Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Transcript

1 Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας 2 Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως η Διασπορά, η Ασυμμετρία και Κύρτωση. Παράλληλα να αντιλαμβάνονται έννοιες όπως Μέση και Τυπική Απόκλιση και φυσικά Διακύμανση. Τέλος να κατανοήσουν οι φοιτητές τους συντελεστές Μεταβλητότητας, Ασυμμετρίας και Κύρτωσης και φυσικά τα Μέτρα Ασυμμετρίας. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Διασπορά Ασυμμετρία Κύρτωση. Εύρος Μεταβολής. Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος. Μέση Απόκλιση. Τυπική απόκλιση και Διακύμανση. Παραδείγματα. 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2/2) Συντελεστής Μεταβλητότητας. Μέτρα Ασυμμετρίας. Συντελεστής Ασυμμετρίας. Συντελεστής Κύρτωσης. 6

7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ(1/2) Διασπορά (διακύμανση, εύρος μεταβολής κλπ): Μας πληροφορεί για τη διασπορά των δεδομένων συνήθως γύρω από τη μέση τιμή. Ασυμμετρία: Μετράει το βαθμό της συμμετρίας των δεδομένων ως προς τη συχνότητά κατανομή τους γύρω από τη μέση τιμή. Κύρτωση: Μετράει το βαθμό συγκέντρωσης των δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή. 7

8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ(2/2) Κύρτωση (συνέχεια): Η κύρτωση δείχνει την αιχμηρότητα ή την πλάτυνση της κατανομής. Τα μέτρα διασποράς που θα εξετάσουμε είναι τα εξής: Το εύρος μεταβολής. Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Η μέση απόκλιση. Η μέση απόκλιση τετραγώνου. Ο συντελεστής μεταβλητικότητας. 8

9 Το Εύρος μεταβολής είναι: Εύρος Μεταβολής (1/2) Το απλούστερο μέτρο διασποράς. Υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής: Ε = Χ max Χ min. Το Εύρος μεταβολής δεν θεωρείται αξιόπιστο: γιατί εξαρτάται μόνο από τις δύο ακραίες τιμές των δεδομένων. αν διαφορά των ακραίων τιμών είναι πολύ μεγάλη, τότε και το εύρος θα είναι ανάλογο.χρήση. Π.χ. ΧΑΑ. 9

10 Εύρος Μεταβολής (2/2) Έστω οι παρακάτω παρατηρήσεις. Να βρεθεί το εύρος μεταβολής: 42, 52, 30, 33, 14, 17, 48, 53, 37, 46, 24, 28, 32, 51, 54, 55, 38, 39, 68, 58, 44, 74, 59, 85, 60, 88, 76, 82, 79, 64, 62, 56,26 40, 72, 19. E = X max X min = =

11 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (1/5) Η απόσταση μεταξύ πρώτου και τρίτου τεταρτημόριου μας δίνει το Ενδοτεταρτημοριακό εύρος: το οποίο συμβολίζεται με IQR. IQR=Q 3 -Q 1. 11

12 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (2/5) Διάγραμμα 1. Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (2/5) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 12

13 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (3/5) Πίνακας 1 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Ενδοτεταρτημοριακό εύρος εισοδημάτων. Το 50% των τιμών των δεδομένων κυμαίνεται σε μια περιοχή εύρους ευρώ, δηλαδή τα μισά από τα εισοδήματα υπαλλήλων από τα οποία αποτελείται το δείγμα είναι από ευρώ έως ευρώ. IQR = Q 3 -Q 1 = 18,114 10,218 = 7,

14 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (4/5) Διάγραμμα 2. Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (4/5) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 14

15 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (5/5) Πίνακας 2 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Τιμές f i και F i δεδομένων. IQR = Q 3 -Q 1 = 73,33 53,64 = 19,7. Q 1 = x i δ f i 0,25N F i 1 = ,64. Q 3 = x i δ f i 0,75N F i 1 = , = = 15

16 Μέση Απόκλιση (1/3) Η Μέση Απόκλιση (Μ. Α.) ορίζεται ως ο μέσος αριθμητικός των απόλυτων αποκλίσεων (διαφορών) των τιμών μιας μεταβλητής Χ από το μέσο αριθμητικό τους. M. A. = x i x n. Το άθροισμα των αποκλίσεων είναι ίσο με μηδέν, γι αυτό υπολογίζουμε το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων. 16

