ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

Transcript

1 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Προτείνεται ένας νέος νόμος ελέγχου ο οποίος βασίζεται στο μετασχηματισμένο σφάλμα θέσης των αρθρώσεων και εξασφαλίζει την προκαθορισμένη επίδοση της απόκρισής του καθώς και τον μηδενισμό του σφάλματος ταχύτητας για βραχίονες με παραμετρικές αβεβαιότητες. Παρουσιάζονται προσομοιακά αποτελέσματα για έναν απλό βραχίονα β.ε. ελεγχόμενο με την προτεινόμενη μέθοδο σε σύγκριση με τα αποτελέσματα γνωστής μεθόδου της βιβλιογραφίας. Λέξεις κλειδιά:, ακολουθία τροχιάς, προκαθορισμένη επίδοση, προσαρμοστικός έλεγχος. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα σημαντικό θέμα που αφορά τον έλεγχο ρομποτικών συστημάτων σχετίζεται με την ικανοποίηση προκαθορισμένων κριτηρίων απόκρισης για το σφάλμα παρακολούθησης τροχιάς. Οι μέθοδοι ελέγχου έως τώρα επιτυγχάνουν την ασυμπτωτική σύγκλιση των σφαλμάτων στο μηδέν αλλά τα χαρακτηριστικά της μεταβατικής συμπεριφοράς του σφάλματος όπως η υπερύψωση, η ταχύτητα σύγκλισης κλπ όχι μόνο δεν μπορούν να εξασφαλιστούν από τις μέχρι τώρα μεθόδους αλλά δεν είναι καν γνωστά. Στην εργασία αυτή στόχος μας είναι να ελέγξουμε τον βραχίονα έτσι ώστε το σφάλμα θέσης των αρθρώσεων να φράσσεται από μια συνάρτηση επίδοσης που ενσωματώνει τα επιθυμητά χαρακτηριστικά της απόκρισης του σφάλματος. Η προτεινόμενη μέθοδος αποδεικνύεται θεωρητικά ότι εξασφαλίζει τον στόχο αυτό και η προσομοιακή συγκριτική μελέτη επιβεβαιώνει την υπεροχή της.. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Το δυναμικό μοντέλο ενός ρομποτικού βραχίονα βαθμών ελευθερίας όπου με R συμβολίζουμε τις μεταβλητές των αρθρώσεων, δίνεται από την εξίσωση: M ( ) & + C(, & ) & + g( ) = u ( ) x όπου u R είναι η ροπή στις αρθρώσεις, M ( ) R είναι ο θετικά ορισμένος πίνακας αδράνειας του βραχίονα, C(, &) & R είναι το διάνυσμα των κεντρομόλων δυνάμεων και των δυνάμεων Coiolis και g( ) R είναι το διάνυσμα της βαρύτητας. Το πρόβλημα που εξετάζουμε στην εργασία αυτή είναι ο έλεγχος της θέσης των αρθρώσεων R έτσι ώστε να ακολουθεί μια επιθυμητή τροχιά R με ταχύτητα R και επιτάχυνση R ικανοποιώντας ένα σύνολο ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 9

