ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ ΙΣΧΥΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΕΣ ΠΗΓΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ ΙΣΧΥΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΕΣ ΠΗΓΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Κ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΥΧΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ 99 ΠΑΤΡΑ 0

2

3 3

4 4

5 Πρόλογος Η διατριβή αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Παραγωγής, Μεταφοράς, Διανομής και Χρησιμοποίησης Ηλεκτρικής Ενέργειας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Α. Θ. Αλεξανδρίδη. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή κ. Αντώνιο Αλεξανδρίδη για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε αναθέτοντάς μου αυτό το εξαιρετικά ενδιαφέρον και δύσκολο θέμα για την εκπόνηση διδακτορικής διατριβής. Η αρμονική συνεργασία που είχαμε όλα αυτά τα χρόνια θέλω να πιστεύω πως δεν θα σταματήσει με την ολοκλήρωσή της. Οι υποδείξεις του, η επιμονή του, η δίψα του για να μου μεταδώσει τις γνώσεις και εμπειρίες του και η προσπάθειά του να με κάνει να σκέφτομαι σαν μηχανικός ήταν συνεχής σε όλα τα χρόνια των σπουδών μου. Επιπλέον, του οφείλω και ένα μεγάλο ευχαριστώ για την ψυχολογική του στήριξη και τις συμβουλές του σε προσωπικά μου προβλήματα μέσα και έξω από τον χώρο του Πανεπιστημίου. Τα παραπάνω λόγια δεν μπορούν να περιγράψουν ούτε στο ελάχιστο την ευγνωμοσύνη που νιώθω προς το πρόσωπό του καθώς αποτελεί για μένα το βασικό λόγο για τον οποίο αγάπησα την έρευνα. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα υπόλοιπα δύο μέλη της Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής, τον Ομότιμο Καθηγητή κ. Αθανάσιο Σαφάκα για τις ουσιαστικές υποδείξεις του και τα σχόλια τα οποία οδήγησαν στη βελτίωση της διατριβής αυτής και τον Καθηγητή κ. Νικόλαο Βοβό για τις εύστοχες παρατηρήσεις του και την εξαιρετική συνεργασία που είχαμε όλα αυτά τα χρόνια στο χώρο του εργαστηρίου. Επιπλέον, νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω τα άτομα χωρίς τα οποία δεν θα μπορούσε να ολοκληρωθεί αυτός ο κύκλος των σπουδών μου. Αρχικά, ευχαριστώ την οικογένειά μου όχι μόνο για την οικονομική τους στήριξη αλλά κυρίως για την ψυχολογική στήριξη που μου παρείχαν και για την εμπιστοσύνη τους. Ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω επίσης στην Καρολίνα για την υποστήριξή και την υπομονή της και θέλω να πιστεύω ότι ο χρόνος που της στέρησα άξιζε τον κόπο. Θα ήθελα επιπλέον να ευχαριστήσω τα μέλη της ερευνητικής ομάδας και προσωπικούς μου φίλους Άγγελο, Μιχάλη, Κώστα, Γιάννη και Δέσποινα με τους οποίους είχαμε μια άριστη συνεργασία και τους εύχομαι κάθε επιτυχία στη συνέχεια των σπουδών τους. Τέλος, ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στο Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών (Ι.Κ.Υ.) το οποίο με στήριξε οικονομικά για την εκπόνηση της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Γεώργιος Κ. Κωνσταντόπουλος, Πάτρα, Αυγούστου 0 5

6 6

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διδακτορική διατριβή εντάσσεται στο πλαίσιο που αφορά στο πεδίο ελέγχου συστημάτων ισχύος και ειδικότερα στην εφαρμογή προηγμένων μεθόδων στην ανάλυση και τον έλεγχο στρεφόμενων ηλεκτρικών μηχανών οδηγούμενων από ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος. Ειδικότερα, λαμβάνοντας υπόψη τα ακριβή μη γραμμικά μοντέλα των μετατροπέων ισχύος και των ηλεκτρικών μηχανών, αναλύεται η μορφή και η συμπεριφορά των ολοκληρωμένων συστημάτων που χρησιμοποιούνται για την οδήγηση των μηχανών και αποδεικνύεται ότι τα μοντέλα αυτά μπορούν να περιγραφούν με τη γενική παθητική Hamiltonian μορφή. Οι ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος που μελετώνται είναι ο μετατροπέας ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και ο τριφασικός μετατροπέας σε λειτουργία ανορθωτή και μετατροπέα, ενώ επίσης μελετώνται οι μηχανές ΣΡ ξένης διέγερσης και με διέγερση σε σειρά καθώς επίσης και η τριφασική επαγωγική μηχανή. Έχοντας αναπτύξει τα πλήρη μοντέλα, προτείνεται ένας νέος μη γραμμικός νόμος ελέγχου κατάλληλος για τη γενική παθητική Hamiltonian μορφή των συστημάτων τα οποία περιλαμβάνουν διακοπτικούς μετατροπείς ισχύος. Μια εκτενής μη γραμμική μαθηματική ανάλυση αποδεικνύει ότι ο προτεινόμενος νόμος ελέγχου εγγυάται ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας για το σύστημα κλειστού βρόχου. Ο έλεγχος αυτός εφαρμόζεται για τον έλεγχο κινητήρων ΣΡ οδηγούμενων από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης καθώς και στην τριφασική επαγωγική μηχανή. Η ανάλυση και η εφαρμογή του ελέγχου οδηγεί στην ανάγκη για επεκτάσεις στη μορφή του ώστε να αυξηθεί η σθεναρότητά του ως προς τις αρχικές συνθήκες, να βελτιωθεί η μεταβατική του συμπεριφορά και να εφαρμοστεί κατάλληλα σε τριφασικούς μετατροπείς ισχύος ώστε να εγγυάται συγκεκριμένες λειτουργίες όπως γραμμική διαμόρφωση. Με την εφαρμογή του ελέγχου στην επαγωγική μηχανή, προτείνεται μια πλήρης σχεδίαση που λειτουργεί είτε βασιζόμενη στη λογική του προσανατολισμένου πεδίου, είτε πλήρως ανεξάρτητα από αυτή, ενώ μελετάται και η συμπεριφορά του σε καταστάσεις εξασθένησης πεδίου. Τέλος, η λογική του ελέγχου επιβεβαιώνεται σε ένα σύστημα ανεμογεννήτριας συνδεδεμένης στο δίκτυο μέσω πλήρους συστήματος μετατροπέων ισχύος με διασύνδεση συνεχούς ρεύματος. Σε όλες τις περιπτώσεις παρουσιάζονται προσομοιώσεις και κατά το δυνατό πειραματικά αποτελέσματα μέσω κατάλληλων εργαστηριακών διατάξεων. 7

8 ABSTRACT The pesent PhD dissetation is addessed in the eseach field of contol of powe systems and moe pecisely in poviding advanced methods fo the analysis and contol of electical machines diven by powe devices. Paticulaly, taking into account the accuate nonlinea models of the powe convetes and the electical machines, the stuctue and the behavio of the complete models used fo machine diving ae analyzed based on the genealized Hamiltonian-passive fom. The powe convetes discussed ae the DC/DC boost convete and the thee-phase powe convete used as a ectifie o an invete, while the sepaately-excited and the seiesconnected DC motos along with the thee-phase induction machine ae studied as well. Afte poviding the complete dynamic models, a new nonlinea contol scheme suitable fo the genealized Hamiltonian-passive systems with switching devices is poposed. Using an extended mathematical analysis, it is poven that the poposed contolle guaantees stability and convegence to the desied equilibium fo the closed-loop system. The poposed contol application is tested fo DC dive systems fed by DC/DC boost convetes as well as fo induction moto systems fed by AC/DC/AC convetes. The contol analysis and application leads to the extension of the contol stuctue in ode to incease the obustness with espect to the initial conditions, to impove the tansient pefomance and to be suitably applied in theephase powe convete systems, guaanteeing simultaneously cetain opeating constaints such as linea modulation. Fo the case of the induction moto contol, a complete fom of the contolle is poposed that acts eithe in the fame of fieldoientation o independently fom it, while the contolle is also studied in fieldweakening conditions. Finally, the contolle pefomance is studied in a wind geneating system connected to the gid though a full-scale powe convete. In all cases, simulation esults ae pesented while expeimental esults ae povided whee possible by using suitable laboatoy testbeds. 8

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εισαγωγή. Αντικείμενο της διατριβής 5. Έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών οδηγούμενων από ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος 6.3 Στόχος και συνεισφορά της παρούσας διατριβής 8.4 Αναφορές 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Eule-Lagange και Hamiltonian συστήματα - Ιδιότητες. Εισαγωγή 5. Eule-Lagange συστήματα 6.3 Hamiltonian συστήματα με απόσβεση 7.4 Η ιδιότητα της παθητικότητας 9.5 Σύνοψη Συμπεράσματα 3.6 Αναφορές 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ορισμοί και ειδικά θέματα επί της ευστάθειας συστημάτων 3. Εισαγωγή Μη γραμμικά συστήματα Ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων Ευστάθεια γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων Γραμμική προσέγγιση μη γραμμικών συστημάτων Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ανάλυση και δυναμικά μοντέλα μέσης τιμής σε ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος 4. Εισαγωγή Μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ Αρχή λειτουργίας μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Εξαγωγή μοντέλου με μέθοδο Lagange Μοντέλο μέσης τιμής 50 9

10 4.3 Μετατροπείς ΕΡ/ΣΡ Αρχή λειτουργίας τριφασικού ανορθωτή με διόδους Αρχή λειτουργίας ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Εξαγωγή μοντέλου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Αντιστροφείς ΣΡ/ΕΡ Αρχή λειτουργίας ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Εξαγωγή μοντέλου τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ηλεκτρικές μηχανές: Βασικές έννοιες και δυναμική περιγραφή 5. Εισαγωγή Μηχανές συνεχούς ρεύματος Αρχή λειτουργίας μηχανών συνεχούς ρεύματος Μηχανή συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης Μηχανή συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά Τριφασική ασύγχρονη μηχανή Ισοδύναμο κύκλωμα ασύγχρονης μηχανής Λειτουργία μηχανής υπό μεταβλητή τάση ή συχνότητα Δυναμικές εξισώσεις μηχανής στο d q πλαίσιο αναφοράς Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Ακριβή μοντέλα των υπό εξέταση συστημάτων στο χώρο κατάστασης 6. Εισαγωγή Μοντέλα μετατροπέων ισχύος στο χώρο κατάστασης Καταστατικό μοντέλο μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Καταστατικό μοντέλο τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Μοντέλο μηχανών συνεχούς ρεύματος Μοντέλο μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης Μοντέλο μηχανής συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά Μοντέλο ασύγχρονης μηχανής στο χώρο κατάστασης Πλήρη μοντέλα Πλήρες μοντέλο μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και μηχανής συνεχούς ρεύματος Πλήρες μοντέλο ανορθωτή διόδων, διασύνδεσης ΣΡ, αντιστροφέα και ασύγχρονης μηχανής 88 0

11 6.5.3 Πλήρες μοντέλο ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ, διασύνδεσης ΣΡ, αντιστροφέα και ασύγχρονης μηχανής Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Μη γραμμικός έλεγχος παθητικών Hamiltonian συστημάτων 7. Εισαγωγή Ιδιότητες παθητικών Hamiltonian συστημάτων Υπάρχουσες τεχνικές ελέγχου Ιδιότητες μη γραμμικού συστήματος Προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος Ανάλυση συστήματος κλειστού βρόχου Σύστημα κλειστού βρόχου Παθητικότητα συστήματος κλειστού βρόχου Ευστάθεια συστήματος κλειστού βρόχου Σύγκλιση στο σημείο ισορροπίας Αυξάνοντας τη σθεναρότητα του μη γραμμικού ελεγκτή Σύνοψη Συμπεράσματα 7.7 Αναφορές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου σε συστήματα μετατροπέων ισχύος με παθητικό φορτίο 8. Εισαγωγή 5 8. Έλεγχος μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Σύστημα κλειστού βρόχου Πειραματική διάταξη Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Έλεγχος τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Σύστημα κλειστού βρόχου Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου σε συστήματα οδήγησης μηχανών συνεχούς ρεύματος 9. Εισαγωγή Έλεγχος μηχανής ΣΡ ξένης διέγερσης οδηγούμενη από

12 μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Σύστημα κλειστού βρόχου Πειραματική διάταξη Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Έλεγχος μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά οδηγούμενη από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Σύστημα κλειστού βρόχου Πειραματική διάταξη Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Βελτιώνοντας τη μεταβατική απόκριση του συστήματος Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0: Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου στην οδήγηση τριφασικού επαγωγικού κινητήρα 0. Εισαγωγή Μέθοδοι ελέγχου τριφασικής ασύγχρονης μηχανής Βαθμωτός έλεγχος Έλεγχος Volts/Hz ανοικτού βρόχου Έλεγχος Volts/Hz κλειστού βρόχου Διανυσματικός έλεγχος Αναλογία ασύγχρονης μηχανής και μηχανής συνεχούς ρεύματος Άμεσος διανυσματικός έλεγχος Έμμεσος διανυσματικός έλεγχος Έλεγχος τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα με λογική προσανατολισμένου πεδίου Κλασσικός διανυσματικός έλεγχος ασύγχρονου κινητήρα Μετασχηματισμός μη γραμμικού ελέγχου για την οδήγηση ασύγχρονης μηχανής Μη γραμμικός έλεγχος βασιζόμενος στη λογική προσανατολισμένου πεδίου Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Μη γραμμικός έλεγχος τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα σε καταστάσεις εξασθένησης πεδίου Μη γραμμικός έλεγχος τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα χωρίς προσανατολισμό πεδίου Σύστημα κλειστού βρόχου Πειραματική διάταξη Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου 87

13 0.6 Σύνοψη Συμπεράσματα Αναφορές 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου στις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας. Εισαγωγή 9. Γενική θεωρία και χαρακτηριστικά ανεμογεννητριών 9.. Αιολική ενέργεια και δομή ανεμογεννητριών 9.. Χαρακτηριστικά στοιχεία ανεμογεννήτριας Γωνία βήματος πτερυγίου και απώλεια στήριξης 98.3 Βασικοί τύποι ανεμογεννητριών Ανεμογεννήτριες σταθερών στροφών Ανεμογεννήτριες μεταβλητών στροφών 99.4 Έλεγχος τριφασικής ασύγχρονης ανεμογεννήτριας βραχυκυκλωμένου κλωβού 0.4. Σχεδιασμός ελέγχου 0.4. Σύστημα κλειστού βρόχου Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου 05.5 Σύνοψη Συμπεράσματα.6 Αναφορές ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Συμπεράσματα 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ 7 3

14 4

15 Κεφάλαιο Εισαγωγή. Αντικείμενο της διατριβής Η ερευνητική προσπάθεια που αναλύεται και παρουσιάζεται στην παρούσα διατριβή έχει αναπτυχθεί στο γενικότερο πλαίσιο που αφορά στο πεδίο του ελέγχου συστημάτων ισχύος και ειδικότερα στην εφαρμογή προηγμένων μεθόδων στην ανάλυση και έλεγχο στρεφόμενων ηλεκτρικών μηχανών οδηγούμενων από ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος. Συγκεκριμένα, προτείνεται μία νέα σχεδίαση, αναλύεται η ευστάθειά της και υλοποιείται με προσομοιώσεις και κατά το δυνατό και πειραματικά η λειτουργία ολοκληρωμένων ελεγχόμενων συστημάτων ηλεκτροκίνησης και παραγωγής ενέργειας από ΑΠΕ-αιολικών συστημάτων, που συνδέονται στο ηλεκτρικό τους μέρος προς το δίκτυο μέσω συστημάτων ηλεκτρονικών μετατροπέων ισχύος. Η ανάπτυξη της θεωρίας των παθητικών Hamiltonian συστημάτων καθώς και η αξιοποίησή της για το σχεδιασμό αποτελεσματικών δομών ελέγχου τον ερευνητικό πυρήνα της παρούσας διατριβής. Συγκεκριμένα, λαμβάνοντας υπόψη τα μη γραμμικά μοντέλα των μετατροπέων ισχύος και των ηλεκτρικών μηχανών, τα οποία περιγράφουν με τον πιο ακριβή τρόπο τη δυναμική συμπεριφορά τους, κατ αρχήν αποδεικνύουμε ότι τα ολοκληρωμένα συστήματα που χρησιμοποιούνται για την οδήγηση των μηχανών δίνονται στη γενική παθητική Hamiltonian μορφή. Έτσι, έχουμε ένα συστηματοποιημένο εργαλείο που περιγράφει με επάρκεια τη μη γραμμική δυναμική συμπεριφορά τέτοιων συστημάτων, το οποίο χρησιμοποιούμε για να σχεδιάσουμε νέους αποτελεσματικούς νόμους ελέγχου, αποδεικνύοντας παράλληλα την ευστάθεια των ολοκληρωμένων αυτών συστημάτων. Στο πλαίσιο αυτό, μελετώνται συστήματα που περιλαμβάνουν μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, τριφασικούς μετατροπείς ΕΡ/ΣΡ και ΣΡ/ΕΡ (σε λειτουργία ανορθωτή και αντιστροφέα) με IGBT (διπολικά τρανζίστορ με μονωμένη πύλη), συνδυασμένους αντίστοιχα με μηχανές συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης ή διέγερσης σε σειρά καθώς επίσης και με τριφασικές επαγωγικές μηχανές βραχυκυκλωμένου κλωβού. Το τελικό αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάλυση και ο κατάλληλος σχεδιασμός ελέγχου των συστημάτων αυτών ώστε να μπορούν να εγγυηθούν επιθυμητή λειτουργία και ευστάθεια σε εφαρμογές στην ηλεκτροκίνηση και τις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας (ΑΠΕ). 5

16 . Έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών οδηγούμενων από ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος Οι στρεφόμενες μηχανές αποτελούν το βασικό στοιχείο τόσο σε συστήματα ηλεκτροκίνησης όσο και σε συστήματα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας [.], [.], [.3]. Οι ηλεκτρικές μηχανές συνεχούς ρεύματος παλαιότερα και οι εναλλασσομένου ρεύματος τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται ευρέως για τη μετατροπή της ηλεκτρικής ενέργειας σε μηχανική [.4], [.5], [.6]. Οι μηχανές συνεχούς ρεύματος κυριαρχούσαν τα παλαιότερα χρόνια ενώ χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα σε συγκεκριμένες εφαρμογές, κυρίως λόγω του απλού τους μοντέλου, της ευκολίας στον έλεγχο και της γρήγορης μεταβατικής απόκρισης. Τα τελευταία χρόνια, η ανάγκη για όλο και μεγαλύτερα συστήματα ισχύος έκανε το κόστος των μηχανών αυτών απαγορευτικό. Αυτός είναι και ένας από τους λόγους όπου πλέον αντικαθίστανται συνεχώς από μηχανές εναλλασσομένου ρεύματος και κυρίως από την επαγωγική μηχανή. Πιο συγκεκριμένα, η τριφασική ασύγχρονη μηχανή τείνει πλέον να κυριαρχήσει στην ηλεκτροκίνηση λόγω της συμπαγούς δομής της, του χαμηλού κόστους, της εύκολης συντήρησης και ελέγχου και του μεγάλου εύρους ισχύος στο οποίο παρατηρείται η εφαρμογή της. Επίσης, με την ανάπτυξη των ανανεώσιμων πηγών ενέργειας τα τελευταία χρόνια, όπου κυρίαρχο ρόλο φαίνεται να κατέχουν τα αιολικά συστήματα, οι ηλεκτρικές μηχανές παίζουν αντίστοιχα βασικό ρόλο. Μάλιστα, σε αντίθεση προς τα συμβατικά συστήματα παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας, στις ΑΠΕ και ειδικά στις ανεμογεννήτριες, η επαγωγική μηχανή ως γεννήτρια αποτελεί την πλέον καθιερωμένη επιλογή. Όλα αυτά βέβαια σε συνδυασμό με υψηλών προδιαγραφών συστήματα οδήγησης ηλεκτρονικών ισχύος σε λειτουργία μεταβλητών στροφών. Για την οδήγηση των ηλεκτρικών μηχανών χρησιμοποιούνται κατάλληλες ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος, οι οποίες έχουν τη δυνατότητα να μετατρέπουν την εναλλασσόμενη τάση σε συνεχή και αντίστροφα, να αλλάζουν το μέτρο ή τη συχνότητα της τάσης στην έξοδό τους κτλ. [.7]. Στην πράξη, ο έλεγχος της λειτουργίας μια ηλεκτρικής μηχανής γίνεται πάντοτε μέσω διατάξεων ισχύος. Το γεγονός αυτό κάνει κατανοητή την ανάγκη για την ακριβή ανάλυση της συμπεριφοράς τόσο των μετατροπέων ισχύος όσο και των ηλεκτρικών μηχανών. Η ακριβής μοντελοποίηση των συστημάτων ισχύος, η οποία θα περιγράφει με επαρκή και ακριβή τρόπο τη δυναμική συμπεριφορά τους, είναι μείζονος σημασίας. Στην ανάλυση των μηχανών, τα δυναμικά μοντέλα των μηχανών συνεχούς ρεύματος με ξένη ή σε σειρά διέγερση αλλά και το μοντέλο της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο των δύο καθέτων αξόνων, έχουν πλέον καθιερωθεί [.], [.]. Ωστόσο, η μοντελοποίηση των μετατροπέων ισχύος είναι αρκετά πιο δύσκολη κυρίως λόγω των διακοπτικών στοιχείων που περιλαμβάνουν. Τα κατάλληλα μοντέλα των μετατροπέων ισχύος που περιγράφουν με τον καλύτερο τρόπο τη συμπεριφορά τους και είναι κατάλληλα για το σχεδιασμό ελέγχου, είναι τα μοντέλα μέσης τιμής, τα οποία καταλήγουν σε μοντέλα ειδικής μορφής μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων [.8]. Λόγω της εγγενούς δυσκολίας των μοντέλων αυτών, 6

17 αρκετοί ερευνητές μέχρι και σήμερα χρησιμοποιούν το μοντέλο μικρού σήματος [.9], το οποίο όμως βασίζεται σε γραμμικοποίηση γύρω από ένα σημείο ισορροπίας. Το γεγονός αυτό μειώνει σημαντικά την καταλληλότητά του αφού κάθε φορά εξαρτάται από το σημείο λειτουργίας και ιδιαίτερα από την άγνωστη εξωτερική ροπή που εφαρμόζεται. Γίνεται, λοιπόν, κατανοητό ότι για την ανάλυση ενός ολοκληρωμένου συστήματος οδήγησης μιας ηλεκτρικής μηχανής, πρέπει να ληφθούν υπόψη τόσο το μοντέλο της μηχανής όσο και των μετατροπέων που χρησιμοποιούνται. Παρά το γεγονός ότι αρκετή έρευνα έχει γίνει στο πεδίο ελέγχου των ηλεκτρικών μηχανών, στις περιπτώσεις αυτές μόνο τα μοντέλα των μηχανών έχουν ληφθεί υπόψη [.0], [.]. Η προσθήκη της δυναμικής των μετατροπέων ισχύος, ιδιαίτερα όταν αυτή αυξάνει τις μη γραμμικότητες του συστήματος, δυσκολεύει αρκετά την ανάλυση του ολοκληρωμένου συστήματος όπως επίσης και το σχεδιασμό του ελέγχου. Οι δυναμικές εξισώσεις των μετατροπέων ισχύος και των ηλεκτρικών μηχανών, μπορούν να περιγραφούν κατάλληλα χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Hamilton και των συναρτήσεων ενέργειας [.8], [.]. Φέρνοντας τα συστήματα αυτά στη γενική Hamiltonian μορφή, αρχικά μπορεί να αποδειχθεί μια από τις βασικότερες ιδιότητες των συστημάτων αυτών που είναι η ιδιότητα της παθητικότητας [.3]. Η ιδιότητα αυτή αποδεικνύει ότι τα συστήματα αυτά εμπεριέχουν όρους απόσβεσης και υπ αυτή την έννοια μπορεί να αποτελέσουν βάση για την απόδειξη της ευστάθειας [.]. Βασιζόμενοι στην Hamiltonian μορφή των συστημάτων, πολλοί ερευνητές έχουν προτείνει νόμους ελέγχου για διατάξεις ισχύος και για ηλεκτρικές μηχανές οι οποίες βασίζονται στην παθητικότητα [.8], [.4], [.5], [.6] ή είναι ιδιαίτερα μη γραμμικές. Λαμβάνοντας υπόψη τα ολοκληρωμένα συστήματα μετατροπέων ισχύος και ηλεκτρικών μηχανών, έχει αποδειχθεί ότι τα συστήματα αυτά εξακολουθούν να γράφονται στη γενική Hamiltonian μορφή [.7]. Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό αυτών των συστημάτων είναι ότι περιλαμβάνουν κατάλληλα φραγμένες εισόδους ελέγχου, δηλαδή ελεγχόμενες εισόδους περιορισμένες σε προκαθορισμένες τιμές (λόγους κατάτμησης duty atios), και μη ελεγχόμενες εξωτερικές εισόδους, οι οποίες συνήθως περιγράφουν εξωτερικές δυνάμεις, ροπές, τάσεις ή ρεύματα και συνήθως κάποιες από αυτές είναι άγνωστες (άγνωστες ροπές και φορτία). Επομένως, ακόμα και μετά την εφαρμογή ελέγχου, οι εξωτερικές μη ελεγχόμενες είσοδοι παραμένουν δυσκολεύοντας σημαντικά την απόδειξη της ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου, καθώς λίγα θεωρήματα μπορούν να εγγυηθούν ευστάθεια συστημάτων με εισόδους [.3]. Πολλοί ερευνητές καταφεύγουν στα μοντέλα διαφορών, ώστε το κλειστό σύστημα να μην περιλαμβάνει εξωτερικές εισόδους, όμως δεν υπάρχει μια συστηματική μέθοδος για την εξαγωγή των μοντέλων αυτών καθώς κάθε σύστημα έχει τις δικές του μη γραμμικότητες και μεταβαλλόμενα σημεία ισορροπίας. Γίνεται, λοιπόν, κατανοητό ότι μέχρι και σήμερα δεν έχουν αναλυθεί εκτενώς τα πλήρη μοντέλα μετατροπέων ισχύος - ηλεκτρικών μηχανών και λίγοι νόμοι ελέγχου 7

18 έχουν δημιουργηθεί οι οποίοι να οδηγούν το σύστημα στο επιθυμητό σημείο λειτουργίας εγγυώντας ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου..3 Στόχος και συνεισφορά της παρούσας διατριβής Όπως έχει ήδη γίνει φανερό, η παρούσα ερευνητική εργασία αφορά στον έλεγχο στροφών των μηχανών συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης και διέγερσης σε σειρά καθώς επίσης και στο αντίστοιχο πρόβλημα που αφορά στην τριφασική επαγωγική μηχανή. Λόγω της πληθώρας των ηλεκτρονικών διατάξεων ισχύος που χρησιμοποιούνται για των έλεγχο αυτών των τύπων ηλεκτρικών μηχανών, θα εστιάσουμε στον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και στον τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ (ή σε λειτουργία αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ) με IGBT οι οποίοι αποτελούν τις πιο συνήθεις διατάξεις στην οδήγηση μηχανών αλλά και στις ΑΠΕ. Λαμβάνοντας υπόψη τα ακριβή μη γραμμικά μοντέλα των μετατροπέων και των ηλεκτρικών μηχανών, θα αναλυθεί η Hamiltonian μορφή τους μαζί με τις ιδιότητες που παρουσιάζουν και θα μελετηθεί η συμπεριφορά τους. Στη συνέχεια, τα μοντέλα των μετατροπέων ισχύος, των ηλεκτρικών μηχανών αλλά και τα πλήρη μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την οδήγησή τους θα οριστούν στο χώρο κατάστασης ώστε να είναι δυνατός ο σχεδιασμός ελέγχου. Στα ολοκληρωμένα αυτά μοντέλα, θα αναπτυχθεί ένας καινούργιος μη γραμμικός έλεγχος ο οποίος μπορεί κατάλληλα να ελέγξει τα ολοκληρωμένα μη γραμμικά συστήματα, οδηγώντας τα σε επιθυμητή ευσταθή λειτουργία. Καθώς, όπως θα δείξουμε, όλα τα συστήματα που θα μελετηθούν δίνονται στη γενική παθητική Hamiltonian μορφή, ο έλεγχος που θα παρουσιαστεί απευθύνεται στο γενικό μοντέλο δίνοντας με τον τρόπο αυτό λύση σε όλα τα συστήματα που μελετώνται. Πιο συγκεκριμένα, ο προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος έχει τις παρακάτω ιδιότητες: απευθύνεται στη γενική παθητική Hamiltonian μορφή του συστήματος εγγυάται λειτουργία των εισόδων ελέγχου απόλυτα μέσα στο επιτρεπτό εύρος τιμών (duty-atio ange) είναι απλής μορφής ώστε να οδηγεί σε εύκολη υλοποίηση εγγυάται ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας για το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί να σταθεροποιήσει οποιαδήποτε κατάσταση είναι επιθυμητή απαιτεί μόνο τη γνώση των καταστάσεων που πρέπει να ελεγχθούν είναι πλήρως ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος εξασφαλίζει κατά το ελάχιστο τις δυνατότητες των καθιερωμένων τύπων ελέγχου (όπως ο διανυσματικός έλεγχος των επαγωγικών μηχανών) Από τις παραπάνω ιδιότητες εύκολα διαφαίνεται η ανωτερότητα του προτεινόμενου ελέγχου σε σχέση με τις υπάρχουσες μέχρι τώρα τεχνικές, οι οποίες χρησιμοποιούνται στα αντίστοιχα συστήματα. Σημειώνεται ότι για το λόγο αυτό έχει αναπτυχθεί στην παρούσα διατριβή μια εκτεταμένη θεωρητική ανάλυση βασισμένη σε μια ισχυρή μαθηματική θεωρία και η οποία μπορεί να εγγυηθεί ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας για το μη γραμμικό σύστημα κλειστού 8

19 βρόχου. Η ολοκληρωμένη αυτή θεωρία δίνει πλήρη απάντηση στη σύνδεση της βασικής ιδιότητας της παθητικότητας που εμφανίζεται σε τέτοια συστήματα (παθητικά Hamiltonian), με την απόσβεση και τελικά την ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο λειτουργίας. Επιπλέον, η θεωρία αυτή δεν βασίζεται σε μοντέλα διαφορών, όπως γίνεται συνήθως, αλλά αναφέρεται στο αρχικό μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος, δίνοντας με αυτόν τον τρόπο μια γενικευμένη λύση. Σαν αποτέλεσμα, κάποιος μπορεί απλώς να ελέγξει αν ισχύουν οι βασικές υποθέσεις που απαιτούνται για την ευστάθεια τέτοιων συστημάτων κι επομένως να εφαρμόσει τον γενικό έλεγχο στο σύστημα που τον ενδιαφέρει. Καθώς η ανάλυση γίνεται στο αρχικό μη γραμμικό μοντέλο, όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο, το σύστημα κλειστού βρόχου εξακολουθεί να περιλαμβάνει εξωτερικές εισόδους. Για το λόγο αυτό, χρησιμοποιείται μια κατάλληλη μαθηματική ανάλυση που μπορεί να εγγυηθεί ότι η λύση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι φραγμένη. Ωστόσο, μέχρι σήμερα, η σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας δεν είναι εγγυημένη και αυτό είναι και το βασικό πρόβλημα που έχουν τα ήδη υπάρχοντα θεωρήματα για συστήματα με εξωτερικές εισόδους [.3]. Έτσι, ένα επιπλέον καινοτόμο κομμάτι που έχει αναπτυχθεί στην διατριβή αυτή είναι η απόδειξη της σύγκλισης στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας με την εφαρμογή του προτεινόμενου ελέγχου. Συγκεκριμένα, βασιζόμενοι σε μια πρόσφατη θεωρία κλαδικών συναρτήσεων Lyapunov, λαμβάνουμε υπόψη την παθητικότητα του συστήματος και καταλήγουμε στην απόδειξη της σύγκλισης στο επιθυμητό σημείο λειτουργίας. Στη συνέχεια ακολουθεί η εφαρμογή του ελέγχου σε συστήματα μετατροπέων ισχύος και σε συστήματα οδήγησης μηχανών συνεχούς ρεύματος καθώς επίσης και της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής, η οποία παρουσιάζει και το μεγαλύτερο ενδιαφέρον τόσο ως κινητήρας όσο και κατά τη χρησιμοποίησή της στα αιολικά συστήματα ως γεννήτρια. Η αποτελεσματικότητα του ελεγκτή επιβεβαιώνεται από εκτενείς προσομοιώσεις ενώ στα περισσότερα συστήματα λαμβάνονται και κατάλληλα πειραματικά αποτελέσματα. Κατά τη εφαρμογή του ελέγχου τονίζονται διάφορα σημεία τα οποία μπορεί να εμφανιστούν στην πράξη και στα οποία η αρχική μορφή του μη γραμμικού νόμου ελέγχου ίσως να μην μπορεί να δώσει λύση. Για το λόγο αυτό προτείνονται διάφορες επεκτάσεις οι οποίες βασίζονται στη γενική λογική του ελέγχου και βελτιώνουν τη συμπεριφορά του με βασικούς στόχους να: αυξάνεται η σθεναρότητα του ελεγκτή ως προς τις αρχικές συνθήκες βελτιώνεται η μεταβατική του συμπεριφορά μετασχηματίζεται η δομή του για εφαρμογή σε τριφασικούς μετατροπείς ισχύος ώστε να εγγυάται συγκεκριμένες λειτουργίες, όπως γραμμική διαμόρφωση Με τις επεκτάσεις αυτές ολοκληρώνεται η μορφή του ελέγχου η οποία δίνει λύση σε ένα αρκετά γενικό πρόβλημα. Ένα ιδιαίτερο σημείο που θα τονιστεί στην παρούσα διατριβή είναι η εφαρμογή στην τριφασική επαγωγική μηχανή. Η χρήση της ασύγχρονης μηχανής καθιερώθηκε κυρίως μετά την ανάπτυξη της θεωρίας του διανυσματικού ελέγχου (ή προσανατολισμένου πεδίου), ο οποίος έδωσε λύση στον έλεγχο της ασύγχρονης 9

20 μηχανής [.], [.8]. Παρά το γεγονός ότι ο διανυσματικός έλεγχος απλοποίησε τη σύνθετη λειτουργία της μηχανής και οδήγησε σε γρήγορες μεταβατικές αποκρίσεις, μέχρι και σήμερα δεν έχει μελετηθεί εκτενώς στο πλήρες μοντέλο οδήγησης της ασύγχρονης μηχανής και η ευστάθειά του συστήματος δεν είναι εγγυημένη. Στη διατριβή αυτή, κάνοντας χρήση του μη γραμμικού ελέγχου που προτείνεται και της θεωρίας του διανυσματικού ελέγχου, καταλήγουμε σε έναν προηγμένο έλεγχο ο οποίος μπορεί να εγγυηθεί προσανατολισμό στο πεδίο του δρομέα στη μόνιμη κατάσταση ενώ επίσης εγγυάται ευστάθεια για το πλήρες σύστημα του αντιστροφέα και της ασύγχρονης μηχανής. Στη συνέχεια, αναλύεται ο έλεγχος σε καταστάσεις εξασθένησης πεδίου ενώ τέλος μελετάται η χρήση του ανεξάρτητα από το διανυσματικό έλεγχο, όπου οδηγούμαστε σε έναν απλουστευμένο νόμο ελέγχου ο οποίος έχει αρκετά εύκολη υλοποίηση. Ο σχεδιασμός των ελεγκτών γίνεται πάντοτε λαμβάνοντας υπόψη τη βασική θεωρία της ευστάθειας. Η ολοκλήρωση της εφαρμογής του προτεινόμενου ελέγχου γίνεται με τον έλεγχο ενός πλήρους αιολικού συστήματος που περιλαμβάνει μια τριφασική ασύγχρονη μηχανή βραχυκυκλωμένου κλωβού συνδεδεμένη με κατάλληλους μετατροπείς ισχύος στο δίκτυο. Το σύστημα αυτό αποτελεί ένα πολύ σύνθετο πρόβλημα λόγω των πολλών μεταβλητών κατάστασης και εισόδων ελέγχου. Συνδυάζοντας τις προηγούμενες εφαρμογές του ελέγχου, καταλήγουμε στον κατάλληλο έλεγχο αυτού του συστήματος σύμφωνα με τις λειτουργικές απαιτήσεις του αιολικού συστήματος και η ανωτερότητα του ελέγχου σε σχέση με άλλες τεχνικές είναι προφανής. Η ορθή του λειτουργία επιβεβαιώνεται με εκτενείς προσομοιώσεις. Συμπερασματικά, η διατριβή αυτή έχει στόχο να δώσει λύση σε ένα γενικό πρόβλημα που εμφανίζεται στον έλεγχο των ηλεκτρικών μηχανών και των μετατροπέων ισχύος, το οποίο δεν έχει αναλυθεί πλήρως μέχρι και σήμερα. Η δομή της διατριβής διαρθρώνεται ως εξής: Στο παρόν Κεφάλαιο τονίζεται το πρόβλημα στο οποίο έρχεται να δώσει λύση η διατριβή αυτή παρουσιάζοντας τα βασικά χαρακτηριστικά των συστημάτων που θα μελετηθούν και τις δυσκολίες που εμφανίζονται. Στη συνέχεια τονίζεται με συνοπτικό τρόπο ο στόχος της διδακτορικής διατριβής και η συνεισφορά της στο πεδίο της έρευνας του ελέγχου πάνω σε ολοκληρωμένα συστήματα μετατροπέων ισχύος ηλεκτρικών μηχανών. Στο Κεφάλαιο, παρουσιάζεται η βασική θεωρία των μη γραμμικών συστημάτων μέσω της Eule-Lagange (E-L) και της Hamiltonian προσέγγισης. Όπως υπογραμμίζεται, τα περισσότερα μηχανικά, ηλεκτρικά και ηλεκτρομηχανικά συστήματα δίνονται στη μορφή E-L και Hamiltonian. Τα συστήματα αυτά παρουσιάζουν τη βασική ιδιότητα της παθητικότητας, η οποία όπως διαφαίνεται στη συνέχεια αποτελεί βάση για την απόδειξη της ευστάθειας. Η ανάλυση της θεωρίας αυτής είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς όλα τα συστήματα που θα μελετηθούν δίνονται στη γενική E-L ή Hamiltonian μορφή. Στο Κεφάλαιο 3, αναφέρονται συνοπτικά τα βασικά θεωρήματα που αφορούν τα μη γραμμικά συστήματα δίνοντας ιδιαίτερη βάση στην ανάλυση των θεωρημάτων 0

21 ευστάθειας. Σκοπός του κεφαλαίου είναι η περιγραφή των θεωρημάτων που θα χρησιμοποιηθούν στο πλαίσιο της διατριβής για την απόδειξη της ευστάθειας καθώς επίσης και να τονιστούν κάποια θεωρήματα που χρησιμοποιούνται συνήθως σε αντίστοιχα προβλήματα. Στο Κεφάλαιο 4, δίνεται η περιγραφή των ηλεκτρονικών διατάξεων ισχύος που θα μελετηθούν. Οι διατάξεις αυτές περιλαμβάνουν τον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, τον τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ και τον τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ. Για κάθε μία διάταξη ισχύος, τονίζεται η αρχή λειτουργίας της και στη συνέχεια περιγράφεται ο τρόπος εξαγωγής του κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου, το οποίο περιγράφει με τον ακριβέστερο τρόπο τη δυναμική συμπεριφορά της. Η ακριβής μοντελοποίηση των μετατροπέων ισχύος έχει ιδιαίτερη σημασία για το σχεδιασμό του ελέγχου που ακολουθεί στη συνέχεια. Κάνοντας χρήση των μοντέλων μέσης τιμής, καταλήγουμε στα μη γραμμικά δυναμικά μοντέλα των μετατροπέων ισχύος τα οποία όπως αποδεικνύεται αποτελούν τη βάση για τον έλεγχο των ηλεκτρομηχανικών συστημάτων που θα εξεταστούν. Στο Κεφάλαιο 5, παρουσιάζονται συνοπτικά τα μαθηματικά μοντέλα και οι ιδιότητες των ηλεκτρικών μηχανών με τις οποίες θα ασχοληθούμε στην παρούσα διατριβή. Ξεκινώντας από τις μηχανές συνεχούς ρεύματος, παρουσιάζεται η μαθηματική τους περιγραφή για μηχανή ΣΡ ξένης διέγερσης και με διέγερση σε σειρά. Στη συνέχεια, η ανάλυση εστιάζει στην τριφασική επαγωγική μηχανή, όπου λαμβάνοντας υπόψη το μοντέλο μόνιμη κατάστασης, τονίζονται οι βασικές της ιδιότητες και τα βασικά χαρακτηριστικά τα οποία είναι απαραίτητα για την κατανόηση της λειτουργίας της. Έπειτα, χρησιμοποιείται η θεωρία των δύο σύγχρονα στρεφόμενων καθέτων αξόνων ώστε να παραχθεί το μοντέλο της ασύγχρονης μηχανής στους δύο αυτούς άξονες, το οποίο χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα λόγω της καταλληλότητας του για τον έλεγχο της μηχανής. Στο Κεφάλαιο 6, τα μοντέλα των μετατροπέων ισχύος που περιγράφηκαν στο Κεφάλαιο 4 και των ηλεκτρικών μηχανών του Κεφαλαίου 5 δίνονται στο χώρο κατάστασης. Με τη μοντελοποίηση στο χώρο κατάστασης, αποδεικνύεται ότι τα συστήματα αυτά δίνονται στη γενική Hamiltonian μορφή που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα πλήρη μοντέλα μετατροπέων ισχύος ηλεκτρικών μηχανών. Τα συστήματα που μελετώνται είναι οι δύο τύποι μηχανών συνεχούς ρεύματος με ξένη διέγερση και διέγερση σε σειρά οδηγούμενοι από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, η ασύγχρονη μηχανή ως κινητήρας οδηγούμενη από σύστημα τριφασικού ανορθωτή με διόδους, διασύνδεσης ΣΡ και ελεγχόμενου τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ και τέλος η ασύγχρονη μηχανή οδηγούμενη από πλήρες μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ, η οποία χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις αιολικών συστημάτων. Η ανάλυση των ολοκληρωμένων μοντέλων αποδεικνύει ότι η δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων αυτών εξακολουθεί να περιγράφεται μέσω της γενικής Hamiltonian μορφής, με αποτέλεσμα οι βασικές ιδιότητες τους να διατηρούνται. Στο Κεφάλαιο 7, παρουσιάζεται η βασική συνεισφορά της διδακτορικής διατριβής η οποία αφορά το σχεδιασμό ενός κατάλληλου μη γραμμικού ελεγκτή για τη γενική παθητική Hamiltonian μορφή των συστημάτων που εξετάζονται. Αρχικά ορίζονται οι

22 βασικές υποθέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιεί το σύστημα που μελετάται. Στη συνέχεια ακολουθεί η αναλυτική απόδειξη της ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου με τον προτεινόμενο έλεγχο καθώς επίσης και η σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Έπειτα, μελετάται η συμπεριφορά του ελέγχου ο οποίος όπως αποδεικνύεται κινείται μέσα στο επιθυμητό φραγμένο εύρος τιμών που επιτρέπεται για την είσοδο ελέγχου. Καθώς η λειτουργία του ελεγκτή εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, προτείνεται ένας μικρός μετασχηματισμός στη δυναμική του ελεγκτή ώστε να αυξηθεί η σθεναρότητά του ως προς τις αρχικές συνθήκες. Η λειτουργία του μετασχηματισμένου ελέγχου επιβεβαιώνεται με αναλυτικές μεθόδους. Στο Κεφάλαιο 8, για την εύκολη κατανόηση της λειτουργίας του προτεινόμενου ελέγχου, ο μη γραμμικός νόμος ελέγχου αρχικά εφαρμόζεται στις ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος οι οποίες τροφοδοτούν ένα δυναμικό φορτίο. Πρώτα μελετούμε τη λειτουργία του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης όταν συνδέεται σε ένα ωμικόεπαγωγικό φορτίο. Γίνεται ανάλυση του συστήματος κλειστού βρόχου ώστε να εξεταστεί εάν ικανοποιούνται όλες οι απαραίτητες υποθέσεις και η ορθή λειτουργία του ελεγκτή επιβεβαιώνεται τόσο με προσομοιώσεις όσο και με πειραματικά αποτελέσματα. Με αντίστοιχο τρόπο, προσομοιώνεται το σύστημα του τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ τροφοδοτώντας επίσης ένα ωμικό-επαγωγικό φορτίο. Στο Κεφάλαιο 9, η ανάλυση εστιάζεται στην εφαρμογή του μη γραμμικού ελεγκτή για τον έλεγχο ταχύτητας των κινητήρων ΣΡ που τροφοδοτούνται από έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης. Εξετάζονται οι περιπτώσεις των μηχανών ΣΡ με ξένη διέγερση και με διέγερση σε σειρά και σε κάθε περίπτωση παρουσιάζονται οι πειραματικές διατάξεις που χρησιμοποιήθηκαν. Η λειτουργία του ελέγχου και η θεωρητική ανάλυση επιβεβαιώνεται στην πράξη για διάφορες τιμές της ταχύτητας αναφοράς και για απότομες μεταβολές της ροπής του φορτίου. Ειδικά στο σύστημα της μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά, επειδή η μεταβατική απόκριση είναι σχετικά αργή, προτείνεται μία επέκταση του ελέγχου η οποία μειώνει σημαντικά τον χρόνο απόκρισης, όπως φαίνεται από τις προσομοιώσεις και τα πειραματικά αποτελέσματα. Η επέκταση του ελέγχου βασίζεται στο γενικό πλαίσιο της θεωρίας που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7 ώστε να εγγυάται την ευσταθή λειτουργία του συστήματος κλειστού βρόχου. Στο Κεφάλαιο 0, σκοπός είναι η εφαρμογή του ελέγχου στο σύστημα οδήγησης της τριφασικής επαγωγικής μηχανής. Αρχικά, περιγράφεται ένα τμήμα της βασικής θεωρίας ελέγχου των ασύγχρονων μηχανών δίνοντας βάση στην τεχνική του διανυσματικού ελέγχου με προσανατολισμό στο πεδίο του δρομέα, η οποία αποτελεί την πιο συνήθη τεχνική ελέγχου. Βασιζόμενοι στη γενική ιδέα του προσανατολισμένου πεδίου, προτείνεται μια επέκταση του μη γραμμικού ελέγχου ώστε να μπορεί να εγγυηθεί λειτουργία με γραμμική διαμόρφωση και με προσανατολισμό πεδίου στη μόνιμη κατάσταση. Η λογική του ελεγκτή οδηγεί στην απόδειξη της ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου τόσο κατά τη μεταβατική όσο και κατά τη μόνιμη κατάσταση. Ο έλεγχος συγκρίνεται με τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο και τονίζεται ιδιαίτερα η ανωτερότητά του. Στη συνέχεια, ο μη γραμμικός νόμος ελέγχου χρησιμοποιείται για καταστάσεις εξασθένησης πεδίου και

23 τελικά εφαρμόζεται πλήρως ανεξάρτητα από τη λογική του προσανατολισμένου πεδίου. Στο Κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στα σύγχρονα συστήματα ανανεώσιμων πηγών ενέργειας με στόχο τη μελέτη ενός συστήματος ανεμογεννήτριας με τριφασική ασύγχρονη μηχανή βραχυκυκλωμένου κλωβού συνδεδεμένη στο δίκτυο. Αρχικά αναπτύσσεται η βασική θεωρία του αιολικού δυναμικού και στη συνέχεια μελετάται το ολοκληρωμένο σύστημα της ανεμογεννήτριας συνδεδεμένη στο δίκτυο. Στόχος είναι η μέγιστη απομάστευση ισχύος από το αιολικό δυναμικό και η ευσταθής λειτουργία με μοναδιαίο συντελεστή ισχύος. Εξετάζεται η εφαρμογή του μη γραμμικού ελεγκτή στο πλήρες σύστημα όπου και επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία του. Πέρα από το ιδιαίτερο ενδιαφέρον που παρουσιάζει το σύστημα της ανεμογεννήτριας στα σύγχρονα θέματα, η ανάλυση της ευστάθειας είναι ακόμη πιο δύσκολη σε αυτή την περίπτωση. Για το λόγο αυτό, καταφεύγουμε σε μια πιο σύνθετη ανάλυση ευστάθειας ώστε να ικανοποιηθούν οι συνθήκες με τις οποίες ο μη γραμμικός ελεγκτής οδηγεί το σύστημα κλειστού βρόχου σε ευσταθή συμπεριφορά. Τέλος, στο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα συμπεράσματα στα οποία καταλήγει η παρούσα διατριβή, αξιολογείται η συμβολή της και παρατίθενται μερικές προτάσεις για περεταίρω έρευνα..4 Αναφορές [.] B. K. Bose, Moden Powe Electonics and AC Dives, Uppe Saddle Rive, NJ: Pentice-Hall, 00. [.] W. Leonhad, Contol of Electical Dives, nd Edition, Spinge, 997. [.3] T. Ackemann, Wind Powe in Powe Systems, Wiley, st Edition, 005. [.4] Α. N. Σαφάκας, Ηλεκτρικές μηχανές Α, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [.5] Α. N. Σαφάκας, Ηλεκτρικές μηχανές Β, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [.6] Α. Ν. Σαφάκας, Ηλεκτρικά κινητήρια συστήματα, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [.7] N. Mohan, T. M. Undeland, and W. P. Robbins, Powe Electonics: Convetes, Applications and Design, John Wiley & Sons Inc. Canada, 989. [.8] R. Otega, A. Loia, P. Johan Nicklasson, and H. Sia-Ramiez, Passivity-based Contol of Eule-Lagange Systems, Spinge, 998. [.9] M. A. Pai, Small Signal Analysis of Powe Systems, Alpha Science Intenational, Ltd, 004. [.0] P. A. S. De Wit, R. Otega, and I. Maeels, Indiect Field-oiented Cotol of Induction Moto is Robustly Globally Stable, in Automatica, vol. 3, No. 0, pp , 996. [.] S. Mehta, and J. Chiasson: Nonlinea Contol of a Seies DC Moto: Theoy and Expeiment, IEEE Tans. on Industial Electonics, 45, (), pp. 34-4, Feb [.] A. J. van de Schaft, L -Gain and Passivity Techniques in Nonlinea Contol, Spinge, 000. [,3] H. K. Khalil, Nonlinea systems, 3 d edition, Pentice-Hall, 00. 3

