ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΙΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΑΓΡΙΝΙΟ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΙΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΑΓΡΙΝΙΟ Σχεδίαση, ανάπτυξη και εφαρμογή αλγορίθμων Υπολογιστικής Νοημοσύνης σε προβλήματα εύρεσης βέλτιστου ωρολογίου προγράμματος σε σχολεία Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης (school timetabling) και χρονοπρογραμματισμού (scheduling) ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΙΩΑΝΝΗΣ Ξ. ΤΑΣΣΟΠΟΥΛΟΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016

2 Σελίδαii Πανεπιστήμιο Πατρών Διδακτορική Διατριβή Ιωάννης Ξ. Τασσόπουλος

3 Σελίδαiii

4 Αφιέρωση Αφιερώνεται στη σύζυγό μου Νατάσα και στην κόρη μου Χριστίνα. Δυσπαρακολούθητόν τι πράγμ εστίν η τύχη Μένανδρος, 4 ος αιών π.χ. Σελίδαiv

5 Πίνακας Περιεχομένων ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 1 ABSTRACT... 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΔΥΣΚΟΛΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Δύσκολα προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Οι κλάσεις NP και P Η Υπολογιστική Νοημοσύνη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΧΩΡΟ: EXAM TIMETABLING ΚΑΙ UNIVERSITY COURSE TIMETABLING Exam Timetabling University Course Timetabling ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ SCHOOL TIMETABLING School Timetabling: Ορισμός και υπολογιστική πολυπλοκότητα Βιβλιογραφική ανασκόπηση του προβλήματος Η μορφή του προβλήματος School Timetabling Οι ανελαστικοί περιορισμοί Οι ελαστικοί περιορισμοί Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος ΚΕΦΆΛΑΙΟ 4: Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) Ο αρχικός PSO για συνεχή χώρο καθολική (Global) εκδοχή Ο αρχικός PSO για συνεχή χώρο τοπική (Local) εκδοχή Σελίδαv 4.3. Ο SPSO Ο αρχικός PSO για διακριτό χώρο... 69

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΤΑ ΑΡΧΕΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΜΕΙΚΤΟ ΑΚΕΡΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ (MIP) Περιγραφή των 10 αρχείων δεδομένων Επίλυση του προβλήματος με Μεικτό Ακέραιο Προγραμματισμό (MIP) Ανελαστικοί και ελαστικοί περιορισμοί του συγκεκριμένου προβλήματος Περιπτώσεις συνδιδασκαλιών και μέθοδος αντιμετώπισής τους Αποτίμηση ελαστικών περιορισμών S1, S2 και S Στρατηγική αντιμετώπισης της υπολογιστικής πολυπλοκότητας Η MIP διατύπωση των περιορισμών Το ενοποιημένο MIP μοντέλο Συγκριτικά αποτελέσματα και απόδοση των MIP solvers ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΤΡΕΙΣ ΠΡΩΤΟΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΧΕΣ ΤΟΥ PSO Τα κοινά χαρακτηριστικά των τριών υβριδικών PSO αλγορίθμων Η ανεξαρτησία των τριών ελαστικών περιορισμών Η φιλοσοφία των τριών υβριδικών αλγορίθμων Βασικές διαφορές και ομοιότητες των τριών αλγορίθμων Αναπαράσταση των particles Διαδικασία αρχικοποίησης (initialization) Αντικειμενική συνάρτηση (fitness function) Ο 1 ος υβριδικός PSO αλγόριθμος Η διαδικασία Swap_with_probability( ) Η διαδικασία Change_random( ) Η λειτουργία εκλέπτυνσης (refining schema) Τιμές των παραμέτρων του 1 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Ο 2 ος υβριδικός PSO αλγόριθμος Τιμές των παραμέτρων του 2 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Σελίδαvi Μια παραλλαγή του 2 ου αλγορίθμου PSO Ο 3 ος υβριδικός PSO αλγόριθμος Αναλυτική περιγραφή του 3 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Τιμές των παραμέτρων του 3 ου PSO αλγορίθμου

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΩΝ PSO ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ Μελέτη της απόδοσης του 1 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου με Ελιτισμό Μελέτη της απόδοσης του 2 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου (χωρίς Ελιτισμό) Η επίδραση των βαρών της αντικειμενικής συνάρτησης στην απόδοση του 2 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Η σύγκλιση του 2 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Μια παραλλαγή του 2 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Σύγκριση του 2 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου με τον Simulated Annealing αλγόριθμο Σύγκριση του 2 ου υβριδικού αλγορίθμου με τους AFSO και CSO Μελέτη της απόδοσης του 3 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου: τοπική εκδοχή (local version) με σχήμα επαναφοράς (Backtracking) Η επίδραση της 2 ης φάσης εκλέπτυνσης στην απόδοση του 3 ου υβριδικού PSO αλγορίθμου Ο 3 ος υβριδικός PSO έναντι των solvers CPLEX, Gurobi, GLPK Συμπεράσματα, γενικεύσεις και ανοιχτά ζητήματα ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δημοσιεύσεις που πραγματοποιήθηκαν στα πλαίσια της παρούσας Διατριβής και συμμετοχή σε Συνέδρια Κατάλογος Εικόνων και Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων Λεξικό Όρων 205 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ Σελίδαvii

8 Σελίδαviii Πανεπιστήμιο Πατρών Διδακτορική Διατριβή Ιωάννης Ξ. Τασσόπουλος

9 Ευχαριστίες Στην ολοκλήρωση της παρούσας Διατριβής συνέβαλε καθοριστικά ο επιβλέπων αναπληρωτής καθηγητής Δρ. Μπεληγιάννης Γρηγόριος, τον οποίο ευχαριστώ θερμά. Ευχαριστώ επίσης τα μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής Δρ. Λυκοθανάση Σπυρίδωνα και Δρ. Χατζηλυγερούδη Ιωάννη, καθώς και τα μέλη της ε- πταμελούς επιτροπής Δρ. Αδαμίδη Κωνσταντίνο, Δρ. Βουτσινά Βασίλειο, Δρ. Πλαγιανάκο Βασίλειο και Δρ. Γεωργόπουλο Ευστράτιο για την τιμή που μου έκαναν να επιβλέψουν και να κρίνουν την Διατριβή. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον υποψήφιο Διδάκτορα και Μαθηματικό Κατσαραγάκη Ιωσήφ και τον Μαθηματικό Σκουλλή Βασίλειο για την συνεργασία τους σε δύο δημοσιεύσεις της Διατριβής, καθώς και τον Μαθηματικό Κανάργια Νικόλαο ο οποίος στα πλαίσια της Πτυχιακής εργασίας του, αναπτύσσοντας ένα ολοκληρωμένο Πληροφοριακό Σύστημα που βασίζεται στους αλγορίθμους της Διατριβής, συνέβαλε στην ανάδειξη της πρακτικής της αξίας. Ευχαριστώ επίσης τον υποψήφιο Διδάκτορα και Μαθηματικό Σώλο Ιωάννη για την συνεργασία του σε τρείς παράπλευρες δημοσιεύσεις κατά την διάρκεια εκπόνησης της Διατριβής και τον Μηχανικό Η/Υ Λαμπρόπουλο Νικόλαο για την επιμέλεια της γενικότερης εικόνας της Διατριβής. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά και να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στην σύζυγό μου Νατάσα και στην κόρη μου Χριστίνα για την αμέριστη συμπαράσταση και υποστήριξη που μου παρείχαν όλα αυτά τα χρόνια ενασχόλησής μου με την έρευνα. Σελίδα1

10 Abstract The main topic of this thesis is the design and implementation of algorithms for solving the school timetabling problem in a feasible and efficient way. In particular, focus is given in the well-known Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm, which is modified so as to fit the specific aspects of the problem s discrete space, while enriched with novel ideas and techniques. It is known, for several decades, that the timetabling problems, in their general form, belong to the NP Hard class. Consequently, finding an exact algorithm for solving timetabling problems in an affordable amount of time is rather impossible when the size of these problems is of a great magnitude. When facing such a situation, one alternative resolution is implementing Computational Intelligence which is able to produce near optimal solutions in a reasonable amount of time by employing the set of algorithms it includes. Therefore, the first chapter is devoted to the hard problems in general and the definition of Computational Intelligence. The second chapter deals with the timetabling problem as it appears in the Academic world: the Exam Timetabling and University Course Timetabling. The third chapter focuses exclusively on the school timetabling problem in detail. The fourth chapter states the description of the Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm. The fifth chapter presents the characteristics of the instances used for benchmarking the developed algorithms. These instances represent real life situations of the Greek high school actuality. In addition, at Σελίδα2 this chapter a novel technique based on Mixed Integer Programming is introduced in order to either optimally solve or produce lower bounds for the aforementioned instances. In the sixth chapter, three novel algorithms are proposed for solving the school timetabling problem. In the seventh and final chapter, the performance of the

11 novel algorithms is studied while some open issues and directions for farther research are introduced. The easy and simple conclusion of this thesis is that Particle Swarm Optimization (PSO), which is applied for the first time, is an excellent and promising alternative in solving the school timetabling problem. Σελίδα3