17 Μέση Απόκλιση (2/3) Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε το μισθό 7 υπαλλήλων. Χ:600, 1050, 800, 850, 700,950, 550. Η μέση τιμή είναι 786. Υπολογίζουμε τις αποκλίσεις κάθε τιμής από τη μέση τιμή. Για παράδειγμα η πρώτη απόκλιση είναι ίση με: x i x = = 186. Αθροίζουμε τις αποκλίσεις, και υπολογίζουμε τη Μέση Απόκλιση ως εξής: M. A. = x i x n = =

18 Μέση Απόκλιση (3/3) M. A. = x i x n M. A. = 145. = = 145. Η τιμή Μ. Α. =145 σημαίνει ότι ο μισθός κάθε υπαλλήλου αποκλίνει (διαφέρει), κατά μέσο όρο, από το μέσο μισθό, x = 786 κατά 145. Η Μέση Απόκλιση πλεονεκτεί από τα δύο προηγούμενα μέτρα διασποράς (R και Q), γιατί λαμβάνει υπόψη όλες τις τιμές της μεταβλητής. Μειονεκτεί όμως, διότι δεν επιδέχεται αλγεβρικό χειρισμό. 18

19 Τυπική Απόκλιση και Διακύμανση (1/2) Το σημαντικότερο στατιστικό μέτρο διασποράς των τιμών μιας μεταβλητής Χ γύρω από το μέσο αριθμητικό τους είναι η Τυπική Απόκλιση. Υπολογίζεται με την τετραγωνική ρίζα του μέσου αριθμητικού των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών μιας μεταβλητής Χ από το μέσο αριθμητικό τους. Η τυπική απόκλιση συμβολίζεται με το σ στην περίπτωση του πληθυσμού και S στην περίπτωση του δείγματος. 19

20 Τυπική Απόκλιση και Διακύμανση (2/2) Το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης, ονομάζεται διακύμανση και συμβολίζεται με σ2 για δεδομένα πληθυσμού. S2 για δεδομένα δείγματος. Η τυπική απόκλιση εκφράζεται στις μονάδες που εκφράζεται και η υπό μελέτη μεταβλητή Χ, ενώ η διακύμανση εκφράζεται στο τετράγωνο της μεταβλητής Χ. 20

21 Tύποι Διακύμανσης- Τυπικής Απόκλισης (1/4) Όταν τα δεδομένα αφορούν πληθυσμό: σ 2 = (x i μ) 2. Ν μ είναι ο μέσος του πληθυσμού και Ν το πλήθος των δεδομένων του πληθυσμού. Όταν τα δεδομένα αποτελούν ένα δείγμα: s 2 = (x i n 1 x) 2. 21

22 Tύποι Διακύμανσης- Τυπικής Απόκλισης (2/4) Mε τον όρο βαθμοί ελευθερίας εννοούμε το πλήθος των στατιστικών δεδομένων: Τα οποία διαμορφώνονται ελεύθερα χωρίς κανένα περιορισμό. Για τον υπολογισμό όμως της διακυμάνσεως (x i x) ενός δείγματος προκύπτουν n αποκλίσεις. Από τις n αυτές αποκλίσεις μόνο οι n-1 είναι ανεξάρτητες: Γιατί η n-στή απόκλιση από το χ είναι καθορισμένη (περιορισμένη). 22

23 Tύποι Διακύμανσης- Τυπικής Απόκλισης (3/4) Για τον υπολογισμό όμως της διακυμάνσεως (x i x) ενός δείγματος προκύπτουν n αποκλίσεις. Από τις n αυτές αποκλίσεις μόνο οι n-1 είναι ανεξάρτητες (συνέχεια): Διότι ο υπολογισμός του μέσου αριθμητικού αποτελεί ένα περιορισμό ότι (x i x) =0 άρα μόνο οι n - 1 αποκλίσεις είναι ανεξάρτητες (αδέσμευτες). Eπομένως, για τον υπολογισμό της διακυμάνσεως παραμένουν n-1 βαθμοί ελευθερίας. 23

