Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή"

Transcript

1 Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 1) Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα τεσσάρων μεταχειρισμένων ραδιοφώνων. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μην υπάρχει ελαττωματικό ραδιόφωνο στο δείγμα είναι ίση με την πιθανότητα να είναι όλα ελαττωματικά, να βρεθεί η κατανομή πιθανότητας της τ.μ. που δηλώνει τον αριθμό των ελαττωματικών ραδιοφώνων. Να υπολογισθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της κατανομής. Λύση: Έστω Χ η τ.μ που παριστάνει τον αριθμό των ελαττωματικών ραδιοφώνων στο δείγμα των τεσσάρων. Τότε η Χ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με n=4 και πιθανότητα επιτυχίας δηλαδή να είναι ελαττωματικό p. Τότε η συνάρτηση πιθανότητας είναι: 4 p 1-p x x Ρ(Χ=x)= n-x Πρέπει να βρεθεί το p. Από την υπόθεση του προβλήματος ισχύει: 4 p 1-p 0 4 p 1-p 4 0 Ρ(Χ=0)=Ρ(Χ=4) 4 4 = 0 p=0.5. (1-p) 4 =p 4 1-p=p ή 1-p=-p Επομένως η συνάρτηση πιθανότητας είναι η Ρ(Χ=x)= x 2 2 Ισχύει επομένως ο παρακάτω πίνακας: x 4-x = x. 2 Για τη μέση τιμή έχουμε Ε(Χ)=np=4 0.5=2 και την τυπική απόκλιση σ = Var(X) = 2 np(1-p) = = 1. 2) Ίδια άσκηση όπως η προηγούμενη όπου: α) Η πιθανότητα να υπάρχει ένα ελαττωματικό στο δείγμα είναι ίση με την πιθανότητα να υπάρχουν τρία ελαττωματικά. (p=0.5) 1

2 β) Η πιθανότητα να υπάρχει ένα ελαττωματικό στο δείγμα είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να μην υπάρχει κανένα. (p=0.5) γ) Η πιθανότητα να υπάρχουν δύο ελαττωματικά στο δείγμα είναι ίση με τα 3/2 της πιθανότητας να υπάρχει ένα ελαττωματικό. (p=0.5) 3) Ποια είναι η πιθανότητα σε μια παρέα 3 ατόμων οι δύο να έχουν κινητό τηλέφωνο όταν είναι γνωστό ότι το 40% των ατόμων έχουν κινητό τηλέφωνο; (0.288) 4) Η πιθανότητα ελαττωματικού εξαρτήματος σε μία παρατήρηση είναι 0.1. α) Ποια η πιθανότητα να μη βρεθεί κανένα ελαττωματικό σε δείγμα τεσσάρων; (0.656) β) Ποια η πιθανότητα να βρεθεί ένα ελαττωματικό σε δείγμα τεσσάρων; (0,292) γ) Ποια η πιθανότητα να βρεθεί το πολύ ένα σε δείγμα τεσσάρων; (94,7%) 5) Αν Χ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με n=3 και p=0.5 τότε να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(X=x) για x=0, 1, 2, 3. (1/8, 3/8, 3/8, 1/8) 6) Ένας παίκτης που παίζει ρουλέτα ποντάρει συνέχεια στο μαύρο. Η πιθανότητα να έρθει μαύρο σε ένα οποιοδήποτε γύρισμα της ρουλέτας είναι ίση με 18/37. Ποιά η πιθανότητα να κερδίσει 4 φορές σε 10 γυρίσματα της ρουλέτας; ( ) 7) Ο γεωπόνος ισχυρίζεται ότι ποσοστό 90% ενός συγκεκριμένου είδους φυτών δίνει περισσότερους από 5 καρπούς ανά φυτό. Ένας γεωργός επέλεξε τυχαία 52 φυτά και μέτρησε τους καρπούς. Βρήκε 38 να έχουν περισσότερους από 5 καρπούς. Με δεδομένο ότι αληθεύει ο ισχυρισμός του γεωπόνου πόσο πιθανό ήταν αυτό που συνέβη στον αγρότη; (0.0003) 8) Μια βιομηχανία κατασκευάζει μεταλλικά ελάσματα για να αντέχουν σε συγκεκριμένη καταπόνηση. Κάθε τέτοιο έλασμα αντέχει στη συγκεκριμένη καταπόνηση με πιθανότητα 0.8. Επιλέγουμε τυχαία 9 τέτοια ελάσματα και τα υποβάλλουμε στη συγκεκριμένη καταπόνηση. Ποιά είναι η πιθανότητα να αντέξουν α) το πολύ 2 ελάσματα, β) περισσότερα από 7 ελάσματα, γ) τουλάχιστον 2 ελάσματα και δ) λιγότερο από 6 και τουλάχιστον 4 ελάσματα. (Ρ(Χ2) = Ρ(Χ=0) + Ρ(Χ=1) + Ρ(Χ=2) = , , , ) 2