12 Περίληψη Ο σκοπός της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής είναι η διερεύνηση της συμπεριφοράς καινοτόμων αλγορίθμων της Υπολογιστικής Νοημοσύνης, όσον αφορά στην κατασκευή ποιοτικών ωρολογίων προγραμμάτων για σχολεία της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Είναι γεγονός ότι, τα τελευταία χρόνια, το δύσκολο έργο της κατασκευής ωρολογίων προγραμμάτων σε λίγες μόνο περιπτώσεις επιτελείται χωρίς την βοήθεια Η/Υ. Συνήθως χρησιμοποιείται κάποιο λογισμικό, το οποίο υλοποιεί έναν αλγόριθμο που είναι σε θέση να παράξει ένα ωρολόγιο πρόγραμμα, που να καλύπτει κατά το μεγαλύτερο μέρος τις λειτουργικές ανάγκες ενός σχολείου, μέσα σε διάστημα που κυμαίνεται από λίγα λεπτά έως λίγες ώρες. Στην διεθνή επιστημονική κοινότητα υ- πάρχει συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για την ανάπτυξη νέων αλγορίθμων, οι ο- ποίοι θα βελτιώνουν διαρκώς την ποιότητα των ωρολογίων προγραμμάτων, θα εκμεταλλεύονται τις διαρκώς βελτιούμενες δυνατότητες των Η/Υ και θα στηρίζονται σε νέες θεωρητικές και πρακτικές ανακαλύψεις του χώρου της Πληροφορικής. Υπάρχει συνεπώς πρόσφορο έδαφος για την ανακάλυψη νέων αλγορίθμων ή/και μεθοδολογιών που επιστρατεύονται για την λύση του αντίστοιχου προβλήματος. Το γεγονός αυτό γέννησε την ιδέα του πειραματισμού με αλγορίθμους της Υπολογιστικής Νοημοσύνης, οι οποίοι δεν έχουν εφαρμοστεί στο παρελθόν για την επίλυση του αντίστοιχου προβλήματος και της διερεύνηση της συμπεριφοράς τους. Η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε, εν ολίγοις συνοψίζεται στην πρακτική και Σελίδα4 θεωρητική μελέτη του προβλήματος, στην ανασκόπηση της σχετικής διεθνούς βιβλιογραφίας, καθώς και στην επιλογή, τροποποίηση και εφαρμογή ενός καταξιωμένου αλγορίθμου σε παρεμφερή προβλήματα, που όμως να μην έχει εφαρμοστεί πριν στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Επίσης, η μεθοδολογία συνίσταται στην εύρεση ενός ανα-

13 γνωρισμένου συνόλου δεδομένων (data set) που να αντικατοπτρίζει ρεαλιστικές καταστάσεις και που να έχει ήδη χρησιμοποιηθεί σε προγενέστερες ερευνητικές προσπάθειες. Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατή η άμεση και δίκαιη σύγκριση των όποιων αποτελεσμάτων της Διατριβής και η εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων για την ποιότητα τους, σε πραγματικά προβλήματα. Στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή παρουσιάζονται τρείς πρωτότυποι υβριδικοί αλγόριθμοι, οι οποίοι επιλύουν το πρόβλημα κατασκευής ωρολογίων προγραμμάτων σχολείων της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης κατά σχεδόν βέλτιστο τρόπο. Οι υβριδικοί αλγόριθμοι αυτοί βασίζονται στον γνωστό αλγόριθμο Particle Swarm Optimization (PSO). Ο αλγόριθμος PSO μετασχηματίστηκε έτσι ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί στο διακριτό χώρο έρευνας του προβλήματος. Οι τρείς πρωτότυπες εκδοχές που παρουσιάζονται αποτελούν διαδοχικές προσπάθειες και προσεγγίσεις για την ε- πίλυση του School Timetabling προβλήματος. Οι αλγόριθμοι και τα αποτελέσματα που παρήχθησαν έχουν δημοσιευθεί σε έγκυρα διεθνή περιοδικά. Περισσότερες πληροφορίες για τις δημοσιεύσεις υπάρχουν στην ενότητα «Δημοσιεύσεις που πραγματοποιήθηκαν στα πλαίσια της παρούσας Διατριβής και συμμετοχή σε Συνέδρια» του Παραρτήματος. Επίσης, με εργαλείο τον Μεικτό Ακέραιο Προγραμματισμό (MIP), επιχειρήθηκε η εύρεση των ανώτατων ποιοτικών ορίων των ωρολογίων προγραμμάτων που αντιστοιχούν στα αντίστοιχα δεδομένα που επελέγησαν. Τέλος, τα παραχθέντα αποτελέσματα συγκρίνονται με αντίστοιχα άλλων ερευνητών καθώς και με αυτά που παράγει το λογισμικό asc Timetables. Το συγκεκριμένο λογισμικό χρησιμοποιείται ευρέως στα σχολεία της Ελληνικής επικράτειας και όχι μόνο. Όσον αφορά στην καινοτομία της παρούσας Διατριβής και στην συνεισφορά της Σελίδα5 στην ερευνητική κοινότητα, αυτή συνίσταται στην επιλογή του αλγορίθμου Particle Swarm Optimization (PSO), ο οποίος εφαρμόζεται για πρώτη φορά στο συγκεκριμένο

14 πρόβλημα. Η πρωτότυπη προσαρμογή του PSO, ώστε αυτός να μπορεί να εφαρμοστεί σε διακριτό χώρο, αποτελεί μια ακόμη καινοτομία. Άλλωστε, το γεγονός ότι, τελικά, τα αποτελέσματα που παρήχθησαν είναι μακράν καλύτερα από αντίστοιχα αποτελέσματα προγενέστερων ερευνητικών προσπαθειών, συνηγορούν υπέρ της καινοτομίας της Διατριβής. Επίσης, για πρώτη φορά επιχειρείται η εύρεση των τελικών βέλτιστων ποιοτικών ορίων των ωρολογίων προγραμμάτων, τα οποία βασίζονται στα αρχεία εισόδου του data set το οποίο επελέγη και το οποίο έχει χρησιμοποιηθεί αρκετές φορές από άλλους ερευνητές. Η προσπάθεια εύρεσης των τελικών βέλτιστων ο- ρίων στηρίζεται σε ακριβείς μεθόδους και μάλιστα σε μεθόδους του Μεικτού Ακέραιου Προγραμματισμού (MIP), όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Τέλος, θα πρέπει να αναφερθεί ότι, στα πλαίσια Διπλωματικής εργασίας, αναπτύχθηκε ένα ολοκληρωμένο Πληροφοριακό σύστημα, το οποίο βασίζεται στους αλγορίθμους οι οποίοι αναπτύχθηκαν για τους σκοπούς της παρούσας Διατριβής, και δίνει πλέον την δυνατότητα σε σχολεία της Ελληνικής επικράτειας να δημιουργήσουν ωρολόγιο πρόγραμμα που θα καλύπτει τις ανάγκες τους και μάλιστα χωρίς χρέωση. Το γεγονός της δημιουργίας του εν λόγω Πληροφοριακού Συστήματος αναδεικνύει την πρακτική αξία της Διδακτορικής διατριβής. Λέξεις κλειδιά: Ωρολόγιο πρόγραμμα, σχολείο Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, Υπολογιστική Νοημοσύνη, Βελτιστοποίηση, Αλγόριθμος Σμήνους, School Timetabling, scheduling, Particle Swarm Optimization (PSO). Σελίδα6

15 Εισαγωγή Ο όρος «προγραμματισμός» (scheduling ή timetabling) χρησιμοποιείται γενικά για να περιγράψει την θέσπιση κανόνων έτσι ώστε να εκτελείται αποτελεσματικά και αποδοτικά ένα έργο. Σύμφωνα με τον Baker (1974), ως προγραμματισμός (scheduling) ορίζεται η τοποθέτηση πόρων μέσα στον χρόνο προκειμένου να εκτελεστεί ένα σύνολο εργασιών, ενώ ο αντικειμενικός στόχος είναι να αντιστοιχηθεί ένα σύνολο ο- ντοτήτων σε έναν περιορισμένο αριθμό πόρων μέσα στον χρόνο, με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται ένα σύνολο προκαθορισμένων απαιτήσεων. Οι Burke κ.ά. (2004) έδωσαν έναν ορισμό του γενικού timetabling προβλήματος, ο οποίος καλύπτει πολλές περιπτώσεις: «Ένα πρόβλημα timetabling αποτελείται από τέσσερις παραμέτρους: Ένα πεπερασμένο σύνολο Τ από χρονοθυρίδες. Ένα πεπερασμένο σύνολο R από πόρους. Ένα πεπερασμένο σύνολο M από συναντήσεις. Ένα πεπερασμένο σύνολο C από περιορισμούς. Το πρόβλημα ανάγεται στην ανάθεση των χρονοθυρίδων και των πόρων στις συναντήσεις, έτσι ώστε να ικανοποιούνται όσο το δυνατόν οι περιορισμοί». Άλλωστε, όπως αναφέρουν οι Qu κ.ά. (2009), «Τα προβλήματα timetabling εμφανίζονται σε διάφορες μορφές και συμπεριλαμβάνουν το Ακαδημαϊκό timetabling, το Νοσηλευτικό timetabling, το timetabling των σπορ και το timetabling των μεταφορών. Έχουν προσελκύσει το ενδιαφέρον ερευνητών τόσο της Επιχειρησιακής Έρευνας όσο και της Τεχνητής Νοημοσύνης, ήδη από το 1960». Ταυτόχρονα, αποτελεί κοινή πεποίθηση στην ανθρώπινη συνείδηση, ότι ο προγραμματισμός, οριζόμενος Σελίδα7 με παρεμφερή κατά περίπτωση τρόπο με τους παραπάνω, αποτελεί μια κοινή απαίτηση ώστε να εκτελείται απρόσκοπτα και αποτελεσματικά σχεδόν οποιαδήποτε σύνθετη δραστηριότητα. Σε κάθε οργανισμό, στον οποίο περιλαμβάνεται προσωπικό, το οποίο καλείται να εκτελέσει συγκεκριμένες εργασίες σε συγκεκριμένο χρόνο, η ύπαρ-

