Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Transcript

1 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή

2 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή:

3 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» [Goldberg-Tarjan] Δεν ικανοποιούν τη «διατήρηση ροής» σε όλη τη διάρκεια εκτέλεσης Διατήρηση ροής: για κάθε

4 Προρροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγη Αντισυμμετρία: για όλα τα ζεύγη Πλεονάζουσα ροή: για κάθε Τιμή προρροής: Υπερχειλής κόμβος:

5 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Συνάρτηση ύψους: 12/12 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/ /16 7/ /9 9/14 /7 17/2 4/

6 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Συνάρτηση ύψους: 12/12 Επομένως ισχύει Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 12/ /16 7/ /9 9/14 /7 17/2 4/

7 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Συνάρτηση ύψους: Πράξη διοχέτευσης Εκτελείται όταν 1 + 8/ /12 +4

8 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Συνάρτηση ύψους: Πράξη αναβάθμισης Εκτελείται όταν + +

9 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Αρχετυπικός Αλγόριθμος : Αρχικοποίηση -18 3/3 8/8 7/

10 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Αρχετυπικός Αλγόριθμος : Διοχέτευση-Αναβάθμιση ενόσω υπάρχει εκτελέσιμη πράξη διοχέτευσης ή αναβάθμισης επιλέγουμε μια τέτοια πράξη και την εκτελούμε Τη στιγμή που δεν υπάρχουν άλλες εκτελέσιμες πράξεις : προρροή μέγιστη ροή

11 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ιδιότητες Αν ο κόμβος είναι υπερχειλής τότε μπορεί να εκτελεστεί μια πράξη διοχέτευσης ή αναβάθμισης στον. Το ύψος κάθε κόμβου δεν μειώνεται ποτέ. Επιπλέον μετά από μια μια πράξη αναβάθμισης το αυξάνεται τουλάχιστον κατά 1. Η συνάρτηση του αλγόριθμου. παραμένει διαρκώς συνάρτηση ύψους κατά την εκτέλεση

12 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Στo υπολειπόμενο δίκτυο δεν υπάρχει μονοπάτι από τον στον. Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μονοπάτι στo υπολειπόμενο δίκτυο Τότε Άρα ΑΤΟΠΟ!

13 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Έστω ότι ο κόμβος είναι υπερχειλής. Τότε στο υπολειπόμενο δίκτυο υπάρχει μονοπάτι από τον προς τον. Απόδειξη σύνολο κορυφών για τις οποίες υπάρχει μονοπάτι από το στο Ας υποθέσουμε. Για οποιαδήποτε και έχουμε Διαφορετικά Άρα συνολικά Όμως ΑΤΟΠΟ!

14 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Στo υπολειπόμενο δίκτυο δεν υπάρχει μονοπάτι από τον στον. Έστω ότι ο κόμβος είναι υπερχειλής. Τότε στο υπολειπόμενο δίκτυο υπάρχει μονοπάτι από τον προς τον. Με τον τερματισμό του αλγόριθμου η προρροή αποτελεί μέγιστη ροή.

15 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Στo υπολειπόμενο δίκτυο δεν υπάρχει μονοπάτι από τον στον. Έστω ότι ο κόμβος είναι υπερχειλής. Τότε στο υπολειπόμενο δίκτυο υπάρχει μονοπάτι από τον προς τον. Με τον τερματισμό του αλγόριθμου η προρροή αποτελεί μέγιστη ροή. Απόδειξη Όταν τερματίσει ο αλγόριθμος δεν υπάρχει υπερχειλής κόμβος. Επομένως η προρροή είναι ροή και δεν υπάρχει μονοπάτι από το στο στo υπολειπόμενο δίκτυο μέγιστη ροή.

