ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014 Ημερομηνία τελικής υποβολής της εργασίας από τον Φοιτητή (με παράταση!) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 23 Μαΐου 2014 Οι ασκήσεις της έκτης εργασίας αναφέρονται στις Ενότητα 2 ( ) (Βασική Πιθανοθεωρία) Ενότητα 3 (3.1, 3.3.1, 4.1, ) (Τυχαίες μεταβλητές και χαρακτηριστικά των κατανομών τους Χρήσιμα πρότυπα κατανομών) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Πιθανότητες και Στατιστική Ι» του κ. Ι. Κουτρουβέλη Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στην ιστοσελίδα ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Πιθανότητες Πιθανότητες Ι και Πιθανότητες ΙΙ Στόχοι: α) η κατανόηση της έννοιας του δειγματοχώρου και της πιθανότητας καθώς και ο υπολογισμός της πιθανότητας ενδεχομένων βάσει προτάσεων από την αξιωματική θεωρία των πιθανοτήτων, β) η κατανόηση της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής και ο υπολογισμός βάσει κατάλληλων συναρτήσεων της πιθανοτικής συμπεριφοράς τυχαίων μεταβλητών που περιγράφουν τα αποτελέσματα ενός πειράματος. Ειδικότερα για την Ασκηση 1: Α) εμπέδωση των κανόνων του λογισμού των πιθανοτήτων, Β) εύρεση πιθανότητας που παριστάνεται από εμβαδό. Ασκηση 2: Α), B) εμπέδωση του θεωρήματος της ολικής πιθανότητας και του θεωρήματος Bayes, Γ) εμπέδωση της διωνυμικής κατανομής. Ασκηση 3: Α) εμπέδωση της κατανομής Bernoulli και εύρεση τη συνάρτησης πιθανοτητας. και της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, Β) εύρεση της μέσης τιμής και της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής που είναι άθροισμα άλλων μεταβλητών με γνωστή κατανομή, Γ) εμπέδωση της ομοιόμορφης (συνεχούς) κατανομής. Ασκηση 4: Α) ενασχόληση με την εκθετική κατανομή, μια κατανομή που κυρίως περιγράφει το χρόνο ζωής μιας διάταξης ή το χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ της εμφάνισης δύο γεγονότων, όταν ο ρυθμός αφίξεων ακολουθεί την κατανομή Poisson, Β) εύρεση παραμέτρων συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας συνεχούς τ.μ. και διαστήματος ορισμένου εύρους με μέγιστη πιθανότητα. Ασκηση 5: εύρεση των παραμέτρων της κανονικής κατανομής (μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης) μέσω ποσοστιαίων σημείων και συνδυασμός της με την διωνυμική κατανομή. Αιτιολογήστε προσεκτικά τις απαντήσεις σας! 1

2 Άσκηση 1 (20 μον.) A) (12 μον.) Από έλεγχο που έγινε σε ένα μεγάλο πλήθος πρωτοετών φοιτητών (δείγμα) του ΕΑΠ, βρέθηκε ότι το 35% των φοιτητών προβιβάστηκε στο μάθημα της ΠΛΗ10, το 25% των φοιτητών προβιβάστηκε στο μάθημα της ΠΛΗ12, ενώ το 5% των φοιτητών προβιβάστηκε και στα δύο μαθήματα. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: ο φοιτητής προβιβάστηκε στο μάθημα της ΠΛΗ10. Β: ο φοιτητής προβιβάστηκε στο μάθημα της ΠΛΗ12. Να υπολογιστεί η πιθανότητα των ενδεχομένων: i) Ο φοιτητής να προβιβάστηκε σε κάποιο μάθημα. ii) Ο φοιτητής να απορρίφθηκε σε κάποιο μάθημα. iii) Ο φοιτητής να έχει προβιβαστεί στο μάθημα της ΠΛΗ12, αλλά να έχει απορριφθεί στο μάθημα της ΠΛΗ10. iv) Ο φοιτητής να απορρίφθηκε και στα δύο μαθήματα. Β) (8 μον.) Από τα σημεία του εσωτερικού του τραπεζίου με κορυφές Ο(0,0), Α(1,0), Β(1,e), Γ(0,1) επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο x, y. Να υπολογίσετε την πιθανότητα στο τυχαίο σημείο x, y η δεύτερη συντεταγμένη y να είναι μικρότερη από x e. 2