16 ξη ενός προγράμματος θεωρείται εκ των ων ουκ άνευ. Βεβαίως το πρόγραμμα (timetable) είναι το αποτέλεσμα της διαδικασίας του προγραμματισμού, η οποία ονομάζεται και timetabling. Θα πρέπει να αναφερθεί ότι η κατασκευή ενός προγράμματος σε πολλές περιπτώσεις είναι μια πολύ δύσκολη υπόθεση. Ειδικά στην περίπτωση κατά την οποία οι συνιστώσες του προβλήματος, οι οποίες πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την φάση του προγραμματισμού, είναι πολυπληθείς ή ανταγωνιστικές μεταξύ τους. Ως παράδειγμα, ας αναφερθεί η διαδικασία προγραμματισμού των βαρδιών σε ένα Νοσηλευτικό Ίδρυμα. Το συγκεκριμένο πρόβλημα προγραμματισμού είναι γνωστό στην Διεθνή βιβλιογραφία με τον όρο Nurse Rostering. Σε κάθε Νοσηλευτικό Ίδρυμα υπάρχει ανάγκη για προγραμματισμό βαρδιών ιατρών, νοσοκόμων και λοιπού βοηθητικού προσωπικού σε εικοσιτετράωρη βάση. Προκειμένου να λειτουργεί απρόσκοπτα αλλά και αποδοτικά το Νοσηλευτικό Ίδρυμα, θα πρέπει να υπάρχει ένα πρόγραμμα βαρδιών, το οποίο θα σέβεται τους λειτουργικούς και Νομικούς περιορισμούς, αλλά ταυτόχρονα θα ικανοποιεί δεσμεύσεις που προκύπτουν από τις συμβάσεις εργασίας των εργαζομένων. Να σημειωθεί ότι εκτός από κάποιες δεσμεύσεις, οι οποίες πρέπει να ικανοποιηθούν οπωσδήποτε, υπάρχουν προσωπικές επιθυμίες που θέτουν οι εργαζόμενοι. Η ικανοποίηση αυτών των επιθυμιών έχει μέγιστη σημασία, καθώς αυξάνει την παραγωγικότητα και την ποιότητα εργασίας των εργαζομένων και συμβάλει στην εύρυθμη λειτουργία του Ιδρύματος. Από τους πολυάριθμους και συχνότατα ανταγωνιστικούς περιορισμούς, ας αναφερθούν αρχικά αυτοί οι οποίοι προέρχονται από τις Σελίδα8 ατομικές ή συλλογικές συμβάσεις εργασίας των εργαζομένων και την εργατική νομοθεσία. Ένας ιατρός ή νοσοκόμος δεν μπορεί να εργαστεί σε μια ημέρα για περισσότερες από οκτώ ώρες, εκτός και εάν τελεί υπό καθεστώς εφημερίας. Σε αυτήν την τελευταία περίπτωση, η διάρκεια εργασίας μπορεί να καλύψει ολόκληρη την ημέρα, αλ-

17 λά τότε θα πρέπει να απαλλαγεί από την εργασία την επόμενη ημέρα. Ακόμη, αν εργάζεται βραδινή βάρδια, τότε δεν μπορεί τη επόμενη ημέρα να εργάζεται πρωινή βάρδια. Επίσης, θα πρέπει να έχει ρεπό έναν συγκεκριμένο αριθμό από Σαββατοκύριακα και να λαμβάνει μακροχρόνια άδεια μια φορά τον χρόνο. Τέλος, ο αριθμός των πρωινών, απογευματινών και βραδινών βαρδιών δεν είναι αυθαίρετος, αλλά θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν ο ίδιος για κάθε εργαζόμενο της ίδιας κατηγορίας. Υπάρχουν επίσης και άλλες λειτουργικές δεσμεύσεις, όπως για παράδειγμα ότι ένας Ειδικευόμενος Ιατρός θα πρέπει πολύ συχνά να έχει ταυτόχρονη βάρδια με τον Ειδικευμένο Ιατρό. Επίσης, κάθε βάρδια θα πρέπει να καλύπτεται από έναν συγκεκριμένο αριθμό εργαζομένων συγκεκριμένης ειδικότητας. Τέλος, οι προσωπικές επιθυμίες για ημέρα εργασίας ή ρεπό καθώς και για είδος βάρδιας σε συγκεκριμένη ημέρα είναι συνηθισμένο φαινόμενο, όπως επίσης και η επιθυμία για συνεργασία με κάποιο άλλο άτομο του προσωπικού. Οι παραπάνω περιορισμοί δεν είναι δυνατόν να ικανοποιηθούν απολύτως στο σύνολό τους. Αυτό οφείλεται στο ότι αυτοί είναι ανταγωνιστικοί μεταξύ τους. Αν για παράδειγμα θεωρήσουμε την ακραία περίπτωση κατά την οποία από ένα σύνολο 12 εργαζομένων αιτούνται ρεπό σε μια ημέρα οι 10, με αποτέλεσμα να απομένουν 2 εργαζόμενοι χωρίς τέτοια απαίτηση, αλλά να απαιτούνται 12 εργαζόμενοι για την κάλυψη των λειτουργικών αναγκών, τότε αναγκαστικά 10 εργαζόμενοι θα είναι δυσαρεστημένοι, καθόσον θα υποχρεωθούν να εργαστούν ενώ είχαν ζητήσει ρεπό. Παρόμοιες καταστάσεις, κατά τις οποίες δεν είναι δυνατόν να ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί είναι εύκολο να φανταστεί κανείς. Από την άλλη, τέτοιου είδους προβλήματα έχουν μια εγγενή πολυπλοκότητα, η οποία είναι αυξημένου βαθμού και μη διαχειρήσιμη χωρίς την βοήθεια Η/Υ. Τα προβλήματα αυτά συνιστούν ειδικές κλάσεις προβλημάτων, που είναι γνωστές ως NP Complete και NP Hard. Περισσότερες Σελίδα9

18 πληροφορίες σχετικά με τον ορισμό, την πολυπλοκότητα και τον βαθμό δυσκολίας αυτών των προβλημάτων αναφέρονται στην ενότητα 1.2. Ως ένα δεύτερο παράδειγμα οργανισμού στον οποίο η ύπαρξη προγράμματος είναι αυτονόητη, είναι ένα σχολείο ή ένα Πανεπιστήμιο. Σε αυτούς τους οργανισμούς θα πρέπει να υπάρχει ένα πρόγραμμα το οποίο καθορίζει ποιες συγκεκριμένα ώρες θα διδάξει ο κάθε καθηγητής και σε ποια τάξη, καθώς και ποιο μάθημα από αυτά που του έχει αναθέσει η Διεύθυνση ή ο Σύλλογος Διδασκόντων. Αν πρόκειται για σχολείο της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης το αντίστοιχο πρόβλημα είναι γνωστό ως School Timetabling, ενώ το αντίστοιχο παρόμοιο πρόβλημα που αφορά στα Πανεπιστήμια αναφέρεται ως University Course Timetabling. Τέλος, το πρόβλημα προγραμματισμού των εξετάσεων σε ένα οποιοδήποτε εκπαιδευτικό ίδρυμα είναι γνωστό ως Exam Timetabling. Τα τρία αυτά προβλήματα είναι συνήθως αυτά που απαντώνται στον Ακαδημαϊκό χώρο. Το School Timetabling πρόβλημα αποτελεί το αντικείμενο της Διδακτορικής Διατριβής. Είναι ένα δύσκολο πρόβλημα, το οποίο καθίσταται ακόμη δυσκολότερο όσο αυξάνει το μέγεθός του, δηλαδή ο αριθμός των τάξεων και των καθηγητών. Η δυσκολία του εν πολλοίς οφείλεται και στους περιορισμούς που υπάρχουν και τίθενται τόσο από την Νομοθεσία, όσο και από τους καθηγητές και την δυνατότητα των κτηριακών εγκαταστάσεων, όπως η χωρητικότητα των αιθουσών ή το πλήθος των εργαστηρίων και άλλων βοηθητικών αιθουσών. Το είδος των διδασκόμενων μαθημάτων θέτει πολλές φορές περιορισμούς, όπως για παράδειγμα ότι δεν μπορεί να διδάσκεται το μάθημα της Γυμναστικής κατά την τελευταία ώρα της ημέρας, αλλά ούτε Σελίδα10 και Πανελλαδικώς εξεταζόμενο μάθημα. Όπως σε κάθε οργανισμό που απαιτεί ένα πρόγραμμα, έτσι και στα σχολεία μέχρι πριν μερικά χρόνια η κατασκευή του ανατίθετο συνήθως σε ένα πεπειραμένο υ- πάλληλο και γινόταν χωρίς κανένα επικουρικό μέσο. Η χρονική διάρκεια της διαδικα-

19 σίας κατασκευής του προγράμματος κυμαινόταν από αρκετές ώρες έως λίγες ημέρες, ενώ η ποιότητά του συχνά ήταν αμφιλεγόμενη. Οι καθηγητές συχνά ήταν δυσαρεστημένοι από το πρόγραμμα και δεν έλειπαν οι αντιπαραθέσεις τόσο για το τελικό αποτέλεσμα όσο και για τον ορισμό των κριτηρίων που ορίζουν την ποιότητα του ω- ρολογίου προγράμματος. Συχνά ο προγραμματιστής κατηγορούνταν για μεροληψία. Στις ημέρες μας η κατάσταση έχει αλλάξει. Η ύπαρξη σχολείων, όπου η κατάστρωση του ωρολογίου προγράμματος γίνεται χωρίς επικουρικό μέσο, είναι σπάνια. Η ραγδαία ανάπτυξη της επιστήμης των Η/Υ έχει σαν αποτέλεσμα την βελτίωση των δυνατοτήτων του hardware. Τόσο ο αποθηκευτικός χώρος των Η/Υ όσο και η ταχύτητα επεξεργασίας συνεχώς αυξάνονται με εκθετικό ρυθμό, ενώ το κόστος ακολουθεί πτωτική πορεία. Τις βελτιωμένες και ασύλληπτες μέχρι πριν μερικά χρόνια δυνατότητες των Η/Υ, σε συνδυασμό με το μικρό κόστος, συνόδεψε μια άνθηση στη θεωρία των αλγορίθμων που επιστρατεύτηκαν για την λύση παρόμοιων προβλημάτων timetabling. Οι αλγόριθμοι αυτοί, εκτός από την δυνατότητα επίλυσης αυτών των προβλημάτων που έχουν, συνεπικουρούμενοι από την ταχύτητα των Η/Υ, αποδίδουν ά- ριστα αποτελέσματα, καθώς είναι σε θέση να επιλύσουν το πρόβλημα σε χρόνους που κυμαίνονται από λίγα δευτερόλεπτα ή λεπτά έως ελάχιστες ώρες, με σχεδόν βέλτιστο τρόπο. Στην διεθνή επιστημονική κοινότητα υπάρχει συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για την θεωρητική μελέτη τέτοιων αλγορίθμων αλλά και την πρακτική επίλυση του προβλήματος School Timetabling. Υπάρχει πληθώρα περιοδικών που δημοσιεύουν πρωτότυπες εργασίες ερευνητών, ενώ δεν λείπουν τα συνέδρια και οι διεθνείς διαγωνισμοί που αφιερώνονται στο σχετικό αντικείμενο. Στα σχολεία της Ελληνικής Επικράτειας συνήθως χρησιμοποιείται το λογισμικό Σελίδα11 asc Timetables, το οποίο κατασκευάζει ποιοτικά ωρολόγια προγράμματα (ΩΠ) σε χρόνο ανάλογο με την δυσκολία του κάθε προβλήματος, αλλά και τον επιθυμητό βαθ-