16 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Σε όλη τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγόριθμου, για κάθε κόμβο ισχύει Απόδειξη Έχουμε τα οποία δεν αλλάζουν. Έστω ότι εκτελείται αναβάθμιση στον κόμβο Πράξη αναβάθμισης Εκτελείται όταν

17 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Σε όλη τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγόριθμου, για κάθε κόμβο ισχύει Απόδειξη Έχουμε τα οποία δεν αλλάζουν. Έστω ότι εκτελείται αναβάθμιση στον κόμβο Ο είναι υπερχειλής άρα υπάρχει απλή διαδρομή στο όπου και Επιπλέον Άρα

18 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός πράξεων αναβάθμισης είναι Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που προκαλούν κορεσμό ακμής είναι / /9 9/9 8/12 12/12

19 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Απόδειξη Ορίζουμε συνάρτηση δυναμικού Ισχύει

20 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Απόδειξη Ορίζουμε συνάρτηση δυναμικού Ισχύει Εξετάζουμε μια πράξη διοχέτευσης στην ακμή Αν προκαλεί κορεσμό τότε αυξάνει τη Αν δεν προκαλεί κορεσμό τότε μειώνει τη το πολύ κατά τουλάχιστον κατά

21 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Απόδειξη Ορίζουμε συνάρτηση δυναμικού Ισχύει Εξετάζουμε μια πράξη διοχέτευσης στην ακμή Αν προκαλεί κορεσμό τότε αυξάνει τη Αν δεν προκαλεί κορεσμό τότε μειώνει τη το πολύ κατά τουλάχιστον κατά Εξετάζουμε μια πράξη αναβάθμισης του κόμβου Αυξάνει τη το πολύ κατά

22 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Απόδειξη Ορίζουμε συνάρτηση δυναμικού Ισχύει Επομένως η αυξάνει το πολύ κατά με κάθε αναβάθμιση ή διοχέτευση που προκαλεί κορεσμό Άρα συνολικά αυξάνεται λιγότερο από αναβαθμίσεις διοχετεύσεις

23 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Απόδειξη Ορίζουμε συνάρτηση δυναμικού Τελικά, επειδή, αυξάνει συνολικά κατά μονάδες και κάθε διοχέτευση που δεν προκαλεί κορεσμό τη μειώνει τουλάχιστον κατά 1 ο αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι

24 Αλγόριθμοι «Διοχέτευσης-Αναβάθμισης» Ο συνολικός αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Απόδειξη Ορίζουμε συνάρτηση δυναμικού Τελικά, επειδή, αυξάνει συνολικά κατά μονάδες και κάθε διοχέτευση που δεν προκαλεί κορεσμό τη μειώνει τουλάχιστον κατά 1 ο αριθμός διοχετεύσεων που δεν προκαλούν κορεσμό ακμής είναι Χρόνος εκτέλεσης:

25 Επιλέγει τη σειρά εκτέλεσης των βασικών πράξεων (διοχέτευση, αναβάθμιση) επιτυγχάνοντας χρόνο εκτέλεσης από που έχει ο βασικός αλγόριθμος. (Σημαντική βελτίωση για πυκνά γραφήματα.) Με χρήση δυναμικών δένδρων ο χρόνος γίνεται

26 Συνάρτηση ύψους: αποδεκτή ακμή Επομένως ισχύει Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Αποδεκτό δίκτυο όπου

27 Συνάρτηση ύψους: αποδεκτή ακμή Επομένως ισχύει Αποδεκτό δίκτυο όπου Ιδιότητα Το είναι άκυκλο Έστω ότι υπάρχει κύκλος. Τότε επομένως

28 Συνάρτηση ύψους: αποδεκτή ακμή Επομένως ισχύει Αποδεκτό δίκτυο όπου Ιδιότητα Το είναι άκυκλο Γενική ιδέα : Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε τοπολογική διάταξη του

29 Αποδεκτό δίκτυο όπου Λήμμα Αν η ακμή είναι αποδεκτή και ο κόμβος υπερχειλής τότε μπορούμε να εκτελέσουμε την πράξη διοχέτευσης στη. Η πράξη αυτή δε δημιουργεί νέες αποδεκτές ακμές αλλά μπορεί να κάνει τη μη αποδεκτή. Η δεν μπορεί να γίνει αποδεκτή αφού Η γίνεται μη αποδεκτή αν η διοχέτευση προκαλεί κορεσμό

