Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F! που περιγράφεται από την σχέση:! F = f(r)! r

Transcript

1 Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F που περιγράφεται από την σχέση: F fr) r όπου fr) µια συνάρτηση, η οποία δεν ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης r του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο Ο. Το υλικό σηµείο εκτοξεύεται µε κατάλληλη αρχική ταχύτητα, ωστε να διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R, της οποίας το κέντρο Κ δεν συµπίπτει µε το ελκτικό κέντρο Ο. i) Εάν v, v είναι οι ταχύτητες του υλικού σηµείου στις θέσεις της ελάχιστης και µεγιστης απόστασης αντιστοίχως από το Ο, να δείξετε ότι η περίοδος Τ της κυκλικής του κινήσεως ικανοποιεί την σχέση: T R + % v v ii) Iσχύει για την κίνηση του υλικού σηµείου ο 3oς νόµος του Kepler; ΛΥΣΗ: i) Eάν ds είναι το στοιχειώδες εµβαδον που διαγράφει η επιβατική ακ τίνα r του υλικού σηµείου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt σχ. ) θα ισχύει η σχέση: ds rdrµ Σχήµα ds dt r dr$ 'µ ds dt% dt rv µ ) όπου v η ταχύτητα του υλικού σηµείου την χρονική στιγµή t και θ η γωνία

2 των διανυσµάτων v και r. Εξάλλου η στροφορµή L του υλικού σηµείου περί το ελκτικό κέντρο Ο είναι σταθερή και το µέτρο της υπολογίζεται από την σχέ ση: L r m v ) mrvµ ) όπου m η µάζα του υλικού σηµείου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρ νουµε: ds dt L m ds dt mr v m r v ds r v dt 3) όπου r η εγγύτερη απόσταση του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο Ο. Εάν r είναι η µεγαλύτερη απόσταση του υλικού σηµείου από το Ο θα έχουµε: R r + r mr v mr v r R - r r v r v r v R - r )v v + v )r Rv r Rv v + v 4) H 3) λόγω της 4) γράφεται: ds Rv v v + v dt 5) Oλοκληρώνοντας την 5) για µια περιστροφή του υλικού σηµείου παίρνουµε: R Rv v T v + v T R v + v % $ v v ' T R v + % $ v ' 6) ii) Στην εγγύτερη θέση Α και στην απώτερη θέση Α ως προς το Ο, η ελκτική δύναµη που δέχεται το υλικό σηµείο από το ελκτικό κέντρο ενεργεί ως κεν τροµόλος δύναµη, δηλαδη θα έχουµε τις σχέσεις: fr ) mv /R fr ) mv /R v Rfr )/m v Rfr )/m $ 7) Συνδυάζοντας τις 6) και 7) παίρνουµε: T R$ m Rfr ) + m % ' Rfr ) T Rm fr ) + % $ ' fr ) 8) Aπό την 8) προκύπτει ότι το τετράγωνο της περιόδου Τ του υλικού σηµείου είναι ανάλογο της ακτίνας R της κυκλικής τροχιάς, που σηµαίνει ότι δεν ισχύ ει ο νόµος του Kepler. P.M. fysikos

3 Ένας δορυφόρος κινείται σε κυκλική τροχιά περί την Γη, της οποίας το κέντρο ταυτίζεται µε το κέντρο της Γης και η ακτίνα της είναι διπλάσια της ακτίνας της Γης. Κάποια στιγµή εκτο ξεύεται από τον δορυφόρο µικρός πύραυλος βαλλιστικός πύραυλος) που σε βραχύ χρονικό διάστηµα µεταβάλλει την διευθυνση της ταχύτη τας του δορυφόρου κατά γωνία φ <φ<π/) προς το µέρος της Γης, αλλά όχι και το µέτρο της. Να βρεθεί η γωνία φ, ώστε η νέα τροχιά του δορυφόρου να είναι συνεπίπεδη της αρχικής του τροχιάς και µόλις να εφάπτεται της Γης. Η Γη να θεωρηθεί οµογενής και ακίνητη σφαίρα. ΛΥΣΗ: Έστω Μ η θέση του δορυφόρου στην οποία η ταχύτητά του µεταβάλλε ται από v M σε v ' M. Επειδή η νέα τροχιά του δορυφόρου είναι συνεπίπεδη της αρχικής κυκλικής του τροχιάς, το διάνυσµα v ' M ανήκει στο επίπεδο της κυκλι κής τροχιάς. Εξάλλου η µηχανική ενέργεια Ε Μ του δορυφόρου αµέσως µετά την εκτόξευση του βαλλιστικού πυραύλου είναι ίση µε την µηχανική του ενέργεια Ε Μ λίγο πριν την εκτόξευση, διότι οι ταχύτητες v M και v ' M έχουν το ίδιο µέτρο, δηλαδη ισχύει η σχέση: E' M E M mv M - GmM R ) Σχήµα όπου Μ Γ η µάζα της Γης, m η µάζα του δορυφόρου και G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας. Όµως στην θέση Μ, λίγο πριν µεταβληθεί η ταχύτητα του δορυφόρου, η Νευτώνεια έλξη που δέχεται από την Γη αποτελει για τον δορυφόρο κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή έχουµε την σχέση: GM m R) mv M R v M GM 4R v GM M R ) Συνδιάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: E' M GmM 4R - GmM R - GmM 4R < 3)