20 μό ποιότητας. Το συγκεκριμένο λογισμικό έχει βραβευτεί με το χρυσό μετάλλιο στις Διεθνείς εκθέσεις PEDAGOGIKA, SCOLANOVA και EDUCACIA όπως αναφέρεται στο σχετικό διαδικτυακό τόπο 1. Μια συγκριτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων του 1 ου υβριδικού αλγορίθμου, που προτείνεται στην παρούσα Διατριβή, με τα αποτελέσματα του asc Timetables υπάρχει στην ενότητα 7.1. Ο σκοπός της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής είναι η μελέτη, η ανάπτυξη και η εφαρμογή καινοτόμων αλγορίθμων, οι οποίοι επιλύουν το πρόβλημα School Timetabling με σχεδόν βέλτιστο τρόπο σε αποδεκτό χρόνο. Στους στόχους συμπεριλαμβάνεται η επιλογή ενός συνόλου δεδομένων από πραγματικές καταστάσεις της ελληνικής πραγματικότητας, τα οποία έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση άλλων αλγορίθμων στο ίδιο πρόβλημα, ώστε να είναι άμεση και δίκαιη η σύγκριση μεταξύ τους. Η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε στηρίχθηκε στα εξής: Μελέτη της ελληνικής σχολικής πραγματικότητας για την κατανόηση του προβλήματος από πρακτικής πλευράς. Μελέτη βιβλιογραφίας για τον τυπικό ορισμό του προβλήματος και την κατανόηση του προβλήματος από θεωρητικής πλευράς. Ανασκόπηση σε προγενέστερες εργασίες, με το ίδιο αντικείμενο και εντοπισμός καθιερωμένου data set στην επιστημονική κοινότητα, το οποίο να Σελίδα12 έχει χρησιμοποιηθεί ήδη από άλλους ερευνητές, ώστε τα όποια αποτελέσματα της Διατριβής να είναι άμεσα μετρήσιμα και συγκρίσιμα. 1

21 Μελέτη και καταγραφή των ποιοτικών χαρακτηριστικών των προγραμμάτων που ήδη βρίσκονται σε χρήση από τα Σχολεία τα οποία σχετίζονται με το παραπάνω data set και έχουν κατασκευαστεί με το χέρι. Ποιοτικά χαρακτηριστικά των προγραμμάτων που παράγει το asc Timetables με βάση το παραπάνω data set. Επιλογή θεωρητικού εργαλείου επίλυσης του προβλήματος Κατασκευή πρωτότυπων αλγορίθμων και σύγκριση των αποτελεσμάτων των αλγορίθμων με άλλες προγενέστερες ή σύγχρονες εργασίες που χρησιμοποιούν το ίδιο data set, καθώς και δημοσίευση αυτών. Εξαγωγή τελικών συμπερασμάτων. Σελίδα13

22 Σελίδα14 Πανεπιστήμιο Πατρών Διδακτορική Διατριβή Ιωάννης Ξ. Τασσόπουλος

23 Κεφάλαιο 1: Δύσκολα υπολογιστικά προβλήματα και Υπολογιστική Νοημοσύνη Το Κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει την έννοια των δύσκολων προβλημάτων από την άποψη της υπολογιστικής τους πολυπλοκότητας. Καταρχήν παρουσιάζεται η έννοια των δύσκολων προβλημάτων και ο τρόπος επίλυσής τους. Στην συνέχεια αναφέρονται κάποια γνωστά δύσκολα προβλήματα και τέλος σκιαγραφείται σύντομα η Υπολογιστική Νοημοσύνη ως εναλλακτική επιλογή για την επίλυση των δύσκολων προβλημάτων Δύσκολα προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπάρχουν προβλήματα για την λύση των οποίων έχουν επινοηθεί αλγόριθμοι, των οποίων ο χρόνος εκτέλεσης ακολουθεί μια συνάρτηση πολυωνυμικού τύπου ως προς το μέγεθος του προβλήματος. Παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων αποτελούν το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής (shortest path) και ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου (minimum spanning tree) σε έναν γράφο, ή ακόμη το πρόβλημα της μέγιστης ροής σε ένα δίκτυο, κ.ά. Για τα προβλήματα αυτά, ο χρόνος εκτέλεσης των αλγορίθμων που τα επιλύουν φράσσεται από τα άνω με πολυωνυμικές συναρτήσεις, όπως η n, n 2, ή n 3, όπου n είναι το μέγεθος του προβλήματος. Όπως αναφέρουν οι Dasgupta κ.ά. (2006), όλα τα προηγούμενα προβλήματα, θα μπορούσαν να επιλυθούν θεωρητικά με την εξέταση όλων των εναλλακτικών επιλογών. Για παράδειγμα, k αγόρια μπορούν να αποτελέσουν ζευγάρι με k κορίτσια με k! δυνατούς τρόπους, ενώ ένας Σελίδα15 γράφος με n κόμβους έχει n n 2 ζευγνύοντα δένδρα και ένας τυπικός γράφος έχει εκθετικό αριθμό διαδρομών από τον κόμβο t στον κόμβο s. Όμως, ένας τέτοιος αλγό-

24 ριθμος, ο οποίος θα εξέταζε όλες τις πιθανές υποψήφιες λύσεις, θα ήταν στην πράξη άχρηστος, αφού ο χρόνος επίλυσης, πρακτικά, θα ήταν πολύ μεγάλος. Ευτυχώς, όπως αναφέρθηκε στην αρχή της παραγράφου, έχουν επινοηθεί εξυπνότεροι αλγόριθμοι οι οποίοι επιλύουν αυτά τα προβλήματα σε πολυωνυμικό χρόνο. Βεβαίως, δεν υπάρχει η ίδια δυνατότητα για όλα τα προβλήματα. Δυστυχώς υπάρχουν προβλήματα, τα οποία χαρακτηρίζονται ως προβλήματα έρευνας (search problems), τα οποία έχουν έναν εκθετικό αριθμό από πιθανές λύσεις και για τα οποία, παρά τις προσπάθειες των πιο λαμπρών επιστημόνων του χώρου, δεν έχει καταστεί δυνατόν να βρεθεί αλγόριθμος που να τα επιλύει σε πολυωνυμικό χρόνο. Όπως αναφέρεται από τους Dasgupta κ.ά. (2006), το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας (Satisfiability ή SAT πρόβλημα) παραμένει, υπό την παραπάνω έννοια, άλυτο για 50 χρόνια, ενώ το πρόβλημα του Περιοδεύοντος πωλητή (TSP) περιμένει την λύση του για περισσότερο από 100 χρόνια. Επίσης, αν και το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού (Linear Programming) στην γενική του μορφή είναι θεωρητικά και πρακτικά επιλύσιμο σε πολυωνυμικό χρόνο, δεν συμβαίνει το ίδιο αν απαιτήσουμε οι λύσεις του να είναι ακέραιες οπότε έχουμε το πρόβλημα του Ακέραιου Προγραμματισμού (Integer Programming). Σε αυτήν την περίπτωση, το γενικό πρόβλημα του Ακέραιου Προγραμματισμού απαιτεί εκθετικό χρόνο επίλυσης. Στην συνέχεια παραθέτουμε σε μορφή πίνακα (Πίνακας 1.1) μερικά προβλήματα, για τα οποία έχει ήδη βρεθεί αλγόριθμος επίλυσης πολυωνυμικού χρόνου (δεξιά στήλη), ενώ παραθέτουμε επίσης και τα αντίστοιχα προβλήματα, για τα οποία δεν έχει Σελίδα16 καταστεί δυνατή η επίλυσή τους με αλγόριθμο πολυωνυμικού χρόνου (αριστερή στήλη). Τα προβλήματα της πρώτης κατηγορίας θεωρούνται (και ονομάζονται) εύκολα προβλήματα, ενώ αυτά της δεύτερης κατηγορίας ονομάζονται Δύσκολα προβλήματα (Hard problems).

25 Πίνακας 1.1: Δύσκολα και εύκολα προβλήματα Δύσκολα προβλήματα (NP-Complete) Εύκολα προβλήματα (in P) 3SAT 2SAT, HORN SAT TRAVELING SALESMAN PROBLEM MINIMUM SPANNING TREE LONGEST PATH SHORTEST PATH 3D MATCHING BIPARTITE MATCHING KNAPSACK UNARY KNAPSACK INDEPENDENT SET INDEPENDENT SET ON TREES INTEGER LINEAR PROGRAMMING LINEAR PROGRAMMING RUDRATA PATH EULER PATH BALANCED CUT MINIMUM CUT Όσον αφορά στην έννοια της πολυπλοκότητας, περισσότερες πληροφορίες α- ναφέρει ο Papadimitriou (1994) Οι κλάσεις NP και P Σύμφωνα με όσα αναφέρουν οι Dasgupta κ.ά. (2006), ένα πρόβλημα PR χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα έρευνας (search problem) όταν ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο επόμενες προτάσεις: για κάθε στιγμιότυπο Ι αυτού (δηλαδή, ενός συνόλου δεδομένων που το προσδιορίζουν) και για κάθε προτεινόμενη λύση αυτού S, υπάρχει ένας αλγόριθμος Α, ο οποίος λαμβάνει ως είσοδο το στιγμιότυπο Ι και την λύση S και είναι σε θέση να επιβεβαιώσει ή να διαψεύσει ότι η λύση S είναι ό- ντως λύση του προβλήματος PR. Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγορίθμου Α έχει ως άνω φράγμα ένα πολυώνυμο ως προς το μέγεθος του στιγμιότυπου Ι. Σελίδα17

