i) Εάν η κρούση είναι µετωπική και πλαστική, να δείξετε ότι η τρο χιά του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται είναι ελλειπτική.

Transcript

1 Ένας δορυφόρος µάζας m κινείται περί την Γη επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας και κάποια στιγµή προσκρούει ακτινικά πάνω σ αυτόν σώµα µάζας m και της ίδιας κινητικής ενέργειας µε τον δορυφόρο. i) Εάν η κρούση είναι µετωπική και πλαστική, να δείξετε ότι η τρο χιά του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται είναι ελλειπτική. ii) Nα βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του συσσωµατώ µατος από το κέντρο της Γης. Η Γη θα θεωρηθεί οµογενής και ακίνη τη σφαίρα. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρο χρόνο Δt Δt ) της πλαστικής κρούσεως του σώµατος µε τον δορυφόρο η ορµή του συστήµατος κατά την ακτινική και κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου στην θέση Κ της κρούσεως δεν µεταβάλλεται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: και m v + = mv v = v / = v / ) mv + = mv e v e = v / ) όπου v, v e ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα αντιστοίχως της ταχύτητας του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση, v η ταχύτητα του δορυφόρου λίγο πριν την κρούση και v η αντίστοιχη ταχύτητα του σώµατος, κατα µέτρο ίση µε την v, διότι η κινητική του ενέργεια είναι ίση µε εκείνη του δορυφό ρου. Η µηχανική ενέργεια Ε του συσσωµατώµατος είναι: E = mv + mv e - mgm E = mv 4 + mv 4 - mmg = mv - mmg 3) όπου G η σταθερά της βαρύτητας και Μ η µάζα της Γης. Όµως πριν την κρούση η Νευτώνεια έλξη F N που δέχεται ο δορυφόρος αποτελεί κεντροµόλο δύναµη, οπότε ισχύει η σχέση:

2 F N = mv GMm = mv v = GM 4) Σχήµα Συνδιάζοντας τις σχέσεις 3) και 4) παίρνουµε: E = mv - mv = - 3mv < 5) H 5) εγγυάται ότι η τροχιά του συσσωµατώµατος είναι κυκλική ή ελλειπτική. Η κυκλική τροχιά αποκλείεται, διότι το συσσωµάτωµα στην θέση Κ έχει και ακτινική ταχύτητα, οπότε το συσσωµάτωµα διαγράφει ελλειπτική τροχιά της οποίας µία εστία ταυτίζεται µε το κέντρο Ο της Γης. Εάν v, v είναι οι ταχύ τητες του συσσωµατώµατος στο περίγειο Π και στο απόγειο Α αντιστοίχως της τροχιάς του σχ. ), θα έχουµε λόγω της διατήρησης της στροφορµής του περί το κέντρο Ο, τις σχέσεις: και mv min = mv e v = v e min = v min 6) mv max = mv e v = v e max = v max 7) όπου min, max η ελάχιστη αντιστοίχως η µέγιστη απόστασή του από το Ο. Όταν το συσσωµάτωµα βρίσκεται στο περίγειο Π θα ισχύει:

3 - 3mv = mv - GmM 4),6) min - 3mv = m v min - m v min - 3 = - 4 min min - 6 min = - 8 min 6 min - 8 min + = 8) Mε τον ίδιο τρόπο εργαζόµενοι όταν το συσσωµάτωµα βρίσκεται στο απόγειο Α, καταλήγουµε στην σχέση: 6 max - 8 max + = 9) Oι δεκτές ρίζες των δευτεροβάθµιων εξισώσεων 8) και 9) είναι: min = 4 - )/ 6 και max = 4 + )/ 6 P.M. fysikos Ένα δυναµικό πεδίο παρουσιάζει τρία ελκτικά κέν τρα Ο, Ο, Ο 3 που βρίσκονται σε περιφέρεια κύκλου κέντρου Κ και ακτίνας R, σε ίσες αποστάσεις µεταξύ τους. Μια µάζα m ευρισκόµενη σε τυχαία θέση Μ, της οποίας το διάνυσµα θέσεως ως προς το κέντρο Κ είναι δέχεται από τα ελκτικά κέντρα δυνάµεις της µορφής: F n = -k R n µε n=,, 3 όπου k θετική και σταθερή ποσότητα και R n το διάνυσµα θέσεως της µάζας m ως προς κάθε ελκτικό κέντρο. i) Να δείξετε ότι η µάζα m θα εκτελέσει επίπεδη κίνηση και να βρείτε την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση αυτή. ii) Nα λύσετε την διαφορική αυτή εξίσωση, αν την στιγµή t= το διά νυσµα θέσεως της µάζας ως προς το Κ είναι και η ταχύτητά της v. Ποια θα είναι η µορφή της τροχιάς της µάζας m στην περίπτωση που είναι =x i και v =v j, όπου x, v σταθερές θετικές ποσότητες και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Κx, Κy αντιστοίχως του επιπέ δου κίνησης της µάζας; Κάτω από ποιες προυποθέσεις η τροχιά αυτή είναι κυκλική; ΛΥΣΗ: i) Εάν F, F, F 3 είναι οι δυνάµεις που ασκούν τα ελκτικά κέντρα Ο, Ο, Ο 3 αντιστοίχως στην µάζα m, θα έχουµε: F = -ko A F = -ko A F 3 = -ko 3 A + ) F + F + F 3 = -k O A + O A + O 3 A)

4 F = -k - [ ) + - ) + - )] 3 [ )] 3 F = -k όπου F η συνισταµένη δύναµη που δέχεται η µάζα m και,, 3 τα δια νύσµατα θέσεως των ελκτικών κέντρων Ο, Ο, Ο 3 ως προς το κέντρο Κ της περιφέρειας στην οποία ανήκουν. Επειδή τα τρία ελκτικά κέντρα ισαπέχουν ισχύει =, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: F = -3k ) Σχήµα Aπό την ) προκύπτει ότι η συνισταµένη δύναµη που δέχεται η µάζα m είναι κεντρική ελκτική δύναµη µε κέντρο το Κ, που σηµαίνει ότι η κίνησή της είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδο κίνησής της xy είναι αυτό που καθορίζει το διά νυσµα θέσεώς της και η ταχύτητά της v την χρονική στιγµή t=. Eφαρµό ζοντας για την µάζα m τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: m d dt = ) F m d dt d dt + = µε = 3k m = -3k d dt + 3k m = Η ) αποτελεί την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της µάζας m. ii) H ) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: = C µt + C t 3) όπου C, C σταθερά διανύσµατα, που θα προσδιορισθουν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης της µάζας m. Παραγωγίζοντας την 3) ως προς τον χρόνο t παίρ νουµε την ταχύτητα v της µάζας, δηλαδή θα έχουµε: v = d / dt = C t - C µt 4) )

5 Για t= οι σχέσεις 3) και 4) δίνουν: = C v = C C = v / C = 5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 5) παίρνουµε: = v µt / + t 6) H 6) αποτελεί την εξίσωση κίνησης της µάζας m, η οποία στην περίπτωση που οι αρχικές συνθήκες κίνησής της είναι =x i και v = v j παίρνει την µορφή: = v µt j / + x t i 7) Εάν x, y) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες της µάζας m η 7) µας επιτρέπει να γράψουµε τις σχέσεις: x = x t y =v µt / x = x t y =v µ t / x /x = t y /v /) = µ t x x + y v /) = 8) Σχήµα 3 δηλαδή η τροχιά της µάζας m είναι έλλειψη µε κέντρο το Κ και ηµιάξονες x, και v /ω. Η έλλειψη αυτή µετατρέπεται σε περιφέρεια κύκλου αν τα µέτρα των διανυσµάτων και v ικανοποιούν την σχέση =v /ω, ή x =v /ω. P.M fysikos Σωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραση κεν τρικής απωστικής δύναµης F, που περιγράφεται από την σχέση: F = k /

