της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.

Transcript

1 Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει πλάγια στην άνω επιφάνεια του δίσ κου που θεωρείται λεία, µε ταχύτητα v της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4. i) Εάν η κρούση του σφαιριδίου µε τον δίσκο είναι ελαστική να βρεί τε την εξίσωση κίνησης του δίσκου, λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της κρούσεως και ως θετική φορά στην κατα κόρυφη διεύθυνση την προς τα κάτω. ii) Ποιο πρέπει να είναι το µέτρο της ταχύτητας πρόσπτωσης του σφαιριδίου, ώστε το ελατήριο να αποκτά το φυσικό του µήκος, όταν ο δίσκος βρίσκεται στην ανώτατη θέση του; Nα εκφράσετε στην περίπτω ση σε συνάρτηση µε τον χρόνο την αλγεβρική τιµή της δύναµης που δέχεται ο δίσκος από το ελατήριο και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) της κρούσεως του σφαιριδίου µε τον δίσκο, αυτό δεν δέχεται οριζόντιες δυνάµεις (το βάρος του και η δύναµη επαφής από τον δίσκο είναι κατακόρυφες) που σηµαίνει ότι η ορµή του σφαιρι δίου κατά την οριζόντια διευθύνση x δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια του χρό νου Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv x = mv' x v x = v' x v µ= v' µ' v µ ( /6) = v' µ ( /4) v / = v' / v' = v / (1) όπου v x, v ' x οι οριζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας προστώσεως v και της ταχύτητας ανακλάσεως v ' αντιστοίχως του σφαιριδίου. Εξάλλου επειδή η κρούση ειναι ελαστική δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt η κινητική ενέρ γεια του συστήµατος σφαιρίδιο-δίσκος, δηλαδή έχουµε την σχέση: mv = mv' + Mv mv = mv' +Mv (1) mv = mv / + Mv mv / = Mv v = v m / M ()

2 όπου v η ταχύτητα του δίσκου αµέσως µετά την κρούση, η οποία κατευθύνε ται κατακόρυφα προς τα κάτω. Μετά την κρούση ο δίσκος εκτελεί κατακόρυφη Σχήµα 1 απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά ταλάντωσης k, της οποίας το πλάτος x υπολογίζεται από την σχέση: () Mv / = kx / Mmv /M = kx x = v m /k (3) H εξίσωση κίνησης του δίσκου, όταν ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυν ση κίνησής του ληφθεί η φορά της v, έχει την µορφή: x = x µ k m t (3) ' x = v m k µ k m t ' (4) ii) Στην περίπτωση που κατά την ταλάντωση του δίσκου το ελατήριο ανακτά το φυσικό του µήκος την στιγµή που αυτός βρίσκεται στην ανώτατη θέση του, τότε το πλάτος x είναι ίσο µε Μg/k και θα ισχύει: Mg k = v m k v = Mg k k m (5) Tότε η σχέση (4) παίρνει την µορφή: x = Mg k µ k m t ' (6) Όµως η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης που δέχεται ο ταλανούµε νος δίσκος είναι κάθε στιγµή ίση µε kx, δηλαδή ισχύει η σχέση:

3 (6) F + Mg = -kx F + Mg = -k Mg k µ k m t ' ) ( * F = -Mg, 1 - µ +, k m t ' - ) / (./ (7) Σχήµα όπου F ελ η αλγεβρική τιµή της δύναµης F που δέχεται ο δίσκος από το ελατήριο. Η γραφική παράσταση της (7) είναι µια µετατοπισµένη προς τα κάτω ηµιτονοειδής καµπύλη, όπως φαίνεται στο σχήµα (). P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m 1 κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή συγκρούεται ελαστικά και µη µετωπικά µε ένα άλλο σφαιρίδιο µάζας m, το οποίο είναι ακίνητο. Εάν το κινούµενο σφαιρίδιο ανακρούεται σε διεύθυνση κάθετη προς την αρχική διεύθυνση κίνησής του, να δείξετε ότι η κινητική ενέρ γεια που χάνει δίνεται από την σχέση: m K 1 1 ' m 1 + m όπου Κ 1 η κινητική του ενέργεια πριν την κρούση. ΛΥΣΗ: Έάν P 1 είναι η ορµή του σφαιριδίου µάζας m 1 πρiν την κρούση και P ' 1, P ' οι ορµές των σφαιριδίων µε µάζες m 1 και m αντιστοίχως µετά την κρούση, τότε συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: P 1 = P ' 1 + P ' (1) Επειδή τα διανύσµατα P 1 και P ' 1 είναι µεταξύ τους κάθετα τα µέτρα των διανυσµάτων της σχέσεως (1), σύµφωνα µε το θεώρηµα του Πυθαγόρα στο σκιασµένο ορθογώνιο τρίγωνο (σχήµα 3), ικανοποιούν την σχέση:

