Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς & μπλοκ διαγράμματα σύνθετων συστημάτων Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε Σ. Βασιλειάδου, svasil@teipir.gr Καθηγήτρια Εφαρμογών Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε

2 Σκοποί ενότητας Πεδίο χρόνου και πεδίο Laplace: Έννοιες Συνάρτηση μεταφοράς συστήματος μέσω μετασχηματισμού Laplace Αναπαράσταση σύνθετων συστημάτων με χρήση μπλοκ διαγραμμάτων -- υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς τους 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Ορισμός και έννοια μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace Μετασχηματισμοί Laplace βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση μεταφοράς Συνάρτηση Μεταφοράς Παράδειγμα σε κύκλωμα RLC 3

4 Περιεχόμενα ενότητας Χαρακτηριστικές ιδιότητες συνάρτησης μεταφοράς Εύρεση συνάρτησης μεταφοράς μηχανικού συστήματος Ολική συνάρτηση μεταφοράς Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Μπλοκ σε σειρά και μπλοκ παράλληλα Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου Μετακινήσεις κόμβων/αθροιστών Εφαρμογή σε σύνθετα συστήματα: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα 5

6 Μετασχηματισμος Laplace Ορισμός και έννοια 6

7 Ορισμός και έννοια Έστω μια συνάρτηση εισόδου f(t) όχι απαραίτητα περιοδική. O μετασχηματισμός Laplace για την f(t): L[f(t)]=F(s)= 0 f t e s t dt Μεταβλητή ΔΕΝ είναι ο χρόνος αλλά ο μιγαδικός αριθμός s=σ+j ω. 7

8 Ορισμός και έννοια Έστω μια συνάρτηση εισόδου f(t) όχι απαραίτητα περιοδική. O μετασχηματισμός Laplace για την f(t): L[f(t)]=F(s)= 0 f t e s t dt Μεταβλητή ΔΕΝ είναι ο χρόνος αλλά ο μιγαδικός αριθμός s=σ+j ω. Πως «αναλύεται», λοιπόν, η f(t) ; Βάση: e s t = e (σ+j ω) t =e σ t (cos ω t + j sin ω t ) e -σ t σ>0 ω t 8

9 Ορισμός και έννοια Πως μεταβαίνουμε από το πεδίο Laplace και την F(s) στο πεδίο του χρόνου και την f(t); Με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace που εφαρμόζεται στην F(s): L 1 F s = f t = 1 σ+jω 2πj F(s) e st ds σ jω Αλλά: ΠΙΝΑΚΕΣ με f(t) F(s) για πολλές βασικές και χρήσιμες συναρτήσεις. 9

10 Μετασχηματισμος Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμού 10

11 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace 11

12 Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμοί Laplace βασικών συναρτήσεων 12

13 Μετασχηματισμοί Laplace βασικών Συναρτήσεων 13

14 Συμπεράσματα 14

15 Συμπεράσματα Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για συνάρτηση εισόδου γενικής μορφής και υπολογίζεται είτε από το ολοκλήρωμα (σπάνια) είτε από τους ΠΙΝΑΚΕΣ μετατροπών (συχνότατα). 15

16 Συμπεράσματα Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για συνάρτηση εισόδου γενικής μορφής και υπολογίζεται είτε από το ολοκλήρωμα (σπάνια) είτε από τους ΠΙΝΑΚΕΣ μετατροπών (συχνότατα). Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace παρατηρούμε ότι οι παράγωγοι k-τάξης σήματος x(t) σε μια γραμμική Δ.Ε. μετατρέπονται σε s k X(s) για μηδενικές αρχικές συνθήκες όπου Χ(s) το σήμα στο πεδίο Laplace. 16

17 Συμπεράσματα Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για συνάρτηση εισόδου γενικής μορφής και υπολογίζεται είτε από το ολοκλήρωμα (σπάνια) είτε από τους ΠΙΝΑΚΕΣ μετατροπών (συχνότατα). Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace παρατηρούμε ότι οι παράγωγοι k-τάξης σήματος x(t) σε μια γραμμική Δ.Ε. μετατρέπονται σε s k X(s) για μηδενικές αρχικές συνθήκες όπου Χ(s) το σήμα στο πεδίο Laplace. Άρα με χρήση μετασχηματισμού Laplace μια Δ.Ε. γίνεται αλγεβρική σχέση (στο πεδίο Laplace. 17

18 Εφαρμογή σε ηλεκτρικά κυκλώματα Ηλεκτρικό Στοιχείο G με είσοδο ρεύμα i(t) L I(s) G R => U R t = R i(t) L U R s = R I(s) G L => U L t = L d dt i t L U L s = L s I s, για i 0 = 0 G C => U C t = 1 C idt => U C s = 1 C s I s, για i 0 = 0 18