24 [.4] H. Sia-Ramiez, G. Escoba, and R. Otega, On Passivity-Based Sliding Mode Contol of Switched DC-to-DC Powe Convetes, Poc. 35 th Confeence on Decision and Contol, pp , Kobe, Japan, Dec [.5] Tzan-Shin Lee, Lagangian Modeling and Passivity-Based Contol of Thee- Phase AC/DC Voltage-Souce Convetes, IEEE Tans. on Industial Electonics, vol. 5, No. 4, pp , August, 004. [.6] P. J. Nicklasson, R. Otega, and G. Espinosa-Peez, Passivity-Based Contol of a Class of Blondel-Pak Tansfomable Electic Machines, in IEEE Tansactions on Automatic Contol, vol. 4, No. 5, pp , May 997. [.7] K. F. Kommydas, G. C. Konstantopoulos, M. K. Boudoulis, A. T. Alexandidis, Distibuted geneation powe system modeling in nonlinea Hamiltonian fom, 0 IEEE Intenational Confeence on Industial Technology (ICIT), pp.7-3, Athens, Geece, 9- Mach 0. [.8] D.W. Novotny, and T.A. Lipo, Vecto Contol and Dynamics of AC Dives, Oxfod Univesity Pess, USA,

25 Κεφάλαιο Eule-Lagange και Hamiltonian συστήματα - Ιδιότητες. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλυθεί η βασική θεωρία των μη γραμμικών συστημάτων που δίνονται στην Eule-Lagange (E-L) ή στη Hamiltonian μορφή και θα παρουσιαστεί η βασική ιδιότητα αυτών των συστημάτων που αντιστοιχεί στην «παθητικότητα» (passivity). Ο λόγος που ασχολούμαστε με τα E-L και τα Hamiltonian συστήματα είναι γιατί περιγράφουν τη συμπεριφορά μιας μεγάλης κλάσης μηχανικών, ηλεκτρικών και ηλεκτρομηχανικών συστημάτων. Η δυναμική των συστημάτων αυτών είναι μη γραμμική γεγονός που δυσκολεύει σημαντικά την ανάλυσή τους και τον σχεδιασμό του ελέγχου. Βασικό όμως πλεονέκτημά τους αποτελεί η δυνατότητα περιγραφής τους με ένα συστηματικό και με κοινές ιδιότητες τρόπο. Μάλιστα, όπως θα δείξουμε σε επόμενα κεφάλαια, η ακριβής μη γραμμική περιγραφή των συστημάτων που θα αναλύσουμε στην παρούσα διατριβή, ανήκει στην κατηγορία αυτή. Έτσι, αξιοποιώντας την κοινή μορφή των μοντέλων και τις ιδιότητές τους, μπορούμε να γενικεύσουμε την ανάλυση και τον σχεδιασμό μας, όπως επιχειρούμε στα επόμενα κεφάλαια. Βασικό χαρακτηριστικό των συστημάτων αυτών είναι ότι οι δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά τους βασίζεται στον ορισμό των συναρτήσεων ενέργειας μέσω της Lagangian συνάρτησης και στην εφαρμογή της θεωρίας του Hamilton η οποία βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος της Lagangian συνάρτησης. Οι βασικές ιδιότητες των E-L και Hamiltonian συστημάτων είναι: Δεδομένου ότι η μοντελοποίηση των συστημάτων αυτών γίνεται με χρήση συναρτήσεων ενέργειας, μας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε σύνθετα προβλήματα που περιλαμβάνουν ηλεκτρικά και μηχανικά μέρη ταυτόχρονα. Η μοντελοποίηση δίνει αυτόματα τη συνάρτηση αποθήκευσης και την απόσβεση του συστήματος, γεγονός που βοηθάει στον σχεδιασμό κατάλληλων ελεγκτών με ενεργειακές τεχνικές και μη γραμμικές μεθόδους ανάλυσης. Βασική ιδιότητα των συστημάτων αυτών είναι η παθητικότητα η οποία περιγράφει την τάση ενός συστήματος να χάνει ενέργεια ώστε να οδηγείται πιο εύκολα στην ισορροπία. 5

26 . Eule-Lagange συστήματα Για τη μοντελοποίηση των φυσικών συστημάτων, δύο είναι οι βασικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται: η εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης χρησιμοποιώντας βασικούς νόμους (Newton, Kichhoff κτλ.) είτε χρησιμοποιώντας αρχές συγκεκριμένων συναρτήσεων ενέργειας. Σε απλά συστήματα, τα οποία αποτελούνται από μηχανικά ή ηλεκτρικά μέρη, οι δυναμικές εξισώσεις μπορούν να προκύψουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου Newton καθώς και των νόμων του Kichhoff. Στη δεύτερη προσέγγιση, σημαντικό ρόλο παίζει ο κατάλληλος ορισμός των συναρτήσεων ενέργειας οι οποίες πρέπει να εξαρτώνται από όλες τις μεταβλητές του συστήματος (π.χ. θέσεις και φορτίσεις για μηχανικά και ηλεκτρικά συστήματα αντίστοιχα). Η διαδικασία αυτή οδηγεί στον καθορισμό της Lagangian συνάρτησης. Κατά συνέπεια, οι δυναμικές εξισώσεις προκύπτουν από τη θεωρία Hamilton, η οποία βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος της Lagangian συνάρτησης. Θεωρώντας ένα σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας, γενικευμένες μεταβλητές κατάστασης θέσης (γενικευμένες συντεταγμένες coodinates) q n εξωτερικές εισόδους Q R, η δυναμική του περιγράφεται από τις εξισώσεις Eule- Lagange (E-L): d L L F ( qq, ) ( qq, ) ( q) Q dt q q + q = (.) όπου L qq, = T qq, V q (.) 6 n R και ( ) ( ) ( ) είναι η Lagangian συνάρτηση, T( qq, ) είναι η κινητική ενέργεια η οποία θεωρούμε ότι δίνεται στη μορφή: T T( qq, ) = qdqq ( ) (.3) n n όπου Dq ( ) R είναι ο πίνακας αδράνειας ο οποίος είναι συμμετρικός και θετικά T ορισμένος Dq ( ) = D ( q) > 0 και V( q ) είναι η δυναμική ενέργεια η οποία θεωρούμε ότι είναι κάτω φραγμένη. Επιπλέον, F( q ) είναι η συνάρτηση απόσβεσης Reyleigh η οποία ικανοποιεί τη σχέση: T F q ( q ) 0 (.4) q και στα περισσότερα πρακτικά συστήματα δίνεται στην τετραγωνική μορφή: T F ( q ) = q Rq (.5) T με R= R 0 να είναι ένας συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος πίνακας. Οι εξωτερικές είσοδοι Q περιγράφουν τις μεταβλητές ελέγχου και τις εξωτερικές διαταραχές του συστήματος, δηλαδή δίνονται από τη σχέση: Q=Μ u+ Q ζ (.6)

27 u όπου Μ R n n nu είναι ένας σταθερός πίνακας, u R είναι το διάνυσμα των εισόδων ελέγχου και Q ζ είναι το διάνυσμα εξωτερικών σημάτων που περιγράφουν την επίδραση των εξωτερικών διαταραχών στο μοντέλο του συστήματος. Σύμφωνα με τις παραπάνω συναρτήσεις και θεωρώντας αμελητέες τις εξωτερικές διαταραχές, οι εξισώσεις Eule-Lagange (E-L) του συστήματος δίνονται από τη σχέση [.]: d L L F ( qq, ) ( qq, ) ( q) u dt q q + q =Μ (.7) Εάν λάβουμε υπόψη μας τις σχέσεις (.3), (.4) και (.5) για τις συναρτήσεις γενικευμένης κινητικής, δυναμικής ενέργειας και ενέργειας απωλειών, τότε η ισοδύναμη μορφή για τα E-L συστήματα είναι ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης [.]: M( qq ) + Cqqq (, ) + Rqq ( ) + vq ( ) =Μu (.8) V( q) όπου vq ( ) = ενώ για τους πίνακες M( q ) και Cqq (, ) ισχύει ότι ο πίνακας q M ( q) Cqq (, ) είναι αντι-συμμετρικός. Η μορφή (.8) είναι η γενική μορφή την οποία συναντάμε στα περισσότερα μηχανικά, ηλεκτρικά και ηλεκτρομηχανικά συστήματα στην πράξη. Για την ανάλυση αυτών των συστημάτων η εξίσωση E-L (.8) μπορεί να γραφεί υπό μορφή qq, = x, x ως εξής: καταστατικών εξισώσεων με διάνυσμα κατάστασης ( ) ( ) x 0 I x 0 u x = 0 M ( x ) [ Cx (, x) Rx ( ) ] x M ( x) Μ (.9) καθώς ο πίνακας M( x ) είναι θετικά ορισμένος κι επομένως αντιστρέψιμος. Η καταστατική μορφή είναι πρώτης τάξης και έχει άμεση σχέση με τα Hamiltonian συστήματα που περιγράφονται στην παράγραφο που ακολουθεί..3 Hamiltonian συστήματα με απόσβεση Η θεωρία των Hamiltonian συστημάτων πολλές φορές συμπίπτει με αυτή των E-L καθώς βασίζονται στην ίδια αναπαράσταση, με τα Hamiltonian συστήματα να δίνονται απευθείας στον χώρο κατάστασης με φυσικές μεταβλητές ( qq, ). Μια μικρή διαφοροποίηση είναι ότι με τις εξισώσεις E-L μπορούμε να περιγράψουμε κάποιες επιπλέον συγκεκριμένες δυνατότητες ενός συστήματος, όπως για παράδειγμα τις δυνάμεις Coiolis σε ρομποτικούς βραχίονες [.]. Σύμφωνα με τη θεωρία του Hamilton [.], η Hamiltonian συνάρτηση ορίζεται μέσω της Lagangian ως εξής: H q, p = pq T Lqq (, ) = Tqq (, ) + V( q) (.0) ( ) η οποία περιγράφει τη συνολική ενέργεια του συστήματος και η μεταβλητή p περιγράφει το διάνυσμα γενικευμένης ορμής, p ( p p p ) 7 =,,... n όπου:

28 (, ) L qq pi =, i =,..., n. (.) q δηλαδή p= M( qq ) (.) Επομένως, η E-L μορφή (.8) ή ισοδύναμα (.9), μπορεί να μετατραπεί στις εξισώσεις κίνησης Hamilton: Hqp (, ) q i = pi (.3) Hqp (, ) p i = + ui, i =,..., n q ή υπό μορφή πινάκων: i H q 0 I q 0 u p = + I 0 H I p όπου εμφανίζεται η αντι-συμμετρική του πίνακα που ισχύει στις E-L εξισώσεις. Από την (.3) συνεπάγεται: q = M ( q) p T ( pm ( qp ) ) p i = + ui, i =,..., n q i 8 0 I I 0, αντίστοιχα με τη λογική (.4) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.9), (.) και (.4) και θέτοντας x= q = x μπορούμε να καταλήξουμε στη γενική Hamiltonian μορφή των συστημάτων με απόσβεση: H( x) x = ( J( x) Rx ( )) + g( xu ) x (.5) T H( x) y = g ( x) x όπου y x n R είναι το διάνυσμα κατάστασης, m T R είναι το διάνυσμα εξόδου, J( x) J ( x) u m R είναι το διάνυσμα εισόδου, = είναι ένας αντι-συμμετρικός πίνακας και ισούται με J( x) = M C και Rx ( ) είναι ένας συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος πίνακας. Η συνάρτηση H( x ) αντιπροσωπεύει τη Hamiltonian του συστήματος η οποία θεωρούμε ότι είναι κάτω φραγμένη [.]. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει μια ειδική περίπτωση Hamiltonian συστημάτων όπου η Hamiltonian συνάρτηση δίνεται στην τετραγωνική μορφή: T H ( x) = x Mx (.6)

29 όπου ο πίνακας M είναι σταθερός, συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα (.5) γράφεται στη μορφή: ( ) Mx = J ( x) R( x) x + g( x) u y= gxx ( ) (.7) όπου ο πίνακας J ( x) = MJ ( x) M είναι αντι-συμμετρικός πίνακας, ο πίνακας R( x) = MR( x) M είναι συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος ενώ επιπλέον g( x) = Mg( x)..4 Η ιδιότητα της παθητικότητας Η θεωρία των E-L συστημάτων όσο και των Hamiltonian συστημάτων είναι άμεσα συνδεδεμένη με την έννοια της παθητικότητας. Με τον όρο «παθητικότητα» (passivity) εννοούμε την ιδιότητα ενός συστήματος να μην αποθηκεύει περισσότερη ενέργεια από αυτή που του παρέχεται από τις εξωτερικές εισόδους, με τη διαφορά των δύο ενεργειών να περιγράφει την ενέργεια απωλειών του συστήματος λόγω των όρων απόσβεσης. Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική για ένα σύστημα καθώς η έννοια της απόσβεσης είναι άμεσα συνδεδεμένη με την ευστάθεια του συστήματος [.3], [.4]. Έστω ένα μη γραμμικό σύστημα στη γενική μορφή: x = f( x) + g( xu ) y= hx ( ) (.8) n m όπου x R, u, y R και f, g, h είναι ομαλές συναρτήσεις με f(0) = h(0) = 0. Έστω w= wu (, y) ο ρυθμός παροχής ενέργειας του συστήματος τέτοιος ώστε u, x(0) : t w() s ds <, t R + (.9) 0 δηλαδή ο ρυθμός παροχής να είναι τοπικά ολοκληρώσιμος. Ορισμός.. [.3] (Αποσβεννύμενο σύστημα) Το σύστημα (.8) λέγεται αποσβεννύμενο σύστημα αν υπάρχει μια συνάρτηση αποθήκευσης V( x) 0 τέτοια ώστε u, x(0) : t V x( t) V x(0) w( s) ds. (.0) ( ) ( ) 0 Τα παθητικά συστήματα αποτελούν ένα σημαντικό υποσύνολο των αποσβεννύμενων συστημάτων όπου ο ρυθμός παροχής wu (, y ) δίνεται από τη σχέση: T wu (, y) = y () tut () (.) 9

30 Ορισμός.. [.3] Το σύστημα με είσοδο u και έξοδο y όπου ut (), yt () R λέγεται παθητικό σύστημα αν υπάρχει μια σταθερά β τέτοια ώστε: t T y ( τ ) u ( τ ) dτ β (.) 0 για όλες τις συναρτήσεις ut () και για κάθε t 0. m Θεώρημα.. [.5] Θεωρούμε ότι υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση Vt () 0 τέτοια ώστε: t T V t V 0 y ( τ) u( τ) dτ (.3) ( ) ( ) 0 για όλες τις συναρτήσεις ut (), για κάθε t 0 και για κάθε V (0). Τότε το σύστημα με είσοδο ut () και έξοδο yt () είναι παθητικό. Η σχέση (.3) περιγράφει ότι η αποθηκευμένη ενέργεια V( xt ()) σε μια μελλοντική χρονική στιγμή t είναι μικρότερη ή ίση με το άθροισμα της διαθέσιμης αποθηκευμένης ενέργειας V ( x (0)) την αρχική χρονική στιγμή 0 με τη συνολική ενέργεια που παρέχεται στο σύστημα από τις εξωτερικές εισόδους στο χρονικό διάστημα [ 0,t ], δηλαδή δεν υπάρχει εσωτερική δημιουργία ενέργειας από το σύστημα. Επομένως, υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση D( xt ()) 0τέτοια ώστε: ( ) ( ) ( ) t T V x( t) V x(0) = D x( τ) dτ + y ( τ) u( τ) dτ 0 0 t (.4) η οποία μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα υπό τη μορφή παραγώγων: T V ( xt ()) = D( xt ()) + y () tut () (.5) Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, τα περισσότερα συστήματα, όπως και αυτά που θα μας απασχολήσουν στην παρούσα διατριβή, που αφορούν ηλεκτρικά, μηχανικά και ηλεκτρομηχανικά συστήματα δίνονται στη γενική E-L ή Hamiltonian μορφή. Τέτοια συστήματα είναι οι διάφοροι τύποι μηχανών (μηχανή συνεχούς ρεύματος, ασύγχρονη μηχανή, σύγχρονη μηχανή κτλ.) καθώς και οι μετατροπείς ισχύος που απαιτούνται για την οδήγησή τους. Γίνεται λοιπόν κατανοητό πόσο χρήσιμη είναι η ανάλυση αυτών των συστημάτων στη μη γραμμική τους μορφή καθώς επίσης και των ιδιοτήτων τους (παθητικότητα-ευστάθεια). Για τον λόγο αυτό, είναι ιδιαίτερα σημαντικό να δείξουμε ότι τα E-L και τα Hamiltonian συστήματα ικανοποιούν την ιδιότητα της παθητικότητας. Ξεκινώντας από τα Ε-L συστήματα που δίνονται στη γενική μορφή (.8), ορίζουμε ως συνάρτηση αποθήκευσης τη συνάρτηση: T V= qm ( qq ) + V( q) (.6) 30

31 Λαμβάνοντας την παράγωγο της παραπάνω συνάρτησης ως προς τον χρόνο καταλήγουμε: T T T V( q) V = qm ( qq ) + qm ( qq ) + q (.7) q όπου αν αντικαταστήσουμε το q από τη γενική σχέση (.8) λαμβάνουμε τη σχέση: T T T T T T V( q) V = qm ( qq ) qcqqq (, ) qdqq ( ) qvq ( ) + q Μ u+ q = q T T = qdqq ( ) + q Μu (.7) Αν θέσουμε y = q και u = Μ u τότε η σχέση (.7) γίνεται: T T T V = qdqq ( ) + yu yu (.8) το οποίο αποδεικνύει ότι τα E-L συστήματα είναι παθητικά σύμφωνα με τη σχέση (.5). Με αντίστοιχο τρόπο, για τη γενική Hamiltonian μορφή (.5), μπορούμε να ορίσουμε ως συνάρτηση αποθήκευσης τη Hamiltonian συνάρτηση: ( ) H( x) V x = (.9) Αν πάρουμε τη χρονική παράγωγο της συνάρτησης αποθήκευσης καταλήγουμε στη σχέση: H( x) V ( x) = x x (.30) Αντικαθιστώντας την παράγωγο του διανύσματος κατάστασης x από τη σχέση (.5) καταλήγουμε ότι: T T H ( x) H( x) H ( x) V ( x) = ( J( x) Rx ( )) + g( xu ) = x x x T H ( x) H( x) T T = Rx ( ) + yu yu x x (.3) T H ( x) H( x) καθώς η συνάρτηση Rx ( ) είναι μη αρνητική. Σύμφωνα με τη σχέση x x (.5), η σχέση (.3) δηλώνει ότι τα Hamiltonian συστήματα εμπεριέχουν την ιδιότητα της παθητικότητας. Παρότι η παθητικότητα περιγράφει αποσβεννύμενη συμπεριφορά για το σύστημα, είναι μια ιδιότητα εισόδου-εξόδου. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να μην μπορεί να εγγυηθεί ευστάθεια για το σύστημα. Στο πλαίσιο αυτής της διατριβής, θα δείξουμε κάτω υπό ποιες συνθήκες η παθητικότητα μπορεί να οδηγήσει σε ευστάθεια σε Hamiltonian συστήματα με όρους απόσβεσης..5 Σύνοψη - Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό μελετήθηκαν τα μη γραμμικά συστήματα που δίνονται στην Eule-Lagange και τη Hamiltonian μορφή. Η μοντελοποίηση αυτών των συστημάτων είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός 3

32 μεγάλου συνόλου συστημάτων που αφορούν τον τομέα της μηχανικής. Με βασική ιδιότητα την παθητικότητα, τα συστήματα αυτά έχουν την τάση να μην αποθηκεύουν περισσότερη ενέργεια από αυτή που τους παρέχεται από εξωτερικές εισόδους, γεγονός ιδιαίτερα σημαντικό για την ευσταθή λειτουργία τους..6 Αναφορές [.] R. Otega, A. Loia, P. Johan Nicklasson, and H. Sia-Ramiez, Passivity-based Contol of Eule-Lagange Systems, Spinge, 998. [.] Α. Θ. Αλεξανδρίδης, Δυναμική και έλεγχος E-L ηλεκτρομηχανικών συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πατρών, 007. [.3] A. J. van de Schaft, L -Gain and Passivity Techniques in Nonlinea Contol, Spinge, 000. [.4] G. C. Konstantopoulos, and A. T. Alexandidis, Stability and Convegence Analysis fo a Class of Nonlinea Passive Systems, in 50 th IEEE Confeence on Decision and Contol and Euopean Contol Confeence, pp , Olando FL, Dec [.5] H. K. Khalil, Nonlinea systems, 3 d edition, Pentice-Hall, 00. 3

33 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί και ειδικά θέματα επί της ευστάθειας συστημάτων 3. Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, τα περισσότερα συστήματα στην E-L ή στη Hamiltonian μορφή είναι μη γραμμικά. Το γεγονός αυτό αυξάνει την πολυπλοκότητά τους και δυσκολεύει την ανάλυση της συμπεριφοράς τους. Για τον σκοπό αυτό κρίνεται αναγκαίο να αναφερθούμε σε κάποια θεμελιώδη σημεία από τη θεωρία τόσο των γραμμικών όσο και των μη γραμμικών συστημάτων. Εκτός από την ιδιότητα της παθητικότητας, η οποία ορίζεται με ενεργειακές συναρτήσεις όπως αναλυτικά αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η βασική ζητούμενη ιδιότητα των μη γραμμικών συστημάτων είναι η ευστάθεια η οποία, όπως θα αναλυθεί στο κεφάλαιο αυτό, αποδεικνύεται με τη χρήση διάφορων θεωρημάτων που βασίζονται επίσης σε συναρτήσεις αποθήκευσης ανάλογες ή ίδιες με τις ενεργειακές συναρτήσεις παθητικότητας, οι οποίες είναι γνωστές ως συναρτήσεις Lyapunov. Έτσι, θα δοθεί μια πρώτη προσέγγιση της ιδιότητας της παθητικότητας με αυτή της ευστάθειας, παρότι η πρώτη δεν μπορεί από μόνη της να αντικαταστήσει τη δεύτερη. Μια βασική συνεισφορά της παρούσης διατριβής είναι ότι έχουμε αποδείξει τις συνθήκες και τα προαπαιτούμενα ώστε η παθητικότητα να μπορεί να οδηγήσει με βεβαιότητα και σε ευστάθεια. Τέλος, στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί και μια από τις πιο πρόσφατες προσεγγίσεις των μη γραμμικών συστημάτων μέσω ακολουθίας γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων η οποία και θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα διατριβή βοηθώντας ιδιαίτερα στην ανάλυση της ευστάθειας. 3. Μη γραμμικά συστήματα Με την έννοια «μη γραμμικό σύστημα» εννοούμε ένα σύστημα όπου οι δυναμικές του εξισώσεις περιλαμβάνουν τουλάχιστον ένα μη γραμμικό όρο. Οι μη γραμμικότητες μπορεί να είναι «υπάρχουσες», δηλαδή να σχετίζονται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος (πχ. τριβές Coulomb), ή «επιβαλλόμενες», οι οποίες προκαλούνται από τεχνικό τρόπο με την εφαρμογή ελέγχου (πχ. bang-bang έλεγχος). Η πιο συνήθης περίπτωση, με την οποία και θα ασχοληθούμε, είναι όταν οι μη γραμμικότητες είναι ενσωματωμένες στο μοντέλο. 33

34 Ένα μη γραμμικό σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων της μορφής [3.]: x = f xt, (3.) ( ) όπου f είναι ένα n διάνυσμα συναρτήσεων και το x περιγράφει το n διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης. Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης n περιγράφει την τάξη του συστήματος, ενώ xt () είναι η λύση της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης (3.) και ονομάζεται «τροχιά» του συστήματος. Στην περίπτωση που το σύστημα περιλαμβάνει και είσοδο, όπως στην περίπτωση συστήματος ανοικτού βρόχου, τότε δίνεται στη μορφή: (,, ) x = f xut (3.) όπου u είναι το m διάνυσμα εισόδου. Με την εφαρμογή ενός νόμου ελέγχου, το σύστημα (3.) δίνεται στη γενική μορφή (3.). Μια συγκεκριμένη ομάδα μη γραμμικών συστημάτων είναι τα γραμμικά συστήματα τα οποία δίνονται από τη σχέση: x = At () x (3.3) και στην περίπτωση όπου υπάρχει είσοδος: x = At () x+ Btu () (3.4) όπου At () και Bt () είναι n n και n m πίνακες αντίστοιχα. Στην περίπτωση όπου τα A και B εξαρτώνται από τον χρόνο t τότε το σύστημα (3.3) ή (3.4) ονομάζεται «γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο» ενώ όταν είναι σταθερά ονομάζεται «γραμμικό χρονικά αμετάβλητο». Στην περίπτωση που το μη γραμμικό σύστημα (3.) δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο t αλλά μόνο από την κατάσταση x, τότε ονομάζεται «αυτόνομο σύστημα» και δίνεται στη μορφή: x = f( x) (3.5) Ένα σημαντικό στοιχείο για την ευστάθεια ενός συστήματος, σε όποια μορφή και αν δίνεται, είναι η ύπαρξη σημείου ισορροπίας. Το σημείο ισορροπίας δίνεται από τον παρακάτω βασικό ορισμό. Ορισμός 3. Μια κατάσταση * x ονομάζεται κατάσταση ισορροπίας (ή σημείο ισορροπίας) του συστήματος εάν η τροχιά xt () γίνει ίση με * x για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή. * x και παραμείνει ίση με Ο παραπάνω ορισμός εκφράζεται με μαθηματικό τρόπο ως: * 0 = f( x ) (3.6) 3.3 Ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων Η θεωρία ευστάθειας παίζει βασικό ρόλο στη θεωρία συστημάτων και τη μηχανική. Η ευστάθεια αφορά κυρίως σημεία ισορροπίας και δίνεται στην πιο 34

35 συνήθη μορφή της από τα θεωρήματα Lyapunov [3.]. Ενώ στα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα x = Ax, η ευστάθεια του σημείου ισορροπίας x = 0 δίνεται εύκολα από το αν οι ιδιοτιμές του πίνακα έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη, στα μη γραμμικά ή στα γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα η απόδειξη δεν είναι τόσο εύκολη. Αρχικά, θα πρέπει να δώσουμε τους ορισμούς ευστάθειας για τη γενική μορφή μη γραμμικών συστημάτων (3.). Ορισμός 3. Το σημείο ισορροπίας x = 0 της (3.) είναι: ευσταθές εάν, για κάθε 0 δ = δ ε, t > 0 τέτοιο ώστε ( ) 0 0 ε >, υπάρχει ( ) x t < δ xt () < ε, t t 0 (3.7) ομοιόμορφα ευσταθές εάν, για κάθε 0 ανεξάρτητα από το t 0, τέτοιο ώστε η (3.7) να ικανοποιείται. 0 ε >, υπάρχει δ δ ( ε) 0 = >, ασυμπτωτικά ευσταθές εάν είναι ευσταθές και υπάρχει θετική σταθερά x t < c. c= c( t 0 ) τέτοια ώστε () 0 xt καθώς t, για κάθε ( ) ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές εάν είναι ομοιόμορφα ευσταθές και υπάρχει θετική σταθερά c, ανεξάρτητη από το t 0, τέτοια ώστε για κάθε < c, xt () 0 καθώς t, ομοιόμορφα στο t 0, δηλαδή για κάθε x( t0 ) η > 0, υπάρχει T = T( η) > 0 τέτοιο ώστε ( ) xt ( ) < η, t t + T( η), x t < c (3.8) ολικά ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές, εάν είναι ομοιόμορφα ευσταθές, το δε ( ) μπορεί να επιλεγεί ώστε να ικανοποιεί lim δε ( ) = και για κάθε ζεύγος ε θετικών αριθμών η και c, υπάρχει T = T( η, c) > 0 τέτοιο ώστε ( ) xt ( ) < η, t t + T( η, c), x t < c (3.9) 0 0 εκθετικά ευσταθές εάν υπάρχουν θετικές σταθερές c, k και λ τέτοιες ώστε ( ) λ( t t ) ( ) x() t k x t e, x t < c (3.0) ολικά εκθετικά ευσταθές εάν είναι εκθετικά ευσταθές και η (3.0) ικανοποιείται για κάθε αρχική κατάσταση x( t 0 ). Οι παραπάνω ορισμοί είναι βασικοί για την εφαρμογή της θεωρίας Lyapunov. Καθώς πολλά μη γραμμικά συστήματα, όπως και αυτά που θα μελετήσουμε στην παρούσα διατριβή, είναι αυτόνομα, θα περιοριστούμε στην ανάλυση των θεωρημάτων Lyapunov στα αυτόνομα μη γραμμικά συστήματα. Η θεωρία Lyapunov βασίζεται σε δύο βασικά θεωρήματα: τη «μέθοδο γραμμικοποίησης Lyapunov» ή «τοπική ευστάθεια» και την «άμεση μέθοδο Lyapunov». 35

36 Η μέθοδος γραμμικοποίησης βασίζεται στην υπόθεση ότι ένα μη γραμμικό σύστημα συμπεριφέρεται σαν γραμμικό κοντά σε μια μικρή περιοχή του σημείου ισορροπίας. Αν θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα (3.5) όπου η συνάρτηση f( x ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, τότε η δυναμική του συστήματος μπορεί να γραφεί ως: f x = x+ fhot...( x) (3.) x x= 0 όπου η f hot... αντιπροσωπεύει τους όρους υψηλότερης τάξης της f( x ) όταν αναπτυχθεί σε σειρά Taylo γύρω από το μηδέν. Παρατηρούμε ότι η σειρά Taylo ξεκινά από τον πρώτο όρο καθώς f (0) = 0, αφού το 0 είναι το σημείο ισορροπίας. Μπορούμε, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε έναν σταθερό πίνακα A ο οποίος να ισοδυναμεί με τον ιακωβιανό πίνακα της f στο x = 0 (δηλ. ένας πίνακας n n με στοιχεία f / x ): i f A = x x= 0 (3.) Τότε το σύστημα: x = Ax (3.3) ονομάζεται γραμμικοποίηση (ή γραμμική προσέγγιση) του αρχικού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το 0. Αντίστοιχα για ένα μη γραμμικό σύστημα με είσοδο, η γραμμική του προσέγγιση γίνεται: f f x = x + u = Ax + Bu (3.4) x x= 0 u x= 0 Κάνοντας χρήση των γραμμικοποιημένων συστημάτων, μπορούμε να δώσουμε την έκφραση του πρώτου θεωρήματος Lyapunov. Θεώρημα 3.: Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι αυστηρώς ευσταθές (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του A είναι αυστηρά στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (για το μη γραμμικό σύστημα). Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές (δηλ. τουλάχιστον μία ιδιοτιμή του A είναι αυστηρά στο δεξί μιγαδικό επίπεδο), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές (για το μη γραμμικό σύστημα). Εάν το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι οριακά ευσταθές (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του A είναι στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο, αλλά τουλάχιστον μία είναι πάνω στον φανταστικό άξονα), τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την ευστάθεια του μη γραμμικού συστήματος από την γραμμική του προσέγγιση. 36

37 Σε πολλά συστήματα, η γραμμική προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού συστήματος δεν μπορεί να υπολογιστεί, ή όπως είδαμε από το παραπάνω θεώρημα, δεν μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για την ευστάθεια. Επιπλέον, η γραμμικοποίηση του συστήματος ισχύει για μια περιοχή κοντά στο σημείο ισορροπίας. Έτσι, όσο απομακρυνόμαστε από αυτό, η ανάλυση δεν ισχύει. Στα προβλήματα αυτά έρχεται να δώσει λύση το δεύτερο θεώρημα Lyapunov το οποίο αποδεικνύει πλήρη ευστάθεια του συστήματος και ονομάζεται «άμεση μέθοδος Lyapunov». Θεώρημα 3. Θεωρούμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση V( x ) με συνεχείς πρώτες παραγώγους, τέτοια ώστε: η V( x ) να είναι θετικά ορισμένη η V ( x) να είναι αρνητικά ορισμένη V( x) καθώς x Τότε το μηδενικό σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Το Θεώρημα 3. αποτελεί ένα από τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων, ενώ επιπλέον αποτελεί τη βάση για τον σχεδιασμό μη γραμμικών τεχνικών ελέγχου. Ωστόσο, τα θεωρήματα ευστάθειας του Lyapunov αποδεικνύουν ευστάθεια ενός συστήματος στο μηδενικό σημείο ισορροπίας x = 0. Σε περίπτωση όπου ένα σύστημα έχει σημείο ισορροπίας διάφορο του μηδενός (ένα πολύ σύνηθες γεγονός) * x 0, τότε χρησιμοποιείται συνήθως το μοντέλο διαφορών (eo dynamics) όπου * ορίζεται μια αλλαγή μεταβλητής x = x x με το νέο σύστημα να έχει πλέον σημείο ισορροπίας το μηδέν και να μπορούν να εφαρμοστούν τα βασικά θεωρήματα. Σε ένα μη γραμμικό σύστημα, όπου μπορεί να περιλαμβάνει δύσκολες μη γραμμικότητες, το μοντέλο διαφορών δεν είναι δυνατόν πάντοτε να δημιουργηθεί. Αυτό είναι και ένα από τα βασικά μειονεκτήματα της εφαρμογής των θεωρημάτων του Lyapunov. Μια επέκταση αυτών των θεωρημάτων Lyapunov που αποδεικνύει ασυμπτωτική ευστάθεια σε ένα αμετάβλητο σύνολο (σύνολο σημείων ισορροπίας και οριακών κύκλων) είναι το Θεώρημα LaSalle (LaSalle s Theoem ή LaSalle s Invaiance Pinciple) το οποίο αναπτύχθηκε πλήρως το 968 [3.3] και αναφέρεται σε μη γραμμικά συστήματα της μορφής: x = f( x) (3.5) όπου xe D είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος, δηλαδή f( x e) = 0, το οποίο δεν είναι υποχρεωτικό να είναι το μηδενικό. Θεώρημα 3. [3.] Έστω Ω D ένα συμπαγές σύνολο το οποίο είναι θετικά αμετάβλητο ως προς την (3.5). Έστω V : D R είναι μια συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε V ( x) 0 στο Ω. Έστω E το σύνολο όλων 37

38 των σημείων στο Ω όπου V ( x ) = 0. Έστω M το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο στο E. Τότε κάθε λύση που ξεκινά στο Ω προσεγγίζει το M καθώς t. Το Θεώρημα 3. υποδεικνύει ότι αν ισχύουν οι προϋποθέσεις για τη συνάρτηση Lyapunov V( x ), τότε το η λύση του μη γραμμικού συστήματος (3.5) θα συγκλίνει σε ένα από τα σημεία ισορροπίας του συστήματος ή σε κάποιον οριακό κύκλο. Σημαντικό ρόλο στην εφαρμογή του θεωρήματος αυτού είναι η έννοια της σύγκλισης ή προσέγγισης (convegence) η οποία δίνεται από τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός 3.3. [3.] Θεωρούμε ότι η λύση xt () προσεγγίζει ένα σύνολο Q όσο το t προσεγγίζει το άπειρο, εάν για κάθε ε > 0 υπάρχει T > 0 τέτοιο ώστε: dist x( t), Q < ε, t > T ( ) όπου το dist ( p, Q ) εκφράζει την απόσταση ενός σημείου p από το σύνολο Q, δηλαδή τη μικρότερη απόσταση από το p σε οποιοδήποτε σημείο του Q. Πιο συγκεκριμένα: dist p, Q = inf p x ( ) x Q Ο παραπάνω ορισμός της σύγκλισης είναι ιδιαίτερα σημαντικός και με απλά λόγια λέει ότι μπορούμε να ορίσουμε μια μικρή απόσταση ε γύρω από το σημείο ισορροπίας όπου αν η λύση xt () μπει σε αυτή την περιοχή και δεν ξαναβγεί, έχουμε θεωρήσει πρακτικά ότι το σύστημά μας έχει συγκλίνει στο σημείο ισορροπίας. Τα θεωρήματα που αναπτύχθηκαν αναφέρονται σε μη γραμμικά συστήματα χωρίς είσοδο της μορφής (3.5). Σε περιπτώσεις όπου μας ενδιαφέρει η ευστάθεια συστημάτων με εξωτερική είσοδο της μορφής (3.), τα θεωρήματα που έχουν προταθεί είναι λίγα και με αρκετούς περιορισμούς. Για παράδειγμα, η L ευστάθεια αναφέρεται σε συστήματα όπου η είσοδος μηδενίζεται καθώς περνάει ο χρόνος [3.4]. Επειδή σε πολλά συστήματα, όπως και σε αυτά που μας ενδιαφέρουν, η εξωτερική είσοδος είναι ένα φραγμένο σήμα, το βασικότερο θεώρημα που έχει αναπτυχθεί για μη γραμμικά συστήματα είναι το θεώρημα ευστάθειας εισόδου-προς-κατάσταση (input-to-state stability ISS) [3.5], [3.6] για το οποίο ισχύει το παρακάτω Λήμμα. Λήμμα 3. [3.] Έστω η f( txu,, ) συνεχής, παραγωγίσιμη και ολικά Lipschitz στο ( xu, ) ομοιόμορφα στο t. Εάν το σύστημα χωρίς είσοδο (3.) έχει ένα ολικά εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας στο x = 0, τότε το σύστημα (3.) είναι ευσταθές από είσοδο-προς-κατάσταση. Το Λήμμα 3. μπορεί να δείξει ότι αν η είσοδος είναι φραγμένη, τότε και η λύση του μη γραμμικού συστήματος θα είναι επίσης φραγμένη. Παρόλα αυτά, οι προϋποθέσεις που πρέπει να ικανοποιεί το μη γραμμικό σύστημα είναι ιδιαίτερα 38

39 περιοριστικές καθώς πολλές φορές δεν ικανοποιείται η ολικά Lipschitz ιδιότητα της f( txu,, ) ενώ πολύ δύσκολα μπορεί να αποδειχθεί η ολική εκθετική ευστάθεια του συστήματος με μηδενική είσοδο. Επομένως, σε περιπτώσεις αυτές καταφεύγουμε σε γραμμικές προσεγγίσεις του μη γραμμικού συστήματος όπως στις παραγράφους που ακολουθούν. 3.4 Ευστάθεια γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων Επειδή αρκετά μη γραμμικά συστήματα μπορούν να μελετηθούν ως γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα [3.7], είναι σημαντικό να δώσουμε κάποια βασικά θεωρήματα ευστάθειας και ορισμούς για τα συστήματα αυτά. Έστω το n διαστάσεων γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο δυναμικό σύστημα που περιγράφεται από την εξίσωση: x = At () x+ Btu (), x(0) = x0 (3.6) όπου x είναι το n διαστάσεων διάνυσμα κατάστασης, u είναι το m διαστάσεων διάνυσμα εισόδου, A και B είναι n n και n m πίνακες αντίστοιχα. Φ t, τ η μήτρα διέλευσης του συστήματος (3.6). Έστω ( ) Ορισμός 3.4. [3.8] Ένα δυναμικό σύστημα της μορφής (3.6) ονομάζεται ολικά ευσταθές (totally stable ή T-stable) ως προς τη μεταβλητή x, εάν και μόνο εάν για κάθε αρχική κατάσταση και για κάθε φραγμένη είσοδο, οι μεταβλητές καταστάσεις είναι φραγμένες. Με βάσει τον παραπάνω ορισμό μπορούμε να παραθέσουμε το θεώρημα της ολικής ευστάθειας για τα γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα: Θεώρημα 3.3 [3.8] Το σύστημα που περιγράφεται από τη γραμμική δυναμική εξίσωση (3.6) είναι ολικά ευσταθές εάν και μόνο εάν η μήτρα διέλευσης Φ ( t, τ ) είναι φραγμένη και t t0 ( ) Φ t, τ B( τ) dτ k < για κάθε t 0 και για κάθε t t0. Ας θεωρήσουμε τώρα το γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα χωρίς εξωτερική είσοδο: x = At ( ) x, x(0) = x0 (3.7) και έστω ότι ο πίνακας At () αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις και ότι το A( ) = lim At ( ) υπάρχει. Τότε ισχύει το παρακάτω Λήμμα. t 39

40 Λήμμα 3. [3.] Το σύστημα (3.7) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές εάν όλες οι ιδιοτιμές του A( ) έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι σε ένα γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα της μορφής (3.7) δεν αρκούν οι ιδιοτιμές του πίνακα At () να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη για οποιοδήποτε t όπως σε ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα. Επιπλέον, πρέπει ο πίνακας At () να είναι φραγμένος και να υπάρχει το A( ). Ένα πολύ χρήσιμο Λήμμα για την απόδειξη της ευστάθειας τόσο γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων όσο και μη γραμμικών συστημάτων, είναι το Λήμμα Babalat. Λήμμα 3.3 (Babalat) [3.] Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f() t έχει πεπερασμένο όριο καθώς t και η f είναι ομοιόμορφα συνεχής, τότε f () t 0 καθώς t. Το παραπάνω Λήμμα οδηγεί σε ένα άλλο πολύ σημαντικό Λήμμα για τη απόδειξη ευστάθειας. Λήμμα 3.4 [3.] Αν η βαθμωτή συνάρτηση V(,) xt ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες η V(,) xt είναι κάτω φραγμένη η V (,) xt είναι θετικά ημι-ορισμένη η V (,) xt είναι ομοιόμορφα συνεχής στο χρόνο τότε V (,) xt 0καθώς t. Το παραπάνω Λήμμα δηλώνει ότι η παράγωγος της συνάρτησης Lyapunov θα τείνει στο μηδέν καθώς t. Το Λήμμα αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό καθώς η συνάρτηση Lyapunov V(,) xt εξαρτάται από το διάνυσμα κατάστασης και το χρόνο, γεγονός που σημαίνει ότι μπορεί να εφαρμοστεί και σε μη αυτόνομα συστήματα. Για να ολοκληρώσουμε με τη θεωρία ευστάθειας των γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων, θα αναφέρουμε κάποια βασικά στοιχεία της θεωρίας επιμένουσας εσωτερικής διέγερσης (pesistency of excitation PE) [3.9], [3.0] η οποία εφαρμόζεται για περισσότερο από 30 χρόνια και χρησιμοποιείται τόσο σε γραμμικά όσο και σε μη γραμμικά συστήματα με κύρια εφαρμογή σε προσαρμοστικό έλεγχο [3.]. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, μια συνάρτηση ϕ () t ονομάζεται επιμόνως διεγείρουσα (pesistently exciting PE), εάν είναι φραγμένη, ολικά Lipschitz και υπάρχουν θετικές σταθερές µ, T > 0 τέτοιες ώστε: 40

41 t+ T T ϕτϕ ( ) ( τ) dτ µ I, t 0 (3.8) t Θεωρούμε τώρα το γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα της μορφής: e At () Dt () e T θ = C () t 0 θ (3.9) όπου n m n n e R, θ R, At () R n m, Dt () R n m και Ct () R. Θεώρημα 3.4 [3.9] Θεωρούμε το σύστημα (3.9) που ικανοποιεί τις παρακάτω υποθέσεις: Υπόθεση Υπάρχει ϕ M > 0 τέτοιο ώστε για κάθε t 0 ισχύει max Dt (), Dt () ϕm (3.0) { } Υπόθεση Υπάρχουν συμμετρικοί πίνακες Pt () και Qt () τέτοιοι ώστε T T PtDt () () = C () t και Qt () = A() tpt () + Pt () At () + Pt (). Επιπλέον, p, q, p m m M και q M > 0 τέτοια ώστε για κάθε t 0, pmi Pt () pmi και qmi Qt () qmi. Τότε, το σύστημα (3.9) είναι ομοιόμορφα ολικά εκθετικά ευσταθές εάν και μόνο εάν T το D () t είναι ΡΕ. 3.5 Γραμμική προσέγγιση μη γραμμικών συστημάτων Λόγω της εγγενής δυσκολίας του μοντέλου των μη γραμμικών συστημάτων, για την ανάλυσή τους έχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι με πιο συνήθη την τοπική γραμμικοποίηση (local lineaization), δηλαδή όπως αναφέρθηκε, τη γραμμικοποίηση γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο ισορροπίας [3.]. Η μέθοδος αυτή έχει το μειονέκτημα ότι δεν μπορεί να περιγράψει τη συμπεριφορά του μη γραμμικού συστήματος όταν οι καταστάσεις απέχουν αρκετά από το σημείο ισορροπίας. Άλλες μέθοδοι που έχουν προταθεί χρησιμοποιούν άλγεβρα Lee [3.], ενώ στην διατριβή αυτή θα χρησιμοποιήσουμε μια καινούρια τεχνική που έχει προταθεί πρόσφατα και βασίζεται στην προσέγγιση ενός μη γραμμικού συστήματος από μια ακολουθία γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων [3.], [3.3]. Για μεγάλη τάξη μη γραμμικών συστημάτων, η γενική μορφή (3.5) μπορεί να γραφτεί στη μορφή: x = Axx ( ) + Bxu ( ), x(0) = x y= Cxx ( ) 0 (3.) Θεώρημα 3.5 [3.] Θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα της μορφής (3.) με n x(0) = x0 R. Παραθέτουμε την ακολουθία των γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενων προσεγγίσεων: [0] [0] [0] [0] x () t = A( x0) x () t + B( x0) u (), t x (0) = x0 (3.) και για i, 4

42 ( ) ( ) (3.3) [] i [ i ] [] i [ i ] [] i [] i x () t = A x () t x () t + B x () t u (), t x (0) = x0 Εάν οι πίνακες A και B είναι τοπικά Lipschitz, τότε το σύστημα (3.)-(3.3) συγκλίνει στο σύστημα (3.) καθώς i και 4 [] lim x i () t xt () i =. Στο Θεώρημα 3.5 δεν δηλώνεται ότι η λύση κάθε υποσυστήματος της ακολουθίας θα συμπίπτει με τη λύση του μη γραμμικού συστήματος αλλά μόνο καθώς i η λύση του γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος θα προσεγγίζει αυτή του μη γραμμικού. 3.6 Σύνοψη - Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύχθηκε η βασική θεωρία των γραμμικών και μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων. Δίνοντας πρώτα τις βασικές έννοιες και ορισμούς, αναπτύχθηκαν τα θεωρήματα ευστάθειας τόσο για τα μη γραμμικά συστήματα όσο και για τα γραμμικά. Σε κάθε περίπτωση μελετήθηκε η ευστάθεια με και χωρίς εξωτερική είσοδο ενώ σημειώθηκε και η θεωρία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος από ένα γραμμικό δίνοντας έμφαση σε μια πρόσφατη τεχνική που χρησιμοποιεί μια ακολουθία γραμμικών χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων. 3.7 Αναφορές [3.] J-J. E. Slotine, and W. Li, Applied Nonlinea Contol, Pentice Hall, 99. [3.] H. K. Khalil, Nonlinea systems, 3 d edition, Pentice-Hall, 00. [3.3] J. P. LaSalle, Stability theoy of odinay diffeential equations, in Jounal of Diffeential Equations, vol. 4, pp , 968. [3.4] H. Yu, and P. J. Antsaklis, Passivity and L Stability of Netwoked Dissipative Systems, 8 th IEEE Intenational Confeence on Contol and Automation, pp , Xiamen, June 9-, 00. [3.5] E. D. Sontag, Smooth stabilization implies copime factoization, IEEE Tans. Automatic Contol, 34, pp , 989. [3.6] J. Tsinias, Sontag s input to state stability condition and global stabilization using state detection, Systems & Contol Lettes, 0, pp. 9-6, 993. [3.7] Y. Zhang, P.A. Ioannou, and C.-C. Chien, Paamete Convegence of a New Class of Adaptive Contolles, IEEE Tans. On Automatic Contol, 4(0), pp , Oct [3.8] C.-T. Chen, Linea System Theoy and Design, Saundes College Publishing, 984. [3.9] Α. Loia, and E. Panteley, Unifom exponential stability of linea time-vaying systems: evisited, Systems & Contol Lettes, 47 (), pp. 3-4, 00. [3.0] E. Panteley, A. Loia and A. Teel, Relaxed pesistency of excitation fo unifom asymptotic stability, IEEE Tans. on Automat. Cont., vol. 46, No., pp , 00.

