ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ελεύθερο εκπαιδευτικό λογισμικό - Επίλυση ανισώσεων»

Transcript

1 ΕΣΠΕΡΙΝΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΣΧ. ΕΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑ: Project ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κώστας Τσέλιος, Κώστας Καραλιάς ΤΑΞΗ: Α Λυκείου ΟΜΑΔΕΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΜΑΔΑ: 1η ΟΜΑΔΑ: 2η Γιάννου Φρειδερίκη (Χειριστής Η/Υ) Ζάρπου Θεοδότα (Γραμματέας) Σαλπιγγίδου Δέσποινα (Γραμματέας) Μπούσιος Βασίλειος (Χειριστής Η/Υ) Στεργιοπούλου Αγνή (Χειριστής Η/Υ) Χαστάς Εμμανουήλ (Συντονιστής) Τάσιου Μαίρη (Χειριστής Η/Υ) Χουσενι Ροναλντ (Χειριστής Η/Υ) Τσιτσιπάνη Ελένη (Συντονιστής) ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ελεύθερο εκπαιδευτικό λογισμικό - Επίλυση ανισώσεων» Περίληψη Στο πρώτο μέρος έγινε έρευνα και καταγραφή ελεύθερου εκπαιδευτικού λογισμικού για τα μαθηματικά και συγκεκριμένα για το πεδίο της επίλυσης ανισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθμού. Επιλέχτηκαν και μελετήθηκαν ως προς την επίλυση ανισώσεων το ελεύθερο πακέτο Microsoft Mathematics 1 (v.4) και το Geogebra 2 Στο δεύτερο μέρος έγινε κατασκευή λογισμικού με τη μορφή υπολογιστικού φύλλου στο Excel για την διερεύνηση και επίλυση (αλγεβρικής και γεωμετρικής) των ανισώσεων πρώτου βαθμού της μορφής α x+β > 0, α x+β 0, α x+β < 0, α x+β 0 και δευτέρου βαθμού της μορφής α x 2 +β x+γ > 0, α x 2 +β x+γ 0, α x 2 +β x+γ < 0 και α x 2 +β x+γ 0 1 Ομάδα 1η 2 Ομάδα 2η

2 Α ΜΕΡΟΣ Ελεύθερο εκπαιδευτικό λογισμικό Εισαγωγή Το ελεύθερο λογισμικό [I.1],[I.2] όπως ορίζεται από το FSF (Free Software Foundation [I.3]), είναι λογισμικό που μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αντιγραφεί, μελετηθεί, να αναδιανεμηθεί χωρίς περιορισμό και σε πολλές περιπτώσεις μερικώς να τροποποιηθεί. Το εμπορικό λογισμικό είναι το λογισμικό που πωλείται για κέρδος Με τον όρο Λογισμικό ανοικτού κώδικα εννοείται λογισμικό του οποίου ο πηγαίος κώδικας διατίθεται ελεύθερα σε αυτούς που θέλουν να τον εξετάσουν, ή και να τροποποιήσουν η να το χρησιμοποιήσουν σε άλλες εφαρμογές Το ελεύθερο και το ανοιχτό λογισμικό ή λογισμικό ανοιχτού κώδικα δεν είναι έννοιες ταυτόσημες (Richard Stallman [Ι.4], [I.5]). Σε γενικές γραμμές το λογισμικό ανοικτού κώδικα δεν σημαίνει απαραίτητα δωρεάν λογισμικό, ούτε ελεύθερο λογισμικό (σύμφωνα με τον ορισμό που δίνει στο ελεύθερο λογισμικό το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού), αλλά αναφέρεται κυρίως στην ελευθερία του κάθε χρήστη να εξετάσει και να χρησιμοποιήσει την γνώση και τις δυνατότητες που του προσφέρει ο κώδικας προγραμματισμού. Σύμφωνα με το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού, οι άδειες χρήσης ελεύθερου λογισμικού πρέπει να περιλαμβάνουν κάποιες από τις εξής ελευθερίες: Ελευθερία 0: Ελευθερία χρήσης του προγράμματος για οποιονδήποτε σκοπό. Ελευθερία 1: Ελευθερία μελέτης και τροποποίησης του προγράμματος. Ελευθερία 2: Ελευθερία αντιγραφής του προγράμματος. Ελευθερία 3: Ελευθερία βελτίωσης του προγράμματος και επανέκδοσης του, προς το συμφέρον της κοινότητας των χρηστών. Οι ελευθερίες 1 και 3 προϋποθέτουν την πρόσβαση των χρηστών στον πηγαίο κώδικα του λογισμικού.

3 Το εκπαιδευτικό λογισμικό Το εκπαιδευτικό λογισμικό (Ε.Λ.) αποτελεί διδακτικό υλικό και μέσο που χρησιμοποιείται στη μαθησιακή και διδακτική διαδικασία και ανεξάρτητα από τον τρόπο χρήσης του, ο ρόλος του είναι να υποστηρίζει τη διδασκαλία και τη μάθηση, ώστε να επιτευχθούν συγκεκριμένοι μαθησιακοί στόχοι (Herrlich κ.ά., 2003 [1]). Σήμερα και στο πλαίσιο της εισόδου των νέων τεχνολογιών στην εκπαίδευση παρατηρείται έντονη παραγωγή Ε.Λ., του οποίου οι κατασκευαστές διατείνονται ότι μπορούν να υποστηρίξουν το διδακτικό έργο των δασκάλων και των νηπιαγωγών, με χρήση τόσο στο σχολείο όσο και στον ιδιωτικό τους χώρο (Κουστουράκης κ.ά., 2000 [2]). Όμως, είναι κοινώς αποδεκτή παραδοχή ότι το ποιοτικό Ε.Λ. σπανίζει και μάλιστα διεθνώς (Πρέζας, 2003 [4], Παπαδόπουλος, 2004 [3]). Με το εκπαιδευτικό λογισμικό [Ι.4] επιδιώκεται η αξιοποίηση των δυνατοτήτων που προσφέρουν οι τεχνολογίες της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας (διασύνδεση της πληροφορίας, πολλαπλή αναπαράσταση της πληροφορίας, διερεύνηση, πειραματισμός, κ.λπ.) για τη δημιουργία ενός πλούσιου, ελκυστικού και προκλητικού μαθησιακού περιβάλλοντος που θα ευνοεί τη διερευνητική, την ενεργητική και τη δημιουργική μάθηση. Επιδιώκεται δηλαδή, το Ε.Λ. να αποτελέσει ένα επιπλέον μέσο για την επίτευξη των στόχων που θέτουν τα Π.Σ. και για την ποιοτική βελτίωση της διαδικασίας διδασκαλίας και μάθησης. Ειδικότερα, το εκπαιδευτικό λογισμικό αναμένεται να συμβάλει, στη φιλικότερη, ελκυστικότερη, πλουσιότερη και πολύπλευρη παρουσίαση της ύλης, στη βιωματική προσέγγιση της γνώσης, στην ενεργοποίηση του μαθητή μέσα από δημιουργικές δραστηριότητες, πειραματισμό και διερεύνηση, στη συμπύκνωση πολλών μακροσκελών κειμένων σε οπτικοακουστικά μηνύματα με μεγάλη περιεκτικότητα πληροφορίας, στη μείωση του χρόνου που αφιερώνει ο μαθητής και του κόπου που καταβάλλει για την αφομοίωση της ύλης-περιεχομένου, στην προώθηση της συνεργατικής αλλά και της εξατομικευμένης μάθησης (οι μαθητές στο πλαίσιο κοινών δραστηριοτήτων μαθαίνουν να συνεργάζονται αλλά και ο κάθε μαθητής ξεχωριστά μπορεί να ακολουθήσει τους δικούς του ρυθμούς μάθησης)

