ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ. Προθεσµία παράδοσης 16/11/10

Transcript

1 9// ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 3 - η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσµία παράδοσης 6// Άσκηση A) Θεωρούµε x την απόσταση της µάζας m από το σηµείο ισορροπίας της και x, x3 τις αποστάσεις των µαζών m και m3 από το σηµείο ισορροπίας της m, όπως στο Σχήµα. Στη µάζα m ενεργεί το βάρος της m g το οποίο εξουδετερώνεται από την αντίδραση του επιπέδου N (στον κάθετο άξονα) και η δύναµη του x 3 m 3 m 3 g ελατηρίου (στον οριζόντιο άξονα). Εποµένως από το ο Νόµο του Νεύτωνα η εξίσωση κίνησης της µάζας m θα είναι mɺɺ x x ( x x ) () Για τη µάζα m, στον κάθετο άξονα, η αντίδραση του επιπέδου εξουδετερώνει το βάρος και την κάθετη συνιστώσα της τάσης T, N mg + T cosθ ενώ στον οριζόντιο ασκείται η δύναµη του ελατηρίου + ( x x) και η παράλληλη συνιστώσα της τάσης T sinθ Συνεπώς mɺɺ x + ( x x ) + T sin θ () x x N m m Για τη µάζα m3 έχουµε για µικρές γωνίες ταλάντωσης στον κάθετο άξονα T cos θ m3g (3) ενώ στον οριζόντιο mɺɺ x3 T sin θ () m3g Από την (3) βρίσκουµε T και συνεπώς αντικαθιστώντας στις () και (3) cosθ παίρνουµε x3 x mɺɺ x + ( x x) + m3 g tan θ mɺɺ x + ( x x) + m3 g l x3 x mɺɺ 3x3 m3 g tanθ m3 g l g Αντικαθιστώντας τις τιµές των µαζών και τη συνθήκη ω έχουµε τελικά m l m g m g N µ T T g

2 ɺɺ x ω ( 3 x + x ) x 3x ɺɺ x ω + x3 ɺɺ x ω x x ( ) 3 3 B) Σε µορφή πίνακα οι εξισώσεις κίνησης γράφονται 3 x x d 3 x ω x (5) dt x 3 x 3 Εισάγοντας τη γενική µορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντωσης x A cos ω t + φ, i,,3, η (5) γράφεται ως i i ( ) 3ω + ω ω A ω 3ω + ω ω A A3 ω ω + ω η οποία έχει λύσεις όταν 3ω + ω ω 3 det ω ω + ω ω ω ω + ω 3ω ω 3ω + ω ω + ω ω ω ω ω + ω ω + ω ( ) 3ω ( ω ) ( ) 3ω ( + ω + ω ) ω + ω ω ω + ω 5 6 ( ω 3ω ) ω ω ω + ω + ω ω ω ω ω ω + ω ω ω ω ω ω ω ω + ω ω + ω ω ω 7 ω ( ω ω ) ω ω ( ω ω ) + ω ( ω ω ) 7 ( ω ω ) ω ω ω + ω και συνεπώς οι γωνιακές συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι 7 7 ω ω, ω ω.3 ω, ω3 + ω 6.7ω