43 [3.] K. S. Naenda and A. M. Annaswamy, Pesistent excitation in adaptive systems. Int. Jounal of Contol, 45:, pp. 7-60, 007. [3.] M. Tomas-Rodiguez, and S. P. Banks, Linea, Time-vaying Appoximations to Nonlinea Dynamical Systems with Applications in Contol and Optimization, vol. 4, Spinge Belin/Heidelbeg, 00. [3.3] M. Tomas-Rodiguez, and S. P. Banks, Linea appoximations to nonlinea dynamical systems with applications to stability and spectal theoy, in IMA Jounal of Mathematical Contol and Infomation, 0, pp ,

44 44

45 Κεφάλαιο 4 Ανάλυση και δυναμικά μοντέλα μέσης τιμής σε ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος 4. Εισαγωγή Τα ηλεκτρονικά ισχύος ή οι ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος είναι ελεγχόμενες ή μη ελεγχόμενες διατάξεις που μετασχηματίζουν ένα ηλεκτρικό μέγεθος (τάση, ρεύμα). Διάφορες διατάξεις έχουν τη δυνατότητα να μετασχηματίζουν μια τάση από εναλλασσόμενη σε συνεχή ή αντίστροφα, από μονοφασική τάση σε τριφασική και αντίστροφα ή να αλλάζουν το μέτρο ή τη συχνότητα μιας τάσης ή ενός ρεύματος. Τα κυκλώματα αυτά αποτελούν τη βάση για τον έλεγχο συστημάτων ηλεκτρικής ενέργειας και κυρίως για εφαρμογές οδήγησης κινητήρων και ανανεώσιμων πηγών ενέργειας. Οι βασικές διατάξεις ηλεκτρονικών ισχύος χωρίζονται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες [4.]:. τους μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ (dc/dc convetes). τους μετατροπείς ΕΡ/ΣΡ (ac/dc convetes) 3. τους αντιστροφείς ΣΡ/ΕΡ (dc/ac invetes) Οι παραπάνω μετατροπείς βασίζονται στη διακοπτική λειτουργία ελεγχόμενων ηλεκτρονικών διακοπτών χρησιμοποιώντας κατάλληλα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (πυκνωτές-πηνία) και διόδους. Κάθε κατηγορία αποτελείται από πολλών ειδών μετατροπείς ισχύος. Στα επόμενα κεφάλαια θα εστιάσουμε την ανάλυσή μας μόνο στον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης (DC/DC boost convete), τον τριφασικό ανορθωτή με διόδους, και τον τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ με IGBT (insulated-gate bipola tansisto) (σε λειτουργία ανορθωτή ή αντιστροφέα), επειδή οι διατάξεις αυτές αποτελούν τους πλέον καθιερωμένους ηλεκτρονικούς μετατροπείς ισχύος σε εφαρμογές οδήγησης κινητήρων και στις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας. Θα παρουσιαστούν οι βασικές αρχές λειτουργίας τους μέσα από αναλυτικά διαγράμματα τάσεων και ρευμάτων, ενώ σχηματικά διαγράμματα θα απεικονίζουν την χρήση τους στις εκάστοτε εφαρμογές. Για κάθε μετατροπέα θα εξάγουμε το δυναμικό μοντέλο που περιγράφει τη λειτουργία του και είναι κατάλληλο για το σχεδιασμό ελέγχου που θα ακολουθήσει στη συνέχεια. Η ύπαρξη των διακοπτικών στοιχείων που περιλαμβάνουν οι 45

46 ηλεκτρονικοί μετατροπείς δυσκολεύει σε μεγάλο βαθμό την δημιουργία ενός μοντέλου συνεχούς χρόνου. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε το «μοντέλο μέσης τιμής» των μετατροπέων [4.] το οποίο καταλήγει σε ένα μη γραμμικό σύστημα αλλά με συνεχείς μεταβλητές ώστε να επιτρέπει το σχεδιασμό ελεγκτών. Λόγω των ισχυρών μη γραμμικοτήτων που εμφανίζονται στα μοντέλα, πολλοί ερευνητές προχωρούν σε μια ακόμη απλοποίηση χρησιμοποιώντας το «μοντέλο μικρού σήματος» [4.3] στο οποίο πραγματοποιείται γραμμικοποίηση γύρω από ένα σημείο ισορροπίας, γεγονός που μειώνει κατά πολύ την αξιοπιστία του μοντέλου. Στη διατριβή αυτή, θα χρησιμοποιηθούν τα μη γραμμικά μοντέλα μέσης τιμής των ηλεκτρονικών μετατροπέων ισχύος που αποτελούν την ακριβέστερη περιγραφή της συμπεριφοράς τους. 4. Μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ Οι μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ χρησιμοποιούνται είτε για να ανυψώσουν μια συνεχή τάση εισόδου σε μια υψηλότερη τιμή συνεχούς τάσης στην έξοδο (boost convetes), είτε να υποβιβάσουν την τάση (buck convetes) είτε και τα δύο (buck-boost convetes). Στην παρούσα διατριβή θα ασχοληθούμε μόνο με τον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρύτατα και παρουσιάζει το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. 4.. Αρχή λειτουργίας μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Ο πιο ευρέως διαδεδομένος μετατροπέας ΣΡ/ΣΡ είναι ο μετατροπέας ανύψωσης τάσης (boost convete) καθώς στις περισσότερες εφαρμογές απαιτείται η ανύψωση μιας χαμηλής συνεχούς τάσης σε ένα υψηλότερο επίπεδο κατάλληλο για την οδήγηση της επόμενης βαθμίδας ηλεκτρονικών ισχύος. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η διάταξη του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης αποτελούμενο από ένα πηνίο, έναν πυκνωτή σταθεροποίησης, μια δίοδο και ένα τρανζίστορ ισχύος. L + V in - I C + V - Σχήμα 4. Σχηματικό διάγραμμα μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης 46

47 Όταν το τρανζίστορ είναι on, η δίοδος είναι ανάστροφά πολωμένη απομονώνοντας τη βαθμίδα εξόδου που περιλαμβάνει τον πυκνωτή και το φορτίο που τροφοδοτείται, ενώ η είσοδος παρέχει ενέργεια στο πηνίο. Όταν το τρανζίστορ γίνει off, η βαθμίδα εξόδου απορροφά ενέργεια από το πηνίο και την είσοδο. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται με υψηλή συχνότητα και έχει ως αποτέλεσμα η τάση εξόδου να ανυψωθεί σε υψηλότερο επίπεδο από την είσοδο. Αν θεωρήσουμε ότι η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται με μια περίοδο T και ο χρόνος που το τρανζίστορ βρίσκεται σε κατάσταση on είναι t on, τότε ορίζεται ως ton λόγος κατάτμησης ο λόγος µ =. Για τον καθορισμό του λόγου κατάτμησης, στην T πράξη συγκρίνεται το επιθυμητό σήμα τάσης με ένα σήμα πριονωτής τάσης (sawtooth) υψηλής συχνότητας f s =. Εάν το επιθυμητό σήμα είναι μεγαλύτερο T από το σήμα υψηλής συχνότητας τότε το διακοπτικό στοιχείο γίνεται on ενώ όταν είναι μικρότερο το διακοπτικό στοιχείο σβήνει. Με τον τρόπο αυτό καθορίζεται ο κατάλληλος παλμός για το διακοπτικό στοιχείο και ορίζεται ο λόγος κατάτμησης (Σχήμα 4.). Η συχνότητα f s καθορίζει τη διακοπτική συχνότητα του μετατροπέα. desied signal sawtooth signal on t off t on t off T Σχήμα 4. Καθορισμός του λόγου κατάτμησης στον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Σύμφωνα με τα παραπάνω, η σχέση τάσης εισόδου-τάσης εξόδου προκύπτει στη μόνιμη κατάσταση [4.5]: V =. (4.) V µ in 47

48 4.. Εξαγωγή μοντέλου με μέθοδο Lagange Η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς του ΣΡ/ΣΡ μετατροπέα ανύψωσης τάσης αποτελεί ένα ενδιαφέρον πεδίο έρευνας τόσο στην περιοχή των ηλεκτρονικών ισχύος όσο και στην θεωρία αυτομάτου ελέγχου. Η μοντελοποίηση των ΣΡ/ΣΡ μετατροπέων ανύψωσης τάσης ξεκίνησε στα μέσα της δεκαετίας του 70 από τους Middlebook [4.4] και Cuk [4.6]. Από τότε μέχρι και σήμερα οι ερευνητές αναζητούν νέα μοντέλα για την καταλληλότερη περιγραφή των μετατροπέων ισχύος. Στην παράγραφο αυτή, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Lagange για να εξάγουμε τις μαθηματικές εξισώσεις του ΣΡ/ΣΡ μετατροπέα ανύψωσης τάσης. Το σχηματικό διάγραμμα του μετατροπέα φαίνεται στο Σχήμα 4.3. L u=0 x u= + E x C R - Σχήμα 4.3 Σχηματικό διάγραμμα ΣΡ/ΣΡ μετατροπέα ανύψωσης τάσης Στο παραπάνω κύκλωμα θεωρούμε ότι η τάσης τροφοδοσίας E του μετατροπέα είναι σταθερή ενώ στην έξοδό του είναι συνδεδεμένο ένα ωμικό φορτίο R. Οι παράμετροι L και C περιγράφουν την επαγωγή και την χωρητικότητα του μετατροπέα αντίστοιχα, ενώ με u συμβολίζουμε τη θέση του διακόπτη. Λόγω της διακοπτικής συμπεριφοράς του κυκλώματος η παράμετρος u παίρνει τις διακριτές τιμές {0,}. Με x παριστάνεται το ρεύμα του πηνίου, το οποίο δίνεται ως η παράγωγος του φορτίου q L που διαρρέει το πηνίο, ενώ το x περιγράφει την τάση στην έξοδο του μετατροπέα όπου ισούται με την παράγωγο του φορτίου q C του πυκνωτή. Για τη μοντελοποίηση του συστήματος θα μελετήσουμε ξεχωριστά τις δύο περιπτώσεις για τη θέση του διακόπτη. Όταν u =, τότε οι ενέργειες του συστήματος δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: T q Κινητική ενέργεια: ( ) L = Lq Δυναμική ενέργεια: ( ) L V qc = q C C 48

49 D q C = Rq Ενέργεια απόσβεσης Reyleigh: ( ) ενώ το διάνυσμα εισόδου είναι G [ E ] =. 0 T Τώρα ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου u = 0. Αντιστοίχως λαμβάνουμε: T0 q L = Lq Κινητική ενέργεια: ( ) Δυναμική ενέργεια: ( ) L V0 qc = q C Ενέργεια απόσβεσης Reyleigh: ( ) ( ) C D0 q, q = R q q C L C L C με το διάνυσμα εισόδου να είναι πάλι G [ E ] =. 0 0 T Παρατηρώντας τις δύο παραπάνω περιπτώσεις, καταλήγουμε ότι η διακοπτική λειτουργία του κυκλώματος επηρεάζει μόνο τη συνάρτηση απόσβεσης Reyleigh από D σε D 0 και αντίστροφα. Έτσι, μπορούμε να καταλήξουμε στις παρακάτω εκφράσεις που περιγράφουν την διακοπτική λειτουργία του συστήματος: T q = Lq Κινητική ενέργεια: ( ) Δυναμική ενέργεια: ( ) L V q C L = q C Ενέργεια απόσβεσης Reyleigh: ( ) [ ] και το διάνυσμα εισόδου είναι G [ E ] C D q, q = R( uq ) q L C L C =. 0 T Η μεταβλητή συνάρτηση Lagange που σχετίζεται με τις E-L παραμέτρους είναι: L = T ( ql) V ( qc) = Lq L + qc (4.) C Χρησιμοποιώντας την παραπάνω συνάρτηση Lagange στην εξίσωση E-L (.), λαμβάνουμε τις μεταβλητές (λόγω της θέσης του διακόπτη) διαφορικές εξισώσεις του μετατροπέα: 49

50 [( ) ] [ ] Lq = ( u) R ( u) q q + E qc C L L C = R uq q L C (4.3) όπου εάν αντικαταστήσουμε την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη καταλήγουμε στη σχέση: qc E q L = ( u) + LC L q = ( uq ) q RC C L C (4.4) x Ορίζοντας, τώρα, ως καταστάσεις το ρεύμα εισόδου x = q L και την τάση εξόδου q C = του μετατροπέα λαμβάνουμε τις δυναμικές εξισώσεις του συστήματος: C x E x = ( u) + L L x x = ( u) x C RC (4.5) οι οποίες εξαρτώνται από τη θέση του διακόπτη u. Από τη σχέση (4.5) γίνεται κατανοητό ότι δεν μπορεί να σχεδιαστεί ένας ελεγκτής συνεχούς χρόνου για το παραπάνω σύστημα καθώς η μεταβλητή ελέγχου u λαμβάνει διακριτές τιμές {0,}. Για τον λόγω αυτό, οδηγούμαστε στην μοντελοποίηση του συστήματος χρησιμοποιώντας το μοντέλο μέσης τιμής Μοντέλο μέσης τιμής Η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος παλμοδότησης των ηλεκτρονικών μετατροπέων ισχύος είναι η τεχνική με διαμόρφωση εύρους παλμών (pulse-widthmodulation PWM). Με την έννοια «παλμός» εννοούμε το βαθμωτό σήμα συνεχούς χρόνου που περιγράφει τη συνάρτηση της θέσης του διακόπτη, η οποία είναι μηδέν οπουδήποτε εκτός από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα όπου παίρνει την τιμή ένα. Η τεχνική PWM χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με μια διαδικασία δειγματοληψίας η οποία εκτελείται σε μια δεδομένη συχνότητα. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο δειγματοληψίες ορίζεται ως η περίοδος του παλμού T (duty cycle) ενώ το εύρος του παλμού καθορίζεται από το λόγο του χρόνου όπου ο παλμός είναι προς την περίοδο του παλμού T και ονομάζεται «λόγος κατάτμησης» µ (duty atio). Παρόλο που υπάρχουν πολλές περιγραφές για την τεχνική PWM, εδώ θεωρούμε ότι ο παλμός ξεκινά την χρονική στιγμή δειγματοληψίας t k και τελειώνει πριν την επόμενη 50

51 δειγματοληψία t k + T. Ο παλμός καταλαμβάνει όλο το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο δειγματοληψίες κι επομένως ο λόγος κατάτμησης µ λαμβάνει τιμές στο ανοικτό διάστημα (0,). Επομένως, η τεχνική PWM μπορεί να οριστεί ως εξής: tk t tk µ ( x( tk) ) T ( ( )), < + u = 0, t + x t T < t t + T = t k µ k k k+ (4.6) Σύμφωνα με τη θεωρία του μοντέλου μέσης τιμής [4.7] για τους μετατροπείς ισχύος, το μαθηματικό μοντέλο μέσης τιμής συμπίπτει με το μεταβλητό μοντέλο (4.4) του μετατροπέα ανύψωσης τάσης εάν αντικαταστήσουμε την μεταβλητή u με τη μεταβλητή συνεχούς χρόνου µ. Έτσι καταλήγουμε στην ακριβή λειτουργία του μοντέλου συνεχούς χρόνου του μετατροπέα ανύψωσης τάσης η οποία περιγράφεται από τις δυναμικές εξισώσεις: x x E L L x = ( µ ) x C RC = ( µ ) + x (4.7) με τη μεταβλητή µ να λαμβάνει σε αυτή την περίπτωση τιμές στο κλειστό διάστημα [0,] όπου οι ακραίες τιμές 0 και περιγράφουν τις περιπτώσει όπου ο παλμός είναι 0 ή καθ όλη τη διάρκεια μιας περιόδου δειγματοληψίας T. Από τη σχέση (4.7) είναι προφανές ότι το μοντέλο του μετατροπέα ανύψωσης τάσης είναι μη γραμμικό καθώς υπάρχουν γινόμενα μεταξύ της μεταβλητής εισόδου µ και των καταστάσεων x και x του συστήματος καθιστώντας τον σχεδιασμό ελέγχου μια δύσκολη διαδικασία. Επιπλέον, πρέπει να σημειωθεί ότι αν ο λόγος κατάτμησης παραμείνει στην τιμή, το σύστημα θα οδηγηθεί σε αστάθεια καθώς το ρεύμα του πηνίου θα οδηγηθεί στο άπειρο. 4.3 Μετατροπείς ΕΡ/ΣΡ Η βασική λειτουργία των μετατροπέων ΕΡ/ΣΡ είναι ο μετασχηματισμός μιας εναλλασσόμενης τάσης σε συνεχή. Στην πλειονότητα των εφαρμογών, η εναλλασσόμενη τάση είναι τριφασική ενώ στην πλευρά συνεχούς τάσης χρησιμοποιείται ένας πυκνωτής για την σταθεροποίηση της τάσης. 5

52 4.3. Αρχή λειτουργίας τριφασικού ανορθωτή με διόδους Η πιο απλή διάταξη, η οποία είναι μη ελεγχόμενη, αποτελείται αποκλειστικά από διόδους συνδεδεμένες κατάλληλα ώστε να ανορθώνεται η τριφασική τάση όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.4. i d τριφασικό δίκτυο + C V dc R - Σχήμα 4.4 Σχηματικό διάγραμμα τριφασικού ανορθωτή με διόδους Για να σταθεροποιηθεί η τάση εξόδου του ανορθωτή, τοποθετείται στην έξοδό του ένας πυκνωτής συνήθως μεγάλης χωρητικότητας C. Καθώς ο ανορθωτής είναι μη ελεγχόμενος, για μια δεδομένη πηγή τριφασικής τάσης και κάνοντας χρήση του πυκνωτή, η τάση εξόδου του μετατροπέα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή σύμφωνα με τη σχέση [4.8]: V dc =.35 3V (4.8) ms όπου V ms είναι η ενεργός τιμή της φασικής τάσης της τριφασικής πηγής. Παρά την εύκολη υλοποίηση και τη μεγάλη χρησιμότητα του τριφασικού ανορθωτή, ένα βασικό μειονέκτημα είναι η μη δυνατότητα ροής ρεύματος και προς τις δύο κατευθύνσεις. Για παράδειγμα, σε περιπτώσεις όπου η ενέργεια πρέπει να επιστραφεί στο δίκτυο (όταν μια μηχανή λειτουργήσει παροδικά σαν γεννήτρια), η ύπαρξη των διόδων δεν επιτρέπει αυτή τη ροή ρεύματος. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να αυξάνεται η τάση του πυκνωτή γεγονός που μπορεί να προκαλέσει προβλήματα στη διάταξη. Για την αντιμετώπιση του παραπάνω προβλήματος αλλά και κυρίως για τον έλεγχο της συνεχούς τάσης στην έξοδο, χρησιμοποιούνται ελεγχόμενοι μετατροπείς ΕΡ/ΣΡ. 5

53 4.3. Αρχή λειτουργίας ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Οι πιο ευρέως διαδεδομένοι ελεγχόμενοι τριφασικοί μετατροπείς είναι οι μετατροπείς αποτελούμενοι από τρανζίστορ ισχύος και αντιπαράλληλες διόδους ελεύθερης ροής (feewheeling diodes), όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.5. Ως τρανζίστορ ισχύος μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τύπος ηλεκτρονικού διακόπτη υψηλής συχνότητας, με πιο συνήθη στις μέρες μας τους IGBT διακόπτες. U a L R S S3 S5 D D3 D5 d d3 d5 + U b U c L L R R V a V b C V dc V c S S4 S6 D D 4 d d4 d6 D 6 Σχήμα 4.5 Σχηματικό διάγραμμα ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα Ο πιο απλός μετατροπέας πηγής τάσης είναι τετραγωνικών παλμών (squae-wave). Ωστόσο, οι μετατροπείς αυτοί εμφανίζουν αρμονικές χαμηλής συχνότητας με αποτέλεσμα να δημιουργούνται προβλήματα απωλειών στα συστήματα που οδηγούν (ηλεκτρικές μηχανές κτλ.). Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούνται μετατροπείς με διαμόρφωση εύρους παλμών (pulse width modulation PWM), οι οποίοι παρόλο που εμφανίζουν μεγαλύτερες απώλειες στα διακοπτικά στοιχεία λόγω της μεγαλύτερης διακοπτικής συχνότητας, αυξάνουν σημαντικά την τάξη των αρμονικών της τάσης εξόδου με αποτέλεσμα να μειώνεται η επίδρασή τους στα συστήματα που συνδέονται στη έξοδο. Επιπλέον, απαιτούνται πολύ γρήγορα διακοπτικά στοιχεία, γι αυτό συνήθως χρησιμοποιούνται MOSFETs και IGBTs [4.]. Η αρχή λειτουργίας του μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ PWM στηρίζεται στη σύγκριση ενός τριγωνικού σήματος υψηλής συχνότητας, το οποίο ονομάζεται «φέρον σήμα» V c (caie signal), με ένα ημιτονοειδές σήμα χαμηλής συχνότητας ίσης με τη συχνότητα του δικτύου, το οποίο ονομάζεται «σήμα αναφοράς» V (eence signal). Όταν η στιγμιαία τιμή του V είναι μεγαλύτερη του V c, η έξοδος του συγκριτή είναι θετικός παλμός ενώ στην αντίθετη περίπτωση είναι αρνητικός παλμός (Σχήμα 4.6). Καθώς η συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος αναφοράς πρέπει να είναι ίδια με του δικτύου, συνήθως χρησιμοποιείται μια κατάλληλη συσκευή ανάγνωσης της 53

54 συχνότητας από την τάση του δικτύου. Ελέγχοντας το πλάτος του σήματος αναφοράς, μεταβάλλεται κατάλληλα η τάση στην είσοδο του μετατροπέα η οποία επηρεάζει άμεσα την συνεχή τάση στην έξοδό του, ενώ μεταβάλλοντας την αρχική φάση του σήματος αναφοράς αλλάζει η φάση του εναλλασσόμενου ρεύματος στην είσοδο του μετατροπέα ελέγχοντας τον συντελεστή ισχύος της διάταξης [4.9]. Ο έλεγχος της συνεχούς τάσης εξόδου και του συντελεστή ισχύος είναι οι βασικοί στόχοι του τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ. V Vc 0 t 0 t S : on S : off Σχήμα 4.6 Αρχή λειτουργίας ημιτονοειδούς διαμόρφωσης SPWM Λόγω της σύγκρισης του φέροντος σήματος με ένα ημιτονοειδές, η διαμόρφωση αυτή ονομάζεται «ημιτονοειδής διαμόρφωση εύρους παλμών» (sinusoidal PWM), η οποία και χρησιμοποιείται σε αυτή τη διατριβή λόγω της απλότητας στο σχεδιασμό. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι διαμόρφωσης, με πιο γνωστή τη «διαμόρφωση 54

55 διανύσματος χώρου» (space vecto modulation SVM), καθεμία από τις οποίες παρουσιάζει τα δικά της πλεονεκτήματα [4.8] Εξαγωγή μοντέλου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Ο τριφασικός μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ που χρησιμοποιούνται στην παρούσα διδακτορική διατριβή αλλά και στις περισσότερες εφαρμογές είναι ο μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ οδηγούμενος από τάση (voltage-fed convete VSC). Το σχηματικό διάγραμμα του τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ απεικονίζεται στο Σχήμα 4.7. U a L R I a S S3 S5 D D3 D5 d d3 d5 U b U c L L R R I b I c V a V b C V dc R L V c S S4 S6 D D 4 d d4 d6 D 6 Σχήμα 4.7 Σχηματικό διάγραμμα τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Το διάγραμμα του τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ είναι ακριβώς το ίδιο με τη διαφορά ότι η ισχύς κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση και κατ επέκταση και τα ρεύματα. Για τον λόγω αυτό, η μοντελοποίηση αυτών τον δύο ηλεκτρονικών διατάξεων ισχύος είναι ακριβώς η ίδια. Στο Σχήμα 4.7 απεικονίζεται η τριφασική πηγή τροφοδοσίας η οποία συνδέεται με τον μετατροπέα μέσω τριφασικής γραμμής με ωμική-επαγωγική αντίδραση R L. Ο μετατροπέας αποτελείται από 6 διακοπτικά στοιχεία με αντιπαράλληλες διόδους, τα οποία μπορούν να οδηγούν το ρεύμα και προς τις δύο κατευθύνσεις. Στην έξοδο του μετατροπέα υπάρχει ένας πυκνωτής C για να διατηρεί την τάση εξόδου σταθερή ενώ για απλοποίηση του κυκλώματος, μια αντίσταση R L είναι τοποθετημένη σαν φορτίο. Οι τάσεις και τα ρεύματα στην είσοδο του μετατροπέα παριστάνονται ως V i και I, i= abc,, αντίστοιχα. i Θεωρούμε ότι το τριφασικό δίκτυο είναι συμμετρικό και δίνεται από τις σχέσεις: 55

56 Ua = Umcos( ωst) π Ub = Umcos( ωst ) 3 π Uc = Umcos( ωst+ ) 3 (4.9) όπου U m είναι η μέγιστη τιμή της φασική τάσης και της τάσης του δικτύου. ω s είναι η γωνιακή συχνότητα Επιπλέον, με τις μεταβλητές των έξι διακοπτών: p a, p b και p c μπορούμε να περιγράψουμε τις θέσεις, Si closed pi = i= abc,,, Si closed Ορίζοντας ως διάνυσμα q και q τα φορτία qla, qlb, qlc, q C και τα ρεύματα q, q, q, q της τριφασικής γραμμής και του πυκνωτή αντίστοιχα, οι συναρτήσεις a b c C ενέργειας και το διάνυσμα εισόδου του συστήματος είναι: Κινητική ενέργεια: T( q ) = ( q La + q Lb + q Lc ) Δυναμική ενέργεια: V( q) = q C C Ενέργεια απόσβεσης Reyleigh: D( q ) = R( q La + q Lb + q Lc ) Διάνυσμα εισόδου G [ U U U ] =. a b c + R q pq pq pq T ( ) L C a La b Lb c Lc Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις και την εξίσωση E-L λαμβάνουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τον τριφασικό μετατροπέα με τεχνική διαμόρφωσης παλμών PWM: 56

57 d ( Lq ) + Rq R q ( p q p q p q ) p U dt + + = d ( Lq ) + Rq R q ( p q p q p q ) p U dt + + = d ( Lq ) + Rq R q ( p q p q p q ) p U dt + + = qc + RL q C ( pq a La + pq b Lb + pq c Lc ) 0 C = La La L C a La b Lb c Lc a a Lb Lb L C a La b Lb c Lc b b Lc Lc L C a La b Lb c Lc c c (4.0) Από την τελευταία εξίσωση λαμβάνουμε: q C ( pq a La + pq b Lb + pq c Lc ) = qc (4.) RC L Αντικαθιστώντας την σχέση (4.) στις εξισώσεις (4.0) και ορίζοντας τα ρεύματα qc της γραμμής ως ii = q Li, i= abc,, και την τάση του πυκνωτή Vdc =, οι δυναμικές C εξισώσεις του συστήματος γίνονται: Li a + Ria + pavdc = U a Li b + Rib + pbvdc = Ub Li c + Ric + pcvdc = Uc Vdc CV dc ( paq La + pbq Lb + pcq Lc ) + = 0 R L (4.) Όπως και στην περίπτωση του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, έτσι και στον τριφασικό μετατροπέα, οι διαφορικές εξισώσεις περιλαμβάνουν διακριτές τιμές για τις θέσεις λειτουργίας των διακοπτών p i, γεγονός που δυσκολεύει την ανάλυση και τον σχεδιασμό ελέγχου. Για τον λόγο αυτό, χρησιμοποιούμε πάλι το μοντέλο μέσης τιμής όπως ορίστηκε από τις εργασίες των Kein [4.0] και Sia-Ramiez [4.7]. Έτσι, οι διακριτές συναρτήσεις p i μπορούν να αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες συνεχείς συναρτήσεις p i που περιγράφουν τους λόγους κατάτμησης και λαμβάνουν τιμές στο συνεχές ανοικτό διάστημα (,), ενώ οι διαφορικές εξισώσεις του συστήματος παραμένουν στη μορφή (4.). Καθώς το τριφασικό δίκτυο θεωρείται συμμετρικό, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Pak [4.8]: 57

58 π π cos( ωst) cos( ωst ) cos( ωst+ ) 3 3 π π T = sin( ωst) sin( ωst ) sin( ωst ) (4.3) ώστε να καταλήξουμε στο δυναμικό μοντέλο του μετατροπέα στο σύγχρονα στρεφόμενο d q πλαίσιο: Li = Ri + ω Li m V + U Li = Ri ω Li m V + U d d s q d dc d q q s d q dc q 3 CV = ( m i + mqq i ) V R dc d d dc L (4.4) όπου i και d i q είναι τα ρεύματα γραμμής του ευθέως και του εγκάρσιου άξονα αντίστοιχα, U d και πηγής αντίστοιχα, ενώ με U q είναι οι συνιστώσες του d και q άξονα της τριφασικής m d και και εγκάρσιου άξονα που περιγράφονται από τη σχέση: m q συμβολίζουμε τους λόγους κατάτμησης ευθέως m d = V V d q, mq V = V (4.4) dc dc και για τα οποία ισχύει ότι [4.]: m = m + m, (4.6) a d q m d ϕ = tan m q (4.7) όπου m a είναι ο λόγος κατάτμησης της a φάσης χρησιμοποιώντας διαμόρφωση PWM και ϕ είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των τάσεων U a και V a. Επιπλέον, στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιείται γραμμική διαμόρφωση PWM (linea modulation) [4.] όπου για τον λόγο κατάτμησης m a ισχύει: m (4.8) a ενώ για τα m d και m q έχουμε: m + m 0.5 (4.9) d q 58

59 Λειτουργώντας στην γραμμική περιοχή αποφεύγεται η εμφάνιση ανεπιθύμητων ανώτερων αρμονικών στο διαμορφωμένο σήμα. Παρατηρούμε ότι δυναμικό μοντέλο του συστήματος (4.4) είναι μη γραμμικό καθώς οι είσοδοι ελέγχου είναι οι λόγοι κατάτμησης m d και m q οι οποίες εμφανίζονται σε όρους γινομένων με τα ρεύματα i d, i q και την τάση συνεχούς V dc. Ένα πολύ σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης του μετασχηματισμού Pak είναι ότι το μοντέλο στο d q πλαίσιο αναφοράς (4.4) μετασχηματίζει τις ημιτονοειδείς συναρτήσεις σε σταθερές dc ποσότητες. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα στη μόνιμη κατάσταση τα ρεύματα i και d i q να είναι σταθερά, γεγονός που διευκολύνει στο σχεδιασμό μεθόδων ελέγχου. Η πραγματική και η άεργος ισχύς που ρέει από το δίκτυο προς τον τριφασικό μετατροπέα είναι αντιστοίχως: 3 P= U I cosϕ (4.0) m m m 3 Q= U I sinϕ (4.) m m m όπου I m είναι η μέγιστη τιμή του φασικού ρεύματος της γραμμής και ϕ m είναι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης του δικτύου και του ρεύματος της γραμμής. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Pak και πηγαίνοντας στο d αναφοράς η πραγματική και η άεργος ισχύς δίνονται από τις σχέσεις: q πλαίσιο 3 P= ( UI d d+ UI q q) (4.) 3 Q= ( UI q d UI d q) (4.3) Οι δύο αυτές σχέσεις στο d q πλαίσιο αναφοράς είναι πολύ χρήσιμες ιδιαίτερα στις περιπτώσεις όπου προσανατολίζεται η φάση a της τάσης του δικτύου με έναν από τους δύο κάθετους άξονες, πχ. με τον άξονα q. Στην περίπτωση αυτή έχουμε: U = 0 και Uq = Um (4.4) d Το γεγονός αυτό διευκολύνει την εφαρμογή ελέγχου καθώς στις περισσότερες περιπτώσεις όπου απαιτείται ο συντελεστής ισχύος της διάταξης (μετατροπέαφορτίου) να είναι μονάδα ( cosϕ = ) αρκεί να μηδενίσουμε το ρεύμα στον ευθύ m 59

60 άξονα I d = 0 οπότε και θα έχουμε μηδενική άεργο ισχύ, όπως δίνεται από τη σχέση (4.3). 4.4 Αντιστροφείς ΣΡ/ΕΡ 4.4. Αρχή λειτουργίας ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Σκοπός των αντιστροφέων ΣΡ/ΕΡ είναι η μετατροπή μιας συνεχούς τάσεις σε εναλλασσόμενη συγκεκριμένου πλάτους και συχνότητας. Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής ενδιαφερόμαστε για τριφασικούς αντιστροφείς, δηλαδή η τάση εξόδου του αντιστροφέα είναι επιθυμητό να είναι ημιτονοειδής και τριφασική. Η συνεχής τάση στην είσοδο του αντιστροφέα προέρχεται είτε από μία πηγή συνεχούς τάσης, είτε από μια κατάλληλη ανορθωτική διάταξη, όπως έναν μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ. Το σχηματικό διάγραμμα του τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: + Sa S b c D D3 D5 S V a τριφασικό φορτίο V dc V b V c Sa D Sb D 4 Sc D 6 Σχήμα 4.8 Σχηματικό διάγραμμα τριφασικού αντιστροφέα Το κυκλωματικό διάγραμμα του τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ είναι το ίδιο με τον τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ και η αρχή λειτουργίας είναι ακριβώς η ίδια, δηλαδή χρησιμοποιούνται οι ίδιες τεχνικές διαμόρφωσης. Μια σημαντική διαφορά στη λειτουργία τους είναι ότι η συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος στην έξοδό τους μπορεί να ελεγχθεί, ενώ στους μετατροπείς η συχνότητα πρέπει να είναι ίδια με του δικτύου. Ο έλεγχος συχνότητας παίζει πολύ σημαντικό ρόλο ιδιαίτερα στην περίπτωση που τροφοδοτείται ένας τριφασικός κινητήρας καθώς μεγαλώνει το εύρος ελέγχου της ταχύτητάς του [4.8]. 60

61 4.4. Εξαγωγή μοντέλου τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ Καθώς η αρχή λειτουργίας του τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ είναι ίδια με τον τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ με τη διαφορά ότι έχει αντίθετη ροή ισχύος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο ακριβώς μοντέλο (4.4) για να περιγράψουμε τη δυναμική συμπεριφορά του. Επειδή όμως, στην πλευρά συνεχούς ρεύματος δεν υπάρχει αντίσταση αλλά μια πηγή συνεχούς ρεύματος στη θέση της (Σχήμα 4.9) ενώ επειδή τις περισσότερες φορές ο αντιστροφέας συνδέεται με το δίκτυο (ανανεώσιμες πηγές ενέργειας), τότε οι εξισώσεις γίνονται: Li = Ri + ω Li m V + U Li = Ri ω Li m V + U d d s q d dc d q q s d q dc q 3 CV dc = ( mdid + mqq i ) i (4.4) όπου οι ίδιες ακριβώς σχέσεις ισχύουν για τους λόγους κατάτμησης για τις ισχύεις P και Q. m d και m q και U a L R I a S S3 S5 D D3 D5 d d3 d5 U b U c L L R R I b I c V a V b C V dc i V c S S4 S6 D D 4 d d4 d6 D 6 Σχήμα 4.9 Σχηματικό διάγραμμα τριφασικού αντιστροφέα συνδεδεμένο με δίκτυο Πρέπει να τονιστεί ότι αφού λαμβάνεται υπόψη το μοντέλο του μετατροπέα με φορά ισχύος προς την πλευρά συνεχούς ρεύματος, οι τιμές των εξωτερικών εισόδων πρέπει να είναι αντίθετες σε σχέση με την περίπτωση του μετατροπέα με αποτέλεσμα και η τάση στην πλευρά συνεχούς ρεύματος να δίνεται με αντίθετη πολικότητα. Στην πράξη η τάση dc V δεν έχει αντίθετη πολικότητα αλλά για να ισχύει αυτό θα πρέπει να μοντελοποιηθεί πάλι το σύστημα ως αντιστροφέας. Για λόγους απλότητας μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο μοντέλο. 6

62 4.5 Σύνοψη - Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό μελετήθηκε η συμπεριφορά των βασικών ηλεκτρονικών διατάξεων ισχύος συμπεριλαμβάνοντας τον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, τον ελεγχόμενο και τον μη ελεγχόμενο τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ και τον αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ. Για κάθε διάταξη παρουσιάστηκε η αρχή λειτουργίας της ενώ εξήχθη το κατάλληλο μοντέλο που περιγράφει τη συμπεριφορά της. Από τα διάφορα μοντέλα που έχουν αναπτυχθεί, επιλέχθηκε το μοντέλο μέσης τιμής κάθε μετατροπέα το οποίο είναι μη γραμμικό και περιγράφει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο τη συμπεριφορά του μετατροπέα δίνοντας τη δυνατότητα για εφαρμογή ελέγχου και ανάλυση του συστήματος. 4.6 Αναφορές [4.] N. Mohan, T. M. Undeland, and W. P. Robbins, Powe Electonics: Convetes, Applications and Design, John Wiley & Sons Inc. Canada, 989. [4.] R. Otega, A. Loia, P. Johan Nicklasson, and H. Sia-Ramiez, Passivity-based Contol of Eule-Lagange Systems, Spinge, 998. [4.3] M. A. Pai, Small Signal Analysis of Powe Systems, Alpha Science Intenational, Ltd, 004. [4.4] H. Sia-Ramiez, and R. Silva-Otigoza, Contol Design Techniques in Powe Electonics Devices (Powe Systems), Spinge, 00. [4.5] R. D. Middlebook, A continuous model of the tapped boost convete, in Poc. IEEE Pow. Elec. Spec. Conf. (PESC), 975. [4.6] R. D. Middlebook, and S. Cuk, A geneal unified appoach to modeling switching-convete powe stages, in Poc. IEEE Pow. Elec. Spec. Conf. (PESC), pp. 8-34, 976. [4.7] H. Sia-Ramiez, A geometic appoach to pulse-width-modulation contol in nonlinea dynamical systems, IEEE Tans. on Automatic Contol, 34(), pp , 989. [4.8] B. K. Bose, Moden Powe Electonics and AC Dives, Uppe Saddle Rive, NJ: Pentice-Hall, 00. [4.9] Tzan-Shin Lee, Lagangian Modeling and Passivity-Based Contol of Thee- Phase AC/DC Voltage-Souce Convetes, IEEE Tans. on Industial Electonics, vol. 5, No. 4, pp , August, 004. [4.0] P. T. Kein, J. Bentsman, R. M. Mass, and B. L. Lesieute, On the use of aveaging fo the analysis of powe electonic systems, IEEE Tans. Powe Electonics, vol. 5, pp. 8-90,

63 Κεφάλαιο 5 Ηλεκτρικές μηχανές: Βασικές έννοιες και δυναμική περιγραφή 5. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται περιεκτικά τα ακριβή μαθηματικά μοντέλα των ηλεκτρικών μηχανών που αποτελούν τα ηλεκτρομηχανικά συστήματα με τα οποία θα ασχοληθούμε στην παρούσα διατριβή. Οι δύο κατηγορίες που θα αναλυθούν είναι οι μηχανές συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης και διέγερσης σε σειρά καθώς επίσης και η τριφασική επαγωγική (ασύγχρονη) μηχανή. Για την κάθε περίπτωση, η ανάλυσή μας θα περιοριστεί στην εισαγωγή των κατάλληλων μη γραμμικών μοντέλων πλήρους τάξης που μπορούν με επάρκεια να χρησιμοποιηθούν στη σχεδίαση του ελέγχου και την ανάλυσης της ευστάθειας. Ξεκινώντας από τις μηχανές συνεχούς ρεύματος, οι οποίες δίνονται με σχετικά απλά μαθηματικά μοντέλα [5.] θα συνεχίσουμε στην αναλυτική παρουσίαση του μοντέλου της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής στο σύστημα κάθετων αξόνων [5.], [5.3]. Οι παραπάνω τύποι μηχανών χρησιμοποιούνται ευρέως τόσο στην ηλεκτροκίνηση όσο και στις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας ανάλογα με την εφαρμογή. Οι μηχανές συνεχούς ρεύματος χρησιμοποιούνται κυρίως σε ελεγχόμενα συστήματα ηλεκτροκίνησης και έλξης. Όπως είναι γνωστό, η τριφασική ασύγχρονη μηχανή αποτελεί τον πιο διαδεδομένο τύπο ηλεκτρομηχανικού συστήματος στη βιομηχανία λόγω του χαμηλού της κατασκευαστικού κόστους, της αξιοπιστίας και της διαθεσιμότητας σε συστήματα από χαμηλής ισχύος έως πολλών μεγαβάτ (MW). Με την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών μετατροπέων ισχύος και την αύξηση των δυνατοτήτων ελέγχου, η ασύγχρονη μηχανή άρχισε σταδιακά να εκτοπίζει τη μηχανή συνεχούς ρεύματος σε ελεγχόμενα συστήματα ηλεκτροκίνησης και σήμερα χρησιμοποιείται ευρέως σε κινητήρες μεγάλης ισχύος ενώ αποτελεί και έναν από τους βασικότερους τύπους γεννητριών στα αιολικά συστήματα ως ασύγχρονη μηχανή βραχυκυκλωμένου κλωβού ή ασύγχρονη μηχανή διπλής τροφοδοσίας. Γίνεται, λοιπόν, κατανοητό ότι η επιλογή του κατάλληλου μοντέλου για τις ηλεκτρικές μηχανές είναι ιδιαίτερα κρίσιμη για το σχεδιασμό ενός αποτελεσματικού ελέγχου. 63

64 5. Μηχανές συνεχούς ρεύματος Οι μηχανές συνεχούς ρεύματος χρησιμοποιούνται σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές όπου απαιτείται γρήγορος και ακριβής έλεγχος της ταχύτητάς τους, όπως σε ηλεκτρικά οχήματα, γερανούς, ρομποτικούς βραχίονες κτλ. Οι μηχανές αυτού του τύπου είναι ιδιαίτερα δημοφιλείς λόγω της απλής τους μαθηματικής περιγραφής, η οποία επιτρέπει τον εύκολο έλεγχό τους. Από την άλλη πλευρά, όταν η ισχύς του συστήματος αυξάνεται, το κόστος των μηχανών αυτών αυξάνεται επίσης σημαντικά, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται κυρίως σε συστήματα χαμηλής ισχύος. 5.. Αρχή λειτουργίας μηχανών συνεχούς ρεύματος Οι μηχανές συνεχούς ρεύματος αποτελούνται από το σταθερό τμήμα (στάτης) το οποίο περιλαμβάνει τον ηλεκτρομαγνήτη διεγέρσεως και το κινητό τμήμα (δρομέας) στον οποίο βρίσκεται το επαγωγικό τύμπανο μαζί με τον συλλέκτη [5.]. Τόσο ο στάτης όσο και δρομέας διαρρέονται από συνεχές ρεύμα. Ο δρομέας κατασκευάζεται από ελάσματα για την αποφυγή δινορρευμάτων ενώ ο στάτης αποτελείται από ελάσματα μόνο σε μεγάλες μηχανές όπου απαιτείται λειτουργία με ταχέως μεταβαλλόμενη ροπή και ταχύτητα. Καθώς η πιο συνήθης χρήση των μηχανών συνεχούς ρεύματος είναι σε λειτουργία κινητήρα, θα εστιάσουμε σε αυτή την αρχή λειτουργίας καθώς είναι εκείνη που θα μελετηθεί στην παρούσα διατριβή. Το τύλιγμα του στάτη (τύλιγμα διέγερσης) τροφοδοτείται με συνεχές ρεύμα i f με αποτέλεσμα να δημιουργεί γύρω του ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο, οδηγώντας την κύρια ροή λ f από το στάτη στο δρομέα. Επιπλέον, μέσω των ψηκτρών και του συλλέκτη τροφοδοτείται με συνεχές ρεύμα i a και το τύμπανο. Η ύπαρξη του ρευματοφόρου αγωγού μέσα σε μαγνητικό πεδίο οδηγεί στην εμφάνιση δύναμης η οποία τείνει να περιστρέψει το τύμπανο, οδηγώντας στη λειτουργία του κινητήρα [5.]. Το διάνυσμα της ροής του πεδίου λ f και του ρεύματος του τυμπάνου i a είναι κάθετα, οδηγώντας σε μέγιστη παραγωγή ροπής στο τύμπανο, για δεδομένο ρεύμα τυμπάνου. 5.. Μηχανή συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης Ο πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη μηχανή συνεχούς ρεύματος είναι η μηχανή με ξένη διέγερση. Στην περίπτωση αυτή, η μηχανή διεγείρεται από μια σταθερή πηγή συνεχούς ρεύματος ενώ το τύμπανο συνδέεται σε διαφορετική τροφοδοσία η οποία ελέγχεται για τον ακριβή έλεγχο της ταχύτητας (Σχήμα 5.). Χρησιμοποιώντας τους νόμους του Kichhoff και του Newton, καταλήγουμε στις σχέσεις [5.4]: κύκλωμα τυμπάνου: dia Ri a a+ La + e= va dt (5.) εσωτερική ηλεκτρεγερτική δύναμη: e= cλω f (5.) 64

65 R α L α i f + + i α + V f - v α K e ω ω, T L - - J b Σχήμα 5. Ισοδύναμο κύκλωμα μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης νόμος Newton: dω J = Tm TL bω dt (5.3) ηλεκτρική ροπή: Tm= cλ fia (5.4) κύκλωμα διέγερσης: dλ f Ri f f + N f = Vf dt (5.5) καμπύλη μαγνήτισης: λ = f( i ) (5.6) όπου R a και f f L a είναι η αντίσταση και η επαγωγή του τυλίγματος τυμπάνου αντίστοιχα, ω είναι η ταχύτητα του δρομέα, J η ροπή αδράνειας, b ο συντελεστή τριβών, T L η ροπή του φορτίου και c, c σταθερές. Από τις σχέσεις (5.) και (5.4) λαμβάνουμε: c eia = Tmω (5.7) c όπου η σχέση ei a είναι η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς η οποία μετατρέπεται στο τύμπανο σε μηχανή ισχύ Tmω. Για να ισούνται οι δύο ισχύεις, θα πρέπει c = c = c. Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να καταλήξουμε στο σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη συμπεριφορά της μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης: dia La = Ri a a Keω + va (5.8) dt dω J = Ki ea bω TL (5.9) dt όπου Ke = cλ f είναι η σταθερά της μηχανής. Παρατηρούμε ότι το σύστημα της μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης που δίνεται από τις σχέσεις (5.8) και (5.9) είναι γραμμικό, γεγονός το οποίο αποτελεί και το μεγαλύτερο πλεονέκτημα αυτού του τύπου μηχανής. Επομένως, η βασική 65

66 θεωρία των γραμμικών ελεγκτών μπορεί να εφαρμοστεί για τον κατάλληλο έλεγχο της ταχύτητάς της. Ωστόσο, αφού για τον έλεγχό της πρέπει να προσδιοριστεί κατάλληλα η τάση του τυμπάνου v a, η τάση αυτή παρέχεται συνήθως από κατάλληλες διατάξεις ισχύος [5.5]. Επομένως, όταν η δυναμική των μετατροπέων ισχύος, η οποία είναι μη γραμμική όπως δείξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, συμπεριληφθούν στο σύστημα τότε η ανάλυση του ελέγχου γίνεται πολύ πιο δύσκολη Μηχανή συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μηχανή συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά, η οποία χρησιμοποιείται κυρίως σε εφαρμογές όπου απαιτείται μεγάλη ροπή εκκίνησης, όπως σε σιδηροδρομικούς συρμούς. Χαρακτηριστικό στοιχείο αυτού του τύπου μηχανής είναι ότι δεν υπάρχει ξεχωριστή τροφοδοσία για τη διέγερσή τους αλλά το τύλιγμα διέγερσης συνδέεται σε σειρά με το τύλιγμα τυμπάνου. Θεωρούμε ότι τα δύο αυτά τυλίγματα είναι ορθογώνια μεταξύ τους ώστε να μην υπάρχει μαγνητική σύζευξη. Το ισοδύναμο κύκλωμα της μηχανής συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά φαίνεται στο σχήμα 5.. R f +R α L f +L α + v α - i α + K v ω ω, T L - J b Σχήμα 5. Ισοδύναμο κύκλωμα μηχανής συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά Σε αυτήν τη περίπτωση, οι δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα δίνονται στη μορφή [5.4]: dia La = Ri a a Ki v aω + va (5.0) dt dω J = Ki v a bω TL (5.) dt όπου K v είναι η σταθερά της μηχανής. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση της μηχανής μα διέγερση σε σειρά, οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά της είναι μη γραμμικές, 66

67 γεγονός που δυσκολεύει την ανάλυση του συστήματος καθώς και τον σχεδιασμό ελέγχου. Εάν στις εξισώσεις αυτές συμπεριλάβουμε και τη δυναμική των μετατροπέων ισχύος, γίνεται κατανοητό ότι το πλήρες σύστημα είναι ιδιαίτερα πολύπλοκο. Αυτό επαληθεύεται από το γεγονός ότι ελάχιστη έρευνα έχει γίνει μέχρι και σήμερα για πλήρη συστήματα μηχανών συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά οδηγούμενων από μετατροπείς ισχύος, τα οποία βασίζονται στο πλήρες μη γραμμικό μοντέλο [5.6], [5.7]. 5.3 Τριφασική ασύγχρονη μηχανή Τα τελευταία χρόνια, η ασύγχρονη μηχανή έχει αντικαταστήσει πλήρως τις μηχανές συνεχούς ρεύματος λόγω των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της (συμπαγής, χαμηλό κόστος, κατάλληλη για συστήματα υψηλής ισχύος κτλ.). Η εξαγωγή του κατάλληλου μοντέλου, το οποίο θα περιγράφει ακριβώς την συμπεριφορά της, είναι μείζονος σημασίας [5.8], [5.9], [5.0]. Λόγω της πολυπλοκότητάς της σε σχέση με τις μηχανές συνεχούς ρεύματος, θα ξεκινήσουμε με το ισοδύναμο μοντέλο της ασύγχρονης μηχανής στη μόνιμη κατάσταση, θα αναφερθούμε στις διάφορες λειτουργίες της και τέλος θα καταλήξουμε στο ακριβές μαθηματικό μοντέλο στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο των δύο καθέτων αξόνων, το οποίο και χρησιμοποιείται για τον έλεγχό της Ισοδύναμο κύκλωμα ασύγχρονης μηχανής Στην τριφασική ασύγχρονη μηχανή, το τριφασικό τύλιγμα του στάτη αποτελείται από τρία επαγωγικά τυλίγματα συνδεδεμένα σε συνδεσμολογία αστέρα ή τριγώνου. Στην περίπτωση μηχανής δακτυλιοφόρου δρομέα, ο δρομέας αποτελείται και αυτός από ένα τριφασικό τύλιγμα αντίστοιχο του στάτη, ενώ στην μηχανή βραχυκυκλωμένου κλωβού, η οποία και θα εξεταστεί στην παρούσα διατριβή, ο δρομέας αποτελείται από βραχυκυκλωμένες μπάρες. Στην περίπτωση αυτή, η μηχανή μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τριφασικός μετασχηματιστής με περιστρεφόμενο και βραχυκυκλωμένο δευτερεύον τύλιγμα [5.], [5.]. Ο στάτης της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής τροφοδοτείται με τριφασικό εναλλασσόμενο ρεύμα συχνότητας ω e δημιουργώντας στρεφόμενο μαγνητικό πεδίο στο διάκενο ανάμεσα στον στάτη και το δρομέα, επάγοντας με αυτόν τον τρόπο ρεύμα στον δρομέα. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο δρομέας να αρχίσει να στρέφεται με μια ταχύτητα ω. Η ταχύτητα του δρομέα, στην περίπτωση λειτουργίας της μηχανής ως κινητήρα, φτάνει σε μια ταχύτητα δρομέα ω λίγο μικρότερη από τη σύγχρονη ταχύτητα ω e ορίζοντας με αυτόν τον τρόπο την ολίσθηση (slip): s ω pω ω e sl = = (5.) ωe ωe 67

68 όπου p είναι ο αριθμός των ζευγών πόλων του στάτη της μηχανής και ω sl η γωνιακή συχνότητα ολίσθησης. Το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής είναι ένα πολύ σημαντικό εργαλείο για την ανάλυση και τον προσδιορισμό της συμπεριφοράς της στη μόνιμη κατάσταση. Το σχηματικό διάγραμμα του ισοδύναμου κυκλώματος φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Rs Lls L l + I s + I V s V m R m L m R s - - Σχήμα 5.3 Ισοδύναμο κύκλωμα ασύγχρονης μηχανής Στο παραπάνω διάγραμμα, η τάση V s και το ρεύμα I s αντιστοιχούν στην τερματική τάση και στο ρεύμα του στάτη αντίστοιχα ενώ R s και L ls είναι η ωμική αντίσταση και η αντίδραση σκέδασης στα τυλίγματα του στάτη αντίστοιχα. Το ρεύμα διέγερσης I 0 αποτελείται από δύο ρεύματα, το ρεύμα σιδήρου I c V m = και το ρεύμα R m V m μαγνήτισης I = m ωel, όπου V είναι η ηλεκτρεγερτική δύναμη, R είναι η m m m ισοδύναμη αντίσταση σιδήρου και L m η επαγωγή μαγνήτισης. Στον δρομέα ρέει ένα ρεύμα I ενώ με R και L l συμβολίζουμε την ωμική αντίσταση και την επαγωγή σκέδασης του τυλίγματος του δρομέα ανηγμένα στο στάτη. Όταν η ολίσθηση είναι μηδέν ( s = 0 ), δηλαδή στη σύγχρονη ταχύτητα, τότε το ρεύμα του δρομέα είναι μηδέν ( I = 0 ), ενώ για 0< s < το ρεύμα του δρομέα επηρεάζεται από την R παράμετρο s. Σύμφωνα με το ισοδύναμο κύκλωμα οι διάφορες εκφράσεις των ισχύων σε μια τριφασική ασύγχρονη μηχανή είναι: Ισχύς εισόδου: P = 3VI cosϕ (5.3) in s s Ισχύς απωλειών χαλκού στάτη: P = 3I R (5.4) ls s s 68