2 προκαθορισμένων κριτηρίων απόκρισης. Προς το σκοπό αυτό ορίζουμε και χρησιμοποιούμε στον ελεγκτή μας μία συνάρτηση επίδοσης ρ (t) η οποία καθορίζει την επιθυμητή συμπεριφορά του συστήματος ενσωματώνοντας τα κριτήρια απόκρισης που επιθυμούμε. Στόχος μας είναι να ελέγξουμε τον βραχίονα έτσι ώστε το σφάλμα θέσης των αρθρώσεων e ( t) = ( t) ( t) να φράσσεται από την ομαλή, αυστηρά θετική και φθίνουσα συνάρτηση επίδοσης ρ (t). Πιο συγκεκριμένα, θέλουμε να ισχύει: M ρ (t) < e (t) < t εάν e ( ) ρ (t) < e (t) < M t εάν e ( ) < (3) όπου Μ είναι μια σταθερά με, M, που εκφράζει το ανώτερο αποδεκτό ποσοστό υπερύψωσης. Μια τυπική γενική μορφή της ρ (t) είναι : kt = ( ρ ρ ) e + ρ ( 4) όπου ρ, ρ, k κατάλληλα επιλεγμένες θετικές σταθερές. Η σταθερά ρ είναι το μέγιστο αποδεκτό σφάλμα θέσης στην μόνιμη κατάσταση, η ρ είναι το μέγιστο επιτρεπτό αρχικό σφάλμα και k είναι ο ρυθμός με τον οποίο φθίνει η ρ (t) και επομένως η ελάχιστη ταχύτητα απόκρισης του σφάλματος θέσης. Παρατηρούμε ότι M ρ εκφράζει την μέγιστη επιτρεπτή υπερύψωση η οποία μπορεί ακόμα και να μηδενιστεί εάν θέσουμε M =. Τονίζουμε ότι οι σχέσεις () και (3) ισχύουν αν e ( ) ρ, επομένως η επιλογή του ρ είναι σημαντική έτσι ώστε κυριαρχεί στα πιθανά αρχικά σφάλματα που μπορεί να υπάρξουν κατά την λειτουργία του βραχίονα. 3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΣΦΑΛΜΑ Η επίτευξη του στόχου που έχουμε θέσει ιδιαίτερα υπό το καθεστώς αβεβαιοτήτων είναι ένας τομέας έρευνας που μόλις πρόσφατα έχει αρχίσει να αποδίδει ενθαρρυντικά αποτελέσματα. Η μέθοδος ελέγχου που προτείνεται στην παρούσα εργασία βασίζεται στην κεντρική ιδέα της εργασίας (Bechlioulis a Rovithakis, 8). Η ιδέα αυτή αφορά την σχεδίαση ελέγχου για ένα μετασχηματισμένο σφάλμα θέσης το οποίο συμβολίζουμε με ε (t). Ορίζουμε το μετασχηματισμένο σφάλμα ως εξής: e ε (t) = T ρ (t) (5) Παρατηρείστε ότι το μετασχηματισμένο σφάλμα ενσωματώνει την συνάρτηση επίδοσης. Ο μη γραμμικός μετασχηματισμός T(.) έχει στόχο την απεικόνιση μιας φραγμένης περιοχής του πραγματικού σφάλματος που καθορίζεται από τις σχέσεις () και (3) σε μια μη φραγμένη περιοχή για το μετασχηματισμένο σφάλμα ε (t). Έτσι αν ο () ελεγκτής εξασφαλίσει το φραγμένο του μετασχηματισμένου σφάλματος ε (t) εξασφαλίζεται η ευστάθεια και η προδιαγραμμένη συμπεριφορά του πραγματικού σφάλματος e ( t) = ( t) ( t). Ένα τυπικό παράδειγμα συνάρτησης μετασχηματισμού είναι ο νεπέριος λογάριθμος (Σχήμα ). ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 9

3 e() e() ε ε M M e/ρ e/ρ Σχήμα : Συνάρτηση μετασχηματισμού του σφάλματος θέσης με το νεπέριο λογάριθμο M + x l e () x T(x) = + x l e () M x Η παράγωγος του μετασχηματισμένου σφάλματος δίνεται από τη σχέση: ε ϑt e e T = όπου ϑt = > διαγώνιος e πίνακας Παρατηρούμε ότι ρ ρ >, ϑ T > και ( ) ϑt είναι φραγμένη δηλαδή T L ϑ. (6) (7) 4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΟΧΙΑΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΕΣ Θα θεωρήσουμε το πρόβλημα ακολουθίας τροχιάς από τις αρθρώσεις του βραχίονα υπό καθεστώς αβεβαιοτήτων στις δυναμικές παραμέτρους του μοντέλου. Μία μέθοδος που έχει επιτυχημένα χρησιμοποιηθεί σε αυτές τις περιπτώσεις έχει προταθεί από τους Slotie και Li (99). Ο νόμος ελέγχου για γνωστές δυναμικές παραμέτρους σύμφωνα με την μέθοδο αυτή δίνεται από την σχέση u = Y(,,, )a Ds όπου s = και μια κατάλληλα σχεδιασμένη ταχύτητα αναφοράς η οποία δίνεται από την σχέση = Λe με Λ ένα διαγώνιο θετικό πίνακα κερδών. Παρατηρούμε ότι s = e +Λe είναι το σύνθετο σφάλμα θέσης και ταχύτητας και ότι είναι υπολογίσιμο από τις μετρήσεις των και την επιθυμητή τροχιά των αρθρώσεων. Ο πρώτος όρος Y(,,, )a του νόμου ελέγχου είναι βασισμένος στο μοντέλο του βραχίονα το οποίο ως γνωστό μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των δυναμικών παραμέτρων α δηλαδή, Y(,,, )a = M() + C(,) + g() (8) Στην περίπτωση που κάποιες από τις φυσικές παραμέτρους του βραχίονα δεν είναι γνωστές χρησιμοποιείται προσαρμοστικός έλεγχος. Το πρόβλημα σχεδίασης του προσαρμοστικού ελέγχου στην περίπτωση αυτή λύνεται με την προσθήκη ενός νόμου εκτίμησης των αγνώστων παραμέτρων εκτίμησης στον νόμο ελέγχου. Δηλαδή ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου των Slotie- Li (99) δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις p â R και την χρήση της τρέχουσας ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 9 3