24 Tύποι Διακύμανσης- Τυπικής Απόκλισης (4/4) Για τον πληθυσμό: σ 2 = f i(x i μ) 2. Ν Για το δείγμα: s 2 = f i(x i x) 2. n 1 24

25 Παράδειγμα 1 (1/2) Διάγραμμα 3. Παράδειγμα 1 (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 25

26 Παράδειγμα 1 (2/2) Πίνακας 3. Δεδομένα x i και τιμές (x i μ) και (x i μ) 2. μ = 1 Ν x i = 8,9. σ 2 = 1 Ν i=1 (x i μ) 2 = = 20,5. 26

28 Παράδειγμα 2 (2/4) Πίνακας 5 (προηγούμενη διαφάνεια). Δεδομένα x i και τιμές f i και f i x i. Για τον πληθυσμό: μ = f ix i Ν = = 64,2. σ 2 = f i(x i μ) 2. Ν 28

30 Παράδειγμα 2 (4/4) Πίνακας 6 (προηγούμενη διαφάνεια). Δεδομένα x i και τιμές f i, f i x i, x i -μ, (x i μ) 2 και f i (x i μ) 2. σ 2 = f i(x i μ) 2 Ν = = 209,36. 30

31 Συντελεστής Μεταβλητότητας(1/4) H τυπική απόκλιση δεν δίνει τη δυνατότητα: Να αποφανθούμε για το εάν η διασπορά είναι μικρή ή μεγάλη. Να συγκρίνουμε τη διασπορά κατανομών που μετριούνται σε διαφορετική κλίμακα. Να συγκρίνουμε τη διασπορά κατανομών τα οποία εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες. 31

32 Συντελεστής Μεταβλητότητας(2/4) Λύση στο πρόβλημα αποτελεί η χρήση του συντελεστή μεταβλητότητας : Συμβολίζεται με CV. Ο συντελεστής μεταβλητικότητας είναι καθαρός αριθμός (χωρίς μονάδες μετρήσεως). 32

33 Συντελεστής Μεταβλητότητας(3/4) Για τον πληθυσμό έχουμε: CV = σ μ 100%. Για το δείγμα: CV = s x 100% Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι η τυπική απόκλιση ως ποσοστό του μέσου. Είναι δυνατό να εκφράσουμε το συντελεστή μεταβλητότητας σε αριθμό και όχι σε ποσοστό. 33

34 Συντελεστής Μεταβλητότητας(4/4) Διαιρούμε την τυπική απόκλιση με το μέσο. Μέτρα που είναι εκφρασμένα στις ίδιες φυσικές μονάδες. Για παράδειγμα, διαιρούμε κιλά με κιλά, ευρώ με ευρώ, κλπ. Επομένως, οι μονάδες εξαφανίζονται και ο συντελεστής μεταβλητότητας μένει ένα καθαρό ποσοστό (ή ένας καθαρός αριθμός). Π.χ. ζητούμε τη σύγκριση της τυπικής απόκλισης μιας κατανομής βαρών με μια αναστημάτων. Πρόβλημα: Διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Λύση: Συντελεστής μεταβλητότητας. 34

35 Παράδειγμα 3 (1/3) Οι σπουδαστές του τμήματος Λογιστικής παρακολουθούν τα μαθήματα Στατιστική και Οικονομικά και μετά την τελική αξιολόγησή τους έχουν: Μέσο όρο βαθμολογίας στη στατιστική 5,7 με τυπική απόκλιση 1,0 Ενώ στα οικονομικά έχουν μέσο όρο 8,2 και τυπική απόκλιση 1,4. Στη Στατιστική ή στα Οικονομικά αποδίδουν οι σπουδαστές με τη μικρότερη διασπορά, δηλαδή με μεγαλύτερη συνέπεια; 35

36 Παράδειγμα 3 (2/3) Απάντηση: Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές μεταβλητότητας για τα δύο μαθήματα αντίστοιχα: o CV Oικ = s x o CV Στατ = s x 100 % = 1,4 8,2 100 % = 1,0 5,7 100 % =17,07%. 100 % =17,54%. Στα Οικονομικά υπάρχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση. Ωστόσο, προσέξτε ότι ο μέσος όρος στα Οικονομικά είναι μεγαλύτερος από το μέσο όρο στη Στατιστική. 36

