ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

Transcript

1 Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0

2 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ;. Να γράψετε(με απόδειξη) την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο O (0,0) και ακτίνα ρ. 3. Ποιος κύκλος λέγεται μοναδιαίος; 4. Να γράψετε(με απόδειξη) την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ. 5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x + y = ρ στο σημείο του A x, y ) είναι: xx + yy = r 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κάθε κύκλου μπορεί να πάρει τη μορφή : x + y + Ax + By + G =0 όπου Α,Β,Γ πραγματικοί αριθμοί. 7. Να γράψετε(με απόδειξη) τι παριστάνει η εξίσωση x + y + Ax + By + G =0 για τις διάφορες τιμές των σταθερών Α,Β,Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ. Η εξίσωση x + y = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση x + y + κx + λy = 0 με κ, λ ¹ 0 παριστάνει πάντα κύκλο. 3. Ο κύκλος με κέντρο Κ (, - ) που περνά από το σημείο (-, ) έχει πάντα εξίσωση: (x - ) + (y + ) = Η εξίσωση x + y + α (x + y + ) = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε θετικό α. ( ημθ συνθ 5. Το σημείο (, ) ανήκει στον κύκλο 4(x - ημθ) + 4(y - συνθ) = για κάθε πραγματικό αριθμό θ. 6. Οι κύκλοι x + y + x + 3y - = 0 και x + y + x + 3y + = 0 είναι ομόκεντροι. 7. Το σημείο του κύκλου x + y = 4 με τετμημένη βρίσκεται πάνω στην ευθεία y = x. 8. Οι κύκλοι (x - ) + (y + ) = και (x - ) + (y + ) = 0 εφάπτονται εξωτερικά 9. Ο κύκλος (x + ) + y = 8 τέμνει την ευθεία y = x Τα σημεία (-, ) και (4, ) του κύκλου (x - ) + (y - ) = 9 είναι αντιδιαμετρικά.. Οι κύκλοι x + (y - ) = 3 και x + (y - ) = 0 έχουν δύο κοινά σημεία. 3. Η εξίσωση (x + y) - 4 = xy παριστάνει κύκλο. 3. Η εφαπτομένη ευθεία του κύκλου x + y = στο σημείο με τετμημένη έχει εξίσωση x + y =. 4. Η εξίσωση x - x + + y = 5 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο (, 0). 5. Η καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x + y = α είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. 6. Η σχέση y= α -x είναι τύπος συνάρτησης που παριστάνει ημικύκλιο (- α x α). 7. Ένας κύκλος έχει το κέντρο του στην ευθεία y = x. Έχει πάντα εξίσωση (x - α) + (y - α) = ρ. 8. Ένα σημείο (x, y ) είναι εσωτερικό κύκλου με κέντρο Κ (x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Ισχύει: (x - x 0 ) + (y - y 0 ) < ρ. ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα από 7

3 9. Τα κέντρα των κύκλων C : x + y + αx + βy +γ = 0 και C : x + y + βx + αy +γ = 0 είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y=x. 0. H εξίσωση x + y + a x + a y α = 0 παριστάνει κύκλο όταν α>0.. Ο κύκλος (x - ) + (y +) = εφάπτεται στους άξονες x x και y y.. Έστω ο κύκλος x + y + αx + βy +γ = 0. α) Αν α=0 έχει κέντρο στον άξονα x x. β) Αν β=0 και γ=0 εφάπτεται στον άξονα x x. γ) Αν γ=0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. δ) Αν α+β=0 το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία y=-x. ε) Αν α>0 και β>0, το κέντρο του βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο. 3. Οι κύκλοι (x - ) + (y +) = 9 και x + y + αx + βy +γ = 0 είναι ομόκεντροι όταν α=- και β=4. 4. Ο κύκλος x + (y +) = διέρχεται από το σημείο Ο(0,0). 5. Ο κύκλος x + y = είναι μοναδιαίος. 6. Ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα ΑΒ με Α(-3,) και Β(,) έχει εξίσωση y - y - =- x + 3 x - 7. Η εξίσωση (x - α) + (y -α) = α +α+ παριστάνει κύκλο για κάθε αî. 8. Η εξίσωση x + y + 4x + 6y - = 0 παριστάνει κύκλο. 9. Η εξίσωση x + y + αx + βy +γ = 0 με α +β -8γ=0 παριστάνει σημείο. 30. Η εξίσωση λx + λy + αx + βy +γ = 0 με λ<0 και α, β, γ>0 παριστάνει κύκλο με κέντρο σημείο του ου τεταρτημορίου. 3. Οι κύκλοι x + y + αx + βy +γ = 0 και x + y + αx + βy +δ = 0, με γ ¹ δ είναι ομόκεντροι. 3. Έστω Μ(συνθ,ημθ) σημείο του κύκλου x +y =. Tότε το διάνυσμα v r =(-ημθ,συνθ) είναι κάθετο στην ΟΜ. 33. Οι κύκλοι x + (y -) = και x + (y +) = εφάπτονται. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο (, ) και εφάπτεται στον άξονα x x, έχει εξίσωση Α. (x - ) + (y - ) = Β. (x - ) + (y - ) = Γ. (x - ) + (y - ) = 4 Δ. (x + ) + (y + ) = Ε. (x + ) + (y + ) = 4. Ο κύκλος (x - 3) + (y - ) = ρ εφάπτεται του άξονα x x. Η τιμή του ρ είναι Α. Β. Γ. 3 Δ Αν το κέντρο του κύκλου x + y + αx + βy + = 0 είναι το σημείο (4,-8), τότε το α+β είναι Α. - 4 Β. 4 Γ. 8 Δ. -8 Ε. 4 ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα από 7