3 Άσκηση 2 (20 μον.) Α) (9 μον.) Τρία εργοστάσια (Α, Β, Γ) παρασκευάζουν ένα συγκεκριμένο προϊόν. Το εργοστάσιο Α, παράγει το 25% των προϊόντων, ενώ τα εργοστάσια Β και Γ το 35% και 40% αντίστοιχα. Είναι γνωστό από παρατηρήσεις ότι τα προϊόντα που κατασκευάζονται στα εργοστάσια Α, Β, Γ είναι κατά 2%, 3% και 1% αντίστοιχα ελαττωματικά. i) Αν επιλέξουμε ένα τυχαίο προϊόν, ποια η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό; ii) Αν σε μια τυχαία επιλογή ενός προϊόντος, αυτό βγει ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα να κατασκευάστηκε στο εργοστάσιο Β; iii) Αν επιλέξουμε ένα κανονικό (μη ελαττωματικό) προϊόν, ποια η πιθανότητα να κατασκευάστηκε στο εργοστάσιο Α. B) (5 μον.) Ένα κιβώτιο Α περιέχει 6 κόκκινες μπάλες και 4 πράσινες μπάλες, ενώ ένα δεύτερο κιβώτιο Β περιέχει 7 κόκκινες μπάλες και 3 πράσινες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το κιβώτιο Α και την τοποθετούμε στο κιβώτιο Β. Στην συνέχεια επιλέγουμε τυχαία μια μπάλα από το κιβώτιο Β. Ποια η πιθανότητα να είναι κόκκινη ; Γ) (6 μον.) (διωνυμική κατανομή) Ένα modem στέλνει μέσω ενός καναλιού (channel) ένα πακέτο από 100bits. Δεδομένου ότι κατά την μεταγωγή ενός bit υπάρχει πιθανότητα 1% να μην μεταβιβαστεί σωστά (bit error rate), να υπολογίσετε την πιθανότητα στο πακέτο των 100 bit που θα σταλούν : i) 1 μόνο bit να σταλεί λάθος, ii) το πολύ 3 bit να σταλούν λάθος. 3

4 Άσκηση 3 (20 μον.) Α) (8 μον.) Ρίχνουμε 3 (αμερόληπτα) νομίσματα και συμβολίζουμε με X την τ.μ. που παριστάνει το πλήθος των φορών που εμφανίστηκε κεφαλή. Να δοθούν για τη τ.μ. τα παρακάτω: i) η συνάρτηση πιθανότητας ii) η συνάρτηση κατανομής iii) η μέση τιμή και iv) η διακύμανση. Β) (8 μον.) Οι φοιτητές μιας ΘΕ εξετάσθηκαν στα 3 γνωστικά αντικείμενα ΓΑ1, ΓΑ2 και ΓΑ3. Παρατηρήθηκε ότι η βαθμολογία και στα 3 γνωστικά αντικείμενα (που είναι ανεξάρτητη μεταξύ των τριών αντικειμένων) ακολουθούσε την κανονική κατανομή. Πιο συγκεκριμένα στο ΓΑ1 η βαθμολογία είχε μέση τιμή 2.1 με τυπική απόκλιση 0.25, στο ΓΑ2 η βαθμολογία είχε μέση τιμή 1.5 με τυπική απόκλιση 0.3 ενώ στο ΓΑ3 η μέση βαθμολογία ήταν 0.9 με τυπική απόκλιση 0.5. Αν ονομάσουμε X1, X 2, X 3 τις τυχαίες μεταβλητές που αντιστοιχούν στην βαθμολογία των 3 γνωστικών αντικειμένων που εξετάσθηκαν με την σειρά που δόθηκαν παραπάνω, να υπολογίσετε : i) τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση της συνολικής βαθμολογίας X X1 X 2 X 3, ii) την πιθανότητα ένας τυχαίος φοιτητής να έχει προβιβαστεί (δηλαδή να έχει συγκεντρώσει τουλάχιστον 5 μονάδες από το άθροισμα της βαθμολογίας του και στα 3 παραπάνω γνωστικά αντικείμενα) δηλαδἠ P X 5. Σχόλιο: Στο τέλος του φυλλαδίου των εκφωνήσεων θα βρείτε πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Γ) (4 μον.) Έστω Χ η μεταβλητή που αναπαριστά τον χρόνο που κάνει η κεφαλή (head) του σκληρού δίσκου για να ανιχνεύσει την θέση ενός τομέα (sector) από το οποίο θα διαβάσει ή θα γράψει κάποια πληροφορία, δεδομένου ότι έχει ήδη εντοπίσει τον δακτύλιο (track) στον οποίο βρίσκεται η πληροφορία αυτή. Αν ο δίσκος περιστρέφεται 1 φορά στα 25 milliseconds, μια λογική υπόθεση είναι η μεταβλητή Χ να ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0,25]. Να υπολογίσετε την πιθανότητα : P 15 X 20, i) ii) P X 10 F x, iii) Να βρεθεί η (αθροιστική) συνάρτηση κατανομής iv) Να υπολογισθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της X. 4