4 u = Y(,,, )a(t) ˆ Ds T â = ΓY s (9) s = e +Λe, = Λe x pxp όπου D,Λ R και Γ R θετικά ορισμένοι διαγώνιοι πίνακες. Αποδεικνύεται ότι τα σφάλματα θέσης και ταχύτητας τείνουν ασυμπτωτικά στο μηδέν, δηλαδή e,e (Slotie-Li 99). Η μέθοδος αυτή δεν εξασφαλίζει όμως την ικανοποίηση προκαθορισμένων κριτηρίων απόκρισης για τα σφάλματα. Στην εργασία αυτή προτείνεται ένας νέος νόμος προσαρμοστικού ελέγχου έτσι ώστε να εξασφαλίζεται μια προκαθορισμένη συμπεριφορά στην απόκριση του σφάλματος θέσης. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ Προτείνουμε μία νέα ταχύτητα αναφοράς η οποία υπολογίζεται από την επιθυμητή τροχιά ταχύτητας, το σφάλμα θέσης και την συνάρτηση επίδοσης ως εξής: = + e, () Ορίζουμε το σφάλμα s = και επομένως ρ s = e e, ρ () Για την περίπτωση που υπάρχουν παραμετρικές αβεβαιότητες στο δυναμικό μοντέλο του βραχίονα προτείνουμε τον ακόλουθο νόμο ελέγχου και νόμο προσαρμογής των εκτιμώμενων παραμέτρων: u = Y(,,, )a(t) ˆ kpϑt ε Ds ( ) T â( t ) = ΓY s (3) + όπου ε (t), ϑ T ορίζονται από τις (5) και (7), k p R αναλογικό κέρδος και x pxp D R, Γ R θετικά ορισμένοι διαγώνιοι πίνακες. Θεώρημα: Ο νόμος ελέγχου () με τον νόμο προσαρμογής (3) εφαρμοζόμενος στο σύστημα () επιτυγχάνει ακολουθία τροχιάς εξασφαλισμένης προκαθορισμένης επίδοσης που δίνεται από τις σχέσεις () και (3) καθώς και ασυμπτωτική σύγκλιση του σφάλματος ταχύτητας στο μηδέν. Απόδειξη: Το σύστημα κλειστού βρόχου γράφεται στη μορφή: Ms + Cs + Ds + Ya + kpϑt ε = ( 4) Από το εσωτερικό γινόμενο της (4) με το s προκύπτει η σχέση T T T T T s Ms + s Cs + s Ya + kps ϑtε + s Ds = η οποία, λαμβάνοντας υπόψη την αντισυμμετρικότητα του πίνακα M C, γράφεται στην μορφή V + W = t όπου T T T V = s Ms + a Γ a + kpε και W = s Ds (5) Η συνάρτηση V είναι θετικά ορισμένη ως προς s, ε,a και μπορεί να θεωρηθεί ως V υποψήφια συνάρτηση Lyapuov για το σύστημα (4). Η = W και επομένως t s, ε,a L και η V συγκλίνει. Εφόσον το ε L συνάγεται ότι η e είναι φραγμένη από την συνάρτηση επίδοσης και επομένως θα ισχύουν οι σχέσεις () και (3). Από την ε L συνάγεται ότι T L και από την (4) ότι s L, άρα V L ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 9 4