30 Αποδεκτό δίκτυο όπου Λήμμα Αν ο κόμβος είναι υπερχειλής και δεν έχει εξερχόμενες αποδεκτές ακμές τότε μπορούμε να εκτελέσουμε την πράξη αναβάθμισης του. Μετά την αναβάθμιση υπάρχει τουλάχιστον μία αποδεκτή ακμή εξερχόμενη από το αλλά καμία αποδεκτή ακμή εισερχόμενη στο. H αναβάθμιση εκτελείται όταν και θέτει + +

31 Αποδεκτό δίκτυο όπου Λήμμα Αν ο κόμβος είναι υπερχειλής και δεν έχει εξερχόμενες αποδεκτές ακμές τότε μπορούμε να εκτελέσουμε την πράξη αναβάθμισης του. Μετά την αναβάθμιση υπάρχει τουλάχιστον μία αποδεκτή ακμή εξερχόμενη από το αλλά καμία αποδεκτή ακμή εισερχόμενη στο. Μετά την αναβάθμιση έχουμε για άρα η γίνεται αποδεκτή + +

32 Αποδεκτό δίκτυο όπου Λήμμα Αν ο κόμβος είναι υπερχειλής και δεν έχει εξερχόμενες αποδεκτές ακμές τότε μπορούμε να εκτελέσουμε την πράξη αναβάθμισης του. Μετά την αναβάθμιση υπάρχει τουλάχιστον μία αποδεκτή ακμή εξερχόμενη από το αλλά καμία αποδεκτή ακμή εισερχόμενη στο. Έστω τώρα ότι μετά την αναβάθμιση υπάρχει αποδεκτή ακμή Τότε άρα πριν την αναβάθμιση Άτοπο γιατί συνεπάγεται + +

33 Κατάλογοι γειτόνων συνδεδεμένη λίστα γειτόνων του ή στο πρώτος κόμβος στη τρέχων κόμβος της που εξετάζεται κόμβος της που έπεται του

34 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου

35 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8

36 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8

37 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8

38 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8

39 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8 αναβάθμιση του

40 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8 αναβάθμιση του

41 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8

42 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8

43 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 19 8 διοχέτευση

44 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 11 8/8 8 διοχέτευση

45 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 11 8/8 8

46 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 11 8/8 8 αναβάθμιση του

47 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 11 8/8 αναβάθμιση του 8

48 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 11 8/8 8

49 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / / 11 8/8 διοχέτευση 8

50 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / /8 διοχέτευση 8

51 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / /8 8

52 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / /8 8

53 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / /8 8 αναβάθμιση του η είναι η μόνη ακμή που εξέρχεται από το στο

54 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / /8 8 αναβάθμιση του η είναι η μόνη ακμή που εξέρχεται από το στο

55 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου / /8 διοχέτευση 8

56 Αποφόρτιση υπερχειλούς κόμβου 6-2 8/ /8 διοχέτευση 8

57 Όταν καλείται η τότε η επιδέχεται διοχέτευση Όταν καλείται η τότε δεν υπάρχουν αποδεκτές ακμές που να εξέρχονται από το άρα ο επιδέχεται αναβάθμιση

58 Η σειρά με την οποία πραγματοποιούνται οι πράξεις αποφόρτισης καθορίζεται από μια λίστα που περιλαμβάνει όλους τους κόμβους του σε μια τοπολογική διάταξη του

59 Η σειρά με την οποία πραγματοποιούνται οι πράξεις αποφόρτισης καθορίζεται από μια λίστα που περιλαμβάνει όλους τους κόμβους του σε μια τοπολογική διάταξη του αν ο μετακινηθεί στην πρώτη θέση της λίστας τότε ο είναι ο κόμβος στη δεύτερη θέση της λίστας

60 Η σειρά με την οποία πραγματοποιούνται οι πράξεις αποφόρτισης καθορίζεται από μια λίστα που περιλαμβάνει όλους τους κόμβους του σε μια τοπολογική διάταξη του Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγορίθμου ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη Αναλλοίωτη συνθήκη Κάθε φορά που πραγματοποιείται ο έλεγχος η αποτελεί τοπολογική ταξινόμηση των κόμβων του και κανένας από τους κόμβους που προηγούνται του στην δεν έχει πλεονάζουσα ροή

