνδετική κανονική μορφή Q Q... Q Q j j =,... n είναι όροι που εξαρτώνται από τα n, όπου τα ( P. Τότε τα n Q είναι ανεξαρτήτως αληθή. Αντικαθιστούμε το ρυθμιστή συνεπαγωγής από την ισοδύναμη λογική μορφή: ( P P ( P P. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του de Morgan για να θέσουμε κάθε αντίθεση προς τα μέσα P P P P ( ( ( P P ( P P Κατανέμουμε τον τελεστή Η πάνω στον ρυθμιστή ΚΑΙ χρησιμοποιώντας: P P P P P P (( (( ( 3 3 P3 Βήμα 3. Μετατρέπουμε το κάθε Q σε μία ισοδύναμη αλγεβρική εξίσωση ή σετ από αλγεβρικές εξισώσεις. Εφαρμογή. Μετατρέψτε το (( P P P ( P σε αλγεβρικές εξισώσεις 3 4 P5 Βήμα. Θέτουμε,...5 στα P,..., P5 αντίστοιχα Βήμα. Συνδετική κανονική μορφή Μετατρέψτε το τελεστή συνεπαγωγής : (( P P P3 ( P4 P5 Εφαρμόζουμε το θεώρημα του de Morgan P P P P P ( ( 3 ( 4 5, (( P P P ( P P Κατανέμουμε τον τελεστή Η: P P P P P 3 (( ( 4 5 ( 3 ( P4 P5 ( P P P P ( P P P Q 4 \ Βήμα 3. Η ισοδύναμη αλγεβρική εξίσωση για το Q είναι Για το Qείναι Αν και οι δύο εκφράσεις ικανοποιούνται, η αρχική λογική έκφραση ικανοποιείται επίσης. Q 4

7 ...3 Παραδείγματα Η παραπάνω συστηματική προσέγγιση μπορεί να εφαρμοστεί σε μερικά συχνά προβλήματα στην σύνθεση διεργασιών Αμοιβαία αποκλεισμένα σετ εναλλακτικών: Επιλέξτε μόνο ένα από τα m. m P ή = = m = Μη αποκλεισμένα σετ εναλλακτικών: Επιλέξτε το πολύ ένα από τα m. m P ή = m = Εξαρτώμενες αποφάσεις. Pk Pj (αλλά το Pj δεν απαιτεί κατά ανάγκη το P k : Pk Pj ή k j 0 Είτε/ή περιορισμοί: f ( x 0 ή f ( x 0 o Λογική έκφραση: ( f ( x 0 f ( x 0 o Αλγεβρική Εξίσωση: f( x M f ( x M ( Όπου Μ είναι ένας μεγάλος αριθμός. Αυτοί οι περιορισμοί είναι γνωστοί και ως περιορισμοί του μεγάλου Μ Ενεργοποίηση και απενεργοποίηση περιορισμών ισοτήτων. Αν η x = h x είναι άσχετο (δηλ. συσκευή υπάρχει, h ( 0. Διαφορετικά το ( ( x + h και γράφουμε:. Ορίζουμε τις μη-αρνητικές μεταβλητές slack ( x + h + s s + s + s U + s, s 0 Όπου U είναι ένας μεγάλος θετικός αριθμός. = 0 ( + s και Ενεργοποίηση και απενεργοποίηση ανισοτικών περιορισμών. Αν μία x 0 g x είναι άσχετο (δηλ. συσκευή υπάρχει τότε g (. Διαφορετικά ( g ( x. Ορίζουμε τις μη-αρνητικές μεταβλητές slack s και γράφουμε: g ( x s s U s 0 ( Όπου U είναι ένας μεγάλος θετικός αριθμός. Ασυνεχή πεδία: x = 0 ή L x U.Αυτό είναι το ίδιο με το παράδειγμα του αντιδραστήρα - ( x = 0 ( L x U ή L x U Ασυνεχείς συναρτήσεις: Ορισμένο μοντέλο κόστους σε ασυνεχές πεδίο (παρακάτω σχήμα. s 4

8 Γραμμική συνάρτηση κόστους σε ασυνεχές πεδίο α + βx L x U C = 0 x = 0 Λογική πρόταση: (( L x U ( C = α + βx ( x = 0 C = 0 Αλγεβρικές Εξισώσεις: C = α + βx L x U Προσέξτε ότι όταν το κάτω όριο στο x είναι μηδέν, ο συνδυασμός =, x = 0 δεν θα επιλεγεί ανεξάρτητα από το ότι ικανοποιεί την εξίσωση. Αυτό συμβαίνει γιατί δεν ανταποκρίνεται σε ένα ελάχιστο της αντικειμενικής συνάρτησης. Άσκηση: Αναπτύξτε την μαθηματική αναπαράσταση μια συσκευής με γραμμική συνάρτηση κόστους σε τμήματα ως συνάρτηση της μεταβλητής δυναμικότητας x όπως φαίνεται παρακάτω: Γραφική απεικόνιση τμηματικής γραμμικής συνάρτησης κόστους..3. Ακέραιες Μεταβλητές Ένας άλλος τύπος μεταβλητών που χρησιμοποιούνται σε θέματα σύνθεσης διεργασιών είναι οι ακέραιες μεταβλητές. Εξετάστε το παράδειγμα ενός δικτύου αντλιών όπου 3 διαφορετικοί τύποι αντλιών μπορούν να επιλεγούν από τον κατασκευαστή. Για κάθε τύπο αντλίας θα θέλαμε να ξέραμε πόσες παράλληλες γραμμές πρέπει να έχουμε και πόσες αντλίες θα πρέπει να τοποθετηθούν στην σειρά (δείτε το παρακάτω σχήμα. Αυτό το πρόβλημα περιλαμβάνει δυαδικές μεταβλητές 43

9 (εάν αντλίες ενός τύπου θα επιλεχθούν ή όχι και ακέραιες μεταβλητές (πόσες αντλίες στην σειρά θα χρησιμοποιηθούν στην σειρά, πόσες γραμμές θα τοποθετηθούν παράλληλα. Υπάρχουν δύο επιλογές για την μαθηματική μοντελοποίηση αυτού του προβλήματος: Μπορούμε να εισάγουμε ακέραιες μεταβλητές (( n { 0,,,3 } s, αριθμός αντλιών τύπου στην σειρά. Μπορούμε να εισάγουμε ένα σετ διαδυκών μεταβλητών που θα συνδυάζονται κατάλληλα και ομοίως με παραπάνω. Και πάλι υπάρχει ένας συστηματικός τρόπος για να εκφραστεί μια ακέραια μεταβλητή με ένα σετ από δυαδικές μεταβλητές. Θεωρείστε την ακέραια μεταβλητή n έτσι ώστε n { 0, U n} N. Ορίζουμε το Κ έτσι ώστε: K log U n < K Και Κ δυαδικές μεταβλητές k, k =,... K. Οι ακόλουθες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να οριστεί το n ως προς τις δυαδικές μεταβλητές: K n = k = n U n k k Υπερδομή Δικτύου Αντλιών 44