19 Εφαρμογή σε ηλεκτρικά κυκλώματα Ηλεκτρικό Στοιχείο G με είσοδο ρεύμα i(t) L I(s) G R => U R t = R i(t) L U R s = R I(s) G L => U L t = L d dt i t L U L s = L s I s, για i 0 = 0 G C => U C t = 1 C idt => U C s = 1 C s και για το κύκλωμα RL I s, για i 0 = 0 R i(t)+l d i t dt = e(t)=> R I(s)+L s I(s)=E(s) =>I(s)= 1 R+s L E(s) => i(t)= L-1 [I(s)] 19

20 Συνάρτηση Μεταφοράς 20

21 Συνάρτηση Μεταφοράς Με χρήση του μετ/μού Laplace γενικεύεται η έννοια της αρμονικής συνάρτησης μεταφοράς για εισόδους όχι αποκλειστικά ημιτονοειδείς. Έστω σύστημα G περιγραφόμενο από τη Δ.Ε.: d n dt n y t + α n 1 dn 1 dt n 1 y t + + α 1 d dt y t + α 0 y t με u(t) είσοδο, y(t) έξοδο και m n. = b 0 u t + b 1 d dt u t + + b m dm dt m u t Αν αρχικές συνθήκες μηδενικές, και επειδή s k x(s) dk dt k x(t) Y(s) U(s) = b m s m +b m 1 s m 1 +b 1 s+b 0 s n +α n 1 s n 1 + +α 1 s+α 0 [τσεκάρετε χιαστί!] 21

22 Συνάρτηση Μεταφοράς Αν αρχικές συνθήκες μηδενικές, και επειδή s k x(s) dk dt k x(t) Y(s) U(s) = b m s m +b m 1 s m 1 +b 1 s+b 0 s n +α n 1 s n 1 + +α 1 s+α 0 [τσεκάρετε χιαστί!] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Παρατηρήσατε ότι η σχέση αυτή αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση μεταβολής της εξόδου σε σχέση με την είσοδο. Παρατηρήσατε ότι η σχέση αυτή εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά μεγέθη του συστήματος που αντιστοιχούν στους συντελεστές α i και b j. 22

23 Συνάρτηση μεταφοράς Παράδειγμα σε κύκλωμα RLC 23

24 Συνάρτηση μεταφοράς Παράδειγμα με RLC Διαφορική εξίσωση κυκλώματος 1 C i(t) u c (t) + R i t u R (t) + L di(t) dt u L (t) = e(t) (1) 24

25 Συνάρτηση μεταφοράς Παράδειγμα με RLC Διαφορική εξίσωση κυκλώματος 1 C i(t) u c (t) + R i t u R (t) + L di(t) dt u L (t) = e(t) (1) Για μηδενικές αρχικές συνθήκες ο μετασχηματισμός Laplace της Δ.Ε. (1) θα δίνει: (1) L 1 s C I s + R I s + s L I s = E s => => I(s) E(s) = C s L C s 2 +R C s+1 (2) 25

26 Συνάρτηση μεταφοράς Παράδειγμα με RLC Αλλά U C s = 1 C s I s, το οποίο σε συνδυασμό με την (2): (2)=> I(s)/C s E(s) = 1 LCs 2 +RCs+1 (3) U c (s) E(s) = 1/LC s 2 +(R/L)s+1/LC (4) Από τι εξαρτάται η συνάρτηση μεταφοράς U c (s) E(s) του παραπάνω κυκλώματος; 26

27 Συνάρτηση Μεταφοράς Χαρακτηριστικές Ιδιότητες 27

28 Χαρακτηριστικές Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς Y(s) U(s) = b ms m +b m 1 s m 1 +b 1 s+b 0 s n +α n 1 s n 1 + +α 1 s+α 0 = G s = P(s) Q(s) U(s): είσοδος, Y(s): έξοδος Q(s): χαρακτηριστικό πολυώνυμο Q(s)=0 οι λύσεις s = p 1, s = p 2,, s = p n με p 1,...,p n πραγματικούς ή ζεύγη μιγαδικών αριθμών. Οι p 1,...,p n είναι οι πόλοι του συστήματος: Το βασικότερο μέγεθος για τον καθορισμό της συμπεριφοράς της απόκρισης του σε κάποια διέγερση. 28

29 Χαρακτηριστικές Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς P(s)=0 m λύσεις s=z 1, s= z 2,, s=z m που ονομάζονται μηδενιστές ή ρίζες του συστήματος «n-οστή τάξη Δ.Ε. n πόλοι σύστημα n ου βαθμού(ή τάξης)» Απεικόνιση πόλων και μηδενιστών στο μιγαδικό επίπεδο (ή Im-Re επίπεδο) p 3, p 4 συζυγείς μιγαδικοί πόλοι, z 3, z 4 συζυγείς μιγαδικοί μηδενιστές z 3 p 3 Im z 2 p 2 p 1 z 1 p 5 z 4 p 4 Re 29