61 αρχική κατάσταση /12 14/

62 μετά την αποφόρτιση του / / / /16

63 μετά την αποφόρτιση του 6 8/ /12 8/ /16

64 μετά την αποφόρτιση του 6 8/ /8 2 12/ /16

65 μετά την αποφόρτιση του 6 8/ /12 8/ /16 8/1 2

66 Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου προκαταρκτικής αναβάθμισης είναι Η εκτέλεση του αλγορίθμου αποτελείται από φάσεις Φάση = διάστημα μεταξύ δύο πράξεων αναβάθμισης Κάθε φάση εκτελεί το πολύ φορές τη διαδικασία αποφόρτισης αποφορτίσεις σε όλο τον αλγόριθμο Οι αναβαθμίσεις εκτελούνται σε συνολικό χρόνο Ο αριθμός των διοχετεύσεων που προκαλούν κορεσμό είναι Σε κάθε αποφόρτιση μπορεί να γίνει το πολύ μια διοχέτευση που δεν προκαλεί κορεσμό συνολικά Επομένως ο χρόνος εκτέλεσης είναι

67 με δυναμικά δένδρα Αν και βρίσκονται σε ξεχωριστά δένδρα και το είναι ρίζα τότε κάνει το γονέα του. Διαφορετικά δεν κάνει τίποτα. Αν το δεν είναι ρίζα τότε διαγράφει την ακμή μεταξύ του και του γονέα του και κάνει το ρίζα νέου δένδρου. Διαφορετικά δεν κάνει τίποτα. Θεωρούμε ότι οι ακμές του δάσους έχουν κατεύθυνση προς τη ρίζα Κάθε κόμβος έχει μια τιμή που μπορεί να πάρει τις τιμές και με τη σύμβαση ότι. Αρχικά κάθε κόμβος είναι ρίζα με τιμή Επιπλέον επιτρέπουμε κάθε δένδρο να έχει το πολύ κόμβους

68 με δυναμικά δένδρα Θα χρειαστούμε και τις ακόλουθες εντολές: Επιστρέφει τη ρίζα του δένδρου που περιέχει το Επιστρέφει τον αριθμό των κόμβων στο δένδρου που περιέχει το Υπολογίζει και επιστρέφει τη Επιστρέφει τον πρόγονο του με την ελάχιστη τιμή. Σε περίπτωση ισοπαλίας ο είναι ο πιο κοντινός στη ρίζα κόμβος με αυτήν την τιμή Προσθέτει την τιμή στη κάθε πρόγονου του Όλες οι εντολές μπορούν να εκτελεστούν σε χρόνο

69 με δυναμικά δένδρα Μη κατευθυνόμενες ακμές Η μη κατευθυνόμενη ακμή αντιστοιχεί στις κατευθυνόμενες ακμές και αποθηκεύει τις τιμές και Έστω η τρέχουσα ακμή του. Αν και τότε η είναι αποδεκτή για να γίνει ακμή δυναμικού δένδρου με Αν ο Διαφορετικά είναι ρίζα τότε Χρησιμοποιούμε δυναμικά δένδρα για να διοχετεύσουμε ροή σε ολόκληρα μονοπάτια ώστε να έχουμε είτε κορεσμό κάποιας ακμής ή μεταφορά ροής στη ρίζα του δένδρου

70 με δυναμικά δένδρα Για ένα υπερχειλή κόμβο μπορούμε να εκτελέσουμε την παρακάτω ρουτίνα μέχρι το να γίνει ρίζα ή να έχουμε Διοχετεύει ροή προς τη ρίζα ενός δένδρου και αποκόπτει τις κορεσμένες ακμές

71 με δυναμικά δένδρα Για ένα υπερχειλή κόμβο που είναι ρίζα εκτελούμε την παρακάτω ρουτίνα είναι η τρέχουσα ακμή του το δένδρο του ενώνεται με του δένδρο του αν συνολικά έχουν κόμβους διαφορετικά πρώτα διοχετεύεται ροή από το στο αν η γίνει ακμή δυναμικού τότε αποθηκεύεται με έμμεσο τρόπο στο δυναμικό δένδρο

72 με δυναμικά δένδρα Αποφόρτιση κόμβου Επιλέγοντας ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου είναι