Chapter 7, 8 : Completeness

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Chapter 7, 8 : Completeness"

Transcript

1 CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December

2 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη μηχανή Turing που την υπολογίζει. Έστω L 1, L 2 Σ * δύο γλώσσες. Μια συνάρτηση υπολογίσιμη σε πολυωνυμικό χρόνο ονομάζεται πολυωνυμική αναγωγή από την L 1 στην L 2, L 1 p L 2, αν για κάθε x Σ * ισχύει: x L 1 αν και μόνο αν τ(x) L 2. Συμπέρασμα: HL 2 είναι τουλάχιστον όσο δύσκολη όσο η L 1. Αν μπορούσαμε να λύσουμε την L 2 σε πολυωνυμικό χρόνο, θα μπορούσαμε να λύσουμε και την L 1 σε πολυωνυμικό χρόνο. Αν δεν μπορούμε να λύσουμε την L 1 σε πολυωνυμικό χρόνο, δεν μπορούμε να λύσουμε ούτε την L 2 σε πολυωνυμικό χρόνο. 2

3 Σχηματικά 3

4 Παράδειγμα Θεώρημα 1. ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON p ΜΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON. Σημείωση. Στο πρόβλημα ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON το γράφημα μπορεί να είναι κατευθυνόμενο γράφημα. Θέλουμε να βρούμε μια πολυωνυμική αναγωγή από το 1 ο πρόβλημα στο 2 ο πρόβλημα. Από οποιαδήποτε στιγμιότυπο G(V, E), (G:Κατευθυνόμενο γράφημα) του προβλήματος ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON Κατασκευάζουμε σε πολυωνυμικό χρόνο ένα στιγμιότυπο τ(g) = G (V,E ) τέτοιο ώστε: To G έχει κύκλο Hamilton και μόνο αν το G έχει Hamilton. 4

5 Παράδειγμα (συνέχεια) Το G (V, E ) κατασκευάζεται από το G(V, E) ως εξής: V = {v 0, v 1, v 2 : v V} δηλ. για κάθε κόμβο v του V, εισάγουμε 3 κόμβους v 0, v 1, v 2 στο V. Οκόμβοςv 0 θα είναι ο κόμβος εισόδου στον οποίο θα κατευθυνθούν οι ακμές που εισέρχονται στον v. Οκόμβοςv 2 θα είναι ο κόμβος εξόδου από τον οποίο θα ξεκινούν οι ακμές που εξέρχονται από τον v. 5

6 Παράδειγμα (συνέχεια) Ε = { (v 0, v 1 ), (v 1, v 2 ) : v V} {(u 2, v 0 ) : (u,v) E } δηλ. για κάθε κόμβο v V, συνδέω τους κόμβους v 0, v 1, v 2 V με αυτή τη σειρά (όπως στο σχήμα) και για κάθε ακμή (u,v) E συνδέω τον αντίστοιχο κόμβο εξόδου (u 2 ) με τον αντίστοιχο κόμβο εισόδου (v 0 ). 6

7 Παράδειγμα (συνέχεια) : είσοδος : έξοδος 7

8 Παράδειγμα (συνέχεια) Τώρα μένει να δείξουμε ότι o G έχει κατευθυνόμενο Hamilton εάν και μόνο εάν ο G έχει (μη-κατευθυνόμενο) κύκλο Hamilton. Δείχνουμε ότι: 1. Eάν G έχει (μη-κατευθυνόμενο) Hamilton τότε ο G έχει κατευθυνόμενο κύκλο Hamilton. 2. Eάν G έχει κατευθυνόμενο Hamilton τότε ο G έχει (μηκατευθυνόμενο) κύκλο Hamilton. 8

9 Παράδειγμα (συνέχεια) 1. Eάν G έχει (μη-κατευθυνόμενο) Hamilton τότε ο G έχει κατευθυνόμενο κύκλο Hamilton. Έστω ένας κύκλος C Hamilton (περνά από όλους τους κόμβους μια φορά) στον G. Θεώρησε ένα κόμβο v 0. Ο κύκλοςπερνάαπότονv 0 μέσω μιας ακμής του κύκλου. Η ακμήείναιτηςμορφής(u 2,v 0 )., όπου (u,v) E. Αναγκαστικά, ο κύκλοςμετάτονv 0 πρέπει να περάσει από το κόμβο v 1 μέσω της ακμής (v 0, v 1 ), αλλιώς με κανένα άλλο τρόπο δεν θα μπορεί να περάσει από τον v 1, οπότε δεν θα μπορούσε να καλύψει τον κόμβο v 1. Οπότε ως τώρα υπάρχει το μονοπάτι (u 2,v 0 ), (v 0, v 1 ) στον C. Τώρα ο μόνος τρόπος για να συνεχιστεί ο κύκλος είναι η επόμενη ακμή του να είναι η (v 1, v 2 ). Οπότε ως τώρα υπάρχει το μονοπάτι (u 2,v 0 ), (v 0, v 1 ), (v 1, v 2 ) στον C. 9

