Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Transcript

1 Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα που θα απαντήσετε να αντιστοιχούν συνολικά το πολύ σε 100 μονάδες. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε τα θέματα και όλες τις κόλες που σας δόθηκαν. Απαγορεύεται η χρήση κινητών τηλεφώνων. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΟΣ : ΑΜ : ΜΕΡΟΣ Ι (40 μονάδες) Να απαντήσετε σε οκτώ (8) το πολύ από τις επόμενες εννέα (9) προτάσεις διαλέγοντας μία από τις πέντε (5) επιλογές που δίνονται. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει πέντε (5) μονάδες, ενώ για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρείται μία (1) μονάδα. 1. Ένας διαγωνιζόμενος απαντά σε δύο ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών. Στην πρώτη ερώτηση υπάρχουν 5 δυνατές απαντήσεις ενώ στη δεύτερη υπάρχουν 4 δυνατές απαντήσεις. Αν ο διαγωνιζόμενος επιλέγει στην τύχη την απάντηση που θα δώσει και στις δύο ερωτήσεις, η πιθανότητα να απαντήσει σωστά ακριβώς στη μία ερώτηση είναι α. 1/20 β. 1/10 γ. 7/20 δ. 1/5 ε. 1/4 2. Η πιθανότητα να εμφανιστεί ακριβώς μία άρτια ένδειξη όταν ρίχνουμε τέσσερις φορές ένα ζάρι ισούται με α. 1/8 β. 1/9 γ. 1/16 δ. 1/4 ε. /8. Η τυχαία μεταβλητή Χ μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 0 και 1 και ισχύει ότι P( X = 1) = 1/ 5. Τότε η διακύμανση της Χ ισούται με α. 1/5 β. 1/25 γ. 4/5 δ. 2/25 ε. 4/25 1

2 4. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 9 σφαιρίδια αριθμημένα από το 1 έως το 9. Επιλέγουμε στην τύχη 2 από αυτά χωρίς επανάθεση. Η πιθανότητα να μην επιλεγεί κανένα σφαιρίδιο με ψηφίο το οποίο να είναι πολλαπλάσιο του 4 ισούται με α. 7/9 β. (7/9) 2 γ. 2/ δ. 7/12 ε. 4/9 5. Έστω Χ μία διακριτή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας f, η οποία δίνεται από τον τύπο f ( x) c( x + 1), R = { 0,1,2 }. = X Η τιμή της σταθεράς c ισούται με α. 1/4 β. 1/6 γ. δ. 1/ ε Αν για την τυχαία μεταβλητή Χ ισχύει ότι 1 P ( X = 0) = P( X = ) = P( X = 5) =, τότε η μέση τιμή της Χ ισούται με α. β. 1 γ. 1/ δ. 1 / 2 ε. 8/ 7. Για την τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται ότι V ( X + 2) = 6. Τότε η διακύμανση V ( X 1) ισούται με α. 4 β. 4 γ. 1 δ ε Αν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε η πιθανότητα P ( 0 X 1) είναι ίση με α. 0,598 β. 0,864 γ. 0,841 δ. 0,1587 ε. 0,41 9. Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0,4]. Τότε η μέση τιμή της μεταβλητής Y = X ( X 1) ισούται με α. 4/ β. 2 γ. 16/9 δ. 10/ ε. 16/ 2

3 ΜΕΡΟΣ ΙΙ (60 μονάδες) Να απαντήσετε σε τέσσερις (4) το πολύ από τις επόμενες πέντε (5) ασκήσεις αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Κάθε άσκηση παίρνει δεκαπέντε (15) μονάδες. 1. Σε μια οικογένεια με 5 παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν (α) ακριβώς τρία αγόρια, (β) περισσότερα κορίτσια από αγόρια, (γ) περισσότερα κορίτσια από αγόρια, αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κορίτσι. Θεωρήστε ότι τα δύο φύλα είναι ισοπίθανα ενδεχόμενα για κάθε παιδί. 2. Με την ομάδα μπάσκετ του Πα. Πει. προπονούνται 6 δευτεροετείς, 8 τριτοετείς και 9 τεταρτοετείς φοιτητές. Ο προπονητής της ομάδας επιλέγει 5 άτομα από τα παραπάνω για την αρχική πεντάδα ενός αγώνα. Θεωρώντας ότι όλες οι δυνατές πεντάδες είναι ισοπίθανες, (α) ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 δευτεροετείς στην αρχική πεντάδα; (β) να βρεθεί η πιθανότητα η αρχική πεντάδα να αποτελείται από φοιτητές του ίδιου έτους.. Για τους πρωτοετείς φοιτητές ενός τμήματος του Πανεπιστημίου, γνωρίζουμε ότι 14% από τους άντρες φοιτητές και 2% από τις φοιτήτριες έρχονται στο Πανεπιστήμιο με μηχανή. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο που παρακολουθεί μια διάλεξη για το συγκεκριμένο τμήμα του Πανεπιστημίου, ποια είναι η πιθανότητα να έχει έρθει στο Πανεπιστήμιο με μηχανή, αν στο αμφιθέατρο που γίνεται η διάλεξη υπάρχουν (α) 40 άντρες φοιτητές και 0 φοιτήτριες, (β) ίδιος αριθμός φοιτητών και φοιτητριών, (γ) τριπλάσιος αριθμός φοιτητριών από άντρες φοιτητές. 4. Η βαθμολογία των φοιτητών σε ένα τεστ, στην κλίμακα 0 100, ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ = 6, σ = 9. (α) Αν για να επιτύχει ένας φοιτητής στο τεστ, θα πρέπει η βαθμολογία του είναι τουλάχιστον 45, να βρεθεί το ποσοστό των φοιτητών που αποτυγχάνουν. (β) Να βρεθεί η πιθανότητα ο βαθμός ενός φοιτητή να είναι μεταξύ 45 και 60. (γ) Να βρεθεί η βαθμολογία που θα πρέπει να πιάσει ένας φοιτητής, έτσι ώστε ο βαθμός του να είναι στο κορυφαίο 10% ανάμεσα στους φοιτητές που εξετάζονται.

4 5. Έστω Χ η μεγαλύτερη ένδειξη κατά τη ρίψη δύο ζαριών. (α) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση πιθανότητας της Χ δίνεται από τον τύπο 2x 1 f ( x) = P x = 6 ( X = x) =, 1,2,,4,5,6. (β) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής της Χ. (γ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή της Χ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! 4

5 5

6 Συνάρτηση κατανομής της τυπoποιημένης κανονικής κατανομής Συνάρτηση κατανομής της τυπoποιημένης κανονικής κατανομής 6