Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Transcript

1 Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 8: Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Εργαλεία Excel minverse & mmult Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τον τρόπο επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Επίσης, να εκπαιδευτεί στα εργαλεία του Microsoft Excel 2010 minverse (αντιστροφή πίνακα) & mmult (πολλαπλασιασμός πινάκων). 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Γραμμικές Αλγεβρικές Εξισώσεις. Προβλήματα μηχανικού. Πίνακες. Γραφική μέθοδος. Ο κανόνας Cramer και ορίζουσες. 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2/2) Μέθοδοι απαλοιφής. Ισοζύγια μάζας. Αντιδραστήρας πλήρους ανάμειξης. Σύστημα αντιδραστήρων. 6

7 Γραμμικές Αλγεβρικές Εξισώσεις Η εξίσωση ax+by+c=0 ή ισοδύναμα ax+by=-c ονομάζεται γραμμική ως προς τις μεταβλητές x και y. ax+by+cz=d είναι γραμμική ως προς τρεις μεταβλητές, x, y, και z. Άρα, γραμμική εξίσωση ως προς n μεταβλητές είναι a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = b. Η λύση είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών c 1, c 2, c 3,, c n. Αν έχουμε πολλές τέτοιες εξισώσεις τότε πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. 7

8 Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων 8

9 Προβλήματα μηχανικού Σχήμα 1. Προβλήματα μηχανικού 1, πηγή: Chapra & Canale,

10 Ιδιότητες Πινάκων Σχήμα 2. Ιδιότητες Πινάκων, Πηγή: Chapra & Canale,

11 Πίνακες 11

12 Πολλαπλασιασμός πινάκων (1) Σχήμα 3. Πολλαπλασιασμός πινάκων, πηγή: Chapra & Canale,

13 Πολλαπλασιασμός πινάκων (2) 13

14 Άλλες ιδιότητες 14

15 Λύση συστήματος γραμμικών εξισώσεων χωρίς υπολογιστή Για μικρό αριθμό γραμμικών εξισώσεων (n 3) το σύστημα λύνεται με απλές τεχνικές όπως αυτή της απαλοιφής. Γραμμική άλγεβρα (Linear algebra). Σήμερα, η πρόσβαση σε υπολογιστές μας επιτρέπει να λύσουμε συστήματα ακόμα και πολλών εξισώσεων σχετικά εύκολα και γρήγορα. 15

16 Μικρός αριθμός εξισώσεων Διάφοροι τρόποι: Γραφική μέθοδος. Κανόνας Cramer. Απαλοιφής. Υπολογιστής. 16

17 Γραφική μέθοδος (1) Δύο εξισώσεις:. Λύνουμε και τις δύο ως προς x 2:. 17

18 Γραφική μέθοδος (2) Διάγραμμα x 2 ως προς x 1 το σημείο τομής των ευθειών είναι η λύση. Σχήμα 4. Γραφική μέθοδος (1), πηγή: Chapra & Canale,

19 Γραφική μέθοδος (3) Σχήμα 5. Γραφική μέθοδος (2), Πηγή: Chapra & Canale,

20 Ο κανόνας Cramer και ορίζουσες (1) Σύστημα τριών εξισώσεων:. [A] ο πίνακας συντελεστών:. 20

21 Ο κανόνας Cramer και ορίζουσες (2) 21

22 Ο κανόνας Cramer και ορίζουσες (3) Κανόνας Cramer. π.χ. x 1 :. 22

23 Μέθοδος απαλοιφής Λύση μιας εξίσωσης ως προς ένα άγνωστο και απαλοιφή αυτού στις άλλες εξισώσεις με αντικατάσταση. Αυτό μπορεί να γίνει σε συστήματα με περισσότερες από δύο ή τρεις εξισώσεις αλλά καταντά κουραστικό χωρίς υπολογιστή. 23

24 Απαλοιφή Gauss (Naive Gauss) Επέκταση της μεθόδου απαλοιφής σε σύστημα πολλών εξισώσεων συστηματικά ή με αλγόριθμο με απαλοιφή αγνώστου και αντικατάσταση. Έτσι για n εξισώσεις:. Απαλοιφή αγνώστου (προχωρώντας μπροστά). Αντικατάσταση (γυρνώντας πίσω). 24