3 9) Ρίχνουμε ένα ζάρι 4 φορές. Ποιά είναι η πιθανότητα α) να μην έρθει καμιά φορά άσσος, β) να έρθει μια φορά άσσος, γ) να έρθει 2 φορές άσσος, δ) να έρθει 3 φορές άσσος και ε) να έρθει 4 φορές άσσος. ( ) 10) Μια αεροπορική εταιρεία γνωρίζει ότι το 5% των ατόμων που κάνουν κράτηση για να ταξιδέψουν δεν εμφανίζονται. Αν η εταιρεία κάνει κράτηση για 52 άτομα σε μια πτήση που γίνεται με ένα μικρό αεροσκάφος χωρητικότητας 50 ατόμων, ποιά είναι η πιθανότητα να υπάρχει διαθέσιμο κάθισμα για καθένα επιβάτη που εμφανίζεται για να ταξιδέψει; (ΧΒ(50,0.5), Ρ(Χ2)) 11) Πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει μια οικογένεια ώστε να έχει ένα τουλάχιστον αγόρι και ένα τουλάχιστον κορίτσι με πιθανότητα μεγαλύτερη από α) 90%, β) 99% (5-8) 12) Μία κάλπη περιέχει 7 άσπρα και 4 μαύρα σφαιρίδια. Εξάγουμε 6 σφαιρίδια με επανατοποθέτηση. Ποιά η πιθανότητα να μην βρεθεί άσπρο σφαιρίδιο; ( ) 13) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα 10 φορές. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να εμφανιστεί η ένδειξη κορόνα 3 φορές. Στη συνέχεια να υπολογιστεί η πιθανότητα να εμφανιστεί η ένδειξη κορόνα από 3 έως και 7 φορές. (15/128-57/64 ή ) 14) Μια κάλπη περιέχει 10 σφαιρίδια, 6 άσπρα και 4 μαύρα. Εξάγουμε πέντε σφαιρίδια με επανατοποθέτηση. Ποιά η πιθανότητα: 1) Να μην εμφανισθεί άσπρο σφαιρίδιο. (256/25000) 2) Να εμφανισθεί ένα άσπρο σφαιρίδιο. (48/625) 3) Να εμφανισθούν δύο άσπρα σφαιρίδια. (36/25000) 4) Να εμφανισθούν τρία άσπρα σφαιρίδια (216/625) 5) Να εμφανισθούν τέσσερα άσπρα σφαιρίδια (162/625) 6) Να εμφανισθούν πέντε άσπρα σφαιρίδια (243/6250) 15) Ένα διαγώνισμα πολλαπλής επιλογής αποτελείται από 15 ερωτήσεις. Για κάθε ερώτηση, υπάρχουν 5 πιθανές απαντήσεις μια μόνο από τις οποίες είναι σωστή. Η 3

4 βαθμολογία είναι 1 για κάθε σωστή απάντηση και 0 για κάθε λάθος απάντηση. Ένας φοιτητής διαλέγει την απάντηση σε κάθε ερώτηση στην τύχη. Να υπολογισθεί η πιθανότητα: α) Ο παραπάνω φοιτητής να πάρει το πολύ οκτώ. (0.9992) β) Ο φοιτητής αυτός να βαθμολογηθεί με οκτώ. (0.0035) γ) Να πάρει βαθμό μεγαλύτερο από 3 και μικρότερο από οκτώ. (0.3476) δ) Να βρεθεί ο μέσος αναμενόμενος βαθμός των φοιτητών που απαντούν στην τύχη. (3) 16) Αυτοκίνητα φθάνουν σε μια διασταύρωση όπου θα πρέπει υποχρεωτικά να στρίψουν δεξιά ή αριστερά. Έστω ότι τα αυτοκίνητα που φθάνουν στην διασταύρωση διαλέγουν την κατεύθυνση που θα στρίψουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Έστω ότι η πιθανότητα p να στρίψει ένα αυτοκίνητο αριστερά είναι 0.7. Να υπολογισθεί η πιθανότητα: α) Τουλάχιστον 10 από τα επόμενα 15 αυτοκίνητα να στρίψουν αριστερά. (0.7216) β) Μέσα στα επόμενα 15 αυτοκίνητα τουλάχιστον 10 να στρίψουν στην ίδια κατεύθυνση. (0.7253) 17) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι 300 φορές. Να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου να εμφανισθεί 1 ή 2 λιγότερες από 70 φορές. ( ) 18) Σε ένα διαγώνισμα πολλαπλών επιλογών οι πιθανές απαντήσεις σε κάθε ερώτημα είναι 4 εκ των οποίων η μία μόνο είναι σωστή. Η πιθανότητα ο μαθητής να βρει τη σωστή απάντηση είναι p=0.25. Αν οι ερωτήσεις είναι 20 να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας, όπου η δεύτερη γραμμή είναι η πιθανότητα να απαντηθούν σωστά, αλλά τυχαία πλήθος ερωτήσεων που δηλώνει η πρώτη γραμμή. Αριθμός Ορθών απαντήσεων < >7 Πιθανότητα 19) Ένας πωλητής διενεργεί τηλεφωνικές πωλήσεις για το προϊόν της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Από ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο τμήμα πωλήσεων της εταιρείας προκύπτει ότι η πιθανότητα επίτευξης πώλησης για το συγκεκριμένο 4