4 To αρνητικό πρόσηµο της Ε Μ δηλώνει ότι η νέα τροχιά του δορυφόρου είναι έλλειψη της οποίας µία εστία ταυτίζεται µε το κέντρο Ο της Γης και συµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος πρέπει η έλλειψη αυτή να εφάπτεται της Γης σχ. ). Κατά την κίνηση του δορυφόρου επί της ελλειπτικής τροχιάς η στροφορ µή του περί το Ο και η µηχανική του ενέργεια παραµένουν αναλλοίωτες, δηλαδή θα έχουµε τις σχέσεις: L ' M L ' A E' M E A 3) mv' M R$ mv A R - GmM % 4R mv A - GmM % R ' ) v' M $ v A 3GM % 4R v A ' ) $ v A v M v A 3GM % R ' ) ) GM R $% 3GM R $ 3 6 P.M. fysikos Ένα σώµα διαγράφει ελλειπτική τροχιά εκκεντ ρότητας e e<), υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης που εκπορεύε ται από ελκτικό κέντρο Ο και ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης. Όταν το σώµα βρίσκεται στο άκρο του µικρού ηµιάξονα της τροχιάς του δέχεται εξωτερική επίδραση βραχεί ας διάρκειας, που του διπλασιάζει την ταχύτητα. Να δείξετε ότι η νέα τροχιά του σώµατος είναι υπερβολή, της οποίας να προσδιορίσετε την εκκεντρότητα. ΛΥΣΗ: Εάν x, y είναι οι συντεταγµένες ενός τυχαίου σηµείου Μ της ελλειπτι κής τροχίας του σώµατος ως προς το ορθογώνιο συστηµα άξόνων Οxy και r, φ οι αντίστοιχες πολικές συντεταγµένες του σηµείου, θα έχουµε: y rµ pµ + e$% ) όπου p θετικη παράµετρος χαρακτηριστική της ελλειπτικής τροχιάς. Στο άκρο Α του µικρού ηµιάξονα της τροχιάς η y-συντεταγµένη γίνεται έλαχιστη που ση µαίνει ότι για το σηµείο αυτό ισχύει η σχέση: dy / d ) y ya ) Παραγωγίζοντας την ) ως προς φ παίρνουµε: dy d p$ + e$) - p%µ-e%µ) + e$)

