ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ & ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Ι ΑΒ ΑΓ Α Α Α4 Α ΙΙ Σ Σ Λ 4Σ 5 Λ ΘΕΜΑ Β y Β Σωστή η β) Έστω Σ το υλικό σημείο που Α t=t απέχει d από το άκρο Α Στο A σχήμα βλέπουμε το στιγμιότυπο Σ Δ M Δ x της χορδής μια χρονική t=t που -Α όλα τα υλικά σημεία είναι στιγμιαία ακίνητα Στο μήκος L d L έχουν σχηματιστεί 4 σημεία συνολικά ακίνητα που είναι δεσμοί του στάσιμου κύματος Επειδή το μήκος της χορδής πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ/ όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν, τότε όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα λ L L= λ = λ = m Επιλέγουμε το μέσο Μ ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων πάνω στην χορδή (θέση x=0) που είναι κοιλία του στάσιμου κύματος Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Μ είναι A όπου Α το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν και η σταθερά επαναφοράς ταλάντωσης για όλα τα σημεία είναι D Ισχύει : EM = D ( A ) = DA = 4 mj () L Το σημείο Σ απέχει από την αρχή μέτρησης Μ απόσταση xσ = ( d) =, 5m Το πλάτος του σημείου Σ είναι: π xσ π(, 5) π A' = Aσυν = Aσυν = Aσυν ( π + ) = A λ 4 B

2 () Οπότε EΣ = D( A ) = DA EΣ = mj Β Σωστή η α) Από t=0 έως t=t η πηγή (S)-(Σ) απομακρύνεται από τον ακίνητο ανιχνευτήπαρατηρητή (Σ) με ταχύτητα u ενώ από t=t έως t=t,μετά την ελαστική κρούση με το σκαλοπάτι κινείται προς τον ανιχνευτή με ταχύτητα ίδιου μέτρου u Με την χρήση των δεδομένων της γραφικής : u u f A = 800Hz = f () και f A = 900Hz = f() u+ u u u Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (),() 800Hz u u u = 9u 9u = 8u+ 8u u = () 900Hz u + u 7 Έστω u ' το μέτρο της ταχύτητας του Σ αμέσως μετά την κρούση με το Σ Επειδή το Σ στην ακραία θέση του,στιγμιαία ακίνητο, καταγράφει συχνότητα 4 fa = f < f τότε το Σ έχει αλλάξει φορά κίνησης δηλαδή κινείται προς τα 5 δεξιά 4 u u u Η συχνότητα f A είναι f = A ' ' 5 f = f u u u u u+ u ' = + = 4 = (4) Για την ταχύτητα του Σ αμέσως μετά την κρούση εφαρμόζουμε διατήρηση της ορμής για τα δύο σώματα Σ,Σ (θετική φορά προς τα αριστερά): u u u u pαρχ = pτελ m u+ 0 = m u' m u' m( + ) = m u' u' = = (5) Ελέγχουμε την κινητική ενέργεια του συστήματος ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση K = αρχ ( Σ ) m u ' ' 4 ( ) ( u u K = m ) ( ) u + m u = τελ Σ m m m u + = 8 Διαπιστώνουμε ότι : Kαρχ ( Σ) = Kτελ ( Σ) οπότε η κρούση είναι ελαστική Β Ι Σωστή η γ) Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που επηρεάζουν την κίνηση Γ α του συστήματος T T Στον άξονα περιστροφής της Δ τροχαλίας ασκείται το ολικό βάρος της R τροχαλίας καθώς και μια δύναμη Ο στήριξης με τυχαία διεύθυνση Επίσης T α γ το σώμα Σ δέχεται το βάρος του R καθώς και την κάθετη αντίδραση από T το λείο δάπεδο Το σημείο Γ είναι σημείο του σχοινιού Σ α που συνοδεύει την κίνηση του Σ αλλά και σημείο της περιφέρειας του m g Σ