10 Παράδειγμα (συνέχεια) Από τον κόμβο v 2, ο κύκλος πρέπει να συνεχίσει με μια ακμή της μορφής (v 2,w 0 ), όπου (v, w) E, για να συνεχίσει σε άλλο κόμβο. Οπότε, όπως και πριν, οι επόμενες ακμές του κύκλου θα είναι οι (w 0, w 1 ), (w 1, w 2 ). Κατόπιν, όπως και πριν, θα βγεί από τον w 2 μέσω κάποιας ακμής της μορφής (w 2,z 0 ), όπου (w, z) E, γιανασυνεχίσεισεάλλοκόμβο, κ.ο.κ. όσπου στο τέλος θα μια ακμή της μορφής (q 2,v 0 ), όπου (q,v) E και θα ξαναγυρίσει στον κόμβο v 0, παιρνώντας έτσι από όλους τους κόμβους του G Συμπεραίνουμε ότι στο G, υπάρχουν οι ακμές (u, v), (v, w), (w, z), L (q, v). Δηλ. στον G υπάρχει ένας κατευθυνόμενος κύκλος Hamilton. 10

11 Παράδειγμα (συνέχεια) 1. Eάν G έχει κατευθυνόμενο κύκλο Hamilton τότε ο G έχει (μηκατευθυνόμενο) Hamilton. Έστω ένας κύκλος CHamilton στον G. C={(v 1, v 2, v 3 ), v V } Από τον C θεωρούμε την παρακάτω ακολουθία κόμβων στο G : C={v 10, v 11, v 12, v 20, v 21, v 22, L, v V 0, v V 1, v V 2 } Είναι εύκολο να δούμε το C ορίζει ένα κύκλο Hamilton στο G, δηλ. υπάρχουν οι αντίστοιχες ακμές μεταξύ των κόμβων και ο κύκλος περνά από όλους τους κόμβους του G. Συμπεραίνουμε ότι G ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON αν και μόνο αν τ(g)=g ΜΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON. Τέλος, παρατηρείστε ότι η τ(g) κατασκευάζεται σε πολυωνυμικό χρόνο. 11

12 Ιδιότητες Πολυωνυμικών αναγωγών Λήμμα. Έστω L 1, L 2 Σ * δύο γλώσσες. Εάν L 1 p L 2 και L 1 p L 2 τότε L 1 p L 3. 12

13 ΝP-πληρότητα Ορισμός. Μια γλώσσα L Σ * ονομάζεται NP-πλήρης αν 1. L NP 2. για κάθε γλώσσα L NP, ισχύει L p L. Θεώρημα. Eστω L οποιαδήποτε NP-πλήρης γλώσσα. Τότε P=NP αν και μόνο αν L P. Απόδειξη. 1. Αποδεικνύω ότι αν P = NP τότε L P: αφού L είναι NP-πλήρης ξέρουμε ότι L NP. Αφού P = NP L P. 2. Αποδεικνύω ότι αν L P τότε P = NP: αφού L είναι NP-πλήρης ξέρουμε ότι για κάθε γλώσσα L NP, ισχύει L p L. Αφού η L P, δηλ. λύνεται πολυνωνυμικά (από μια ΝΜΤ) και η L λύνεται πολυωνυμικά. Οπότε P = NP. 13

14 Συνέπεια. Αν βρούμε ένα ΝΡ-πλήρες πρόβλημα και δείξουμε ότι λύνεται σε πολυωνυμικό χρόνο όλαταπροβλήματαστηνnρ λύνονται σε πολυωνυμικό χρόνο. δεν μπορεί να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο κανένα πρόβλημα στην NΡ δεν μπορεί να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. 14

15 Υπάρχουν ΝP-πλήρη προβλήματα? Θεώρημα Cook Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας SAT είναι ΝP-πλήρες. Απόδειξη. Αποδεικνύουμε τις ιδιότητες 1, 2, του ορισμού της ΝP-πληρότητας. Πολλά ΝΡ-πλήρη προβλήματα! Θεώρημα. Το πρόβλημα 3-SAT είναι ΝΡ-πλήρες. Απόδειξη. Δείχνουμε ότι SAT p 3-SAT αφού το SAT είναι ΝP-πλήρες To 3-SAT είναι ΝΡ-πλήρες. 15