69 Απώλειες σιδήρου: Ισχύς διακένου: P P g lc 3V = m (5.5) R m R = 3I (5.6) s Ισχύς απωλειών χαλκού δρομέα: Ισχύς εξόδου: P = 3I R (5.7) l o g l 3 s P = P P = I R (5.8) s όπου ϕ είναι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος του στάτη. Η ισχύς εξόδου είναι αποτέλεσμα του γινομένου της αναπτυσσόμενης ροπής T e και της ταχύτητας του δρομέα ωm = pω κι επομένως η ροπή δίνεται από τη σχέση: P 3 s R T = = I R = 3pI (5.9) o e ωm ωm s sωe Αν αμελήσουμε τις απώλειες σιδήρου R m και μετακινήσουμε την επαγωγή μαγνήτισης L m στην είσοδο, κάτι που μπορεί να συμβεί καθώς ( R s + ω e L ls << ω e L m, τότε καταλήγουμε στο Γ-ισοδύναμο κύκλωμα της μηχανής που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Rs Lls L l + I V s L m R s - Σχήμα 5.4 Γ-ισοδύναμο κύκλωμα ασύγχρονης μηχανής Σύμφωνα με το Γ-ισοδύμανο κύκλωμα, το ρεύμα του δρομέα ισούται με: I = V s R s + + ωe ls + l R L L s ( ) (5.0) Συνδυάζοντας τώρα τις σχέσεις (5.9) και (5.0) λαμβάνουμε: 69

70 R T s e = 3 p s ωe R Rs + + ωe Lls + Ll s V ( ) (5.) όπου παρατηρούμε ότι η ροπή είναι συνάρτηση της ολίσθησης s για σταθερή συχνότητα και σταθερή τάση στο στάτη όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. ω e ω e ω e ω ω ω πέδη κινητήρας γεννήτρια T em T es 0 ολίσθηση () s pω ταχύτητα ωe 0 σύγχρονη ταχύτητα Σχήμα 5.5 Χαρακτηριστική καμπύλη ροπής-ολίσθησης ή ροπής-ταχύτητας pω Το παραπάνω σχήμα δείχνει το διάγραμμα ροπής-ταχύτητας = s όπου η ωe τιμή της ολίσθησης επεκτείνεται πέρα από το διάστημα 0< s <. Η περιοχή λειτουργίας ως κινητήρα (motoing) ορίζεται στο διάστημα 0< s <, για s < 0 η μηχανή λειτουργεί ως γεννήτρια (egeneating), ενώ για < s < η μηχανή λειτουργεί στην περιοχή πέδης (plugging). Στην περιοχή λειτουργίας ως κινητήρας, όσο η ολίσθηση s αυξάνεται συνεπάγεται ότι και η ροπή T e αυξάνεται με αποτέλεσμα να φτάνουμε σε μια μέγιστη τιμή της ροπής T em, η οποία ονομάζεται ροπή ανατροπής, ύστερα από την οποία η μηχανή 70

71 επιβραδύνει με την αύξηση της ολίσθησης. Παραγωγίζοντας τη σχέση (5.) ως προς s και θέτοντάς την ίση με το μηδέν λαμβάνουμε την ολίσθηση ανατροπής: s m = ± R R + ω ( L + L ) s e ls l (5.) η οποία για τη θετική της τιμή (λειτουργία κινητήρα) αντιστοιχεί στην ροπή ανατροπής: T em 3 p Vs = 4 ω R + ω ( L + L ) + R e s e ls l s (5.3) Η περιοχή 0 < s< s ονομάζεται «περιοχή ευσταθούς λειτουργίας» καθώς η λειτουργία της μηχανής ως κινητήρα για m s > s καταρρέει. Ένα επιπλέον σημαντικό μέγεθος της μηχανής είναι η ροπή εκκίνησης η οποία λαμβάνεται άμεσα από τη σχέση της ροπής (5.) αν θέσουμε s = : m T es p R Vs = 3 ω e ( Rs + R ) + ωe ( Lls + Ll ) (5.4) 5.3. Λειτουργία μηχανής υπό μεταβλητή τάση ή συχνότητα Ο πιο εύκολος και οικονομικός τρόπος για να ελέγξουμε έναν ασύγχρονο κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού είναι μέσω της μεταβολής της τάσης του στάτη υπό σταθερή συχνότητα. Με τον τρόπο αυτό λαμβάνουμε τις χαρακτηριστικές ροπήςταχύτητας για διάφορες τιμές της τάσης του στάτη όπως φαίνονται στο Σχήμα 5.6. Ένα σημαντικό μειονέκτημα της λειτουργίας με μεταβλητή τάση στάτη και σταθερή συχνότητα είναι ότι σε περίπτωση που επιθυμούμε έλεγχο στροφών, τότε οι στροφές του κινητήρα περιορίζονται σε τιμές μικρότερες της σύγχρονης ταχύτητας ενώ επιπλέον όταν έχουμε μια σταθερή ροπή φορτίου, όσο μειώνεται η επιθυμητή ταχύτητα τόσο πιο εύκολα φεύγουμε από της περιοχή ευσταθούς λειτουργίας. Για τον λόγο αυτό, η επόμενη μέθοδος λειτουργίας ενός ασύγχρονου κινητήρα είναι η λειτουργία με σταθερή τάση και μεταβλητή συχνότητα. Στην περίπτωση αυτή, όσο αυξάνεται η συχνότητα τόσο μειώνεται η ροή στο διάκενο και το ρεύμα του δρομέα με αποτέλεσμα να μειώνεται και η ροπή όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.7. Το γεγονός αυτό ονομάζεται εξασθένηση πεδίου (field-weakening) [5.]. 7

72 έλεγχος ταχύτητας.0v s 0.75 e Ροπή em T T V s 0.5V s V s 0 pω ταχύτητα ωe Σχήμα 5.6 Χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας για μεταβλητή τάση στάτη και σταθερή συχνότητα T em 0.75 e Ροπή em T T 0.5 T em ω = σταθερό e συχνότητα ω e ωb 3 Σχήμα 5.7 Χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας για μεταβλητή συχνότητα και σταθερή τάση στάτη 7

73 Η ροπή ανατροπής μπορεί να υπολογιστεί αν παραγωγίσουμε την εξίσωση της ροπής (5.) από όπου λαμβάνουμε ότι T ω = σταθερό, δηλαδή η μηχανή συμπεριφέρεται σαν μηχανή συνεχούς ρεύματος για μεταβλητή συχνότητα. Από τις δύο παραπάνω λειτουργίες παρατηρούμε ότι μπορούμε να μεταβάλουμε ταυτόχρονα την τάση στάτη και τη συχνότητά του ώστε να πετύχουμε την επιθυμητή ταχύτητα με τη μηχανή να λειτουργεί στην περιοχή ευσταθούς λειτουργίας. Αυτή είναι και η θεωρία στην οποία βασίζονται οι κινητήρες μεταβλητής ταχύτητας [5.], [5.], [5.3] Δυναμικές εξισώσεις μηχανής στο d q πλαίσιο αναφοράς Το ισοδύναμο κύκλωμα της ασύγχρονης μηχανής που εξετάστηκε στην παράγραφο 4. ισχύει μόνο στην μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Στους κινητήρες μεταβλητής ταχύτητας, όμως, όπου εφαρμόζεται έλεγχος στροφών μέσω ανάδρασης, η μεταβατική συμπεριφορά της μηχανής πρέπει να ληφθεί υπόψη. Για τον λόγο αυτό το δυναμικό μοντέλο της μηχανής είναι απαραίτητο. Όπως είναι κατανοητό, οι μεταβλητές στην τριφασική μηχανή είναι εναλλασσόμενα μεγέθη τα οποία μεταβάλλονται με τον χρόνο. Όμως, για τον έλεγχο των ποσοτήτων αυτών είναι επιθυμητό στη μόνιμη κατάσταση να λαμβάνουν σταθερές τιμές. Το πρόβλημα αυτό το λύνει ο μετασχηματισμός Pak [5.] ο οποίος μετασχηματίζει όλες τις μεταβλητές από το τριφασικό abc σύστημα στο σύστημα των δύο καθέτων αξόνων d q. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα οι τιμές των μεταβλητών που λαμβάνονται στη μόνιμη κατάσταση να είναι ανεξάρτητες από τη σύγχρονη ταχύτητα και να παίρνουν σταθερές ποσότητες, ώστε να είναι δυνατή η εφαρμογή ελέγχου. b em e v bs s v qs θ s q άξονας v cs v as a c s v ds s d άξονας Σχήμα 5.8 Μετασχηματισμός του τριφασικού συστήματος στο στατό d s s q πλαίσιο αναφοράς 73

74 Το πρώτο βήμα για να φτάσουμε στο δυναμικό μοντέλο της μηχανής είναι να μετασχηματίσουμε τις τριφασικές ποσότητες του στάτη (ρεύμα, τάση) στο στατό s s διφασικό d q πλαίσιο αναφοράς καθέτων αξόνων. Αν θεωρήσουμε θ τη γωνία s ανάμεσα στον q άξονα και στον άξονα της φάσης a (όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.8), τότε οι τιμές των τάσεων πίνακα ως: s v qs και s v ds του στάτη στο στατό πλαίσιο δίνονται σε μορφή s vas o o v qs cosθ cos( θ 0 ) cos( θ + 0 ) v s = o o bs v 3 ds sinθ sin( θ 0 ) sin( θ 0 ) + v cs (5.5) όπου v as, v bs και v cs είναι οι τιμές των τάσεων του στάτη στις 3 φάσεις. Είναι βολικό να θέσουμε θ = 0 ώστε ο της φάσης a από όπου λαμβάνουμε: s q άξονας να ευθυγραμμιστεί με τον άξονα v s qs = v (5.6) as s vds = vbs + vcs (5.7) 3 3 Παρατηρούμε ότι οι τιμές s v qs και Για τον λόγο αυτό ορίζουμε το σύγχρονα στρεφόμενο d οποίο στρέφεται με τη σύγχρονη ταχύτητα θ = ω με τους s s d, q άξονες αντίστοιχα (Σχήμα 5.9). e e t s v ds εξακολουθούν να εξαρτώνται από το χρόνο. q q πλαίσιο αναφοράς το ω e και οι d, q άξονες σχηματίζουν γωνία s v = V sin( θ + ϕ) ds m e v = V sinϕ ds m V ϕ v = V cosϕ qs θ = ω e m e t s v = V cos( θ + ϕ) qs m e s q άξονας d s d άξονας Σχήμα 5.9 Μετασχηματισμός από το στατό d s s q στο σύγχρονο d q 74 πλαίσιο αναφοράς

75 Στην περίπτωση αυτή οι τάσεις στο μετασχηματιστούν στο d q ως εξής: d s s q πλαίσιο αναφοράς μπορούν να s s v = v cosθ v sinθ (5.8) qs qs e ds e s s v = v sinθ + v cosθ (5.9) ds qs e ds e Αν θεωρήσουμε ότι η τριφασική τάση του στάτη είναι ημιτονοειδής και συμμετρική: v = V cos( ω t+ ϕ) (5.30) as m e π vbs = Vm cos( ωet + ϕ) (5.3) 3 π vcs = Vm cos( ωet+ + ϕ) (5.3) 3 οι εξισώσεις στο στατό d s s q πλαίσιο αναφοράς γίνονται: s v = V cos( ω t+ ϕ) (5.33) qs m e s v = V sin( ω t+ ϕ) (5.34) ds m e ενώ στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο έχουμε: v = V cosϕ (5.35) qs m v = V sinϕ (5.36) ds m Σύμφωνα με τα παραπάνω το μιγαδικό διάνυσμα της τάσης (complex state vecto) V το οποίο περιστρέφεται αντίστροφα από τη φορά του ρολογιού με ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: e ( ) V = v v = v v e θ (5.37) s s qs ds qs ds το οποίο έχει μέτρο: s s ( ) ( ) m qs ds qs ds V = V = v + v = v + v (5.38) Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να μετασχηματίσουμε όλα τα ημιτονοειδή μεγέθη (τάση, ρεύμα, ροή) στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο αναφοράς. ω e 75

76 Έχοντας μετασχηματίσει όλα τα μεγέθη του στάτη στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο αναφοράς, οι εξισώσεις του στάτη της ασύγχρονης μηχανής δίνονται από τη σχέση [5.4], [5.4]: v = Ri + λ + ωλ (5.39) qs s qs qs e ds v = Ri + λ ωλ (5.40) ds s ds ds e qs όπου i ds, i qs και άξονα αντίστοιχα. λ ds, λ qs είναι τα ρεύματα και οι ροές του στάτη στον d και q Θεωρώντας ότι ο δρομέας περιστρέφεται με μια ταχύτητα ω, τότε οι εξισώσεις των τάσεων του δρομέα στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο είναι: v = Ri + λ + ( ω pω ) λ (5.4) q q q e d v = Ri + λ ( ω pω ) λ (5.4) d d d e q όπου με i d, i q και λ d, λ q περιγράφουμε τα ρεύματα και οι ροές του δρομέα στον d και q άξονα αντίστοιχα. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι στην περίπτωση της ασύγχρονης μηχανής βραχυκυκλωμένου κλωβού ισχύει v = v = 0. Επιπλέον, για τις σχέσεις των ροών και των ρευμάτων του στάτη και του δρομέα ισχύει από το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα: ( ) λ = L i + L i + i = Li + L i (4.43) qs ls qs m qs q s qs m q ( ) λ = L i + L i + i = Li + L i (5.44) q l q m qs q q m qs ( ) λ = L i + L i + i = Li + L i (5.45) ds ls ds m ds d s ds m d ( ) λ = L i + L i + i = Li + L i (5.46) d l d m ds d d m ds όπου Ls = Lls + Lm και L = Ll + Lm. Η εξίσωση της ροπής που περιγράφει τη σχέση ροπής-ταχύτητας είναι: q d T = T + J ω + bω (5.47) e L όπου L T είναι η ροπή του φορτίου, J είναι η αδράνεια του κινητήρα και b είναι ο συντελεστής απόσβεσης της μηχανής. Η ηλεκτρομαγνητική ροπή της μηχανής μπορεί να δοθεί με οποιονδήποτε από τους παρακάτω συνδυασμούς: 76

77 3 Te = p( λdsiqs λqsids ) (5.48) 3 = plm ( iqsid idsiq ) (5.49) 3 = p( λdiq λqid ) (5.50) = 3 Lm p ( diqs qids ) L λ λ (5.5) Με τον τρόπο αυτό, οι εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής δίνονται από τις σχέσεις (5.39)-(5.34) και τη σχέση (5.47). 5.4 Σύνοψη - Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν τα βασικά χαρακτηριστικά για τη λειτουργιά των μηχανών συνεχούς ρεύματος και της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής. Ξεκινώντας από την αρχή λειτουργίας των μηχανών συνεχούς ρεύματος, αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά μοντέλα για τις περιπτώσεις ξένης διέγερσης και διέγερσης σε σειρά. Στη συνέχεια αναλύθηκε η λειτουργία της τριφασική ασύγχρονης μηχανής. Αφού εξετάστηκε το ισοδύναμο κύκλωμα της μηχανής στη μόνιμη κατάσταση, μελετήθηκε η λειτουργία της μηχανής υπό μεταβλητή τάση και συχνότητα και η επίδραση των δύο αυτών μεγεθών στην ηλεκτρομαγνητική ροπή που αναπτύσσεται. Στη συνέχεια, αναπτύχθηκε το μοντέλο της μηχανής στο d q πλαίσιο αναφοράς εξάγοντας τις δυναμικές εξισώσεις που την περιγράφουν. Η μελέτη των δυναμικών εξισώσεων των παραπάνω τύπων ηλεκτρικών μηχανών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τον σχεδιασμό κατάλληλων ελεγκτών, όπως θα φανεί στα κεφάλαια που ακολουθούν. 5.5 Αναφορές [5.] Α. N. Σαφάκας, Ηλεκτρικές μηχανές Α, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [5.] Α. N. Σαφάκας, Ηλεκτρικές μηχανές Β, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [5.3] Α. Ν. Σαφάκας, Ηλεκτρικά κινητήρια συστήματα, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [5.4] W. Leonhad, Contol of Electical Dives, nd Edition, Spinge, 997. [5.5] J. Linaes-Floes, J. Regen, and H. Sia-Ramiez, Load Toque Estimation and Passivity-Based Contol of a Boost-Convete/DC-Moto Combination, IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, Vol. 8, No. 6, pp ,

78 [5.6] A. T. Alexandidis, and D. P. Iacleous: Optimal nonlinea fiing angle contol of convete-fed DC dive systems, IEE Poc. Elect. Powe Appl., 45, (3), pp. 7-, May 998. [5.7] S. Mehta, and J. Chiasson: Nonlinea Contol of a Seies DC Moto: Theoy and Expeiment, IEEE Tans. on Industial Electonics, 45, (), pp. 34-4, Feb [5.8] X. A. Μαδεμλής, Σερβοκινητήρια Συστήματα, Εκδόσεις Τζίολα, 00. [5.9] Α. Θ. Αλεξανδρίδης και Ε. Μητρονίκας, Προηγμένος έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών, Πανεπιστήμιο Πατρών, 00. [5.0] E. D. Mitonikas and A. N. Safacas, An impoved sensoless vecto contol method fo an induction moto dive, IEEE Tans. Ind. Electon., vol. 5, no. 6, pp , Dec [5.] B. K. Bose, Moden Powe Electonics and AC Dives, Uppe Saddle Rive, NJ: Pentice-Hall, 00. [5.] A. M. Tzynadlowski, Contol of Induction Motos, Academic Pess, st Edition, 000. [5.3] D.W. Novotny, and T.A. Lipo, Vecto Contol and Dynamics of AC Dives, Oxfod Univesity Pess, USA, 996. [5.4] P. C. Kause, O. Wasynczuk, and S. D. Sudhoff, Analysis of Electic Machiney and Dive Systems, Wiley IEEE Pess, nd Edition, 00. [5.5] C. M. Ong, Dynamic Simulations of Electic Machiney: Using MATLAB/ SIMULINK, Pentice Hall,

79 Κεφάλαιο 6 Ακριβή μοντέλα των υπό εξέταση συστημάτων στο χώρο κατάστασης 6. Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά μοντέλα των χρησιμοποιούμενων μετατροπέων ισχύος, των μηχανών συνεχούς ρεύματος και της επαγωγικής μηχανής. Η μοντελοποίηση έγινε με κατάλληλο τρόπο ώστε να περιγράφει με ακρίβεια τη λειτουργία των παραπάνω συστημάτων και να είναι κατάλληλη για την εφαρμογή τεχνικών ελέγχου. Οι μη γραμμικότητες που εμφανίζουν τα μοντέλα δυσκολεύουν την ανάλυση τόσο της ευστάθειας όσο και της δυναμικής των συστημάτων ανοικτού και κλειστού βρόχου. Για τον λόγο αυτό, η μοντελοποίηση των συστημάτων στο χώρο κατάστασης (καταστατικές εξισώσεις) είναι απαραίτητη. Η μορφή των εξισώσεων κατάστασης δίνει τη δυνατότητα ανάλυσης ενός συστήματος με βάσει τη γενική θεωρία που παρουσιάστηκε για τα E- L και Hamiltonian συστήματα καθώς επίσης και τη θεωρία ευστάθειας των μη γραμμικών συστημάτων. Αρχικά, θα μελετηθούν τα μοντέλα των μετατροπέων ισχύος (μετατροπέας ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ) οι οποίοι θα τροφοδοτούν ένα δυναμικό φορτίο καθώς και τα μοντέλα των ηλεκτρικών μηχανών στο χώρο κατάστασης και θα σχολιαστεί η συμπεριφορά τους. Οι μηχανές που θα εξεταστούν αποτελούνται από τις μηχανές ΣΡ με ξένη διέγερση και με διέγερση σε σειρά καθώς επίσης και η τριφασική ασύγχρονη μηχανή. Στη συνέχεια, θα αναπτυχθεί το πλήρες μοντέλο για την οδήγηση των μηχανών συνεχούς ρεύματος μέσω μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης. Επιπλέον, θα περιγραφεί επίσης το πλήρες μοντέλο αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ και ασύγχρονης μηχανής, το οποίο αποτελεί την πλήρη περιγραφή ενός συστήματος οδήγησης της μηχανής αυτής. Τέλος, το μοντέλο που θα παρουσιαστεί στον χώρο κατάστασης θα είναι ένας πλήρης μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ (AC/DC/AC back-to-back convete), ο οποίος αποτελείται από έναν μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ, μια διασύνδεση ΣΡ και έναν αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ, που θα συνδέεται σε μια τριφασική ασύγχρονη μηχανή. Το μοντέλο αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για εφαρμογές στις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας καθώς αποτελεί την ακριβή περιγραφή ενός συστήματος ασύγχρονης ανεμογεννήτριας όπως χρησιμοποιείται στη βιομηχανία [6.]. Θα δειχθεί ότι όλα τα 79

80 παραπάνω μοντέλα στο χώρο κατάστασης μπορούν να γραφτούν στη γενική μορφή των Hamiltonian συστημάτων (.5): ( ) Mx = J ( x) R( x) x + g( x) u y= gxx ( ) (6.) κι επομένως διατηρούν την βασική ιδιότητα της παθητικότητας. 6. Μοντέλα μετατροπέων ισχύος στο χώρο κατάστασης Τα μαθηματικά μοντέλα των μετατροπέων ισχύος στο χώρο κατάστασης είναι ιδιαίτερα σημαντικά για την ενσωμάτωσή τους στα πλήρη μοντέλα που περιλαμβάνουν ηλεκτρομηχανικά συστήματα. Για τον λόγο αυτό θα μελετηθούν ο μετατροπέας ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και ο τριφασικός μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ οδηγώντας ένα δυναμικό φορτίο (ωμικό-επαγωγικό) στην έξοδό τους. 6.. Καταστατικό μοντέλο μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Η εξαγωγή του κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης (dc/dc boost convete) παρουσιάστηκε στην παράγραφο 4.. Για να εξετάσουμε μια πιο δύσκολη περίπτωση με ένα πιο αντιπροσωπευτικό φορτίο, θεωρούμε ότι στην έξοδο του μετατροπέα είναι συνδεδεμένο ένα ωμικό-επαγωγικό φορτίο αντί για ένα απλά ωμικό φορτίο [6.] (Σχήμα 6.). Με τον τρόπο αυτό εξετάζουμε ένα δυναμικό φορτίο δυσκολεύοντας την ανάλυση του συστήματος. Ο λόγος είναι γιατί πολλοί ελεγκτές που έχουν προταθεί για μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης σχεδιάζονται αποκλειστικά για ωμικά φορτία και δεν μπορούν να προσδιοριστούν αναλυτικά ή έχουν απροσδόκητη συμπεριφορά με την παρουσία μιας επαγωγής σε σειρά [6.3]. L μ=0 x μ= + R L E V=x C - x 3 L L Σχήμα 6. Σχηματικό διάγραμμα ΣΡ/ΣΡ μετατροπέα ανύψωσης τάσης με ωμικό-επαγωγικό φορτίο 80

81 Στο μοντέλο μέσης τιμής (4.7) θα πρέπει να προστεθεί και μια επιπλέον εξίσωση που θα περιγράφει τη δυναμική του ρεύματος του φορτίου και μπορεί εύκολα να υπολογιστεί με τους νόμους των Ohm και Kichhoff: x E x = ( µ ) + L L x x = ( µ ) x C C R x x x 3 L 3 = 3 LL LL (6.) όπου E είναι η σταθερή τάση εισόδου, το διάνυσμα κατάστασης του συστήματος T = 3, με είναι x [ x x x ] x το ρεύμα του πηνίου L του μετατροπέα, x την τάση του πυκνωτή C και x 3 το ρεύμα του φορτίου. Το φορτίο αποτελείται από μια αντίσταση R L σε σειρά με μια επαγωγή L L. Το σύστημα (6.) μπορεί να γραφτεί στη γενική μορφή (6.) όπου: L ( µ ) M = 0 C 0, J = ( µ ) 0, R = 0 0 0, g = [ 0 0] T 0 0 L L R L ενώ το διάνυσμα εξωτερικής εισόδου είναι u = E. Επομένως, η Hamiltonian συνάρτησης του συστήματος (6.) γίνεται από τη σχέση: T H ( x) = x Mx = Lx + Cx + LL x3 (6.3) η οποία εκφράζει τη συνολική ενέργεια που αποθηκεύεται στις επαγωγές και στον πυκνωτή του συστήματος. Αφού το σύστημα του μετατροπέα με το φορτίο δίνεται στη Hamiltonian μορφή (6.), τότε εύκολα μπορεί να αποδειχθεί η παθητικότητά του. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι η είσοδος ελέγχου µ εμφανίζεται αποκλειστικά στον αντι-συμμετρικό πίνακα J κι επομένως η παθητικότητα του συστήματος αποδεικνύεται ανεξάρτητα από την τιμή του µ. Αυτό σημαίνει ότι ο οποιοσδήποτε μη δυναμικός νόμος ελέγχου θα μπορεί να εγγυηθεί την παθητικότητα του συστήματος. Ωστόσο, όταν µ = το σύστημα είναι ασταθές καθώς το ρεύμα του πηνίου x τείνει στο άπειρο. Επομένως η παθητικότητα δεν μπορεί να εγγυηθεί άμεσα και την ευστάθεια του συστήματος σε αυτή την περίπτωση. 6.. Καταστατικό μοντέλο τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ Αντίστοιχα, θεωρούμε τον ελεγχόμενο τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ ο οποίος τροφοδοτεί ένα ωμικό-επαγωγικό φορτίο ( RL LL) στην πλευρά συνεχούς ρεύματος. 8

82 Η τριφασική πηγή τάσης συνδέεται με τον μετατροπέα μέσω μιας τριφασικής γραμμής με ωμική αντίσταση R και επαγωγή L ενώ στην πλευρά συνεχούς ρεύματος τοποθετείται ένας πυκνωτής C παράλληλα με το φορτίο για τη σταθεροποίηση της τάσης εξόδου (Σχήμα 6.). U a L R I a S S3 S5 D D3 D5 d d3 d5 i U b U c L L R R I b I c V a V b C V dc R L L L V c S S4 S6 D D 4 d d4 d6 D 6 Σχήμα 6. Σχηματικό διάγραμμα τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ με ωμικό-επαγωγικό φορτίο Κάνοντας χρήση του μοντέλου του μετατροπέα (4.4), το δυναμικό μοντέλο του παραπάνω συστήματος γίνεται [6.4]: Li = Ri + ω Li m V + U Li = Ri ω Li m V + U d d s q d dc d q q s d q dc q 3 CV dc = ( mdid + mqq i ) i Li = V Ri L dc L (6.4) όπου αν πολλαπλασιάσουμε τις δύο τελευταίες εξισώσεις με 3 λαμβάνουμε: Li = Ri + ω Li m V + U Li = Ri ω Li m V + U d d s q d dc d q q s d q dc q CV dc = 3 ( mdid + mqq i ) i 3 Li L = Vdc Ri L (6.5) το οποίο μπορεί να γραφτεί στην καταστατική Hamiltonian μορφή (6.) όπου το διάνυσμα κατάστασης είναι T u = U U και επιπλέον: d q d q dc T x= i i V i, το διάνυσμα εξωτερικών εισόδων 8

83 L L 0 0 M = 0 0 C 0, L 3 L T 0 ωsl md 0 ωsl 0 mq 0 J = md mq 0 3, R R 0 0 R =, RL g = Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω πίνακες διατηρούν τις ιδιότητές τους, δηλαδή ο M είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, ο J είναι αντι-συμμετρικός και ο R είναι συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος. Επιπλέον, όπως και στον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ, οι είσοδοι ελέγχου m d και m q εμφανίζονται αποκλειστικά στον αντι-συμμετρικό πίνακα J κι επομένως η ιδιότητα της παθητικότητας αποδεικνύεται ανεξαρτήτως των τιμών των δύο αυτών εισόδων. 6.3 Μοντέλο μηχανών συνεχούς ρεύματος Στο κεφάλαιο 5 περιγράφηκαν τα δυναμικά μοντέλα των μηχανών συνεχούς ρεύματος με ξένη διέγερση και με διέγερση σε σειρά. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα δείξουμε πως τα μοντέλα αυτά μπορούν να γραφούν στη γενική Hamiltonian μορφή, όπως ακριβώς συνέβη με τις ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος Μοντέλο μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης Όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 5.., η δυναμικές εξισώσεις της μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης δίνονται από τις σχέσεις: dia La = Ri a a Keω + va dt (6.6) dω J = Ki ea bω TL dt (6.7) Η ιδιαιτερότητα της μηχανής αυτής να δίνεται στην παραπάνω γραμμική μορφή επιτρέπει την μοντελοποίηση της υπό μορφή συναρτήσεως μεταφοράς [6.5]. Ωστόσο, το ίδιο σύστημα μπορεί να γραφεί στη γενική Hamiltonian μορφή (6.) όπου το διάνυσμα κατάστασης είναι x [ i ω] T u = v T και επιπλέον: =, το διάνυσμα εισόδου [ ] a a L M L a 0 R 0 = 0 J, a R = 0 b, J 0 Ke = Ke 0, 0 g = 0 83

84 Οι ιδιότητες των πινάκων διατηρούνται και ομοίως και η ιδιότητα της παθητικότητας. Το αρνητικό πρόσημο στη ροπή του φορτίου TL εμφανίζεται γιατί το μοντέλο αντιπροσωπεύει την περίπτωση λειτουργίας ως κινητήρα Μοντέλο μηχανής συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά Με αντίστοιχο τρόπο όπως η μηχανή ξένης διέγερσης, ομοίως αποδεικνύεται η μοντελοποίηση σε Hamiltonian μορφή της μηχανής συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά. Ξεκινώντας από τις διαφορικές εξισώσεις: dia La = Ri a a Ki v aω + va (6.8) dt dω J = Ki v a bω TL (6.9) dt καταλήγουμε στη γενική Hamiltonian μορφή (6.) όπου το διάνυσμα κατάστασης είναι x= [ i ω] T, το διάνυσμα εισόδου u [ v T ] a = και επιπλέον: a L M L a 0 R 0 = 0 J, a R = 0 b, J 0 Ki v a = Ki v a 0, 0 g = 0 Για ακόμη μία φορά, οι ιδιότητες των πινάκων διατηρούνται και ομοίως και η ιδιότητα της παθητικότητας παρά το γεγονός ότι σε αντίθεση με τη μηχανή ξένης διέγερσης, η δυναμικές εξισώσεις της μηχανής με διέγερση σε σειρά είναι μη γραμμικές. 6.4 Μοντέλο ασύγχρονης μηχανής στο χώρο κατάστασης Στο κεφάλαιο 5 αναπτύχθηκε το δυναμικό μοντέλο της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής στο σύγχρονα στρεφόμενο d q πλαίσιο αναφοράς. Αν θεωρήσουμε ασύγχρονη μηχανή βραχυκυκλωμένου κλωβού και συνδυάσουμε τις σχέσεις (5.39)- (5.4) και (5.47) λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις των ροών (5.43)-(5.46) καταλήγουμε στο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: RL m RL m Lm σi ds = + R s ids + σωeiqs + λ d + pλqω + vds (6.0) L L L RL m RL m Lm σi qs = + R s iqs σωeids + λ q pλdω + vqs (6.) L L L RL R ω pω (6.) m e λd = i ds λ d + λq L L L L 84

85 RL R ω pω (6.3) m e λq = i qs λ q λd L L L L Lm Lm J q ds d qs L 3 ω = p i p i b T L λ + L λ 3 ω (6.4) 3 Lm όπου σ = Ls. L Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με τους μετατροπείς ισχύος, μπορούμε να θέσουμε το σύστημα της ασύγχρονης μηχανής βραχυκυκλωμένου κλωβού στη Hamiltonian μορφή (6.) όπου το διάνυσμα κατάστασης θα είναι ds qs d q T x= i i λ λ ω, το διάνυσμα εξωτερικών εισόδων u = vds vqs TL 3 T και επιπλέον: RL m RL m σ R s σ L L RL m RL m 0 + R s L L L M =, R = RL m R L L L RL m R J L L b 3 Lm 0 σωe 0 0 p λq L Lm σωe p λd L T ωe pω J = , g = L ωe pω L Lm L m pλq pλd L L Στην περίπτωση της ασύγχρονης μηχανής ικανοποιείται για μια ακόμη φορά η ιδιότητα της παθητικότητας ενώ πρέπει να σημειωθεί ότι το αρνητικό πρόσημο στην 85

86 είσοδο της ροπής του φορτίου T L δηλώνει ότι το παραπάνω σύστημα αντιστοιχεί στο μοντέλο του κινητήρα. 6.5 Πλήρη μοντέλα Έχοντας αναλύσει τα μοντέλα των μετατροπέων ισχύος και των μηχανών, μπορούμε να οδηγηθούμε στην εξαγωγή ενός πλήρους μοντέλου που θα περιλαμβάνει και τα δύο υποσυστήματα (μετατροπέας-μηχανή) για να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε κατάλληλο ελεγκτή αλλά και για να αναλύσουμε την ευστάθεια στο πλήρες σύστημα. Στην περίπτωση των μηχανών συνεχούς ρεύματος, θεωρούμε ότι η οδήγησή τους πραγματοποιείται με τη χρήση ενός μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης. Όσον αφορά στην οδήγηση της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής, αναλόγως με την λειτουργία της (κινητήρας ή γεννήτρια) συναντούμε συνήθως δύο διαφορετικές διατάξεις. Στην περίπτωση του κινητήρα, καθώς η ροή ισχύος γίνεται από το δίκτυο προς τη μηχανή, χρησιμοποιείται ένας τριφασικός ανορθωτής με διόδους (μη ελεγχόμενος), μια διασύνδεση ΣΡ και ένας τριφασικός αντιστροφέας ο οποίος συνδέεται με τη μηχανή [6.6]. Στην περίπτωση της λειτουργίας ως γεννήτρια (πχ. σε περιπτώσεις ανεμογεννητριών), η διάταξη των ηλεκτρονικών ισχύος είναι ένας ελεγχόμενος τριφασικός μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ, μια διασύνδεση ΣΡ και ο τριφασικός ανορθωτής (συνολικά ένας μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ) καθώς η ροή ισχύος πρέπει να κατευθύνεται προς το δίκτυο [6.7] Πλήρες μοντέλο μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και μηχανής συνεχούς ρεύματος Στην περίπτωση οδήγησης μιας μηχανής συνεχούς ρεύματος, χρησιμοποιούνται συνήθως μετατροπείς ΣΡ/ΣΡ με βασικό τον μετατροπέα ανύψωσης τάσης [6.8]. Σκοπός είναι ο μετατροπέας να αυξήσει την συνεχή τάση στην έξοδό του ώστε να οδηγήσει κατάλληλα μια μηχανή συνεχούς ρεύματος. Στην πράξη, η τάση εξόδου του μετατροπέα ισούται με την τάση τυμπάνου της μηχανής (Σχήμα 6.3). L R α L α i f + i + i α V f - E μ v - C + K e ω ω, T L - J b Σχήμα 6.3 Σχηματικό διάγραμμα συστήματος μετατροπέα ΣΡ.ΣΡ ανύψωσης τάσης και μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης 86

87 Συνδυάζοντας τις εξισώσεις του μετατροπέα και της μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης καταλήγουμε στην παρακάτω μορφή: Li = ( µ ) v + E Cv = ( µ ) i ia Li = Ri Kω + v a a a a e a J ω = Ki bω T ea L (6.5) όπου η μεταβλητή ελέγχου του συστήματος είναι πλέον ο λόγος κατάτμησης µ του μετατροπέα. Παρά το γεγονός ότι η μηχανή ΣΡ ξένης διέγερσης δίνεται από γραμμικό μοντέλο, ο συνδυασμός της με τον μετατροπέα οδηγεί σε ένα πλήρες μοντέλο σε μη γραμμική μορφή. Θεωρώντας ως διάνυσμα κατάστασης [ ] T x= i v i ω και διάνυσμα εξωτερικών εισόδων u = [ E T ] T L, τότε το παραπάνω σύστημα μπορεί να γραφεί στη γενική Hamiltonian μορφή (6.) με: a M L C 0 0 =, 0 0 La J R =, 0 0 Ra b 0 ( µ ) 0 0 ( ) 0 0 J µ =, g = 0 0 K e Ke 0 T Παρατηρούμε ότι συνδυάζοντας δύο Hamiltonian συστήματα, καταλήγουμε στο πλήρες ηλεκτρομηχανικό σύστημα το οποίο μπορεί επίσης να γραφεί στη Hamiltonian μορφή διατηρώντας τις ιδιότητες των δύο υποσυστημάτων. Με αντίστοιχο τρόπο, αν θέλουμε να οδηγήσουμε τη μηχανή ΣΡ με διέγερση σε σειρά μέσω ενός μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, οι εξισώσεις στις οποίες θα καταλήξουμε είναι: Li = ( µ ) v + E Cv = ( µ ) i ia Li = Ri Kiω + v a a a a v a a J ω = Ki bω T v a L (6.6) όπου το σύστημα μπορεί να δοθεί επίσης στη Hamiltonian μορφή με τα ίδια διανύσματα κατάσταση και εξωτερικών εισόδων με: M L C 0 0 =, 0 0 La J R =, 0 0 Ra b 0 ( µ ) 0 0 ( ) 0 0 J µ =, g = 0 0 Kvi a Kvia 0 T 87

88 6.5. Πλήρες μοντέλο ανορθωτή διόδων, διασύνδεσης ΣΡ, αντιστροφέα και ασύγχρονης μηχανής Στις περισσότερες περιπτώσεις εφαρμογής μια ασύγχρονης μηχανής ως κινητήρα, το συνολικό σύστημα αποτελείται από έναν τριφασικό μη ελεγχόμενο ανορθωτή με διόδους, μια διασύνδεση ΣΡ, ένα τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ και την ασύγχρονη μηχανή. Η διασύνδεση ΣΡ αποτελείται από έναν πυκνωτή C για τη σταθεροποίηση της τάσης ενώ πολλές φορές υπάρχει και μια επαγωγή L με μια μικρή ωμική αντίσταση R L για την εξομάλυνση του ρεύματος. Το πλήρες σύστημα απεικονίζεται στο Σχήμα 6.4. τριφασικό δίκτυο + RL L + i Sa V a S b c D D3 D5 S επαγωγικός κινητήρας V ec Vdc C V b M V c - - Sa D Sb D 4 Sc D 6 Σχήμα 6.4 Σχηματικό διάγραμμα συστήματος οδήγησης ασύγχρονης μηχανής Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 4, ο τριφασικός ανορθωτής διόδων μπορεί να θεωρηθεί ότι στην έξοδό του παρέχει μια σταθερή τάση κι επομένως σύμφωνα με τη σχέση (4.8) έχουμε Vec =.35 3Vms, όπου V ms είναι η ενεργός τιμή της φασικής τάσης της τριφασικής πηγής. Επομένως μπορούμε να μοντελοποιήσουμε το σύστημα με τη διασύνδεση ΣΡ, τον αντιστροφέα και τη μηχανή. Αν συνδυάσουμε τις εξισώσεις των συστημάτων αυτών λαμβάνουμε: RL m RL m Lm σi ds = + R s ids + σωeiqs + λ d + pλqω + vds (6.7) L L L RL m RL m Lm σi qs = + R s iqs σωeids + λ q pλdω + vqs (6.8) L L L RL R ω pω (6.9) m e λd = i ds λ d + λq L L L L RL R ω pω (6.0) m e λq = i qs λ q λd L L L L Lm Lm J ω = pλqids + pλdiqs bω TL (6.) 3 L L

89 Li = Ri V + V (6.) dc ec 3 CV dc = ( mdsid + mqsiq ) i (6.3) Αν επιπλέον λάβουμε υπόψη ότι από τις σχέση (4.5) ισχύουν vds = mv ds dc, v = mv και τα αντικαταστήσουμε στις σχέσεις (6.7) και (6.8), τότε το πλήρες qs qs dc σύστημα μπορεί γραφτεί στη γενική μορφή (6.) με διάνυσμα κατάστασης T x = ids iqs λd λq ω i V dc, διάνυσμα εξωτερικών εισόδων u= Vec TL και 3 3 πίνακες: T M σ σ 0 L = L, J R = 3 L 0 3 C 3 L m L m + s L L L m L m + L L L m L L L m L L b R Lm 0 σωe 0 0 p λq 0 m ds L L m σωe p λd 0 m qs L ωe pω L J ωe pω, g = = L Lm Lm pλq pλd L L mds mqs Παρατηρούμε ότι το πλήρες σύστημα διατηρεί όλες τις ιδιότητες των Hamiltonian συστημάτων ενώ για άλλη μια φορά οι είσοδοι ελέγχου m ds και m qs εμφανίζονται μόνο στον αντι-συμμετρικό πίνακα J. T 89

90 6.5.3 Πλήρες μοντέλο ελεγχόμενου τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ, διασύνδεσης ΣΡ, αντιστροφέα και ασύγχρονης μηχανής Στην περίπτωση που επιθυμούμε την αντίστροφη ροή ισχύος, δηλαδή η μηχανή να λειτουργεί ως γεννήτρια και να δίνει ισχύ στο δίκτυο, αλλά ακόμα και στην περίπτωση της λειτουργία κινητήρα όπου επιθυμούμε να ελέγχουμε την τάση της διασύνδεσης ΣΡ και το συντελεστή ισχύος του συστήματος, πρέπει να αντικατασταθεί ο τριφασικός ανορθωτής διόδων με έναν ελεγχόμενο μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ. Το σύστημα μετατροπέων ισχύος καλείται «πλήρης μετατροπέας ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ» ενώ στη διασύνδεση ΣΡ αρκεί ένας πυκνωτής σταθεροποίησης της τάσης όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: i U a U b U c L L L R R R S S3 S5 D D3 D5 d d3 d5 I a V a I b V b I c + Vdc C Sa V a S b c D D3 D5 V b S επαγωγικός κινητήρας M V c V c S S4 S6 D D 4 d d4 d6 D 6 - Sa D Sb D 4 Sc D 6 Σχήμα 6.5 Σχηματικό διάγραμμα πλήρους μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ και ασύγχρονης μηχανής Αν συνδυάσουμε το μοντέλο του τριφασικού μετατροπέα και το τμήμα της διασύνδεσης ΣΡ, αντιστροφέα και ασύγχρονης μηχανής από την προηγούμενη παράγραφο 6.5. καταλήγουμε στις διαφορικές εξισώσεις του πλήρους συστήματος: RL m RL m Lm σi ds = + R s ids + σωeiqs + λ d + pλqω + mv ds dc (6.4) L L L RL m RL m Lm σi qs = + R s iqs σωeids + λ q pλdω + mv qs dc (6.5) L L L RL R ω pω (6.6) m e λd = i ds λ d + λq L L L L RL R ω pω (6.7) m e λq = i qs λ q λd L L L L Lm Lm J ω = pλqids + pλdiqs bω TL (6.8) 3 L L

91 Li = Ri + ω Li m V + U (6.9) d d s q df dc df Li = Ri ω Li m V + U (6.30) q q s d qf dc qf ( q qs qs ) 3 CV dc = mdf id + mqf i mdsids + m i (6.3) όπου m ds και μηχανής και m qs είναι οι λόγοι κατάτμησης του αντιστροφέα στην πλευρά της m df, m qf είναι οι λόγοι κατάτμησης του μετατροπέα στην πλευρά του δικτύου. Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή υπάρχουν συνολικά 4 μεταβλητές ελέγχου. Οι μεταβλητές U df και U qf εκφράζουν τις τάσεις στους σύγχρονα στρεφόμενους d και q άξονες στο τριφασικό δίκτυο. Επιπλέον, τα ω s και ω e εκφράζουν τις σύγχρονες γωνιακές συχνότητες των ημιτονοειδών μεγεθών στην πλευρά του δικτύου και στην πλευρά της μηχανής αντίστοιχα. Το πλήρες μοντέλο (6.4)-(6.3) γράφεται στη Hamiltonian μορφή (6.) με διάνυσμα κατάστασης εισόδων u= TL Udf Uqf και πίνακες: 3 x = ids iqs λd λq ω idf iqf V dc, διάνυσμα εξωτερικών T T M σ σ 0 L L =, J 3 0 L L C g = T 9

92 L m L m s L L L m L m s L L L m L L R = L m, L L b R R J Lm 0 σω 0 0 p λ 0 0 m L Lm σω p λ 0 0 m L ωe pω L = ωe pω L Lm Lm pλq pλd L L ωsl m ωs L 0 m mds mqs mdf mqf 0 e q ds e d qs df qf Όλες οι μεταβλητές ελέγχου εμφανίζονται στον αντι-συμμετρικό πίνακα J κι επομένως το πλήρες σύστημα είναι παθητικό ανεξάρτητα από τις τιμές των μεταβλητών αυτών. Πρέπει να τονιστεί ότι η παραπάνω μοντελοποίηση έγινε θεωρώντας το μοντέλο της μηχανής ως κινητήρα και τη φορά ισχύος από το δίκτυο προς τη μηχανή. Σε περίπτωση που η μηχανή λειτουργεί ως γεννήτρια, για λόγους απλότητας θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο πλήρες μοντέλο του συστήματος με τη διαφορά ότι οι εξωτερικές είσοδοι u θα έχουν αντίθετα πρόσημα. 9

93 6.6 Σύνοψη-Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύχθηκαν τα μοντέλα των ηλεκτρονικών μετατροπέων ισχύος και των ηλεκτρικών μηχανών στο χώρο κατάστασης. Στη συνέχεια, συνδυάζοντας αυτά τα συστήματα, καταλήξαμε στα πλήρη μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την οδήγησή τους. Για τις μηχανές συνεχούς ρεύματος, θεωρήθηκε ότι οδηγούνται από έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης ενώ τριφασικοί μετατροπείς ισχύος χρησιμοποιήθηκαν για την οδήγηση μιας ασύγχρονης μηχανής ως κινητήρα και ως γεννήτρια. Κάθε ένα από τα μοντέλα που παρουσιάστηκαν στο χώρο κατάστασης, αποδείχθηκε ότι μπορεί να γραφτούν στη γενική Hamiltonian μορφή ικανοποιώντας με αυτόν τον τρόπο κάποιες βασικές ιδιότητες όπως η παθητικότητα. Σε όλα τα μοντέλα οι είσοδοι ελέγχου εμφανίζονται αποκλειστικά στον αντι-συμμετρικό πίνακα με αποτέλεσμα η εφαρμογή ενός μη δυναμικού ελεγκτή να οδηγεί σε παθητικό σύστημα κλειστού βρόχου. Τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφηκαν αποτελούν την ακριβή περιγραφή της δυναμικής συμπεριφοράς των συστημάτων και είναι κατάλληλα για τον σχεδιασμό των ελεγκτών που θα ακολουθήσουν στα επόμενα κεφάλαια. 6.7 Αναφορές [6.] A. T. Alexandidis and G. E. Mamidis, "Modeling Wind Geneatos with Full- Scale Fequency Convetes: Stability and Passivity Popeties", in 7 th Mediteanean Confeence and Exhibition on Powe Geneation, Tansmission, Distibution and Enegy Convesion (MedPowe 00), pp. 5, Agia Napa, Cypus, 00. [6.] G.C. Konstantopoulos, A.T. Alexandidis, "Dynamic pefomance analysis and expeimental veification of a boost convete diven by a new nonlinea contolle, 9 th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, (MED'), pp , Cofu, Geece, June 0-3, 0. [6.3] J. A. Acosta, R. Otega, A. Astolfi, and A. D. Mahindaka, Inteconnection and damping assignment passivity-based contol of mechanical systems with undeactuation degee one, in IEEE Tansactions on Automatic Contol, vol. 50, Issue, pp , Dec [6.4] G. C. Konstantopoulos, and A. T. Alexandidis, Novel Dynamic Nonlinea Contol Scheme fo Thee-Phase AC/DC Voltage Souce Convetes, in Intenational Confeence on Industial Technology 0 (ICIT ), pp , Athens, Geece, Mach 9-, 0. [6.5] W. Leonhad, Contol of Electical Dives, nd Edition, Spinge, 997. [6.6] B. K. Bose, Moden Powe Electonics and AC Dives, Uppe Saddle Rive, NJ: Pentice-Hall, 00. [6.7] T. Ackemann, Wind Powe in Powe Systems, Wiley, st Edition,

94 [6.8] J. Linaes-Floes, J. Regen, and H. Sia-Ramiez, Load Toque Estimation and Passivity-Based Contol of a Boost-Convete/DC-Moto Combination, IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, Vol. 8, No. 6, pp ,

95 Κεφάλαιο 7 Μη γραμμικός έλεγχος παθητικών Hamiltonian συστημάτων 7. Εισαγωγή Όπως φάνηκε από την περιγραφή στο χώρο κατάστασης, τα μοντέλα των ηλεκτρονικών διατάξεων ισχύος, της ασύγχρονης μηχανής αλλά και τα πλήρη μοντέλα δίνονται στη γενική Hamiltonian μορφή. Για τον λόγο αυτό, ο σχεδιασμός ενός νόμου ελέγχου στο γενικό Hamiltonian μοντέλο είναι ιδιαίτερα σημαντικός. Στο κεφάλαιο αυτό, προτείνεται ένας νέος μη γραμμικός έλεγχος για παθητικά Hamiltonian συστήματα που ικανοποιούν κάποιες προδιαγραφές, οι οποίες όπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια ικανοποιούνται πλήρως από τα συστήματα που μελετώνται στην παρούσα διατριβή. Ο έλεγχος που προτείνεται είναι απλός στη μορφή του, πλήρως ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος και εγγυάται ευστάθεια του κλειστού συστήματος χωρίς να γίνεται χρήση του μοντέλου διαφορών. Η γενική μορφή του μη γραμμικού ελέγχου δίνει τη δυνατότητα να εφαρμοστεί σε κάθε φραγμένη είσοδο ελέγχου του συστήματος η οποία όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο βρίσκεται στον αντι-συμμετρικό πίνακα. Στη συνέχεια, η δυναμική του ελέγχου μετασχηματίζεται ώστε να αυξηθεί η σθεναρότητά του ως προς τις αρχικές συνθήκες οδηγώντας σε μια πιο ολοκληρωμένη μορφή. 7. Ιδιότητες παθητικών Hamiltonian συστημάτων 7.. Υπάρχουσες τεχνικές ελέγχου Όπως τονίσαμε σε προηγούμενα κεφάλαια, πολλά Hamiltonian συστήματα (ηλεκτρικά, μηχανικά και ηλεκτρομηχανικά συστήματα) οδηγούνται από ηλεκτρονικές διατάξεις ισχύος [7.]. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο μέσης τιμής των μετατροπέων ισχύος, το συνολικό σύστημα βασίζεται στη Lagangian και Hamiltonian δυναμική προσέγγιση [7.], [7.]. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το πλήρες σύστημα να είναι μη γραμμικό το οποίο περιλαμβάνει μη ελεγχόμενες σταθερές εισόδους (ή κατά τμήματα σταθερές), οι οποίες είναι συνήθως μια εξωτερική τάση, εξωτερική δύναμη ή ροπή, ενώ επιπλέον οι είσοδοι ελέγχου είναι οι λόγοι κατάτμησης των μετατροπέων ισχύος, οι οποίοι εμφανίζονται σε μια ειδική Hamiltonian μορφή [7.3], [7.4]. Επομένως, ως είσοδος ελέγχου ενός τέτοιου συστήματος είναι ένα διάνυσμα φραγμένων σημάτων συνεχούς χρόνου (λόγοι κατάτμησης) περιορισμένα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Καθώς το συνολικό 95