26 Η κλάση όλων των προβλημάτων έρευνας συμβολίζεται με NP. Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε παραδείγματα προβλημάτων τα οποία ανήκουν στην κλάση NP και επιπλέον επιλύονται σε πολυωνυμικό χρόνο. Για αυτές τις περιπτώσεις, υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος παράγει την λύση σε πολυωνυμικό χρόνο, αν μια τέτοια λύση υπάρχει, ή ρητά αναφέρει ότι δεν υπάρχει λύση. Τα προβλήματα τα οποία ανήκουν στην κλάση NP και επιπλέον επιλύονται σε πολυωνυμικό χρόνο ορίζουν μια άλλη κλάση προβλημάτων, την οποία συμβολίζουμε με P. Σημειώνουμε ότι το σύμβολο P προέρχεται από το αρχικό γράμμα της λέξης polynomial (πολυώνυμο), ενώ το σύμβολο NP προέρχεται από τα αρχικά των λέξεων nondeterministic polynomial (time). Όπως αναφέρουν οι Dasgupta κ.ά. (2006), ο όρος αυτός ιστορικά προέρχεται από τις «ρίζες» της θεωρίας πολυπλοκότητας και διαισθητικά σημαίνει ότι η λύση σε ένα ο- ποιοδήποτε πρόβλημα έρευνας μπορεί να βρεθεί και να επαληθευθεί σε πολυωνυμικό χρόνο από έναν ειδικού τύπου αλγόριθμο (και μη ρεαλιστικό), ο οποίος καλείται μη ντετερμινιστικός αλγόριθμος. Ο αλγόριθμος αυτός έχει την δυνατότητα να «αποφασίζει» σωστά σε κάθε βήμα. Παρεμπιπτόντως, ο αρχικός ορισμός της κλάσης NP (και η κοινή του χρήση στις ημέρες μας), δεν αναφερόταν σε προβλήματα έρευνας αλλά στην κλάση των προβλημάτων απόφασης, δηλαδή σε προβλήματα όπου η λύση τους είναι μια απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Είναι θεωρούμε προφανές ότι ανακύπτει αβίαστα το ερώτημα: είναι η κλάση NP διαφορετική από την κλάση P; Δηλαδή, ισχύει ότι NP P ή μήπως NP = P. Με άλλα λόγια, είναι δυνατόν να ξεπεράσουμε πάντα την δυσκολία εκθετικού βαθμού που ε- Σελίδα18 μπεριέχουν τα προβλήματα NP, επινοώντας έναν αλγόριθμο πολυωνυμικού χρόνου εκτέλεσης; Ή μήπως υπάρχουν προβλήματα για τα οποία δεν είναι δυνατόν να υπάρξει τέτοιος αλγόριθμος; Το ερώτημα αυτό είναι το πιο διάσημο και επίμονο ερώτημα που απασχολεί τους Μαθηματικούς μέχρι σήμερα. Πάντως, σύμφωνα με όλες τις εν-

27 δείξεις, οι οποίες εν πολλοίς περιλαμβάνουν τις αποτυχημένες προσπάθειες διάσημων Μαθηματικών και επιστημόνων της Πληροφορικής να αποδείξουν ότι NP = P, μάλλον ισχύει ότι NP P. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφέρουμε ότι, όπως έχει αποδειχτεί, όλα τα προβλήματα της αριστερής στήλης του Πίνακας 1.1, είναι επί της ουσίας το ίδιο πρόβλημα και κάθε πρόβλημα αυτής της στήλης μπορεί να αναχθεί σε οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα της ίδιας στήλης. Ολοκληρώνουμε την ενότητα δίνοντας τελικά των ορισμό των NP Complete προβλημάτων: Ένα πρόβλημα έρευνας είναι NP Complete (NP πλήρες) αν και μόνο αν κάθε πρόβλημα έρευνας ανάγεται σε αυτό Στην πραγματικότητα, ο παραπάνω ορισμός είναι πολύ ισχυρός και περιέχει μια ισχυρότατη απαίτηση. Παρόλα αυτά, είναι βέβαιο ότι υπάρχουν NP πλήρη προβλήματα (ο Πίνακας 1.1 περιλαμβάνει μερικά από τα πιο διάσημα παραδείγματα). Από την άλλη, όπως προκύπτει από τα παραπάνω, αν λυθεί ένα από τα NP πλήρη πρόβλημα, τότε θα είμαστε σε θέση να λύσουμε όλα τα NP πλήρη προβλήματα σε πολυωνυμικό χρόνο. Για τον τρόπο με τον οποίο ένα οποιοδήποτε NP πλήρες πρόβλημα, από αυτά που περιέχονται στην αριστερή στήλη του Πίνακας 1.1, ανάγεται σε ένα οποιοδήποτε άλλο από αυτά, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στους Dasgupta κ.ά. (2006). Τέλος, θα αναφερθούμε στα NP σκληρά (NP Hard) προβλήματα. Διαισθητικά, ένα τέτοιο πρόβλημα είναι τουλάχιστον τόσο δύσκολο όσο τα NP πλήρη. Σημειώνουμε ότι τα NP σκληρά προβλήματα δεν είναι απαραίτητο να ανήκουν στην κλάση NP, ούτε να είναι προβλήματα απόφασης. Ο ακριβής ορισμός είναι: «ένα πρόβλημα x είναι NP σκληρό, αν υπάρχει ένα NP πλήρες πρόβλημα Υ, έτσι ώστε το Y να ανάγεται στο x σε πολυωνυμικό χρόνο». Παραπέμπουμε στους Garey και Johnson (1979), Σελίδα19 όπου υπάρχει μια θαυμάσια παρουσίαση για την NP πληρότητα.

28 1.3. Η Υπολογιστική Νοημοσύνη Στην ενότητα 1.2 αναφέρθηκαν δύσκολα προβλήματα για τα οποία, όντας NP πλήρη, δεν έχει βρεθεί αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου που να τα επιλύει. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν στιγμιότυπα αυτών των προβλημάτων που δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν σε ικανοποιητικό χρόνο, ακόμη και αν χρησιμοποιήσουμε έναν Η/Υ μεγάλων δυνατοτήτων σε ταχύτητα. Ακόμη, ο χρόνος επίλυσης τέτοιων προβλημάτων μπορεί να είναι όχι μόνο μη ικανοποιητικός, αλλά και απαγορευτικός. Σε τέτοιου είδους καταστάσεις, μπροστά στο αδιέξοδο που αντιμετωπίζουμε, θα ήμασταν ιδιαίτερα ικανοποιημένοι αν μπορούσαμε να βρούμε, αντί για την βέλτιστη λύση, μια σχεδόν βέλτιστη λύση σε ικανοποιητικό χρόνο. Ευτυχώς, σήμερα έχουμε αυτήν την δυνατότητα, η οποία παρέχεται από την Υπολογιστική Νοημοσύνη (Computational Intelligence CI). Πρόκειται για έναν κλάδο της Τεχνητής Νοημοσύνης (Artificial Intelligence AI), που όμως έχει αναπτυχθεί σε τέτοιο βαθμό, έτσι ώστε να είναι δύσκολος ο εντοπισμός της συνάφειας μεταξύ CI και AI. Σελίδα20 Τα τελευταία χρόνια, έχει καθιερωθεί στο Ηνωμένο Βασίλειο ένα ετήσιο συνέδριο αφιερωμένο στην Υπολογιστική Νοημοσύνη. Το συνέδριο αυτό διεξάγεται σε διαφορετική, κάθε χρονιά, πόλη και το 2011 διεξήχθη στο Πανεπιστήμιο του Μάντσεστερ. Σύμφωνα με όσα αναφέρονται στην ιστοσελίδα 2 του συνεδρίου, σκοπός του είναι η παρουσίαση πρωτοπόρου έρευνας στο χώρο της CI και η ίδρυση ενός forum, όπου τα μέλη της Ακαδημαϊκής κοινότητας θα μπορούν να ανταλλάσσουν απόψεις σε θεωρητικά και πρακτικά ζητήματα των τεχνικών της CI. Στην ιστοσελίδα του συγκεκριμένου συνεδρίου αναφέρεται ότι η Υπολογιστική Νοημοσύνη αποτελεί ένα παρακλάδι της Τεχνητής Νοημοσύνης, στο οποίο δίνεται έμφαση σε Ευρετικούς αλγορίθμους, 2

29 όπως τα Ασαφή Συστήματα (Fuzzy Systems), τα Νευρωνικά Δίκτυα (Neural Networks) και ο Εξελικτικός Προγραμματισμός (Evolutionary Computation). Αναφέρεται ακόμη, ότι παρόλο που η Αμερικανική Εταιρεία Υπολογιστικής Νοημοσύνης (IEEE Computational Intelligence Society) χρησιμοποιεί την φράση: «(η Υπολογιστική Νοημοσύνη) μιμείται την Φύση για την επίλυση προβλημάτων», προκειμένου να περιγράψει την Υπολογιστική Νοημοσύνη, το στοιχείο της μίμησης της Φύσης δεν είναι απαραίτητο χαρακτηριστικό. Ακόμη, πέραν της συμπερίληψης των Ασαφών Συστημάτων, των Νευρωνικών Δικτύων και του Εξελικτικού Προγραμματισμού, η Υπολογιστική Νοημοσύνη ενσωματώνει στοιχεία Μάθησης, Προσαρμογής, Ευρετικών και Μέτα ευρετικών μεθόδων βελτιστοποίησης, καθώς και υβριδικές μεθόδους μιας ή περισσότερων από τις προηγούμενες τεχνικές. Πρόσφατα, συμπεριελήφθησαν στην θεματολογία της Υπολογιστικής Νοημοσύνης τα Τεχνητά Ανοσοποιητικά Συστήματα (Artificial Immune Systems), η Νοημοσύνη Σμήνους (Swarm Intelligence), τα Χαοτικά Συστήματα (Chaotic Systems) κ.ά. Άλλωστε, ο όρος Ελαστικός Προγραμματισμός (Soft Computing) χρησιμοποιείται συχνά ως εναλλακτικός όρος του όρου Υπολογιστική Νοημοσύνη. Τέλος, όπως επίσης αναφέρεται στην ιστοσελίδα του Συνεδρίου, η Υπολογιστική Νοημοσύνη έχει επιτυχώς χρησιμοποιηθεί σε ένα μεγάλο εύρος εφαρμογών, συμπεριλαμβανομένων της Λήψης Αποφάσεων, Ταξινόμησης (Classification), ηλεκτρονικών συσκευών καταναλωτών, πρόβλεψης Χρονοσειρών, συνδυαστικής βελτιστοποίησης, Ιατρικής, Βίο ιατρικής και Βίο πληροφορικής και πολλών άλλων. Θα ολοκληρώσουμε την γενική αναφορά μας στην Υπολογιστική Νοημοσύνη, κάνοντας μνεία σε ορισμένους μόνο, ίσως τους πιο γνωστούς, αλγορίθμους που χρησιμοποιούνται στον κλάδο αυτό. Σελίδα21 Ένας πολύ γνωστός και δημοφιλής αλγόριθμος προτάθηκε από τον Holland (1975) και ονομάζεται «Γενετικός Αλγόριθμος» (Genetic Algorithm GA). Χρησιμο-