4 P' = P 1 + P' 1 m v' = m 1 v 1 + m 1 v' 1 () Σχήµα 3 όπου v ' 1, v ' οι ταχύτητες των σφαιριδίων µετά την κρούση. Η σχέση () µπορεί να πάρει την µορφή: m m v' = m m 1 v m m 1 v' 1 1 m K' = m 1 K 1 + m 1 K' 1 (3) όπου Κ 1 η κινητική ενέργεια της µάζας m 1 πριν την κρούση και Κ 1, Κ οι κινητικές ενέργειες των µαζών m 1 και m αντιστοίχως µετά την κρού ση. Όµως λόγω της ελαστικής κρούσεως των δύο σφαιριδίων η συνολική τους κινητική ενέργεια δεν µεταβάλλεται κατά την κρούση, δηλαδή µπο ρούµε να γράψουµε την σχέση: K 1 + = K' 1 + K' K' - K' 1 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: m (K 1 - K' 1 ) = m 1 K 1 + m 1 K' 1 m K 1 - m K' 1 = m 1 K 1 + m 1 K' 1 K 1 (m - m 1 ) = K' 1 (m 1 + m ) K' 1 (m - m 1 )/(m 1 + m ) (5) H µείωση ΔΚ 1 της κινητικής ενέργειας της µάζας m 1 είναι: (5) K 1 - K' 1 m K 1 - K - m 1 1 ' m 1 + m K m - m 1 m ' K m 1 + m 1 + m - m + m 1 1 ' m 1 + m m K 1 1 ' m 1 + m P.M. fysikos

5 Δύο µικρές ελαστικές σφαίρες της ίδιας µάζας, κρατούνται στην ίδια θέση Α, η οποία, η οποία απέχει από το οριζόν τιο έδαφος απόσταση h. Kάποια στιγµή η µια σφαίρα αφήνεται ελευθερη και την στιγµή που αυτή φθάνει στο έδαφος αφήνεται και η άλλη σφαίρα. i) Εάν g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρείτε σε ποια θέση οι σφαίρες θα συγκρουσθούν για πρώτη φορά. ii) Λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της πρώτης κρούσεως των σφαιρών, να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των αποστάσεων τους από το σηµείο κρούσεως, σε συνάρτηση µε τον χρό νο. O χρόνος κάθε κρούσεως θα θεωρηθεί ασήµαντος. ΛΥΣΗ: i) Όταν η πρώτη σφαίρα φθάνει στο έδαφος ανακλάται µε ταχύτητα v, της οποίας το µέτρο είναι: v = gh (1) Eάν Σ είναι το σηµείο συγκρούσεως των δύο σφαιρών και h 1, h οι αποστάσεις του από το έδαφος Ε και την θέση Α αντιστοίχως, θα ισχύουν οι σχέσεις: h 1 = v t * - gt * / h = gt * / (+ ) h 1 + h = v t * h = v t * t * = h/v () Σχήµα 4 όπου t * ο χρόνος που µεσολαβεί από την στιγµή που η πρώτη σφαίρα φθάνει στο έδαφος µέχρι την στιγµή που συγκρούεται µε την δεύτερη σφαίρα. Επειδή οι σφαίρες έχουν την ίδια µάζα και η κρούση τους είναι µετωπική και ελαστι κή συµβαίνει ανταλλαγή των ταχυτήτων τους, που σηµαίνει ότι η πρώτη σφαί ρα αµέσως µετά την κρούση θα έχει ταχύτητα v και η δεύτερη ταχύτητα v 1,

