Επαλληλία-Υπέρθεση Κυμάτων. Επαλληλία (υπέρθεση) Κυμάτων. Επαλληλία (Υπέρθεση) Κυμάτων. Επαλληλία: Συμβολή κυμάτων. Συμβολή αρμονικών κυμάτων

Transcript

1 Γραμμικά φαινόμενα μηχανικών κυμάτων Επαηία-Υπέρθεση Κυμάτων Υπέρθεση (επαηία) κυμάτων (superpositio) Συμβοή (χωρική) κυμάτων (iterferece) (stadig waves) Κανονικοί τρόποι ταάντωσης (ormal modes) Διακροτήματα (beats): «συμβοή» στον χρόνο Κυματικός Συντονισμός Σύνθεση κυμάτων Επαηία (Υπέρθεση) Κυμάτων Επαηία (υπέρθεση) Κυμάτων Όταν i κύματα y i (x,t) (i=..) κινούνται στο ίδιο (γραμμικό) μέσο, η συνιστάμενη κυματική διαταραχή y(x,t) περιγράφεται από το άθροισμα των κυματοσυναρτήσεων των i κυμάτων: y(x,t)=σ i y i (x,t), για κάθε (x,t) y (x,t ) y (x,t ) y(x,t )=y (x,t )+ y (x,t ) y(x,t )=y (x,t )+ y (x,t ) Όταν δύο ή περισσότερα γραμμικά κύματα κινούνται στο ίδιο μέσο, η οική μετατόπιση των σημείων του μέσου ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των μετατοπίσεων που προκαεί κάθε κύμα στα υπό μεέτη σημεία. y(x,t 3 )=y (x,t 3 )+ y (x,t 3 ) y(x,t 4 )=y (x,t 4 )+ y (x,t 4 ) Επαηία: Συμβοή κυμάτων Συμβοή αρμονικών κυμάτων y(x,t )=y (x,t )+ y (x,t ) y(x,t )=y (x,t )+ y (x,t ) y(x,t 3 )=y (x,t 3 )+ y (x,t 3 ) y(x,t 4 )=y (x,t 4 )+ y (x,t 4 ) Συνέπεια της αρχής της επαηίας: Γραμμικά κύματα (παμοί) «περνούν το ένα μέσα από τοάο» δίχως να αηεπιδρούν (αάξουν σχήμα) y y = x υ t y( x, t) = A0si( kx ωt) yxt (, ) = y( xt, ) + y( xt, ) y( x, t) = A0si( kx ωt φ) 0 [ ω i( ω φ) ] yxt (, ) = A si( kx t) + s kx t a b a+ b si a+ si b= cos si φ φ yxt (, ) = A0 cos si kx ωt

2 Συμβοή αρμονικών κυμάτων y( x, t) = A0si( kx ωt) φ φ A0 cos si kx ωt y( x,) t = A0 si( kx ωt φ) Καταστρεπτική / Ενισχυτική Συμβοή y A0 cos φ φ = si kx ωt y και y είναι ίδια φ=π, =0,,. ενισχυτική συμβοή φ y = A cos : 0...A φ=(+)π, =0,, καταστρεπτική συμβοή Συμβοή ηχητικών κυμάτων Ενισχυτική συμβοή: Δr = r r = Καταστρεπτική συμβοή: Δr = r r = ( + ) πηγή: ηχείο Διαφορά διαδρομής Δr αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης φ Δr = φ π δέκτης: αυτί y( x, t) A si( kx t) y( x, t) = A0 si( kx+ ωt) = 0 ω ( ) v v t=0 [ si( ] A kx)cos( ωt) si α± β = si α cos β ± cos α si β [ ] Asi( kx) cos( ωt) [ ] y = Asi( kx) cos( ωt) Κόμβος, Δεσμός (Node): σημεία μηδενικού πάτους Αντίδεσμος, Κορυφή, Κοιία (Atiode): σημεία μέγιστου πάτους