96 σύστημα διατηρεί τη Hamiltonian μορφή και θεωρώντας ως εγγενής ιδιότητα αυτών των συστημάτων την ιδιότητα της απόσβεσης, τότε η παθητικότητα του συστήματος ως προς την έξοδο και τις σταθερές μη ελεγχόμενες εισόδους του συστήματος αποδεικνύεται εύκολα [7.5], [7.6]. Επιπλέον, λόγω της ύπαρξης των σταθερών εισόδων, ορίζεται ένα ή περισσότερα μη μηδενικά σημεία ισορροπίας για το σύστημα ανοικτού βρόχου. Σε αυτά τα παθητικά Hamiltonian συστήματα, σκοπός του ελέγχου είναι να σταθεροποιήσει το πλήρες σύστημα σε ένα επιθυμητό σημείο ισορροπίας ανεξάρτητα από τις σταθερές εξωτερικές εισόδους, εγγυώντας ταυτόχρονα ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Παρόλο που η παθητικότητα συνδέεται άμεσα με τη Lyapunov και την L ευστάθεια, δεν μπορεί να εγγυηθεί ευστάθεια σε αυτά τα συστήματα καθώς οι είσοδοι δεν εξαφανίζονται όσο περνάει ο χρόνος [7.7], [7.8]. Η τεχνική Lyapunov χρησιμοποιείται κυρίως σε συστήματα χωρίς είσοδο αποδεικνύοντας ευστάθεια στο μηδενικό σημείο ισορροπίας [7.9]. Σε περιπτώσεις όπου η είσοδος δεν είναι μηδέν, η τεχνική Lyapunov χρησιμοποιεί το μοντέλο διαφορών (eo dynamics) για να αποδείξει ευστάθεια για το μη γραμμικό σύστημα [7.], [7.6]. Με βάση το μοντέλο διαφορών, διάφορες μέθοδοι ελέγχου έχουν αναπτυχθεί με πιο δημοφιλή τον έλεγχο βασισμένο στην παθητικότητα (passivitybased contol PBC) [7.3]. Η PBC τεχνική, προτεινόμενη από τον Otega κ.α. [7.], σχεδιάζει νόμους ελέγχου για Hamiltonian συστήματα που περιλαμβάνουν ηλεκτρονικούς μετατροπείς ισχύος και αποδεικνύουν ευστάθεια στο μοντέλο διαφορών μέσω παθητικότητας και ενεργειακής διαμόρφωσης. Επιπλέον, άλλες μέθοδοι που βασίζονται σε έλεγχο ολίσθησης (sliding mode) [7.0] και προσαρμοστικό έλεγχο [7.] έχουν προταθεί σε συνδυασμό ή ανεξάρτητα με την PBC τεχνική για να αυξήσουν τη σθεναρότητα το συστήματος. Ωστόσο, δεν υπάρχει μια γενική μέθοδος για να εξάγεται το μοντέλο διαφορών σε ένα μη γραμμικό σύστημα καθώς κάθε σύστημα έχει τις δικές του μη γραμμικότητες, ενώ στις τεχνικές ελέγχου που αναφέρθηκαν ο νόμος ελέγχου εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά και τις παραμέτρους του συστήματος ή το σημείο ισορροπίας [7.]. Μια μέθοδος που δεν χρειάζεται το μοντέλο διαφορών και στηρίζεται στο σχεδιασμό μιας συνάρτησης αποθήκευσης η οποία αποδεικνύει ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου είναι η τεχνική βασισμένη στην παθητικότητα μέσω διασύνδεσης και ανάθεσης απόσβεσης (inteconnection and damping assignment passivity-based contol IDA-PBC). Η προηγμένη αυτή τεχνική ωστόσο βασίζεται στο σημείο ισορροπίας και απαιτεί την λύση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης η οποία δεν έχει πάντοτε αναλυτική λύση [7.5], [7.3], [7.4]. 7.. Ιδιότητες μη γραμμικού συστήματος Η γενική μορφή του συστήματος που θα μελετηθεί στην πράξη περιγράφει τα περισσότερα ηλεκτρικά και ηλεκτρομηχανικά συστήματα τα οποία περιλαμβάνουν ηλεκτρονικούς μετατροπείς ισχύος. Με την έννοια παθητικό Hamiltonian σύστημα εννοούμε το Hamiltonian σύστημα με απόσβεση που δίνεται από τη σχέση (.5) 96

97 όπου H( x ) είναι η Hamiltonian συνάρτηση η οποία είναι κάτω φραγμένη και συνήθως περιγράφει το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του συστήματος. Το σύστημα αυτό είναι παθητικό με συνάρτηση αποθήκευσης τη Hamiltonian H( x ) σύμφωνα με τη σχέση (.4) ή (.5) όπου: ( ) ( ) ( ()) T H x H x D xt = R (7.) x x είναι μια μη αρνητική συνάρτηση με R 0. Το μη γραμμικό σύστημα θα πρέπει να ικανοποιεί κάποιες βασικές υποθέσεις. Οι υποθέσεις αυτές χωρίζονται σε δύο στάδια. Οι πρώτες δύο υποθέσεις πρέπει να ικανοποιούνται από το σύστημα ανοικτού βρόχου ενώ την τρίτη που θα ακολουθήσει θα πρέπει να ικανοποιεί το κλειστό σύστημα μετά την εφαρμογή του προτεινόμενου ελέγχου. Υπόθεση. Η εξωτερική είσοδος u = ε είναι ένα διάνυσμα m διαστάσεων σταθερό ή κατά τμήματα σταθερό και ο gx ( ) = Bείναι ένας n mσταθερός πίνακας.. Το σύστημα είναι παθητικό ως προς την είσοδο ε και την έξοδο y με συνάρτηση αποθήκευσης τη Hamiltonian H( x )..3 Οι είσοδοι ελέγχου µ, =,,..., l είναι φραγμένα σήματα στο διάστημα ( aa, ) (ή [ aa, ]) ή στο διάστημα [ 0, a ) (ή [ ] 0, a ), για κάποιο a > 0, και εμφανίζονται αποκλειστικά στον αντι-συμμετρικό πίνακα J J x, µ, µ,..., µ,..., µ J = J x µ, όπου l ( l) = ή πιο απλά ( ) [ ] µ = µ µ µ είναι το φραγμένο διάνυσμα εισόδων ελέγχου. R x... T l.4 ( ) 0 = R είναι ένας n n σταθερός θετικά ημι-ορισμένος πίνακας τέτοιος ώστε ank( R) n., l Με βάση τις παραπάνω συνθήκες, ένα παθητικό Hamiltonian σύστημα μπορεί να γραφτεί στη μορφή: H( x) x = ( J( x, µ l ) R) + Bε x (7.) T H( x) y = B x Υπόθεση. Για το Hamiltonian σύστημα (7.), ισχύει ότι ένας n n θετικά ορισμένος πίνακας. 97 H( x) = Mx x, όπου M > 0 είναι

98 7.3 Προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος Στόχος του ελέγχου είναι η σταθεροποίηση οποιασδήποτε μεταβλητής κατάστασης του συστήματος μέσω των φραγμένων σημάτων ελέγχου µ, =,,..., l. Έστω και x, p {,,..., n} p η μετρούμενη και η επιθυμητή τιμή οποιασδήποτε από τις n μεταβλητές κατάστασης η οποία πρέπει να σταθεροποιηθεί μέσω της εισόδου ελέγχου µ. Τότε, προτείνεται ο νέος απλός μη γραμμικός ελεγκτής της μορφής: µ = z + c (7.3) ( ) z 0 k xp x p z = z k ( ) 0 z xp x p όπου z και z αποτελούν τις μεταβλητές ελέγχου, 98 k είναι μια σταθερά και x p (7.4) είναι μια θετική σταθερά η οποία πρέπει να καθοριστεί όπως θα δούμε στη ανάλυση της ευστάθειας. Από τη σχέση (7.4) παρατηρούμε ότι ο προτεινόμενος ελεγκτής αποτελεί έναν μη αποσβεννύμενο ταλαντωτή, εάν τουλάχιστον μία από τις αρχικές συνθήκες z (0) και z (0) είναι διάφορες του μηδενός, ενώ η συχνότητα ταλάντωσής του εξαρτάται από τη διαφορά ανάμεσα στη μετρούμενη x p και στην επιθυμητή τιμή x p της μεταβλητής κατάστασης που ελέγχεται. Η μη γραμμικότητα του ελεγκτή είναι προφανής από τα γινόμενα της μεταβλητής κατάστασης x p του συστήματος με τις μεταβλητές ελέγχου z και z. Επιπλέον, πρέπει να τονιστεί ότι ο προτεινόμενος ελεγκτής είναι πλήρως ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος σε αντίθεση με τις περισσότερες τεχνικές ελέγχου (Lyapunov, παθητικότητας). 7.4 Ανάλυση συστήματος κλειστού βρόχου 7.4. Σύστημα κλειστού βρόχου Εάν εφαρμόσουμε τον προτεινόμενο μη γραμμικό έλεγχο (7.3)-(7.4) στα σήματα ελέγχου µ, τότε το κλειστό σύστημα μπορεί να γραφτεί στην παθητική Hamiltonian μορφή: H ( x) x = ( Jx ( ) Rx ( ) ) + B ε x (7.5) T H ( x) y = B x T T T T T T όπου x = x z, z = z z... z z l l, B = B 0 m l R 0n l R = 0l n 0, l l c

99 ( ) J x 0n 0n 0n 0n 0 n 0 k( xp x ) 0 0 p 0 n k( xp x ) p J = n kl( xp x ) l pl 0 n kl( xp x ) 0 l pl και η Hamiltonian του συστήματος είναι: T H ( x ) = H( x) + z z (7.6) Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι ο J είναι ένας ( n l) ( n l) πίνακας και ο R είναι ένας ( n l) ( n l) + + συμμετρικός πίνακας και θετικά ημιορισμένος. + + αντι-συμμετρικός 7.4. Παθητικότητα συστήματος κλειστού βρόχου Από τη μορφή συστήματος (7.5) γίνεται εύκολα κατανοητό ότι το σύστημα κλειστού βρόχου εξακολουθεί να περιλαμβάνει την εξωτερική σταθερή είσοδο ε. Επομένως, παραθέτουμε το παρακάτω λήμμα το οποίο αποδεικνύει την παθητικότητα του κλειστού συστήματος: Λήμμα 5. Το σύστημα κλειστού βρόχου (7.5) είναι στην παθητική Hamiltonian μορφή ως προς το διάνυσμα εισόδου ε και το διάνυσμα εξόδου y. Η απόδειξη είναι προφανής καθώς η Hamiltonian συνάρτηση του κλειστού συστήματος (7.6) είναι κάτω φραγμένη και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως συνάρτηση αποθήκευσης [6] Ευστάθεια συστήματος κλειστού βρόχου Η παθητικότητα ενός μη γραμμικού συστήματος είναι μια ιδιότητα εισόδου-εξόδου και δεν μπορεί πάντοτε να αποδείξει ευστάθεια. Ωστόσο, όπως θα δούμε στην ανάλυση που ακολουθεί, η παθητικότητα είναι μια βασική ιδιότητα για την απόδειξη ευστάθειας στα παθητικά Hamiltonian συστήματα. Σύμφωνα με την Υπόθεση, το σύστημα κλειστού βρόχου (7.5) μπορεί να γραφτεί στη μη γραμμική μορφή (3.) με διάνυσμα κατάστασης x, διάνυσμα εξωτερικών εισόδων u = ε και πίνακες A( x ) και B( x ) οι οποίοι δίνονται ως: 99

100 ( ) A x ( x ) As 0n 0n 0n 0n 0 n 0 k( xp x ) 0 0 p 0 n k( xp x ) p =, n kl( xp x ) l pl 0 n kl( xp x ) 0 l pl = B είναι ένας σταθερός πίνακας. ( ) όπου A ( x ) = J( x ) R M και B( x) s * Θεωρώντας x το επιθυμητό σημείο ισορροπίας του κλειστού συστήματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την τρίτη υπόθεση που πρέπει να ικανοποιείται: 3. Για κάθε τροχιά Υπόθεση 3 ( n ) l και για κάθε 0 xt () Ω R + t, ο πίνακας A ( ) s x είναι τοπικά Lipschitz και έχει ιδιοτιμές με αρνητικά πραγματικά μέρη. 3. Υπάρχει ένα επιθυμητό σημείο ισορροπίας για την (7.5) (ή ισοδύναμα την * (3.)): x L Ω, το οποίο αντιστοιχεί στο xp = x p και ικανοποιεί την * H x = 0. εξίσωση ( ) 3.3 Δεν υπάρχουν οριακοί κύκλοι στο Ω Σύμφωνα με τις Υποθέσεις,, και 3, παραθέτουμε το παρακάτω θεώρημα το οποίο αποδεικνύει ευστάθεια για το σύστημα κλειστού βρόχου. Θεώρημα 7. Για τον έλεγχο (7.3)-(7.4) με: (i) σταθερά c = 0 και αρχικές συνθήκες z (0) = a+ γ, (0) 0 (ή [ aa, ] (ii) σταθερά µ ) και c µ [ 0, a) (ή [ ] z = για µ ( aa, ) a γ = και αρχικές συνθήκες (0) a γ z =, z (0) = 0 για µ 0, a ), όπου γ είναι ένας πολύ μικρός σταθερός θετικός αριθμός (ή γ = 0 στην περίπτωση που µ [ aa, ] ή [ 0, a] µ ), το σύστημα κλειστού βρόχου (7.5) είναι ευσταθές για κάθε t 0 και η λύση xt () παραμένει φραγμένη σε μια περιοχή που περιλαμβάνει το επιθυμητό σημείο ισορροπίας * x. Απόδειξη: Σύμφωνα με τις Υποθέσεις που αναφέρθηκαν, το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί να γραφτεί στη μορφή (3.) και αφού οι πίνακες A( x ) και B είναι 00

101 τοπικά Lipschitz, τότε το Θεώρημα 3.5 μπορεί να εφαρμοστεί. Επομένως, το μη γραμμικό σύστημα μπορεί να προσεγγιστεί από μια ακολουθία γραμμικών, χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων της μορφής (3.)-(3.3) όπου: [] i A () t = [] i ( ) As x () t 0n 0 n 0 0 n n [] i 0 n 0 k( xp () t x ) 0 0 p [] i 0 n k( xp () t x ) p 0 0 [] i 0 n kl( xp () t x ) l pl [] i 0 n kl( xp () t x ) 0 l pl και [] i B () t = B. Λόγω της μορφής των πινάκων [] i A () t και [] i B () t και ιδιαίτερα λόγω της «αποσυνδεδεμένης» δομής του πίνακα [] i A () t ο οποίος παρουσιάζει μια μορφή σύνθετου διαγώνιου πίνακα για κάθε υποσύστημα (αποτελούμενο από A s και ελεγκτές) στην ακολουθία ( i ), μπορούμε να μελετήσουμε τη δυναμική κάθε συστήματος ελέγχου ( =,,..., l) ξεχωριστά: [ i ] ( ) [] i [] i z () t 0 k xp () t x p z () t = (7.7) [] i [ ] [] i z () t i ( () ) 0 z () t k xp t x p Επομένως, μελετώντας το σύστημα (7.7) ως ένα ανεξάρτητο υποσύστημα, μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση Lyapunov: ( ) ( ) [] i [] i [] i W () t = z () t + z () t 0 (7.8) όπου η χρονική παράγωγος της W [] i () t υπολογίζεται ως: ( ) ( ) W () t = k x () t x z () t z () t + k x () t x z () t z () t = 0 (7.9) [] i [ i ] [] i [] i [ i ] [] i [] i p p p p Καθώς [] i W () t = 0, το σύστημα (7.7) είναι ευσταθές κατά Lyapunov. Επιπλέον, ισχύει ότι: [] i [] i W ( t) = W (0) t 0 (7.0) Σύμφωνα με τη σχέση (7.8), η συνάρτηση Lyapunov κύκλο στο z z επίπεδο, ενώ η σχέση (7.9) δηλώνει ότι τα μελλοντικό χρονικό διάστημα πάνω στον κύκλο W [] i () t περιγράφει έναν [] i z και z για όλο το [] i W [] i (0) ο οποίος έχει κέντρο το μηδέν και η ακτίνα του εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες [0] [] [0] [] z (0) = z (0) =... = z (0) και z (0) = z (0) =... = z (0). Επομένως, 0

102 αποδεικνύεται ότι για κάθε [ i ] x p φραγμένο, τα 0 [] i z και z θα παραμείνουν φραγμένα i 0. Για να αποδείξουμε όμως ευστάθεια, δηλαδή φραγμένες μεταβλητές κατάστασης για το σύστημα κλειστού βρόχου, το υπόλοιπο μη γραμμικό σύστημα που επιδρά με τους ελεγκτές πρέπει επίσης να αναλυθεί. Προφανώς, το σύστημα αυτό δίνεται από τη σχέση: [] i [ i ] [] i [] i x () t = A x () t x () t + Bε, x (0) = x (7.) s ( ) Θεωρώντας i = 0, μελετούμε αρχικά το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα: [0] [0] [0] x () t = A x x () t + Bε, x (0) = x (7.) 0 s ( 0) 0 Σύμφωνα με την Υπόθεση 3., ο πίνακας As ( ) κι επομένως οι ιδιοτιμές του πίνακα A ( x ) πραγματικά μέρη για οποιοδήποτε x Ω [] i x έχει ιδιοτιμές με αρνητικά έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Επομένως ο κατάσταση x [0] () t του συστήματος (7.) είναι φραγμένη. Ας θεωρήσουμε τώρα το πρώτο σύστημα της ακολουθίας ( i = ): [] [0] [] [] x () t = A x () t x () t + Bε, x (0) = x (7.3) s ( ) Για να προχωρήσουμε με την ανάλυση, υποθέτουμε αρχικά ότι η εξωτερική είσοδος είναι μηδέν: [] [0] [] [] x () t = A x () t x (), t x (0) = x (7.4) [0] s Αφού το ( ) x [0] () t είναι φραγμένο και το p (0) 0 0 x είναι φραγμένο, τότε τα [0] s 0 z () t και z ( ),,..., t = l είναι επίσης φραγμένα, όπως αποδείχθηκε από την ανάλυση των συστημάτων ελέγχου, κι επομένως το x [0] () t είναι φραγμένο. Επομένως, η ευστάθεια του συστήματος (7.4) προκύπτει άμεσα εάν χρησιμοποιήσουμε τη Hamiltonian ως συνάρτηση Lyapunov, ενώ επιπλέον το Λήμμα 3.4 [7.9] αποδεικνύει ασυμπτωτική ευστάθεια στο μηδέν για τις (από τις n ) καταστάσεις. Αφού η Υπόθεση 3. δηλώνει ότι ο πίνακας A s έχει πλήρη τάξη, τότε η Υπόθεση.4 εγγυάται ότι όλες οι υπόλοιπες καταστάσεις θα συγκλίνουν αποκλειστικά στη μηδενική λύση. Επομένως, το σύστημα (7.4) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι οποιαδήποτε αρχική συνθήκη x 0 οδηγεί το σύστημα (7.4) να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές ανεξαρτήτως της αρχικής χρονικής στιγμής t 0, δηλαδή το μηδενικό σημείο ισορροπίας είναι ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές κι επομένως για τη μήτρα [] διέλευσης Φ (, tt) του συστήματος (7.4) ή του (7.3) ισχύει: 0 [] [] [] [] [] [] c ( t t0 ),, 0: (, 0) c c m Φ tt c e t t0 [] [] Φ t τ dτ m t t0 (, ), 0 (7.5) Λαμβάνοντας υπόψη την Υπόθεση. και το Θεώρημα 3.3, τότε το σύστημα με εξωτερική είσοδο (7.3) είναι ολικά ευσταθές. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα η λύση

103 x [] () t να είναι φραγμένη και καθώς τα λύση x [] () t να είναι επίσης φραγμένη. [] z, 03 [] z είναι φραγμένα, προκύπτει ότι η Συνεχίζοντας για κάθε i >, τότε η ίδια ανάλυση μπορεί να εφαρμοστεί η οποία αποδεικνύει ότι η λύση κάθε συστήματος της ακολουθίας [] i x () t είναι φραγμένη. Τελικά, καθώς i, η λύση xt () του μη γραμμικού συστήματος (7.5) είναι φραγμένη καθώς Καθώς ισχύει ότι xt = x t. () lim [] i () i [] i [] i [] i όπου W () t ( z () t ) ( z () t ) [] i z () t = lim z (), t z () t = lim z () t και έστω W () t = lim W () t, [] i [] i i i i = +, τότε από τον προτεινόμενο έλεγχο (5.3.)-(5.3.) και τις αρχικές συνθήκες των μεταβλητών ελέγχου z και z όπως ορίστηκαν στο Θεώρημα 7., γίνεται εύκολα κατανοητό ότι οι δύο μεταβλητές ελέγχου z και z ορίζονται αρχικά ( 0 a γ µ [ aa, ]) ή από το A,0 z t = ) από ένα σημείο A( a+ γ,0) για ( aa, ) για µ [ 0, ) a (ή [ 0, a] µ (ή µ ) αντίστοιχα στο z επίπεδο. Καθώς ο χρόνος περνάει ( t > 0 ), είναι προφανές από τη δυναμική του ελέγχου (7.4) ότι οι καταστάσεις z και z μπορούν να κινηθούν αποκλειστικά a γ πάνω στον κύκλο W (0) με κέντρο το μηδέν και ακτίνα ίση με a γ ή αντίστοιχα στο z z επίπεδο όπως φαίνεται στο Σχήμα 7., ανεξαρτήτως της διαφοράς x p x p. Αυτό δηλώνει επίσης ότι και οι δύο μεταβλητές ελέγχου δεν μπορούν να συγκλίνουν ταυτόχρονα στο μηδέν, γεγονός που συχνά οδηγεί σε λανθασμένη λειτουργία του ελεγκτή. Η επιλογή της σταθεράς c δηλώνει ότι η είσοδος ελέγχου µ ορίζεται πάνω στον κύκλο W µ (0) ο οποίος συμπίπτει με τον (0) aa, µ aa, ) ενώ ο W µ (0) λαμβάνεται από τη μετατόπιση του κύκλου W (0) κατά c στον z άξονα, δηλαδή ο κύκλος έχει κέντρο a γ το,0 και ακτίνα a γ, όταν µ [ 0, a ) (ή µ [ 0, a] ) (Σχήμα 7.). Από στο Σχήμα 7. παρατηρούμε ότι η επιλογή των αρχικών συνθηκών επιτρέπει στην είσοδο ελέγχου µ να καλύψει όλη την περιοχή λειτουργίας [ a+ γ, a γ] ή [ 0, a γ ] αντίστοιχα. Η επιλογή ενός πολύ μικρού θετικού αριθμού γ δηλώνει ότι ο κύκλος W όταν µ ( ) (ή [ ] (0) A a,0 A ˆ µ a,0 τα οποία μπορεί να οδηγούν σε αστάθεια. Από την προηγούμενη ανάλυση, γίνεται κατανοητό ότι κάθε αποδεκτή είσοδος ελέγχου µ = z + c ταλαντώνεται πάνω στην περιφέρεια του κύκλου W µ (0) για W µ δεν έχει κοινά σημεία με τα µ ( ) ή ( )

104 κάθε =,,..., l και για κάθε t 0. Θεωρώντας, τώρα, ένα επιθυμητό σημείο ισορροπίας * * x που αντιστοιχεί σε κάποιο µ, τότε σύμφωνα με το νόμο ελέγχου (7.3), το σημείο ισορροπίας ορίζεται πάνω σε μια ευθεία l ( * * 3 µ = z + c) στο z z επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7., όπου η ευθεία l 3 βρίσκεται πάντοτε ανάμεσα στις ευθείες l και l ή ανάμεσα στις l 0 και l αντίστοιχα. Επομένως, η τιμή * της εισόδου ελέγχου στη μόνιμη κατάσταση µ που αντιστοιχεί σε κάποιο ορίζεται τελικά μέσα στον χώρο όπου το µ είναι φραγμένο. x * p = x p z z A(-a+γ,0) Ο μ * a-γ z a γ Α,0 a-γ A μ =Ο μ * μ * a-γ z W (0) W μ (0) W μ (0)=W (0) l l 3 l l 0 l 3 l Σχήμα 7. Επίπεδο μεταβλητών κατάστασης ελέγχου z z : αριστερά περίπτωση (i), δεξιά περίπτωση (ii) Σύγκλιση στο σημείο ισορροπίας Η ιδιότητα της φραγμένης κατάστασης είναι βασική σε κάθε παθητικό Hamiltonian σύστημα της μορφής (7.5) με σταθερή είσοδο που ικανοποιεί τις Υποθέσεις -3. Στην ανάλυση που ακολουθεί θα αποδείξουμε ότι κάτω από τις ίδιες συνθήκες η φραγμένη * κατάσταση του συστήματος συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας x. Για το σκοπό αυτό, αναπτύσσουμε το Λήμμα 7. στο οποίο αποδεικνύεται η ύπαρξη μιας συνεχής, παραγωγίσιμης, φραγμένης, φθίνουσας συνάρτησης αποθήκευσης. Η μορφή αυτής της συνάρτησης βασίζεται σε μια πρόσφατη ιδέα που αναπτύχθηκε κυρίως για υβριδικά συστήματα [7.] και άλλα δύσκολα μη γραμμικά συστήματα [7.0], [7.] για την κατασκευή κατάλληλων συναρτήσεων αποθήκευσης στη μορφή παραγωγίσιμων κλαδικών συναρτήσεων [7.3], [7.4]. Λήμμα 7. Έστω το παθητικό Hamiltonian μη γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου (7.5) που ικανοποιεί τις Υποθέσεις -3. Για το σύστημα αυτό υπάρχει πάντοτε μια συνεχής, παραγωγίσιμη, φραγμένη, φθίνουσα, κλαδική συνάρτηση αποθήκευσης. 04

105 Απόδειξη: Σύμφωνα με το Λήμμα 7., το σύστημα (7.5) είναι παθητικό και έστω H xt () η συνάρτηση αποθήκευσης που αποδεικνύει την παθητικότητα. Σύμφωνα με ( ) το Θεώρημα 7., η λύση xt () είναι φραγμένη στο Ω από το οποίο προκύπτει ότι η H xt () H H xt () H. Έστω ( ) είναι επίσης φραγμένη, δηλαδή ( ) H { * *,,... } R = H H το σύνολο όλων των σημείων της H( xt ()) όπου ισχύει ( ) min max πάνω στην τροχιά xt () H xt () = 0. Τότε, μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνεχή, παραγωγίσιμη, : φραγμένη, κλαδική συνάρτηση αποθήκευσης V( xt ()) ( ) ( ) V0 x() t when t t0, t V x() t when t t, t V( xt ()) = VK ( x() t ) when t tk, t K VK ( x() t ) when t tk, t K + με V ( ) ( ( ) ) 0 xt () = H xt () σh M ( σ) H m, * H σh M ( σ) H m V ( xt () ) = ( H ( xt () ) σh m ( σ) H M ), * H σhm ( σ) H M VK ( xt () ) = ( H ( xt () ) σh M ( σ) H m ) * * K ( H i σhm ( σ) HM )( Hi σhm ( σ) H + m), * * i=,3,5,... ( H i σh m ( σ) H M )( H i+ σh M ( σ) H m) * H K σh M ( σ) H m VK ( xt () ) = ( H ( xt () ) σh m ( σ) H M ) * H K σhm ( σ) H M * * ( H i+ σh ( σ) H M )( H i σh M ( σ) H ) * * ( H i σh ( σ) H M )( H i+ σh M ( σ) H ) K m m i=,3,5,... m m, (7.6) όπου η παράμετρος σ χρησιμοποιείται για την αρχικοποίηση και υπολογίζεται μόνο στο t = t0 : T, if H ( xt ( 0) ) = D( xt ( 0) ) + x ε 0 σ = T 0, if H ( xt ( 0) ) = D( xt ( 0) ) + x ε < 0 05

106 και H M, H m είναι σταθερές τιμές τέτοιες ώστε M > H, max Hm < H min αντιπροσωπεύει τη χρονική στιγμή στην οποία ( ) * αλλάζει πρόσημο. H και το t i H xt = H R και το H ( t i ) () i H Χωρίς σφάλμα της γενικότητας θεωρούμε αρχικά H( xt ) ( ) 0, δηλαδή σ =. Τότε, η παρακάτω συνάρτηση αποθήκευσης (7.6) μπορεί να χρησιμοποιηθεί: V( xt () ) = ( ( ) M ) ( ( ) M ) H xt () H, t t0, t H xt () H * H H M, t t *, t H H m ( ( ) m ) * * ( H i+ H )( H H ) * * ( H i H m )( H i+ H M ) H xt () H, t t, t K m i M K K i=,3,5,... ( )( ) ( )( ) * H K H M ( H ( xt () ) H m ) * * K H i+ H m H i H M, t t, H * * * K t K + K H m i=,3,5,... H i H m H i+ H M η οποία είναι προφανώς συνεχής και φραγμένη. Η χρονική παράγωγος της V( xt ()) σε κάθε διάστημα [ t t ], K K είναι: * * ( H i+ H )( H H ) * * ( H i H )( H i+ H M ) ( ()) ( ())( ( ()) ) K V xt H xt H xt H m i M = M 0 i =,3,5,... m ενώ σε κάθε διάστημα [, ] t t + είναι: K K 0 ( H i+ H )( H H ) ( i m )( i+ M ) (7.7) * * * ( ()) ( ())( ( ()) ) K H K H M V xt H xt H xt H m i M = m 0 * H * * K H m i=,3,5,... H H H H (7.8) Οι ανισότητες (7.7) και (7.8) ισχύουν καθώς η V( xt ()) διάστημα. Επιπλέον, γίνεται κατανοητό ότι V( xt ()) = 0 είναι μονότονη σε κάθε σε κάθε χρονική στιγμή αλλαγής της V( xt ()) αφού H ( xt ( )) = 0. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα η V ( xt () ) είναι ομοιόμορφα συνεχής κι επομένως η V( xt ()) τον τρόπο αυτό, η λύση xt () όπως φαίνεται από τις σχέσεις (7.7) και (7.8). i να είναι παραγωγίσιμη στο Ω. Με () 0, είναι φραγμένη σε μια περιοχή Ω όπου V( xt) 06

107 Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν αρχικά ( ) H xt ( ) < 0, δηλαδή σ = 0, μια αντίστοιχη ανάλυση δείχνει ότι οι ίδιες ιδιότητες ισχύουν για την V( xt ()) ( ) V xt () 0στο Ω. 0 και ισχύει πάλι ότι Επομένως, σε κάθε περίπτωση (για σ = ή σ = 0 ) κάποιος μπορεί να ορίσει μια συνεχή, παραγωγίσιμη, φραγμένη συνάρτηση αποθήκευσης V( xt ()) ( ) με παράγωγο V xt () 0στο Ω. Τώρα, μπορούμε να εφαρμόσουμε το Λήμμα 7. για να αποδείξουμε σύγκλιση στο σημείο ισορροπίας. Θεώρημα 7. Για το παθητικό Hamiltonian μη γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου (7.5) που ικανοποιεί τις Υποθέσεις -3, οι τροχιές xt () συγκλίνουν στο επιθυμητό * σημείο ισορροπίας x L. Απόδειξη: Το Λήμμα 7. μπορεί να εφαρμοστεί δίνοντας μια συνάρτηση V xt () η οποία ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις οι οποίες χρειάζονται αποθήκευσης ( ) για την εφαρμογή του Θεωρήματος LaSalle (Θεώρημα 3.). Έστω R { x * *, x,... } σύνολο όλων των σημείων του xt () στο Ω τέτοια ώστε έστω ˆR R L V xt () = 0 = αποτελεί το σύνολο όπου ( ) = το H *, ( i =,,...) : R R και i. Θεωρώντας ότι η Υπόθεση 3.3 ισχύει και καθώς το L είναι το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο στο ˆR, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα LaSalle, κάθε λύση xt () η οποία ξεκινά από το Ω τείνει στο L καθώς t. Σαν αποτέλεσμα, η λύση συγκλίνει σε κάποιο σημείο * * ισορροπίας x, δηλαδή xt () x καθώς t. H Παρατήρηση 7. Η σύγκλιση του xt () στο σημείο ισορροπίας δηλώνει ότι για κάθε β > 0 υπάρχει T > 0 τέτοιο ώστε (Ορισμός 3.3): dist x ( t), L < β, t > T (7.9) ( ) Επομένως, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα δ( β ) για τη συνάρτηση H xt () τέτοιο ώστε: αποθήκευσης ( ) ( ( ) * ( )) δ ( β) dist H x () t, H x <, t > T (7.0) Λαμβάνοντας υπόψη τη δομή της κλαδικής συνάρτησης αποθήκευσης V( xt ()) σημαίνει ότι για κάθε β > 0 υπάρχει πάντοτε μια τελική χρονική στιγμή t N, αυτό T μετά την οποία η V( xt ()) παραμένει στη VN ( xt ()) για κάθε t tn, δηλαδή η V( xt ()) ορίζεται από έναν πεπερασμένο αριθμό συναρτήσεων V( xt ( )), ( i=,,..., N). i 07

108 Παρατήρηση 7. Είναι εμφανές ότι η αναλυτική λύση της συνάρτησης αποθήκευσης V xt (), όπως δίνεται από το Λήμμα 7., δεν απαιτείται για το σχεδιασμό του ( ) ελεγκτή. Η κατασκευή της συνάρτησης αποθήκευσης είναι μια απόδειξη για το πώς μπορεί κάποιος να βρει μια κατάλληλη συνάρτηση αποθήκευσης και η μεθοδολογία της κλαδικής συνάρτησης όπως επιλέχθηκε μπορεί να μην είναι μοναδική. Παρατήρηση 7.3 Καθώς στην απόδειξη του Θεωρήματος 7. υποθέτουμε ότι ο ελεγκτής είναι αρχικοποιημένος στο t = 0 με συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες όπως δίνονται στο Θεώρημα 7., πρέπει να αποδειχθεί ότι η σύγκλιση σε ένα νέο σημείο ισορροπίας είναι εγγυημένη μετά από οποιαδήποτε μελλοντική αλλαγή στο σήμα µ 0, a και οι μεταβλητές αναφοράς: για παράδειγμα έστω η περίπτωση όπου [ ) κατάστασης x είναι σε κάποιο σημείο ισορροπίας τη χρονική στιγμή T > 0, δηλαδή * οι καταστάσεις βρίσκονται στο σημείο ισορροπίας x ( T ) το οποίο αντιστοιχεί στο * * xp ( T ) = xp ( T ) και στην είσοδο ελέγχου µ ( T ), με μεταβλητές ελέγχου z ( T * ) και ( ) * z T οι οποίες ορίζονται από ένα σημείο C που είναι η τομή της ευθείας l 4 και του κύκλου W µ (0) διαφορετικό από το αρχικό σημείο A µ = (0,0) και + έστω ότι συμβαίνει μια αλλαγή στο σήμα αναφοράς xp ( T ) xp ( T ) ( ). Αφού η επιθυμητή τιμή της εισόδου ελέγχου περιορίζεται πάνω στον κύκλο W µ (0) για κάθε * + μελλοντική χρονική στιγμή, τότε σίγουρα θα φτάσει στο νέο µ ( T ) που αντιστοιχεί στο νέο σημείο ισορροπίας (ευθεία l 3, Σχήμα 7.) ανεξαρτήτως από το αρχικό σημείο A µ ή C. Επιπλέον, αφού σε κάθε περίπτωση η ευθεία l 3 έχει δύο κοινά σημεία B και D με τον κύκλο W µ (0), είναι ανούσιο σε πιο σημείο από τα δύο θα συγκλίνει ο ελεγκτής. Προφανώς, και τα δύο σημεία αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο ισορροπίας του * συστήματος x ( T + ). Παρατήρηση 7.4 Σύμφωνα με την ανάλυση της ευστάθειας οι αρχικές συνθήκες των καταστάσεων z και z τους επιβάλλουν να κινηθούν αποκλειστικά στην περιφέρεια του κύκλου W (0). Είναι προφανές ότι οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες + = για (, ) aa που ικανοποιούν τη σχέση ( z (0)) ( z (0)) ( a γ ) a γ + = µ 0, a ) δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. µ [ aa, ]) ή τη σχέση ( z (0)) ( z (0)) [ ] µ (ή όταν [ 0, a) µ (ή 08

109 z z B B C a γ Α,0 a-γ A μ =Ο μ μ* * a-γ z a γ Α,0 a-γ A μ =Ο μ * μ * a-γ z W (0) D W μ (0) W (0) D W μ (0) l 0 l 3 l l 0 l 3 l 4 l Σχήμα 7. Σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας για την αρχική απόκριση (αριστερά) και για αλλαγή στο σήμα αναφοράς (δεξιά) 7.5 Αυξάνοντας τη σθεναρότητα του μη γραμμικού ελεγκτή Όπως δείξαμε στην προηγούμενη παράγραφο, ο νόμος ελέγχου (7.3)-(7.4) οδηγεί σε ευσταθές σύστημα κλειστού βρόχου, με τις καταστάσεις του z και z να κινούνται αποκλειστικά στην περιφέρεια ενός κύκλου W (0). Το γεγονός αυτό, όμως, εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες z (0) και z (0) όπως φαίνεται από το Θεώρημα 7.. Κατά την υλοποίηση του ελεγκτή στην πράξη σε υλικό (hadwae) ή λογισμικό (softwae), εξωτερικός θόρυβος ή σφάλματα κατά την υλοποίηση είναι δυνατόν να αλλάξουν αυτές τις αρχικές συνθήκες. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσμα οι καταστάσεις z και z να κινηθούν στην περιφέρεια ενός κύκλου με μεγαλύτερη ή και μικρότερη ακτίνα. Κάτι τέτοιο μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα ο κύκλος W (0) να μην έχει σημεία τομής με την επιθυμητή ευθεία l 3 και σαν αποτέλεσμα να μην μπορεί το σύστημα να συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας ενώ επιπλέον η ευστάθεια δεν είναι εγγυημένη. Για τον λόγο αυτό, γίνεται κατανοητή η ανάγκη για αύξηση της σθεναρότητας του ελεγκτή όσον αφορά στην εξάρτησή του από τις αρχικές συνθήκες. Κρατώντας, λοιπόν, τον ίδιο νόμο ελέγχου (7.3), μεταβάλλουμε ελαφρώς τις δυναμικές εξισώσεις (7.4) ως εξής: 0 k( xp x ) z p z = z (7.) z k ( ) ( ) ( ) xp x p c z z + 09

110 όπου c είναι μια θετική σταθερά και είναι η ακτίνα του επιθυμητού κύκλου W (0), δηλαδή a γ [ 0, a] = για µ ( aa, ) (ή [ aa, ] µ ) ή a γ = για [ 0, a) µ (ή µ ). Στην περίπτωση αυτή, οι αρχικές συνθήκες z (0) και z (0) μπορούν να είναι οποιεσδήποτε χωρίς να είναι ταυτόχρονα και οι δύο μηδέν. Με αυτόν τον τρόπο, ο όρος ( ) ( ) c z + z που προστέθηκε στην δεύτερη διαφορική εξίσωση (7.) επιβάλλει στον κύκλο με κέντρο το μηδέν και ακτίνα ίση με, δηλαδή ο κύκλος ( ) ( ) + =, να δρα ως ελκτικός κύκλος (attactive cycle) z z [7.5]. Πιο συγκεκριμένα, ξεκινώντας από οποιοδήποτε σημείο μέσα (σημείο Α) ή έξω (σημείο Α ) από τον επιθυμητό κύκλο ( ) ( ) + =, ο κύκλος έλκει τις z z καταστάσεις z και z στην περιφέρειά του καθώς ο χρόνος περνάει (Σχήμα 7.3). Η ταχύτητα με την οποία έλκει τις καταστάσεις εξαρτάται από την παράμετρο c, δηλαδή για μεγάλο c οι καταστάσεις έλκονται ταχύτατα στην περιφέρεια. A' z μ * Ο a-γ z A Σχήμα 7.3 Οι καταστάσεις z και z έλκονται στην περιφέρεια του επιθυμητού κύκλου Για να γίνει κατανοητό το παραπάνω, σύμφωνα με την απόδειξη του Θεωρήματος 7., η δυναμική κάθε συστήματος ελέγχου ( =,,..., l) στην ακολουθία ( i ), μπορεί να μελετηθεί ξεχωριστά: [ i ] [] i ( ) [] () 0 k xp () t x i z t p () z t = [] i [ ] [ ] [ ] [] i z () t i i i (7.) ( () ) ( ) ( ) z () t k xp t x p c z z + Επομένως, μελετώντας το σύστημα (7.) ως ένα ανεξάρτητο υποσύστημα, μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση Lyapunov: ( ) ( ) [] i [] i [] i W () t = z () t + z () t 0 (7.3) 0

111 όπου η χρονική παράγωγος της W [] i () t υπολογίζεται ως: ( ) ( ) [ i ] [ i ] [ i] [ i ] [ i ] [ i] ( ) ( ) ( ()) ( ) ( ) ( ()) W () t = k x () t x z () t z () t + k x () t x z () t z () t [] i [ i ] [] i [] i [ i ] [] i [] i p p p p c z z z t c z z + = + z t Η σχέση (7.4) δηλώνει ότι στον κύκλο) και [] i W () t < 0 ενώ [] i W () t = 0όταν τα [] i W [ i ] [ i ] () t > 0 όταν ( z ) ( z ) [ i ] [ i ] όταν ( z ) ( z ) [ i ] z και [ i ] z (7.4) + < (δηλαδή μέσα + > (δηλαδή έξω από τον κύκλο) βρίσκονται πάνω στον κύκλο ή όταν το οποίο καλύπτεται από την προηγούμενη ιδιότητα. Επομένως, οι καταστάσεις και [ i ] z [ i ] [ i ] συγκλίνουν πάνω στον κύκλο ( z ) ( z ) z =, [ i ] 0 [ i ] z + = καθώς ο χρόνος περνάει. Σύμφωνα με τον ορισμό της σύγκλισης (Ορισμός 3.3), υπάρχει ένας πεπερασμένος χρόνος 0 [ ] [ ] i i T μετά τον οποίο ισχύει ( ) ( ) z + z < ε, για οσοδήποτε μικρό ε > 0, όπου τυπικά οι καταστάσεις έχουν συγκλίνει πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Επομένως, για t T0 η ανάλυση της ευστάθειας και σύγκλισης στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας προκύπτει από την ανάλυση των Θεωρημάτων 7., 7. και των Λημμάτων 7., Σύνοψη-Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύχθηκε μια νέα μορφή μη γραμμικού ελεγκτή για μια ευρεία τάξη μη γραμμικών συστημάτων που δίνονται στη μορφή των παθητικών Hamiltonian συστημάτων με φραγμένες εισόδους ελέγχου και σταθερές μη ελεγχόμενες εξωτερικές εισόδους. Ο έλεγχος αυτός είναι απλός στη δομή του, πλήρως ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος και εγγυάται την παθητικότητα του συστήματος κλειστού βρόχου. Η ιδιότητα αυτή μαζί με κάποιες βασικές υποθέσεις που πρέπει να ικανοποιεί το αρχικό σύστημα, οδηγούν στην απόδειξη ότι με την εφαρμογή του ελεγκτή αυτού, η λύση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι φραγμένη και συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Αυτές οι ιδιότητες του προτεινόμενου ελέγχου αποτελούν τα βασικά του πλεονεκτήματα σε σχέση με τις ήδη υπάρχουσες τεχνικές. Επίσης, η ανάλυση και ο σχεδιασμός του έγινε στο γενικό μη γραμμικό Hamiltonian μοντέλο προσφέροντας με τον έλεγχο αυτό λύση σε ένα γενικό πρόβλημα. Επιπλέον, η μορφή του ελέγχου μετασχηματίστηκε ελαφρώς ώστε να αυξηθεί η σθεναρότητά του αναφορικά με τις αρχικές συνθήκες καταλήγοντας στην γενική μορφή ώστε να εγγυηθεί ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας.

112 7.7 Αναφορές [7.] R. Otega, A. Loia, P. Johan Nicklasson, and H. Sia-Ramiez, Passivity-based Contol of Eule-Lagange Systems, Spinge, 998. [7.] R. D. Middlebook, and S. Cuk, A geneal unified appoach fo modelling switching-convete powe stages, in Poc. IEEE Pow. Elec. Spec. Conf. (PESC), pp. 8-34, 976. [7.3] H. Sia-Ramiez, R. A. Peez-Moeno, R. Otega, and M. Gacia-Esteban, Passivity-based contolles fo the stabilization of DC-to-DC Powe convetes, in Automatica, vol. 33, Issue 4, pp , Apil 997. [7.4] R. Otega, and E. Gacia-Canseco, Inteconnection and Damping Assignment Passivity-Based Contol: A Suvey, in Euopean Jounal of Contol, 0, pp , 004. [7.5] J. A. Acosta, R. Otega, A. Astolfi, and A. D. Mahindaka, Inteconnection and damping assignment passivity-based contol of mechanical systems with undeactuation degee one, in IEEE Tansactions on Automatic Contol, vol. 50, Issue, pp , Dec [7.6] A. J. van de Schaft, L -Gain and Passivity Techniques in Nonlinea Contol, Spinge, 000. [7.7] H. Yu, and P. J. Antsaklis, Passivity and L Stability of Netwoked Dissipative Systems, 8 th IEEE Intenational Confeence on Contol and Automation, pp , Xiamen, June 9-, 00. [7.8] N. Kottenstette, and P. J. Antsaklis, Relationships between positive eal, passive dissipative, & positive systems, Ameican Contol Confeence 00, pp , Baltimoe MD, June 30 - July, 00. [7.9] H. K. Khalil, Nonlinea systems, 3 d edition, Pentice-Hall, 00. [7.0] H. Sia-Ramiez, G. Escoba, and R. Otega, On passivity-based sliding mode contol of switched DC-to-DC powe convetes, Poceedings of the 35 th IEEE Confeence on Decision and Contol, vol. 3, pp , -3 Dec [7.] G. Escoba, D. Cheveau, R. Otega, and E. Mendes, An Adaptive Passivity- Based Contolle fo a Unity Powe Facto Rectifie, in IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, vol. 9, Issue 4, pp , 00. [7.] T.-S. Lee, Lagangian modeling and passivity-based contol of thee-phase AC/DC voltage-souce convetes, in IEEE Tansactions on Industial Electonics, vol. 5, Issue 4, pp , 004. [7.3] R. Otega, A. van de Schaft, B. Maschke, and G. Escoba, Inteconnection and damping assignment passivity-based contol of pot-contolled Hamiltonian systems, in Automatica, vol. 38, Issue 4, pp , Apil 00. [7.4] H. Rodiguez, R. Otega, G. Escoba, and N. Baabanov A obustly stable output feedback satuated contolle fo the boost DC-to-DC convete, in System & Contol Lettes 40, pp. -8, 000.