3 Άσκηση Θεωρούµε ότι το έντοµο κινείται αποµακρυνόµενο από τη νυχτερίδα όπως στο Σχήµα. Επίσης θεωρούµε θετική φορά από την πηγή προς τον παρατηρητή σύµφωνα µε το βιβλίο των Alonso-Finn. Η v b v i συχνότητα f που ακούει ένας παρατηρητής όταν κινείται µε ταχύτηταυ προερχόµενη από µια πηγή που εκπέµπει συχνότητα ταχύτητα υs δίνεται από υ υ f fs υ υ S f S και κινείται µε όπου υ η ταχύτητα του ήχου. Στην περίπτωσή µας µπορούµε να θεωρήσουµε δύο φάσεις στο φαινόµενο Doppler. Κατά την πρώτη, πηγή είναι η νυχτερίδα και παρατηρητής το έντοµο, το οποίο σύµφωνα µε την () δέχεται ήχο συχνότητας υ υi f fb () υ υb Στη δεύτερη φάση παρατηρητής είναι η νυχτερίδα και πηγή το έντοµο το οποίο επανεκπέµπει λόγω ανάκλασης ήχο συχνότητας f. Εδώ η θετική φορά είναι από το έντοµο (πηγή) προς τη νυχτερίδα (παρατηρητή). Η νυχτερίδα σύµφωνα µε την () δέχεται ήχο συχνότητας υ + υb fr f (3) υ + υi Απαλείφοντας την f από τις (),(3) βρίσκουµε υ + υb υ υi fr fb () υ + υ υ υ η οποία επιλυόµενη ως προς υi δίνει f υi υ f i ( υ + υ ) f ( υ υ ) ( υ υ ) + f ( υ + υ ) b b r b r b b b Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα του προβλήµατος παίρνουµε υ i 8.8m/s. Το (-) σηµαίνει πως η ταχύτητα του εντόµου έχει φορά αντίθετη από αυτήν που υποθέσαµε δηλαδή κινείται προς την νυχτερίδα. Άσκηση 3 Α) Σύµφωνα µε το εδάφιο 8.6 του βιβλίου των Alonso-Finn το πλάτος του κύµατος πίεσης είναι Ρ p p. Συνεπώς εδώ P.7 Pa, ω 3π rad/sec, f ω / ( π ) 7 Hz, π υ ω / 3 π / π 3m/s m 3.m λ π / π / π b m, Β) Από παράδειγµα 8.6 Alonso-Finn υ a T όπου a.55. Άρα / 87. o K T v a () 3

4 Γ) Από ρ ρ ρ ξ x κ p ρ ρ ρ / κ / υ Άρα κ ξ παίρνουµε ρ ρ x, p p ρ p µε κ γ p Από Alonso Finn σελ. παίρνουµε κ γ p, υ Που δίνουν ρ ρ γ p p ρ ρ sin( ) + p + x ωt κ υ υ που δίνει 3 ρ.99 g/ m ρ.5 5 g/ m 3 και Άσκηση Η γενική µορφή του στάσιµου κύµατος σύµφωνα µε την.3 του βιβλίου των Alonso και Finn είναι ξ x, t Asin( x) + B cos( x) cos ωt + φ (a) Τα δύο άκρα είναι ελεύθερα συνεπώς ξ (, t) A ( ) ( ) ( ) nπ ξ (, t) Bsin( ) nπ, n, Εποµένως nπ x ξ ( x, t) B cos cos( ωt + φ) Επιπλέον σύµφωνα µε το Σχήµα 3 3,, cos n π t t cos n π ξ ξ n m +, m,,. Η ελάχιστη τιµή είναι η n η οποία ικανοποιείται για ( ) π π π λ λ και αντιστοιχεί σε βασική συχνότητα υ υ f λ όπου υ η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυµάτων στη ράβδο. Μεταξύ των σταθερών σηµείων δεν έχουµε άλλους δεσµούς και έχουµε µέγιστα για x, /,. (b) Έχουµε το ένα άκρο πακτωµένο και το ένα ελεύθερο συνεπώς ξ (, t) B π π ξ (, t) Acos( ) (n + ) (n + ), n,, Εποµένως π x ξ ( x, t) Asin (n + ) cos( ωt + φ) Επιπλέον σύµφωνα µε το Σχήµα π ξ, t sin ( n + ) 5 5

5 η οποία ικανοποιείται για n + 5 m, m,,. Το ελάχιστο n είναι το n 5π π 5π λ λ 5 και αντιστοιχεί στην ελάχιστη συχνότητα υ 5υ f λ Έχουµε ένα επιπλέον δεσµό για x / 5 και µέγιστα για x / 5,3 / 5,. (c) Έχουµε και τα δύο άκρα πακτωµένα συνεπώς ξ (, t) B nπ ξ (, t) Asin( ) nπ, n, Εποµένως nπ x ξ ( x, t) Asin cos ( ωt + φ) Επιπλέον σύµφωνα µε το Σχήµα nπ ξ, t sin 5 5 η οποία ικανοποιείται για n 5 m, m,,. Το ελάχιστο n είναι το n 5 5π π 5π λ λ 5 και αντιστοιχεί στην ελάχιστη συχνότητα υ 5υ f λ Έχουµε 3 επί πλέον δεσµούς για x / 5, / 5,3 / 5 και µέγιστα όταν x /,3 /,5 /,7 /,9 /. (d)σύµφωνα µε το (a) nπ x ξ ( x, t) B cos cos( ωt + φ) και επιπλέον από το Σχήµα 3 3,, cos n π t t cos n π ξ ξ Η οποία ισχύει µόνο για n 6(m + ), m,,, Η ελάχιστη τιµή είναι n 6 6π π 6π λ λ 3 και αντιστοιχεί στην ελάχιστη συχνότητα υ 3υ f λ Έχουµε επί πλέον δεσµούς για x /,5 /,7 /,9 / και µέγιστα όταν x, /, /, 6 /,8 /, /, / Τα στιγµιότυπα φαίνονται στο Σχήµα 5