25 Παράδειγμα Εικόνα 1. Παράδειγμα, πηγή: Chapra & Canale,

26 Μειονεκτήματα μεθόδων απαλοιφής Διαίρεση με μηδέν. Είτε κατά την απαλοιφή είτε κατά την αντικατάσταση. Λάθη στρογγυλοποίησης. Ιδιάζοντα συστήματα (ill-conditioned). Δηλ. συστήματα όπου μικρές μεταβολές στους συντελεστές προκαλούν μεγάλες μεταβολές στη λύση. Ή δύο η περισσότερες εξισώσεις είναι σχεδόν ταυτόσημες (άρα μεγάλος αριθμός λύσεων). Επειδή μικρά σφάλματα στρογγυλοποίησης αλλάζουν λίγο τις τιμές των συντελεστών, αυτές οι αλλαγές μπορούν να προκαλέσουν μεγάλα σφάλματα στην λύση. 26

27 Ιδιάζοντα συστήματα Όταν δύο εξισώσεις είναι σχεδόν ταυτόσημες, χάνουμε ένα βαθμό ελευθερίας και άρα έχουμε n-1 εξισώσεις με n αγνώστους. Για μεγάλο αριθμό εξισώσεων, αυτό μπορεί να μην είναι προφανές. Όμως η ορίζουσα ενός τέτοιου συστήματος είναι κοντά στο μηδέν και αυτό μπορεί να ελεγχθεί από τον υπολογιστή και να σταματήσουν οι υπολογισμοί (π.χ. αν βρεθεί ένα διαγώνιο στοιχείο=0 μετά την απαλοιφή Gauss). 27

28 Τεχνικές βελτίωσης της λύσης Χρήση περισσότερων σημαντικών ψηφίων. Μετασχηματισμός (Pivoting). Αν ένα οδηγόν στοιχείο=0, τότε η ο μετασχηματισμός οδηγεί σε διαίρεση με μηδέν. Το ίδιο και αν το οδηγόν στοιχείο 0. Ενέργειες: Μερικός μετασχηματισμός. Αλλάζουμε τις σειρές ώστε το μεγαλύτερο στοιχείο να γίνει το οδηγόν στοιχείο. Ολικός μετασχηματισμός. Αλλάζουμε και γραμμές και στήλες ώστε να βρούμε το μεγαλύτερο στοιχείο. 28

29 Μέθοδος Gauss-Jordan Διαφοροποίηση της Gauss. Διαφορές:. Όταν απαλείφουμε τον άγνωστο τον απαλείφουμε από όλες τις εξισώσεις και όχι μόνο από τις ακόλουθες. Όλες οι σειρές κανονικοποιούνται με διαίρεση με τα οδηγόντα στοιχεία. Καταλήγουμε μετά τις απαλοιφές στον μοναδιαίο πίνακα. Συνεπώς δεν χρειαζόμαστε πίσωαντικατάσταση. Εικόνα 2. Μέθοδος Gauss Jordan, πηγή: Chapra & Canale,

30 Ισοζύγια μάζας Εικόνα 3. Ισοζύγια μάζας, πηγή: Chapra & Canale,

31 Αντιδραστήρας πλήρους ανάμειξης (CSTR)=(Continuous Stirred Tank Reactor) Εικόνα 4. Αντιδραστήρας πλήρους ανάμειξης, πηγή: Chapra & Canale,

32 Σύστημα αντιδραστήρων (1) Σχήμα 6. Σύστημα αντιδραστήρων, πηγή: Chapra & Canale,

33 Σύστημα αντιδραστήρων (2) 33

34 Excel Επιλέγουμε πίνακα 5 5 για τον [Α] και 5 1 για τον [Β]. Επιλέγουμε κελία 5 5 για [Α] 1 και εισάγουμε την συνάρτηση =minverse (κελιά του [Α]) με Ctrl+Shift Enter. Επιλέγουμε κελιά 5 1 για το [C] και εισάγουμε τη συνάρτηση =mmult(κελιά [Α] 1 ; κελιά [Β]) με Ctrl+Shift Enter. Επιλέγουμε συνήθως μορφοποίηση 15 δεκαδικών επειδή το Excel χρησιμοποιεί διπλής ακρίβειας τιμές. Μπορεί να εμφανιστούν λάθη στρογγυλοποίησης στα τελευταία ψηφία. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την «Επίλυση»;. 34

35 Βιβλιογραφία Χρήση του λογισμικού Microsoft Excel Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers. 6 th Ed. McGraw-Hill. 35

36 Τέλος Ενότητας