113 [7.5] M. Peez, R. Otega, and J.R. Espinoza, Passivity-Based PI Contol of Switched Powe Convetes, in IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, vol., no. 6, Nov [7.6] M. Tomas-Rodiguez, and S. P. Banks, Linea appoximations to nonlinea dynamical systems with applications to stability and spectal theoy, in IMA Jounal of Mathematical Contol and Infomation, 0, pp , 003. [7.7] M. Tomas-Rodiguez, and S. P. Banks, Linea, Time-vaying Appoximations to Nonlinea Dynamical Systems, Spinge, 00. [7.8] E. D. Sontag, Smooth stabilization implies copime factoization, IEEE Tans. Automatic Contol, 34, pp , 989. [7.9] J. Tsinias, Sontag s input to state stability condition and global stabilization using state detection, Systems & Contol Lettes, 0, pp. 9-6, 993. [7.0] H. Ohtake, K. Tanaka, and H. O. Wang, Switching Fuzzy Contolle Design Based on Switching Lyapunov Function fo a Class of Nonlinea Systems, IEEE Tans. on Systems, Man, and Cybenetics-PART B: Cybenetics, vol. 36, No., pp. 3-3, Febuay, 006. [7.] H. Ohtake, K. Tanaka, and H. O. Wang, A Constuction Method of Switching Lyapunov Function fo Nonlinea Systems, Poceedings of the 00 IEEE Intenational Confeence on Fuzzy Systems, pp. -6, 00. [7.] M. Johansson, and A. Rantze, Computation of Piecewise Quadatic Lyapunov Functions fo Hybid Systems, IEEE Tans. on Automatic Contol, vol. 43, No 4, pp , Apil, 998. [7.3] G. C. Konstantopoulos, and A. T. Alexandidis, Genealized Nonlinea Stabilizing Contolles fo Hamiltonian-Passive Systems With Switching Devices, IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, 0, ealy access. [7.4] G. C. Konstantopoulos, and A. T. Alexandidis, Stability and Convegence Analysis fo a Class of Nonlinea Passive Systems, in 50 th IEEE Confeence on Decision and Contol and Euopean Contol Confeence, pp , Olando FL, Dec. -5, 0. [7.5] J.-J. Slotine, and W. Li, Applied nonlinea contol, Pentice Hall, 99. 3

114 4

115 Κεφάλαιο 8 Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου σε συστήματα μετατροπέων ισχύος με παθητικό φορτίο 8. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τον έλεγχο που προτείναμε στο Kεφάλαιο 7 σε απλά συστήματα μετατροπέων ισχύος ώστε να γίνει κατανοητή η λειτουργία του. Ξεκινώντας από τον μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, σκοπός είναι να ελεγχθεί η τάση εξόδου για διάφορες επιθυμητές τιμές ανεξαρτήτως της τάσης εισόδου και του φορτίου. Στη συνέχεια, θα εφαρμόσουμε τον μη γραμμικό έλεγχο στον τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ με σκοπό τη σταθεροποίηση της τάσης στην πλευρά ΣΡ καθώς και την λειτουργία του συστήματος με μοναδιαίο συντελεστή ισχύος. Σε κάθε περίπτωση θα παρουσιαστεί η λειτουργία του ελεγκτή ώστε να επιβεβαιωθεί η θεωρία που αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 8. Εκτός από προσομοιώσεις, στην περίπτωση του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης θα παρουσιαστούν και τα αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα περιγράφοντας την κατάλληλη πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε. 8. Έλεγχος μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης 8.. Σύστημα κλειστού βρόχου Το σύστημα που θα αναλυθεί είναι αυτό που περιγράφτηκε στην παράγραφο 6.. το οποίο περιλαμβάνει έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης που τροφοδοτεί ένα ωμικό-επαγωγικό φορτίο στην έξοδό του [8.], [8.]. Οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος περιγράφονται αναλυτικά από τη σχέση (6.). Το σύστημα περιλαμβάνει μια σταθερή (ή κατά τμήματα σταθερή) τάση E στην είσοδό του που περιγράφει την μη ελεγχόμενη εξωτερική είσοδο του συστήματος και την είσοδο ελέγχου µ που είναι ο λόγος κατάτμησης και λαμβάνει τιμές στο σύνολο [ 0, ). Η τιμή µ = πρέπει να αποφευχθεί καθώς οδηγεί το σύστημα στην αστάθεια. 5

116 Όπως αποδείχθηκε, το σύστημα αυτό μπορεί γραφτεί στη Hamiltonian μορφή με u = ε = E και y = x κι επομένως είναι παθητικό ως προς την έξοδο y και την εξωτερική είσοδο ε. Επιπλέον, ο πίνακας R 0 είναι ένας 3 3 θετικά ημιορισμένος πίνακας και επομένως η Υπόθεση που περιγράφηκε στην παράγραφο 8.. ικανοποιείται. Η Hamiltonian συνάρτηση του συστήματος δίνεται από τη σχέση (6.3) όπου ο πίνακας M είναι σταθερός και θετικά ορισμένος. Επομένως και η Υπόθεση προφανώς ικανοποιείται. Σαν αποτέλεσμα, ο έλεγχος της μορφής (7.3)-(7.4) μπορεί να εφαρμοστεί για τον έλεγχο της τάσης εξόδου x σε μια επιθυμητή τιμή x ως εξής: γ µ = z + (8.) z ( ) 0 k x x z z = k( x x ) 0 z (8.) όπου k είναι μια θετική σταθερά, γ είναι ένας μικρός θετικός αριθμός και οι αρχικές γ συνθήκες του συστήματος (8.) είναι z(0) =, z (0) = 0. Το κλειστό σύστημα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί στην παθητική Hamiltonian μορφή (7.5) με: 3 T H ( x ) = ( Lx + Cx + LL x3 + z + z) = x Mx (8.3) T x = x x x z z [ ] 3 L C M = 0 0 LL 0 0, J ( x ) = M JM, B = M T, ε = E όπου [ ] R = 0 0 R L 0 0 και , R = M RM 6

117 J γ 0 z γ z = k( x x ) k( x x ) 0 Το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί στη μορφή (6.) με τον ίδιο πίνακα M και τους πίνακες J και R όπως δίνονται παραπάνω. Σε κάθε περίπτωση οι πίνακες J και J είναι αντι-συμμετρικοί και οι R και R είναι θετικά ημι-ορισμένοι. Εύκολα μπορεί να γίνει κατανοητό ότι το κλειστό σύστημα μπορεί να γραφτεί στη A x = J R M και B= B. Λόγω της επιλογής ενός μη γραμμική μορφή (3.) με ( ) ( ) μικρού θετικού αριθμού γ και της ανάλυσης που περιγράφηκε στο Θεώρημα 7., γ ισχύει ότι 0 z + <, t 0. Επομένως, ο πίνακας As ( x ) = ( J R) M έχει πάντοτε ιδιοτιμές με αρνητικά πραγματικά μέρη για κάθε t 0 οπότε η Υπόθεση 3. ισχύει. Αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν οριακοί κύκλοι στο Ω τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας για κάθε επιθυμητή τιμή της τάσης εξόδου x κι επομένως οι Υποθέσεις 3. και 3.3 ικανοποιούνται. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο μη γραμμικός ελεγκτής (8.)-(8.) να εγγυάται ευσταθή συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου και η λύση θα συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Η μορφή του ελέγχου (8.)-(8.) δηλώνει ότι η έλεγχος είναι ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος, από την τάση εισόδου αλλά και από το φορτίο που συνδέεται στην έξοδό του. Επιπλέον, για την υλοποίησή του απαιτείται μόνο η γνώση της τάσης εξόδου που ελέγχεται και όχι των υπολοίπων καταστάσεων όπως πολλές μη γραμμικές τεχνικές [8.3], [8.4], [8.5], [8.6], [8.7]. Με τον τρόπο αυτό αυξάνεται η ευκολία στην υλοποίησή του αλλά και η αποδοτικότητά του σε περιπτώσεις αλλαγής της τάσης εισόδου ή του φορτίου. 8.. Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε παριστάνεται στο Σχήμα 8.. Η διάταξη αυτή αποτελείται από ένα τροφοδοτικό συνεχούς τάσης που δίνει τη σταθερή τάση στην είσοδο του μετατροπέα, έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης με κατάλληλο κύκλωμα οδήγησης για να δίνει την εντολή του λόγου κατάτμησης µ [8.5] και ένα ωμικό-επαγωγικό φορτίο. Επιπλέον, χρησιμοποιείται ένα σύστημα μεταφοράς δεδομένων με πλακέτα διασύνδεσης ώστε να μεταφέρει τη μετρούμενη 7

118 τιμή της τάσης εξόδου στον υπολογιστή και να στέλνει τον κατάλληλο παλμό στο κύκλωμα οδήγησης του μετατροπέα και έναν υπολογιστή με το πρόγραμμα LabView [8.8] το οποίο υλοποιεί τον προτεινόμενο έλεγχο. Για το σύστημα μεταφοράς δεδομένων χρησιμοποιείται μια κάρτα PCIe-63 της National Instuments (NI) ενώ το λειτουργικό που χρησιμοποιείται είναι το NI LabView το οποίο παρέχει ένα εύκολο και εύχρηστο περιβάλλον για τον χρήστη. Τα δεδομένα από τη μετρούμενη τάση του μετατροπέα μεταφέρονται μέσω της PCI κάρτας και της πλακέτας διασύνδεσης στον υπολογιστή και ο προτεινόμενος έλεγχος δημιουργεί το κατάλληλο PWM σήμα σε μια συχνότητα των 5kHz το οποίο αποστέλλεται από την έξοδο του απαριθμητή (counte output) στο κύκλωμα οδήγησης. περιβάλλον Labview υλικό NI μετατροπέας τροφοδοτικό ΣΡ/ΣΡ συνεχούς τάσης ανύψωσης τάσης ωμικόεπαγωγικό φορτίο Σχήμα 8. Πειραματική διάταξη ελέγχου μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης 8..3 Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Σκοπός της εφαρμογής του ελέγχου είναι ο έλεγχος της τάσης εξόδου του μετατροπέα σε μια επιθυμητή τιμή ανεξαρτήτως της τάσης εισόδου ή της τιμής του φορτίου. Για τον λόγο αυτό αρχικά εξετάζεται μέσω προσομοίωσης η σύγκλιση της τάσης εξόδου σε μια συγκεκριμένη τιμή για να επιβεβαιωθεί η ανάλυση που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 8. Στη συνέχεια, εξετάζεται μέσω προσομοιώσεων αλλά και πειραματικών αποτελεσμάτων η αποδοτικότητα του προτεινόμενου ελέγχου σε αλλαγές της επιθυμητής τιμής της τάσης εξόδου x, σε πτώση της τάσης εισόδου 8

119 αλλά και σε αλλαγές της τιμής αντίστασης του φορτίου. Οι παράμετροι του συστήματος είναι: E = V, C = 57.6µ F, L = 6mH, R = 70Ohm, L = 60mH L Στο Σχήμα 8.a φαίνεται η απόκριση της τάσης εξόδου του μετατροπέα από την αρχική τιμή x = V στην τιμή x = 0V όπου επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία του ελέγχου. Αντίστοιχα στο Σχήμα 8.b παριστάνεται η χρονική απόκριση της μεταβλητής ελέγχου (λόγος κατάτμησης) η οποία συγκλίνει επίσης στην κατάλληλη τιμή που αντιστοιχεί στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Για να επιβεβαιωθεί η ανάλυση ευστάθειας που αναλύθηκε στο Κεφάλαιο 7, απεικονίζεται στο επίπεδο z z η απόκριση των δύο μεταβλητών ελέγχου z και z, οι οποίες κινούνται αποκλειστικά πάνω στην περιφέρεια του κύκλου W (0) και οι μεταβλητές µ και z πάνω στην περιφέρεια του κύκλου W µ (0) αντίστοιχα όπως αναμενόταν (Σχήμα 8.c). L 0 eence voltage output voltage output voltage (V) time (sec) (α) Απόκριση τάσης εξόδου 9

120 duty atio time (sec) (β) Απόκριση εισόδου ελέγχου B X: 0.4 Y: z 0-0. A μ =Ο W μ (0) z (γ) Απόκριση μεταβλητών ελέγχου στο z z επίπεδο Σχήμα 8. Απόκριση μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και σύγκλιση στο σημείο ισορροπίας 0 l 0 l 3 l

121 Για να επιβεβαιώσουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα στην πράξη, για διάφορες τιμές της επιθυμητής τάσης εξόδου x συγκρίνουμε τις θεωρητικές μετρήσεις με αντίστοιχες πειραματικές. Ενώ η τάση στην είσοδο του μετατροπέα παραμένει σταθερή E = V, τη χρονική στιγμή t = sec η επιθυμητή τάση ορίζεται στα x = 0V, τη χρονική στιγμή t = sec γίνεται x = 5V και τέλος τη χρονική στιγμή t 3 = 3sec αυξάνεται στην τιμή x = V. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.3, ο έλεγχος οδηγεί την έξοδο του μετατροπέα ταχύτατα σε κάθε επιθυμητή τιμή x και τα πειραματικά αποτελέσματα σχεδόν ταυτίζονται με την προσομοίωση επιβεβαιώνοντας την ορθή λειτουργία του ελέγχου σε ένα πραγματικό σύστημα. Επιπλέον, τονίστηκε ότι η θεωρητική ανάλυση ισχύει και για κατά τμήματα σταθερή είσοδο, επομένως τη χρονική στιγμή t =.5sec και ενώ ο ελεγκτής έχει σταθεροποιήσει την τάση εξόδου x στα 5V, πραγματοποιείται μια απότομη πτώση τάσης στην είσοδο του μετατροπέα από E = V στα E = 8, V περίπου. Στο Σχήμα 8.4 φαίνονται οι χρονικές αποκρίσεις της τάσης εισόδου και της τάσης εξόδου του μετατροπέα σε περιβάλλον προσομοίωσης και πειράματος. Παρατηρείται ότι η μη γραμμικός έλεγχος επαναφέρει γρήγορα την τάση εξόδου στην επιθυμητή τιμή ακόμα και για μια απότομη πτώση τάσης στην είσοδο. 4 simulation expeiment 0 output voltage (V) time (sec) Σχήμα 8.3 Απόκριση μετατροπέα για διαδοχικές αλλαγές του σήματος αναφοράς

122 8 7 6 input voltage output voltage (simulation) output voltage (expeiment) 5 output voltage (V) time (sec) Σχήμα 8.4 Απόκριση μετατροπέα σε μεταβολή της τάσης εισόδου.5 expeiment simulation output voltage (V) time (sec) Σχήμα 8.5 Απόκριση μετατροπέα σε μεταβολή της αντίστασης του φορτίου

123 Τέλος, η λειτουργία του προτεινόμενου ελέγχου εξετάζεται και σε απότομη μεταβολή του φορτίου. Έχοντας σταθερή τάση στην είσοδο E = V και ενώ η τάση εξόδου έχει σταθεροποιηθεί στα x = 0V, τη χρονική στιγμή t = 0.5sec η αντίσταση του φορτίου R μεταβάλλεται από R = 70Ohm στα R = 53Ohm. Η τάση L εξόδου του μετατροπέα επανέρχεται πάλι στην επιθυμητή τιμή επιβεβαιώνοντας τη σωστή λειτουργία του ελέγχου ανεξάρτητα από τις τιμές του φορτίου (Σχήμα 8.5). L L 8.3 Έλεγχος τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ 8.3. Σύστημα κλειστού βρόχου Στην παράγραφο αυτή επιθυμούμε να ελέγξουμε έναν τριφασικό ελεγχόμενο μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ όπως περιγράφθηκε στην παράγραφο 6... Ο μετατροπέας τροφοδοτείται από τριφασικό δίκτυο μέσα από ένα R L φίλτρο ενώ στην πλευρά συνεχούς ρεύματος, δηλαδή στην έξοδό του έχει συνδεθεί ένα RL LL φορτίο παράλληλα στον πυκνωτή σταθεροποίησης τάσης (Σχήμα 6.) [8.9]. Σκοπός του ελέγχου είναι να ελέγξουμε τη συνεχή τάση στο φορτίο και να επιτύχουμε ταυτόχρονα για το συνολικό σύστημα συντελεστή ισχύος ίσο με τη μονάδα. Αν θεωρήσουμε ότι η φάση a της τάσης του δικτύου προσανατολίζεται στον εγκάρσιο άξονα q, τότε έχουμε: U = 0 και Uq = Um (8.4) d όπου U m είναι η μέγιστη τιμή της φασικής τάσης του δικτύου. Στην περίπτωση αυτή, οι δυναμικές εξισώσεις του μοντέλου γίνονται: Li d = Rid + ωsliq mdvdc Li = Ri ω Li m V + U q q s d q dc m 3 CV dc = ( mdid + mqq i ) i Li = V Ri L dc L (8.5) όπου το διάνυσμα κατάστασης ορίζεται ως x= i i V i. d q dc T Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 4.3.3, όταν έχουμε προσανατολισμό της τάσης στον q άξονα, για να επιτύχουμε μοναδιαίο συντελεστή ισχύος, δηλαδή λειτουργία με Q = 0 αρκεί να ισχύει το ρεύμα στον ευθύ άξονα d να γίνει μηδέν ( i d = 0 ) [8.0], [8.]. Αυτό είναι προφανές από τη σχέση της άεργου ισχύος: 3

124 3 3 Q= ( Ui qd Ui dq) = Ui md (8.6) Οι μεταβλητές ελέγχου είναι οι δύο λόγοι κατάτμησης φραγμένοι σύμφωνα με τη σχέση: m d q 4 m d και m q, οι οποίοι είναι + m 0.5 (8.7) για λειτουργία γραμμικής διαμόρφωσης [8.]. Για να εφαρμόσουμε τη λογική του μη γραμμικού ελέγχου που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7, σύμφωνα με τη σχέση (8.6), οι μεταβλητές ελέγχου μπορούν να θεωρηθούν φραγμένες ως εξής: d [ 0.5, 0.5] m (8.8) q [ 0.5, 0.5] m (8.9) mq md Επομένως, ο έλεγχος που πρέπει να εφαρμοστεί δίνεται στη μορφή: = z (8.0) = z (8.) 3 με δυναμικές εξισώσεις: ( dc Vdc ) z 0 k V z z = k ( Vdc Vdc ) 0 z z 3 0 ki d z3 z = 4 ki d 0 z 4 όπου k και k είναι σταθερές διάφορες του μηδενός, (8.) (8.3) V dc είναι η επιθυμητή τάση στην έξοδο του μετατροπέα και οι αρχικές συνθήκες των μεταβλητών z, z, z 3 και z 4 να δίνονται από τις σχέσεις z (0) = ( γ ), z (0) = 0, z 3 (0) = ( γ ) και z (0) 0 4 =, με γ μικρό θετικό αριθμό. Η σχεδίαση του ελεγκτή γίνεται με βάση τις σχέσεις (7.3)-(7.4) και είναι προφανές ότι η επιθυμητή τιμή του ρεύματος είναι ίση με το μηδέν. i d στη σχέση (8.3) έχει παραλειφθεί καθώς Το κλειστό σύστημα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί στην παθητική Hamiltonian μορφή (7.5) με: 3 T H ( x) = Lx + Lx + Cx3 + LL x4 + z + z + z3 + z4 = x Mx (8.4) 3 3 [ ] x = x x x x z z z z T

125 L L C L M = L J x = M JM,, ( ) [ ] B = M T, ε = U m 5, R = M RM R R RL όπου R = και ωsl z ωsl 0 z z3 z J = k( x3 Vdc ) k( x3 Vdc ) kx kx 0 Το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί στη μορφή (6.) με τον ίδιο πίνακα M και τους πίνακες J και R όπως δίνονται παραπάνω. Σε κάθε περίπτωση οι πίνακες J και J είναι αντι-συμμετρικοί και οι R και R είναι θετικά ημι-ορισμένοι. Εύκολα μπορεί να γίνει κατανοητό ότι το κλειστό σύστημα μπορεί να γραφτεί στη A x = J R M και B= B. Ο πίνακας μη γραμμική μορφή (3.) με ( ) ( ) s ( ) = ( ) A x J R M έχει πάντοτε ιδιοτιμές με αρνητικά πραγματικά μέρη για

126 οποιαδήποτε φραγμένα z [ 0.5, 0.5] και 3 [ 0.5, 0.5] z και για κάθε t 0 οπότε η Υπόθεση 3. ισχύει. Αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν οριακοί κύκλοι στο Ω τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας για κάθε επιθυμητή τιμή της τάσης εξόδου V dc κι επομένως οι Υποθέσεις 3. και 3.3 ικανοποιούνται. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο μη γραμμικός ελεγκτής (8.0)-(8.3) να εγγυάται ευσταθή συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου και η λύση θα συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Η μορφή του ελέγχου (8.0)-(8.3) δηλώνει ότι η έλεγχος είναι ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος, από την τάση του δικτύου (τάση εξωτερικής εισόδου) αλλά και από το φορτίο που συνδέεται στην έξοδό του. Επιπλέον, οι μεταβλητές κατάστασης του ελεγκτή z, z και z 3, z 4 κινούνται πάνω στην περιφέρεια δύο κύκλων με κέντρο το μηδέν και ακτίνα 0.5 αντίστοιχα, όπως αποδείχθηκε στην παράγραφο Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Το σύστημα του τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ με τον μη γραμμικό ελεγκτή (8.0)-(8.3) προσομοιώθηκε με σκοπό να επιβεβαιωθεί η ορθή λειτουργία του προτεινόμενου ελέγχου. Σκοπός είναι η σταθεροποίηση της συνεχούς τάσης εξόδου V dc του μετατροπέα σε οποιοδήποτε επιθυμητό επίπεδο και η ταυτόχρονη λειτουργία με μοναδιαίο συντελεστή ισχύος. Οι παράμετροι του συστήματος που χρησιμοποιήθηκε είναι: Um = 00V, L = 3mH, R = 0.Ohm, C = 470µ F, R = 300Ohm, L = 38mH L L Θεωρήσαμε ότι η τάση της φάσης a του δικτύου είναι προσανατολισμένη στον q άξονα κι επομένως U d = 0 και Uq = Um. Τα κέρδη του ελεγκτή επιλέχθηκαν k = 0.04V, k = 0.04A ενώ στις αρχικές τιμές των μεταβλητών ελέγχου ορίστηκαν οι τιμές z (0) = 0.49, z (0) = , z 3 (0) = 0.00 και z 4 (0) = σύμφωνα με την Παρατήρηση 7.4, ώστε να εγγυάται η λειτουργία σε γραμμική διαμόρφωση. Το σύστημα ξενικά από τυχαίο σημείο ισορροπίας όπου λειτουργεί με συντελεστή ισχύος διάφορο της μονάδας. Η επιθυμητή τάση ορίζεται αρχικά στα V = 450V, τη χρονική στιγμή t = 5sec η επιθυμητή τάση αυξάνεται στα Vdc = 500V ενώ τη χρονική στιγμή t = 0sec η αντίσταση R L του φορτίου αλλάζει από 300Ohm σε 360Ohm ώστε να μελετηθεί η συμπεριφορά του ελεγκτή σε απότομες μεταβολές του φορτίου. dc 6

127 Στο Σχήμα 8.6 φαίνονται οι χρονικές αποκρίσεις των μεταβλητών κατάστασης του συστήματος. Στο Σχήμα 8.6a παρατηρούμε ότι το ρεύμα του d άξονα επανέρχεται μετά από οποιαδήποτε μεταβολή της τάσης εξόδου ή του φορτίου στο μηδέν όπως είναι επιθυμητό για να επιτευχθεί μοναδιαίος συντελεστής ισχύος για το σύστημα. Αυτό φαίνεται πιο καθαρά από την απόκριση της άεργου ισχύος που απορροφά ο μετατροπέας από το δίκτυο (Σχήμα 8.8), η οποία σταθεροποιείται στο μηδέν. Παρατηρείται επίσης ότι η τάση εξόδου του μετατροπέα (τάση πυκνωτή) σταθεροποιείται στην επιθυμητή τιμή V dc ακόμα και μετά την απότομη μεταβολή του φορτίου επιβεβαιώνοντας την ορθή λειτουργία του μη γραμμικού ελεγκτή. Στο Σχήμα 8.7 φαίνονται οι αντίστοιχες αποκρίσεις των δύο εισόδων ελέγχου. Επιπλέον, για να εξεταστεί η θεωρητική ανάλυση που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 7.4, στα Σχήματα 8.9 και 8.0 παριστάνονται οι αποκρίσεις των μεταβλητών ελέγχου στα επίπεδα z z και z3 z4. Όπως είναι προφανές, οι τέσσερις καταστάσεις ελέγχου z, z και z 3, z 4, σε όλη τη διάρκεια, παραμένουν πάνω στην περιφέρεια δύο κύκλων W (0) με κέντρο το μηδέν και ακτίνα 0.5, έως ότου συγκλίνουν στα επιθυμητά σημεία ισορροπίας d-axis cuent i d (A) time (sec) (a) Ρεύμα d άξονα 7

128 q-axis cuent i q (A) time (sec) (b) Ρεύμα q άξονα output voltage V dc (V) time (sec) (c) Τάση εξόδου 8

129 load cuent i L (A) time (sec) (d) Ρεύμα φορτίου Σχήμα 8.6 Απόκριση μετατροπέα σε αλλαγές της επιθυμητής τάσης και σε μεταβολή της αντίστασης του φορτίου 8 x 0-3 d-axis duty-atio component m d time (sec) 0.55 q-axis duty-atio component m q time (sec) Σχήμα 8.7 Απόκριση εισόδων ελέγχου 9

130 eactive powe Q (Va) time (sec) Σχήμα 8.8 Απόκριση άεργου ισχύος που απορροφάται από το δίκτυο z z Σχήμα 8.9 Απόκριση μεταβλητών κατάστασης στον z z επίπεδο 30

131 z z 3 Σχήμα 8.0 Απόκριση μεταβλητών κατάστασης στον z z επίπεδο Σύνοψη-Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρμόστηκε η βασική θεωρία του μη γραμμικού ελέγχου, η οποία αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 8, πάνω σε συστήματα ηλεκτρονικών μετατροπέων ισχύος. Στις εξόδους των μετατροπέων θεωρήσαμε ότι συνδέονται παθητικά φορτία για να γίνει κατανοητή η λειτουργία του ελεγκτή σε πρώτο στάδιο. Πρώτα εφαρμόστηκε στο μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης για σταθεροποίηση της τάσης εξόδου και στη συνέχεια στον ελεγχόμενο τριφασικό μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ για ταυτόχρονη σταθεροποίηση της τάσης εξόδου και λειτουργία με μοναδιαίο συντελεστή ισχύος. Σε κάθε περίπτωση, η ορθή λειτουργία του ελεγκτή επιβεβαιώθηκε με εκτενείς προσομοιώσεις για διάφορες τιμές της επιθυμητής τάσης εξόδου καθώς και για απότομες μεταβολές του φορτίου, ενώ στην περίπτωση του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης παρουσιάστηκαν και πειραματικά αποτελέσματα που ανταποκρίνονταν ακριβώς στα αντίστοιχα θεωρητικά. 8.5 Αναφορές [8.] G. C. Konstantopoulos, and A. T. Alexandidis, Genealized Nonlinea Stabilizing Contolles fo Hamiltonian-Passive Systems With Switching Devices, IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, 0, ealy access 3

132 [8.] G. C. Konstantopoulos, A. T. Alexandidis, Dynamic pefomance analysis and expeimental veification of a boost convete diven by a new nonlinea contolle, 9 th Mediteanean Confeence on Contol and Automation, (MED'), pp , Cofu, Geece, June 0-3, 0. [8.3] Y. Ik Son, Analysis and Impovement of a Passivity-Based Contolle fo DC- DC Boost Convetes with Inducto Resistance, in IEICE Tansactions on Fundamentals, vol. E93-A, Issue 4, pp , Apil 00. [8.4] R. Leyva, P. Gacés, J. Calvente and L. Matínez-Salameo, Feedback Lineaization Contol Applied to a Boost Powe Convete, Poc. 9 th IEEE Mediteanean Confeence on Contol and Automation (MED 0), Coatia, 00. [8.5] H. Sia-Ramiez, G. Escoba, and R. Otega, On Passivity-Based Sliding Mode Contol of Switched DC-to-DC Powe Convetes, Poc. 35 th Confeence on Decision and Contol, pp , Kobe, Japan, Dec [8.6] G. Escoba, R. Otega, H. Sia-Ramiez, J.-P. Vilain, I. Zein, An expeimental compaison of seveal nonlinea contolles fo powe convetes, IEEE Contol Systems, pp. 66-8, vol. 9, No., Feb [8.7] J-H. Su, J-J. Chen, and D-S. Wu, Leaning Feedback Contolle Design of Switching Convetes Via MATLAB/SIMULINK, IEEE Tansactions on Education, pp , vol. 45, No. 4, 00. [8.8] [8.9] G.C. Konstantopoulos, A.T. Alexandidis, Novel Dynamic Nonlinea Contol Scheme fo Thee-Phase AC/DC Voltage Souce Convetes, Poc. IEEE Intenational Confeence on Infomation Technology ICIT, pp , Athens, Geece, Mach 0. [8.0] Tzan-Shin Lee, Lagangian Modeling and Passivity-Based Contol of Thee- Phase AC/DC Voltage-Souce Convetes, IEEE Tans. on Industial Electonics, vol. 5, No. 4, pp , August, 004. [8.] H. Komucugil, and O. Kuke, Lyapunov-Based Contol fo Thee-Phase PWM AC/DC Voltage-Souce Convetes, IEEE Tans. on Powe Electonics, vol. 3, No. 5, pp , Septembe, 998. [8.] B. K. Bose, Moden Powe Electonics and AC Dives, Uppe Saddle Rive, NJ: Pentice-Hall, 00. 3

133 Κεφάλαιο 9 Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου σε συστήματα οδήγησης μηχανών συνεχούς ρεύματος 9. Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο επιβεβαιώθηκε η ορθή λειτουργία του ελεγκτή σε απλά συστήματα που αποτελούνται από μετατροπείς ισχύος. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η εφαρμογή της γενικής μορφής του ελέγχου στο πλήρες σύστημα οδήγησης μηχανών συνεχούς ρεύματος. Τα πλήρη μοντέλα που θα εξεταστούν αποτελούνται από έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και μια μηχανή συνεχούς ρεύματος με ξένη διέγερση και με διέγερση σε σειρά. Τα μοντέλα αυτά περιγράφηκαν αναλυτικά και δόθηκαν στην καταστατική τους μορφή στο Κεφάλαιο 6. Σκοπός του ελέγχου είναι ο ακριβής έλεγχος ταχύτητας του κινητήρα ΣΡ σε διάφορες επιθυμητές τιμές ακόμα και σε περιπτώσεις απότομων μεταβολών του φορτίου. Η λειτουργία των ελεγκτών θα εξεταστεί μέσω εκτενών προσομοιώσεων αλλά και μέσα από πειραματικά αποτελέσματα, ενώ όπως θα δείξουμε στη περίπτωση όπου η απόκριση του συστήματος είναι αργή, ο έλεγχος μπορεί να μετασχηματιστεί απλά ώστε να βελτιωθεί σημαντικά η μεταβατική απόκριση. 9. Έλεγχος μηχανής ΣΡ ξένης διέγερσης οδηγούμενη από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Καθώς θεωρούμε ότι η οδήγηση της μηχανής ΣΡ ξένης διέγερσης γίνεται μέσω μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης, τότε υπάρχει μια ελάχιστη τιμή της ταχύτητας του κινητήρα η οποία αντιστοιχεί στην τάση εισόδου του μετατροπέα [9.], [9.]. Επομένως, σκοπός του ελέγχου είναι να ρυθμιστεί κατάλληλα ο λόγος κατάτμησης του μετατροπέα ώστε η μηχανή να οδηγηθεί στην επιθυμητή ταχύτητα. Παρά την απλότητα του μοντέλου, ο κατάλληλος έλεγχος του λόγου κατάτμησης του μετατροπέα ώστε να εγγυάται ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας δεν είναι καθόλου εύκολος, ειδικά στην περίπτωση που ο μετατροπέας οδηγεί ένα δυναμικό φορτίο όπως η μηχανή [9.]. Λόγω της ιδιότητας του 33

134 συστήματος του μετατροπέα, το οποίο είναι μη ελάχιστης φάσης, ο έλεγχος της ταχύτητας πρέπει να γίνει μέσω του ελέγχου του ρεύματος του μετατροπέα (συνήθως με διπλό βρόχο cascaded PI) [9.3], [9.4], [9.5], [9.6]. Οι τεχνικές αυτές βασίζονται στο μοντέλο μικρού σήματος του μετατροπέα το οποίο υστερεί στο γεγονός ότι χρειάζεται να γραμμικοποιηθεί το σύστημα γύρω από ένα σημείο ισορροπίας. Άλλες μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι ευφυούς λογικής [9.7], [9.8], [9.9] ή μη γραμμικές [9.0], [9.], [9.], [9.3] όπου είτε η ευστάθεια δεν είναι εγγυημένη είτε ο έλεγχος εξαρτάται από τις παραμέτρους του συστήματος. Καθώς δείξαμε ότι το πλήρες σύστημα δίνεται στη γενική παθητική Hamiltonian μορφή, τότε ο έλεγχος που προτείναμε στο Κεφάλαιο 7 μπορεί να εφαρμοστεί δίνοντας λύση σε όλα τα παραπάνω προβλήματα. 9.. Σύστημα κλειστού βρόχου Το σύστημα που θα αναλυθεί είναι αυτό που περιγράφτηκε στην παράγραφο 6.5. το οποίο περιλαμβάνει έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης που τροφοδοτεί μια μηχανή ξένης διέγερσης στην έξοδό του. Οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος περιγράφονται αναλυτικά από τη σχέση (6.5). Το σύστημα περιλαμβάνει μια σταθερή τάση E στην είσοδό του και η μηχανή θεωρείται ότι τροφοδοτεί ένα φορτίο με σταθερή ή κατά τμήματα σταθερή ροπή T L. Η τάση εισόδου και η ροπή του φορτίου αποτελούν τις μη ελεγχόμενες εξωτερικές εισόδους του συστήματος, ενώ η είσοδος ελέγχου είναι ο λόγος κατάτμησης µ και λαμβάνει τιμές στο σύνολο [ 0, ). Η τιμή µ = πρέπει να αποφευχθεί καθώς οδηγεί το σύστημα στην αστάθεια. Όπως αποδείχθηκε, το σύστημα αυτό μπορεί γραφτεί στη Hamiltonian μορφή με u = ε = [ E T ] T L και y = [ i ω] κι επομένως είναι παθητικό ως προς την έξοδο y και την εξωτερική είσοδο ε. Επιπλέον, ο πίνακας R 0 είναι ένας 4 4 θετικά ημιορισμένος πίνακας με τάξη ίση με κι επομένως η Υπόθεση που περιγράφηκε στην παράγραφο 7.. ικανοποιείται. Η Hamiltonian συνάρτηση του συστήματος δίνεται από τη σχέση (6.) όπου ο πίνακας M είναι σταθερός και θετικά ορισμένος. Επομένως και η Υπόθεση προφανώς ικανοποιείται. Σαν αποτέλεσμα, ο έλεγχος της μορφής (7.3)-(7.4) μπορεί να εφαρμοστεί για τον έλεγχος της ταχύτητας του κινητήρα ω σε μια επιθυμητή τιμή ω ως εξής: γ µ = z + (9.) z ( ) 0 k ω ω z z = k ( ω ω ) 0 z (9.) 34

135 όπου k είναι μια θετική σταθερά, γ είναι ένας μικρός θετικός αριθμός και οι αρχικές γ συνθήκες του συστήματος (9.) είναι z(0) =, z (0) = 0. Το κλειστό σύστημα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί στην παθητική Hamiltonian μορφή (7.5) με: T H ( x ) = ( Li + Cv + Laia + Jω + z + z) = x Mx (9.3) [ ω ] x = i v i z z a L C 0 L a M = J 0, ( ) T T J x = M JM,, [ ] T B= M ε = E T L R όπου a R = και b , R = M RM γ 0 z γ z J = 0 0 Ke Ke k ( ω ω ) k ( ω ω ) 0 Το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί στη μορφή (6.) με τον ίδιο πίνακα M και τους πίνακες J και R όπως δίνονται παραπάνω. Σε κάθε περίπτωση οι πίνακες J και J είναι αντι-συμμετρικοί και οι R και R είναι θετικά ημι-ορισμένοι. Εύκολα μπορεί να γίνει κατανοητό ότι το κλειστό σύστημα μπορεί να γραφτεί στη A x = J R M και B= B. Λόγω της επιλογής ενός μη γραμμική μορφή (3.) με ( ) ( )

136 μικρού θετικού αριθμού γ και της ανάλυσης που περιγράφηκε στο Θεώρημα 7., γ ισχύει ότι 0 z + <, t 0. Επομένως, ο πίνακας As ( x ) = ( J R) M έχει πάντοτε ιδιοτιμές με αρνητικά πραγματικά μέρη για κάθε t 0 οπότε η Υπόθεση 3. ισχύει και οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν όπως στην περίπτωση του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ με ωμικό-επαγωγικό φορτίο που περιγράφηκε στην παράγραφο 8.. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο μη γραμμικός ελεγκτής (9.)-(9.) να εγγυάται ευσταθή συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου και η λύση θα συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Σημαντικό πλεονέκτημα του ελέγχου σε σχέση με τις υπάρχουσες τεχνικές είναι ότι είναι πλήρως ανεξάρτητος από τις παραμέτρους και απαιτείται μόνο η γνώση της ταχύτητας για την εφαρμογή του σε αντίθεση με άλλους μη γραμμικούς ελεγκτές βασισμένους στη παθητικότητα όπου χρειάζεται επίσης η γνώσει περεταίρω μεταβλητών κατάστασης [9.], [9.]. 9.. Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε παριστάνεται στο Σχήμα 9.. Η διάταξη αυτή αποτελείται από ένα τροφοδοτικό συνεχούς τάσης που δίνει τη σταθερή τάση στην είσοδο του μετατροπέα, έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης με κατάλληλο κύκλωμα οδήγησης για να δίνει την εντολή του λόγου κατάτμησης µ, έναν κινητήρα ξένης διέγερσης και μια ταχογεννήτρια η οποία μετράει την ταχύτητα του κινητήρα. Επιπλέον, χρησιμοποιείται ένα σύστημα μεταφοράς δεδομένων με πλακέτα διασύνδεσης ώστε να μεταφέρει τη μετρούμενη τιμή της τάσης εξόδου στον υπολογιστή και να στέλνει τον κατάλληλο παλμό στο κύκλωμα οδήγησης του μετατροπέα και έναν υπολογιστή με το πρόγραμμα LabView [9.4] το οποίο υλοποιεί τον προτεινόμενο έλεγχο. Μία γεννήτρια ΣΡ με ίδια χαρακτηριστικά, η οποία συνδέεται σε ένα ενεργό φορτίο, χρησιμοποιείται για την πραγματοποίηση βηματικών αλλαγών στη ροπή του φορτίου. Για το σύστημα μεταφοράς δεδομένων χρησιμοποιείται μια κάρτα PCIe-63 της National Instuments (NI) ενώ το λειτουργικό που χρησιμοποιείται είναι το NI LabView το οποίο παρέχει ένα εύκολο και εύχρηστο περιβάλλον για τον χρήστη. Τα δεδομένα από τη μετρούμενη ταχύτητα της μηχανής και τάσης εξόδου του μετατροπέα μεταφέρονται μέσω της PCI κάρτας και της πλακέτας διασύνδεσης στον υπολογιστή και ο προτεινόμενος έλεγχος δημιουργεί το κατάλληλο PWM σήμα σε μια συχνότητα των 5kHz το οποίο αποστέλλεται από την έξοδο του απαριθμητή (counte output) στο κύκλωμα οδήγησης. 36

137 περιβάλλον Labview Μετατροπέας ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης υλικό NI τροφοδοτικό συνεχούς τάσης κινητήρας ΣΡ ενεργό φορτίο Σχήμα 9. Πειραματική διάταξη ελέγχου μηχανής ΣΡ ξένης διέγερσης οδηγούμενη από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης 9..3 Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Σκοπός της εφαρμογής του ελέγχου είναι ο ακριβής έλεγχος της ταχύτητας της μηχανής ΣΡ σε μια επιθυμητή τιμή ανεξαρτήτως της τάσης εισόδου ή της τιμής του φορτίου. Για τον λόγο αυτό αρχικά εξετάζεται μέσω προσομοίωσης η σύγκλιση της τάσης εξόδου σε μια συγκεκριμένη τιμή για να επιβεβαιωθεί η ανάλυση που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 7. Στη συνέχεια, εξετάζεται μέσω προσομοιώσεων αλλά και πειραματικών αποτελεσμάτων η αποδοτικότητα του προτεινόμενου ελέγχου σε αλλαγές της επιθυμητής τιμής της ταχύτητας ω καθώς και σε απότομες αλλαγές της ροπής του φορτίου. Οι παράμετροι του μετατροπέα είναι: E = V, C = 57.6µ F, L = 6mH και οι παράμετροι της μηχανής είναι: Pn = 5W, R = 8.9Ohm, L =.5mH, K = 50 mv s / ad, a ( ) b = µ Nm s / ad a e J = 0.0kgm, Σε όλες τις περιπτώσεις το κέρδος του ελεγκτή είναι ( ) σταθερά επιλέχθηκε γ = 0.0. k = 0.08 ad / sec και η Από τα χαρακτηριστικά του συστήματος, αποδεικνύεται ότι για μηδενικό λόγο κατάτμησης, η ταχύτητα της μηχανής είναι περίπου στα 60 ad / sec (530pm ). Στο Σχήμα 9.a φαίνεται η απόκριση της ταχύτητας της μηχανής από την αρχική τιμή ω = 60 ad / sec (530pm ) στην τιμή ω = 50 ad / sec ( 390pm ) όπου επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία του ελέγχου. Αντίστοιχα στο Σχήμα 9.b 37

138 παριστάνεται η χρονική απόκριση της μεταβλητής ελέγχου (λόγος κατάτμησης) η οποία συγκλίνει επίσης στην κατάλληλη τιμή που αντιστοιχεί στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Για να επιβεβαιωθεί η ανάλυση ευστάθειας που αναλύθηκε στο Κεφάλαιο 7, απεικονίζεται στο επίπεδο z z η απόκριση των δύο μεταβλητών ελέγχου z και z, οι οποίες κινούνται αποκλειστικά πάνω στην περιφέρεια του κύκλου W (0) και οι μεταβλητές µ και z πάνω στην περιφέρεια του κύκλου W µ (0) αντίστοιχα όπως αναμενόταν (Σχήμα 9.c). Για να επιβεβαιώσουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα στην πράξη, για διάφορες τιμές της επιθυμητής ταχύτητας ω συγκρίνουμε τις θεωρητικές μετρήσεις με αντίστοιχες πειραματικές. Ενώ η τάση στην είσοδο του μετατροπέα και η ροπή του φορτίου παραμένουν σταθερές στα E = V και TL = 0.0Nm αντίστοιχα και η αρχική ταχύτητα του κινητήρα βρίσκεται στα ω = 00 ad / sec (90pm ), τη χρονική στιγμή t = sec η επιθυμητή ταχύτητα ορίζεται στα ω = 50 ad / sec ( 390pm ), τη χρονική στιγμή t = 7sec γίνεται ω = 0 ad / sec ( 00pm ) και τέλος τη χρονική στιγμή t 3 = sec αυξάνεται στην τιμή ω = 300 ad / sec ( 865pm ) moto speed moto speed (eence) 40 moto speed (ad/sec) time (sec) (α) Απόκριση ταχύτητας 38

139 duty atio time (sec) (β) Απόκριση εισόδου ελέγχου (γ) Απόκριση μεταβλητών ελέγχου στο z z επίπεδο Σχήμα 9. Απόκριση συστήματος μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και μηχανής ΣΡ και σύγκλιση στο σημείο ισορροπίας 39

140 Όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.3α, ο έλεγχος οδηγεί την ταχύτητα της μηχανής πολύ γρήγορα σε κάθε επιθυμητή τιμή ω και οι πειραματικές αποκρίσεις σχεδόν ταυτίζονται με την προσομοίωση επιβεβαιώνοντας την ορθή λειτουργία του ελέγχου σε ένα πραγματικό σύστημα. Στα Σχήματα 9.3β και 9.3γ παρατηρούμε τις αποκρίσεις της τάσης της εξόδου του μετατροπέα και του λόγου κατάτμησης. Οι μικρές διαφορές που παρατηρούνται στα πειραματικά αποτελέσματα σε σχέση με τις προσομοιώσεις οφείλονται σε σφάλματα κατά τον υπολογισμό των παραμέτρων του συστήματος []. Παρόλα αυτά ο έλεγχος δεν επηρεάζεται από αυτό το γεγονός καθώς όπως έχει τονιστεί δεν απαιτείται η ακριβής γνώση των παραμέτρων αυτών. Για να εξεταστεί η λειτουργία του ελέγχου σε μεταβολές της ροπής, η ταχύτητα σταθεροποιήθηκε αρχικά στην τιμή ω = 50 ad / sec ( 390pm ), τη χρονική στιγμή t = sec η ροπή του φορτίου αυξήθηκε κατά 75% και τη χρονική στιγμή t = 7sec η ροπή μειώθηκε βηματικά κατά 5%. Οι μεταβολές αυτές αποτελούν μεγάλες αλλαγές της ροπής του φορτίου. Στο Σχήμα 9.4 δίνεται η απόκριση της ταχύτητας της μηχανής κάτω από αυτές τις επιδράσεις της ροπής του φορτίου όπου παρατηρείται ότι ο έλεγχος επαναφέρει την ταχύτητα στην επιθυμητή τιμή μετά από ένα σύντομο μεταβατικό φαινόμενο. Για ακόμη μία φορά, οι πειραματικές μετρήσεις ταυτίζονται με τις προσομοιώσεις επιβεβαιώνοντας τη θεωρία του μη γραμμικού ελεγκτή. (α) Απόκριση ταχύτητας 40

141 (β) Απόκριση τάσης εξόδου μετατροπέα (γ) Απόκριση εισόδου ελέγχου Σχήμα 9.3 Απόκριση συστήματος για διαδοχικές αλλαγές του σήματος αναφοράς 4

142 Σχήμα 9.4 Απόκριση συστήματος σε βηματικές μεταβολές της ροπής του φορτίου 9.3 Έλεγχος μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά οδηγούμενη από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Ο έλεγχος της μηχανής συνεχούς ρεύματος με διέγερση σε σειρά έχει απασχολήσει ιδιαίτερα του ερευνητές τα τελευταία χρόνια, κυρίως λόγω του ιδιαίτερου μη γραμμικού μοντέλου της. Η μηχανή ΣΡ με διέγερση σε σειρά χρησιμοποιείται κυρίως σε σιδηροδρομικούς συρμούς ή σε ανυψωτικά μηχανήματα εξαιτίας της μεγάλης ροπής που μπορεί να αναπτύξει [9.5], [9.6], και η οποία είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε μεγάλες μεταβολές φορτίου, όπως στην εκκίνηση ή σε μεγάλες διαταραχές της εξωτερικής ροπής. Διάφορες τεχνικές ελέγχου της μηχανής ΣΡ έχουν προταθεί, με πιο συνήθεις τις μη γραμμικές τεχνικές, οι οποίες βασίζονται στη Hamiltonian μορφή του μοντέλου [9.7], [9.8] αλλά και τις τεχνικές γραμμικοποίησης μέσω ανάδρασης [9.9]. Οι μέθοδοι αυτές εξαρτώνται αρκετά από τις παραμέτρους της μηχανής ενώ ευφυείς τεχνικές δίνουν καλύτερες αποκρίσεις με την υλοποίησή τους όμως να βασίζεται σε εμπειρικούς κανόνες [9.0]. Όλες αυτές οι τεχνικές ελέγχου θεωρούν μόνο το μοντέλο της μηχανής με διέγερση σε σειρά, χωρίς να λαμβάνουν υπόψη τους μετατροπείς ισχύος. Η έρευνα πάνω στο πλήρες μοντέλο, το οποίο σε μια απλή μορφή του περιλαμβάνει έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης ο οποίος οδηγεί 4

143 τη μηχανή, είναι σχεδόν μηδενική και το γεγονός αυτό οφείλεται στο αρκετά δύσκολο μη γραμμικό μοντέλο που προκύπτει. Ομοίως με την προηγούμενη παράγραφο, θα μελετηθεί η συμπεριφορά του μη γραμμικού ελέγχου του Κεφαλαίου 7 στο πλήρες μοντέλο οδήγησης κινητήρα ΣΡ με διέγερση σε σειρά από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Σύστημα κλειστού βρόχου Το σύστημα που θα αναλυθεί είναι αυτό που περιγράφτηκε στην παράγραφο 6.5. το οποίο περιλαμβάνει έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης που τροφοδοτεί μια μηχανή ΣΡ με διέγερση σε σειρά στην έξοδό του. Οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος περιγράφονται αναλυτικά από τη σχέση (6.6). Οι μεταβλητές κατάστασης, ελέγχου, εξωτερικών εισόδων και εξόδων ταυτίζονται με την περίπτωση της μηχανής ξένης διέγερσης. Η Hamiltonian μορφή του ολοκληρωμένου συστήματος επιτρέπει την εφαρμογή του μη γραμμικού ελέγχου. Επιπλέον, ο πίνακας R 0 είναι ένας 4 4 θετικά ημιορισμένος πίνακας με τάξη ίση με κι επομένως η Υπόθεση που περιγράφηκε στην παράγραφο 7.. ικανοποιείται. Η Hamiltonian συνάρτηση του συστήματος δίνεται από τη σχέση (6.) όπου ο πίνακας M είναι σταθερός και θετικά ορισμένος. Επομένως και η Υπόθεση προφανώς ικανοποιείται. Σαν αποτέλεσμα, ο έλεγχος της μορφής (7.3)-(7.4) μπορεί να εφαρμοστεί για τον έλεγχος της ταχύτητας του κινητήρα ω σε μια επιθυμητή τιμή ω ως εξής: γ µ = z + (9.4) z ( ) 0 k ω ω z z = k ( ω ω ) 0 z (9.5) όπου k είναι μια θετική σταθερά, γ είναι ένας μικρός θετικός αριθμός και οι αρχικές γ συνθήκες του συστήματος (9.5) είναι z(0) =, z (0) = 0. Το κλειστό σύστημα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί στην παθητική Hamiltonian μορφή (7.5) με: T H ( x ) = ( Li + Cv + Laia + Jω + z + z) = x Mx (9.6) T x = i v i ω z z [ ] a 43

144 L C 0 L a M = J 0 J x = M JM,, ( ), R = M RM, [ ] T B= M R όπου a R = και b T ε = E T L γ 0 z γ z J = 0 0 Ki v a Ki v a k ( ω ω ) k ( ω ω ) 0 Το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί στη μορφή (6.) με τον ίδιο πίνακα M και τους πίνακες J και R όπως δίνονται παραπάνω. Σε κάθε περίπτωση οι πίνακες J και J είναι αντι-συμμετρικοί και οι R και R είναι θετικά ημι-ορισμένοι. Εύκολα μπορεί να γίνει κατανοητό ότι το κλειστό σύστημα μπορεί να γραφτεί στη A x = J R M και B= B. Λόγω της επιλογής ενός μη γραμμική μορφή (3.) με ( ) ( ) μικρού θετικού αριθμού γ και της ανάλυσης που περιγράφηκε στο Θεώρημα 7., γ ισχύει ότι 0 z + <, t 0. Επομένως, εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι ο A x = J R M έχει πάντοτε ιδιοτιμές με αρνητικά πραγματικά μέρη για πίνακας ( ) ( ) s κάθε 0 t και ανεξαρτήτως της τιμής του ρεύματος a i, οπότε η Υπόθεση 3. ισχύει και οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν όπως ακριβώς στην περίπτωση της μηχανής ΣΡ 44

145 ξένης διέγερσης οδηγώντας σε ευσταθή συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου και σε σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Στην περίπτωση της μηχανής με διέγερση σε σειρά, για διαφοροποίηση χρησιμοποιήθηκε η μορφή του μη γραμμικού ελέγχου που περιγράφηκε στην παράγραφο 7.5 που παρουσιάζει αυξημένη σθεναρότητα. Έτσι, ξεκινώντας από τυχαίες αρχικές συνθήκες οι μεταβλητές ελέγχου z και z θα συγκλίνουν στην περιφέρεια του επιθυμητού κύκλου οδηγώντας στη μορφή του ελέγχου (9.4)-(9.5) Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.5. Η διάταξη αυτή αποτελείται από ένα τροφοδοτικό συνεχούς τάσης που δίνει τη σταθερή τάση στην είσοδο του μετατροπέα, έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης με κατάλληλο κύκλωμα οδήγησης για να δίνει την εντολή του λόγου κατάτμησης µ, έναν κινητήρα με διέγερση σε σειρά, ένα δυναμόμετρο για την αλλαγή της ροπής του φορτίου και ένα όργανο μέτρησης της ταχύτητας του κινητήρα. Επιπλέον, χρησιμοποιείται ένα σύστημα μεταφοράς δεδομένων με πλακέτα διασύνδεσης ώστε να μεταφέρει τη μετρούμενη τιμή της τάσης εξόδου στον υπολογιστή και να στέλνει τον κατάλληλο παλμό στο κύκλωμα οδήγησης του μετατροπέα και έναν υπολογιστή με το πρόγραμμα LabView [9.4] το οποίο υλοποιεί τον προτεινόμενο έλεγχο. περιβάλλον Labview ηλεκτροδυναμόμετρο υλικό NI μέτρηση ταχύτητας κινητήρας ΣΡ με διέγερση σε σειρά μετατροπέας ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης Σχήμα 9.5 Πειραματική διάταξη ελέγχου μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά οδηγούμενη από μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης 45