6 Άσκηση 5 A) Η επιφανειακή πυκνότητα σ g/(*3cm )/3 g/m. Η τάση Τ gr (m/s )/3cm N/3cm/3 Ν/m, εποµένως η δύναµη η οποία τείνει την πλευρά των cm είναι F T cm 6.67N ( ) ( ) /3 gm/ sm Η ταχύτητα v Τ m/ s σ /3 g/ m Η συχνότητα ( ) v n n 5 n n 5 f 9 n n, n, n,,3... a + b s + 9 6s +, όπου κανένα εκ των δύο δεν µπορεί να είναι και µηδέν. Η βασική ιδιοσυχνότητα είναι για n, n, f5/6 3 Hz 3.Hz. B) Οι επόµενες ιδιοσυχνότητες βρίσκονται κατατάσσοντας κατά µέγεθος τα αθροίσµατα9n+ n. n 3 9n n n Η χαµηλότερες είναι για 3, 5,, άρα η 3 η είναι για. ήτοι n, n. 5 Τότε f 5.7Hz 6s v m/ s 6 Από v λf λ m 9.cm. f 5 /6s 5 6

7 Η άµµος συσσωρεύεται σε θέσεις ακινησίας, δηλαδή στις δεσµικές (κοµβικές) γραµµές. Η πλευρά a των cm χωρίζεται σε n µέρη, ενώ η b των 3cm σε n µέρος. Άρα, εκτός από τα πακτωµένα άκρα, η άµµος συσσωρεύεται στην µεσοκάθετο της πλευράς a των cm (στα cm). Άσκηση 6 Για x < < είναι ξ() x ξ sin( x) Για x (ηµιτονοειδής µε αρχή το )., ( ) ( ( )) < < + είναι ξ ( x) asin( x ) + bcos x Αφού το x είναι κόµβος, πρέπει ξ ( ) b, οπότε ξ ( x) asin( x ) ( ) ηµιτονοειδής µε αρχή το, αφού εκεί είναι κόµβος, µε a ρυθµιζόµενο από την συνέχεια της παραγώγου ( dξ/ dx) οπότε ξ x cos a cos a cos, ( ) ( ) ( ) ξ ( ),, ξ( x) ξ cos sin ( ) ( ) ( x ), όπου η συχνότητα ωπ f είναι κοινή, π.χ. sinω t. Για κάθε κοµµάτι, (αντιστοίχως ) είναι () π/ λ(), v() G() / ρ() λ() f λ G / ρ () () () Και τα δύο κοµµάτια αρχίζουν και καταλήγουν σε κόµβο, άρα λ() n() () n(), όπου n () ακέραιοι. λ Εποµένως n n () () G/ ρ G / ρ f n n G/ ρ πρέπει να είναι ακέραιος, () G/ ρ η συνθήκη επιτεύξεως αυτού του στάσιµου κύµατος. Τότε π πn λ πn πn G/ ρ πn G/ ρ G / ρ G / ρ πn ω πf G/ ρ Οπότε, αν ισχύει η συνθήκη (), για < x< είναι f 7

