12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα.. υντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα xx.. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ( x, y) και y y B( x, y ) ορίζεται πάντα ως. x x. Υπάρχουν ευθείες, με συντελεστές διεύθυνσης, αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει συγχρόνως και. 4. Οι ευθείες με εξισώσεις 5. Αν οι ευθείες y x και y x είναι κάθετες για κάθε 0. y x και y x 5 είναι παράλληλες, τότε ισχύει.. Η ευθεία ΑΒ με (, 4) και (, 5) είναι παράλληλη προς την ευθεία y x. 7. Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο M (,) και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία ίση με 5 0 είναι xy Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωσή της είναι της μορφής y y Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία xy 0 με τον άξονα xx είναι Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία x y 0 με τον άξονα xx είναι Η απόσταση του σημείου Μ0 (x0,y0 ) από την ευθεία : Ax By 0 ( x By 0, ). det AB, A 0 0 δίνεται από τον τύπο: dm. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με.. Η ευθεία y a x σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα xx για κάθε a 0.

2 4. Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία : x 5 0 και περνά από το σημείο 5,, είναι η y Η εξίσωση xy x παριστάνει μία μόνο ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου.. Το σημείο A,0 με 7 ανήκει στην ευθεία x y. 7. Η απόσταση των παραλλήλων ευθειών y x και y x είναι. 8. Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από την ευθεία x5y 0 και τους άξονες xx και yy, είναι 5 τ.μ. 9. Όλες οι ευθείες της οικογένειας ευθειών: x y x y 4 0 περνούν από το σημείο M,. 0. Η εξίσωση της ευθείας Ax By 0 μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή 0, όπου, και xy,.. Αν Α,Β,Γ τρία σημεία του επιπέδου και AB το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, τότε: det AB, A ή det,. AB A. Για την απόσταση dm, του σημείου Μ από την ευθεία ισχύει d M, 0. Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία.. Η εξίσωση x y για x 0 παριστάνει μία ημιευθεία. 4. Η εξίσωση y x παριστάνει μία μόνο ημιευθεία. 5. Η εξίσωση x y xy 0, παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες. *. Κυκλώστε τη σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις.. O συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον άξονα yy ισούται με: A: B: - G: 0 D: E: δεν ορίζεται 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία x, y και Bx, y ορίζεται πάντα όταν: A: y y D: y y B: x xκαι y y G: x xκαι y y και x x Ε: x x. H εξίσωση Ax By 0 παριστάνει πάντα ευθεία με: A: Α=0 και Β=0 B: Α=0 ή Γ 0 G: A B 0

3 D: A B 0 Ε: A B 0 4. H ευθεία y x : A: είναι κάθετη στον xx για κάποια τιμή του B: είναι κάθετη στον yy για κάποια τιμή του G:για 0 περνάει από το σημείο D: περνάει από την αρχή των αξόνων Ε: για είναι κάθετη στην y x 5. Οι ευθείες x y 0,5 και x y 0 : A: τέμνονται για κάθε R B: είναι και οι δύο κάθετες στην y x G: είναι κάθετες μεταξύ τους για D: είναι παράλληλες για E: τέμνονται στο σημείο,0 για R R. Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα xx αμβλεία γωνία είναι: A: y x B: y Γ: yx Δ: y x a με 0 Ε: η κάθετη στην xy Αν η ευθεία τέμνει τους άξονες xx, y y στα,0, 0, αντίστοιχα με. Τότε: Α: η σχηματίζει γωνία 0 0 με τον xx Β: η σχηματίζει γωνία 90 0 με τον xx Γ: η σχηματίζει γωνία οξεία με τον xx Δ: η σχηματίζει γωνία αμβλεία με τον xx Ε: ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι / 8. το διπλανό σχήμα η ευθεία έχει εξίσωση Α: y x B: Γ: y x Δ: Ε: y x y x y x 9. το καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση y x παριστάνει: A: μία ευθεία κάθετη στον xx

4 4 Β: τη διχοτόμο της γωνίας xoy Γ: τη διχοτόμο της γωνίας yox D: τις διχοτόμους των γωνιών xoy και yox Ε: μία ευθεία κάθετη στον yy 0. Τα σημεία,,, και 4, είναι συνευθειακά. Η τιμή του είναι: A: B: Γ: D: 5 Ε: -. To σημείο, 5 A: 0, 5 B: 9 0,. Το σημείο Β είναι το: 9, είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με G:,4 D:, 4 E:. Δίνεται ευθεία : x y 0 και το σημείο,. Τότε η απόσταση του Μ από την είναι: A: B: G: D: E: 9,. H απόσταση του σημείου, από την ευθεία xy 0 με είναι: A: D: B: E: G: 4. To εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές 0,0,,0 και, είναι: A: B: G: D: E: 5. To εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x y 0 είναι σε τετραγωνικές μονάδες: A: 9 B: 9 G: 4 D: E:. To συμμετρικό του σημείου 4, ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων είναι: A: 4, B: 4, G: 4, :D:,4 E:, 7. Oι ευθείες y και y x σχηματίζουν μεταξύ τους οξεία γωνία ίση με:

5 5 A: 0 0 B: 0 0 G: 45 0 D: 75 0 E: Mία ευθεία δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης όταν: A: η εξίσωσή της είναι της μορφής y c Β: έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 Γ: είναι παράλληλη με τον άξονα xx Δ: δεν ορίζεται ο συντελεστής της Ε: έχει εξίσωση y x ΑΚΗΕΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: x 4y 0 και xy 0 και είναι: a) Παράλληλη προς την ευθεία x y 0 b) Κάθετη προς την ευθεία x y5 0 c) Διέρχεται από την αρχή των αξόνων d) Παράλληλη στον άξονα xx e) Παράλληλη στον άξονα yy f) Παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων g) Κάθετη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων h) χηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού τ.μ 4. ε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε 8,, 7,4 και 5, το ορθόκεντρό του. Να βρείτε: a) Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ b) Τις συντεταγμένες της κορυφής Γ c) Τις εξισώσεις των πλευρών του 5. Δίνονται οι ευθείες : x y 0 και : x y 7 0. Να βρείτε τον, ώστε η γωνία των ευθειών να είναι Έστω οι ευθείες : xy 0, : x 4y 0 και το σημείο,. Να βρείτε σημείο Μ της, ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην. 7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y xy x 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; 8. Δίνονται τα σημεία,4 και, 5. a) Ν α βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθ. Τμήμαυος ΑΒ. b) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. c) Μα βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθ. Τμήματος ΑΒ. d) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ.

6 e) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. 9. Δίνεται η ευθεία : x y 0. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου, ως προς άξονα συμμετρίας την. 0. Θεωρούμε τν εξίσωση x y 5 8 0, (). Για ποιες τιμές του R η () παριστάνει ευθεία;. Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων,, R.. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π, Π είναι t t και t t για κάθε χρονική στιγμή t t 0.,, a) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. b) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. c) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t.. ε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο, και η θέση ενός πλοίου με το σημείο,, R. a) Για ποιες τιμές του το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του ; b) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι, όταν κινείται ευθύγραμμα. c) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 4. Έστω, διανύσματα του επιπέδου με,, 0,.. Ακόμη δίνεται η σχέση x και 0,, όπου y 0, () για κάθε a) Να δείξετε ότι η () παριστάνει πάντα ευθεία για κάθε 0,. b) Να δείξετε ότι η ευθεία αυτή διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί. c) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα xx, να αποδείξετε ότι. d) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα yy, να αποδείξετε ότι. 5. Αν το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία : x y 0, να βρείτε που κινείται το συμμετρικό Μ του σημείου Ν ως προς την ευθεία : x y 0.. Δίνεται η ευθεία x y 4x y 0, () για κάθε.

7 7 a) Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει δύο ευθείες, που είναι κάθετες. b) Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών,. c) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. 7. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ όταν: a),,. b),,. c),, 5. d),, 8. Να βρεθεί ο ώστε οι ευθείες που παριστά η x xy y 0 να διχοτομούν τις γωνίες των ευθειών που παριστά η x xy y Έστω η ευθεία : x y 0. Να βρεθούν οι τιμές του, ώστε η να απέχει από το σημείο 4, a) απόσταση d b) τη μέγιστη απόσταση, η οποία και να βρεθεί. 0. Δίνονται οι ευθείες : yx και : y 5 x. Να αποδειχθεί ότι το κοινό σημείο των, γράφει μία ευθεία. Αν αυτή η ευθεία είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών :5x y 0 και : x y 0 να βρεθούν τα,.. Έστω τα σημεία 0,,,. Αν Γ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας :xy, να αποδειχθεί ότι : a) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου με σταθερό εμβαδόν. b) Το ύψος ΓΔ είναι σταθερό. c) Βρείτε το σημείο Γ για το οποίο το ύψος ΒΕ γίνεται μέγιστο.. Μία τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει εισόδους Ε,Ε,Ε. Ο Αρχηγός θέλοντας να βρεί το εμβαδόν της αποστέλλει κατασκηνωτές να μετρήσουν τις αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του Α.Ο πρώτος προχωρά Km βόρεια και Κm ανατολικά και συναντά την είσοδο Ε.Ο δεύτερος Km ανατολικά και Km νότια και συναντά την Ε.Ο τρίτος προχωρά Κm δυτικά και συναντά την Ε. Θεωρήστε κατάλληλο σύστημα αξόνων, βρείτε τις συντεταγμένες των Ε,Ε,Ε και υπολογίστε το εμβαδόν της κατασκήνωσης.