Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Transcript

1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η μουσική δεν αρέσουν ούτε τα λουλούδια Επιπρόσθετα, θεωρήστε τις πιο κάτω προτάσεις / πιθανά συμπεράσματα. Σ1. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσουν και τα λουλούδια. Σ2. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσει και η μουσική. Σ3. Σε όσους αρέσουν τα λουλούδια δεν αρέσει το τρέξιμο. Σ4. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο δεν αρέσει η τέχνη. Μεταφράστε όλες τις προτάσεις στον προτασιακό λογισμό και για κάθε μια από τις προτάσεις Σ1 Σ4 ελέγξετε κατά πόσο αποτελεί σημασιολογικό επακόλουθο των προϋποθέσεων Π1 Π3 (πίνακες αλήθειας). Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο κάτω ατομικές προτάσεις: Τ: Αρέσει η τέχνη Λ: Αρέσουν τα λουλούδια Τρ: Αρέσει το τρέξιμο Μ: Αρέσει η μουσική Χρησιμοποιώντας αυτές τις ατομικές προτάσεις οι προτάσεις Π1 Π3 και Σ1 Σ4, μεταφράζονται ως εξής: Π1. Τ Λ Π2. Τρ Μ Π3. Μ Λ Σ1. Τρ Λ Σ2. Τ Μ Σ3. Λ Τρ Σ4. Τρ Τ Σημασιολογικό Επακόλουθο 1: Τ Λ, Τρ Μ, Μ Λ Τρ Λ Το επακόλουθο αυτό δεν είναι ορθό. Για παράδειγμα, η πιο κάτω γραμμή του πίνακα αληθείας παρουσιάζει περίπτωση όπου ενώ όλες οι προϋποθέσεις είναι αληθείς το συμπέρασμα είναι ψευδές. Τ Λ Τρ Μ Τ Λ Τρ Μ Μ Λ Τρ Λ F F Τ T Τ T T F Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 1 από 7

2 Σημασιολογικό Επακόλουθο 2: Τ Λ, Τρ Μ, Μ Λ Τ Μ Το επακόλουθο αυτό είναι ορθό. Μπορούμε να το αποδείξουμε κτίζοντας τον πίνακα αλήθειας των προτάσεων και παρατηρώντας ότι σε κάθε γραμμή που είναι αληθείς οι προϋποθέσεις του επακόλουθου είναι αληθές και το συμπέρασμα. Σημασιολογικό Επακόλουθο 3: Τ Λ, Τρ Μ, Μ Λ Λ Τρ Το επακόλουθο αυτό δεν είναι ορθό. Για παράδειγμα, η πιο κάτω γραμμή του πίνακα αληθείας παρουσιάζει περίπτωση όπου ενώ όλες οι προϋποθέσεις είναι αληθείς το συμπέρασμα είναι ψευδές. Τ Λ Τρ Μ Τ Λ Τρ Μ Μ Λ Λ Τρ Τ T T T Τ T T F Σημασιολογικό Επακόλουθο 4: Τ Λ, Τρ Μ, Μ Λ Τρ Τ Το επακόλουθο αυτό δεν είναι ορθό. Για παράδειγμα, η πιο κάτω γραμμή του πίνακα αληθείας παρουσιάζει περίπτωση όπου ενώ όλες οι προϋποθέσεις είναι αληθείς το συμπέρασμα είναι ψευδές. Τ Λ Τρ Μ Τ Λ Τρ Μ Μ Λ Τρ Τ T T T T Τ T T F Άσκηση 2 (α) q s (p q) ((p r) (p (q r))) 1. q s προϋπόθεση 2. p q προσωρινή υπόθεση 3. p r προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. q MP 2, 4 6. r MP 3, 4 7. q r i 5, 6 8. p (q r) i (p r) (p (q r)) i (p q) ((p r) (p (q r))) i 2 9 Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 2 από 7

3 (β) p (q r), p r, q p r 1. p (q r) προϋπόθεση 2. p r προϋπόθεση 3. q p προϋπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 5. q r MP 1, 4 6. p i 4 7. q MT 3, 6 8. q e 7 9. r MP 5, r e 2, 4 9 (γ) (p q) r ( (p q)) r 1. (p q) r προϋπόθεση 2. (p q) προσωρινή υπόθεση 3. r προσωρινή υπόθεση 4. (p q) MT 1, 3 5. p προσωρινή υπόθεση 6. q προσωρινή υπόθεση 7. p q i 5, 6 8. e 2,7 9. q i p q i, e 4, r RAA ( (p q)) r i 2 12 (δ) (p q) [(p r) (q r)] p (q r) 1. (p q) [(p r) (q r)] προϋπόθεση 2. p q πρ. υπόθεση (p r) (q r) πρ. υπόθεση 3. p e 2 p r πρ. υπ. q r πρ. υπ. 4. p (q r) i 3 p e 3 p (q r) i 3 5. p (q r) i 4 6. p (q r) e, 2, p (q r) e, 1, 2 6 Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 3 από 7