6 όπου v 1, v οι ταχύτητες της πρώτης και της δεύτερης αντιστοίχως, λίγο πριν από την κρούση (σχήµα 4). Όµως για τα µέτρα των v 1, v ισχύουν οι σχέσεις: και () v 1 =v - gt * () v =gt * (1) v 1 = v - hg/v (1) v = hg/v v 1 = gh - hg/ gh = gh/ v = hg/ gh = gh/ από τις οποίες προκύπτει ότι: v 1 = v = gh/ (3) Η σχέση (3) µας επιτρέπει να αποδεχθούµε ότι, κατα την κρούση αντιστρέφον ται οι ταχύτητες των δύο σφαιρών, οπότε η δεύτερη σφαίρα θα επιστρέφει µε µηδενική ταχύτητα στην θέση Α, ενώ η πρώτη σφαίρα την ίδια στιγµή θα ανακ λάται στο έδαφος µε ταχύτητα v και το φαινόµενο θα επαναλαµβάνεται κατά περιοδικό τρόπο. Η περίοδος Τ των κρούσεων θα είναι διπλάσια του χρόνου ανόδου της δεύτερης σφαίρας, δηλαδή θα ισχύει: T = v g (3) T = g gh = h g (4) ii) H απόσταση h του σηµείου σύγκρουσης Σ από την θέση Α υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: h = v (3) g h = gh/ g = h 4 Άρα η απόσταση h 1 του Σ από το έδαφος είναι: h 1 = h - h = h - h 4 = 3h 4 Σχήµα 5 Εξάλλου, αν λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της πρώτης

7 κρούσεως, ως αρχή µέτρησης των µετατοπίσεων το σήµειο Σ και ως θετική φορά της κατακόρυφης διεύθυνσης την προς τα πάνω, τότε οι γραφικές παρα στάσεις των αλγεβρικών τιµών y 1, y των µετατοπίσεων της πρώτης και της δεύτερης σφαίρας αντιστοιχως, σε συνάρτηση µε τον χρόνο, t θα είναι τµήµατα παραβολών όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Εγγύηση για το γεγονός αυτό αποτε λεί η οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση των δύο σφαιρών, µε επιτάχυνση g σε κά θε περίοδο Τ. P.M. fysikos Oµογενής ράβδος OA µήκους L µπορεί να στρέφε ται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της O και είναι κάθετος στην ράβδο. H ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορρο πίας της και κάποια στιγµή προσκρούει σ αυτήν µικρό σφαιρίδιο, της ίδιας µάζας µε την ράβδο, µε οριζόντια ταχύτητα v κάθετη στον άξονα περιστροφής της, σε απόσταση x από αυτόν. i) Eάν η κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο είναι πλαστική, να βρεί τε για ποιά τιµή της x η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την κρούση γίνεται µέγιστη. ii) Για την τιµή αυτή της απόστασης x να βρείτε το µέτρο της v, ώστε η ράβδος να φθάσει στιγµιαία στην οριζόντια θέση. Δίνεται η ροπή αδ ράνειας I C =ml /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Κατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt (Δt ) της πλαστι κής κρούσεως του σφαιριδίου µε την ράβδο η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-σφαιρίδιο περί το άκρο Ο δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέ ση: (O) L ' = L (O) (µ)*+, µ)-( (O) L ' Σχήµα 6 (O) =L (µ)*+, µ)-( mv x + = (I C + mx ) mv x = [m(l) /3 + mx ]

8 3v x = 4L + 3x 3x - 3v x + 4L = (1) όπου η γωνιακή ταχύτητα του συσσωµατώµατος ράβδος-σφαιρίδιο αµέ σως µετά την κρούση. Η (1) αποτελεί εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς x και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσα της οφείλει να είναι µη αρνητική, που σηµαίνει ότι πρέπει να ισχύει η σχέση: (-3v ) - 4(3)(4L ) 9v (4 3) L 3v 4 3L 3v /4 3L max = 3v /4L () Όταν το µέτρο της λάβει την µέγιστη τιµή του, η (1) θα έχει µια διπλή ρίζα x * που δίνεται από την σχέση: x * = - (-3v () ) 6 max x * = 4v L 3v = L 3 > L (3) ii) Aς δεχθούµε ότι για x=x * το µέτρο της ταχύτητας v έχει τιµή που επιτρέπει στην ράβδο να φθάσει µε µηδενική γωνιακή ταχύτητα στην ορι ζόντια θέση. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την κίνησή του από την κατακό ρυφη στην οριζόντια θέση, παίρνουµε την σχέση: (I C + mx * ) max (4mL /3 + mx * ) max / = - mgx * - mgl (3) = mg(x * + L) (4L /3 + 4L /3) max = g(l/ 3 + L) 4L max 3 = g () ' max = 4L 3 3v 4L ' = g ' v = 8gL v = gl P.M. fysikos Ένα καρούλι µάζας m, ισορροπεί πάνω σε οριζόν τίο επίπέδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n (σχήµα 7). Tην χρονική στιγµή t= εφαρµόζεται στο καρούλι οριζόν τια δύναµη F, της οποίας ο φορέας διέρχεται από τον γεωµετρικό του άξονα. i) Eάν R είναι η ακτίνα των κυκλικών βάσεων του καρουλιού και r η ακτίνα του κυλινδρικού του τµήµατος, να δείξετε ότι η σχέση:

9 F>nmg(1+R/r) εξασφαλίζει την ολίσθηση του καρουλιού στο οριζόντιο επίπεδο και ταυτόχρονα την περιστροφή του περί τον γεωµετρικό του άξονα. ii) Eάν R=r, n=1/ και F=mg, να βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιού και την τάση του οριζόντιου νήµατος που περιβάλλει το κυλινδρικό του τµήµα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I του καρουλιού ως προς τον άξονα του. ΛΥΣΗ: i) Αν δεχθούµε ότι το καρούλι κυλίεται επί του οριζόντιου επιπέδου χωρίς ολίσθηση, τότε η ταχύτητα του σηµείου Α θα ήταν διάφορη του µηδενός, γεγονός που αντιφάσκει µε την ακινησία του νήµατος. Άρα το καρούλι ολισθαί νει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο που σηµαίνει ότι η τριβή T που δέχεται από αυτό είναι τριβή ολισθήσεως και έστω ότι έχει την φορά που φαίνεται στο σχή µα (7). Το καρούλι στην διάρκεια της κίνησής του δέχεται το βάρος του w, την τάση Q του οριζόντιου νήµατος και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο επίπε Σχήµα 7 δο, που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T και στην κάθετη αντίδραση N. Εφάρµόζοντας για το κέντρο µάζας C του καρουλιού τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: F - T - Q = ma C F - nmg - Q = ma C (1) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας. Εξάλλου, αν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιού περί τον γεωµετρικό του άξονα, τότε συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: Qr - TR = I' Q = I'/r + nmg/r () H (1) λόγω της () γράφεται: F - nmg - I' r - nmg r = ma C F = ma C + I' r + nmg 1 + R ' (3) r

10 Όµως η επιτάχυνση του σηµείου Α είναι µηδενική, οπότε ισχύει: a C - 'r = '= a C /r και η σχέση (3) γράφεται: F = ma C + Ia C r + nmg 1 + R a r C m + I r = F - nmg 1 + R (4) r Eπειδή a C >, η (4) δίνει: F - nmg 1 + R r > F > nmg 1 + R r (5) ii) Εάν R=r, n=1/ και F=mg, η σχέση (4) γράφεται: a C ( m + I/r ) = mg - mg( 1 + ) / a C ( m + I/r ) = mg( - 3/) a C = mg ( m + I/r ) = mgr mr + I ( ) (6) Τέλος, συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (6) παίρνουµε: mg - mg - Q = m gr mr + I Q = mg ( ) mr 3 - mr > + I Q = 3mg - m gr mr + I ( ) P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (8) ο κυκλικός δίσκος είναι οµογενής, µάζας m και ακτίνας R, κυλίεται δε χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο επίπεδο ώστε το ελεύθερο άκρο Β του οριζόντιου και αµελητέας µάζας ελατηρίου να πλησιάζει µε σταθερή ταχύτητα v σε κατακόρυφο τοίχο. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου το άκρο Β συγκρούεται µε τον τοίχο και το ελατήριο αρχίζει να συµπιέζεται, ενώ ο δίσκος εξακολουθεί να κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο. i) Εάν k είναι η σταθερά του ελατηρίου, να βρείτε τον χρόνο επαφής του ελατηρίου µε τον τοίχο. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την αλγεβρική τιµή της της τριβής µεταξύ του δίσκου και του οριζόντιου επιπέδου.