5 πωλητή είναι 28%. Έστω ότι ο πωλητής σε μια τυχαία επιλεγμένη ημέρα τηλεφωνεί σε 12 άτομα. Να υπολογισθούν: i) Η πιθανότητα να επιτύχει 4 πωλήσεις. (0.2197) ii) Η πιθανότητα να μην επιτύχει καμία πώληση. (0.0194) iii) Η πιθανότητα να επιτύχει το πολύ 2 πωλήσεις. (0.3037) iv) Η πιθανότητα να επιτύχει τουλάχιστον 3 πωλήσεις. (0.6963) v) Ο αναμενόμενος αριθμός και η τυπική απόκλιση των πωλήσεων. ( ) 20) Η πιθανότητα η διάρκεια ζωής (σε μέρες) ενός εξαρτήματος μιας μηχανής να είναι μεγαλύτερη του 12 είναι 36%. Σε ένα τυχαίο δείγμα 5 εξαρτημάτων να βρεθεί η πιθανότητα 3 ακριβώς να διαρκέσουν πάνω από 12 μέρες. Να βρεθεί ο μέσος αριθμός και η τυπική απόκλιση των εξαρτημάτων στο δείγμα που θα επιζήσουν πάνω από 12 μέρες. ( ) 21) Η πιθανότητα ένα bit το οποίο στέλνεται από ένα κανάλι, να λαμβάνεται λανθασμένα είναι Επίσης είναι γνωστό ότι οι αποστολές των bit είναι ανεξάρτητες. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός των λανθασμένων bit που λαμβάνονται σε μια μετάδοση ενός κειμένου 3000 bit από το παραπάνω κανάλι. Ακόμη να βρεθεί η τυπική απόκλιση του αριθμού των λανθασμένων bit από κείμενο σε κείμενο όταν όλα τα κείμενα που μεταδίδονται είναι τα ίδια. ( ) 22) Ένας ασφαλιστής ασφαλίζει 10 άτομα με την ίδια ηλικία και κατάσταση υγείας. Αν κάθε άτομο αυτής της κατηγορίας έχει πιθανότητα 60% να ζει μετά από 30 χρόνια τότε να υπολογιστεί η πιθανότητα να ζουν μετά από 30 χρόνια: 1) Κανένας. ( ) 2) Το πολύ 3 άτομα. (0.0548) 3) Τουλάχιστον 7 άτομα. (0.3823) Ποιός είναι ο μέσος αριθμός ατόμων που θα ζουν μετά από 30 χρόνια; (6) 23) Η πιθανότητα να έχει κάποιος ατύχημα σε ένα επικίνδυνο σημείο της εθνικής οδού είναι Αν κατά τη διάρκεια του Σαββατοκύριακου διέρχονται από το 5

6 σημείο αυτό 1000 αυτοκίνητα ποιά είναι η πιθανότητα να γίνουν δύο ή περισσότερα ατυχήματα; ( ) 6

Διωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p).

Διωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p). Διωνυμική Κατανομή Ορισμός: Μια τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται ότι ακολουθεί την διωνυμική κατανομή αν πληρούνται οι ακόλουθες τρεις συνθήκες: α) Υπάρχουν n επαναλαμβανόμενες δοκιμές οι οποίες είναι στατιστικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3xi -2 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i )= 5, x

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=

Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή: Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire) Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις. Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Στατιστικής. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Στατιστική. Δημόσια Διοίκηση Πάντειο. 24 θέματα σε 5 σελίδες

Θέματα Στατιστικής. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Στατιστική. Δημόσια Διοίκηση Πάντειο. 24 θέματα σε 5 σελίδες Θέματα Στατιστικής Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Στατιστική Δημόσια Διοίκηση Πάντειο 24 θέματα σε 5 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 2 9 / 3 / 2 0

Διαβάστε περισσότερα

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207- Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων Αν η συνεχής τμ X έχει συνάρτηση κατανομής F X και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X, να βρείτε τις αντίστοιχες συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις.

Διακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις. Διακριτές Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διακριτές Κατανομές τεχνικές 4 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 2 Νοεµβρίου 2009 1.3. Ας ϑεωρήσουµε ένα σύνολο 11 ατόµων {α 0, α 1,..., α 10 } των οποίων καταγράφουµε τα γενέθλια. Να υπολογισθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

6. Βασικές Διακριτές Κατανομές

6. Βασικές Διακριτές Κατανομές 6. Η Διωνυμική Κατανομή 6. Βασικές Διακριτές Κατανομές Βασικές Διακριτές Κατανομές Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης, ίσως το απλούστερο, τη δοκιμή Bernoull. Όπως ήδη έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Θεωρία Πιθανοτήτων Ασκήσεις 4

Διάλεξη 4: Θεωρία Πιθανοτήτων Ασκήσεις 4 Διάλεξη 4: ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημα εργοστασίου ισούται με 0.03, η πιθανότητα εμφάνισης σε ένα δεύτερο ισούται με 0.0 και η πιθανότητα βλάβης και στα δυο ισούται με 0.05.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση

= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση 1. Συνδυαστική Ανάλυση 1.1 Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε σφαίρες. Εάν βγάλουμε 3 σφαίρες στην τύχη χωρίς επανατοποθέτηση, ποια είναι η πιθανότητα (α) να είναι και οι 3 κόκκινες, (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ασκησεισ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ασκησεισ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ασκησεισ ΟΜΑΔΑ Α 1. Ο πίνακας συμπληρώνεται με τη βοήθεια του ορισμού της συνάρτησης κατανομής Ρ [Χ < χ]. Ρ[Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014 Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε μερικές ειδικές διακριτές κατανομές που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω, κυρίως των πολλών εφαρμογών τους. Πριν όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-16 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Να γεννηθούν δύο κορίτσια και ένα αγόρι σε τρεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 2. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα των. x i. ν i Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η.

Στατιστική. 2. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα των. x i. ν i Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η. Στατιστική 1. Σε µια εταιρεία εργάζονται 10 εργάτες, 30 διοικητικοί υπάλληλοι και 60 επιστήµονες. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, επί % πίνακα σχετικών συχνοτήτων, ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαμε 20 φορές. 5 5 5 1 2 5 4 3 2 3 1 3 6 4 1 4 6 6 5 4 i) Να κατασκευάσετε πίνακα α)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

B A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1

B A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1 Κεφάλαιο 2 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα 2.1 Προκαταρκτικά Εστω ότι κάποιος μας προτείνει να του δώσουμε δυόμισι ευρώ για να παίξουμε το εξής παιχνίδι: Θα στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.

Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές. Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ι. Ενότητα: Πιθανότητες. Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Αθανάσιος Λαπατίνας. Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ι. Ενότητα: Πιθανότητες. Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Αθανάσιος Λαπατίνας. Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ι Ενότητα: Πιθανότητες Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Αθανάσιος Λαπατίνας Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Διάλεξη 4: ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημα εργοστασίου

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Bac (μαθηματικά 3 περιόδων) 1) Να λυθούν χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή οι εξισώσεις:

Επαναληπτικές Ασκήσεις Bac (μαθηματικά 3 περιόδων) 1) Να λυθούν χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή οι εξισώσεις: Επαναληπτικές Ασκήσεις Bac (μαθηματικά περιόδων) Χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή Εκθετικές λογαριθμικές εξισώσεις ) Να λυθούν χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή οι εξισώσεις: α) ln(-x+)=0 β) ln(x-e)= γ) ln(x)-7=-

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α A1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f (x)) = c f (x), για κάθε x R Μονάδες 7 A2. Πότε μια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην 2 η Ενότητα:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην 2 η Ενότητα: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Πληροφορικής Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην 2 η Ενότητα: (Τυχαίες μεταβλητές, Συναρτήσεις πυκνότητας και κατανομής

Διαβάστε περισσότερα