3 δίσκου Δ Ο δίσκος εκτελεί μόνο στροφική κίνηση οπότε a = aγ = aεπιτρόχιος ( Γ) = aγ d = aγ R() Όμοια για το σημείο Δ a = a = aεπιτρόχιος ( ) = aγ d = aγ R() a a γ R a R 0,6m Από τις σχέσεις (),() έχουμε : = = = = a aγ R a R 0, 4m Δηλαδή a =, 5 a () ΙΙ Σωστή η α) ' ' α) Για τα αβαρή μη εκτατά σχοινιά : T = T και T = T β) Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας είναι : I = mr + mr =, 6kg m Εύρεση α : Θεμελιώδης νόμος για το σώμα Σ : Σ F= m a mg T = m (, 5 a) (4) Θεμελιώδης νόμος για το σώμα Σ : Σ F = m a T = m a (5) Θεμελιώδης νόμος για την τροχαλία: a I Σ τ = I aγ T R T R = I (, 5 T T) R = a R R I, 5 T T = a (6) R Με πρόσθεση κατά μέλη των (4),(5),(6) : I I mg T+ T +,5T T =,5m+ m + a mg + 0,5T =,5m+ m + a R R (7) Από τη σχέση (4) T = mg,5m a 0,5T = 0,5mg 0, 75m (8), 5mg Ο συνδυασμός των (7),(8) δίνει την τιμή : a = Με I, 5m+ m + R αντικατάσταση m a = = = 4 Άρα για την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας, 6, ,5 0,6 από τη σχέση () : a 4 a rad γ = = / R 0, 4 a 0 rad / ΙΙΙ Σωστή η β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας, αφού εκτελεί μόνο dk στροφική κίνηση είναι = ±Σttρ ω όπου ω η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας dt εκείνη τη στιγμή και Σττρ η ολική ροπή που δέχεται η τροχαλία u 6 Αλλά : u = ω R ω = = = 5 rad / και Σ τ τρ = I a γ =,6 0 = 6Ν m R 0, 4 γ =

4 ΘΕΜΑ Γ Η =m (Δ) Α Νερό προς την οικία Α Η=8m Α h (Δ) Z Αντλία h / y=0 Γ Η αντλία μεταφέρει το νερό από το έδαφος σε ύψος H + H = 8+ = 9mκαι προσδίδει σε αυτό κινητική ενέργεια γιατί εξέρχεται από το σωλήνα με ταχύτητα μέτρου u Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για μια στοιχειώδη μάζα dm κατά την μετακίνησή της από το έδαφος μέχρι να εξέλθει του σωλήνα : Wαντλιας + WB = Kτελ Kαρχ Wαντλιας dm g ( H + H) = dm u Wαντλιας = dm g ( H + H) + dm u () Για την ισχύ της αντλίας : dw ανtλιας P= = dm g ( H + H) + dm u () dt dt dt dm dv ρ dm dm Αλλά : Π= Π= = =Π ρ = Au ρ() dt dt ρ dt dt Στη σχέσεις (), () ο παράγοντας dm είναι ο ρυθμός με τον οποίο η αντλία dt μεταφέρει μάζα από το έδαφος στη δεξαμενή (Δ) dwανtλιας Από τις (),() : P= = Au ρ g ( H+ H) + u και με αντικατάσταση: dt P= 40W Γ Σύμφωνα με την εκφώνηση το σπίτι αντλεί νερό με σταθερή παροχή 4 4 A u m Π = = = ενώ η στάθμη του νερού στην δεξαμενή (Δ) παραμένει σταθερή με το νερό εκεί να παρέχεται σταθερά κατά 4 m 4 m Π = A u = π r u = 0 0 = 0 0 Κατά συνέπεια η εισερχόμενη παροχή Π του νερού στην δεξαμενή Δ είναι ίση με την εξερχόμενη παροχή στο σπίτι Π και με την εξερχόμενη παροχή Π στη δεξαμενή