4 Ελεύθερο εκπαιδευτικό λογισμικό για την άλγεβρα της Α Λυκείου Επιλέχθηκαν και εγκαταστάθηκαν τα παρακάτω ελεύθερα λογισμικά 1. Microsoft Mathematics Γνωστικό Αντικείμενο: Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία Βαθμίδα: Γυμνάσιο Λύκειο Τριτοβάθμια εκπαίδευση Γλώσσα: Αγγλικά 2. Microsoft Mathematics Add-In for Word and OneNote Γνωστικό Αντικείμενο: Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία Βαθμίδα: Γυμνάσιο Λύκειο Τριτοβάθμια εκπαίδευση Γλώσσα: Αγγλικά 3. Geogebra Γνωστικό Αντικείμενο: Μαθηματικά Βαθμίδα: Γυμνάσιο Λύκειο Γλώσσα: Ελληνικά, Αγγλικά Με τα παρακάτω έγινε μια πρώτη επαφή με την λειτουργία τις δυνατότητες και την χρησιμότητά του εκπαιδευτικού λογισμικού Microsoft Mathematics Χαρακτηριστικά του προγράμματος Τίτλος: Γνωστικό Αντικ.: Βαθμίδα: Microsoft Mathematics Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία Γυμνάσιο, Λύκειο, Τριτοβάθμια εκπαίδευση

5 Γλώσσα: Αγγλικά Η λήψη του προγράμματος έγινε από την διεύθυνση [I.6] Σύντομη περιγραφή του Λογισμικού από την Microsoft : Επισκόπηση Το Microsoft Mathematics παρέχει μια σειρά από μαθηματικά εργαλεία που βοηθούν τους μαθητές να ώστε η σχολική εργασία να γίνεται γρήγορα και εύκολα. Με το Microsoft Mathematics, οι μαθητές μπορούν να μάθουν να επιλύουν εξισώσεις βήμα-βήμα όπως και να κατανοήσουν καλύτερα θεμελιώδεις έννοιες στην άλγεβρα, γεωμετρία, τριγωνομετρία, φυσική, χημεία, και μαθηματικό λογισμό. (* Η μετάφραση από τα Αγγλικά έγινε από την 1η ομάδα του Project) Το Microsoft Mathematics περιλαμβάνει μια πλήρη αριθμομηχανή σε γραφικό περιβάλλον που είναι σχεδιασμένη για να λειτουργεί ακριβώς όπως μια αριθμομηχανή χειρός. Υπάρχουν πρόσθετα εργαλεία μαθηματικών που βοηθάνε στην μελέτη των τριγώνων, την επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, συστημάτων εξισώσεων κ.λ.π. Υποστηρίζει δισδιάστατα και τρισδιάστατα γραφήματα, ώστε να απεικονίζονται τα προβλήματα που επιλύονται. Υποστηρίζει την αναγνώριση χειρογράφου προβλήματος και το μετατρέπει προς επίλυση, σε ψηφιακή μορφή. Για μεγαλύτερη ευκολία, οι χρήστες θα βρουν περισσότερους από 100 έτοιμους τύπους και εξισώσεις στην βιβλιοθήκη του προγράμματος. Περιλαμβάνει εργαλείο μετατροπής μονάδων όπου οι μαθητές μπορούν εύκολα να μετατρέψουν τις μονάδες μέτρησης, συμπεριλαμβανομένου του μήκους, εμβαδού, όγκου, βάρους, θερμοκρασίας, πίεσης, ενέργειας, δύναμης, ταχύτητας και χρόνου. Απαιτήσεις συστήματος Υποστηριζόμενα λειτουργικά συστήματα: Windows 7, Windows Server 2003 Service Pack 2, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2008 Service Pack 2, Windows Vista Service Pack 2, Windows XP Service Pack

6 Θα πρέπει να είναι εγκατεστημένος ο NET Framework 3.5 SP1, αν δεν είναι εγκατεστημένος η λήψη του είναι δωρεάν. Επεξεργαστής του υπολογιστή 500 MHz Pentium ή ισοδύναμος (το ελάχιστο), ενώ συνιστάται 1 GHz επεξεργαστής Pentium ή ισοδύναμος. Μνήμη 256 MB RAM (το ελάχιστο), ενώ συνιστάται 512 MB ή μεγαλύτερη. Ανάλυση οθόνης 800 x 600, 256 χρώματα τουλάχιστον, ενώ συνιστάται 1024 x bit Κάρτα γραφικών με 64 MB RAM Διαθέσιμος χώρος στο δίσκο 65 MB ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στις δυνατότητες του προγράμματος περιέχεται η επίλυση ανισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθμού Η επίλυση γίνεται αλγεβρικά με δυνατότητα και γραφικής απεικόνισης. Microsoft Mathematics Add-In for Word and OneNote Πρόσθετο για το Word Η λήψη του προγράμματος έγινε από την διεύθυνση [I.7] Εισαγωγή Το συγκεκριμένο πρόγραμμα μέχρι πρόσφατα θα έπρεπε να αγοραστεί. Τελευταία η Microsoft το διανέμει ελεύθερα (δωρεάν) και μάλιστα προσφέρει και ένα πρόσθετο (Add-in) του προγράμματος για το Word. Έχει εντυπωσιακές δυνατότητες και ίσως είναι το καλύτερο δωρεάν πρόγραμμα για την άλγεβρα και με αρκετές δυνατότητες και για την γεωμετρία. Είναι το πιο εύχρηστο από τα αντίστοιχα προγράμματα και το μοναδικό ελεύθερο που λύνει πολλές κατηγορίες ασκήσεων βήμα-βήμα και έχει και επεξηγήσεις. Αντίστοιχο αλλά όχι ελεύθερο είναι και το Algebrator (Μελετήθηκε στο project της Α Λυκείου του Εσπερινού Γενικού Λυκείου Καστοριάς την σχολική χρονιά , Β Τετράμηνο)