30 Παράδειγμα: Εύρεση συνάρτησης μεταφοράς μηχανικού συστήματος 30

31 Παράδειγμα: Εύρεση συνάρτησης μεταφοράς μηχανικού συστήματος Παράδειγμα 2: Μηχανικό Σύστημα Δ.Ε.: m d2 y t + B d y t + ky t = dt 2 dt f(t) Laplace: ms 2 Y s + BsY s + ky s = F s Συν. Μεταφοράς: Y(s) = 1 F(s) ms 2 +Bs+k 31

32 Ολική συνάρτηση μεταφοράς 32

33 Ολική συνάρτηση μεταφοράς Συνάρτηση Μεταφοράς = σχέση εξόδου εισόδου συστήματος G με αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο Laplace (αντί διαφορικής εξίσωσης στο πεδίο του χρόνου!) 33

34 Ολική συνάρτηση μεταφοράς Συνάρτηση Μεταφοράς = σχέση εξόδου εισόδου συστήματος G με αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο Laplace (αντί διαφορικής εξίσωσης στο πεδίο του χρόνου!) Συνδυάζοντας συναρτήσεις μεταφοράς διαφόρων συστημάτων που σχηματίζουν ένα γενικευμένο σύστημα, μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του γενικευμένου/σύνθετου συστήματος. 34

35 Ολική συνάρτηση μεταφοράς Συνάρτηση Μεταφοράς = σχέση εξόδου εισόδου συστήματος G με αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο Laplace (αντί διαφορικής εξίσωσης στο πεδίο του χρόνου!) Συνδυάζοντας συναρτήσεις μεταφοράς διαφόρων συστημάτων που σχηματίζουν ένα γενικευμένο σύστημα, μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του γενικευμένου/σύνθετου συστήματος. Για τούτο υπάρχουν εύκολοι κανόνες που θα δούμε παρακάτω 35

36 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος Κινητήρας συνεχούς ρεύματος 36

37 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος J: Αδράνεια άξονα B: Τριβή περιστροφής (έδρανα κλπ) M: Παραγόμενη ροπή 1 u 1 (t): Τάση εισόδου ω: Ταχύτητα εξόδου άξονα 37

38 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος J: Αδράνεια άξονα B: Τριβή περιστροφής (έδρανα κλπ) M: Παραγόμενη ροπή 1 u 1 (t): Τάση εισόδου ω: Ταχύτητα εξόδου άξονα Στάτης: u 1 t = i 1 t R 1 +L 1 d dt i 1 t L U 1 s = I 1 s R 1 +L 1 s I 1 (s) (1) 38

39 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος J: Αδράνεια άξονα B: Τριβή περιστροφής (έδρανα κλπ) M: Παραγόμενη ροπή 1 u 1 (t): Τάση εισόδου ω: Ταχύτητα εξόδου άξονα Στάτης: u 1 t = i 1 t R 1 +L 1 d dt i 1 t L U 1 s = I 1 s R 1 +L 1 s I 1 (s) (1) Πεδίο: M t = k i 1 t => M s = k I 1 (s) (2) 39

40 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος J: Αδράνεια άξονα B: Τριβή περιστροφής (έδρανα κλπ) M: Παραγόμενη ροπή 1 u 1 (t): Τάση εισόδου ω: Ταχύτητα εξόδου άξονα Στάτης: u 1 t = i 1 t R 1 +L 1 d i dt 1 t L U 1 s = I 1 s R 1 +L 1 s I 1 (s) (1) Πεδίο: M t = k i 1 t => M s = k I 1 (s) (2) Άξονας: J d ω t + Β ω t = M t => J s Ω s + B Ω s = M(s) (3) dt 40

41 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος Από U 1 s I 1 s : 1 => Ι 1 s = 1 s L 1 +R 1 U 1 s (4) ή 41

42 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος Από U 1 s I 1 s : 1 => Ι 1 s = 1 s L 1 +R 1 U 1 s (4) ή Από I 1 (s) M(s): (2) => Μ(s) = k I 1 (s) (5) ή 42

43 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος Από U 1 s I 1 s : 1 => Ι 1 s = 1 s L 1 +R 1 U 1 s (4) ή 1 Από I 1 (s) M(s): (2) => Μ(s) = k I 1 (s) (5) ή Από M(s) Ω(s): (3) = > Ω s = 1 J s+b ή M(s) (6) 43