8 nπx πn ξ(,) xt ξ sin sin G/ ρt,, και για < x< + είναι G/ ρ πn G / ρ πn ξ(,) xt ξ,cos( nπ) sin ( x ) sin G/ ρt G/ ρ G/ ρ n όπου cos( nπ ) ( ) ±, αναλόγως της τιµής του n. Εποµένως για < x< + είναι n G / ρ πn G / ρ πn ξ(,) xt ( ) ξ, sin ( x ) sin G/ ρt G/ ρ G/ ρ Άσκηση 7 Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης, είτε να φέρουµε τις εκφράσεις στη µορφή f ( x + υ t) + g( x υ t) οι οποίες γνωρίζουµε ότι είναι λύσεις της κυµατικής, είτε να αντικαταστήσουµε στην κυµατική εξίσωση και να δούµε αν επαληθεύεται. sin( x)cos( a t) cos( x) sin( a t) sin x a t, εποµένως είναι αρµονικό κύµα µε Α) ( ) ταχύτητα a ( + ) ( + ) a 3a t x a t 3x Β), συνεπώς δεν t x a t ( x at) ( at + x) x x a t ( x at) ( at + x) είναι κύµα Γ) ( a abt + ax + b t btx + x ) b, ( a abt + ax + b t btx + x ) t x και συνεπώς είναι κύµα µε ταχύτητα b, αλλά όχι αρµονικό. Άσκηση 8 Α) Η γενική έκφραση της ταχύτητας φάσης των επιφανειακών κυµάτων είναι g λ π T π υ + tanh h π ρλ λ x x x πh e e e Για µικρές τιµές του λ h, x tanh x και επίσης x x x λ e + e e g λ π T π T ρ g λ π + ~ T π ρλ ρλ + π T ρλ καθώς λ T ρgλ ρg T Εποµένως σε αυτό το όριο υ Β) πt ρλ 8

9 dυ d πt d T T υg υ + υ + υ + υ + d d ρλ d ρ ρ T 3 υ + υ + υ υ ρ Άσκηση 9 Έστω x, x, x 3 οι αποµακρύνσεις των µαζών m, m, m 3 από την ισορροπία. A) Οι εξισώσεις κίνησης είναι m d x dt (x x ) m d x dt (x x ) + (x 3 x ) (x + x 3 x ) () m d x 3 dt (x 3 x ) B) Για να βρούµε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης θέτουµε x n ϕ n e iωt, n,,3 και έχουµε αντίστοιχα ( mω )ϕ + ϕ ( mω )ϕ + ( ϕ + ϕ 3 ) ( mω )ϕ 3 + ϕ Η ορίζουσα είναι mω ( ) ( mω ) ( mω ) () (3) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι mω ( m ω 7mω + ) και οι λυσεις της ω, 7 7 m, m () Κατά συνέπεια, οι συχνότητες ταλάντωσης είναι ω, ω ± 7-7 m, ω 3 ± m (5) Οι αρνητικές συχνότητες δεν έχουν φυσική σηµασία. Γ) Για να βρούµε τα πλάτη των τρόπων ταλάντωσης αντικαθιστούµε ω ω n, n,,3 στο σύστηµα () και βρίσκουµε 9

10 ( mω n ) ( mω n ) ( mω n ) ϕ ϕ ϕ 3 (6) (i) Γιά ω έχουµε ϕ ϕ ϕ 3 (ii) Γιά ω (7) 7 7 /m.88 /m έχουµε 3-7 δηλ. ϕ 5 7 ϕ και ϕ 3 (iii)για ω 3 ϕ ϕ ϕ 3 7 ϕ ή ϕ.38ϕ και ϕ 3.565ϕ /m.6675 /m έχουµε ϕ ϕ ϕ 3 Και βρίσκουµε ϕ ϕ και ϕ 3 ήϕ.565ϕ και ϕ 3.565ϕ (8) + 7 ϕ ) Η συχνότητα ω αντιστοιχεί σε µεταφορική κίνηση ολόκληρου του µορίου. Στην ω όταν το πρώτο άτοµο µετατοπίζεται προς τα δεξιά, το δεύτερο και τρίτο είναι εκτός φάσης µε πλάτη περίπου -.3 και -.56 αντίστοιχα. Στην ω 3 όταν το πρώτο άτοµο µετατοπίζεται προς τα δεξιά, το δεύτερο είναι εκτός φάσης µε πλάτος περίπου -.56 ενώ το τρίτο είναι σε φάση µε το πρώτο µε σχετικό πλάτος.56 περίπου.

