Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος

Transcript

1 Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ (Μη-Γραμμικός Ρομποτικός Έλεγχος Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: ( (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο Web: 1 «Τοπικός» Έλεγχος (PD Ρομποτικών Αρθρώσεων (Local Joint PD control

2 «Τοπικός» Έλεγχος Ρομποτικών Αρθρώσεων Ορισμός ( ( Local PD Joint Controller: τ = KP qd q KD qd q (τοπικός έλεγχος PD e e όπου: K P =diag[k pi ] (i=1,,n και K D =diag[k Di ] (i=1,,n και e: σφάλμα παρακολούθησης τροχιάς (στις αρθρώσεις Δηλαδή: τ 1( t KP1 0 0 qd1( t q1( t KD1 0 0 qd1( t q1( t τ ( t 0 KP 0 qd( t q( t 0 KD 0 qd( t q( t = τ ( t 0 0 K q ( t q ( t 0 0 K q ( t q ( t n Pn dn n Dn dn n et ( et ( 3 Ευστάθεια Τοπικού Ρομποτικού Ελέγχου Αρθρώσεων (1 Έστω Τοπικός Έλεγχος Θέσης PD ρομποτικών αρθρώσεων ( q = 0 : ( τ = K q q K q P d D (1 d Μελέτη Ευσταθείας κατά Lyapunov Ορισμός Συνάρτησης Lyapunov: V( q, q = ( e KP e q D( q q 1 ( ( 1 V = e KP q q D q q q D q «δυναμική» ενέργεια (3 κινητική ενέργεια Αλλά (δυναμικό ρομποτικό μοντέλο: τ = Dq ( q Cqq (, q g( q (4 Θεωρώντας αμελητέα την επίδραση των όρων βαρύτητας (δηλ.: g(q=0 : Dq ( q = τ Cqq (, q (5 4

3 Δυναμικό Ρομποτικό Μοντέλο (Υπενθύμιση ( n n ( i h q i 1,..., n ijk jq = k j = 1k= 1 i= 1,..., n h( qq, = h qq, = qq, h ijk D D ( qq = 1 q q, ij jk k i ( J F τ = D( q q h(, qq g( q e όπου: με: Μπορούμε επίσης να γράψουμε: h( qq (,, = C qq q= ( Cij ( qq, q j n C (, q q = όπου: ( h ( q q ij k= 1 Αποδεικνύεται ότι η μήτρα: ( D C Δηλαδή ισχύει: ( ijk k n j= 1 i= 1,..., n είναι αντισυμμετρική n w D C w= 0, w R (6 5 Ευστάθεια Τοπικού Ρομποτικού Ελέγχου Αρθρώσεων ( d Στην περίπτωση αυτή (g(q=0 παίρνουμε για τη συνάρτηση V = [ ] dt V( q 1 (3 (5 V = e KP q q ( τ C q q D q και αντικαθιστώντας τον τοπικό ελεγκτή (1: 1 V = e KP q q ( KP e KD q C q q D q 1 ( V = q KD q q D C q Άρα: V = q K q < 0 D = 0, από σχέση (6 Ρομποτικό Σύστημα με τοπικό ελεγκτή αρθρώσεων ευσταθές, υπό την υπόθεση αμελητέας επίδρασης βαρυτικών όρων (g(q=0 6

4 Μη Γραμμικός Ρομποτικός Έλεγχος βάσει Μοντέλου 7 Ρομποτικός έλεγχος υπολογιζόμενης ροπής (computed torque (1 Computed-orque Controller τ = Dq ( u Cqq (, q g( q (έλεγχος υπολογιζόμενης ροπής (στο χώρο των αρθρώσεων u= qd KD q d q KP qd q e e όπου e: σφάλμα παρακολούθησης τροχιάς (στις αρθρώσεις ( ( (1-1 (1- Δηλαδή, τώρα έχουμε για το σήμα ελέγχου u ότι ισχύει: u1( t qd1( t KD1 0 0 q d1( t q 1( t KP1 0 0 qd 1( t q1( t u( t q d( t 0 KD 0 q d( t q ( t 0 KP 0 = qd ( t q( t u ( t q ( t 0 0 K q ( t q ( t 0 0 K q ( t q ( t n dn Dn dn n Pn et ( dn n et ( Βασική Υπόθεση: Γνωστές οι συναρτήσεις στο δυναμικό μοντέλο (D, C, g 8