16 Και άλλα ΝP-πλήρη προβλήματα Θεώρημα. Το πρόβλημα ΜΕΓΙΣΤΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ είναι ΝΡ-πλήρες. Απόδειξη. Δείχνουμε ότι SAT p ΜΕΓΙΣΤΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ. αφού το SAT είναι ΝP-πλήρες To ΜΕΓΙΣΤΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ είναι ΝΡ-πλήρες. 16

17 Και άλλα ΝP-πλήρη προβλήματα Θεώρημα. Το πρόβλημα ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ είναι ΝΡ-πλήρες. Απόδειξη. Δείχνουμε ότι SAT p ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ. αφού το SAT είναι ΝP-πλήρες To ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ είναι ΝΡ-πλήρες. 17

18 Και άλλα ΝP-πλήρη προβλήματα Θεώρημα. Το πρόβλημα ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON είναι ΝΡ-πλήρες. Απόδειξη. Δείχνουμε ότι ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ p ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON. αφού το ΑΚΡΙΒΗΣ ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ είναι ΝP-πλήρες To ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON. είναι ΝΡ-πλήρες. 18

19 Και άλλα ΝP-πλήρη προβλήματα Θεώρημα. Το πρόβλημα ΜΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON είναι ΝΡ-πλήρες. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 1, ξέρουμε ότι ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON p ΜΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON. αφού το ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON είναι ΝP-πλήρες To ΜΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON είναι ΝΡπλήρες. 19

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Φροντιστήριο 11 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης. Επανάληψη Εαρινό Εξάμηνο 2019 Σελίδα 1

Ασκήσεις Επανάληψης. Επανάληψη Εαρινό Εξάμηνο 2019 Σελίδα 1 Ασκήσεις Επανάληψης Άσκηση 1 (Τελική Εξέταση 5/015) Να δείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα δεν είναι διαγνώσιμη. { Μ L(M) {ΘΕΩΡΙΑ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ} και L(M) 3} (Για την αναγωγή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1, Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 2 Ιουλίου 2014 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 8+8+4 2

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91 Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Παρασκευή, 20/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είδαµε την προηγούµενη φορά Συνεκτικότητα Υπογράφηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 Θεωρία γράφων/ γραφήματα 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά Στοιχεία Πολυπλοκότητας

Βασικά Στοιχεία Πολυπλοκότητας 10 Βασικά Στοιχεία Πολυπλοκότητας Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10.1 Εισαγωγή........................... 312 10.2 Μετασχηματισμοί και Αναγωγές.............. 313 10.3 Kλάσεις Πολυπλοκότητας.................. 316

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 12-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 12-May-17 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Υπογράφημα Συμπληρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες

Υποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή

Διαβάστε περισσότερα

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S. Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μέτρηση της Πολυπλοκότητας (7.1) Η κλάση Ρ (7.2) Η κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4)

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες

Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες Κύκλωμα C Κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος με n πηγές (κάθε μία αντιστοιχεί σε ένα bit εισόδου) και μία καταβόθρα (το bit εξόδου). Οι ενδιάμεσοι κόμβοι αντιστοιχούν σε κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ

Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών

11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Θεωρία υπολογισµών. Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους. Μηχανές Turig.3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού.4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση.5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων.6 Κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κουτσιούμπας Αχιλλέας U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach

Κουτσιούμπας Αχιλλέας U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach Κουτσιούμπας Αχιλλέας ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΛΗΣΕΩΝ ΣΕ ΑΚΤΥΛΙΟ U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach ΜΠΛΑ 1 Δομή παρουσίασης Γενικά Ορισμός προβλήματος Σχετιζόμενη δουλειά Εισαγωγικά Αλγόριθμος Παράδειγμα εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...

Διαβάστε περισσότερα

5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για

5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για 5. Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ: Τα για τα οποία 0 0, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για αυτά ισχύει 1 ή 1 1 0 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση παίρνουμε την μή αληθή σχέση Αρα θεωρούμε ότι 0 και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004 Παρουσίαση του paper: Increasing the Weight of Minimum Spanning Trees Greg N. Frederickson and Roberto Solis- Oba Journal of Algorithms

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 10 Ιουνίου 015 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 10 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 7+6+7 8+7+5

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation

Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα.

Άσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Άσκηση 1 Ψευδοκώδικας Kruskal Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Αντιστοιχίζω τους κόμβους με αριθμούς από το 0 έως το 4. 2Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ - MAY 2018

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα

Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 11 Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα 11.1 Ιστορία - Εισαγωγή Η Συλλογιστική του Αριστοτέλη αποτέλεσε την πρώτη προσπάθεια θεμελίωσης της λογικής και των μαθηματικών. Ο Leibni(t)z πρότεινε το εξής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης

Διαβάστε περισσότερα