7 Περιβάλλον εργασίας Όταν ανοίγουμε για πρώτη φορά το Microsoft Mathematics, εμφανίζονται τα ακόλουθα στοιχεία: 1. Ο Υπολογιστής-Κομπιουτεράκι που περιλαμβάνει ένα αριθμητικό πληκτρολόγιο και τις ακόλουθες ομάδες κουμπιών: Στατιστική, Τριγωνομετρία, Γραμμική Άλγεβρα, Standard, και το κουμπί 'Αγαπημένα'. 2. Η καρτέλα φύλλου εργασίας (Worksheet): Εδώ θα εισάγουμε το πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε και θα εμφανιστεί η αλγεβρική της λύση, τα βήματα επίλυσης (στις περιπτώσεις που υποστηρίζεται αυτή η δυνατότητα) και εδώ ενσωματώνονται και εμφανίζονται τα γραφήματα της άσκησής μας. 3. Η καρτέλα γραφικών απεικονίσεων (Graphing) όπου θα χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία των γραφικών παραστάσεων των προβλημάτων του φύλλου εργασίας.

8 4. Μαθηματικά Εργαλεία (Tools): Στην Κεντρική καρτέλα, στην ομάδα Εργαλεία, υπάρχουν τα κουμπιά για πρόσθετα εργαλεία των μαθηματικών: Επίλυση εξίσωσης (Equation Solver) για μια εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων. Έτοιμοι τύποι και εξισώσεις (Formulas and Equations) που χρησιμοποιούνται συχνά από την επιστήμη και τα μαθηματικά. Επίλυση τριγώνου, βρίσκουμε τα μέτρα των πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου, όταν είναι γνωστές κάποιες πλευρές και γωνίες. Εργαλείο μετατροπής μονάδων των μετρήσεων από ένα σύστημα σε άλλο. 5. Σ αυτό το πεδίο εισάγουμε την άσκησή μας. Η γραφή της μπορεί να γίνει είτε χρησιμοποιώντας τα κουμπιά του Υπολογιστή-Κομπιουτεράκι είτε από το πληκτρολόγιο, είτε χειρόγραφα χρησιμοποιώντας το κουμπί μελάνης (Ink). Δυνατότητες Αναγνώριση χειρόγραφου 2. Γράφουμε την άσκησή μας στο παρακάτω πεδίο. Παρατηρούμε ότι αναγνωρίζεται αυτόματα. 1. Πρώτα πατάμε το κουμπί Ink

9 Επίλυση βήμα βήμα Αυτή η δυνατότητα υπάρχει κυρίως στην επίλυση εξισώσεων. Αν θέλουμε να λύσουμε μια εξίσωση π.χ 2 ου βαθμού όπως την x 2-4x+3=0 Εκτός από την λύση, υπάρχει η δυνατότητα να εμφανίσει βήμα βήμα την διαδικασία επίλυσής της είτε με τους τύπους διακρίνουσας και ριζών, είτε με την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνων. Οι επεξηγήσεις είναι στα αγγλικά, αλλά η διαδικασία είναι εύκολα αντιληπτή και χωρίς καλή γνώση αγγλικών.

10 Επίλυση ανισώσεων α βαθμού με το Microsoft Mathematics 1 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση 2 x 6 > 0 1. Γράφουμε την ανίσωση 2x 6 >0 στο πεδίο εισαγωγής, είτε με το πληκτρολόγιο, είτε με το κομπιουτεράκι, είτε χειρόγραφα πατώντας την μελάνη (Ink) 2. Πατάμε Enter Εμφανίζεται η λύση της ανίσωσης x > 3 Αν θέλουμε και γραφική απεικόνιση της ανίσωσης, πατάμε το plot both sides of this expression in 2D

11 Η εντολή plot both sides of this expression in 2D,εμφανίζει το γράφημα των δυο μελών της ανίσωσης 3 Εμείς θέλουμε το 2x 6 (μπλε ευθεία) να είναι πάνω από το 0 (πράσινη ευθεία). Παρατηρούμε ότι αυτό ισχύει όταν x > 3 Πατώντας στο κουμπί του φύλλου εργασίας (Worksheet) το γράφημα ενσωματώνεται αυτόματα και απεικονίζεται στο κεντρικό φύλλο εργασίας κάτω από την αλγεβρική λύση της ανίσωσης. Πατώντας στο plot this inequality (γράφημα αυτής της ανίσωσης), εμφανίζεται όπως παρακάτω, γραμμοσκιασμένο το ημιεπίπεδο x> 3

12 2 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Θα λύσουμε την άσκηση 5-iii του σχολικού βιβλίου σελ.104. Να λύσετε την ανίσωση 2 x + 1 < 5 Γράφουμε την ανίσωση με την βοήθεια του υπολογιστή του προγράμματος. Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής είναι έτοιμη με την μορφή κουμπιού x. Πατάμε Enter και έχουμε την αλγεβρική λύση της ανίσωσης x > -3 και x < 2. Πατώντας το plot both sides of this expression in 2D έχουμε την γραφική παράσταση των δυο μελών της ανίσωσης y= 2x+1 (μπλέ) και y=5 (πράσινη). Εμείς θέλουμε το 2x+1 να είναι μικρότερο από το 5. Άρα η λύση θα είναι το διάστημα όπου η y= 2x+1 (μπλέ) θα είναι κάτω από την y=5 (πράσινη), δηλ. για x > -3 και x < 2

