1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Transcript

1 ΚΩΝΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ Σχήµα 1 Η κωνική επιφάνεια ή κώνος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας (γενέτειρες) η οποία διέρχεται από το σταθερό σηµείο Κ (κορυφή του κώνου) και συναντά µία καµπύλη c (οδηγός καµπύλη) (Σχ. 1) Le Corbusier, Unite d Habitation, Marseille Σχήµα 2 Á Ï Ã Ä Â Οι κωνικές επιφάνειες που εξετάζονται στα πλαίσια του µαθήµατος, έχουν συνήθως ως οδηγό καµπύλη ένα κύκλο. Ï' Το οριζόντιο περίγραµµα του κώνου (1 η προβολή), περιλαµβάνει την 1 η προβολή Κ της κορυφής Κ, την 1 η προβολή της οδηγού καµπύλης και τις 1 ες προβολές των ακραίων γενετειρών που είναι οι εφαπτόµενες από το Κ προς την προβολή της οδηγού καµπύλης. (Σχ. 3) Ã' Ê' Σχήµα 3 Το κατακόρυφο περίγραµµα του κώνου (2 η προβολή) περιλαµβάνει αντίστοιχα την 2 η προβολή Κ της κορυφής, την 2 η προβολή της οδηγού καµπύλης και τις 2 ες προβολές των ακραίων γενετειρών. Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 1

2 Όταν η οδηγός καµπύλη είναι κύκλος και η προβολή της κορυφής στο επίπεδο αυτού του κύκλου συµπίπτει µε το κέντρο του, ο κώνος ονοµάζεται ορθός ή εκ περιστροφής. (Σχ. 4) Ο ορθός κώνος είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την περιστροφή της γενέτειρας ΚΑ περί άξονα την ευθεία ΚΟ. Á Ï Â Όταν η προβολή της κορυφής του κώνου στο επίπεδο της οδηγού δεν συµπίπτει µε το κέντρο του κύκλου, ο κώνος ονοµάζεται πλάγιος. Ï'=K' Η συνηθέστερη µορφή κωνικής επιφάνειας που εφαρµόζεται σε έργα Αρχιτεκτονικής είναι η εκ περιστροφής κωνική επιφάνεια. Σχήµα 4 2. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΩΝΟΥ Å1 =Æ1" Á Ï Â Å =Æ Å' Ï' Å1' Κάθε σηµείο της επιφάνειας του κώνου θεωρείται ότι ανήκει σε µία γενέτειρα του. Το τυχόν σηµείο Ε1(Ε1, Ε1 ) π. χ. της επιφάνειας ανήκει στην γενέτειρα ΚΕ (Κ Ε, Κ Ε ) και προσδιορίζεται µέσω των προβολών των γενετειρών. (Σχ. 5) Æ' Ã' Æ1' Ê' Σχήµα 5 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 2

3 Á Ã =Ä Ã1 =Ä1 Ï Â Με εντελώς αντίστοιχο τρόπο καθορίζονται µέσω γενετειρών οι προβολές σηµείων της κωνικής επιφάνειας όταν πρόκειται για ορθό κώνο. (Σχ. 6) Το τυχόν σηµείο Γ1(Γ1, Γ1 ) µεταφέρεται στις δύο προβολές µέσω των προβολών της γενέτειρας ΚΓ (Κ Γ, Κ Γ ) που το περιέχει. Ä1' Ï'=K' Ã1' Ã' Σχήµα 6 3. ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΩΝΟΥ Όταν το τέµνον επίπεδο, τέµνει όλες τις γενέτειρες του κώνου, η τοµή είναι έλλειψη. (Σχ. 7α και 8) Όταν είναι παράλληλο προς µία γενέτειρα του κώνου, η τοµή είναι παραβολή, (Σχ. 7β και 13) Όταν είναι παράλληλο προς δύο γενέτειρες του κώνου, η τοµή είναι υπερβολή. (Σχ. 7γ και 14) α) β) γ) Σχήµα 7 4. TOΜΗ ΚΩΝΟΥ ΚΑΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗ Όταν το τέµνον επίπεδο είναι πρόσθιο και το 2 ο ίχνος του σ2 τέµνει όλες τις γενέτειρες του κώνου, η τοµή είναι έλλειψη. (Σχ. 9) Η έλλειψη αυτή προβάλλεται στην 2 η προβολή κατά το ευθύγραµµο τµήµα Α1 Β1. Η Α1Β1 είναι διάµετρος της έλλειψης επειδή οι εφαπτόµενες ε1 και ε2 στα άκρα της, είναι µεταξύ τους παράλληλες. Σχήµα 8 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 3