6 όπου k θετική σταθερά, η απόσταση του σωµατιδίου από το απωστι κό κέντρο O και το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του σωµατιδίου ως προς το απωστικό κέντρο. Αρχικά το σωµατίδιο βρίσκεται σε πολύ µεγάλη απόσταση από το κέντρο πλησιάζοντας προς αυτό µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας απέχει από το κέντρο Ο απόσταση b. i) Aφού εξηγήσετε γιατί η κίνηση του σωµατιδίου είναι επίπεδη, στην συνέχεια να δείξετε ότι οι πολικές του συντεταγµένες, φ) ικανοποι ουν κάθε στιγµή την σχέση: d / dt) = bv ii) Τελικά το σωµατίδιο θα βρεθεί και πάλι πολύ µακριά από το κέν τρο κινούµενο σε τροχιά που είναι σχεδόν ευθεία γραµµή και σχηµα τίζει γωνία π-θ µε τον πολικό άξονα Οx. Nα δείξετε την σχέση: / ) = k/mbv ΛΥΣΗ: i) Επειδή η δύναµη F που δέχεται το σωµατίδιο είναι κεντρική, η κί νησή του είναι επίπεδη µε επίπεδο κίνησης κάθετο στο σταθερό διάνυσµα L της στροφορµής του περί το απωστικό κέντρο Ο. Προφανώς το επίπεδο αυτό ταυτίζεται µε εκείνο που καθορίζεται από το διάνυσµα v της αρχικής ταχύτη τας του σωµατιδίου και από το απωστικό κέντρο Ο. Λόγω διατηρήσεως της στροφορµής του σωµατιδίου µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mbv = mv bv = d /dt) d /dt) = bv ) Σχήµα 4 όπου v η εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητας v του σωµατιδίου και η από στασή του από το Ο την στιγµή που το εξετάζουµε. ii) Mέχρις ότου το σωµατίδιο αποκατασταθεί στην τελική ευθύγραµµη τροχιά του παρέρχεται θεωρητικά άπειρος χρόνος αφότου εισήλθε στο κεντρικό πεδίο της απωστικής δύναµης F. Εφαρµόζοντας κατά τον χρόνο αυτόν για το σωµατί διο το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση:

7 + P x = F x dt P -mv - -mv + ) - P ) = Fdt + ) ) = Fdt * ) όπου F x η συνιστώσα της απωστικής δύναµης F κατά την διεύθυνση του πολι κού άξονα Οx και v η τελική ταχύτητα του σωµατιδίου, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία π-θ µε τον πολικό άξονα. Όµως κατά την κίνηση του σωµατί δίου η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή, όποτε θα έχουµε: U ) + K ) = U ) + K ) + mv / = + mv / v = v και η ) γράφεται: + -mv + mv = Fdt ) = Fdt mv - mv µ / + + ) = Fdt 3) Για τo ολοκλήρωµα του δεύτερου µέλους της 3) έχουµε: + Fdt = + ) k dt + Fdt = + kdt bv dt/d ) + kd Fdt = Fdt bv = k µ - ) bv - Συνδυάζοντας την 3) µε την 4) παίρνουµε: mv µ / ) = kµ bv mv µ / ) = kµ / + ) / ) ) = bv ) = kµ) bv 4) k mbv 5) H 5) αποτελεί την ζητούµενη σχέση. P.M. fysikos

8 Η ενεργός δυναµική ενέργεια µιας µάζας m που κινείται µέσα σε δυναµικό πεδίο κεντρικής δύναµης, ακολουθεί την σχέση: U ef ) = L m + k3 α) όπου L η σταθερή στροφορµή της µάζας περί το κέντρο Ο της δύνα µης, η απόσταση της από το Ο και k θετική σταθερά. i) Eάν η τροχιά της µάζας είναι κυκλική, να βρείτε την ακτίνα της κα θώς και την µηχανική ενέργεια της µάζας. Επιπλέον να δείξετε ότι στην περίπτωση αυτή η U ef αποβαίνει η ελάχιστη δυνατή. ii) Eάν διαταραχθεί ελαφρώς και ακτινικά η κυκλική τροχία, να δεί ξετε ότι η απόσταση θα µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο περί την τιµή της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς. iii) Eάν οι αρχικές συνθήκες κίνησης επιβάλλουν στην µάζα m µηχα νική ενέργεια Ε µεγαλύτερη της ελάχιστης τιµής της U ef και στρο φορµή διάφορη του µηδενός, να δείξετε ότι η τροχιά της εντός του δυ ναµικού πεδίου είναι κλειστή. Πως µπορούµε να βρούµε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της απόστασης στην περίπτωση αυτή και ποιες είναι οι αντίστοιχες τιµές της κινητικής ενέργειας της µάζας m; ΛΥΣΗ: i) Aπό την σχέση α) προκύπτει ότι η δυναµική ενέργεια της µάζας m είναι: U) = C 3 ) οπότε η κεντρική δύναµη που δέχεται προκύπτει από την σχέση: F ) = - du) e ) F ) = -3C e ) όπου e το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας της µάζας, ως προς το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη. Για κυκλική τροχιά της µάζας m η δυναµη F ) αποτελεί κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει: ) FR) = mv / R 3CR = mv / R 3CR 3 = mv 3) όπου R η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς και v το µέτρο της ταχύτητας της µά ζας. Εξάλλου για το µέτρο της στροφορµής L της µάζας m περί το κέντρο Ο, ισ χύει L = mv R L = m v R v = L /m R 4) οπότε η 3) γράφεται:

9 3CR 3 = ml /m R R 5 = L /3mC R = L /3mC) / 5 5) H µηχανική ενέργεια Ε της µάζας m υπολογίζεται από την σχέση: E = mv 4) + UR) E E = m = L + mc L /3mC) = 5L mr 6mR L m R + CR 3 = L + mcr 5 5) mr E = 5L 6m L /3mC) = 5L L / 5 6m 3mC / 5 6) Eάν η ενεργός δυναµική ενέργεια U ef ) της µάζας m παρουσιάζει τοπικό ακρό τατο αυτό θα αντιστοιχεί στην θέση για την οποία ισχύει: ) du ef ) = = - L m 3 + 3C = = L m = 3C 3 = L /3mC) / 5 5) = R Eξάλλου η δεύτερη παράγωγος της U ef ) ως προς στην θέση = είναι: d U ef ) = 3L ) m 4 = + 6C *, + = 3L m + 6C > 7) = Σχήµα 5 δηλαδή η U ef ) παρουσιάζει στην θέση =R τοπικό ελάχιστο σχ. 5). Παρατήρηση: Είναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι, για την συνάρτηση U ef ) ισχύουν ακόµη τα εξής:

10 lim U ef ) +, lim U ef ) + U min = + L mr + 3CR3 > Με βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της συνάρτησης U ef ) έχει περί που την µορφή του σχήµατος 5). ii) Ας δεχθούµε ότι η µάζα m µε εξωτερική επέµβαση εκτρέπεται ακτινικά, ώστε η επιβατική ακτίνα της να εγκλωβίζεται σε µια περιοχή του R πολύ µικ ρού εύρους ε ε ), δηλαδή είναι -R ε. Tότε η κυκλική της τροχιά θα διατα ραχθεί, αλλά κατά την νέα επίπεδη κίνηση της η µηχανική της ενέργεια Ε θα µένει σταθερή και θα ισχύει η σχέση: m dt + U ef ) = E m dt d dt + du ef ) = dt d dt = - m du ef ) 8) Αναπτύσσοντας την συνάρτηση du ef )/ κατά Taylo εντός της περιοχής -R παίρνουµε: du ef ) = du ) ef = R + - R ) d U ef ) = R + - R ) d 3 U ef ) 3 = R +... Όµως η διαφορά -R είναι πολύ µικρή και αυτό µας επιτρέπει να θεωρούµε τους όρους, που περιέχουν την διαφορά αυτή σε δύναµη µεγαλύτερη του δύο αµελητέους, οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει την προσεγγιστική µορφή: du ef ) du ef ) du ) ef + - R ) = R + - R ) d U ef ) d U ef ) = R 7) = R du ef ) 3L - R) mr + 6CR Θέτοντας στην παραπάνω σχέση όπου R= L /3mC) / 5 και µετά από κάµποσες πράξεις, θα καταλήξουµε στην σχέση: du ef ) 3L A - R ) µε A = m L /3mC) 4 / 5 9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 8) και 9) παίρνουµε:

11 d dt = - 3L ma - R ) d x dt + 3L x ma = ) όπου τέθηκε x=-r. H ) εκφράζει ότι, αν η µάζα m εκτραπεί πολύ λίγο από την κυκλική της τροχιά θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση περί την τροχιά αυτή, στην διάρκεια της οποίας η απόστασή της από το Ο θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: = R + µ t + ) µε = 3L ma iii) Εάν η µηχανική ενέργεια της µάζας m είναι µεγαλύτερη της U min, τότε θα υπάρχει µια µέγιστη τιµή max και µια ελάχιστη τιµή min της απόστασης για τις οποίες η ακτινική συνιστώσα /dt της ταχύτητας της µάζας µηδενίζεται, ένω η εγκάρσια συνιστώσα της dφ/dt) θα είναι διάφορη του µηδενός, αφού η στροφορµή της είναι διάφορη του µηδενός σχ. 5). Αυτό σηµαίνει ότι η επίπεδη κίνηση της µάζας εγκλωβίζεται µεταξύ ενός εγγύτερου και ενός απώτατου προς το Ο ορίου, δηλαδή η τροχιά της µάζας θα είναι κλειστή. Εάν R * είναι η τιµή της απόστασης που προκαλεί µηδενισµό της ακτινικής ταχύτητας θα έχουµε την σχέση: L mr + CR 3 * = E L + mcr 5 * = mer * * R 5 * - me mc R * + L mc = R 5 * - E C R * + L mc = ) H µικρότερη πραγµατική ρίζα της ) αποτελεί το εγγύτατο όριο min της, ενώ η µεγαλύτερη πραγµατική ρίζα της αποτελεί το απώτατο όριο. Οι αντί στοιχες τιµές της κινητικής ενέργειας της µάζας m θα είναι: και K = m d min dt K = m d max dt = m = m L m min L m max = = L m min L m max P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m βρίσκεται σε δυναµικό πε δίο δεχόµενο κεντρική δύναµη, η οποία απορρέει από συνάρτηση δυ ναµικής ενέργειας της µορφής: U ) = - + k / < < + a)

12 όπου η απόσταση του υλικού σηµείου από το σταθερό κέντρο Ο της δύναµης και α, k σταθερές θετικές ποσότητες. i) Nα σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων U) και F), σε συνάρτηση µε την απόσταση << +), όπου F) η αλγεβρική τιµή της κεντρικής δύναµης. ii) Nα δείξετε ότι για ορισµένη τιµή της το υλικό σηµείο ισορροπεί ευσταθώς. Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει το υλικό σηµείο αν αποµακ ρυνθεί ελαφρώς και ακτινικά από την θέση ισορροπίας; iii) Σε πόσο χρόνο θα φθάσει το σωµατίδιο στην θέση ισορροπίας του, όταν αφεθεί ελεύθερο στην θέση =3k/α; ΛΥΣΗ: i) Για την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U) παρατηρούµε τα εξής: α. U ) = - + k = - + k lim U) + β. lim U) + γ. Εάν η συνάρτηση U) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, τότε σε κάθε θέση ακρο τάτου η πρώτη παράγωγός της θα είναι µηδέν, δηλαδή θα ισχύει: du) a) = d - + k = - k 3 = = k Η δεύτερη παράγωγος της U) στην θέση =k/α είναι: d U) =k/ = d * ) - k + -, 3 =k/ = * - ) 3 + 6k + -, 4 =k/ d U) =k/ = - k/ ) + 6k 3 k/ ) 4 = 4 8k + 6k 4 3 6k = 4 4 8k > 3 που σηµαίνει ότι η U) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στην θέση x=k/α, του οποίου η τιµή είναι: U min = - k/ + k k/ ) = - k + k = - k < Άρα η θέση =k/α αποτελεί θέση ευταθούς ισορροπίας του σωµατιδίου. Με βάση όλα τα παραπάνω η γραφική παράσταση της U) έχει περίπου την µορφή που φαίνεται στο σχήµα 6). Εξάλλου η αλγεβρική τιµή της δύναµης επί του σωµατιδίου, η οποία απορρέει από την συνάρτηση U), δίνεται από την σχέση:

13 F) = - du) = - d - + k = - + k / < < + b) 3 Σχήµα 6 Για την συνάρτηση F) παρατηρούµε τα εξής: α. F) = - + k k = 3 lim F) + β. lim F) + γ. Εάν η συνάρτηση F) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, τότε σε κάθε θέση ακρο τάτου η πρώτη παράγωγός της θα είναι µηδέν, δηλαδή θα ισχύει: df) b) = d - + k = 3 3-6k 4 = = 3k Η δεύτερη παράγωγος της U) στην θέση =3k/α είναι: d F) =3k/ = d * ) 3-6k + -, 4 =3k/ = * - 6 ) 4 + 4k + -, 5 =3k/ d F) =3k/ = -6 3k/ ) + 4k 4 3k/ ) = k) k) = 5 4 3k) > 4 που σηµαίνει ότι η F) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στην θέση =3k/α, του οποίου η τιµή είναι: F min = - 3k/ ) + k 3k/ ) 3 = - 9k + 7k = - 7k <

14 Με βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της F) έχει περίπου την µορφή του σχήµατος 7). Σχήµα 7 ii) Προηγουµένως αποδείχθηκe ότι η συνάρτηση U) παρουσιάζει στην θέση =k/α τοπικό ελάχιστο, που σηµαίνει ότι η θέση αυτή αποτελεί θέση ευσταθούς ισορροπίας του σωµατιδίου. Ας δεχθούµε ότι το σωµατίδιο µε εξωτερική επέµ βαση εκτρέπεται ακτινικά, ώστε η απόστασή του από το κέντρο Ο της δύνα µης να εγκλωβίζεται σε µια περιοχή γύρω από την θέση k/α, πολύ µικρού εύρους ε ε ), δηλαδή ισχύει -k/α ε. Tότε η ισορροπία του θα διαταραχθεί και η δύναµη F) αναπτυσσόµενη κατά Taylo εντός της περιοχής αυτής θα παίρνει την µορφή: [ ] =k/ + F)= F) - k df) + * ) -, =k/ + - k d F) + * ) -, =k/ Όµως η διαφορά -k/α είναι πολύ µικρή και αυτό µας επιτρέπει να θεωρούµε αµελητέους τους όρους που περιέχουν την διαφορά αυτή σε δύναµη µεγαλύ τερη του δύο, οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει την προσεγγιστική µορφή: +... F) + - k ) df), + *. - =k/ = - k ) df), + *. - =k/ ) Όµως έχουµε και την σχέση: df) =k/ = οπότε η ) γράφεται: k/) - 6k 3 k/) 4 =k/ = 4 4k k 3 = - 4 8k 3 F) = k 8k 3 )

15 Εφαρµόζοντας για το σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρ νουµε: m d ) dt = F) d dt k 8mk 3 = d - k/ ) k dt 8mk 3 = d z dt + z = 3) όπου τέθηκε z=-k/α και ω =α 4 /8mk 3. H 3) είναι η τυπική διαφορική εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτη, δηλαδή εκφράζει ότι, αν το σωµατίδιο εκτραπεί ακτι νικά και πολύ λίγο από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του και αφεθεί ελεύθε ρο, θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση περί την θέση αυτή. ii) Aπό το διάγραµµα του σχήµατος 7) παρατηρούµε ότι, αν το σωµατίδιο αφε θεί στην θέση =3k/α θα δεχθεί δύναµη µε κατεύθυνση προς το κέντρο Ο που θα το θέσει σε επιταχυνόµενη κίνηση. Eφαρµόζοντας για το σωµατίδιο το θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της θέσεως =3k/α και µιας τυχαίας θέσεως <3k/α, παίρνουµε: + U ) = mv / + U) - + k =3k/ = mv - + k mv = - 3k + k 9k + - k v = m - 9k + - k dt = m - 9k + - k dt = ± m - 9k + - k dt = - m - k - 9k όπου v η ταχύτητα του σωµατιδίου στην θέση. Oλοκληρώνοντας την 4) µε όρια ολοκλήρωσης για την µεταβλητή τις τιµές 3k/α και k/α, παίρνουµε τον ζητούµενο χρόνο t *, δηλαδή θα έχουµε: 4) t * = - m k / - k - = m 9k 3k / 3k / k / - k - 9k P.M. fysikos