37 Παράδειγμα 3 (3/3) Ο συντελεστής μεταβλητότητας στα Οικονομικά είναι μικρότερος από ότι στην Στατιστική: Γεγονός που σημαίνει ότι οι φοιτητές είναι περισσότερο συνεπείς στην απόδοσή τους στα Οικονομικά σε σχέση με τη Στατιστική. Η σχετική διασπορά στη Στατιστική είναι μεγαλύτερη. CV Oικ = s x CV Στατ = s x 100 % = 1,4 8,2 100 % = 1,0 5,7 100 % =17,07%. 100 % =17,54%. 37

38 ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Για να περιγραφεί ικανοποιητικά μια κατανομή συχνοτήτων απαιτείται ο προσδιορισμός τεσσάρων βασικών στατιστικών παραμέτρων: Κεντρική Τάση. Διασπορά. Ασυμμετρία. Κύρτωση. Η ασυμμετρία (skewness) δείχνει πόσο συμμετρικά γύρω από το μέσο κατανέμονται οι παρατηρήσεις, τα δεδομένα μας. 38

39 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ (1/2) Απλά δεδομένα - Ασυμμετρία πληθυσμού: G = μ 3 σ 3. μ 2 = (x i x) 2 Ν μ 3 = (x i μ) 3. Ν = σ 2. Απλά δεδομένα - Ασυμμετρία δείγματος: G = 1 n 1 k i=1 x i x s 3. 39

40 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ (2/2) Στη διεθνή βιβλιογραφία χρησιμοποιούνται διάφορες παραλλαγές του προηγούμενου τύπου με σκοπό την κατά το δυνατό καλύτερη προσέγγιση της πραγματικής ασυμμετρίας του πληθυσμού. G = n k n 1 n 2 i=1 f i x i x s 3. Πρώτος συντελεστής λοξότητας Pearson = x i M o. s Δεύτερος συντελεστής λοξότητας Pearson = 3(x i M d ). s Μο είναι η επικρατούσα τιμή και Μd είναι η διάμεσος. 40

41 Συμμετρική G = 0 ή μ3 = 0 (1/2) Διάγραμμα 6. Συμμετρική Καμπύλη (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 41

42 Συμμετρική G = 0 ή μ3 = 0 (2/2) Σχήμα 1(προηγούμενη διαφάνεια). Συμμετρική καμπύλη. 42

43 Θετική ΑσυμμετρίαG > 0 ή μ3 > 0 (1/2) Διάγραμμα 7. Θετική Ασυμμετρία (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 43

44 Θετική ΑσυμμετρίαG > 0 ή μ3 > 0 (2/2) Σχήμα 2 (προηγούμενη διαφάνεια). Καμπύλη με θετική ασυμμετρία. 44

45 Αρνητική ΑσυμμετρίαG < 0 ή μ3<0 (1/2) Διάγραμμα 8. Αρνητική Ασυμμετρία (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 45

46 Αρνητική ΑσυμμετρίαG < 0 ή μ3<0 (2/2) Σχήμα 3 (προηγούμενη διαφάνεια). Καμπύλη με αρνητική ασυμμετρία. 46

48 Παράδειγμα 4 (2/3) Πίνακας 7 (Προηγούμενη διαφάνεια). Δεδομένα x i και τιμές f i, f i x i, x i -μ, (x i μ) 2, f i (x i μ) 2 και f i (x i μ) 3. Να βρεθεί ο συντελεστής Pearson: μ = f ix i f i = = 6. μ 3 = f i x i μ 3 f i = 0 33 = 0, G = μ 3 σ 3. 48

49 Παράδειγμα 4 (3/3) Πίνακας 7 (Προηγούμενη διαφάνεια. Παράδειγμα 4 (1/3)). Δεδομένα x i και τιμές f i, f i x i, x i -μ, (x i μ) 2, f i (x i μ) 2 και f i (x i μ) 3. μ 3 = 0. G = μ 3 σ 3 = 0 13,997 f i x i μ 2 = 0. Συμμετρική. f i = σ 2 = = 5,81. σ=2,41, σ 3 =2,41 3 =13,