4 4. Ο κύκλος x + y = 0 έχει εφαπτομένη την ευθεία με εξίσωση Α. y=0 Β. x=0 Γ. x=0 Δ. x= 0 Ε. y=0 5. Aν ο κύκλος x + y - αx - βy +γ = 0 δεν τέμνει τον άξονα x x τότε Α. α < γ Β. α > γ Γ. α = γ Δ. β < γ Ε. β > γ 6. Μία από τις παρακάτω γραμμές δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης Α. x + y = Β. y= - x Γ. x = - y Δ. y=- - x Ε. x =- - y 7. Ο κύκλος (x x 0 ) + (y y 0 ) = ρ εφάπτεται στον άξονα χ χ όταν: Α. x 0 = y 0 Β. x 0 = ρ Γ. y 0 = ρ Δ. x 0 = y 0 =ρ 8. Η εφαπτομένη του κύκλου x + y = στο σημείο του Α(0,) είναι η: Α. x=0 Β. x= Γ. y=0 Δ. y= ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. έχει κέντρο το σημείο Κ(- 3, ), και εφάπτεται στον άξονα y y ii. έχει κέντρο το σημείο Κ(3, 3) και εφάπτεται των αξόνων x x και y y iii. έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3x + y = 0 iv. έχει κέντρο το σημείο Κ(- 3, ) και εφάπτεται στην ευθεία 4x - 3y + 5 = 0 v. έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Α(5, 4). Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(3,)και Β(-,3) και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε: 3x -y - = Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(,), Β(,-) και Γ(,0) δηλαδή να βρεθεί η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. 4. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από τα κοινά σημεία των κύκλων C x y x και C : x + y + 4y = 0 και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε: x+ y = 4. : + - = 0 5. Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C και C στις παρακάτω περιπτώσεις: i. ii. iii. C :( x- 3) + ( y- ) = 4 και C :( x+ ) + ( y- 4) = C :( x- ) + ( y- ) = 5 και C : ( x- ) + ( y- ) = 4 C : ( x- ) + ( y+ ) = 0 και C :( x+ ) + ( y- ) = 4 6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου του Α(,-). C x y στο σημείο : ( - 4) + ( + 3) = 0 ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα 3 από 7

5 7. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου παράλληλη στην ευθεία ε: x -3y +6 = 0. C x y που είναι :( - 5) + ( + ) = 0 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C : x y 5 + = που διέρχονται από το σημείο Α(-,3). 9. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C : x + y = 9 και C :( x- ) + ( y+ 3) = Δίνεται η εξίσωση x + y +(-4λ)x + λy+ 5λ -4λ-3 = 0. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο C για κάθε l Î, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ii. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. iii. Να αποδείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται σε δυο σταθερές ευθείες των οποίων οι εξισώσεις να βρεθούν.. Δίνεται η εξίσωση: x + y + 4x + 6y - = 0. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο C,του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ii. Να εξετάσετε αν ο C διέρχεται από το σημείο Μ(-5,). iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του C στο σημείο Μ.. Δίνεται ο κύκλος x + y - x - = 0 και η ευθεία ε: y = x - 3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη συνέχεια να βρείτε το σημείο επαφής. 3. Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων, οι οποίοι εφάπτονται στον κύκλο: x +y = 5 στο σημείο Α(3,4) και έχουν ακτίνα ρ=0. 4. Θεωρούμε τον κύκλο C: x + y + 4y = 0 και το σημείο Α (-, - ). Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας ε που ορίζει στον κύκλο χορδή, με μέσο το σημείο Α. 5. Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 4 και το σημείο Α(8, -6). Να βρείτε σημείο Μ του κύκλου C τέτοιο ώστε η απόσταση (ΑΜ) να είναι ελάχιστη. 6. Στο διπλανό σχήμα ο πρώτος κύκλος C 0 έχει εξίσωση x + y = ρ και όλοι οι κύκλοι είναι ίσοι. i. Να βρεθούν: οι εξισώσεις των κύκλων C, C, C ν (συναρτήσει του ρ) ii. το άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων Κ, Κ, Κ ν από το κέντρο Ο iii. οι κοινές εφαπτόμενες όλων των κύκλων. Ο Κ Κ Κν 7. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο uuuur i. των σημείων Μ για τα οποία ισχύει MA =, όπου Α(, ), ii. των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ ^ ΜΒ, όπου Α(, 0) και Β(-, 0), ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα 4 από 7