5 dy d p$ + pe$ + pe%µ + e$) p$ + e) + e$) dy% d p)* ) A + e) + e)* y y A A ) p$ A + e) $ A -e 3) Σχήµα 3 Eξάλλου η στροφορµή L του σώµατος περί το ελκτικό κέντρο Ο διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της κίνησής του επί της ελλειπτικής τροχιάς, το δε µέτρο της δίνεται από την σχέση: L mr A v A µ - A ) m pv µ A A m pv - A $% 3) A + e$% A + e$% A L m pv - A e pmv A 4) - e - e όπου v A η ταχύτητα του σώµατος στη θέση Α. Eπειδή η ελκτική δύναµη που δέχεται το σώµα ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστα σης r, το µέτρο της θα δίνεται από µια σχέση της µορφής Fk/r, όπου k θετική και σταθερή ποσότητα, οπότε η παράµετρος p θα είναι ίση µε L /km και η 4) γράφεται: L L mv A v A k - e km - e L Σύµφωνα µε το πρόβληµα η ταχύτητα του σώµατος στό Α αµέσως µετά την δράση της εξωτερικής επίδρασης διπλάσιάζεται οπότε η νέα στροφορµή του σώ µατος περί το Ο θα γίνει L ' L και θα διατηρείται πάλι σταθερή επί της νέας τροχιάς που θα ακολουθήσει. Η µηχανική ενέργεια Ε του σώµατος επί της νέας του τροχιάς θα διατηρείται σταθερή και ίση µε εκείνη που απόκτησε στο Α αµέσως µετά την εξωτερική επίδραση, οπότε θα έχουµε: 5) E' mv A ) - k r A mv A - k + e$ A ) p ),5) E' mk - e ) L - k - e ) L / km mk - e ) L > 6)

6 δηλαδή η νέα τροχιά του σώµατος είναι υπερβολή συνεπίπεδη της έλλειψης, µε εστία το ελκτικό κέντρο Ο. Η εκκεντρότητα e της υπερβολικής τροχιάς υπολο γίζεται µέσω της σχέσεως: e' + 6) E'L ' E'L ) + mk mk e' + 8mk - e ) L L mk e' e ) 9-8e > P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F που ακολουθεί τον νόµο: F -km r /r 6 όπου k θετική σταθερά και r το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµεί ου ως προς το ελκτικό κέντρο Ο. Το υλικό σηµείο εκτοξευεται από το άπειρο µε ταχύτητα v, της οποίας ο ο φορέας απέχει από τον πολικό άξονα Οx απόσταση α, η δε στροφορµή του περί το ελκτικό κέντρο Ο έχει µέτρο ίσο µε m k /. Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες. ΛΥΣΗ: Το υλικό σηµείο υπό την επίδραση της κεντρικής δύναµης F διαγρά φει καµπύλη τροχιά στο επίπεδο που καθορίζει το ελκτικό κέντρο Ο και η αρχική του ταχύτητα v. Η διαφορική εξίσωση της κίνησης σε πολικές συντε ταγµένες r, θ) έχει την µορφή: d u d + u - m L u Fr) d u d + u - m L u d u d + u km u 5 L u d u d + u km u 3 m k / ) - km % d u d + u u 3 ) όπου η µεταβλητή u αποτελεί το αντίστροφο της απόστασης r του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο u/r) και L είναι η σταθερή στροφορµή του περί το ελκτικό κέντρο. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της ) µε την ποσότητα du/dθ παίρνουµε την σχέση: r 5

7 du d d u du + d d u du d u 3 d d du% d + d ) d u d ) d u4 d du % d + d u ) d ) u4 du% d + u u 4 + C ) Σχήµα 4 όπου C σταθερά ολοκληρώσεως που θα βρεθεί από τις αρχικές συνθήκες κίνη σης του υλικού σηµείου. Η ) για t δίνει: du% d t οπότε η ) γράφεται: + + C C du % d t du% d + u u 4 + du % d t 3) Για τον υπολογισµό της ποσότητας du/dθ) t παρατηρούµε ότι: dr dt dr d d dt dr d L % $ mr ' - d/ r) d L % m - du d t L % m και dr$ dt% t - m k 'm du$ d % t -v - k du % $ d ' L mv m k / mv v k / t 4) οπότε η 4) γράφεται: - k - k du % $ d ' t du% d t - -v ) v 5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3) και 5) παίρνουµε:

8 du% d du% d + u u 4 + du% d - u ) du ) d ± - u + 4 u 4 - u ) 6) Kατά την κίνηση του υλικού σηµείου η απόστασή του r από το ελκτικό κέντρο Ο µειώνεται σε πρώτο στάδιο, οπότε η ποσότητα du/dθ είναι θετική κατά το στάδιο αυτό, όταν δε συµβεί du/dθ, τότε θα είναι αu και η απόσταση r παίρνει την µικρότερη τιµή της α. Άρα /u α, δηλαδή -α u και η 6) είναι αποδεκτή µε το πρόσηµο +). Έτσι θα έχουµε: du d - u du - u d η οποία µε ολοκλήρωση δίνει: du - u + C' + u% ln$ ' - u + C' 7) όπου C σταθερά ολοκληρώσεως που θα βρεθεί αν εφαρµόσουµε την 7) για t, οπότε θα λάβουµε: ln + % - + C' C' και η 7) παίρνει την µορφή: + u% ln$ ' - u + u - u e r + r - e r + r - )e re - ) + e ) r e + % $ e - ' r coth ) 8) H 8) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες. P.M. fysikos