30 ποιεί έναν πληθυσμό από υποψήφιες λύσεις και είναι εμπνευσμένος από τις αρχές της βιολογικής εξέλιξης, δηλαδή την επιλογή, την μετάλλαξη και την διασταύρωση. Οι αντίστοιχοι τελεστές εφαρμόζονται στον πληθυσμό των λύσεων έτσι ώστε σταδιακά, με την εξέλιξη του αλγορίθμου, να προκύπτει η σχεδόν βέλτιστη λύση. Μια άλλη δημοφιλής τεχνική, που θεωρητικά μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα προβλήματα timetabling, είναι η «Ανάβαση Λόφου» (Hill Climbing). Σύμφωνα με αυτήν, μια υποψήφια λύση γίνεται αποδεκτή αν είναι βελτιωμένη σε σχέση με την καλύτερη λύση που έχει ήδη βρεθεί. Οι Kirkpatrick κ.ά. παρουσίασαν το 1983 μια μέθοδο βελτιστοποίησης που στηρίζεται στην διαδικασία τήξης μετάλλων και την ονόμασαν Simulated Annealing (SA). Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, οι βελτιωτικές λύσεις γίνονται πάντα αποδεκτές, ενώ οι κακές λύσεις γίνονται και αυτές αποδεκτές με βάση την τιμή μιας πιθανότητας αποδοχής. Η τιμή της πιθανότητας αποδοχής μικραίνει καθώς ο αλγόριθμος εξελίσσεται. Έχει παρατηρηθεί ότι η αποδοχή λύσεων, οι οποίες δεν είναι βελτιωτικές, εξυπηρετεί την απεμπλοκή του αλγορίθμου όταν αυτός έχει εγκλωβιστεί σε κάποιο τοπικό βέλτιστο. Σελίδα22 Μια άλλη μέθοδος είναι η Tabu Search και παρουσιάστηκε από τον Glover (1986). Αυτή είναι παρόμοια με την Hill Climbing, με την διαφορά ότι υπάρχει μια μνήμη η οποία απομνημονεύει τις πρόσφατες λύσεις που έχουν ήδη εξεταστεί, ώστε να αποφεύγεται η επανεξέτασή τους. Με αυτόν τον τρόπο αποφεύγεται ο εγκλωβισμός σε τοπικά βέλτιστα. Το 1993 ο Dueck πρότεινε τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης που ονομάστηκε «αλγόριθμος του Μεγάλου Κατακλυσμού» (Great Deluge). Ο αλγόριθμος αυτός λειτουργεί με παρόμοιο τρόπο με αυτόν του Simulated Annealing, με την διαφορά ότι

31 στον αλγόριθμο του Μεγάλου Κατακλυσμού χρησιμοποιείται ένα διάστημα αποδοχής των κακών λύσεων ως κριτήριο, του οποίου το εύρος μειώνεται καθώς ο αλγόριθμος εξελίσσεται. Μια υποψήφια λύση γίνεται αποδεκτή μόνο αν είναι βελτιωτική ή αν ανήκει στο διάστημα αποδοχής. Το 1995 οι Kennedy και Eberhart παρουσίασαν έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης, τον οποίον ονόμασαν Particle Swarm Optimization (PSO). Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος αναζητά την βέλτιστη λύση προσομοιώνοντας την συμπεριφορά ενός σμήνους πτηνών καθώς αυτό αναζητά την τροφή του. Η κίνηση του κάθε μέλους του σμήνους, γνωστό ως particle (σωματίδιο), επηρεάζεται τόσο από την γενικότερη βέλτιστη κοινωνική συμπεριφορά όσο και από την καλύτερη, μέχρι την τρέχουσα γενεά του αλγορίθμου, προσωπική εμπειρία του σωματιδίου. Ένας ακόμη αλγόριθμος, ο οποίος προτάθηκε από τους Dorigo κ.ά. (1996), είναι εμπνευσμένος από την συμπεριφορά μιας αποικίας μυρμηγκιών κατά την αναζήτηση τροφής και ονομάζεται Ant Colony Optimization (ACO). Ολοκληρώνουμε την ενδεικτική παράθεση αλγορίθμων της Υπολογιστικής Νοημοσύνης, αναφέροντας τον αλγόριθμο που πρότειναν οι Hansen και Mladenović το Ο αλγόριθμος αυτός χρησιμοποιεί περισσότερες από μια γειτονιές, των οποίων την χρήση εναλλάσσει συστηματικά κατά την διάρκεια της εξέλιξής του. Ονομάστηκε «Έρευνα Μεταβλητής Γειτονιάς» (Variable Neighborhood Search VNS). Η χρήση περισσότερων της μιας γειτονιών επιτρέπει την διεξοδικότερη εξερεύνηση του χώρου έρευνας. Σελίδα23

32 Σελίδα24 Πανεπιστήμιο Πατρών Διδακτορική Διατριβή Ιωάννης Ξ. Τασσόπουλος

33 Κεφάλαιο 2: Το πρόβλημα προγραμματισμού στον Ακαδημαϊκό χώρο: Exam Timetabling και University Course Timetabling Στο Κεφάλαιο αυτό γίνεται αναφορά στο πρόβλημα timetabling, όπως αυτό α- παντάται στον Ακαδημαϊκό χώρο. Συγκεκριμένα, αναφέρεται το πρόβλημα Exam Timetabling και University Course Timetabling, ενώ το τρίτο πρόβλημα, το School Timetabling, αποτελεί αυτοτελώς το αντικείμενο του Κεφαλαίου 3. Παρατίθεται ο ορισμός του κάθε προβλήματος και ορισμένες ενδεικτικές ερευνητικές προσπάθειες επίλυσής του, από τις πολυπληθείς που υπάρχουν. Όσον αφορά στο Exam Timetabling πρόβλημα, η παρουσίαση των αλγορίθμων, που έχουν προταθεί από διάφορους ε- ρευνητές, είναι μάλλον ονομαστική, χωρίς πολλές λεπτομέρειες. Όσον αφορά στο πρόβλημα University Course Timetabling, η παρουσίαση της αντίστοιχης ερευνητικής προσπάθειας είναι σχετικά πιο αναλυτική. Αυτό συμβαίνει διότι το University Course Timetabling πρόβλημα προσομοιάζει με το School Timetabling πρόβλημα (το οποίο αναλύεται διεξοδικά στο Κεφάλαιο 3) και έτσι θεωρήσαμε σωστό να εμβαθύνουμε περισσότερο σε αυτό, παρά στο Exam Timetabling Exam Timetabling Σύμφωνα με την Souad Larabi (2015) το πρόβλημα του προγραμματισμού εξετάσεων (Exam Timetabling) μπορεί να οριστεί ως η ανάθεση ενός συνόλου εξετάσεων σε περιορισμένο αριθμό διατεταγμένων χρονοθυρίδων και αιθουσών συγκεκριμένης χωρητικότητας, ενώ ικανοποιείται ένα σύνολο περιορισμών. Εξάλλου, σύμφωνα Σελίδα25 με την ίδια ερευνήτρια, οι περιορισμοί είναι ανταγωνιστικοί μεταξύ τους και κατηγοριοποιούνται σε ανελαστικούς και ελαστικούς. Οι ανελαστικοί πρέπει να ικανοποιού-

34 νται σε κάθε περίπτωση (οπότε το πρόγραμμα θεωρείται εφικτό), ενώ οι ελαστικοί περιορισμοί αναμένεται να μην ικανοποιούνται απολύτως, αν και ο βαθμός ικανοποίησής τους είναι ανάλογος της ποιότητας του προγράμματος. Ένα εφικτό πρόγραμμα, στο οποίο ο βαθμός ικανοποίησης των ελαστικών περιορισμών είναι μεγάλος, θεωρείται ποιοτικό και ονομάζεται αποτελεσματικό (efficient). Σελίδα26 Το 2007 διεξήχθη ο Δεύτερος Διεθνής Διαγωνισμός (ITC2007), ο οποίος ήταν αφιερωμένος στο Timetabling 3. Ο Διαγωνισμός αποτελείτο από τρείς τομείς: ο πρώτος αφορούσε το πρόβλημα Exam Timetabling, ενώ ο δεύτερος και τρίτος τομέας ή- ταν αφιερωμένος στο πρόβλημα University Course Timetabling. Στόχος του Διαγωνισμού ήταν η περεταίρω ανάπτυξη της έρευνας σε αυτά τα προβλήματα και η τυποποίηση καθιέρωση ενός γενικά αποδεκτού ορισμού αυτών των προβλημάτων. Μερικά χρόνια πριν την διεξαγωγή του Δεύτερου Διαγωνισμού, οι de Werra κ.ά. (2002) έδωσαν τον ορισμό ενός απλοποιημένου μοντέλου για το Exam Timetabling και παρουσίασαν τις πιθανές επεκτάσεις του στα υπόλοιπα προβλήματα timetabling του Ακαδημαϊκού χώρου. Έδειξαν επίσης ότι κάποιες εκδοχές του προβλήματος ανήκουν στην κλάση των NP Complete προβλημάτων (βλέπε Κεφάλαιο 1). Πρέπει να σημειωθεί όμως, ότι ο ορισμός του προβλήματος Exam Timetabling, όπως και των προβλημάτων University Course Timetabling και School Timetabling, δεν ήταν και ίσως δεν είναι ακόμη καθολικά αποδεκτός και υιοθετημένος από το ευρύτερο σύνολο της ερευνητικής κοινότητας. Αυτό συμβαίνει διότι, ανάλογα με το εκπαιδευτικό σύστημα κάθε χώρας, αλλά και τις ιδιαιτερότητας σε εθνολογικά, πολιτισμικά, ακόμη και θρησκευτικά ζητήματα, τα αντίστοιχα προβλήματα ορίζονται διαφορετικά, αν και ο πυρήνας του ορισμού παραμένει ο ίδιος. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ένας από τους στόχους του Διαγωνισμού ήταν η καθιέρωση ενός καθολικά αποδεκτού μοντέ- 3