146 Για το σύστημα μεταφοράς δεδομένων χρησιμοποιείται μια κάρτα PCIe-63 της National Instuments (NI) ενώ το λειτουργικό που χρησιμοποιείται είναι το NI LabView το οποίο παρέχει ένα εύκολο και εύχρηστο περιβάλλον για τον χρήστη. Τα δεδομένα από τη μετρούμενη ταχύτητα μεταφέρονται μέσω της PCI κάρτας και της πλακέτας διασύνδεσης στον υπολογιστή και ο προτεινόμενος έλεγχος δημιουργεί το κατάλληλο PWM σήμα σε μια συχνότητα των 5kHz το οποίο αποστέλλεται από την έξοδο του απαριθμητή (counte output) στο κύκλωμα οδήγησης Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Όπως και στην περίπτωση της μηχανής ΣΡ ξένης διέγερσης, σκοπός της εφαρμογής του ελέγχου είναι ο ακριβής έλεγχος της ταχύτητας της μηχανής ΣΡ σε μια επιθυμητή τιμή ω για διάφορες αλλαγές της επιθυμητής τιμής της ταχύτητας καθώς και για απότομες αλλαγές της ροπής του φορτίου. Οι παράμετροι του μετατροπέα είναι: E = 60V, C = 470µ F, L = mh και οι παράμετροι της μηχανής είναι: Pn = 75W, R = 34.3Ohm, L = 3mH, K = 0.85 V s / ad, a ( ) b = Nm s / ad a e J = 0.0kgm, Σε όλες τις περιπτώσεις το κέρδος του ελεγκτή είναι ( ) σταθερά επιλέχθηκε γ = 0.0. k = 0.08 pm και η Από τα χαρακτηριστικά του συστήματος, αποδεικνύεται ότι για μηδενικό λόγο κατάτμησης, η ταχύτητα της μηχανής είναι περίπου στα 660pm. Στο Σχήμα 9.6a φαίνεται η απόκριση της ταχύτητας της μηχανής όταν η αρχική επιθυμητή τιμή ορίζεται στα ω = 660pm και αυξάνεται στα ω = 900pm τη χρονική στιγμή t = 5sec, όπου επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία του ελέγχου. Αντίστοιχα στο Σχήμα 9.6b παριστάνεται η χρονική απόκριση της μεταβλητής ελέγχου (λόγος κατάτμησης) η οποία συγκλίνει επίσης στην κατάλληλη τιμή που αντιστοιχεί στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Για να επιβεβαιωθεί η ανάλυση ευστάθειας που αναλύθηκε στο Κεφάλαιο 7, απεικονίζεται στο επίπεδο z z η απόκριση των δύο μεταβλητών ελέγχου z και z, οι οποίες ξεκινώντας από ένα τυχαίο σημείο Α μέσα στον κύκλο, έλκονται γρήγορα στην περιφέρειά του κύκλου W (0) (κόκκινη γραμμή) φτάνοντας στο σημείο Β και έπειτα κινούνται αποκλειστικά πάνω στην περιφέρεια του (μπλε γραμμή) μέχρις ότου να συγκλίνουν στο τελικό σημείο ισορροπίας C (Σχήμα 9.6c). 46

147 moto speed (pm) time (sec) (α) Απόκριση ταχύτητας duty atio time (sec) (β) Απόκριση εισόδου ελέγχου 47

148 B C X: Y: z A X: Y: z (γ) Απόκριση μεταβλητών ελέγχου στο z z επίπεδο Σχήμα 9.6 Απόκριση συστήματος μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης και μηχανής ΣΡ και σύγκλιση στο σημείο ισορροπίας Στη συνέχεια το σύστημα εξετάστηκε και πειραματικά για διάφορες τιμές της επιθυμητής ταχύτητας ω συγκρίνουμε τις θεωρητικές μετρήσεις με αντίστοιχες πειραματικές. Ενώ η τάση στην είσοδο του μετατροπέα και η ροπή του φορτίου παραμένουν σταθερές στα E = 60V και TL = 0.0Nm αντίστοιχα και η αρχική ταχύτητα του κινητήρα βρίσκεται στα ω = 800pm, τη χρονική στιγμή t = 0sec η επιθυμητή ταχύτητα ορίζεται στα ω = 000pm, τη χρονική στιγμή t = 35sec γίνεται ω = 900pm και τέλος τη χρονική στιγμή t 3 = 60sec αυξάνεται στην τιμή ω = 00pm. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.7, ο έλεγχος οδηγεί την ταχύτητα της μηχανής σε κάθε επιθυμητή τιμή ω και οι πειραματικές αποκρίσεις σχεδόν ταυτίζονται με την προσομοίωση επιβεβαιώνοντας την ορθή λειτουργία του ελέγχου σε ένα πραγματικό σύστημα. Ωστόσο, η απόκριση του συστήματος φαίνεται να είναι λίγο αργή, γεγονός που οφείλεται κυρίως στις παραμέτρους του μετατροπέα και τις σταθερές της μηχανής. Για να εξεταστεί η λειτουργία του ελέγχου σε μεταβολές της ροπής, η ταχύτητα σταθεροποιήθηκε αρχικά στην τιμή ω = 900pm, τη χρονική στιγμή t = 0sec η ροπή του φορτίου αυξήθηκε από 0.0Nm στα 0.05Nm, τη χρονική στιγμή t = 30sec η ροπή έπεσε πάλι κοντά στα 0.0Nm και τελικά τη χρονική στιγμή t 3 = 50sec αυξήθηκε στα 0.Nm. Στο Σχήμα 9.8 δίνεται η απόκριση της ταχύτητας της μηχανής κάτω από αυτές τις επιδράσεις της ροπής του φορτίου όπου 48

149 παρατηρείται ότι ο έλεγχος επαναφέρει την ταχύτητα στην επιθυμητή τιμή μετά από ένα μικρό μεταβατικό φαινόμενο. Για ακόμη μία φορά, οι πειραματικές μετρήσεις ταυτίζονται με τις προσομοιώσεις επιβεβαιώνοντας τη θεωρία του μη γραμμικού ελεγκτή expeiment simulation moto speed (pm) time (sec) Σχήμα 9.7 Απόκριση συστήματος για διαδοχικές αλλαγές του σήματος αναφοράς expeiment simulation moto speed (pm) time (sec) Σχήμα 9.8 Απόκριση συστήματος σε απότομες μεταβολές της ροπής του φορτίου 49

150 9.3.4 Βελτιώνοντας τη μεταβατική απόκριση του συστήματος Από την εφαρμογή της γενικής μορφής του μη γραμμικού ελεγκτή στο σύστημα οδήγησης της μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά, παρατηρήθηκε ότι οι παράμετροι του συστήματος παίζουν σημαντικό ρόλο στην ταχύτητά απόκρισης. Ωστόσο, τίθεται το ερώτημα εάν ο ελεγκτής μπορεί να βελτιώσει αυτή τη μεταβατική απόκριση οδηγώντας σε πιο γρήγορη σύγκλιση με λιγότερες υπερυψώσεις. Ο έλεγχος δίνεται στη μορφή (9.4) με τη δυναμική του να δίνεται από τη σχέση (9.5). Από τις δυναμικές του εξισώσεις προκύπτει ότι: t z ( t) = k z ( τ) ωτ ( ) ω dτ 0 ( ) (9.7) με αποτέλεσμα ο έλεγχος να μοιάζει με έναν ολοκληρωτικό ελεγκτή (I contolle) με το κέρδος του να μεταβάλλεται ανάλογα με τη μεταβλητή z () t. Από τη θεωρία των γραμμικών ελεγκτών, η μεταβατική απόκριση μπορεί να βελτιωθεί εάν προσθέσουμε έναν όρο απόσβεσης, δηλαδή έναν αναλογικό (Popotional) όρο. Με τον τρόπο αυτό, ο νόμος ελέγχου μπορεί να μετασχηματιστεί ως: γ µ = z+ kz + (9.8) με τις δυναμικές εξισώσεις να παραμένουν ως έχουν στη μορφή (9.5). Το σημαντικό στοιχείο το οποίο πρέπει να προσέξουμε σε αυτή την περίπτωση είναι η μεταβλητή ελέγχου µ να μην ξεφεύγει έξω από το διάστημα [ 0, γ ] και αντίστοιχα η τιμή z από το διάστημα ευστάθεια του κλειστού συστήματος. γ γ,, ώστε να είναι εγγυημένη η Για τον λόγο αυτό, μπορούμε να λύσουμε το σύστημα (9.5) σαν γραμμικό, θεωρώντας την ταχύτητα ω σταθερή, και με κατάλληλες αρχικές συνθήκες (χωρίς βλάβη της γενικότητας) να καταλήξουμε ότι: ( ω ω ) z ( ) sin ( ) t = k t (9.9) Επομένως: ( ) z ( ) ( )cos ( ) t = k ω ω k ω ω t (9.0) 50

151 Με τον τρόπο αυτό, η σχέση (9.8) γίνεται: γ µ = sin ( k( ω ω ) t) + kk( ω ω )cos( k( ω ω ) t) + (9.) Από τη θεωρία αθροίσματος ενός ημίτονου και ενός συνημίτονου, και δεδομένου ότι µ [ 0, γ], μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή του κέρδους k : k ( γ ) < k( ω ω ) (9.) Επομένως, ορίζοντας τη μέγιστη διαφορά ( ω ω ) η οποία μπορεί να εμφανιστεί, μπορούμε να υπολογίσουμε κατάλληλα το κέρδος k ώστε να εγγυηθεί την ευσταθή λειτουργία του συστήματος. Η ανισότητα (9.) είναι αρκετά αυστηρή καθώς στην πράξη το κέρδος μπορεί να είναι αρκετά μεγαλύτερο. Με τον τρόπο αυτό καταλήγουμε σε ένα τροποποιημένο PI ελεγκτή ο οποίος μπορεί αν εγγυηθεί ευστάθεια και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Για να επαληθευτεί αυτό, θεωρούμε πάλι το σύστημα του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ συνδεδεμένο με τη μηχανή ΣΡ με διέγερση σε σειρά και εφαρμόζουμε τον έλεγχο (9.8), (9.5), εξετάζοντας τα ίδια σενάρια αλλαγής της επιθυμητής τιμής της ταχύτητας με λίγο διαφορετικές (μεγαλύτερες) αλλαγές στη ροπή του φορτίου. Στο Σχήμα 9.9 φαίνεται η πειραματική και η θεωρητική απόκριση του συστήματος σε αλλαγές της ταχύτητας αναφοράς expeiment simulation moto speed (pm) time (sec) Σχήμα 9.9 Απόκριση συστήματος για διαδοχικές αλλαγές του σήματος αναφοράς 5

152 moto speed (pm) time (sec) Σχήμα 9.0 Απόκριση συστήματος σε απότομες μεταβολές της ροπής του φορτίου Συγκρίνοντας τις αποκρίσεις του Σχήματος 9.9 με το Σχήμα 9.7, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι με την παρουσία του αναλογικού όρου, ο χρόνος απόκρισης μειώνεται καθώς επίσης και οι υπερυψώσεις. Ομοίως, Στο Σχήμα 9.0, η απόκριση της ταχύτητας σε απότομες και μεγάλες μεταβολές της ροπής γίνεται πιο ομαλή και πιο γρήγορη. Έτσι, γίνεται κατανοητό ότι ο τροποποιημένος έλεγχος μπορεί να βελτιώσει σημαντικά τη μεταβατική απόκριση του συστήματος χωρίς να αλλάζει τις ιδιότητες της ευστάθειας. 9.4 Σύνοψη-Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρμόστηκε η βασική θεωρία του μη γραμμικού ελέγχου, η οποία αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 7, για έλεγχο ταχύτητας κινητήρων συνεχούς ρεύματος οι οποίοι οδηγούνται από έναν μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης. Η θεωρία εφαρμόστηκε τόσο στην μηχανή ΣΡ ξένης διέγερσης όσο και στη μηχανή ΣΡ με διέγερση σε σειρά. Για την εφαρμογή του ελεγκτή θεωρήθηκαν τα πλήρη μοντέλα του μετατροπέα και των μηχανών ΣΡ, σε αντίθεση με υπάρχουσες τεχνικές ελέγχου όπου το μοντέλο του μετατροπέα συνήθως αμελείται. Επιπλέον, η περίπτωση της μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά εξετάστηκα καθώς παρουσιάζει ιδιαίτερο 5

153 ενδιαφέρον λόγω των εγγενών μη γραμμικοτήτων που περιλαμβάνει. Σε κάθε περίπτωση, η θεωρητική ανάλυση επαληθεύτηκε τόσο με προσομοιώσεις όσο και με πειραματικά αποτελέσματα. Επιπλέον, ο έλεγχος τροποποιήθηκε λίγο για τη βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης στην περίπτωση της μηχανής ΣΡ με διέγερση σε σειρά, χωρίς να αλλάζει τη θεωρία της ευστάθειας. 9.5 Αναφορές [9.] J. Linaes-Floes, J. Regen, and H. Sia-Ramiez, Load Toque Estimation and Passivity-Based Contol of a Boost-Convete/DC-Moto Combination, IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, Vol. 8, No. 6, pp , 00. [9.] J. Linaes-Floes, J. Rege, and H. Sia-Ramiez, A Time-Vaying Linea State Feedback Tacking Contolle fo a Boost-Convete diven DC Moto, Poc. 4th IFAC Symposium on Mechatonic Systems, Gemany, 006. [9.3] G. Escoba, R. Otega, H. Sia-Ramiez, J.-P. Vilain, I. Zein, An expeimental compaison of seveal nonlinea contolles fo powe convetes, IEEE Contol Systems, Vol. 9, No., pp. 66-8, Feb [9.4] C. Buccella, C. Cecati, and H. Latafat, Digital Contol of Powe Convetes - A Suvey, IEEE Tansactions on Industial Infomatics, Vol. 8, No. 3, pp , Aug. 0. [9.5] R. D. Middlebook, Small-Signal Modeling of Pulse-Width Modulated Switched-Mode Powe Convetes, in Poc. of the IEEE, Vol. 76, No. 4, pp , 988. [9.6] J-H. Su, J-J. Chen, and D-S. Wu, Leaning Feedback Contolle Design of Switching Convetes Via MATLAB/SIMULINK, IEEE Tansactions on Education, Vol. 45, No. 4, pp , 00. [9.7] S. J. Jawha, and N.S. Maimuthu, An Intelligent Contolle fo a Non Linea Powe Electonic Boost Convete, Intenational Jounal of Soft Computing 3, Vol., pp , 008. [9.8] W.C. So, C. K. Tse, and Y.-S. Lee, Development of a Fuzzy Logic Contolle fo DC/DC Convetes: Design, Compute Simulation, and Expeimental Evaluation, IEEE Tansactions on Powe Electonics, Vol., No., pp. 4-3, Jan [9.9] R.-J. Wai, and L.C. Shih, Adaptive Fuzzy-Neual-Netwok Design fo Voltage Tacking Contol of a DC-DC Boost Convete, IEEE Tansactions on Powe Electonics, Vol. 7, No. 4, pp. 04-5, Apil 0. [9.0] R. Leyva, P. Gaces, J Calvente and L. Matinez-Salameo, Feedback Lineaization Contol Applied to a Boost Powe Convete, Poc. 9 th IEEE Mediteanean Confeence on Contol and Automation (MED 0), Coatia,

154 [9.] R.-J. Wai, and L.-C. Shih, Design of Voltage Tacking Contol fo DC-DC Boost Convete Via Total Sliding-Mode Technique, IEEE Tansactions on Industial Electonics, Vol. 58, No. 6, pp. 50-5, June 0. [9.] E. Vidal-Idiate, C. E. Caeo, J. Calvente, and L. Matinez-Salameo, Two- Loop Digital Sliding Mode Contol of DC-DC Powe Convetes Based on Pedictive Intepolation, IEEE Tansactions on Industial Electonics, Vol. 58, No. 6, pp , June 0. [9.3] M. Lopez, L. Gacia de Vicuna, M. Castilla, and O. Lopez, Cuent Distibution Contol Design fo Paalleled DC/DC Convetes Using Sliding- Mode Contol, IEEE Tansactions on Industial Electonics, Vol. 5, No., pp , Apil 004. [9.4] [9.5] Α. N. Σαφάκας, Ηλεκτρικές μηχανές Α, Πανεπιστήμιο Πατρών, 005. [9.6] W. Leonhad, Contol of Electical Dives, nd Edition, Spinge, 997. [9.7] A. T. Alexandidis, and D. P. Iacleous, Optimal nonlinea fiing angle contol of convete-fed DC dive systems, IEE Poc. Elect. Powe Appl., 45, (3), pp. 7-, May 998. [9.8] D. P. Iacleous, Seies Connected DC Moto Tacking Using Pot Contolled Hamiltonian Systems Equivalence, Poc. 3 th WSEAS Intenational Confeence on SYSTEMS, pp , 009. [9.9] S. Mehta, and J. Chiasson: Nonlinea Contol of a Seies DC Moto: Theoy and Expeiment, IEEE Tans. on Industial Electonics, 45, (), pp. 34-4, Feb [9.0] D. P. Iacleous, and A.T. Alexandidis, Fuzzy Tuned PI Contolles fo Seies Connected DC Moto Dives, Poc. IEEE Int. Symposium on Industial Electonics ISIE '95,, pp , Athens, Geece, July

155 Κεφάλαιο 0 Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου στην οδήγηση τριφασικού επαγωγικού κινητήρα 0. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι μέθοδοι ελέγχου της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής και εξετάζεται η εφαρμογή του προτεινόμενου μη γραμμικού ελέγχου στο ολοκληρωμένο σύστημα οδήγησης της ασύγχρονης μηχανής σε λειτουργία κινητήρα. Ο έλεγχος της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής αποτελεί ένα πεδίο αιχμής στην έρευνα που αφορά στην ηλεκτρομηχανική μετατροπή και για το λόγο αυτό είναι σκόπιμο αρχικά να αναφερθούμε στις πιο καθιερωμένες μεθόδους που είναι ο βαθμωτός και ο διανυσματικός έλεγχος. Ιδιαίτερα θα επιμείνουμε στην ανάλυση του έμμεσου διανυσματικού ελέγχου, ο οποίος τείνει να γίνει ο πιο δημοφιλής τα τελευταία χρόνια με εφαρμογές τόσο στην ηλεκτροκίνηση όσο και στην παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας από αιολικά συστήματα. Στη συνέχεια, ο μη γραμμικός νόμος ελέγχου που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7, θα επεκταθεί και θα τροποποιηθεί κατάλληλα έτσι ώστε να μπορεί να εγγυηθεί λειτουργία με γραμμική διαμόρφωση [0.]. Ο νέος προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος ενσωματώνεται στη λογική του έμμεσου διανυσματικού ελέγχου υπό την έννοια ότι εγγυάται προσανατολισμό στο πεδίο του δρομέα στη μόνιμη κατάσταση ενώ ταυτόχρονα εγγυάται την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου τόσο στη μεταβατική όσο και στη μόνιμη κατάσταση. Το σύστημα με τον προτεινόμενο μη γραμμικό ελεγκτή προσομοιώνεται και οι αποκρίσεις του συστήματος συγκρίνονται με αντίστοιχες του κλασσικού έμμεσου διανυσματικού ελέγχου ταχύτητας ενώ εξετάζεται και η περίπτωση λειτουργίας σε κατάσταση εξασθένησης πεδίου. Στο πλαίσιο της ανάλυσης του μη γραμμικού ελεγκτή του Κεφαλαίου 7, θα παρουσιαστεί η εφαρμογή του στο υπό μελέτη σύστημα. Η επιτυχής λειτουργία του συστήματος επιβεβαιώνεται τόσο με εκτενείς προσομοιώσεις όσο και με πειραματικά αποτελέσματα. 55

156 0. Μέθοδοι ελέγχου τριφασικής ασύγχρονης μηχανής Ο έλεγχος της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής χωρίζεται σε δύο βασικές κατηγορίες: στο βαθμωτό έλεγχο και στο διανυσματικό έλεγχο. Σε κάθε περίπτωση θεωρούμε ότι η ασύγχρονη μηχανή ελέγχεται από μετατροπείς οδηγούμενους από τάση. Ξεκινώντας από τον βαθμωτό έλεγχο ο οποίος μπορεί να εφαρμοστεί σε ανοικτό η σε κλειστό βρόχο, θα οδηγηθούμε στην τεχνική του διανυσματικού που εφαρμόζεται από τις αρχές του 970 μέχρι και σήμερα και έχει καθιερωθεί πλήρως για έλεγχο τόσο κινητήρων όσο και συστήματα γεννητριών [0.], [0.3]. 0.. Βαθμωτός έλεγχος 0... Έλεγχος Volts/Hz ανοικτού βρόχου Ο έλεγχος Volts/Hz ανοικτού βρόχου είναι από τις πιο συνήθεις μεθόδους ελέγχου ταχύτητας μιας ασύγχρονης μηχανής λόγω της απλότητάς του [0.4]. Σκοπός του ελέγχου αυτού είναι η τάση του στάτη να είναι ανάλογη της συχνότητας έτσι ώστε η V s ροή λs = να παραμένει σταθερή, αμελώντας την αντίσταση R s του στάτη. Το ωe διάγραμμα βαθμωτού ελέγχου Volts/Hz ανοικτού βρόχου φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: φ-3φ τροφοδοσία ανορθωτής διόδων L V o τάση ενίσχυσης + + * V s C DB * ω e εντολή ταχύτητας G * V s * θ e v = V sin ( θ ) * a s e * π vb = Vssin θe 3 * π vc = Vssin θe + 3 Αντιστροφέας κινητήρας Σχήμα 0. Διάγραμμα βαθμωτού ελέγχου Volts/Hz ανοικτού βρόχου 56

157 Το παραπάνω σύστημα αποτελείται από έναν ανορθωτή διόδων, ένα LC φίλτρο και έναν PWM τριφασικό αντιστροφέα. Στην περίπτωση του ελέγχου αυτού δεν χρειάζονται σήματα ανατροφοδότησης. Το βασικό σήμα που δίνεται στο σύστημα ελέγχου είναι η συχνότητα αμελήσουμε τη συχνότητα ολίσθησης * ω e, η οποία είναι περίπου ίση με την ταχύτητα pω αν ω sl της μηχανής. Η επιθυμητή τάση δίνεται απ ευθείας από την εντολή της συχνότητας μέσω ενός κέρδους G έτσι ώστε η ροή λ s να παραμένει σταθερή. Όταν η συχνότητα είναι μικρή, σε μικρές ταχύτητες, η αντίσταση του στάτη απορροφά ένα μεγάλο μέρος της τάσης του στάτη μειώνοντας τη ροή. Επομένως, μια τάση ανύψωσης V o προστίθεται στην επιθυμητή τάση ώστε η ονομαστική ροή και αντίστοιχα η ροπή να είναι διαθέσιμες σε χαμηλές ταχύτητες. Η επίδραση της τάσης αυτής στις υψηλές συχνότητες είναι αμελητέα. Η συχνότητα * ολοκληρώνεται ώστε να παράγει τη γωνία θ e η οποία χρησιμοποιείται για τον * * * υπολογισμό των τάσεων v, v, v. a b c 0... Έλεγχος Volts/Hz κλειστού βρόχου Στον έλεγχο Volts/Hz ανοικτού βρόχου δεν χρησιμοποιείται κανένα σήμα ανάδρασης. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα μια μικρή μεταβολή στη συχνότητα ή την τάση να οδηγεί σε διαφορετική ταχύτητα της μηχανής ακόμα και σε αστάθεια. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιείται ο έλεγχος Volts/Hz κλειστού βρόχου όπου η ταχύτητα * του δρομέα ανατροφοδοτείται και παράγεται η εντολή της συχνότητας ολίσθησης ω sl μέσω ενός αναλογικού-ολοκληρωτικού (PI) ελεγκτή [0.]. Η επιθυμητή συχνότητα ολίσθησης προστίθεται στην ταχύτητα της μηχανής για να παράγει την επιθυμητή * συχνότητα ω e η οποία με τη σειρά της δημιουργεί το σήμα τάσης όπως και στον έλεγχο ανοικτού βρόχου. Η λειτουργία του ελέγχου Volts/Hz κλειστού βρόχου φαίνεται αναλυτικά στο Σχήμα 6.. V d * ω e * V s * ω + - ω K p KI + s PI ελεγκτής * ω sl pω p * ω e Αντιστροφέας ω κινητήρας μέτρηση ταχύτητας Σχήμα 0. Διάγραμμα βαθμωτού ελέγχου Volts/Hz κλειστού βρόχου 57

158 0.. Διανυσματικός έλεγχος Ο διανυσματικός έλεγχος ή έλεγχος προσανατολισμένου πεδίου (vecto contol ή field-oiented contol) παρουσιάζει πλεονεκτήματα σε σχέση με τον βαθμωτό έλεγχο καθώς εξασφαλίζει καλύτερη δυναμική απόκριση και ικανοποιητικό έλεγχο ροπής στις χαμηλές ταχύτητες. Η βασική αρχή του διανυσματικού ελέγχου βασίζεται στον ανεξάρτητο έλεγχο ρεύματος ροπής από τον έλεγχο της μαγνητικής ροής. Αυτό είναι βασικό χαρακτηριστικό των κινητήρων συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης όπου το τύλιγμα τυμπάνου και το τύλιγμα διέγερσης τροφοδοτούνται από διαφορετικές πηγές τροφοδοσίας. Για τον λόγο αυτό και για την κατανόηση του διανυσματικού ελέγχου, θα ξεκινήσουμε με την αναλογία ασύγχρονης μηχανής και μηχανής συνεχούς ρεύματος Αναλογία ασύγχρονης μηχανής και μηχανής συνεχούς ρεύματος Όπως αναφέρθηκε, ο έλεγχος της μηχανής συνεχούς ρεύματος είναι ευκολότερος καθώς οι μεταβλητές ελέγχου είναι βαθμωτά μεγέθη και το σύστημα συλλέκτηψηκτρών διατηρεί σταθερή γωνία 90 ο μεταξύ των διανυσμάτων χώρου του ρεύματος τυμπάνου και της ροής διέγερσης. Αν στη μηχανή συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης αμελήσουμε την αντίδραση τυμπάνου και τον κορεσμό του πεδίου, η αναπτυσσόμενη ηλεκτρομαγνητική ροπή δίνεται από τη σχέση: T = Kλλ = KI I (0.) e t f a t a f όπου ρεύμα του τυλίγματος διέγερσης. Σύμφωνα με τη σχέση (0.), η ροπή ελέγχεται απ ευθείας από το ρεύμα τυμπάνου I a ενώ η ροή διέγερσης λ f παραμένει σταθερή, έχοντας με αυτόν τον τρόπο γρήγορη μεταβατική απόκριση. Λόγω της ξένης διέγερσης της μηχανής συνεχούς, όταν το ρεύμα I f μεταβάλλεται, επηρεάζεται μόνο η ροή διέγερσης λ f ενώ η ροή λ a παραμένει σταθερή. Επειδή αυτή η αποσύνδεση των ροών δεν ισχύει K t είναι η σταθερά της μηχανής, I a είναι το ρεύμα τυμπάνου και I f είναι το στην ασύγχρονη μηχανή, η μεταβατική απόκριση δεν είναι τόσο γρήγορη. Η λειτουργία της μηχανής συνεχούς ρεύματος με ξένη διέγερση μπορεί να επεκταθεί στην ασύγχρονη μηχανή εάν χρησιμοποιηθεί το σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο αναφοράς δύο αξόνων d q, όπου οι ημιτονοειδείς ποσότητες γίνονται σταθερές στη μόνιμη κατάσταση. Η αναλογία αυτή φαίνεται στο Σχήμα 0.3 όπου με το διανυσματικό έλεγχο, το ρεύμα i ds είναι ανάλογο του ρεύματος διέγερσης I f ενώ το ρεύμα i qs είναι ανάλογο του ρεύματος τυμπάνου I a μιας μηχανής συνεχούς ρεύματος. Με τον τρόπο αυτό η ηλεκτρομαγνητική ροπή της ασύγχρονης μηχανής δίνεται από τη σχέση: 58

159 T = K ˆ λ i = Ki i (0.) e t qs t ds qs όπου ˆ λ είναι η μέγιστη τιμή της ημιτονοειδούς ροής του δρομέα. Ia I f I a λ a I f αποσύζευξη λ f T = Kλλ = KI I e t f a t a f συνιστώσα ροπής συνιστώσα πεδίου * i ds * i qs Vecto contol Invete T = K ˆ λ i = Ki i e t qs t ds qs IM i ds ˆ λ ω e i qs συνιστώσα ροπής συνιστώσα πεδίου Σχήμα 0.3 Αναλογία ασύγχρονης μηχανής και μηχανής συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης Η αναλογία ασύγχρονης μηχανής και μηχανής συνεχούς ρεύματος μπορεί να επιτευχθεί εάν το ρεύμα i ds είναι προσανατολισμένο με τη ροή ˆ λ. Με τον τρόπο αυτό, όταν ελέγχεται το ρεύμα i qs μένει ανεπηρέαστη η ροή ˆ λ ενώ αντίστοιχα όταν ελέγχεται το ρεύμα i ds δεν επηρεάζεται το ρεύμα i qs όπως ακριβώς σε μια μηχανή συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης Άμεσος διανυσματικός έλεγχος * Στον άμεσο διανυσματικό έλεγχο, τα επιθυμητά ρεύματα του στάτη i ds και μετασχηματίζονται στο στατό πλαίσιο αναφοράς με τη βοήθεια της σύγχρονης γωνίας θ e η οποία παράγεται από τα σήματα ροής s λ d και s λ q. Τα σήματα s λ d και παράγονται από τις μετρούμενες τάσεις και ρεύματα του στάτη χρησιμοποιώντας το μοντέλο τάσης της μηχανής, ενώ προστίθεται και ένας βρόχος ροής για ακριβή έλεγχο της ροής [0.] (Σχήμα 0.4). * i qs s λ q 59

160 V d ˆ λ * ˆ λ * ω G G * i ds * iqs d q d s to q s s* i ds s* i qs φ to 3φ * i a * i b * i c Αντιστροφέας ω ˆ λ εκτιμητής μοντέλου τάσης ω κινητήρας μέτρηση ταχύτητας Σχήμα 0.4 Σχηματικό διάγραμμα άμεσου διανυσματικού ελέγχου Ο ακριβής προσανατολισμός του ρεύματος i ds με το διάνυσμα της ροής ˆ λ είναι απαραίτητος στο διανυσματικό έλεγχο. Στο Σχήμα 0.5 φαίνονται το σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο d q το οποίο στρέφεται με ταχύτητα ω e και το στατό πλαίσιο s s d q το οποίο κάθε χρονική στιγμή διαφέρει από το σύγχρονο κατά γωνία θ = ω. e e t q λ = 0 s q λ q s λ d θ e i ds = i λ = λ ˆ * ds d s q άξονας s d άξονας Σχήμα 0.5 Σύγχρονα στρεφόμενο και στατό πλαίσιο αναφοράς με προσανατολισμό της ροής Από το παραπάνω σχήμα έχουμε: s λ ˆ d = λ cos θe (0.3) s λ = ˆ λ sin θ (0.4) q e 60 d ω e

161 από τα οποία λαμβάνουμε: s λd cosθe = (0.5) ˆ λ s λq sinθe = (0.6) ˆ λ ( ) ( ) ˆ s s d q λ = λ + λ (0.7) Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, έχουμε λ d = 0 και λ ˆ q = λ, όπως φαίνεται από το Σχήμα 0.5, έχοντας πετύχει προσανατολισμό, ενώ η ροπή δίνεται από τη σχέση (0.) όπως σε μια μηχανή συνεχούς ρεύματος ξένης διέγερσης. Γίνεται αντιληπτό ότι για τον υπολογισμό της γωνίας θ e απαιτείται η γνώση των s λ d και s λ q τα οποία λαμβάνονται από το μοντέλο τάσης έχοντας μετρήσει τις τάσεις και τα ρεύματα του στάτη. Έτσι έχουμε: s s s λ ds = ( vds Rsids ) dt (0.8) s s s λ qs = ( vqs Rsiqs ) dt (0.9) ( ) ( ) ˆ s s s ds qs λ = λ + λ (0.0) λ λ ( ) ( ) = λ Li = L i + i (0.) s s s s s dm ds ls ds m ds d = λ Li = L i + i (0.) s s s s s qm qs ls qs m qs q λ = L i + Li (0.3) s s s d m ds d λ = L i + Li (0.4) s s s q m qs q Απαλείφοντας τα ρεύματα s i d και s i q από τις σχέσεις (0.3) και (0.4) και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (0.) και (0.) λαμβάνουμε: s L s s λd = λdm Li l ds (0.5) L m L λ = λ Li (0.6) s s s q qm l qs Lm οι οποίες πάλι με τη χρήση των (0.) και (0.) γίνονται: s L s s λd = ( λds σids ) (0.7) L m L λ = λ σ (0.8) ( i ) s s s q qs qs Lm Lm όπου σ = Ls. L Το μοντέλο τάσης υστερεί σε δύο βασικά σημεία: Σε χαμηλές συχνότητες τα σήματα s v ds και s v qs είναι μικρά με αποτέλεσμα η ύπαρξη μικρής σταθερής ποσότητας 6

162 (offset) να δημιουργεί σφάλματα κατά την ολοκλήρωση. Επιπλέον, η ακριβής γνώση των παραμέτρων R s, L ls, L l και L m δυσκολεύει την εφαρμογή της μεθόδου αυτής. Ειδικά η αντίσταση του στάτη R s επηρεάζεται αρκετά με τη θερμοκρασία. Σύμφωνα με τα παραπάνω, γίνεται κατανοητό ότι ο σωστός υπολογισμός των ροών και της σύγχρονης γωνίας θ e είναι δύσκολο να επιτευχθεί. Επιπλέον, στα μειονεκτήματα του άμεσου διανυσματικού ελέγχου πρέπει να προστεθούν και οι καθυστερήσεις στην επεξεργασία των σημάτων και στην απόκριση του αντιστροφέα. Όλα αυτά έχουν σαν αποτέλεσμα ο ακριβής άμεσος διανυσματικός έλεγχος να είναι αδύνατος στην πράξη Έμμεσος διανυσματικός έλεγχος Ο έμμεσος διανυσματικός έλεγχος λειτουργεί όπως ακριβώς και ο άμεσος με τη διαφορά ότι η γωνία θ e δεν υπολογίζεται από τα διανύσματα ροών ( cosθ e ή sinθ e ) αλλά από την ολοκλήρωση της σύγχρονης ταχύτητας ω e η οποία δίνεται από τη μετρούμενη ταχύτητα του δρομέα ω και τη συχνότητα ολίσθησης ω sl [0.5]. Για τον λόγο αυτό, ο έμμεσος διανυσματικός έλεγχος είναι πολύ δημοφιλής σε βιομηχανικές εφαρμογές [0.6]. s s Το στατό d q πλαίσιο είναι σταθερό στο στάτη ενώ το d q πλαίσιο είναι σταθερό στο δρομέα και στρέφεται με ταχύτητα pω. Το σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο d q περιστρέφεται προηγούμενο σε σχέση με το d q πλαίσιο κατά τη γωνία ολίσθησης θ sl (Σχήμα 0.6) η οποία αντιστοιχεί στη γωνιακή συχνότητα ολίσθησης ω sl. Επομένως, για τη γωνία θ e έχουμε: θ = ω dt = pω + ω dt = θ + θ ( ) (0.9) e e sl sl q λ q = 0 s s i qs λ q s i ds s λ d θ e θ i ds I s i qs λ = λ ˆ d s q άξονας s d θ sl άξονας d d ω ω e Σχήμα 0.6 Διανυσματικό διάγραμμα έμμεσου διανυσματικού ελέγχου 6

163 Αντίστοιχα με τον άμεσο διανυσματικό έλεγχο, για να έχουμε αποσυνδεδεμένο έλεγχο θα πρέπει η ροή λ d να προσανατολιστεί με τον d άξονα έτσι ώστε λ ˆ d = λ και λ q = 0. Από τις εξισώσεις (5.4) και (5.4) έχουμε: λ RL R = i λ + ω ω λ (0.0) ( p ) m d ds d e q L L λ RL R = i λ ω ω λ (0.) ( p ) m q qs q e d L L όπου με τον αποσυνδεδεμένο έλεγχο ισχύει: λ = 0 (0.) q λ q = 0 (0.3) και η συνολική ροή ˆ λ βρίσκεται στον d άξονα. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω συνθήκες στις εξισώσεις (0.0) και (0.) λαμβάνουμε: L ˆ ˆ Li R λ + λ = m ds (0.4) ω sl LR ˆm i qs λl = (0.5) Στη μόνιμη κατάσταση, η ροή ˆ λ είναι σταθερή και δίνεται από τη σχέση: λ = (0.6) ˆ Li m ds δηλαδή η ροή του δρομέα γίνεται ανάλογη του ρεύματος i ds. Η λειτουργία του έμμεσου διανυσματικού ελέγχου βασίζεται στις εξισώσεις (0.9), (0.4) και (0.5). Το σχηματικό διάγραμμα του έμμεσου διανυσματικού ελέγχου δίνεται στο Σχήμα

164 τριφασική πηγή Ανορθωτής διόδων V ec L Δυναμικό φρένο C DB Αντιστροφέας κινητήρας M ω ω + - ω λ * ˆ + - λ ˆ G * i qs G * i ds φ/3φ θ e i, i, i * * * a b c + ΗΒ ελεγκτής - { i i i a b c ids 3φ/φ iqs θ e μέτρηση ταχύτητας ω ˆ λ LR m L ˆ λ ω * ω e + + sl pω p Σχήμα 0.7 Σχηματικό διάγραμμα έμμεσου διανυσματικού ελέγχου Στο παραπάνω διάγραμμα, ένας τριφασικός ανορθωτής διόδων χρησιμοποιείται για την ανόρθωση της τριφασικής τάσης του δικτύου τροφοδοτώντας έναν τριφασικό αντιστροφέα PWM μέσω μιας διασύνδεσης ΣΡ για τη σταθεροποίηση της τάσης, ενώ ο αντιστροφέας με τη σειρά του οδηγεί μια ασύγχρονη μηχανή. Η ύπαρξη ενός δυναμικού φρένου (dynamic baking) είναι απαραίτητη σε περίπτωση που η μηχανή λειτουργήσει στιγμιαία ως γεννήτρια απορροφώντας την ισχύ που πάει να επιστρέψει στο δίκτυο. Λόγω της ύπαρξης των διόδων, η ισχύς δεν μπορεί να επιστρέψει στο δίκτυο με αποτέλεσμα να αυξάνεται η τάση στον πυκνωτή. Όταν η τάση αυτή υπερβεί ένα επίπεδο ασφαλείας χρησιμοποιείται το δυναμικό φρένο ώστε να επαναφέρει την τάση στην επιθυμητή τιμή [0.]. * Η επιθυμητή τιμή της ροής ˆ λ δίνεται από τη σχέση (0.6) για μια επιθυμητή τιμή του ρεύματος παράγεται από το ρεύμα * i ds η οποία διατηρείται σταθερή, ενώ η συχνότητα ολίσθησης * i qs μέσω της σχέσης (0.5). Ταυτόχρονα, η γωνία υπολογίζεται με βάσει τη σχέση (0.9) και τα ρεύματα i * ds και i * qs μετασχηματίζονται στις τριφασικές ποσότητες * i a, * i b και 64 * ω sl θ e * i c. Οι τιμές αυτές των ρευμάτων χρησιμοποιούνται ώστε να εφαρμοστεί ένας έλεγχος ρεύματος με βρόχο υστέρησης [0.4] και να παραχθούν τα κατάλληλα σήματα για τον αντιστροφέα. Ο έλεγχος ρεύματος με βρόχο υστέρησης, παρόλο που είναι μια συνήθης τεχνική ελέγχου, δεν παρουσιάζει βέλτιστο αρμονικό περιεχόμενο. Στις υψηλές ταχύτητες, ο ελεγκτής ρεύματος τείνει να κορεστεί με αποτέλεσμα ο διανυσματικός έλεγχος να μην είναι σωστός. Επιπλέον, αν παρατηρήσουμε το μοντέλο της μηχανής (5.39)-

165 (5.40), θα προσέξουμε ότι ο πιο σωστός έλεγχος είναι αυτός που δίνει τις επιθυμητές * * τάσεις του στάτη v ds και v qs αντί των ρευμάτων i * ds και i * qs. Αυτό μπορεί να συμβεί αν η διαφορές των ρευμάτων i * ds και i * qs από τα μετρούμενα ρεύματα i ds και i qs παράγει τις τάσεις * v ds και * v qs μέσω PI ελεγκτών όπως φαίνεται στο Σχήμα 0.8. Οι τάσεις * * * αυτές μετασχηματίζονται στο τριφασικό σύστημα ως v a, v b, v c και οδηγούνται απ ευθείας στον αντιστροφέα. Για τον υπολογισμό των τάσεων χρησιμοποιούνται συνήθως οι όροι αποσύνδεσης (decoupling tems) ωλ e ds και ωλ e qs οι οποίοι * προστίθενται στις εξόδους των PI ελεγκτών για να υπολογιστούν οι όροι v qs και ανάλογα. Με την προσθήκη των όρων αυτών αποσυνδέονται οι εξισώσεις (5.39) και (5.40) στη μόνιμη κατάσταση ώστε να γίνει πιο εύκολος ο υπολογισμός των κερδών του ελεγκτή [0.]. * v ds s λ qs s λ ds VR - λ qs λ ds ω e Χ Χ ωλ e ωλ e qs ds cosθ e sinθ e ω e * i ds * i qs + - i ds + - i qs K PI ελεγκτής K pd pq K + s K + s Id Iq PI ελεγκτής * V ds * V qs cosθ e VR και φ/3φ sinθ e Σχήμα 0.8 Έλεγχος ρεύματος με προσθήκη όρων αποσύνδεσης * v a * v b * v c Συνοψίζοντας, στον έμμεσο διανυσματικό έλεγχο τα επιθυμητά σήματα που * εφαρμόζονται στον έλεγχο είναι η ταχύτητα του δρομέα ω και το ρεύμα του σύγχρονα στρεφόμενου d άξονα i * ds (ή η ροή * ˆ λ ). Ο έλεγχος ρεύματος i * ds γίνεται με τη χρήση ενός PI ελεγκτή ενώ ο έλεγχος της ταχύτητας του δρομέα επιτυγχάνεται με τη χρήση διπλού PI ελεγκτή σε σειρά (cascaded PI contolle) όπου ο πρώτος βρόχος (εξωτερικός) υπολογίζει την επιθυμητή τιμή του ρεύματος i * qs (συνάρτηση μεταφοράς G του σχήματος 0.7) και ο δεύτερος βρόχος (εσωτερικός) ελέγχει το ρεύμα (Σχήμα 0.8). Ο εσωτερικός βρόχος πρέπει να είναι πιο γρήγορος από τον εξωτερικό για να παρουσιάζει το σύστημα ευσταθή συμπεριφορά [0.5]. * i qs 65

166 0.3 Έλεγχος τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα με λογική προσανατολισμένου πεδίου Στην παράγραφο αυτή, θεωρούμε ότι το σύστημα της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής οδηγείται από ένα τριφασικό δίκτυο, έναν ανορθωτή με διόδους, μια διασύνδεση ΣΡ και έναν τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 7.4. (Σχήμα 7.3). Σκοπός του ελέγχου είναι ο ακριβής έλεγχος στροφών του κινητήρα σε διάφορες ταχύτητες καθώς και σε μεταβολή του φορτίου. Για να φτάσουμε στη λογική του ελέγχου που θα εφαρμόσουμε, πρέπει να δείξουμε πρώτα πιο συγκεκριμένα την εφαρμογή του κλασσικού διανυσματικού ελέγχου, ο οποίος εφαρμόζεται μέχρι και σήμερα, ώστε να συγκρίνουμε τις δύο τεχνικές και να τονιστεί η ανωτερότητα του προτεινόμενου ελέγχου Κλασσικός διανυσματικός έλεγχος ασύγχρονου κινητήρα Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, η πιο συνήθης μέθοδος ελέγχου ενός ασύγχρονου κινητήρα είναι ο διανυσματικός έλεγχος και πιο συγκεκριμένα ο έμμεσος διανυσματικός έλεγχος. Για να έχουμε λειτουργία ανάλογη της ασύγχρονης μηχανής, επιθυμούμε η συνολική ροή του δρομέα λ να προσανατολιστεί με τον σύγχρονα στρεφόμενο d άξονα, δηλαδή: λ = λ (0.7) d κι επομένως: λ = 0 (0.8) q Σύμφωνα με τα παραπάνω μπορεί να οριστεί η συχνότητα ολίσθησης ως: ω sl LmR i qs Lλ = (0.9) Καθώς η ροή του δρομέα δεν μπορεί να μετρηθεί, συνήθως χρησιμοποιείται ένας εκτιμητής ροής όπου αν έχει επιτευχθεί ο προσανατολισμός πεδίο δίνεται από τη διαφορική εξίσωση: L ˆ ˆ Li R λ + λ = m ds (0.30) όπου ˆ λ είναι η εκτίμηση της συνολικής ροής του δρομέα. Θεωρώντας ότι ο κινητήρας λειτουργεί σε ταχύτητες χαμηλότερες της ονομαστικής, η ροή του δρομέα πρέπει να διατηρείται σταθερή [0.], [0.4] κι 66

167 επομένως τα επιθυμητά σήματα είναι η επιθυμητή ταχύτηταω και η επιθυμητή ροή λ. Σε μια συνήθη εφαρμογή ελέγχου μέχρι τις ονομαστικές στροφές, αντί της επιθυμητής ροής λ μπορούμε να δώσουμε το επιθυμητό ρεύμα στον d άξονα i από την εξίσωση (0.30) αν υποθέσουμε μόνιμη κατάσταση, δηλαδή: λ = Li (0.3) m ds Στην περίπτωση λειτουργίας του κινητήρα σε ταχύτητες υψηλότερες της ονομαστικής, η επιθυμητή ροή λ και κατά συνέπεια το επιθυμητό ρεύμα του d άξονα i ds δίνεται από τη λογική εξασθένησης πεδίου [0.], [0.4], όπως παρουσιάστηκε στην παράγραφο 5.3. Το σχηματικό διάγραμμα του διανυσματικού ελέγχου φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: ds τριφασική πηγή Ανορθωτής διόδων V ec L Δυναμικό φρένο C DB Αντιστροφέας κινητήρας M i i i a b c ω + ω - K * K i + Iω qs + pω s - i qs PI ελεγκτής ˆ λ i ds LR m L ˆ λ + - i ds K PI ελεγκτής K pd pq K + s K + s Iq PI ελεγκτής ω * ω e + + sl Id * V ds * V qs * V a * V * b Vc φ/3φ θ e ids 3φ/φ iqs pω θe μέτρηση ταχύτητας p ω Σχήμα 0.9 Σχηματικό διάγραμμα εφαρμογής διανυσματικού ελέγχου Από το Σχήμα 0.9, γίνεται κατανοητό ότι για την εφαρμογή του διανυσματικού ελέγχου απαιτούνται 3 PI ελεγκτές καθώς δύο χρειάζονται για την παραγωγή των επιθυμητών σημάτων * V ds και * V qs από τα ρεύματα * i ds και * i qs αντίστοιχα. Οι τάσεις 67

168 αυτές, αν διαιρεθούν με την τάση στην διασύνδεση ΣΡ μεταβλητές ελέγχου m ds και m qs. V dc, σχηματίζουν τις Από τη μορφή του κλασσικού διανυσματικού ελέγχου μπορούμε να εξάγουμε τις παρακάτω παρατηρήσεις. Παρατήρηση 0.. Η εφαρμογή του κλασσικού διανυσματικού ελέγχου περιλαμβάνει 3 PI ελεγκτές, δηλαδή πρέπει να οριστούν 6 τιμές για τα κέρδη των ελεγκτών, γεγονός το οποίο δεν είναι καθόλου εύκολο. Παρατήρηση 0.. Η συνολική ροή του δρομέα λ πρέπει να είναι προσανατολισμένη με τον σύγχρονα στρεφόμενο d άξονα τόσο στην μόνιμη κατάσταση όσο και στη μεταβατική. Το γεγονός αυτό επιτυγχάνεται μόνο όταν οι παράμετροι R, L και L m είναι απόλυτα γνωστές. Οποιαδήποτε απόκλιση από τις πραγματικές τιμές μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένη λειτουργία, ακόμα και σε αστάθεια, καθώς η απόδειξη της ευστάθειας του κλειστού συστήματος δεν είναι εγγυημένη. Αντίθετα, πολλές φορές χρησιμοποιούνται ελεγκτές ρεύματος με βρόχους υστέρησης (HB contolles) ώστε να παραχθούν οι κατάλληλοι παλμοί για την οδήγηση του τριφασικού αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ (Σχήμα 0.0). Ωστόσο, δεν υπάρχει αναλυτικό μοντέλο για τους ελεγκτές με βρόχους υστέρησης, με αποτέλεσμα η ευστάθεια του κλειστού βρόχου να μην μπορεί να αποδειχθεί ούτε σε αυτή την περίπτωση. Για να είναι δυνατή η απόδειξη της ασυμπτωτικής ευστάθειας χρησιμοποιώντας έλεγχο προσανατολισμού πεδίου, πολλοί ερευνητές χρησιμοποιούν το μοντέλο της μηχανής οδηγούμενη από ρεύμα, το οποίο αποτελείται από ένα σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων, όπου οι καταστάσεις είναι οι ροές του δρομέα και η ταχύτητα του κινητήρα και οι είσοδοι ελέγχου είναι τα ρεύματα του στάτη [0.7], [0.8], [0.9], [0.0]. Στην περίπτωση αυτή, η δυναμική του αντιστροφέα αγνοείται πλήρως ενώ η εφαρμογή του ελέγχου εξαρτάται από συγκεκριμένες παραμέτρους της μηχανής. 68