4 (ε) (p q) ( p q) p ( p q) 1. (p q) ( p q) προϋπόθεση 2. p προσωρινή υπόθεση 3. p q i 2 4. p q ΜP 1, 3 5. p e 4 6. p q i 5 7. p ( p q) i 2 6 Άσκηση 3 Θεωρήστε τον τελεστή φ ψ ο οποίος ορίζεται ως φ ψ (φ ψ) (ψ φ). Να προτείνετε κανόνες εισαγωγής και απαλοιφής του τελεστή αυτού και να δείξετε ότι, δεδομένου του ορισμού φ ψ (φ ψ) (ψ φ), οι κανόνες αυτοί μπορούν να παραχθούν από άλλους κανόνες. Λύση Κανόνας εισαγωγής: Απόδειξη: 1. φ ψ προϋπόθεση 2. ψ φ προϋπόθεση 3. (φ ψ) (ψ φ) i 1,2 4. φ ψ 3, εξ ορισμού Κανόνες εξαγωγής: Απόδειξη: 1. φ ψ προϋπόθεση 2. (φ ψ) (ψ φ) 1, εξ ορισμού 3. φ ψ e 1 και 1. φ ψ προϋπόθεση 2. (φ ψ) (ψ φ) 1, εξ ορισμού 3. ψ φ e 1 Άσκηση 4 Μια πρόταση βρίσκεται σε διαζευκτική κανονική μορφή, DNF, αν είναι της μορφής 1 n, όπου για κάθε i, i = α 1 α m, και κάθε α j είναι είτε μια ατομική πρόταση είτε η άρνηση μιας ατομικής πρότασης. Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 4 από 7

5 (α) Να δείξετε ότι το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας για προτάσεις σε DNF μπορεί να λυθεί σε γραμμικό χρόνο. Τι υπονοεί αυτό για την πολυπλοκότητα μετατροπής μιας οποιασδήποτε πρότασης σε DNF; (β) Να αποδείξετε ότι για κάθε πρόταση με n ατομικές προτάσεις υπάρχει ισοδύναμη πρόταση σε DNF κάθε σύζευξη της οποίας περιέχει n στοιχεία. Λύση Για να είναι μια πρόταση σε DNF, 1 n, ικανοποιήσιμη πρέπει τουλάχιστον ένα από τα i να μπορεί να πάρει την τιμή true, δηλαδή, να είναι ικανοποιήσιμο. Ένας όρος i = α 1 α m είναι ικανοποιήσιμος αν και μόνο αν δεν εμφανίζει καμιά ατομική πρόταση και θετικά και αρνητικά. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, αν i = α 1 α m και α i = p α j = p, τότε i = p p = F = F. Στην αντίθετη περίπτωση, ανάθεση της τιμής T στις ατομικές προτάσεις που εμφανίζονται θετικά και της τιμής F στις ατομικές προτάσεις που εμφανίζονται αρνητικά, κάνουν την πρόταση αληθή. Επομένως, για να ελέγξουμε κατά πόσο μια πρόταση σε DNF είναι ικανοποιήσιμη, ξεκινούμε μια διάσχιση στους όρους της. Μόλις εντοπίσουμε κάποιο όρο που είναι ικανοποιήσιμος σταματούμε και απαντούμε ότι η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη. Αν κανένας όρος της DNF πρότασης δεν είναι ικανοποιήσιμος, τότε απαντούμε ότι η πρόταση δεν είναι ικανοποιήσιμη. Η απόφαση κατά πόσο κάποιος όρος είναι ικανοποιήσιμος λαμβάνεται με βάση την ύπαρξη ή όχι ατομικής πρότασης που εμφανίζεται θετικά και αρνητικά στον όρο. Προφανώς, η διάσχιση αυτή, στη χείριστη περίπτωση θα φτάσει στο τέλος της πρότασης και ο αλγόριθμος έχει χρόνο εκτέλεσης Ο(n) όπου n το μήκος της πρότασης. Αφού το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας έχει εκθετικό χρόνο εκτέλεσης, το πιο πάνω γεγονός υπονοεί ότι η μετατροπή μιας πρότασης σε DNF έχει εκθετικό χρόνο εκτέλεσης. (β) Έστω μια πρόταση φ η οποία περιέχει n ατομικές προτάσεις. Αν θεωρήσουμε τον πίνακα αληθείας της πρότασης και συγκεκριμένα τις γραμμές στις οποίες είναι αληθής τότε παρατηρούμε ότι η πρόταση είναι αληθής μόνο αν αναθέσουμε στις ατομικές προτάσεις τις λογικές τιμές που βρίσκονται στις γραμμές αυτές. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε την πρόταση σε DNF. Για παράδειγμα, πρόταση q (p r) είναι αληθής στην τρίτη, τέταρτη και έβδομη γραμμή του πίνακα αληθείας της. p q r q (p r) T T T F T T F F T F T T T F F T F T T F F T F F F F T T F F F F Επομένως μπορούμε να δείξουμε ότι η φ είναι ισοδύναμη με την πρόταση (p q r) (p q r) ( p q r) H αυστηρή απόδειξη του γεγονότος αυτού μπορεί να γίνει με επαγωγή. Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 5 από 7