11 iii) Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσκου και οριζοντίου επιπέδου είναι n, να βρείτε την µέγιστη επιτρεπτή τιµή του µέτρου της v, ώστε να εξασφαλίζεται η κύλιση του δίσκου κατά τον χρόνο που το άκρο Β του ελατηρίου είναι σε επαφή µε τον τοίχο. Δίνεται η ροπή αδράνειας I C =mr / του δίσκου ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο του και κάθετο στο επίπεδό του. ΛYΣH: i) Έστω Ο η θέση του κέντρου µάζας του δίσκου την στιγµή που το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου έρχεται σε επαφή µε τον τοίχο. Eξετάζοντας τον δίσκο κατά µια χρονική στιγµή t που η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας τoυ C από την θέση του Ο είναι x, διαπιστώνουµε ότι αυτός δέχεται το βάρος του w, την αντίδραση του oριζόντιου επιπέδου, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδ ραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη F από το συµπιεσµέ νο ελατήριο. Οι δυνάµεις αυτές αναγόµενες στο κέντρο µάζας C δίνουν συνιστα µένη δύναµη, της οποίας η αλγεβρική τιµή δίνεται από την σχέση: Σχήµα 8 Σχήµα 9 F (x) = T - F = T - kx (1) όπου θεωρήθηκε ως θετική φορά στην διεύθυνση κίνησης του κέντρου µάζας, η φορά της αποµάκρυνσης x. Eξετάζοντας την ίδια στιγµή την περιστροφική κί νηση του δίσκου παίρνουµε, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κί νησης, την σχέση: T R = I C ' T R = (mr /) ' T = (mr/) ' T = m a C / () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή και a C η αντίστοιχη επιτάχυνση του κέντρου µάζας του, των οποίων τα µέτρα λόγω της κύλισης του δίσκου ικανοποιουν την σχέση a C =R '. Επειδή το διάνυσµα a C είναι αντίρροπο της αποµάκρυνσης x, ενώ το διάνυσ µα T είναι οµόρροπο της x, σχέση () µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει την µορφή: T = -ma C / (3)

12 Συνδυάζοντας τις (1) και (3) παίρνουµε την σχέση: F (x) = ma C / - kx F (x) = F (x) / - kx 3 F (x) / = -kx F (x) = -(3k/)x (4) H σχέση (4) εξασφαλίζει ότι, κατά τον χρόνο που το ελατήριο διατηρεί επαφή µε τον τοίχο η κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου αποτελεί τµήµα γραµ µικής αρµονικής ταλάντωσης µε σταθερά επαναφοράς D=3k/, στην οποία αντι στοιχεί περίοδος T * που δίνεται από την σχέση: T * = m 3k/ = m 3k (5) Είναι προφανές ότι ο χρόνος επαφής t E του ελατηρίου µε τον τοίχο είναι ίσος µε Τ * /, δηλαδή ισχύει: t E = T * / = m 3k (6) ii) Εφαρµόζοντας για το σύστηµα δίσκος-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ των χρονικών στιγµών t= και t=t * /4, παίρνουµε την σχέση: mv + I C = kx max mv + mr = kx max mv + mv = kx max 3mv = kx max x max = v 3m k (7) όπου x max η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου που αντιστοιχεί την χρονική στιγ µή Τ * /4 κατά την οποία µηδενίζεται η ταχύτητα του κέντρου µάζας του δίσκου. Εξάλλου στο χρονικό διάστηµα [, Τ * /] η εξίσωση κίνησης του κέντρου µάζας C έχει την µορφή: x = x max µ k 3m t (7) ' x = v 3m k µ H αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης a C δίνεται από την σχέση: k 3m t ' (8) a C = - k 3m x (8) a C = - k 3m v 3m k µ k 3m t ' a C = -v k 3m µ k 3m t ' (9)

13 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (9) έχουµε: T = mv k 3m µ k 3m t ', ( t ( T * / (1) H σχέση (1) αποτελεί την ζητούµενη συνάρτηση. iii) Για να εξασφαλίζεται η κύλιση του δίσκου στην διάρκεια που το ελατήριο είναι συµπιεσµένο, πρέπει η µέγιστη τιµή του µέτρου της τριβής T να ικανανο ποιεί την σχέση: T (1) max nn mv k 3m nmg v ng 3m k (v ) max = ng 3m k P.M. fysikos