44 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος Άρα συνολικά: Με απλά λόγια το σύνθετο σύστημα σχηματίζεται με συνδυασμό blocks από τα στοιχειώδη συστήματα! 44

45 Παράδειγμα σύνθετου ηλεκτρομηχανικού συστήματος: Κινητήρας συνεχούς ρεύματος Άρα συνολικά: Με απλά λόγια το σύνθετο σύστημα σχηματίζεται με συνδυασμό blocks από τα στοιχειώδη συστήματα! Θέλουμε ενσωμάτωση των πολλών blocks ενός σύνθετου συστήματος, σε ένα block, αυτό της ολικής συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. ΠΩΣ; 45

46 Blocks (βαθμίδες) Σε σειρά 46

47 Blocks (βαθμίδες) σε σειρά U 1 s = G 1 s U s Y s = G 2 s U 1 s Υ s = G 1 s G 2 s U s Y(s) U(s) = G 1 s G 2 s Άρα, για τον κινητήρα συνεχούς ρεύματος που είδαμε Ω(s) U 1 (s) = k (Js + Β)(sL 1 + R 1 ) 47

48 Blocks (βαθμίδες) Παράλληλα 48

49 Blocks (βαθμίδες) παράλληλα Y s = G 1 s U s + G 2 s U s Y(s) U(s) = G 1 s + G 2 (s) 49

50 Σύστημα κλειστού βρόχου 50

51 Σύστημα κλειστού βρόχου E(s) E s = U s H s Y s E s + H s Y s = U s + - Y s = G s E s G s E s + - G s H s Y s = G s U s Y s + G s H s Y s = G s U(s) - Y(s) U(s) = G(s) 1+H s G(s) - - Με κόκκινο η «ειδική» (και σπάνια) περίπτωση θετικής ανατροφοδότησης 51

52 Μετακινήσεις Κόμβων/ Αθροιστών 52

53 Μετακινήσεις Κόμβων/ Αθροιστών + 53

54 Παραδείγματα 54

55 Παραδείγματα H(s) 55

56 Παραδείγματα H(s) 56

57 Παραδείγματα Πρώτα το X(s) R(s) = C s G(s) 1+A s C s G(s) οπότε και τώρα: X s B s R s = B s C s G(s) 1+A s C s G(s) 57

58 Παραδείγματα Πρώτα το X(s) R(s) = C s G(s) 1+A s C s G(s) οπότε και τώρα: X s B s R s = B s C s G(s) 1+A s C s G(s) Άρα και Y(s) R(s) = B s C s G(s) + D(s) 1+A s C s G(s) 58

59 Εφαρμογές σε σύνθετα συστήματα Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα 59

60 Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα B: Τριβή (έδρανα, ρουλεμάν) J: Αδράνεια άξονα M: Παραγόμενη ροπή ω: Ταχύτητα περιστροφής άξονα Ω(s) U 2 (s) =?? Δρομέας: u 2 t e α t = i 2 t R 2 +L 2 d dt i 2 t L U 2 s K a Ω s = I 2 s R 2 +L 2 s I 2 s (1) Πεδίο: M t = Κ i 2 t L M s = Κ I 2 s (2) Φορτίο: J d ω t + Β ω t = M t L J s Ω s + B Ω s = M s (3) dt 60

61 Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα Άρα (1): Ι 2 s = U 2 s K α Ω(s) s L 2 +R 2 ή (2): M(s)=K I 2 (s) ή (3): Ω s = M(s) J s+b ή και τελικά 1 Ω s = U 2 (s) 1+K α s L2+R2 K 1 J s+b 1 s L2+R2 K 1 J s+b = K J L s 2 + R 2 J+B L 2 s+k K α +R 2 B 61

62 Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα Και αν θέλουμε να ελέγξουμε την ταχύτητα ω(t) του κινητήρα ανατροφοδοτώντας αυτήν και συγκρίνοντας την με μια επιθυμητή τιμή; Άρα επιπλέον μια εξίσωση: u 2 t = U d U = U d K w ω(t) 62

63 Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα ή και Ω(s) U d (s) = Ω(s) U2(s) 1+K w Ω(s) U2(s) = K J Ls 2 + R 2 J+B L 2 s+k K α +R 2 B+K K w 63

64 Κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα Φυσικά μπορεί να θέλουμε να ενισχύσουμε τη διαφορά U d U με ένα block C(s): Τότε (δείξτε το!) Ω(s) U d (s) = K C(s) J L s 2 + R 2 J + B L 2 s + K K α +R 2 B + K K w K 1 + K w C(s) J L s 2 + R 2 B + B L 2 s + K K α +R 2 B + K K w 64

65 Τέλος Ενότητας