6 iii. των μέσων Μ των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ μήκους 8, των οποίων τα άκρα Α και Β κινούνται στους άξονες x'x και y'y αντίστοιχα. 8. Από τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου Οχy φέρνουμε τη ΜΑ ^ y'y και τη ΜΒ κάθετη στην ευθεία ε: y=x. Αν (ΑΒ)=4 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ. 9. Να δειχθεί ότι η εξίσωση x + y * +λx= 0 παριστάνει κύκλο για κάθε λ ε. Να βρεθεί η γραμμή πάνω στην οποία βρίσκονται τα κέντρα αυτών των κύκλων. 0. Δίνεται η εξίσωση (C λ ): x +y + (λ-)x-(λ + )y + 3λ-0=0, λî. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λî. ii. Να βρείτε το κέντρο του παραπάνω κύκλου και να δείξετε ότι αυτό κινείται σε ευθεία για κάθε λî. iii. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος (C λ ) διέρχεται από δύο σταθερά σημεία.. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση C: x + y -xσυνθ-yημθ-=0, 0 θ<π. παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β) Αν θ = p, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο Α(,). γ) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =.. Δίνεται η ευθεία ε: y = x + και ο κύκλος C: x +y +λx-λy=0. Να προσδιορίσετε το λ ώστε. i) η ε να τέμνει τον κύκλο C, ii) η χορδή που ορίζει η ε στον κύκλο C να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία. 3. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + y - 4x - αy + α = 4 παριστάνει κύκλο για κάθε αî. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ii) Για ποια τιμή του α ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται: α) του άξονα x'x, β) της ευθείας y = -x. 4. Δίνονται η ευθεία ε :5x + 3y + = 0 και ο κύκλος και Ν. α) Να δείξετε ότι για κάθε λî, η εξίσωση: ( ) C:x + y -x- = 0, που τέμνονται στα σημεία Μ x + y -x- +l 5x+ 3y+ = 0 παριστάνει έναν κύκλο C λ, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Μ και Ν. Για ποια τιμή του λ ο κύκλος περνά από την αρχή των αξόνων; β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C λ ανήκουν σε μια ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 5. Α. Δίνεται η εξίσωση x + y +6μx+8λy = 0, όπου lmî, διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από Ο(0,0). Β. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ + λ = 0. α) Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x + y + 6μx + 8λy = 0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, ο αντίστοιχος κύκλος να τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο με Α(4.0). ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα 5 από 7

7 γ) Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΚΟΑ, όπου Κ το κέντρο του αντιστοίχου κύκλου. 6. Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό ν=,,3,...,999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση (x - ) + y = n (x + y - ). Να δείξετε ότι: α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του β) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α (που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; γ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x+y-=0 στο σημείο A (999) 7. α. Δίνεται η εξίσωση (x-)(x-3) + (y-3)(y-5) = 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. β. Σε τοπογραφικό σχεδιάγραμμα, με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy τα σημεία Α(,3), Β(3,3), Γ(3,5) και Δ(,5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήμων. Να αποδείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόμος που να διέρχεται από τους τέσσερις δήμους. γ. Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος β, οι συντεταγμένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t (t > 0) είναι ( t, t + ), να βρείτε αν η γραμμή, στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ, συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο και αν ναι, σε ποια σημεία; (000ε) 8. Α. Δίνεται η εξίσωση x + y + 6μx + 8λy = 0, όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Β. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ + λ = 0. α) Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x + y + 6μx + 8λy = 0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την uuuur uuur ευθεία x + y + = 0, να ισχύει OA OB = 0. γ) Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. (00) ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα 6 από 7

8 9. Δίνεται η εξίσωση x + y xσυνθ yημθ =0, 0 θ<π. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Β. Αν π θ =, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(,). Γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =. 30. Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(,) και Β(5,3). (00) uuur α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος AB είναι ίσος με. β. Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι η ευθεία ε: y = - x+8. γ. Εστω Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Γ, Δ τα σημεία τομής του άξονα x x με την ευθεία ΑΒ και την μεσοκάθετο ε αντίστοιχα. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Μ, Γ και Δ. (00ε) 3. Δίνεται η εξίσωση x + y -4x + y + 3 = 0 και το σημείο Μ(,). α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(, ) και ακτίνα ρ =. β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ(,). γ. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. (003ε) ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Σελίδα 7 από 7