13 -3 Πατώντας στο plot this inequality (γράφημα αυτής της ανίσωσης), εμφανίζεται όπως παρακάτω, γραμμοσκιασμένο το ημιεπίπεδο x> 3 3 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Θα λύσουμε την άσκηση 2 του σχολικού βιβλίου σελ.104. Για ποιές τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις 3 x-1 < x+5 και 2 x/2 x +1/2 Γράφουμε την ανίσωση με την βοήθεια του υπολογιστή του προγράμματος. Το σύμβολο είναι έτοιμο με την μορφή κουμπιού. Όταν θέλουμε να γράψουμε ένα σύστημα, μεταξύ των σχέσεων γράφουμε το and. Δηλαδή εδώ γράφουμε

14 3x-1<x+5 and 2 x/2 x+1/2 και πατάμε το Enter. Θα εμφανιστεί η λύση x < 3 και x 1. 4 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η ανίσωση 8/x 2/3 > 2 Εμφανίζει την λύση της ανίσωσης x<3 και x>0 * Σημειώνουμε ότι στην λύση της θα πρέπει να διακρίνουμε τις περιπτώσεις x>0 και x<0

15 Επίλυση ανισώσεων β βαθμού με το Microsoft Mathematics 1 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θα λύσουμε το 1ο παράδειγμα του σχολικού βιβλίου σελ.109 Να λυθεί η ανίσωση 2 x 2 3x 2 > 0 Γράφουμε την ανίσωση με την βοήθεια του υπολογιστή του προγράμματος. Το σύμβολο της δύναμης είναι έτοιμο (x 2 ) με την μορφή κουμπιού. Εναλλακτικά για το σύμβολο της δύναμης χρησιμοποιούμε το σύμβολο ^ (Πατημένο το Shift και 6) Θα εμφανιστεί η λύση x < -1/2 ή x 1. Πατώντας το plot both sides of this expression in 2D έχουμε την γραφική παράσταση των δυο μελών της ανίσωσης y=2x 2 3x 2 (μπλέ) και y=0 (πράσινη). Εμείς θέλουμε το 2x 2 3x 2 να είναι μεγαλύτερο από το 0. Άρα η λύση θα είναι το διάστημα όπου η y=2x 2 3x 2 (μπλέ) θα είναι πάνω από την y=0 (πράσινη), δηλ. για x < -1/2 ή x 1. -1/2

16 2 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΕΙΣ* Θα λύσουμε την 2 η -i άσκηση του σχολικού βιβλίου σελ.112 Να απλοποιήσετε την παράσταση 2 x 3x 2 2 2x 3x 2 Θα χρησιμοποιήσουμε την εντολή παραγοντοποίησης Factor. Γράφουμε πρώτα την εντολή Factor που είναι έτοιμη με την μορφή κουμπιού και στη συνέχεια γράφουμε την παράσταση, δηλ. 2 2 factor (x 3x 2) / (2x 3x 2) και πατάμε Enter Θα εμφανιστεί η λύση x1 2x 1 Αν θέλουμε να δούμε αναλυτικά πως έγινε, παραγοντοποιούμε ξεχωριστά τον κάθε όρο του κλάσματος. 2 Τον αριθμητή: factor x 3x 2 2 Τον παρονομαστή: factor 2x 3x 2, πατάμε Enter και έχουμε (x 2)(x 1), πατάμε Enter και έχουμε (x 2)(2x 1) Έτσι καταλαβαίνουμε ότι απλοποιήθηκε ο παράγοντας x 2 και έμεινε x1 2x 1

17 3 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Θα λύσουμε την 1 η εφαρμογή του σχολικού βιβλίου σελ.111 Να βρείτε τις τιμές του x R για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις 2 x 4x 5 0 και 2 x x 6 0 Γράφουμε 2 x 4x 5 0 and 2 x x 6 0 και πατάμε το Enter. Θα εμφανιστεί η λύση x < 5 και x > 3 4 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Θα λύσουμε γραφικά την 3 η άσκηση του σχολικού βιβλίου σελ.117 Να λύσετε την ανίσωση 2 2 (x 1)(x 2)(x 9) 0 Γράφουμε την ανίσωση. Πατώντας το plot both sides of this expression in 2D έχουμε την γραφική 2 2 παράσταση των δυο μελών της ανίσωσης y= (x 1)(x 2)(x 9) (μπλε) και y=0 (πράσινη).

18 2 2 Εμείς θέλουμε το (x 1)(x 2)(x 9) να είναι μεγαλύτερο από το 0. Άρα η λύση θα είναι το 2 2 διάστημα όπου η y= (x 1)(x 2)(x 9) (μπλε) θα είναι πάνω από την y=0 (πράσινη), δηλ. για x ( 3,1) (3, ) ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΗΛΙΚΟ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Άσκηση 7 i του σχολικού βιβλίου σελ.118: Να λύσετε την ανίσωση x 2 0 x1 Εμφανίζεται η αλγεβρική της λύση x<-1 ή x>2. Πατώντας το plot both sides of this expression in 2D έχουμε την γραφική παράσταση των δυο μελών της ανίσωσης από όπου εξάγεται το ίδιο συμπέρασμα.

19 GeoGebra Χαρακτηριστικά του προγράμματος Τίτλος: Geogebra Γνωστικό Αντικ.: Βαθμίδα: Μαθηματικά * Δυναμικά γραφικά, λογιστικά φύλλα Δημοτικό, Γυμνάσιο, Λύκειο, Τριτοβάθμια εκπαίδευση Γλώσσα: Ελληνικά, Αγγλικά Η λήψη του προγράμματος έγινε από την διεύθυνση [I.8] Σύντομη περιγραφή του Λογισμικού από τους κατασκευαστές Markus Hohenwarter and Judith Preiner : Έχει αναπτυχθεί μια κοινότητα χρηστών όπου κάποιος μπορεί να βρει χρήσιμες πληροφορίες γύρω από το πρόγραμμα και να κατεβάσει έτοιμα εκπαιδευτικά έργα προς χρήση. Υπάρχει εγχειρίδιο χρήσης που μεταφράστηκε στα Ελληνικά, όπως και σημειώσεις με παραδείγματα για κάθε περίπτωση. Επισκόπηση (* Η μελέτη του προγράμματος έγινε από την 2η ομάδα του Project) Το πρόγραμμα GeoGebra, είναι ένα δυναμικό μαθηματικό λογισμικό που συνδυάζει Γεωμετρία, Άλγεβρα και λογισμό. Αναπτύσσεται από τον Markus Hohenwarter στο Πανεπιστήμιο Florida Atlantic, για εκείνους που μαθαίνουν και διδάσκουν τα μαθηματικά στα σχολεία. Το πρόγραμμα GeoGebra είναι ένα δυναμικό σύστημα Γεωμετρίας. Μπορείτε να κάνετε τις κατασκευές με τα σημεία, τα διανύσματα, τα τμήματα, τις ευθείες, τις κωνικές τομές, καθώς επίσης και με τις συναρτήσεις, τις