3 Asi( kx) cos( ωt) Πάτος στάσιμου κύματος: Asi( kx) Μέγιστο πάτος Α στους αντικόμβους όπου: π si kx = kx = ( Ν + ) x = ( Ν + ) 4 Μηδενικό πάτος στους δεσμούς όπου: si kx = 0 kx = Νπ x = Ν Διάδοση ενέργειας;;; y( x, t) = A0si( kx ωt) y( x, t) = A0si( kx+ ωt) [ k ] Asi( x) cos( ωt) Κανονικοί τρόποι (ιδιοκαταστάσεις) ταάντωσης Κανονικοί τρόποι (ιδιοκαταστάσεις) ταάντωσης Κυματοσυνάρτηση: yxt (, ) = Asi( kx) cos( ωt) Συνοριακές συνθήκες: y( 0, t) = y( L, t) = 0 si( kl) = 0 kl= π L =, =,,3... υ υ f = = = f L, υ = F μ υ υ f = = = f L Κανονικοί τρόποι (ιδιοκαταστάσεις) ταάντωσης σε αέρια υ υ f = = = f L

4 Συντονισμός Διακροτήματα (Beats) Τα φαινόμενα συμβοής που έχουμε δει αναφέρονταν σε κύματα ίδιας συχνότητας (χωρική συμβοή) Κατά την υπέρθεση κυμάτων διαφορετικών συχνοτήτων θα έχουμε σε δεδομένο σημείο x συμβοή η οποία θα είναι καταστρεπτική ή ενισχυτική ανάογα με την χρονική στιγμή t Όταν δύο κύματα παραπήσιας συχνότητας ω ~ω συμβάουν, δημιουργούν μία κυματομορφή το πάτος της οποίας σε σημείο x-μεταβάεται περιοδικά με τον χρόνο. Το μέγιστο πάτος αυτής της περιοδικής μεταβοής ονομάζεται διακρότημα. Η συχνότητα διακροτήματων είναι δω=(ω -ω ) x = 0 y(0, t) = A0cos( π ft) y(0,) t = A0cos(π ft) Διακροτήματα ( cosπ cosπ ) y + y = A ft+ f t 0 Διακροτήματα f f f + f = y A0 cos π t cos π t f f f+ f A0 cos π t cos π t α β α+ β cosα + cosβ = cos cos Διακροτήματα Παραδείγματα Τα μεγάφωνα του σχήματος είναι συνδεμένα με την ίδια πηγή. Παρατηρητής ξεκινάει από το σημείο Ο και κινείται παράηα με την ευθεία που ενώνει τα δύο ηχεία. ΣτοσημείοΡοπαρατηρητής αντιαμβάνεται το πρώτο εάχιστο της έντασης του ήχου. Βρείτε την συχνότητα του παραγόμενου ήχου Iterferece aimatio f f f + f = y A0 cos π t cos π t 330Hz 330Hz και 33Hz 330Hz και 340Hz Δύο κύματα με κυματοσυναρτήσεις y =(4cm)si(3x-t) και y =(4cm)si(3x+t) συγκροτούν στάσιμο κύμα. (a) Βρείτε την μέγιστη μετατόπιση της συνισταμένης κυματικής διαταραχής στο x 0 =.3cm (b) Υποογίστε θέση δεσμών και αντιδεσμών [ ] y = Asi( kx) cos( ωt)

5 Μη αρμονικά κύματα θ. Fourier Ανάυση Fourier: Φάσμα συχνοτήτων yt () = yt ( + T) [ π Β π ] yt ( ) = Asi( ft) + cos( ft) f = f = T yt () = yt ( + T) [ ω Β ω ] y( t) = A si( t) + cos( t) ω = ω = π = π f T y = A + Β f Σύνθεση Fourier: Τετραγωνικός παμός Τριγωνομετρικός κύκος [ ω Β ω ] yt ( ) = Asi( t) + cos( t), =,3,5,7,...(i+ ), Τετραγωνικός παμός Πριονωτός παμός

6 Κυματομάδα με ποές συνιστώσες Τετραγωνικός παμός Κυματομάδα με ποές συνιστώσες Πριονωτός παμός