5 Άσκηση 4 (20 μον.) Α) (8 μον.) Ο χρόνος αναμονής εκτύπωσης σε έναν εκτυπωτή, συμβολίζεται με την τυχαία μεταβλητή X. Γνωρίζουμε ότι η τ.μ. Χ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο ( > 0) της οποίας η σ.π.π. της είναι: f ( x) = x e, x > 0 0, x 0 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της δίνεται από τον τύπο F( x) P( X x) 1 e x. Αν ο ρυθμός των εργασιών που στέλνονται προς εκτύπωση είναι 30 εργασίες ανά ώρα δηλ. λ=30, τότε να υπολογίσετε τα παρακάτω : i) την πιθανότητα ο χρόνος αναμονής για την επόμενη εργασία να είναι μεταξύ 2 και 4 λεπτών. ii) την πιθανότητα ο χρόνος αναμονής να είναι μεγαλύτερος από 30 λεπτά. Β) (12 μον.) Δίνεται η συνάρτηση : x cxe x 0 f x 0 x 0 Να υπολογίσετε : i) την τιμή του c ώστε η παραπάνω συνάρτηση να αποτελεί συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας P X 1 για την συγκεκριμένη τιμή του c. ii) την x για την οποία η πιθανότητα P x X x iii) την τιμή του 0 δυνατή τιμή (την πιθανότερη τιμή) αν ε=1/100. παίρνει την μεγαλύτερη 0 0 5

6 Άσκηση 5 (20 μον.) Στο πρόγραμμα σπουδών Πληροφορική του Ε.Α.Π. έχουν υποβληθεί 2500 αιτήσεις για το ακαδημαϊκό έτος Από έλεγχο που έγινε στα απολυτήρια των υποψηφίων, παρατηρήθηκε ότι ο βαθμός απολυτηρίου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ. Παρατηρήθηκε ότι το 20% των υποψηφίων είχε βαθμό απολυτηρίου κάτω από 13, ενώ το 5% των υποψηφίων είχε βαθμό απολυτηρίου πάνω από 18. i) Να βρεθούν οι τιμές της μέσης τιμής μ και της τυπικής απόκλισης σ. ii) Αν το Ε.Α.Π. αποφασίσει να κάνει δεκτούς τους 1000 υποψηφίους που έχουν την υψηλότερη βαθμολογία, να υπολογίσετε τί βαθμό απολυτηρίου θα πρέπει να έχει κάποιος υποψήφιος ώστε να γίνει δεκτός. iii) Αν επιλέξουμε τυχαία 10 υποψηφίους ποιά είναι η πιθανότητα το πολύ 3 από αυτούς να επιλεγούν σύμφωνα με το κριτήριο του ερωτήματος ii); iv) Αν το Ε.Α.Π. αποφασίσει να δώσει υποτροφίες σε αιτήσεις όσων έχουν βαθμό πάνω από 18.5, τότε πόσοι υποψήφιοι από τους 2500 θα πάρουν υποτροφία; 6

7 Πίνακας Κανονικής Κατανομής Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή (Standardized Normal Distribution Function) z 1 z e t dt z