20 οποίες αργότερα μπορείτε να τις αλλάξετε με δυναμικό τρόπο. Επίσης, οι εξισώσεις και οι συντεταγμένες, μπορούν να εισαχθούν άμεσα. Κατά συνέπεια, το πρόγραμμα GeoGebra έχει τη δυνατότητα να εξετάσει τις μεταβλητές για τους αριθμούς, τα διανύσματα, και τα σημεία, υπολογίζει τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα των συναρτήσεων, και προσφέρει τις εντολές όπως τη ρίζα ή το ακρότατο. Οι παρακάτω δύο απόψεις είναι χαρακτηριστικές του προγράμματος GeoGebra: μια έκφραση στο παράθυρο άλγεβρας αντιστοιχεί σε ένα αντικείμενο στο παράθυρο γεωμετρίας και αντίστροφα. Απαιτήσεις συστήματος Θα πρέπει να είναι εγκατεστημένη στον υπολογιστή η μηχανή Virtual Java. Αν δεν είναι τότε κατεβάζουμε από την Sun Microsystems την virtual Java για το Java Runtime Environment. Η τροποποίηση των αρχείων html που δημιουργούνται από το Geogebra μπορεί να γίνει με οποιοδήποτε πρόγραμμα επεξεργασίας ιστοσελίδων, όπως Dreamweaver, Front Page κ.λ.π. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στις δυνατότητες του προγράμματος περιέχεται η επίλυση ανισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθμού Η επίλυση γίνεται αλγεβρικά με δυνατότητα και γραφικής απεικόνισης.

21 Επίλυση ανισώσεων α βαθμού με το GeoGebra Για αλγεβρική επίλυση, από το Μενού -> Προβολή, ενεργοποιούμε το παράθυρο CAS που απαιτείται για την εισαγωγή της ανίσωσης. Η εντολή επίλυσης είναι η solve( ανίσωση ) και πατάμε Enter. Για γραφική επίλυση, στο κάτω μέρος του κεντρικού παραθύρου και στο πεδίο Εισαγωγή γράφουμε πρώτα το ένα μέλος της ανίσωσης και πατάμε Enter. Θα εμφανιστεί το αντίστοιχο γράφημα. Επαναλαμβάνουμε για το δεύτερο μέλος και έχουμε τα γραφήματα των δυο μελών από όπου μπορούμε να εξάγουμε το αποτέλεσμα της ανίσωσης. 1 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση 2 x 6 > 0 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ Η εντολή που γράφουμε στο παράθυρο CAS είναι solve(2x 6>0) Πατώντας Enter εμφανίζει την λύση x>3 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Στο πεδίο Εισαγωγή, γράφουμε το πρώτο μέλος της ανίσωσης 2x-6 πατάμε Enter και μετά γράφουμε το δεύτερο 0 και πατάμε Enter. Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)= 2x-6 και g(x)= 0 Εμείς θέλουμε η 2x 6 (μπλε ευθεία) να είναι πάνω από το 0 (πράσινη ευθεία). Παρατηρούμε ότι αυτό ισχύει όταν x > 3

22 2 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Θα λύσουμε την άσκηση 5-iii του σχολικού βιβλίου σελ.104. Να λύσετε την ανίσωση 2 x +1 < 5 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής είναι η abs( ) Η συνάρτηση της επίλυσης είναι η solve(..) Η εντολή που γράφουμε στο παράθυρο CAS είναι solve(abs(2x+1)<5). Πατώντας Enter εμφανίζει την αλγεβρική λύση της ανίσωσης x > -3 και x < 2.

23 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Στο πεδίο Εισαγωγή, γράφουμε το πρώτο μέλος της ανίσωσης abs(2x+1) πατάμε Enter και μετά γράφουμε το δεύτερο 5 και πατάμε Enter. Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)= 2x+1 και g(x)= 5 Εμείς θέλουμε η 2x +1 (μπλε ευθεία) να είναι κάτω από το 5 (πράσινη ευθεία). Παρατηρούμε ότι αυτό ισχύει όταν x > -3 και x < 2. Επίλυση ανισώσεων β βαθμού με το GeoGebra 1 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θα λύσουμε το 1ο παράδειγμα του σχολικού βιβλίου σελ.109 Να λυθεί η ανίσωση 2 x 2 3x 2 > 0 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ Από το Μενού -> Προβολή, ενεργοποιούμε την CAS που απαιτείται για την εισαγωγή της ανίσωσης και την αλγεβρική επίλυσή της.

24 Η εντολή που γράφουμε στο παράθυρο CAS είναι solve(2x 2 3x 2 > 0) Πατώντας Enter εμφανίζει την λύση x < -1/2 ή x 1. ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Στο πεδίο Εισαγωγή, γράφουμε το πρώτο μέλος της ανίσωσης 2 x 2 3x 2 πατάμε Enter και μετά γράφουμε το δεύτερο 0 και πατάμε Enter. Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις των f(x)= 2x 2 3x 2 και g(x)= 0 Εμείς θέλουμε το 2x 2 3x 2 (μπλε παραβολή) να είναι πάνω από το 0 (πράσινη ευθεία). Παρατηρούμε ότι αυτό ισχύει όταν x < -1/2 ή x 1. 2 ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Άσκηση 3, σχολικού βιβλίου σελ.117: Να λύσετε την ανίσωση 2 2 (x 1)(x 2)(x 9) 0