9 Δύο σωµατίδια Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m φέρουν ετερώνυµα ηλεκτρικά φορτία +q και q. Κάποια στιγµή βρίσκονται σε απόσταση α, οι δε ταχύτητές τους είναι κάθετες στην ευθεία που τα συνδέει και µεταξύ τους αντίρροπές, τα δε µέτρα τους είναι v v και v v µε: v q k /m όπου k ηλ η σταθερά του νόµου του Coulomb. i) Mε την προυπόθεση ότι τα σωµατίδια δέχονται µόνο τις αµοιβαίες ηλεκτροστατικές δυνάµεις, να δείξετε ότι η σχετική τροχία του ενός ως προς το άλλο είναι υπερβολή και να γραφεί η εξίσωσή της σε πολι κές συντεταγµένες. ii) Nα γραφούν οι εξισώσεις των τροχιών των σωµατιδίων σε πολικές συντεταγµένες, στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους και να σχεδιαστούν οι τροχιές αυτές. ΛΥΣΗ: i) Όταν δύο σωµατίδια αλληλοεπιδρούν µεταξύ τους χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις, τότε η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός νοητού σωµατιδίου µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ του συστήµατος, πάνω στο οποίο ενεργεί η αντίστοιχη δύνα µη αλληλεπίδρασης. Στην περίπτωση των σωµατιδίων Σ, Σ η δύναµη αλληλε πιδρασής τους είναι δύναµη Coulomb, η δε διαφορική εξίσωση που περιγράφει την σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο λογουχάρη του Σ ως προς το Σ ) έχει την µορφή: µ d r dt F m $ m + m % d r dt r - k ' q r r m$ 3 % d r dt - k q ' ) r Σχήµα 5 όπου r το µοναδιαίο διάνυσµα της σχετικής επιβατικής ακτίνας r του Σ ως προς το Σ. H ) δηλώνει ότι η σχετική κίνηση του ενός σωµατιδίου ως προς το

10 άλλο είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός σωµατιδίου µάζας m/3 που έλκεται από σταθερό κέντρο µε δύναµη που ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασής της r από αυτό. Σύµφωνα µε την θεωρία των κεν τρικών κινήσεων η αντίστοιχη σχετική τροχιά του σωµατιδίου έχει την µορφή κωνικής τοµής, η δε στροφορµή του περί το ελκτικό κέντρο και η µηχανική του ενέργεια διατηρούνται αµετάβλητες. Εάν Ε είναι η µηχανική ενέργεια του σωµατιδίου, αυτή θα είναι ίση µε την τιµή της την στιγµή που η απόσταση των Σ, Σ είναι α, δηλαδή θα ισχύει: E m 3 v k ) $ q - % m 3 v k ) $ q - % Όµως για την αντίστοιχη σχετική ταχύτητα v του Σ ως προς το Σ θα ισχύει: v v - v v + - v ) v v + v 3v v 9v 9q k $ /%m οπότε η ) γράφεται: E m 3 $ 9k q ' % m ) - k q q k m > 3) To θετικό πρόσηµο της Ε δηλώνει ότι η σχετική τροχιά του Σ, ως προς το Σ είναι υπερβολή µε εστία το Σ σχ. 5). Η εξίσωση της υπερβολής αυτής σε πολικές συντεταγµένες r, θ) έχει την µορφή: r p + e$ 4) στην οποία το p αποτελεί σταθερή παράµετρο, το δε e εκφράζει την εκκεντρό τητα της υπερβολής. Εάν L είναι η σταθερή στροφορµή της σηµειακής µάζας m/3, η παράµετρος p υπολογίζεται από την σχέση: p L m/3)k q m/3) v $% m/3) 3v ) m/3)k q k q p 3m q k /m k q 3 5) Eξάλλου η εκκεντρότητα e υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: e + EL m / 3)q k ) )