5 Ρομποτικός έλεγχος υπολογιζόμενης ροπής (computed torque ( Έλεγχος υπολογιζόμενης ροπής (computed-torque controller Απόδειξη Ευσταθείας Σύστημα : τ = Dq ( q Cqq (, q g( q u= q Δυναμική εξίσωση «κλειστού βρόχου» Θέτοντας το σήμα ελέγχου u όπως στη σχέση (1- του ελεγκτή, παίρνουμε για τη δυναμική εξίσωση κλειστού βρόχου του συστήματος ρομπότ-ελεγκτής: ή Ελεγκτής : τ = Dq ( u Cqq (, q g( q ( q q K ( q q K ( q q = 0 d D d P d e=q d -q: σφάλμα παρακολούθησης τροχιάς στo χώρο των αρθρώσεων e KD e KP e= 0 Γραμμικοποιημένη δυναμική σφάλματος κλειστού βρόχου, με ασυμπτωτική συμπεριφορά γραμμικού συστήματος ης τάξης εύρος ζώνης συστήματος, δηλ. ταχύτητα μεταβατικής απόκρισης συντελεσής απόσβεσης συστήματος, «υπέρβαση» («υπερακόντιση» μεταβατικής απόκρισης 9 Ρομποτικός έλεγχος υπολογιζόμενης ροπής (computed torque (3 Ο έλεγχος υπολογιζόμενης ροπής αποτελεί εφαρμογή της τεχνικής μη γραμμικού ελέγχου «γραμμικοποίησης μέσω ανατροφοδότησης» (feedback linearization Σύστημα ης τάξης (μη γραμμική δυναμική εξόδου: y= f( y, y g( y, y v (Σ Ελεγκτής C (γραμμικοποίηση μέσω ανάδρασης εξόδου: v = g 1 ( y, y [ u f( y, y ] Ελεγκτής C 1 (γραμμικός ελεγκτής, σήμα ελέγχου u: u = yd KD e KP e (Σ (όπου: e = y d y e KD e KP e= 0 δυναμική σφάλματος (C 1 κλειστού βρόχου (C C C Γραμμικοποιημένο 1 Σύστημα (C 1 (C y d e Γραμμικοποίηση Γραμμικός Ελεγκτής u v μέσω ανάδρασης Σύστημα y 10

6 Μη Γραμμικός Έλεγχος στον (Καρτεσιανό Χώρο Εργασίας 11 Δυναμική ρομποτικού χειριστή (1 Δυναμικό μοντέλο ρομποτικού χειριστή (υπενθύμιση: όπου και D( q q h( q, q = τ (Δ1 (στο χώρο των γενικευμένων μεταβλητών q i των αρθρώσεων D: μήτρα αδρανείας ρομπότ h: όροι Coriolis και φυγοκέντρου δυνάμεως τ: ροπές (γενικευμένες μεταβλητές δράσης στις αρθρώσεις J: Ιακωβιανή μήτρα του ρομπότ Μοντέλο Lagrange : Μοντέλο Newton-Euler : τ = i d dt K K P q q q fi = mv i i i i ci N = I I ω ω ( ciω i ci i i i K: κινητική ενέργεια P: δυναμική ενέργεια 1

7 Δυναμική ρομποτικού χειριστή ( Δυναμικό μοντέλο ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (task-space: * * D p h = F a όπου D * : μήτρα αδρανείας ρομπότ στο χώρο εργασίας h * : όροι Coriolis και φυγοκέντρου δυνάμεως στο χώρο εργασίας F a : (τ=j F a γενικευμένη δύναμη στο χώρο εργασίας οφειλόμενη στη δράση (έλεγχος των επενεργητών του ρομπότ Έχουμε: p = J q p= J q J q 1 1 και (Δ1: D q h= J Fa q D h= ( D J Fa 1 1 Jq JD h= JD J F Επομένως τελικά: και (Δ-α ( ( a * 1 1 D = Q με Q= ( J D J * * 1 * h = ( D J D h D J q (Δ-β 13 Δυναμικός έλεγχος στο χώρο εργασίας του ρομποτικού χειριστή (1 Επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά (κλειστού βρόχου ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (γραμμική δυναμική σφάλματος ( pd p D( p d p P( pd p Δυναμική εξίσωση ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (Δ-α: * * D p h = F a Δυναμικός ελεγκτής (βάσει μοντέλου στον Καρτεσιανό χώρο εργασίας βασισμένος στη μεθοδολογία ελέγχου υπολογιζόμενης ροπής (computed-torque control τ = J F F u h a * a = D K K = 0 * (Ε ( K ( u= p K p p p p d D d P d ( u= p : εξίσωση κλειστού βρόχου με το σήμα ελέγχου u να δίνεται από τη σχέση (ώστε στο κλειστό βρόχο να έχουμε την (Ε1 σφάλμα ταχύτητας σφάλμα θέσης (Ε3 (Ε1 14

8 Δυναμικός έλεγχος στο χώρο εργασίας του ρομποτικού χειριστή ( Ρομποτικό Μοντέλο: D *, h * p d p d p d - x - e p x e p K P K D * h( q, q u τ J D ( q F a feedback: {q, q } linearization * Ρομποτικός Χειριστής (Δ q q ανάδραση ταχύτητας J( q q (task-space ανάδραση θέσης p p Γ(q ανάδραση ταχύτητας ανάδραση θέσης (joint space Διάγραμμα βαθμίδων (block-diagram μη γραμμικού ρομποτικού ελεγκτή τροχιάς στο χώρο εργασίας (στη βάση της μεθόδου υπολογιζόμενης ροπής q q 15