25 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ Η εντολή που γράφουμε στο παράθυρο CAS είναι solve (x 1)(x 2 2)(x 2 9) 0 Πατώντας Enter εμφανίζει την λύση ( x >-3 και χ<1 ) ή x >3. ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Στο πεδίο Εισαγωγή, γράφουμε το πρώτο μέλος της ανίσωσης Enter, στη συνέχεια το δεύτερο μέλος 0 και πατάμε Enter. Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις των f(x)= 2 2 (x 1)(x 2)(x 9) πατάμε 2 2 (x 1)(x 2)(x 9) και g(x)= Εμείς θέλουμε το (x 1)(x 2)(x 9) να είναι μεγαλύτερο από το 0. Άρα η λύση θα είναι το 2 2 διάστημα όπου η y= (x 1)(x 2)(x 9) (μπλε) θα είναι πάνω από την y=0 (πράσινη), δηλ. για x ( 3,1) (3, ) * Για καλύτερη εμφάνιση του σχήματος, αλλάχθηκε η αναλογία αξόνων. (Άξονας Χ ) : (Άξονας Υ) σε 1:10

26 Β ΜΕΡΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ένα από τα πιο χρήσιμα προγράμματα για την επεξεργασία των μετρήσεων είναι το Excel. Εκτός από πράξεις το πρόγραμμα μπορεί να κάνει γραφήματα και με τη χρήση πλήθους συναρτήσεων που περιέχει αυτοματοποιεί πολύπλοκες υπολογιστικές εργασίες. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Προαπαιτούμενες γνώσεις Μαθηματικά Γνώση λογικών συναρτήσεων, σχολικό βιβλίο Ε.1, σελ. 9 Βασικές γνώσεις ευθείας και γραφικής παράστασής της, από προηγούμενες τάξεις. Της επίλυσης ανισώσεων πρώτου βαθμού, σχολικό βιβλίο 4.1, σελ. 101 Πληροφορική Οι βασικές γνώσεις χειρισμού υπολογιστών. Η λειτουργία του Excel και συγκεκριμένα η εργασία με κελιά, η χρήση πράξεων, γραφημάτων και λογικών συναρτήσεων (IF, ABS, OR, AND ). Α. Σχεδιασμός περιβάλλοντος διεπαφής στο Excel Σε ξεχωριστό φύλλο θα υπάρχει η θεωρία του βιβλίου και για την οποία θα υπάρχει σύνδεσμος στο κεντρικό φύλλο εργασίας. Στο κύριο φύλλο εργασίας θα έχουμε τα παρακάτω Εισαγωγή δεδομένων Έλεγχος δεδομένων Υπολογισμοί και εξαγωγή αποτελεσμάτων Γραφική επίλυση της ανίσωσης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Επιλέγουμε την φορά της ανίσωσης από πτυσσόμενο πλαίσιο Δίνουμε τιμές στα α και β

27 ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αν στα α ή β δεν έχουμε βάλει αποδεκτές τιμές (είναι κενά ή σύμβολα η γενικά δεν είναι αριθμοί), δεν θα ξεκινά ο υπολογισμός. Ο έλεγχος θα γίνει έτσι ώστε να αντιλαμβάνεται το πρόγραμμα αν δεν έχουμε αποδεκτή τιμή είτε μόνο στο α, είτε μόνο στο β είτε και στα δυο και θα εμφανίζεται το αντίστοιχο μήνυμα. Αν τα α και β έχουν αποδεκτές τιμές, τότε θα αναγράφεται η ανίσωση που δημιουργείται προς επίλυση και θα γίνονται οι υπολογισμοί στο υπόλοιπο φύλλο εργασίας. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Δεν θα γίνονται οι υπολογισμοί μέχρι τα α και β να έχουν αποδεκτές τιμές Εκτός των υπολογισμών θα γίνεται και επεξήγηση των βημάτων επίλυσης.

28 Μελέτη περιπτώσεων Στην περίπτωση που α = 0, θα γίνει η διερεύνηση και θα εμφανίζεται το πλήθος των λύσεων. Στην περίπτωση που α = 1, τότε στην γραφή της ανίσωσης αντί 1 x θα εμφανίζεται x Στην περίπτωση που α = -1, τότε στην γραφή της ανίσωσης αντί -1 x θα εμφανίζεται x

29 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ Αν τα α και β έχουν αποδεκτές τιμές, θα γίνεται το γράφημα των δύο μελών της ανίσωσης και θα εξηγείται η γραφική λύση της ανίσωσης. Β. Ανάλυση της κατασκευής ΕΝΤΟΛΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΑΝ IF AND OR ISNUMBER CONCATENATE ABS ROUND Εισαγωγή και επεξεργασία γραφήματος Στους ελέγχους, χρησιμοποιήθηκαν πολλαπλές συναρτήσεις IF σε συνδυασμό με την AND η OR Για να ελέγξουμε αν οι α και β είναι αριθμοί (κελί Κ5) χρησιμοποιήθηκε η παρακάτω εντολή IF(AND(ISNUMBER(H6)=FALSE;ISNUMBER(H7)=FALSE);"Δώστε τιμές στα α και β. Τα α και β πρέπει να είναι αριθμοί"; IF(ISNUMBER(H6)=FALSE; "Δώστε μια τιμή στο α. Το α πρέπει να είναι αριθμός"; IF(ISNUMBER(H7)=FALSE; "Δώστε μια τιμή στο β. Το β πρέπει να είναι αριθμός";""))) όπου Η6 το κελί που γράφουμε το α και H7 το κελί που γράφουμε το β. Η εντολή ISNUMBER ελέγχει αν το αντίστοιχο κελί είναι αριθμός (TRUE) ή όχι (FALSE)