35 λου, το οποίο θα περιέχει στοιχεία από πραγματικές καταστάσεις και ταυτόχρονα δεν θα είναι εξεζητημένα πολύπλοκο. Εν πολλοίς, το μοντέλο του Exam Timetabling καθορίζεται από τους ανελαστικούς και ελαστικούς περιορισμούς που αυτό υιοθετεί. Στην συνέχεια παραθέτουμε τις οντότητες και τους περιορισμούς του προβλήματος, σύμφωνα με τις προδιαγραφές που όρισε ο Διαγωνισμός ITC2007. Οι οντότητες είναι: Η εξεταστική περίοδος, η οποία αποτελείται από έναν αριθμό χρονικών περιόδων προκαθορισμένου μήκους. Το σύνολο των εξετάσεων, οι οποίες πρέπει να προγραμματιστούν στις χρονικές περιόδους. Το σύνολο των φοιτητών, οι οποίοι έχουν εγγραφεί στις συγκεκριμένες εξετάσεις. Για κάθε εξέταση είναι γνωστό το υποσύνολο των φοιτητών, οι οποίοι είναι εγγεγραμμένοι στην εξέταση. Το σύνολο των αιθουσών στις οποίες θα λάβουν χώρα οι εξετάσεις. Κάθε αίθουσα έχει τα δικά της ατομικά χαρακτηριστικά. Το σύνολο των ανελαστικών περιορισμών, οι οποίοι πρέπει να ικανοποιηθούν οπωσδήποτε. Το σύνολο των ελαστικών περιορισμών, η παραβίαση των οποίων συνεισφέρει στην συνολική ποινή κόστος του προγράμματος. Το σύνολο των βαρών με βάσει τα οποία σταθμίζεται η συνεισφορά κάθε ελαστικού περιορισμού που παραβιάζεται, στην συνολική ποινή. Σελίδα27 Θα λέμε ότι μια λύση ή ένα πρόγραμμα (timetable) είναι εφικτό, αν και μόνο αν κάθε εξέταση έχει αντιστοιχηθεί σε μια περίοδο και μια αίθουσα με τέτοιο τρόπο, ώστε

36 να μην παραβιάζεται κανένας ανελαστικός περιορισμός. Οι ανελαστικοί περιορισμοί είναι οι ακόλουθοι: Κάθε φοιτητής εξετάζεται σε μια το πολύ εξέταση σε δεδομένη περίοδο. Η χωρητικότητα κάθε αίθουσας στην οποία πραγματοποιείται μια εξέταση επαρκεί για τους εγγεγραμμένους φοιτητές της εξέτασης. Το μήκος των περιόδων είναι επαρκές σε σχέση με την διάρκεια των εξετάσεων. Χρονισμός εξετάσεων. Για παράδειγμα, η εξέταση Α πρέπει να προηγηθεί της εξέτασης Β. Χωρική αντιστοίχιση κάποιων εξετάσεων. Για παράδειγμα, η εξέταση Α πρέπει οπωσδήποτε να λάβει χώρα στην αίθουσα 001. Σημειώνεται ότι, αντίθετα με το University Course Timetabling, οι εξετάσεις μπορεί να λάβουν χώρα ταυτόχρονα στην ίδια αίθουσα, εφόσον η χωρητικότητα της αίθουσας το επιτρέπει. Οι ελαστικοί περιορισμοί είναι οι ακόλουθοι: Για κάθε φοιτητή, ο οποίος εξετάζεται σε δύο εξετάσεις την ίδια ημέρα, οι εξετάσεις δεν είναι συνεχόμενες χρονικά, αλλά αντίθετα υπάρχει κενό χρονικό διάστημα ανάμεσά τους. Σελίδα28 Κάθε φοιτητής εξετάζεται σε μια το πολύ εξέταση ανά ημέρα. Ο περιορισμός αυτός καθίσταται σημαντικός όταν η ημέρα διαθέτει περισσότερες από δύο περιόδους. Καθορισμένη χρονική διασπορά των εξετάσεων. Ενδιαφέρει ο αριθμός των περιπτώσεων όπου ένας φοιτητής εξετάζεται σε περισσότερες από

37 μια εξέταση σε μια περίοδο. Ο σκοπός του περιορισμού είναι ο δίκαιος επιμερισμός φόρτου εξετάσεων σε όλους τους φοιτητές. Διαφοροποιημένη διάρκεια εξέτασης εξετάσεων οι οποίες έχουν προγραμματιστεί σε συγκεκριμένες περιόδους στην ίδια αίθουσα. Οι εξετάσεις στις οποίες μετέχουν πολλοί φοιτητές πρέπει να προγραμματίζονται προς την αρχή του προγράμματος (timetable), έτσι ώστε να υπάρχει επαρκής χρόνος για την διόρθωση των γραπτών. Ο αριθμός των φορών που χρησιμοποιείται μια περίοδος για εξετάσεις. Κάθε περίοδος έχει αντιστοιχισμένο έναν αριθμό βαρύτητα. Αυτός ο α- ριθμός πολλαπλασιάζεται με την πραγματική ποινή. Ο αριθμός των φορών που χρησιμοποιείται μια αίθουσα για εξετάσεις. Όμοιος περιορισμός με τον προηγούμενο, μόνο που ο συγκεκριμένος ε- φαρμόζεται για αίθουσες. Θα ολοκληρώσουμε την σύντομη παρουσίαση του προβλήματος Exam Timetabling παραθέτοντας έναν περιορισμένο αριθμό από ερευνητικές προσπάθειες επίλυσής του. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στους Qu κ.ά. (2009), οι ο- ποίοι παρέχουν μια πλήρη αναφορά προτάσεων επίλυσης του προβλήματος, που έ- γιναν μετά το 1996, μαζί με τις σύγχρονες τάσεις που επικρατούν στην έρευνα του πεδίου αυτού. Άλλωστε, μια σύντομη παρουσίαση των αλγορίθμων που αναφέρονται στην συνέχεια, υπάρχει στην ενότητα 1.3. Οι Μιμητικοί Αλγόριθμοι (Memetic Algorithms) αποτελούν το αποτέλεσμα του υβριδισμού των Γενετικών Αλγορίθμων και των Αλγορίθμων Τοπικής Έρευνας Σελίδα29 (Local Search Algorithms). Οι Burke κ.ά. (1996) και οι Abdullah κ.ά. (2010) εφάρμο-

38 σαν τους Μιμητικούς Αλγορίθμους στο Exam Timetabling πρόβλημα και έδειξαν ότι οι Μιμητικοί Αλγόριθμοι είναι πιο αποδοτικοί σε σχέση με τους Γενετικούς Αλγορίθμους. Άλλη μέθοδος, που επίσης έχει χρησιμοποιηθεί στο εν λόγω πρόβλημα, είναι η Tabu Search. Η τεχνική αυτή, προσαρμοσμένη στο Exam Timetabling, αναφέρεται από τους Di Gaspero και Schaerf (2001) και τους White κ.ά. (2004). Οι Merlot κ.ά. (2003) και Burke και De Causmaecker (2003) εφάρμοσαν την μέθοδο Simulated Annealing στο συγκεκριμένο πρόβλημα επιτυχώς. Οι ερευνητές Burke και Newall (2003) προτείνουν τον αλγόριθμο του Μεγάλου Κατακλυσμού για την επίλυση του Exam Timetabling. Συγκρίνουν την απόδοση του συγκεκριμένου αλγορίθμου με αυτήν των Simulated Annealing και Hill Climbing και πιστοποιούν ότι ο αλγόριθμος του Μεγάλου Κατακλυσμού υπερέχει. Οι Abdullah κ.ά. (2005) καθώς και οι Burke κ.ά. (2010c) εφάρμοσαν τον αλγόριθμο της Μεταβλητής Γειτονιάς (Variable Neighborhood). Οι Chu κ.ά. (2006) προτείνουν μια εκδοχή του αλγορίθμου Particle Swarm Optimization (PSO), προσαρμοσμένη στον διακριτό χώρο, προκειμένου να επιλύσουν το Exam Timetabling πρόβλημα. Με την εργασία τους αποδεικνύουν ότι ο PSO, εκτός από την επιτυχή αντιμετώπιση προβλημάτων βελτιστοποίησης σε συνεχή χώρο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για προβλήματα διακριτού χώρου, επιτυγχάνοντας ικανοποιητικά αποτελέσματα. Σελίδα30 Η δημοφιλής τεχνική της Ανάβασης Λόφου (Hill Climbing) έχει το μειονέκτημα ότι παγιδεύεται εύκολα σε τοπικά βέλτιστα, όπως σημειώνουν οι Burke και Kendal, (2005). Το 2008, οι Burke και Bykov πρότειναν μια στρατηγική αποδοχής με υστέρηση για τον αλγόριθμο Hill Climbing. Η μέθοδος καθυστερεί το βήμα σύγκρισης μεταξύ