5 ποτίσματος Δ Έστω u η ζητούμενη ταχύτητα m Π =Π +Π 0 0 = 8 0 +Π Π = 0 Π = A u Π 0 u = = = m/ 4 4 A 0 Γ Η στάθμη στην δεξαμενή Δ παραμένει σταθερή γιατί η εισερχόμενη παροχή Π από την δεξαμενή Δ είναι ίση με την εξερχόμενη παροχή από μικρή οπή στο σημείο Ζ Δηλαδή: Π 0 Π =Π Π = A u A = = A = 0,5 4 Z Z Z Z Z uz 4 Γ4 α) Εφαρμόζουμε εξίσωση Bernoulli για ένα σημείο της ελεύθερης επιφάνειας της δεξαμενής Δ και ένα σημείο μπροστά από την εξερχόμενη φλέβα νερού στο σημείο Ζ Επίπεδο αναφοράς για την βαρυτική δυναμική ενέργεια το έδαφος h patm + ρ g h + ρ 0 = patm + ρ g + ρ uz uz = g h uz h = h =, 6m g β) Για το βεληνεκές Smax = uz t έχουμε: h h y = gt = gt t = = 0,6 = 0, 4 Επειδή uz = 4 m/ το βεληνεκές g είναι : Smax = uz t =, 6m γ) Έστω x η απόσταση από το έδαφος μιας πλευρικής μικρής οπής η οποία δίνει το μέγιστο δυνατό βεληνεκές για το ύψος h της δεξαμενής Από το θεώρημα Torricelli η ταχύτητα εκροής είναι u= gh ( x) ενώ ο χρόνος x πτώσης της φλέβας : x = gt t = g Το βεληνεκές σε συνάρτηση με το ύψος x είναι: x S max Smax = g( h x) = 4 x( h x) x,6 x+ = 0() g 4 Για να έχει λύσεις η εξίσωση () πρέπει 0, 6 Smax 0 Smax, 6m() Η τελευταία σχέση δίνει μέγιστο βεληνεκές αυτό που υπολογίσαμε για την οπή στο β h σημείο Ζ για την τιμή του x= = 0,8m= Τελικά το βεληνεκές που α υπολογίσαμε είναι το μέγιστο δυνατό Γ5 ι) Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για ένα σημείο της ελεύθερης επιφάνειας της δεξαμενής Δ και για ένα σημείο Γ μπροστά από την εξερχόμενη φλέβα νερού στον ποτιστικό σωλήνα Επίπεδο αναφοράς για την βαρυτική δυναμική ενέργεια το έδαφος patm + ρ g h + ρ 0 = patm + ρ g 0+ ρ u Γ uγ = g h = = 4 m/ ιι) Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για ένα τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του ποτιστικού σωλήνα που απέχει y από το έδαφος και για το σημείο Γ μπροστά από την

6 εξερχόμενη φλέβα νερού στον ποτιστικό σωλήνα (βρίσκεται στο έδαφος) Επίπεδο αναφοράς για την βαρυτική δυναμική ενέργεια το έδαφος Από την εξίσωση της συνέχειας η ταχύτητα ροής του υγρού μέσα στον ποτιστικό σωλήνα είναι η ταχύτητα εκροής που υπολογίσαμε προηγουμένως, η u Γ, γιατί το εμβαδόν διατομής του σωλήνα είναι σταθερό p+ ρ g y+ ρ uγ = patm + ρ g 0 + ρ uγ 5 4 p = patm ρ g y p = 0 0 y( SI), h 0 y = 0,8m Η γραφική παράσταση είναι η παραπάνω 0 5 0,9x0 5 P (N/m ) 0,8 y (m) ΘΕΜΑ Δ F Ζ T T T α α γ w N T α γ w N Τραχύ επίπεδο Λείο επίπεδο Δ Στο μη λείο επίπεδο ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση, μια ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση a = aγ Rκαι μια στροφική ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση a γ Μεταφορική επιτάχυνση προκαλεί η στατική τριβή Τ που έχει τη φορά του σχήματος Εύρεση a Ισχύει : F = T = N Μεταφορική κίνηση : Σ Fx = ma T= ma () a Στροφική κίνηση: Σ τ = I aγ F R T R = mr F T = m a () R F m Από τις σχέσεις (),() : F= ma a = () a = m Το σχοινί δε γλιστρά, ούτε επίσης ο κύλινδρος στο επίπεδο οπότε αν ξετυλιχθεί σχοινί μήκους ds το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει μετατοπιστεί δεξιά κατά dx = ds Άρα όταν το σημείο Ζ έχει μετατοπιστεί κατά 4m τότε και το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει μετατοπιστεί επίσης κατά 4m Έστω t η χρονική στιγμή για την οποία το κέντρο μάζας έχει τη ζητούμενη ταχύτητα

