Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητές με παραδείγματα οι Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων 5

6 Αναφορές Βιβλιογραφία Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Μ. Zeleny, Linear MultiObjective Programming, Springer Verlag,

7 Ασκήσεις Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, και και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4 έως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 7

8 Μοντελοποίηση ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x 1 70x 2 160x 3 ) Min(15000x x x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 90x 2 150x

9 Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (ελ. Κόστους) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Min(15000x x x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 90x 2 150x

10 ΒΗΜΑ 2 ελαχ. κόστους ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x170x2160x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,= <=

11 Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (Μεγιστ. Φοιτητών) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Max(40x 1 70x 2 160x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 90x 2 150x

12 ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x170x2160x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ3 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 6 >= 4 χ3<=5 6 <= 8 Επιφάνεια,= <=

13 Πίνακας Πληρωμών Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ

14 ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ 40*x170x2160 x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ ΜΙΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 6 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,= <= 1950 Επιπρόσθετη Συνθ 1530 >=

15 ΒΗΜΑ 3 Ανάδραση 1 ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x170x2160x ΜΑΧ Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,= <= 1950 Επιπρ. Συνθ <=

16 Πολυστοχικός Προγραμματισμός Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων

17 Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων Να Βελτιστοποιηθούν (max, min) οι αντικειμενικές συναρτήσεις: g1 ( x ) = c11x1 c12x2 c1lxl g2 ( x ) = c21x1 c22x2 c2lxl.. gn ( x ) = cn1x1 cn2x2 cnlxl υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Βασική Ιδέα: Μετατροπή του Πολυκριτήριου Προβλήματος σε Μονοκριτήριο Τεχνική που εξασφαλίζει αποτελεσματικά την λύση του προβλήματος 17

18 Βήματα Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Εστω Κ 1, Κ 2, Κ n τα όρια των επιθυμητών τιμών (Αυτό μπορεί να γίνει και μετά την εκτίμηση του Πίνακα Πληρωμών) B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1, d 1, d 2, d 2, d n, d n ώστε c11x1 c12x2 c1lxl d 1 d 1 = Κ1 c21x1 c22x2 c2lxl d 2 d 2 = Κ2... cn1x1 cn2x2 cnlxl d n d n = Κ1 Κανονικοποιούμε στο διάστημα [0,1] Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d 1 d 1 d 2 d 2. d n d n 18

19 Μοντελοποίηση Προβλήματος Το Γραμμικό Πρόβλημα γίνεται: n Min (Σ( d i d i ) ι=1 Υπό περιορισμούς n Σc ij x j d i d i = K i, j=1 l i=1 x A = {x Rl / Ax b, x 0} 19

20 Παράδειγμα (Προηγούμενη Άσκηση) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x1 70x2 160x3) Min(15000x123000x235000x3) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ1 5 Χ2 7 Χ3 4 Χ3 8 60*x190x2150x Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, και και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4έ ως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 20

21 Βήμα 1 Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Ο Αποφασίζων εκφράζει τα επιθυμητά επίπεδα στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων (κριτήρια). Ό Πίνακας Πληρωμών δίνει ένδειξη των τιμών (ρεαλιστικών) στις αντικειμενικές συναρτήσεις. Στη περίπτωση ο Αποφασίζων δίνει τις επιθυμητές τιμές 1500 και για τα κριτήρια επιφάνεια και κόστος. 21

22 Βήματα 1 & 2 Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Ο Αποφασίζων δίνει 1500 τ.μ.για την επιφάνεια και για το κόστος B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1, d 1, d 2, d 2 ώστε οι αντικειμενικές συναρτήσεις να μορφοποιηθούν σε : 40x 1 70x 2 160x 3 d 1 d 1 = x x x 3 d 2 d 2 = Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d 1 d 1 d 2 d 2. d n d n 22

23 Κατασκευάζουμε το Γραμμικό Πρόβλημα ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 Τεχνητές Μεταβήτές: d1, d1, d2, d2 (ένα ζεύγος για κάθε αντικειμενική) Αντικειμενική Συνάρτηση 2 Min (Σ( d i d i ) ι=1 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ 40x 1 70x2 160x 3 d 1 d 1 = x x x 3 d 2 d 2 = Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 90x 2 150x

24 ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΝΕΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Αγνωστοι D Αγνωστοι D Επίλυση Νέα Συνθήκης Τιμές Στόχου 40*x170x2 160x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ Αθροισμα D, D 1050 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 8 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,= <=

25 Τέλος Ενότητας