4 Á1 Å1 =Æ1 Ã1 Ä1 Â1 ó2 Η συζυγής διάµετρος της Α1Β1 είναι η Ε1Ζ1 η οποία είναι επίσης παράλληλος προς τις εφαπτόµενες ε1,ε2. Στην 2 η προβολή η Ε1ζ1 προβάλλεται στο σηµείο Ε1 =Ζ1, µέσον της Α1 Β1. Á Å =Æ Ï Ã Ä Â Στην 1 η προβολή τα Ε1 και Ζ1 προκύπτουν µέσω των γενετειρών του κώνου. Æ' ó1' å1' A1' E' Ï' E1' Æ1' Ã1' Ä1' å2' Â1' Ê' Τα ίδια ισχύουν όταν ο κώνος είναι εκ περιστροφής. ( Σχήµα 10) Όταν το τέµνον επίπεδο είναι τυχόν, µέσω µιας αλλαγής του συστήµατος των επιπέδων προβολής γίνεται κάθετο σε επίπεδο προβολής (πρόσθιο) και η τοµή καθορίζεται αρχικά στην 3 η προβολή και στην συνέχεια µεταφέρεται µέσω συζυγών διαµέτρων στην 1 η και 2 η προβολή. Σχήµα 9 ó2 Â1 Ã1 =Ä1 A1 Á Ã =Ä Ï Â Ä1' Á1' Ï'=K' Â1' Ã1' ó1' Ã' Σχήµα 10 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 4

5 Σχήµα 11 Netherlands Dance Theatre, The Hague ( ) REM KOOLHAAS Ισπανία Πύργος ελέγχου Αεροδρόµιο Σοντικα στο Μπιλµπάο Αρχιτέκτων Σαντιάγκο Καλατράβα Σχήµα 12 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 5

6 5. TOΜΗ ΚΩΝΟΥ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Όταν η τοµή είναι παραβολή ή υπερβολή, είναι δυνατόν να προσδιορισθεί από τα σηµεία τοµής γενετειρών του κώνου µε το τέµνον επίπεδο. Στο παράδειγµα του σχήµατος 15, ένας ορθός κώνος τέµνεται από το µετωπικό επίπεδο σ. Σχήµα 13 Η τοµή είναι ένας κλάδος υπερβολής διότι το επίπεδο είναι παράλληλο προς δύο γενέτειρες του κώνου και συγκεκριµένα προς τις ΚΕ και ΚΖ. Οι προβολές των σηµείων τοµής Α, Γ1, 1, Β... των γενετειρών ΚΑ, ΚΓ, Κ, ΚΒ... αντιστοίχως µε το επίπεδο σ, καθορίζουν τις προβολές της καµπύλης της τοµής. Σχήµα 14 Ã1 Ä1 Å Á Ã Ï Ä Â Æ Å' Ï'=K' Æ' Ã1' Ä1' ó1' Ã' Σχήµα 15 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 6

7 Το κτίριο του Disney Αrata Isozaki. Lake Buena Vista,Φλόριντα, Χαρακτηριστικός είναι ο κώνος στο κέντρο της σύνθεσης µε ύψος 120 πόδια, που είναι το σύµβολο του έργου. Τα εκατέρωθεν κτίρια γραφείων συναντούν το κεντρικό κολουροκωνικό κτίσµα κατά µήκος ενός κλάδου υπερβολής. Σχήµα 16 Λεπτοµέρεια του κεντρικού τµήµατος του κτιρίου του Disney. Σχήµα ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΚΩΝΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΗ ΤΗΣ ΤΟΜΗΣ. Για να σχεδιασθεί το ανάπτυγµα µιας κωνικής επιφάνειας χρειάζεται να γνωρίζουµε τα µήκη (ΚΑ), (ΚΒ), (ΚΓ)... κλπ των γενετειρών της κωνικής επιφάνειας και τις αποστάσεις των άκρων των γενετειρών µεταξύ τους. Τα πραγµατικά µήκη των γενετειρών προσδιορίζονται µε την µέθοδο της περιστροφής τους περί κατακόρυφο άξονα διερχόµενο από την κορυφή Κ της επιφάνειας, ώστε να γίνουν µετωπικές. Η γενέτειρα ΚΑ(Κ Α, Κ Α ) π.χ. περιστρεφόµενη περί τον κατακόρυφο άξονα παίρνει την θέση ΚΑ ο (Κ Α ο, Κ Α ο ) οπότε το µέγεθος (Κ Α ο ) είναι το πραγµατικό της µήκος. Τα µήκη των αποστάσεων των άκρων των γενετειρών µετρώνται σε πραγµατικό µέγεθος επί της οδηγού καµπύλης. Από τα µήκη των γενετειρών και από τα µήκη των αποστάσεων των άκρων τους κατασκευάζεται το ανάπτυγµα. Ο κύκλος της βάσης µετασχηµατίζεται σε καµπύλη η οποία παρουσιάζει το πολύ δύο σηµεία καµπής. Σηµεία καµπής της µετασχηµατισµένης της βάσης είναι τα σηµεία επαφής Γ και των γενετειρών του περιγράµµατος της 1 ης προβολής µε τον κύκλο. Για την µετασχηµατισµένη της τοµής απαιτούνται οι αποστάσεις των σηµείων τοµής από την κορυφή του κώνου, οι οποίες καθορίζονται επίσης µέσω της περιστροφής. Η µετασχηµατισµένη της τοµής παρουσιάζει επίσης δύο το πολύ σηµεία καµπής τα οποία προκύπτουν ως εξής: Από την προβολή της κορυφής στο τέµνον Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 7