11 Άσκηση Α) Σε έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης όλα τα σηµεία της χορδής ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα. Η γενική έκφραση θα είναι της µορφής ξ(x,t) A(x)cos(ωt + ϕ) () Αντικαθιστώντας στην κυµατική εξίσωση ξ T ξ T d A d A µω ω A A A( x) C cos( x) + D sin( x) (.) t µ x µ dx dx T µ µε ω T Οι συνοριακές συνθήκες επιβάλουν στα δυο ελεύθερα άκρα να µηδενίζεται η δύναµη ξ F T δηλαδή η παράγωγος του πλάτους. Ισχύει x A'(x) C sin(x) + D cos(x) () A'() D, αρα D A'() Csin() (3) Συνεπώς n nπ, n,,.. και άρα ω n nπ µ T, n,,.. Β) Η γενική έκφραση για τον κάθε κανονικό τρόπο ταλάντωσης είναι ξ(x,t) C n cos( n x)cos(ω n t + ϕ n ) για x (γ) Ισχύει τωρα A'( /) A'( /), δηλαδή C sin( ) + D cos( ) C sin( ) + D cos( ) () Η ορίζουσα του οµογενούς συστήµατος των συντελεστών πρέπει αν είναι µηδέν για να υπάρχει λύση, δηλ.

12 sin( ) cos( ) -sin( ) cos( ) Βρίσκουµε sin(), δηλαδή n nπ συστήµατος () έχουµε (5), n,,.. ενώ από την επίλυση του D n C n tan( n ) (6) Τελικά A n (x) C n cos( n x) + D n sin( n x) C' n cos( n (x + )) C n cos( (cos( n x)cos( n n ) ) sin( n x)sin( ) n ) Η γενική έκφραση για τον κάθε τρόπο ταλάντωσης είναι τώρα ξ(x,t) C' n cos( n (x + ))cos(ω nt + ϕ n ) για / x / (8) Παρατηρούµε ότι αν κάνουµε µετατόπιση στον άξονα x κατά /, δηλ αντικαταστήσουµε x x / βρίσκουµε την προηγούµενη σχέση του (β) για τους τροπους ταλάντωσης. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ) Το µήκος κύµατος είναι λ υ 5m/s.83m f 3 / s. Ένα µήκος κύµατος αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης π δηλαδή 36. Εποµένως διαφορά φάσης 3 αντιστοιχεί σε απόσταση λ.83m 6.9cm ) I P Η ακουστότητα δίνεται από β log, µε I I υρ Αν διπλασιάσουµε το πλάτος της πίεσης η ένταση τετραπλασιάζεται I I και I I I β log log log + log β + 6.db I I I Συνεπώς, όταν το πλάτος της πίεσης διπλασιάζεται, η ακουστότητα αυξάνεται κατά 6.db 3) Η ταχύτητα δίνεται από τη σχέση της σελίδας του βιβλίου των Alonso-Finn (7)

13 γ RT υ M όπου R 8.37J/ ( mol K), C αντιστοιχούν σε T 93.5 K και M η µάζα ενός γραµµοµορίου του αερίου. Έτσι έχουµε: M.79 υ 3m/s M M ) H N O.67 υ 39m/s υ 37m/s H Ισχύει F T ξ ξ, όπου Τ η τάση και υ x t N O P T ξ ξ x t TωA cos (x ωt) Η µέση τιµή του τετραγώνου του συνηµιτόνου είναι ½ ενω ω / υ, c η φασική ταχύτητα του κύµατος. Έχουµε P µυω A 5) Τα δύο αρµονικά κύµατα είναι το ξ x t A ( x ω t) (, ) sin π ξ x t A x ω t + (, ) sin και καθώς τα δύο κύµατα διαδίδονται σε αντίθετες ω κατευθύνσεις µε ταχύτητα µέτρου υ. Για απλοποίηση των πράξεων, τα κύµατα µπορούν να γραφούν χρησιµοποιώντας εκθετικά ως ( ω ) ξ( x, t) Asin x t AIm e i( x ω t) π π i x ω t+ ξ( x, t) Asin x ω t + AIm e Η επαλληλία τους δίνει π i x ω t i( x ω t) + ξ ( x, t) ξ( x, t) + ξ( x, t) AIm e + e π π π π i x i x i x i t i x + ω iω t AIm e + e e AIm e + e e π π i ω t+ 8 π π Acos x Im e Acos x sin ω t Το παραπάνω είναι ένα στάσιµο κύµα (δεν έχουµε διάδοση) συχνότητας ω και πλάτους Α. 3