30 Για την καλύτερη εμφάνιση αλφαριθμητικών παραστάσεων χρησιμοποιήθηκε η εντολή CONCATENATE που ενοποιεί ότι είναι γραμμένο στα κελιά που αναφέρεται. Για την σωστή γραφή της ανίσωσης που θα επιλυθεί (κελί Μ7) χρησιμοποιήθηκε η παρακάτω εντολή IF(B5=0;""; IF(AND(B5=1;H6<>1;H6<>-1); CONCATENATE(H6; x ;B3;B4); IF(H6=-1; CONCATENATE("-x";B3;B4); IF(H6=1;CONCATENATE("x";B3;B4);"")))) Το κελί Β5 παίρνει την τιμή 0 αν τα α και β δεν είναι αριθμοί και την τιμή 1 αν είναι αποδεκτές οι τιμές τους. Αν είναι μηδέν τότε σ αυτό το κελί δεν θα εμφανίζεται τίποτα. Το Η6 είναι το κελί που γράφουμε το α, το Β3 περιέχει το β με το πρόσημό του και το Β4 την φορά της ανίσωσης που επιλέχθηκε και το μηδέν. Για την εμφάνιση του γραφήματος έγινε ένας πίνακας τιμών. Το πρώτο μέλος της ανίσωσης θα είναι η ευθεία y = α x + β και το δεύτερο μέλος η ευθεία z = 0 που είναι ο άξονας x x. Αν α 0 και β 0 το γράφημα τις ευθείας δημιουργείται από τα δυο σημεία τομής με τους άξονες. Αν α 0 και β = 0 η ευθεία θα περνά από την αρχή των αξόνων, τότε το ένα σημείο θα είναι το (0,0) και το άλλο σημείο θα προκύπτει από μια τιμή που θα δώσουμε στο y ή x διαφορετική του μηδενός. Αν α = 0 η ευθεία θα είναι η y = β, όπου θα δημιουργείται από δυο σημεία π.χ (-4, β) και (4, β) Για καλύτερη εμφάνιση της ευθείας z = 0 και να είναι πιο εμφανής η γραφική λύση της ανίσωσης δόθηκαν τιμές έτσι ώστε να γίνουν δυο γραφήματα με διαφορετικά χρώματα. Ένα από το - έως το σημείο τομής της ευθείας με τον x x και ένα γράφημα από το σημείο τομής με τον x x έως το + Επίσης ενσωματώθηκε στο γράφημα και εμφανίζεται η τιμή του σημείου τομής με τον x x. Μερικές τιμές που δεν ήταν απαραίτητες αλλά χρησιμοποιήθηκαν επικουρικά και μόνο για την καλύτερη εμφάνιση του γραφήματος επιλέχθηκε να μην είναι ορατές. Το είδος του γραφήματος που επιλέχθηκε είναι Διασποράς με ομαλές γραμμές.

31 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Για την επίλυση των ανισώσεων 2 ου βαθμού της μορφής α x 2 +β x+γ > 0, α x 2 +β x+γ 0, α x 2 +β x+γ < 0 και α x 2 +β x+γ 0, απαιτείται πρώτα η εύρεση των ριζών της εξίσωσης α x 2 +β x+γ = 0. Για τον σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί το λογισμικό που κατασκευάστηκε στο Project της Α Λυκείου του Εσπερινού Γενικού Λυκείου Καστοριάς το Β τετράμηνο του σχολικού έτους [5]. Προαπαιτούμενες γνώσεις Μαθηματικά Γνώση λογικών συναρτήσεων, σχολικό βιβλίο Ε.1, σελ. 9 Βασικές γνώσεις της f(x)=αx 2 +βx+γ και γραφικής παράστασής της, από προηγούμενες τάξεις. Της επίλυσης ανισώσεων δευτέρου βαθμού, σχολικό βιβλίο 4.2, σελ. 106 Πληροφορική Οι βασικές γνώσεις χειρισμού υπολογιστών. Η λειτουργία του Excel και συγκεκριμένα η εργασία με κελιά, η χρήση πράξεων, γραφημάτων και λογικών συναρτήσεων (IF, ABS, OR, AND ). Α. Σχεδιασμός περιβάλλοντος διεπαφής στο Excel Θα έχουμε δυο φύλλα εργασίας. Στο πρώτο θα γίνεται η εύρεση των ριζών και στο δεύτερο η επίλυση της ανίσωσης. 1 ο φύλλο εργασίας Εύρεση ριζών της δευτεροβάθμιας αx 2 +βx+γ = 0 Εισαγωγή δεδομένων (α, β, γ και φορά της ανίσωσης) Έλεγχος δεδομένων Υπολογισμοί και εξαγωγή αποτελεσμάτων (Διακρίνουσα και ρίζες της εξίσωσης - αν υπάρχουν) 2 ο φύλλο εργασίας Επίλυση της ανίσωσης Εισαγωγή δεδομένων από το πρώτο φύλλο (ανίσωση, φορά της ανίσωσης και ρίζες ) Πίνακας προσήμων Υπολογισμοί και εξαγωγή αποτελεσμάτων Γραφική επίλυση

32 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχικά θα χρησιμοποιηθεί το λογισμικό του Project της Α Λυκείου του Εσπερινού Γενικού Λυκείου Καστοριάς το Β τετράμηνο του σχολικού έτους που κατασκευάστηκε για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων και προσαρμόστηκε στις ανισώσεις. Επιλέγουμε την φορά της ανίσωσης από πτυσσόμενο πλαίσιο Δίνουμε τιμές στα α, β και γ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ο έλεγχος δεδομένων γίνεται αυτόματα από το πρόγραμμα στο 1 ο φύλλο εργασίας 3 Αν δεν είναι αποδεκτές οι τιμές των α, β και γ εμφανίζεται μήνυμα σφάλματος και δεν ξεκινά καμιά περαιτέρω ενέργεια. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 1 ο φύλλο εργασίας 3 Δεν θα γίνονται οι υπολογισμοί μέχρι τα α, β και γ να έχουν αποδεκτές τιμές Στο 1 ο φύλλο γίνεται η εύρεση της Διακρίνουσας και των ριζών της αx 2 +βx+γ = 0 Εκτός των αναλυτικών υπολογισμών γίνεται και επεξήγηση των βημάτων επίλυσης. 3 Project A Λυκείου του Εσπερινού ΓΕ. Λ. Καστοριάς, Β τετράμηνο του σχολικού έτους

33 Για την x 2 4x + 3 = 0, θα έχουμε 2 ο φύλλο εργασίας Επίλυση της ανίσωσης Μεταφέρονται τα απαραίτητα δεδομένα από το 1 ο φύλλο εργασίας, η ανίσωση, η Διακρίνουσα και οι ρίζες

34 Δημιουργείται αυτόματα ο πίνακας προσήμων, η λύση της ανίσωσης βάσει του πίνακα προσήμων και η αναλυτική εξήγηση. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ Επιπλέον έχουμε και την γραφική λύση της ανίσωσης με αναλυτική εξήγηση