5 V & ομοιόμορφα συνεχής και επομένως V & όταν t (λήμμα Babalat). Κατά συνέπεια s e και άρα & ( t) & ( t). Παρατηρούμε ότι στον προτεινόμενο ελεγκτή υπάρχει ένας αναλογικός όρος για το μετασχηματισμένο σφάλμα με χρονικά μεταβαλλόμενο κέρδος kpϑ T. Ο όρος αυτός σε συνδυασμό με την νέα ταχύτητα αναφοράς επιτυγχάνουν την προκαθορισμένη επίδοση στην απόκριση του σφάλματος. 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για την προσομοίωση εξετάστηκε η απόκριση του βραχίονα με τον προτεινόμενο ελεγκτή και τον ελεγκτή Slotie-Li. Χρησιμοποιήσαμε το παράδειγμα του βιβλίου Slotie και Li (99) για βραχίονα β.ε. με μάζες αρθρώσεων m = kg, m = kg, μήκη l = m, l =. m, αδράνειες I =. z kg m, I =. z 5 kg m, I I = I = I kg m o και = 3. Το δυναμικό μοντέλο, τα στοιχεία του x = y x x = Y (,, &, & e πίνακα & ) και οι άγνωστες δυναμικοί παράμετροι a δίνονται αναλυτικά στο βιβλίο αυτό καθώς και η απόκριση του συστήματος σε επιθυμητή τροχιά o o = 3 ( cos(πt )), = 45 ( cos(πt )) με αρχικές συνθήκες () =, () = και â() i =. Η προκαθορισμένη συνάρτηση επίδοσης ορίζεται από την 7 t 7 εκθετική συνάρτηση ρ( t) = (. ) e + και η αποδεκτή υπερύψωση στην τιμή M =.. Καθώς οι επιλογές των τιμών του ελεγκτή Slotie-Li στο βιβλίο έχουν σαν αποτέλεσμα αποκρίσεις πολύ χειρότερες από τις επιθυμητές, τα κέρδη ρυθμίστηκαν ξανά για τον ελεγκτή αυτό. Μετά από επίπονη προσπάθεια καταλήξαμε στην χρήση των τιμών Λ = Ι D = 5 Ι και Γ iag....στην προτεινόμενη, = μέθοδο χρησιμοποιήθηκαν τα κέρδη k =, D = Ι και το ίδιο Γ. p x 3 8 x 3 a e e t(sec) (α) ελεγκτής Slotie-Li a e e e e t (sec) (β) προτεινόμενος ελεγκτής με γκρι γραμμή επαναλαμβάνονται οι αποκρίσεις του (α). Σχήμα. Απόκριση σφαλμάτων θέσης. Με διακεκομμένη γραμμή εμφανίζονται τα προκαθορισμένα όρια επίδοσης Τα αποτελέσματα της απόκρισης του σφάλματος θέσης (Σχήμα ) δείχνουν ότι ο ελεγκτής Slotie-Li παρά την επαναρρύθμιση των κερδών έχει απόκριση με μικρότερη ταχύτητα η οποία βγαίνει εκτός των προκαθορισμένων ορίων. Η προτεινόμενη μέθοδος εξασφαλίζει την προκαθορισμένη επίδοση χωρίς να απαιτεί μεγαλύτερες ροπές στις αρθρώσεις (Σχήμα 3). Οι επιθυμητές και πραγματικές τροχιές φαίνονται στο Σχήμα 4. ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 9 5

6 Το φραγμένο των εκτιμήσεων των παραμέτρων εξασφαλίζεται και στις δύο μεθόδους όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. 5 Nm u u t (sec) Σχήμα 3: Είσοδοι ελέγχου των αρθρώσεων: Slotie-Li( ), προτεινόμενος ελεγκτής ( ) eg 8, 6, t(sec) Σχήμα 4: Τροχιές αρθρώσεων:slotie-li ( ), προτεινόμενος ελεγκτής ( ), a a a 3 a t (sec) t(sec) (α) (β) Σχήμα 5: Εκτίμηση παραμέτρων (α) με τη μέθοδο Slotie-Li και (β) με την προτεινόμενη μέθοδο. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αυτή προτείνεται μια μέθοδος ελέγχου που εξασφαλίζει την ικανοποίηση συγκεκριμένων κριτηρίων απόδοσης για το σφάλμα παρακολούθησης τροχιάς χωρίς να απαιτεί επίπονη ρύθμιση κερδών ούτε επιπλέον ροπές στις αρθρώσεις. Τα προσομοιακά αποτελέσματα σε ένα απλό παράδειγμα επιβεβαιώνουν την υπεροχή της μεθόδου σε σύγκριση με άλλη γνωστή μέθοδο. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bechlioulis, Ch.Rovithakis, G., (8) Robust aaptive cotol of feeback lieaizable MIMO oliea systems with pescibe pefomace, IEEE Tas. o Automatic Cotol, vol. 53, o. 9, pp Slotie, J.J., Li, W., (99) Applie Noliea Cotol, Petice Hall, New Jesey a a a 3 a 4 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 9 6