6 Άσκηση 5 Να επιδείξετε την εκτέλεση του αλγόριθμου Satisfy_Horn για να αποφασίσετε την ικανοποιησιμότητα των πιο κάτω προτάσεων: (α) ((p q w) ) (t ) (r p) (T r) (T q) (u s) (T u) (β) (Τ q) (T s) (w ) (p q s ) (v s) (T r) (r p) (γ) (Τ q) (T s) (w ) (p q s v) (v s) (T r) (r p) Σε περίπτωση ικανοποιήσιμης πρότασης να δώσετε ανάθεση τιμών στις ατομικές προτάσεις της που να την κάνει αληθή. Λύση (α) ((p q w) ) (t ) (r p) (T r) (T q) (u s) (T u) Βήμα 1: Μάρκαρε όλα τα r (T r) ((p q w) ) (t ) ( r p) (T r ) (T q) (u s) (T u) Βήμα 2: Mάρκαρε όλα τα q (T q) ((p q w) ) (t ) ( r p) (T r ) (T q ) (u s) (T u) Βήμα 3: Mάρκαρε όλα τα u (T u) ((p q w) ) (t ) ( r p) (T r ) (T q ) ( u s) (T u ) Βήμα 4: Mάρκαρε όλα τα p ( r p) (( p q w) ) (t ) ( r p ) (T r ) (T q ) (u s) (T u ) Βήμα 5: Mάρκαρε όλα τα s ( u s) (( p q w) ) (t ) ( r p ) (T r ) (T q ) (u s ) (T u ) Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη για τις πιο κάτω τιμές των ατομικών προτάσεων που την απαρτίζουν: [p] = [q] = [r] = [u] = [s] = T [w] = [t] = F (β) (Τ q) (T s) (w ) (p q s ) (v s) (T r) (r p) Βήμα 1: Mάρκαρε όλα τα q (T q) (Τ q ) (T s) (w ) (p q s ) (v s) (T r) (r p) Βήμα 2: Mάρκαρε όλα τα s (T s) (Τ q ) (T s ) (w ) (p q s ) (v s ) (T r) (r p) Βήμα 3: Mάρκαρε όλα τα r (T r) (Τ q ) (T s ) (w ) (p q s ) (v s ) (T r ) ( r p) Βήμα 4: Mάρκαρε όλα τα p ( r p) (Τ q ) (T s ) (w ) ( p q s ) (v s ) (T r ) ( r p ) Εντοπίζουμε τον όρο p q s και συμπεραίνουμε ότι η πρόταση δεν είναι ικανοποιήσιμη αφού η πρόταση Τ αποτελεί αντίφαση. (γ) (Τ q) (T s) (w ) (p q s v) (v s) (T r) (r p) Βήμα 1: Mάρκαρε όλα τα q (T q) Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 6 από 7

7 (Τ q ) (T s) (w ) (p q s v) (v s) (T r) (r p) Βήμα 2: Mάρκαρε όλα τα s (T s) (Τ q ) (T s ) (w ) (p q s v) (v s ) (T r) (r p) Βήμα 3: Mάρκαρε όλα τα r (T r) (Τ q ) (T s ) (w ) (p q s v) (v s ) (T r ) ( r p) Βήμα 4: Mάρκαρε όλα τα p ( r p) (Τ q ) (T s ) (w ) ( p q s v) (v s ) (T r ) ( r p ) Βήμα 5: Mάρκαρε όλα τα v ( p q s v) (Τ q ) (T s ) (w ) ( p q s v ) ( v s ) (T r ) ( r p ) Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη για τις πιο κάτω τιμές των ατομικών προτάσεων που την απαρτίζουν: [p] = [q] = [r] = [s] = [v] = T [w] = F Λύσεις 1 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 7 από 7