169 ω + ω - τριφασική πηγή K * K i + Iω qs pω s PI ελεγκτής ˆ λ Ανορθωτής διόδων LR m L ˆ λ i ds = i V ec * ds ω Δυναμικό φρένο C φ/3φ θ e * ω e + + sl L DB i, i, i * * * a b c + Αντιστροφέας ΗΒ ελεγκτής - { i i i a b c ids 3φ/φ iqs pω κινητήρας θ e M μέτρηση ταχύτητας p ω Σχήμα 0.0 Σχηματικό διάγραμμα εφαρμογής διανυσματικού ελέγχου με βρόχο υστέρησης Από την άλλη πλευρά, αρκετή έρευνα έχει γίνει στο 5 ης τάξης μοντέλο της ασύγχρονης μηχανής, όπως παρουσιάστηκε από τις εξισώσεις (5.39)-(5.4) και (5.47) όπου ο έλεγχος προσανατολισμένου πεδίου μπορεί να εγγυηθεί ασυμπτωτική ευστάθεια [0.], [0.], [0.3], [0.4], [0.5], [0.6], [0.7]. Παρόλα αυτά, η εφαρμογή του ελέγχου απαιτεί τη χρήση παραμέτρων της μηχανής ή εκτιμητών της ροπής του φορτίου, ενώ ο αντιστοφέας θεωρείται πως λειτουργεί σαν ιδανική πηγή ρεύματος. Επομένως, γίνεται κατανοητό ότι για την ορθή και πλήρη ανάλυση της λειτουργίας προσανατολισμένου πεδίου, το πλήρες μοντέλο της τριφασικής μηχανής οδηγούμενη από τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ, όπως αυτό περιγράφηκε στην παράγραφο 6.5., πρέπει να χρησιμοποιηθεί καθώς οι μη γραμμικότητες του αντιστροφέα πρέπει να ληφθούν υπόψη. Μέχρι και σήμερα, δεν έχει γίνει ανάλυση ευστάθειας χρησιμοποιώντας τεχνικές προσανατολισμού πεδίου στο πλήρες μοντέλο της ασύγχρονης μηχανής οδηγούμενη από τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ. Στις παραγράφους που ακολουθούν, θα αναπτυχθεί μια νέα τεχνική που χρησιμοποιεί μια επέκταση του μη γραμμικού ελεγκτή, όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7, η οποία εγγυάται ευστάθεια στο πλήρες σύστημα και λειτουργία προσανατολισμένου πεδίου. 69

170 0.3. Μετασχηματισμός μη γραμμικού ελέγχου για την οδήγηση ασύγχρονης μηχανής Όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 6.5., το πλήρες μοντέλο του ασύγχρονου κινητήρα οδηγούμενο από τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ έχει δύο φραγμένες μεταβλητές ελέγχου m ds και m qs. Για την αποφυγή ανεπιθύμητων ανώτερων αρμονικών στο διαμορφωμένο σήμα, είναι σημαντικό ο αντιστροφέας να λειτουργεί στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης, όπως υπογραμμίστηκε στην παράγραφο Έτσι, σύμφωνα με τη σχέση (4.9) πρέπει να ισχύει: m + m 0.5 (0.3) ds qs Για τον λόγο αυτό, καθώς κάθε μεταβλητή ελέγχου είναι τυπικά φραγμένη από τη μέγιστη 0.5, συνήθως χρησιμοποιούνται διατάξεις περιορισμού (satuatos) στις εξόδους των εσωτερικών PI ελεγκτών στον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 0.9. Ωστόσο, ακόμα και με τη χρήση των διατάξεων αυτών, η λειτουργία στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης δεν είναι εγγυημένη καθώς η σχέση (0.3) δηλώνει πως η νόρμα- του διανύσματος εισόδου είναι φραγμένη, δηλαδή µ 0.5 όπου ds qs T µ = m m, και όχι η κάθε είσοδος ξεχωριστά. Για παράδειγμα, στον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο υπάρχει περίπτωση και οι δύο είσοδοι ελέγχου να λάβουν την τιμή 0.5 δίνοντας ως αποτέλεσμα mds + mqs = 0.5 το οποίο οδηγεί σε υπερδιαμόρφωση. Το ίδιο ακριβώς πρόβλημα εμφανίζεται και στο μη γραμμικό ελεγκτή που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7. Αν και στις δύο εισόδους εφαρμόσουμε τη θεωρία του ελέγχου αυτού, όπως έγινε στον έλεγχο του τριφασικού μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ στην παράγραφο 8.3, η λειτουργία στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης δεν είναι εγγυημένη. Πρακτικά, μέχρι και σήμερα, δεν έχει σχεδιαστεί ελεγκτής που να μπορεί να εγγυηθεί αυτή τη λειτουργία. Για τον σκοπό αυτό, βασιζόμενοι στη γενική ιδέα του μη γραμμικού ελεγκτή που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7 και καθώς πρέπει να ισχύει µ 0.5, ο έλεγχος μετασχηματίζεται ως εξής: mds mqs = z (0.33) = z (0.34) 0 0 k ( ids ids ) 0 0 ( ω ω ) ( ds ds ) ( ω ω ) ( + + ) z z z k z = z 3 k z3 i i k c z z z3 70 (0.35)

171 όπου z, z και z 3 είναι οι καταστάσεις του ελεγκτή, k, k είναι δύο μη μηδενικά κέρδη και c, είναι θετικές σταθερές, με τουλάχιστον μία αρχική συνθήκη z (0), z (0) ή z (0) 3 διάφορη του μηδενός. Όπως και στον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο, i ds και i ds είναι το μετρούμενο και το επιθυμητό ρεύμα του d άξονα στο στάτη αντίστοιχα, και ω, ω είναι η μετρούμενη και η επιθυμητή τιμή της ταχύτητας του δρομέα αντίστοιχα. Αναπτύσσοντας τη θεωρία που χρησιμοποιήθηκε για την απόδειξη της ευστάθειας του μη γραμμικού ελεγκτή στο Κεφάλαιο 7, μπορούμε να μελετήσουμε για κάθε i τη δυναμική του συστήματος του ελεγκτή (0.33)-(0.35) ξεχωριστά ως εξής: [ i ] [] i 0 0 ( () ) [] i z () t k ids t ids z () t [] i [ i ] [] i z () t = 0 0 k( ω () t ω ) z () t [] i [] i z3 () t [ i ] [ i ] [ i ] [ i ] [ i ] z3 () t k( ids () t ids ) k( ω () t ω ) c( ( z () t ) + ( z () t ) + ( z3 () t ) ) (0.36) Για να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του ελέγχου, θεωρούμε τη συνάρτηση Lyapunov: ( ) ( ) ( 3 ) [] i [] i [] i [] i W () t = z () t + z () t + z () t 0 (0.37) Λαμβάνοντας την χρονική της παράγωγο καταλήγουμε: 3 3 ( ds ds ) 3 [ i ] [] i [] i [ i ] [] i [] i ( ω ω ) ( ds ds ) [ i ] [ i] [ i] [ i ] [ i ] [ i ] [ i] ( ω t ω ) z () t z3 () t c( ( z () t ) + ( z () t ) + ( z3 () t ) )( z3 () t ) [ i ] [ i ] [ i ] [ i] (( ()) ( ()) ( ()) )( ()) 3 3 () = () () + () () + () () = () () () [] i [] i [] i [] i [] i [] i [] i [ i ] [] i [] i W t z t z t z t z t z t z t k i t i z t z t k () t z () t z () t + k i () t i z () t z () t k () = c z t + z t + z t z t (0.38) Καθώς i, η ίδια σχέση ισχύει για τη συνάρτηση Lyapunov Wt () και για τα z, z και z 3. Η παραπάνω ανισότητα δηλώνει ότι η σφαίρα με κέντρο το μηδέν και ακτίνα δρα ως ελκτική σφαίρα και «τραβάει» τις καταστάσεις z, z και z 3 στην επιφάνεια της (Σχήμα 0.). Η λογική αυτή είναι ίδια με αυτή που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 7.5, η οποία αυξάνει τη σθεναρότητα του ελέγχου. 7

172 0.5 Wt () < 0 z 3 0 Wt () > z z Σχήμα 0. Διάγραμμα ελκτικής σφαίρας στον z z z χώρο 3 Με αντίστοιχο τρόπο, ξεκινώντας από οποιοδήποτε σημείο του z z z3 χώρου εκτός του (0,0,0), θα υπάρχει μια μελλοντική χρονική στιγμή όπου οι τρεις καταστάσεις z, z και z 3 τυπικά συγκλίνουν στην επιφάνεια της σφαίρας και παραμένουν εκεί. Αν θεωρήσουμε ότι στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας έχουμε * * * * mds = z και mqs = z, αυτά περιγράφονται από δύο επίπεδα S και S στον τρισδιάστατο χώρο όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Είναι προφανές ότι τα σημεία τομής των επιπέδων S και S με τη σφαίρα αντιστοιχούν στα επιθυμητά σημεία ισορροπίας. Δυο επίπεδα και η επιφάνεια μιας σφαίρας έχουν πάντοτε δύο σημεία τομής ( B και C ) τα οποία αντιστοιχούν στο ίδιο επιθυμητό σημείο το συστήματος ανοικτού βρόχου. Καθώς στόχος είναι η λειτουργία στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης, η ακτίνα της σφαίρας επιλέγεται = 0.5. Καθώς οι καταστάσεις z, z και z 3 κινούνται στην επιφάνειά της, τότε μπορούμε να δούμε την προβολή της σφαίρας στο επίπεδο z z όπως στο Σχήμα

173 S S B z 3 C z * m qs * m ds z Σχήμα 0. Επιθυμητά σημεία ισορροπίας στον z z z χώρο 3 z * mqs B D 0.5 * Ο m ds z Σχήμα 0.3 Προβολή της σφαίρας στο z z επίπεδο Από στο Σχήμα 0.3, γίνεται αντιληπτό ότι οι μεταβλητές ελέγχου 73 m ds και μπορούν να κινηθούν οπουδήποτε μέσα σε έναν δίσκο D με ακτίνα 0.5. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει m ds qs m qs + m 0.5 το οποίο μπορεί να εγγυηθεί λειτουργία μέσα στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης. Επομένως, οι καταστάσεις z και z κινούνται μέσα στον δίσκο D μέχρι να συγκλίνουν στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας σύμφωνα με την ανάλυση που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7.

174 Παρατήρηση 0.3. Ο νόμος ελέγχου (0.33)-(0.35) δεν σημαίνει ότι η λειτουργία του είναι πάντα περιορισμένη στη γραμμική διαμόρφωση χωρίς αυτό να μπορεί να μεταβληθεί. Σε περιπτώσεις που κρίνεται απαραίτητη η υπερδιαμόρφωση, απλώς αλλάζοντας την ακτίνα μπορούμε να επιτύχουμε υπερδιαμόρφωση καθώς οι καταστάσεις θα συγκλίνουν στην επιφάνεια μιας καινούργιας σφαίρας με μεγαλύτερη ακτίνα. Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να επανέλθουμε στην αρχική κατάσταση Μη γραμμικός έλεγχος βασιζόμενος στη λογική προσανατολισμένου πεδίου Στην προηγούμενη παράγραφο παρουσιάστηκε η ολοκληρωμένη μορφή του μη γραμμικού ελέγχου που μπορεί να εφαρμοστεί στην ασύγχρονη μηχανή και να εγγυηθεί λειτουργία στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης. Θεωρώντας λειτουργία μέχρι τις ονοματικές στροφές, θα προχωρήσουμε στην ανάπτυξη ενός πλήρους ελεγκτή που βασίζεται στη λογική προσανατολισμένου πεδίου. Θεωρώντας ότι στη μόνιμη κατάσταση η ροή του στάτη έχει προσανατολιστεί με τον d άξονα, ορίζουμε τη γωνιακή συχνότητα ολίσθησης: R ω sl = i qs (0.39) Li ds κι επομένως η σύγχρονη ταχύτητα υπολογίζεται ως: R ω = pω + ω = pω + i (0.40) e sl qs Li ds Χρησιμοποιώντας τη σχέση (0.40) για τον προσανατολισμό του πεδίου και τον έλεγχο (0.33)-(0.35) καταλήγουμε στην πλήρη μορφή του ελέγχου της ασύγχρονης μηχανής όπως φαίνεται στο σχηματικό διάγραμμα υλοποίησης (Σχήμα 0.4). Εφαρμόζοντας τον προτεινόμενο έλεγχο στο πλήρες σύστημα της ασύγχρονης μηχανής οδηγούμενη από τριφασικό αντιστροφέα ΣΡ/ΕΡ, όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 6.5., αφού οι καταστάσεις z, z και z 3 έχουν συγκλίνει στην επιφάνεια της επιθυμητής σφαίρας, λαμβάνουμε το σύστημα κλειστού βρόχου το οποίο δίνεται στη γενική παθητική Hamiltonian μορφή (6.) ισοδύναμη με την (7.5) όπου: M 07 3 M = 03 7 I, 3 R 07 3 R T T =, g = g , 33 74

175 R Lm 0 σ pω + i qs pλq z Li ds L R Lm σ pω + i qs pλq z Li ds L R i qs Li ds R i qs Li ds J = Lm Lm pλq pλq L L z z k id s ids k ω ω k( ids ids ) k( ω ω ) 0 ( ) ( ) όπου οι πίνακες M, R και g δίνονται στην παράγραφο Η Hamiltonian του συστήματος δίνεται από τη σχέση: T H ( x ) = x Mx (0.4) όπου x = ids iqs λd λq ω i Vdc z z z 3 είναι το διάνυσμα κατάστασης του κλειστού βρόχου. T i ds + ω + - i ds - ω τριφασική πηγή Ανορθωτής διόδων Προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος m m V ec L = z * * ds = z * * qs Δυναμικό φρένο C DB z + z actan z z 6-παλμική έξοδος m a ϕ Αντιστροφέας PWM θ e i i i a b c ids 3φ/φ iqs κινητήρας θ e M μέτρηση ταχύτητας ω i ds R Li i qs ds ω * ω e + + sl pω p Σχήμα 0.4 Σχηματικό διάγραμμα μη γραμμικού ελέγχου με λογική προσανατολισμένου πεδίου 75

176 Πρέπει να σημειωθεί ότι ο πίνακας M είναι διαγώνιος και θετικά ορισμένος, ο πίνακας J είναι αντι-συμμετρικός και ο πίνακας R είναι συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος. Είναι προφανές ότι με την εφαρμογή του συγκεκριμένου ελέγχου όλες οι Υποθέσεις που αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο 7 ισχύουν οδηγώντας σε ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Σημαντική διαφορά του προτεινόμενου ελέγχου σε σχέση με τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο είναι ότι για τον υπολογισμό της συχνότητας ολίσθησης ω sl από τη σχέση (0.39), δεν απαιτούνται εκτιμητές, ενώ χρησιμοποιείται το σήμα αναφοράς i ds. Στην πράξη, η ροή του δρομέα προσανατολίζεται στον d άξονα μόνο κατά τη μόνιμη κατάσταση ενώ κατά τη μεταβατική κατάσταση ο προσανατολισμός δεν ισχύει. Παρόλα αυτά, η ανάλυση της ευστάθειας εγγυάται ευσταθή συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου ώστε να οδηγηθεί στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Επιπλέον, παρότι φαίνεται από τη σχέση (0.39) ότι ο έλεγχος εξαρτάται από τις παραμέτρους R και L, η ακριβής γνώση αυτών των παραμέτρων δεν απαιτείται. Ακόμη και να υπάρχει αστοχία στις παραμέτρους το σύστημα θα οδηγηθεί στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας χωρίς να ισχύει ακριβής προσανατολισμός. Ο λόγος είναι γιατί η ευστάθεια του συστήματος αποδεικνύεται ανεξαρτήτως αυτών των παραμέτρων σε αντίθεση με τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο όπου η απόδειξη της ευστάθειας δεν είναι εγγυημένη και το σύστημα μπορεί να οδηγηθεί σε απροσδόκητη συμπεριφορά. Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι για την υλοποίηση του μη γραμμικού ελεγκτή απαιτείται ο προσδιορισμός μόνο κερδών k και k σε αντίθεση με τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο όπου πρέπει να συντονιστούν συνολικά 6 κέρδη, όπως σημειώθηκε στην Παρατήρηση 0.. Το γεγονός αυτό οδηγεί σε ευκολότερη υλοποίηση του προτεινόμενου ελέγχου Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Για να εξεταστεί η αποτελεσματικότητα του ελέγχου, το σύστημα κλειστού βρόχου προσομοιώθηκε και η λειτουργία του ελεγκτή συγκρίθηκε με αυτή του κλασσικού διανυσματικού ελέγχου. Οι παράμετροι του συστήματος φαίνονται στον Πίνακα. Για τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο τα κέρδη των PΙ ελεγκτών επιλέχθηκαν ως: K ω = 0., K ω =, K =, K = 0, K = 0.5, K = 0 p I pq Iq pd έτσι ώστε για τον εσωτερικό βρόχο, ο οποίος ελέγχει το ρεύμα i qs, να δρα πολύ γρηγορότερα από τον εξωτερικό βρόχο, ο οποίος ελέγχει την ταχύτητα ω. Id 76

177 Πίνακας Παράμετρος Τιμή Έξοδος ανορθωτή διόδων V ec V Χωρητικότητα διασύνδεσης ΣΡ C.mF Επαγωγή διασύνδεσης ΣΡ L mh Αντίσταση διασύνδεσης ΣΡ Ονομαστική ισχύς κινητήρα R L P n 0.05Ohm.5kW Επαγωγή στάτη Επαγωγή δρομέα Αμοιβαία επαγωγή Αντίσταση στάτη Αντίσταση δρομέα L s L L m s 464mH 464mH 44.7mH 5.77Ohm 4.8Ohm Ζεύγη πόλων p Ροπή αδράνειαςς J kg m Συντελεστής τριβής b 0.009N m sec/ ad Για την περίπτωση του μη γραμμικού ελεγκτή, τα κέρδη επιλέχθηκαν ως: k = 0.5sec/ ad, k = 40A και c = 000 για γρήγορη σύγκλιση πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Ξεκινώντας από τυχαίες αρχικές συνθήκες, η επιθυμητή ταχύτητα της μηχανής ορίζεται ως ω = 0 ad / sec και το επιθυμητό ρεύμα στα i =.8A. Ενώ το επιθυμητό ρεύμα παραμένει ίδιο σε όλη την προσομοίωση, τη χρονική στιγμή t = sec η επιθυμητή ταχύτητα πέφτει στα ω = 00 ad / sec, τη χρονική στιγμή t = 4sec η επιθυμητή ταχύτητα ανεβαίνει στα ω = 35 ad / sec και τη χρονική στιγμή t 3 = 6sec αλλάζει στα ω = 30 ad / sec. Για να ελεγχθεί η λειτουργία των ελεγκτών σε απότομες μεταβολές της ροπής, ενώ η επιθυμητή ταχύτητα παραμένει σταθερή στα ω = 30 ad / sec, τη χρονική στιγμή t 4 = 8sec η ροπή του φορτίου πέφτει από τα Nm στα.8nm και τη χρονική στιγμή t 5 = 0sec αλλάζει στα.nm. 77 ds

178 poposed nonlinea contol taditional vecto contol 8 6 taditional vecto contol poposed nonlinea contol. 4 ids (A)..9 iqs (A) time (sec) time (sec) α) ρεύμα στάτη d άξονα β) ρεύμα στάτη q άξονα taditional vecto contol poposed nonlinea contol taditional vecto contol poposed nonlinea contol ld (Wb) lq (Wb) time (sec) time (sec) γ) ροή δρομέα d άξονα δ) ροή δρομέα q άξονα taditional vecto contol poposed nonlinea contol 0 8 taditional vecto contol poposed nonlinea contol w (ad/sec) 0 5 i (A) time (sec) time (sec) ε) ταχύτητα δρομέα στ) ρεύμα διασύνδεσης ΣΡ 78

179 50 58 taditional vecto contol poposed nonlinea contol 0. taditional vecto contol poposed nonlinea contol md 0 56 Vdc (V) mq time (sec) taditional vecto contol poposed nonlinea contol time (sec) time (sec) ζ) τάση διασύνδεσης ΣΡ η) είσοδοι ελέγχου Σχήμα 0.5 Σύγκριση χρονικής απόκρισης συστήματος με κλασσικό διανυσματικό έλεγχο και με τον προτεινόμενο μη γραμμικό έλεγχο 0.5 z z z Σχήμα 0.6 Απόκριση καταστάσεων ελέγχου στον z z z χώρο 3 Από τις χρονικές αποκρίσεις του συστήματος για τις δύο περιπτώσεις ελέγχου (Σχήμα 0.5), παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση η ταχύτητα της μηχανής και το ρεύμα του d άξονα ισορροπούν στις επιθυμητές τιμές παρά τις αλλαγές στην επιθυμητή ταχύτητα ή τις απότομες αλλαγές του φορτίου. Επιπλέον, όπως παρατηρείται από το Σχήμα 0.5δ, η ροή λ q σταθεροποιείται στο μηδέν επιτυγχάνοντας προσανατολισμό πεδίου. Παρόλα αυτά, φαίνεται ο προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος να είναι λίγο πιο γρήγορος παρά τη χρήση εκτιμητή ροής στην περίπτωση του κλασσικού διανυσματικού ελέγχου. Το γεγονός αυτό οφείλεται στη 79

180 χρήση των PI ελεγκτών χωρίς όμως αυτό να αλλάζει τη λειτουργία του προσανατολισμένου πεδίου. Επιπλέον, στο Σχήμα 0.6 φαίνεται η απόκριση των τριών καταστάσεων ελέγχου z, z και z 3 στον τρισδιάστατο χώρο z z z3. Ξεκινώντας από ένα τυχαίο σημείο μέσα στην επιθυμητή σφαίρα, οι τρεις καταστάσεις συγκλίνουν στην επιφάνειά της (κόκκινη γραμμή) ενώ μετά κινούνται αποκλειστικά πάνω σε αυτή (μπλε γραμμή) συγκλίνοντας σε κάθε επιθυμητή σημείο ισορροπίας που προκύπτει. Το γεγονός αυτό επαληθεύει τη λειτουργία του μη γραμμικού ελεγκτή που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο εγγυώντας ταυτόχρονα λειτουργία στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης. Από τα παραπάνω και λαμβάνοντας υπόψη ότι ο προτεινόμενος μη γραμμικός έλεγχος είναι ανεξάρτητος των παραμέτρων του συστήματος, δεν χρησιμοποιεί εκτιμητές και μπορεί να εγγυηθεί ευσταθή συμπεριφορά με γραμμική διαμόρφωση, γίνεται κατανοητή η ανωτερότητά του σε σχέση με τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο. 0.4 Μη γραμμικός έλεγχος τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα σε καταστάσεις εξασθένησης πεδίου Έχοντας επιβεβαιώσει τη λειτουργία του μη γραμμικού ελέγχου (0.33)-(0.35) με τη γωνιακή συχνότητα ολίσθησης να δίνεται από τη σχέση (0.39), στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί η λειτουργία του για έλεγχο ταχύτητας μεγαλύτερη από την ονομαστική. Όταν η ταχύτητα του κινητήρα ξεπερνά την ονομαστική, για την ομαλή λειτουργία της μηχανής πρέπει η ροή του δρομέα να μειωθεί όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 5.3. Η κατάσταση αυτή ονομάζεται εξασθένηση πεδίου (field-weakening) [0.], [0.4], ενώ η λειτουργία προσανατολισμού πεδίου εξακολουθεί να ισχύει. Καθώς στην περίπτωση του μη γραμμικού ελέγχου δεν χρησιμοποιείται εκτιμητής ροής, πρέπει να καταλήξουμε σε μια διαφορετική λογική εξασθένησης πεδίου για την ασφαλή λειτουργία του κινητήρα σε υψηλές ταχύτητες. Σύμφωνα με τη λογική της εξασθένησης πεδίου που αναφέρθηκε στην παράγραφο 5.3, για ταχύτητες μεγαλύτερες της ονομαστικής θα πρέπει να ισχύει: T ω = σταθερό (0.4) em e Καθώς η μέγιστη τιμή της ροπής T em δίνεται από τη σχέση (5.3) ανάλογα με την φασική τάση του στάτη V s, τότε για να μην απορροφά η μηχανή μεγαλύτερη ισχύ από το δίκτυο πέρα από την ονομαστική P n, τότε με βάση τα ονομαστικά χαρακτηριστικά μπορούμε να ελέγχουμε το ρεύμα του στάτη I s ώστε να μην ξεπερνά 80

181 την ονομαστική τιμή I 0. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να ορίσουμε μια τιμή Is I0 για να ελέγξουμε τη μέγιστη φασική τιμή του ρεύματος στάτη I = i + i. s ds qs Για τον λόγο αυτό η δυναμικές εξισώσεις του ελεγκτή (0.35) μετασχηματίζονται ως εξής: 0 0 k ( Is Is ) 0 0 ( ω ω ) ( s s ) ( ω ω ) ( + + ) z z z k z = z 3 k z3 I I k c z z z3 (0.43) Έτσι, ο έλεγχος σε περιπτώσεις ταχυτήτων λειτουργίας μεγαλύτερες από την ονομαστική δίνεται από τις σχέσεις (0.33), (0.34) και (0.43) με την ταχύτητα ολίσθησης να δίνεται από τη σχέση (0.39). Καθώς τώρα δεν ελέγχεται ξεχωριστά το ρεύμα i ds, δεν έχουμε ακριβή προσανατολισμό πεδίου αλλά το γεγονός αυτό δεν επηρεάζει την ευστάθεια του κλειστού συστήματος όπως έχει ήδη τονιστεί. Από την άλλη πλευρά, ο έλεγχος γίνεται ακόμα πιο απλός καθώς το ρεύμα I s είναι πολύ πιο εύκολο να μετρηθεί. Για τον έλεγχο της λειτουργίας του ελεγκτή, παρουσιάζεται παρακάτω η απόκριση του συστήματος τα ίδια χαρακτηριστικά (Πίνακας ) για ταχύτητες μεγαλύτερες από ω = 57 ad / sec, η οποία αντιστοιχεί σε 500pm. Σύμφωνα με τα ονομαστικά χαρακτηριστικά επιλέχθηκε αρχικά για λόγους ασφαλείας I =.6A ενώ για τον υπολογισμό της ταχύτητας ολίσθησης ορίστηκε i =.54A. Ξεκινώντας από μια ταχύτητα ω = 60 ad / sec, τη χρονική στιγμή t = sec η επιθυμητή ταχύτητα αυξάνεται στα ω = 65 ad / sec και αντίστοιχα το ρεύμα μειώνεται στα Is =.58A και τη χρονική στιγμή t = 4sec αυξάνεται πάλι στα ω = 70 ad / sec με το ρεύμα να μειώνεται ακόμα περισσότερο στα Is =.56A. Για λόγους απλότητας παρουσιάζονται οι χρονικές αποκρίσεις του ρεύματος I s, της ροής του δρομέα κατά τον q άξονα και η ταχύτητα του δρομέα. Σε όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης η ροπή του φορτίου κρατήθηκε σταθερή στα 0.Nm. ds s 8

182 .9.8 I s (A) time (sec) α) ρεύμα στάτη I s l q (Wb) time (sec) β) ροή δρομέα κατά τον q άξονα 8

183 w (ad/sec) time (sec) γ) ταχύτητα δρομέα Σχήμα 0.7 Χρονική απόκριση συστήματος με τον μη γραμμικό έλεγχο για ταχύτητες υψηλότερες της ονομαστικής Παρατηρούμε ότι ο ελεγκτής λειτουργεί σωστά οδηγώντας τη μηχανή σε επιθυμητές ταχύτητες μεγαλύτερες της ονομαστικής, ενώ το ρεύμα του στάτη σταθεροποιείται σε σταθερή τιμή μικρότερη από την ονομαστική. Στο Σχήμα 0.7β φαίνεται η απόκριση της ροής του δρομέα κατά τον q άξονα, η οποία όπως αναμενόταν δεν είναι πάντοτε ακριβώς ίση με το μηδέν. Παρόλα αυτά, σύμφωνα με όσα έχουν αναφερθεί, δεν απαιτείται ακριβής προσανατολισμός του πεδίου με τον μη γραμμικό έλεγχο με αποτέλεσμα να μην επηρεάζει τη λειτουργία και την ανάλυσή του. Με τον τρόπο αυτό επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία του συστήματος με μια πιο απλή και εύκολη λογική από την κλασσική θεωρία που χρησιμοποιείται στην εξασθένηση πεδίου. Η υλοποίηση του ελέγχου είναι ιδιαίτερα πιο απλή και εύκολη, ενώ σε κάθε περίπτωση η ευστάθεια και η σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας είναι εγγυημένη. 83

184 0.5 Μη γραμμικός έλεγχος τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα χωρίς προσανατολισμό πεδίου Όπως αποδείχθηκε στις προηγούμενες παραγράφους, ο γενικός μη γραμμικός έλεγχος που προτάθηκε εγγυάται ευστάθεια ακόμα και όταν δεν υπάρχει πλήρης προσανατολισμός πεδίου. Το γεγονός αυτό γεννά το ερώτημα εάν μπορεί να εφαρμοστεί και εντελώς ανεξάρτητα από τη λογική του διανυσματικού ελέγχου. Στην παρούσα παράγραφο, θα μελετηθεί η πιο απλή μορφή του ελεγκτή χωρίς να απαιτείται προσανατολισμός πεδίου η οποία οδηγεί σε ακριβή έλεγχο ταχύτητας με ευσταθή συμπεριφορά Σύστημα κλειστού βρόχου Θα μελετηθεί η περίπτωση λειτουργίας το κινητήρα σε ταχύτητες μικρότερες από την ονομαστική, ώστε να μην χρειαστεί η περίπτωση εξασθένησης πεδίου, ενώ καθώς δεν επιθυμούμε προσανατολισμό πεδίου, τότε η μόνη μέτρηση που θα χρησιμοποιηθεί θα είναι της ταχύτητας. Για τον λόγο αυτό, η μία από τις δύο μεταβλητές ελέγχου τίθεται ίση με το μηδέν και η πλήρης έλεγχος δίνεται από τη σχέση: m = 0 (0.44) ds mqs = z (0.45) 0 k ( ω ω ) ( ω ω ) ( + ) z z = z k c z z z (0.46) ο οποίος ταυτίζεται με τη γενική μορφή του μη γραμμικού ελέγχου που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7. Η ακτίνα του επιθυμητού κύκλου επιλέγεται πάλι = 0.5 για λειτουργία στην περιοχή γραμμικής διαμόρφωσης. Στην περίπτωση αυτή, καθώς δεν απαιτείται προσανατολισμός πεδίου, η ολίσθηση s μπορεί να θεωρηθεί σταθερή, κι επομένως η σύγχρονη ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: pω ω e = s (0.47) Είναι προφανές ότι η προτεινόμενος ελεγκτής είναι πλήρως ανεξάρτητος από τις παραμέτρους του συστήματος, ενώ χρησιμοποιεί μόνο τη μέτρηση της ταχύτητας, οδηγώντας σε απλοποιημένη σχεδίαση. 84

185 Εφαρμόζοντας τον έλεγχο (0.44)-(0.46) με τη σύγχρονη ταχύτητα (0.47) στο πλήρες σύστημα οδήγησης της τριφασικής ασύγχρονης μηχανής και αφού οι καταστάσεις z και z έχουν συγκλίνει στην περιφέρεια του επιθυμητού κύκλου, το σύστημα κλειστού βρόχου στο οποίο καταλήγουμε δίνεται στη γενική μορφή (6.) με: M 07 M = 0 7 I, R 07 R T T =, g = g, σ pω Lm pλq s L σ pω L m pλq 0 z 0 0 s L spω ( sl ) spω ( sl ) J = Lm L m pλq pλq L L z k ( ω ω ) k ( ω ω ) 0 όπου οι πίνακες M, R και g δίνονται στην παράγραφο Η Hamiltonian του συστήματος δίνεται από τη σχέση: T H ( x ) = x Mx (0.48) όπου x = ids iqs λd λq ω i Vdc z z είναι το διάνυσμα κατάστασης του κλειστού βρόχου. Ομοίως με τις προηγούμενες περιπτώσεις, ο πίνακας M είναι διαγώνιος και θετικά ορισμένος, ο πίνακας J είναι αντι-συμμετρικός και ο πίνακας R είναι συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος. Είναι προφανές ότι με την εφαρμογή του συγκεκριμένου ελέγχου όλες οι Υποθέσεις που αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο 8 ισχύουν οδηγώντας σε ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου και σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. T 85

186 0.5. Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε φαίνεται στο Σχήμα 0.8. Η διάταξη αποτελείται από μια τριφασική πηγή 0/380V, έναν τριφασικό ανορθωτή με διόδους, μια διασύνδεση ΣΡ, έναν τριφασικό αντιστροφέα, ένα τριφασικό LC φίλτρο (το οποίο δεν έχει συμπεριληφθεί στην ανάλυση για λόγους απλοποίησης) και έναν τριφασικό ασύγχρονο κινητήρα συνδεδεμένο με το φορτίο του. Ο αντιστροφέας PS05-A ισχύος.5kw είναι της εταιρείας Mitsubishi [0.8], ο κινητήρας ισχύος.5kw είναι της εταιρείας Leoy-Some [0.9] ενώ για την εύκολη μεταβολή της ροπής του φορτίου έχει χρησιμοποιηθεί η συσκευή ενεργού φορτίου (active load) της ίδιας εταιρείας. Η υλοποίηση του ελεγκτή γίνεται στο περιβάλλον LabView ενώ μέσω συσκευών της National Instuments [0.0] αποστέλλονται οι παλμοί στη διάταξη του αντιστροφέα. Για το σύστημα μεταφοράς δεδομένων χρησιμοποιείται μια κάρτα PCIe-63 της National Instuments (NI) ενώ το λειτουργικό που χρησιμοποιείται είναι το NI LabView το οποίο παρέχει ένα εύκολο και εύχρηστο περιβάλλον για τον χρήστη. Τα δεδομένα από τη μετρούμενη ταχύτητα του μετατροπέα μεταφέρονται μέσω της PCI κάρτας και της πλακέτας διασύνδεσης στον υπολογιστή και ο προτεινόμενος έλεγχος δημιουργεί τα κατάλληλα PWM σήματα σε διακοπτική συχνότητα των khz τα οποία αποστέλλονται από τις ψηφιακές εξόδους (Digital I/O) στο κύκλωμα οδήγησης του αντιστροφέα. τριφασικός ανορθωτής διόδων + τριφασικός αντιστροφέας διασύνδεση ΣΡ περιβάλλον Labview υλικό NI τριφασικός επαγωγικός κινητήρας τριφασικό LC φίλτρο ενεργό φορτίο Σχήμα 0.8 Πειραματική διάταξη συστήματος ελέγχου τριφασικού ασύγχρονου κινητήρα 86

187 0.5.3 Αποτελέσματα εφαρμογής ελέγχου Για την επαλήθευση της ορθής λειτουργίας του ελέγχου, το σύστημα ελέγχου του τριφασικού κινητήρα που περιγράφηκε στην πειραματική διάταξη προσομοιώθηκε με παραμέτρους τις ίδιες που περιγράφονται στον Πίνακα. Το σενάριο που εξετάστηκε αφορά τον έλεγχο ταχύτητας του κινητήρα σε διάφορες μεταβολές του σήματος αναφοράς. Ξεκινώντας από την ταχύτητα ω = 900pm, τη χρονική στιγμή t = 0sec η επιθυμητή ταχύτητα αυξάνει στα ω = 00pm και τέλος τη χρονική στιγμή t = 30sec η επιθυμητή ταχύτητα μειώνεται στα ω = 600pm. Σε όλη τη διάρκεια, το κέρδος του ελεγκτή επιλέχθηκε k = 0.005sec/ ad και η ολίσθηση s = 0.0. Καθώς η μόνη μεταβλητή που χρειάζεται να μετρηθεί είναι η ταχύτητα του κινητήρα, στο Σχήμα 0.9 φαίνεται η απόκριση του σήματος της ταχύτητας ως αποτέλεσμα της προσομοίωσης και της πειραματικής εφαρμογής. 500 simulation expeiment moto speed (pm) time (sec) Σχήμα 0.9 Χρονική απόκριση της ταχύτητας της μηχανής με τον μη γραμμικό ελεγκτή Από το Σχήμα 0.9 παρατηρούμε ότι τα πειραματικά αποτελέσματα ταυτίζονται με τα αντίστοιχα θεωρητικά και ο μη γραμμικός έλεγχος ταχύτητας οδηγεί ακριβώς το σύστημα σε κάθε επιθυμητή τιμή. Η ευστάθεια και η σύγκλιση στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας επιβεβαιώνει τη θεωρητική ανάλυση του ελέγχου. Συγκρίνοντας την απόκριση αυτή με την αντίστοιχη της παραγράφου 0.3.4, παρατηρούμε ότι στην 87

188 περίπτωση του μη γραμμικού ελέγχου με λογική προσανατολισμένου πεδίου, η μεταβατική απόκριση του συστήματος είναι αρκετά πιο γρήγορη από την περίπτωση αυτή, επιβεβαιώνοντας τη θεωρία του διανυσματικού ελέγχου. Παρόλα αυτά, καθώς στην περίπτωση χωρίς προσανατολισμό πεδίου, η μόνη μεταβλητή ελέγχου που απαιτείται είναι η ταχύτητα της μηχανής και ο ελεγκτής είναι αρκετά πιο απλός στη σχεδίαση, η υλοποίησή του σε ένα πραγματικό σύστημα είναι ιδιαίτερα πιο εύκολη. 0.6 Σύνοψη-Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφηκε μια νέα θεωρία ελέγχου στροφών για έναν τριφασικό ασύγχρονο κινητήρα. Βασιζόμενοι στη βασική θεωρία του διανυσματικού ελέγχου, η οποία αναπτύχθηκε διεξοδικά, προτείναμε έναν νέο μη γραμμικό ελεγκτή, ο οποίος διατηρεί τη γενική μορφή του μη γραμμικού ελέγχου όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7 και ο οποίος εγγυάται ευσταθή λειτουργία και προσανατολισμό πεδίου στη μόνιμη κατάσταση. Ο προτεινόμενος έλεγχος συγκρίθηκε με τον κλασσικό διανυσματικό έλεγχο από όπου και φάνηκε η ανωτερότητα του μη γραμμικού ελέγχου. Στη συνέχεια, ο ίδιος έλεγχος επεκτάθηκε και σε περιπτώσεις εξασθένησης πεδίου ενώ τέλος η λογική του ελέγχου οδήγησε σε μια απλή μορφή του ίδιου ελεγκτή χωρίς να απαιτείται καθόλου προσανατολισμός πεδίου. Σε κάθε περίπτωση, η ισχυρή μαθηματική ανάλυση που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 7 εγγυάται ευσταθή συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου. 0.7 Αναφορές [0.] B. K. Bose, Moden Powe Electonics and AC Dives, Uppe Saddle Rive, NJ: Pentice-Hall, 00. [0.] D.W. Novotny, and T.A. Lipo, Vecto Contol and Dynamics of AC Dives, Oxfod Univesity Pess, USA, 996. [0.3] E. D. Mitonikas and A. N. Safacas, An impoved sensoless vecto contol method fo an induction moto dive, IEEE Tans. Ind. Electon., vol. 5, no. 6, pp , Dec [0.4] A. M. Tzynadlowski, Contol of Induction Motos, Academic Pess, st Edition, 000. [0.5] N. P. Quang, and J.-A. Dittich, Vecto Contol of Thee-Phase AC Machines: System Development in the Pactice (Powe Systems), Spinge, st Edition, 008. [0.6] P. C. Kause, O. Wasynczuk, and S. D. Sudhoff, Analysis of Electic Machiney and Dive Systems, Wiley IEEE Pess, nd Edition, 00. [0.7] P. A. S. De Wit, R. Otega, and I. Maeels, Indiect Field-oiented Cotol of Induction Moto is Robustly Globally Stable, in Automatica, vol. 3, No. 0, pp ,

189 [0.8] W.-J. Wang, and J.-Y. Chen, Compositive Adaptive Position Contol of Induction Motos Based on Passivity Theoy, in IEEE Tansactions on Enegy Convesion, vol. 6, No., pp , June 00. [0.9] G. W. Chang, J. P. Hespanha, A. S. Mose, M. S. Netto and R. Otega, Supevisoy field-oiented contol of induction motos with uncetain oto esistance, in Int. Jounal of Adaptive Contol and Signal Pocessing, vol. 5, pp , 00. [0.0]R. Reginatto, and A. S. Bazanella, Robustness of Global Asymptotic Stability in Indiect Field-Oiented Contol of Induction Motos, in IEEE Tansactions on Automatic Contol, vol. 48, No. 7, pp. 8-, July 003. [0.]H. A. Toliyat, E. Levi, and M. Raina, A Review of RFO Induction Moto Paamete Estimation Techniques, in IEEE Tansactions on Enegy Convesion, vol. 8, No., pp. 7-83, June 003. [0.]M. N. Mawali, A. Keyhani, and W. Tanaka, Implementation of Indiect Vecto Contol on an Integated Digital Signal Pocesso-Based System, in IEEE Tansactions on Enegy Convesion, vol. 4, No., pp , June 999. [0.3]R. Otega, P. J. Nicklasson, and G. Epsinosa-Peez, On Speed Contol of Induction Motots, in Automatica, vol. 3, No. 3, pp , 996. [0.4]S. Peesada, A. Tonielli, and R. Moici, High-pefomance indiect fieldoiented output-feedback contol of induction motos, in Automatica, vol. 35, pp , 999. [0.5]D. Kaagiannis, A. Astolfi, R. Otega, and M. Hilaiet, A Nonlinea Tacking Contolle fo Voltage-Fed Induction Motos With Uncetain Load Toque, in IEEE Tansactions on Contol Systems Technology, vol. 7, No. 3, pp , May 009. [0.6]P. J. Nicklasson, R. Otega, and G. Espinosa-Peez, Passivity-Based Contol of a Class of Blondel-Pak Tansfomable Electic Machines, in IEEE Tansactions on Automatic Contol, vol. 4, No. 5, pp , May 997. [0.7]S. Peesada, and A. Tonielli, High-pefomance obust speed-flux tacking contolle fo induction moto, in Int. Jounal of Adaptive Contol and Signal Pocessing, vol. 4, pp , 000. [0.8] [0.9] [0.0] 89

190 90

191 Κεφάλαιο Εφαρμογή μη γραμμικού ελέγχου στις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας. Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια έχει γίνει μια μεγάλη στροφή της έρευνας προς τις ανανεώσιμες πηγές ενέργειας (ΑΠΕ) κυρίως εξαιτίας περιβαλλοντικών λόγων. Από τη σκοπιά του ηλεκτρολόγου μηχανικού, οι βασικές κατηγορίες ΑΠΕ είναι τα φωτοβολταϊκά και τα αιολικά συστήματα. Τα φωτοβολταϊκά συστήματα περιλαμβάνουν μετατροπές ισχύος ΣΡ/ΣΡ και αντιστροφείς ΣΡ/ΕΡ και η λειτουργία των συστημάτων αυτών εστιάζεται στη μετατροπή και στη διαχείριση της ενεργού και άεργου ισχύος. Στα αιολικά συστήματα χρησιμοποιούνται κυρίως πλήρη συστήματα μετατροπέων ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ, ενώ με την εφαρμογή της τεχνολογίας μηχανών μεταβλητών στροφών, βασικό ρόλο σε αυτά τα συστήματα παίζει η ρύθμιση της ταχύτητας της ανεμογεννήτριας [.], [.]. Και στις δύο κατηγορίες συστημάτων ΑΠΕ, ο βασικός στόχος είναι η μέγιστη απομάστευση ισχύος με ευσταθή λειτουργία στα πλαίσια που έχει θέσει ο διαχειριστής δικτύου. Για την επίτευξη αυτού του στόχου, η έρευνα στις μέρες μας έχει στραφεί στο σχεδιασμό κατάλληλων ελεγκτών που θα ικανοποιούν τις παραπάνω προδιαγραφές. Οι μέθοδοι ελέγχου που έχουν αναπτυχθεί στην παρούσα διατριβή είναι κατάλληλοι τόσο για τις απαιτήσεις των φωτοβολταϊκών συστημάτων όσο και για των αιολικών. Θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι τα συστήματα που μελετήθηκαν στο Κεφάλαιο 8 μπορούν να περιγράψουν σε απλή μορφή κάποια φωτοβολταϊκά συστήματα όπου η τάση εισόδου του μετατροπέα ΣΡ/ΣΡ ανύψωσης τάσης παρέχεται από μία συστοιχία φωτοβολταϊκών πλαισίων και το δυναμικό φορτίο στη έξοδό του μπορεί να περιγράφει ένα οικιακό φορτίο. Επειδή, όμως, το αντίστοιχο πρόβλημα του ελέγχου στα αιολικά συστήματα είναι πολύ πιο εκτεταμένο και σύνθετο, λόγω της ηλεκτρομηχανικής μετατροπής, η έρευνα στο πεδίο αυτό παρουσιάζει μεγαλύτερο ενδιαφέρον ενώ επίσης έρχεται κοντά στο στόχο της παρούσας διατριβής. Στο κεφάλαιο αυτό, λοιπόν, θα αναπτυχθεί η βασική θεωρία στην οποία βασίζεται η λειτουργία των ανεμογεννητριών και στη συνέχεια θα μελετηθεί η ασύγχρονη γεννήτρια βραχυκυκλωμένου κλωβού (squiel-cage induction geneato SCIG) συνδεδεμένη στο δίκτυο μέσω πλήρους μετατροπέα ΕΡ/ΣΡ/ΕΡ. Χρησιμοποιώντας το 9

192 πλήρες μοντέλο της ανεμογεννήτριας με τους μετατροπείς ισχύος, θα εξεταστεί η εφαρμογή του μη γραμμικού ελέγχου στη γενική μορφή που περιγράφηκε στα Κεφάλαια 7 και 0 μέσα από εκτενείς προσομοιώσεις.. Γενική θεωρία και χαρακτηριστικά ανεμογεννητριών.. Αιολική ενέργεια και δομή ανεμογεννητριών Βασικός στόχος της ανεμογεννήτριας είναι η εκμετάλλευση της κινητικής ενέργειας του ανέμου για παραγωγή ενέργειας. Αρχικά, η αιολική ενέργεια μετατρέπεται σε μηχανική και στη συνέχεια σε ηλεκτρική ενέργεια. Η συνεχώς αυξανόμενη τεχνολογία στην κατασκευή ανεμογεννητριών οδηγεί σε όλο μεγαλύτερες ανεμογεννήτριες τόσο ως προς το μέγεθος όσο και ως προς την παραγόμενη ισχύ. Δύο είναι οι βασικές κατηγορίες ανεμογεννητριών ως προς τη μορφή τους: οι ανεμογεννήτριες οριζόντιου και κατακόρυφου άξονα. Στις ανεμογεννήτριες κατακόρυφου άξονα, ο άξονας περιστροφής τους είναι κάθετος ως προς το έδαφος και κατακόρυφος ως προς τη ροή του ανέμου. Στην περίπτωση αυτή, η μηχανή δεν χρειάζεται να προσανατολιστεί ως προς τον άνεμο για να είναι αποτελεσματική ενώ συνήθως τοποθετούνται κοντά στο έδαφος οδηγώντας σε μια απλή και οικονομική κατασκευή, ενώ επιπλέον όταν χρησιμοποιείται σύγχρονη γεννήτρια, ο έλεγχος βήματος πτερυγίου δεν είναι απαραίτητος. Παρόλα αυτά, οι ανεμογεννήτριες κατακόρυφου άξονα παρουσιάζουν σημαντικά μειονεκτήματα καθώς πολλές φορές δεν είναι δυνατό να ξεκινήσουν να περιστρέφονται χωρίς εξωτερική παρέμβαση, καθώς η ροπή εκκίνησής τους είναι πολύ υψηλή. Επιπλέον, σε χαμηλά ύψη οι ταχύτητες του ανέμου δεν είναι ιδιαίτερα υψηλές, γεγονός που μειώνει αρκετά τη συνεισφορά τους. Αντίθετα, οι ανεμογεννήτριες οριζόντιου άξονα κατέχουν τη συντριπτική πλειοψηφία των ανεμογεννητριών στις μέρες μας. Ο λόγος είναι ότι δεν απαιτούν ιδιαίτερα υψηλές ταχύτητες ανέμου για να εκκινήσουν, παρουσιάζουν υψηλό αεροδυναμικό συντελεστή και εύκολη συναρμολόγηση. Το βασικό μειονέκτημά τους είναι ότι τόσο η γεννήτρια όσο και το κιβώτιο ταχυτήτων πρέπει να τοποθετηθούν πάνω στον πύργο, γεγονός που δυσκολεύει την τοποθέτησή τους και αυξάνει σημαντικά το κόστος κατασκευής. Επιπλέον, οι ανεμογεννήτριες χωρίζονται και ανάλογα με τον αριθμό των πτερυγίων. Οι μονοπτέρυγες και οι διπτέρυγες, αν και φθηνές στην κατασκευή, δεν χρησιμοποιούνται είτε για λόγους αισθητικούς είτε λόγω προβλημάτων στην εξισορρόπηση δυνάμεων στην κατασκευή. Οι τριπτέρυγες είναι αυτές που χρησιμοποιούνται ευρέως και ο λόγος είναι γιατί είναι πιο σταθερές καθώς το αεροδυναμικό φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα και το μηχανικό φορτίο εξισορροπείται. Ανεμογεννήτριες με περισσότερα πτερύγια προτιμούνται σε 9

193 εφαρμογές όπου χρειάζεται μεγαλύτερη ροπή εκκίνησης αλλά παρουσιάζουν περισσότερες αεροδυναμικές απώλειες σε σχέση με τις τριπτέρυγες. Αναφερόμενοι στην πιο ευρέως διαδεδομένη μορφή ανεμογεννήτριας, η οποία είναι οριζόντιου άξονα με τρία πτερύγια, η δομή της φαίνεται στο Σχήμα.. Σχήμα. Δομή ανεμογεννήτριας [.3] Όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήμα, η ανεμογεννήτρια αποτελείται από: τον άξονα χαμηλών και υψηλών στροφών, το κιβώτιο ταχυτήτων, τη γεννήτρια, το φρένο, τον μηχανισμό περιστροφής της ατράκτου, το μηχανισμό ελέγχου βήματος πτερυγίου, το ανεμόμετρο, τον ανεμοδείκτη και τον ηλεκτρονικό ελεγκτή. Ο άξονας χαμηλών στροφών είναι ο άξονας του ρότορα του ανεμοκινητήρα και συνδέεται με τον άξονα υψηλών στροφών, ο οποίος αποτελεί το δρομέα της μηχανής, μέσω του κιβωτίου ταχυτήτων. Το ανεμόμετρο και ο ανεμοδείκτης είναι όργανα μέτρησης της ταχύτητας και της κατεύθυνσης του ανέμου αντίστοιχα... Χαρακτηριστικά στοιχεία ανεμογεννήτριας Ένα πολύ σημαντικό κομμάτι για τον έλεγχο της ανεμογεννήτριας είναι η κατανόηση των στοιχείων του ανέμου και πως αυτά επηρεάζουν τα χαρακτηριστικά στοιχεία της ανεμογεννήτριας [.4]. Αν θεωρήσουμε μια αέρια μάζα m στιγμιαίας ταχύτητας vt (), τότε η κινητική ενέργεια του ανέμου είναι: Wk () t = mv () t (.) Θεωρώντας A το εμβαδόν της επιφάνειας που διαπερνά κάθετα ο άνεμος και ρ την πυκνότητα της αέριας μάζας, τότε η ανά μονάδα χρόνου μάζα του αέρα είναι: m() t = ρ Av() t (.) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (.) και (.), λαμβάνουμε τη στιγμιαία ισχύ του ανέμου: 93