7 u Από το είδος κίνησης: x x = a t t = t = a Άρα u = a t = = 4 m/ u = 4 m/ Δ Η δύναμη F που ασκούμε εμείς μέσω του νήματος επηρεάζει την στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος γιατί καθορίζει την κάθετη αντίδραση που δέχεται ο κύλινδρος από το επίπεδο Από την ισορροπία στον άξονα y: Σ Fy = 0 F + N w = 0 N = mg F (4) Η οριακή στατική τριβή είναι : Tορ = µ ορ N και από την (4) Tορ = mορ ( mg F) (5) Από τη σχέση () και τη σχέση () η τυχαία στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος F F είναι : T= ma = m = (6) m Για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ο κύλινδρος πρέπει σε κάθε περίπτωση : T T F ( ) F ( ) mg ορ mορ mg F mg F F mg F mg Η μέγιστη τιμή της δύναμης F για ΚΧΟ είναι Fmax = = 0N Δ α) Ο κύλινδρος εισέρχεται στο λείο επίπεδο την t=t με ταχύτητα u = 4 m/, u a γωνιακή ταχύτηταω = = 0 rad / και γωνιακή επιτάχυνση a 0 rad / R = γ R = Στο επίπεδο αυτό καταργείται η στατική τριβή και η μεταφορική οριζόντια κίνηση του κυλίνδρου γίνεται ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα κέντρου μάζας u Η στροφική κίνηση διατηρείται ομαλά επιταχυνόμενη με νέα γωνιακή επιτάχυνση που προκύπτει από τον θεμελιώδη νόμο : ' F rad Σ τ = I aγ T R = mr aγ aγ = aγ = 0 mr Με νέα αρχή μέτρησης των χρόνων την στιγμή εισόδου στο λείο επίπεδο η γωνιακή ταχύτητα ω έχει μέτρο : ω = ω0 + αγ t ω = ω+ αγ t όπου t= Με αντικατάσταση: ω = ω = 80 rad / Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου είναι K= Kmετ + Kστρ = mu + I ω και με αντικατάσταση : K = 88J β) Μεταβάλλεται μόνο η στροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου με ρυθμό : dk dk σt t J =+Σt ω =+ ( F R) ω = + 9 dt dt Δ4 α) Σύμφωνα με την εκφώνηση η δύναμη που ασκούμε στο άκρο Ζ δίνεται από την πρωτοβάθμια ως προς το χρόνο συνάρτηση: F = + t στο SI t t t = t + 8 H μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι η Fmax = 40N την χρονική στιγμή t = t + 8 Αυτή τη χρονική στιγμή μηδενίζεται η κάθετη αντίδραση από το επίπεδο γιατί η δύναμη F είναι αντίθετη του βάρους w= 40N Η γωνιακή επιτάχυνση προκύπτει από τον θεμελιώδη νόμο : F R ( + tr ) ( + t) a = = a = a = 0 +,5 t για t γ I mr γ mr γ t t

8 Η ζητούμενη γραφική παράσταση είναι : 00 α γ (rad/ ) 0 t t t β) Την χρονική στιγμή t=t η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου είναι aγ = 00 rad / Η επιτάχυνση του σημείου Ζ είναι ίση με την εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Λ του σχοινιού που ταυτίζεται με ένα σημείο της περιφέρειας της τροχαλίας Το σημείο αυτό Λ απέχει R από το λείο επίπεδο και βρίσκεται ακριβώς εκεί που ξετυλίγεται το σχοινί Ισχύει: a = a = a ( ) = a R= 00 0, = 0 m/ az = 0 m/ Λ Z επιτρόχιος Λ γ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΗΣ ΚΑΤΣΑΡΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΠΥΡΟΒΟΛΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΧΡΥΣΟΒΕΡΓΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