50 ΚΥΡΤΩΣΗ Δύο ή περισσότερες κατανομές συχνοτήτων να έχουν: Τον ίδιο μέσο αριθμητικό. Την ίδια τυπική απόκλιση. Να είναι συμμετρικές. Αλλά να διαφέρουν ως προς την κύρτωση, δηλαδή ως προς την συγκέντρωση των παρατηρήσεων γύρω από το μέσο αιχμηρότητα της κορυφής. Η κύρτωση (kurtosis) δείχνει κατά πόσο τα δεδομένα της κατανομής σχηματίζουν έντονη κορυφή στο μέσο τους. 50

51 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(1/10) Απλά δεδομένα - Κύρτωση πληθυσμού: Κ = μ 4 σ 4. μ 2 = x i x 2 Ν = σ 2, μ 4 = x i x 4. Απλά δεδομένα - Κύρτωση δείγματος: K = 1 n (n 1)s 4 i=1 x i x 4. Ν 51

52 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(2/10) Ομαδοποιημένα - Κύρτωση πληθυσμού: Κ = μ 4 σ 4. μ 2 = f i x i x 2 f i = σ 2, μ 4 = f i x i μ 4 f i. Ομαδοποιημένα Κύρτωση δείγματος: K = 1 (n 1) i=1 n x f i x i s 4. 52

53 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(3/10) Διάγραμμα 9. Συντελεστής Κύρτωσης (3/10) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 53

54 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(4/10) Σχήμα 4. (Προηγούμενη Διαφάνεια. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(3/10) ). Πλατύκυρτη καμπύλη. Κατανομές συχνοτήτων που οι τιμές τους διασπείρονται πάρα πολύ αριστερά και δεξιά του μέσου αριθμητικού χαρακτηρίζονται ως πλατύκυρτες και έχουν συντελεστή K<3 (Excel K<0). 54

56 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(6/10) Σχήμα 5. Μεσόκυρτη καμπύλη (Προηγούμενη Διαφάνεια. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(5/10 ) ). Οι Κανονικές Κατανομές που οι τιμές μιας μεταβλητής ισοκατανέμονται αριστερά και δεξιά του μέσου αριθμητικού χαρακτηρίζονται ως Μεσόκυρτες K=3 (Excel K=0). 56

58 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(8/10) Σχήμα 6. (Προηγούμενη Διαφάνεια. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(7/10 ) ). Λεπτόκυρτη καμπύλη. Τέλος, κατανομές συχνοτήτων που παρουσιάζουν μεγάλη συγκέντρωση τιμών στην περιοχή του μέσου αριθμητικού χαρακτηρίζονται ως Λεπτόκυρτες και έχουν K>3 (Excel K>0). 58

60 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(10/10) Σχήμα 7. (Προηγούμενη Διαφάνεια. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΥΡΤΩΣΗΣ(9/10 ) ): Πλατύκυρτη. Μεσόκυρτη. Λεπτόκυρτη καμπύλη. 60

61 Παράδειγμα 5 (1/4) Διάγραμμα 13. Παράδειγμα 5 (1/) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 61

62 Παράδειγμα 5 (2/4) Πίνακας 8. Δεδομένα x i και τιμές f i, f i x i, x i -μ, (x i μ) 2, f i (x i μ) 2, f i (x i μ) 3 και f i (x i μ) 4. Nα βρεθεί η κύρτωση: Κ = μ 4 σ 4, μ = f ix i f i = = 6. μ 4 = f i x i μ 4 f i = = 69,82. 62

63 Παράδειγμα 5 (3/4) Διάγραμμα 14. Παράδειγμα 5 (3/) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 63

64 Παράδειγμα 5 (4/4) Πίνακας 8. Δεδομένα x i και τιμές f i, f i x i, x i -μ, (x i μ) 2, f i (x i μ) 2, f i (x i μ) 3 και f i (x i μ) 4. μ 4 = 69,82, β 2 = μ 4 μ 2 4 = μ 4 σ 4 = 69,82 33,87 f i x i x 2 f i = σ 2 = = 5,82, σ4 = 33,87. Πλατύκυρτη. = 2,06 < 3. 64

65 Τέλος Ενότητας