35 Β. Ανάλυση της κατασκευής ΕΝΤΟΛΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΑΝ IF AND OR ISNUMBER CONCATENATE ABS ROUND Εισαγωγή και επεξεργασία γραφήματος ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Στους ελέγχους, χρησιμοποιήθηκαν πολλαπλές συναρτήσεις IF σε συνδυασμό με την AND η OR Για να ελέγξουμε αν οι α και β είναι αριθμοί (κελί Κ5) χρησιμοποιήθηκε η παρακάτω εντολή IF(AND(ISNUMBER(H6)=FALSE;ISNUMBER(H7)=FALSE);"Δώστε τιμές στα α και β. Τα α και β πρέπει να είναι αριθμοί"; IF(ISNUMBER(H6)=FALSE; "Δώστε μια τιμή στο α. Το α πρέπει να είναι αριθμός"; IF(ISNUMBER(H7)=FALSE; "Δώστε μια τιμή στο β. Το β πρέπει να είναι αριθμός";""))) όπου Η6 το κελί που γράφουμε το α και H7 το κελί που γράφουμε το β. Η εντολή ISNUMBER ελέγχει αν το αντίστοιχο κελί είναι αριθμός (TRUE) ή όχι (FALSE) Για την καλύτερη εμφάνιση αλφαριθμητικών παραστάσεων χρησιμοποιήθηκε η εντολή CONCATENATE που ενοποιεί ότι είναι γραμμένο στα κελιά που αναφέρεται. Για την σωστή γραφή της ανίσωσης που θα επιλυθεί (κελί Μ7) χρησιμοποιήθηκε η παρακάτω εντολή IF(B5=0;""; IF(AND(B5=1;H6<>1;H6<>-1); CONCATENATE(H6; x ;B3;B4); IF(H6=-1; CONCATENATE("-x";B3;B4); IF(H6=1;CONCATENATE("x";B3;B4);"")))) Το κελί Β5 παίρνει την τιμή 0 αν τα α και β δεν είναι αριθμοί και την τιμή 1 αν είναι αποδεκτές οι τιμές τους. Αν είναι μηδέν τότε σ αυτό το κελί δεν θα εμφανίζεται τίποτα. Το Η6 είναι το κελί που γράφουμε το α, το Β3 περιέχει το β με το πρόσημό του και το Β4 την φορά της ανίσωσης που επιλέχθηκε και το μηδέν. Για την εμφάνιση του γραφήματος έγινε ένας πίνακας τιμών. Το πρώτο μέλος της ανίσωσης θα είναι η ευθεία y = α x + β και το δεύτερο μέλος η ευθεία z = 0 που είναι ο άξονας x x. Αν α 0 και β 0 το γράφημα τις ευθείας δημιουργείται από τα δυο σημεία τομής με τους άξονες.

36 Αν α 0 και β = 0 η ευθεία θα περνά από την αρχή των αξόνων, τότε το ένα σημείο θα είναι το (0,0) και το άλλο σημείο θα προκύπτει από μια τιμή που θα δώσουμε στο y ή x διαφορετική του μηδενός. Αν α = 0 η ευθεία θα είναι η y = β, όπου θα δημιουργείται από δυο σημεία π.χ (-4, β) και (4, β) Για καλύτερη εμφάνιση της ευθείας z = 0 και να είναι πιο εμφανής η γραφική λύση της ανίσωσης δόθηκαν τιμές έτσι ώστε να γίνουν δυο γραφήματα με διαφορετικά χρώματα. Ένα από το - έως το σημείο τομής της ευθείας με τον x x και ένα γράφημα από το σημείο τομής με τον x x έως το + Επίσης ενσωματώθηκε στο γράφημα και εμφανίζεται η τιμή του σημείου τομής με τον x x. Μερικές τιμές που δεν ήταν απαραίτητες αλλά χρησιμοποιήθηκαν επικουρικά και μόνο για την καλύτερη εμφάνιση του γραφήματος επιλέχθηκε να μην είναι ορατές. Το είδος του γραφήματος που επιλέχθηκε είναι Διασποράς με ομαλές γραμμές. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Δημιουργήθηκαν δυο φύλλα εργασίας. Στο 1 ο χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό του Project της Α Λυκείου του Εσπερινού Γενικού Λυκείου Καστοριάς το Β τετράμηνο του σχολικού έτους που κατασκευάστηκε για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων και προσαρμόστηκε στις ανισώσεις. Χρησιμοποιήθηκαν οι αντίστοιχες συναρτήσεις στο Excel όπως και στις Ανισώσεις πρώτου βαθμού. Η επίλυση προσαρμόστηκε στην θεωρία του Σχολικού Βιβλίου Κεφ. 4, 4.2, Ανισώσεις 2 ου Βαθμού.

37 Βιβλιογραφία [1] Herrlich M. Tulodziecki, G. (2003). Lerntheoretische und mediandidaktische Grundlagen der Medienverwendung und Mediengestaltung. Hagen: Fernuniversitaet in Hagen. [2] Κουστουράκης, Γ. Παναγιωτακόπουλος, Χ. Κατσίλλης, Γ. (2000). Κοινωνιολογική προσέγγιση του αυτοαξιολογούμενου στρες σε δασκάλους εξαιτίας της εισόδου των Νέων Τεχνολογιών στην εκπαιδευτική διαδικασία. Σύγχρονη Εκπαίδευση, 110, [3] Παπαδόπουλος, Γ. (2004), Έλεγχος ποιότητας εκπαιδευτικού λογισμικού: Ο σχεδιασμός και το έργο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, Διαθέσιμο: material/ict /software-evaluation.zip [4] Πρέζας, Π. (2003). Θεωρίες Μάθησης και Εκπαιδευτικό Λογισμικό. Αθήνα: Κλειδάριθμος. [5] Ερευνητική εργασία Α Λυκείου Εσπερινού ΓΕ.Λ. Καστοριάς. Το λογισμικό «Ιδεοκατασκευές». Κριτική θεώρηση, Επιστημονικό Βήμα, τ. 12, - Σχ. έτος , Β Τετράμηνο Ιστοσελίδες [Ι.1] [Ι.2] [I.3] Free Software Foundation [I.4] προσωπική σελίδα του Richard Stallman [Ι.5] Why "Free Software" is better than "Open Source" του Richard Stallman [Ι.6] Microsoft Mathematics [Ι.7] Microsoft Math. Add-In [Ι.8] GeoGebra Αναρτήθηκε στην ενότητα project της ιστοσελίδας του σχολείου