8 επίπεδο φέρνουµε τις εφαπτόµενες στην τοµή (στην έλλειψη). Τα σηµεία επαφής (εάν υπάρχουν) γίνονται σηµεία καµπής της µετασχηµατισµένης της τοµής. Σχήµα 18 Σχήµα 19 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 8

9 7. ΑΥΤΟΣΚΙΑ ΚΑΙ ΕΡΡΙΜΜΕΝΗ ΣΚΙΑ ΚΩΝΟΥ. Κ κατασκευή της αυτοσκιάς της κωνικής επιφάνειας, ανάγεται στην κατασκευή των εφαπτόµενων επιπέδων της που περιέχουν το σηµείο ή την διεύθυνση φωτισµού. Στα παραδείγµατα που ακολουθούν, θεωρούµε φωτισµό παράλληλο. Σχήµα 20 (Ê1*) Για να καθοριστούν οι γενέτειρες του περιγράµµατος της αυτοσκιάς του κώνου, βρίσκουµε αρχικά την σκιά (Κ1) της κορυφής Κ στο επίπεδο της βάσης του κώνου. Οι εφαπτόµενες από το (Κ1) προς την βάση ορίζουν τα άκρα Α και Β των γενετειρών ΚΑ και ΚΒ του περιγράµµατος της αυτοσκιάς. (Σχ. 20, 21) Η ερριµµένη σκιά του κώνου περιλαµβάνει την σκιά της βάσης του, την σκιά της κορυφής του και τις σκιές των γενετειρών ΚΑ και ΚΒ του περιγράµµατος της αυτοσκιάς. ö Ê2 Ï ö' Á Ï'=K' Â O1 Σχήµα 21 Ê1* Οι γενέτειρες της αυτοσκιάς στον κόλουρο κώνο (Σχ. 22) καθορίζονται όπως ακριβώς στον κώνο χρησιµοποιώντας την σκιά της κορυφής του η οποία προκύπτει από την προέκταση των γενετειρών του. ö Ï Ê2 Η ερριµµένη σκιά του κόλουρου κώνου περιλαµβάνει την σκιά των δύο βάσεών του και τις σκιές των γενετειρών του περιγράµµατος της αυτοσκιάς οι οποίες εφάπτονται στις σκιές των βάσεων. ö' Ï'=K'=Ï1' Σχήµα 22 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 9

10 Ó Ï Στην περίπτωση του ανεστραµµένου κώνου η αυτοσκιά και η ερριµµένη προκύπτουν όπως προηγουµένως. (Σχ. 23) ö Ä1 Όταν ο κώνος είναι ανοικτός στο επάνω µέρος υπάρχει αυτοσκιά και ερριµµένη στο εσωτερικό του. Οι γενέτειρες της αυτοσκιάς είναι πάλι οι ΚΑ και ΚΒ. ö' Ä2 Ã2 Ã1 Η ερριµµένη σκιά, δηλαδή η σκιά που θα ρίξει ο κύκλος στην επιφάνεια του κώνου είναι ένα τµήµα έλλειψης το οποίο καθορίζεται µε σηµεία. Á Ä2' Ê' Ã2' Ã' Μία από τις µεθόδους µε την οποία µπορούµε να καθορίσουµε σηµεία της σκιάς βασίζεται στην αρχή επικάλυψης των σκιών. Ó' Â Η γενέτειρα Κ π.χ. έχει σκιά στο έδαφος την Κ 1 η οποία συναντά την σκιά του κύκλου στο έδαφος στο σηµείο 2. Η παράλληλος προς την φ από το 2 ορίζει το σηµείο 2 της σκιάς επάνω στην Κ. Σχήµα 23 Με τη βοήθεια της αρχής επικάλυψης των σκιών βρίσκουµε τις σκιές διαφόρων προβόλων επάνω σε κωνικές επιφάνειες (Σχ. 24). Σχήµα 24 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 10

11 8. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κολουροκωνικό κενοτάφιο του Etienne - Louis Boule e, Σχήµα 25 ωρικός Ρυθµός, Theatre de Marcellus, Ρώµη. Οι σταγόνες που βρίσκονται κάτω από τον κανόνα, είναι τµήµατα κόλουρου κώνου. Σχήµα 26 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 11

12 ωρικός Ρυθµός, Theatre de Marcellus, Ρώµη. Λεπτοµέρεια όπου φαίνεται η ερριµµένη σκιά του κανόνα επάνω στις σταγόνες, και οι ερριµµένες σκιές των σταγόνων στον κατακόρυφο τοίχο. Σχήµα 27 Σχηµατική αξονοµετρική απεικόνιση τµήµατος του κανόνα και των σταγόνων και κατασκευή της σκιάς. Σχήµα 28 Σ Π Ο Υ Α Σ Τ Η Ρ Ι Ο Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ω Ν Α Π Ε Ι Κ Ο Ν Ι Σ Ε Ω Ν Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ - Τ Μ Η Μ Α Α Ρ Χ Ι Τ Ε Κ Τ Ο Ν Ω Ν Ε Μ Π 12