11 e + q k /m)m/3) v $% m / 3)q k ) e + q k /m)m/3) 9v q k ) e + q k /m)m/3) 9q k /m) q k ) 6) H 4) λόγω των 5) και 6) γράφεται: r 3 + $% ii) Eάν r, r είναι τα διανύσµατα θέσεως των σωµατιδίων Σ, Σ αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας τους C, θα έχουµε σύµφωνα µε τον ορισµό του κέντ ρου µάζας τις σχέσεις: 7) και r - r m r - mr m + m m r m + m 7) r m+ m mr 7) r m+ m Σχήµα 6 r r - + $% r r + $% Παρατήρηση: Eπειδή το σύστηµα των δύο φορτισµένων σωµατιδίων είναι µη χανικά µονωµένο η ορµή P C του κέντρου µάζας τους διατηρείται σταθερή και ίση µε την ορµή του την στιγµή που η απόστασή τους είναι α, δηλαδή θα ισχύ ει: P C m v + m v m v - m v που σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας C είναι ακίνητο. P.M. fysikos

12 Ένας κοµήτης µάζας m, εισέρχεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης διαγράφοντας παραβολική τροχιά, της οποίας η εστία ταυτίζεται µε το κέντρο Ο του Ήλιου και της οποίας η εξίσωση σε πολικές συντεταγµένες έχει την µορφή: r + $% όπου α η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει η Γη περί τον Ήλιο. Εάν τα επίπεδα των τροχιών του κοµήτη και της Γης συµπίπ τουν, να βρείτε: i) το µέτρο της σταθερής στροφορµής του κοµήτη περί το κέντρο του Ήλιου και ii) τον χρόνο παραµονής του στο εσωτερικό της τροχιάς της Γης. Δίνε ται η περίοδος Τ περιστροφής της Γης. ΛΥΣΗ: i) Όταν ο κοµήτης διέρχεται από την κορυφή Α της παραβολικής τροχιάς του έχει ταχύτητα v κάθετη προς τον πολικό άξονα Οx και απέχει από το κέντρο Ο του Ήλιου απόσταση r α/, διότι θ σχ. 7). Εξάλλου η πα ραβολική τροχιά του κοµήτη επιβάλλει σ αυτόν µηδενική µηχανική ενέργεια, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv - GMm v GM r r v GM r 4GM GM ) Σχήµα 7 όπου Μ η µάζα του Ήλιου και G η σταθερά της βαρύτητας. Όµως η Νευτώνεια έλξη που δέχεται η Γη από τον Ήλιο αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την µεταφορική κυκλική της κίνηση περί τον Ήλιο, δηλαδή ισχύει η σχέση:

13 M v GMM GM v όπου M Γ η µάζα της Γης και v η γραµµική ταχύτητα του κέντρου της. Εξάλ λου η περίοδος Τ της Γης είναι: T /v v /T οπότε η σχέση ) γράφεται: GM 4 T 4 3 T 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) παίρνουµε: ) v 4 3 T 4 T 4) Το µέτρο της στροφορµής του κοµήτη ως προς το Ο είναι: 4) L mv r L m 4 T m T 5) ii) Εάν θ είναι η πολική γωνία του κοµήτη σε µια τυχαία χρονική στιγµή t και r η αντίστοιχη απόστασή του από το Ο, θα ισχύει: L mr d dt 5) m T mr d dt d dt Tr d dt T + $%) T + $%) dt T d + $%) T d 4$% 4 / ) dt T d[$ / )] %' $ / ) T 4 [+ $ /)]d[$ /)] 6) Εάν θ, θ είναι οι πολικές γωνίες που αντιστοιχούν στα σηµεία τοµής Α, Α αντιστοίχως της τροχιάς του κοµήτη µε την τροχιά της Γης σχ. 7), θα ισχύει για λόγους συµµετρίας η σχέση θ -θ, οπότε ο χρόνος κίνησης t A A του κοµήτη από τη θέση Α στη θέση Α είναι ίσος µε το χρόνο κίνησής του t AA από Α σε Α. Αυτό σηµαίνει ότι ο ζητούµενος χρόνος t ολ παραµονής του κοµήτη στο εσω τερικό της τροχιάς της Γης θά είναι:

14 t t dt) A A $ 6) t T ' [+$% /)]d[$% /)] 7) Όταν όµως ο κοµήτης βρίσκεται στη θέση Α, θα ισχύει: /+$% ) +$ / οπότε η σχέση 7) γράφεται: t T / ' [+$% /)]d[$% /)] T ) $% + 3 $%, + 3 *. - / t T $% $% ) 3 + T ' 4* 3 P.M. fysikos Ένας πλανήτης µάζας m, διαγράφει ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Hλιο, της οποίας µία εστία ταυτίζεται µε το κέντρο του Ήλιου. i) Eάν M είναι η µάζα του Ήλιου και α το µήκος του µεγάλου ηµιά ξονα της ελλειπτικής τροχιάς του πλανήτη, να δείξετε ότι η µηχανική ενέργεια του πλανήτη δίνεται από την σχέση: E µ - GMm/ i) όπου G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας. ii) Eάν e είναι η εκ κεντρότητα της τροχιάς του πλανήτη, να δείξετε ότι το µέτρο της στροφορµής του ικανοποιεί την σχέση: L GMm - e ) ii) iii) Xρησιµοποιώντας την σχέση ii) να αποδείξετε τον τρίτο νόµο του Kepler, δηλαδή την σχέση: T 4 3 /GM iii) όπου T η περίοδος περιστροφής του δορυφόρου. ΛYΣH: i) Eστω v, v οι ταχύτητες του πλανήτη, στο σύστηµα αναφοράς του Hλιου, όταν βρίσκεται στο περιήλιο A και στο αφήλιο A αντιστοίχως της ελλειπτικής τροχιάς του. Eπειδή κατά την κίνηση του πλανήτη η στοφορµή του περί το κέντρο του Ήλιου διατηρείται σταθερή, µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

15 mv mv v v / ) όπου, οι αποστάσεις των A καί A από το κέντρο του Ήλιου σχ. 8). Eξάλλου, κατά την κίνηση του πλανήτη η µηχανική του ενέργεια στο σύστηµα αναφοράς του Ήλιου διατηρείται σταθερή, οπότε ισχύει η σχέση: - GMm mv - GMm v - v GM - mv v - v r GM r - min max $ v % $ ) % - r min ) GM r - r ) max min v + ) GM v GM v GM ) Eξάλλου η µηχανική ενέργεια E µηχ του πλανήτη σε µία τυχαία θέση της τροχιάς του είναι ίση µε την αντίστοιχη ενέργεια του στο περιήλιο A, οπότε θα έχουµε: Σχήµα 8 E µ mv - GMm ) E µ GMm - GMm E µ GMm $ % - ' ) GMm $ - % ' ) E µ GMm $ % - - ' ) - GMm 3) ii) Tο µέτρο της στροφορµής του πλανήτη σε κάθε θέση της τροχιάς του είναι ίσο µε το µέτρο της στροφορµής του, όταν αυτός βρίσκεται στο περιήλιο, δηλα δή ισχύει: L mv L m v )

16 L m $ GM % r ' GMm min % 4) Eξάλλου, εάν f είναι η εστιακή απόσταση της ελλειπτικής τροχιάς του πλανή τη, θα έχουµε: - f + f $.) - f - e - e ) 5) Συνδυάζοντας τις 4) καί 5) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: L GMm - e ) 6) iii) Aπό το δεύτερο νόµο του Kepler είναι γνωστό ότι ο ρυθµός ds/dt µε τον οποίο η επιβατική ακτίνα r του πλανήτη διαγράφει εµβαδόν στο επίπεδο της ελλειπτικής τροχιάς είναι σταθερό καί ίσο µε L/m, δηλαδή ισχύει η σχέση: ds dt L m Ldt ds m 7) Oλοκληρώνοντας την σχέση 7) για µια πλήρη περιστροφή του πλανήτη, έχου µε: S LT m T ms L T 4m 6) S L 4S T GM-e ) 8) Όµως το εµβαδόν S ολ της ελλειπτικής τροχιάς του πλανήτη είναι ίσο µε παβ, όπου β το µήκος του µικρού ηµιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς, οπότε η σχέση 8) γράφεται: T 4 GM - e ) 4 - f ) GM - e ) T 4 - e ) GM - e ) 4 3 GM P.M. fysikos