39 της υποψήφιας λύσης και της τρέχουσας καλύτερης λύσης και αποδίδει πολύ καλά αποτελέσματα. Περισσότερες πληροφορίες παρέχονται από τους Burke και Bykov (2008). Επίσης, οι Mandal και Kahar (2015) χρησιμοποίησαν την ίδια μέθοδο σε συνδυασμό με διάφορες ευρετικές τεχνικές γράφων. Τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά. Στο ίδιο πρόβλημα (Exam Timetabling) έχει εφαρμοστεί ο ACO από τον Eley (2006 και 2007) με πολύ καλά αποτελέσματα. Τέλος, σχετικά πρόσφατα, οι Leite κ.ά. (2015) εφάρμοσαν μια παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθμου στο Exam Timetabling πρόβλημα. Επίσης, ο Innet (2013) προτείνει ως λύση για τα Πανεπιστήμια της Ταϊλάνδης τον Γενετικό Αλγόριθμο. Τέλος, οι Čupić κ.ά. (2009) εφαρμόζουν επίσης έναν Γενετικό Αλγόριθμο στο ίδιο πρόβλημα. Όλες αυτές οι προσπάθειες, καθώς και άλλες που δεν αναφέρονται, έχοντας ως κοινή προσέγγιση τον Γενετικό Αλγόριθμο, δείχνουν ότι ο συγκεκριμένος αλγόριθμος είναι και σε αυτό το πρόβλημα αρκετά δημοφιλής University Course Timetabling Το University Course Timetabling πρόβλημα αφορά στον προγραμματισμό των διαλέξεων σε ένα Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα, για παράδειγμα σε ένα Πανεπιστήμιο. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, όπως άλλωστε και στο Exam Timetabling, ορίζονται δύο είδη περιορισμών: οι ανελαστικοί και οι ελαστικοί (Burke κ.ά., 2007 και Lewis, 2008). Οι ανελαστικοί περιορισμοί (Hard constraints) είναι οι πιο σημαντικοί και πρέπει να ικανοποιούνται οπωσδήποτε ώστε το αποτέλεσμα να είναι ένα εφικτό πρόγραμμα (Burke και Newall, 2004). Οι ελαστικοί περιορισμοί (Soft Constraints) είναι Σελίδα31 λιγότερο σημαντικοί και αναμένεται, η ως ένα βαθμό, παραβίασή τους η οποία είναι

40 αποδεκτή. Παρόλα αυτά, ο βαθμός ικανοποίησης των ελαστικών περιορισμών είναι ανάλογος της ποιότητας του προγράμματος και το χαρακτηρίζει ως λιγότερο ή περισσότερο αποδοτικό (efficient). Σύμφωνα με τους Socha κ.ά. 2003, το πρόβλημα University Course Timetabling μπορεί να οριστεί ως η ανάθεση ενός συγκεκριμένου α- ριθμού διαλέξεων σε έναν συγκεκριμένο αριθμό χρονοθυρίδων (timeslots) και αιθουσών, με ταυτόχρονη ικανοποίηση ενός συνόλου ανελαστικών και ελαστικών περιορισμών. Στο μοντέλο που παρουσιάζουν οι δύο ερευνητές, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες οντότητες: Ένα σύνολο από διαλέξεις c i (i = 0,..., C). Ένα σύνολο από t n χρονοθυρίδες (n = 1,...,45) Ένα σύνολο από R αίθουσες r j (j = 0,..., R). Ένα σύνολο από F χαρακτηριστικά αιθουσών. Ένα σύνολο από M φοιτητές. Το University Course Timetabling πρόβλημα συνίσταται στην ανάθεση κάθε διάλεξης c i σε μια χρονοθυρίδα t n και σε μια αίθουσα r j, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οπωσδήποτε οι ακόλουθοι περιορισμοί: 1. Κανείς φοιτητής δεν μπορεί να ανατεθεί σε περισσότερες από μια διαλέξεις την ίδια ώρα. 2. Η αίθουσα στην οποία θα ανατεθεί μια διάλεξη θα πρέπει να ικανοποιεί Σελίδα32 τις απαιτήσεις σε μέσα της διάλεξης. 3. Το πλήθος των φοιτητών που ορίζονται σε μια διάλεξη θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο από την χωρητικότητα της αίθουσας της διάλεξης. 4. Σε κάθε αίθουσα και σε δεδομένο χρόνο ορίζεται το πολύ μια διάλεξη.

41 Στο συγκεκριμένο μοντέλο, οι παραπάνω ανελαστικοί περιορισμοί συνοδεύονται από τους ελαστικούς περιορισμούς, οι οποίοι είναι οι ακόλουθοι: 1. Σε κάθε φοιτητή δεν πρέπει να ορίζεται διάλεξη στην τελευταία ώρα της ημέρας. 2. Οι συνεχόμενες διαλέξεις κάθε φοιτητή, κατά την διάρκεια οποιασδήποτε ημέρας, πρέπει να είναι το πολύ δύο και να ακολουθούνται από κενό. 3. Κάθε φοιτητής πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο διαλέξεις σε κάθε ημέρα. Ο αντικειμενικός στόχος είναι η κατασκευή ενός προγράμματος, το οποίο θα ι- κανοποιεί οπωσδήποτε όλους τους ανελαστικούς περιορισμούς, ενώ ταυτόχρονα θα ελαχιστοποιεί το πλήθος των φοιτητών που εμπλέκονται σε παραβιάσεις ελαστικών περιορισμών. Σημειώνεται, ότι στο συγκεκριμένο μοντέλο, η παραβίαση κάθε ελαστικού περιορισμού κοστολογείται με μια μονάδα κόστους. Στην διεθνή βιβλιογραφία έχουν καταγραφεί 18 είδη ελαστικών περιορισμών (Pongcharoen κ.ά., 2008), οι οποίοι όμως, δεν αφορούν σε όλα τα Πανεπιστήμια και διαφέρουν ανάλογα με το κράτος ή το εκπαιδευτικό σύστημα. Άλλωστε, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι αναγκαίο να θεωρούνται πρόσθετοι ελαστικοί περιορισμοί που σχετίζονται με Θρησκευτικές παραμέτρους ή πολιτιστικά ζητήματα. Όπως ήδη αναφέρθηκε στην ενότητα 2.1, το 2007 διεξήχθη ο Δεύτερος Διεθνής Διαγωνισμός, ο οποίος ήταν αφιερωμένος στο Timetabling. Ο δεύτερος τομέας του Διαγωνισμού ήταν αφιερωμένος στο Post Enrollment Based Course Timetabling (PE CTT) και ο τρίτος στο Curriculum Based Course Timetabling (CB CTT). Διευκρινίζεται ότι το PE CTT αφορά την περίπτωση κατά την οποία οι φοιτητές εγγράφονται σε Μαθήματα πριν αποφασιστεί το πρόγραμμα, ενώ στο CB CTT βασική έννοια Σελίδα33 είναι η έννοια του curriculum, το οποίο επιλέγει ο κάθε φοιτητής. Ένα curriculum είναι

42 ένα σύνολο από μαθήματα τα οποία έχουν κοινούς φοιτητές. Οι εγγραφόμενοι φοιτητές πρέπει να παρακολουθούν τις διαλέξεις του curriculum στο οποίο εγγράφηκαν. Περισσότερες λεπτομέρειες για τον Διαγωνισμό και τις διαφορές των προβλημάτων PE CTT και CB CTT αναφέρονται από τους Di Gaspero κ.ά. (2007) και McCollum κ.ά. (2010). Στην συνέχεια, θα επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον στο CB CTT, αφού αυτή η έκδοση έχει απασχολήσει περισσότερο τους ερευνητές, ενώ συναντάται σε πάρα πολλά Πανεπιστήμια ανά τον κόσμο. Τα δεδομένα εισόδου, στα οποία έπρεπε να διαγωνισθούν οι συμμετέχοντες, ήταν από πραγματικές καταστάσεις και προέρχονταν από το Ιταλικό Πανεπιστήμιο της Udine. Οι ανελαστικοί περιορισμοί του Διαγωνισμού, όσον αφορά στο πρόβλημα CB CTT, ήταν οι εξής: 1. Όλες οι διαλέξεις ενός μαθήματος πρέπει να προγραμματισθούν σε διακεκριμένες χρονικές στιγμές. Αν δεν καταστεί δυνατός ο προγραμματισμός μιας διάλεξης, τότε έχουμε παραβίαση. 2. Δύο διαλέξεις δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα στην ίδια αίθουσα. Σε αντίθετη περίπτωση έχουμε παραβίαση, ανάλογη με τις ταυτόχρονες διαλέξεις στην αίθουσα. 3. Οι διαλέξεις μαθημάτων, τα οποία ανήκουν στο ίδιο curriculum, ή διδάσκονται από τον ίδιο καθηγητή, πρέπει να προγραμματιστούν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. 4. Κάθε διάλεξη που παραδίδει ένας καθηγητής πρέπει να προγραμματιστεί Σελίδα34 σε χρονική περίοδο κατά την οποία ο καθηγητής είναι διαθέσιμος. Στην συνέχεια, παραθέτουμε τους ελαστικούς περιορισμούς οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν στον Διαγωνισμό:

43 1. Το πλήθος των φοιτητών που παρακολουθούν μια διάλεξη θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο από των αριθμό καθισμάτων της αίθουσας στο οποίο θα προγραμματιστεί η διάλεξη. Το κόστος παραβίασης είναι ανάλογο της έλλειψης των θέσεων. 2. Οι διαλέξεις κάθε μαθήματος πρέπει να είναι κατανεμημένες σε ένα ελάχιστο αριθμό ημερών. Για κάθε ημέρα κάτω από τον ελάχιστο αριθμό ημερών προσμετρούνται 5 μονάδες κόστους. 3. Οι διαλέξεις των μαθημάτων, τα οποία ανήκουν στο ίδιο curriculum, πρέπει να γειτνιάζουν χρονικά. Για κάθε διάλεξη μαθήματος του ίδιου curriculum, η οποία είναι απομονωμένη, προσμετρούνται 2 μονάδες κόστους. 4. Όλες οι διαλέξεις ενός μαθήματος πρέπει να διεξάγονται στην ίδια αίθουσα. Για κάθε επιπλέον χρήση αίθουσας, πέραν της πρώτης, προσμετρείται 1 μονάδα κόστους. Η παράθεση των δύο παραπάνω μοντέλων είναι χαρακτηριστική του γεγονότος ότι, ανάλογα με το Πανεπιστήμιο ή το κράτος στο οποίο ανήκει, το πρόβλημα University Course Timetabling ορίζεται διαφορετικά, παρόλο που επί της ουσίας υπάρχουν πολλά κοινά χαρακτηριστικά στους διάφορους ορισμούς. Πάντως, το πρόβλημα CB CTT ανήκει στην κλάση NP Hard (βλέπε Κεφάλαιο 1) καθώς ανάγεται στο πρόβλημα χρωματισμού γράφου (graph coloring), το οποίο είναι ένα γνωστό NP Hard πρόβλημα (Burke κ.ά., 2010b). Στην συνέχεια, θα αναφερθούμε συνοπτικά σε ορισμένες από τις πολυάριθμες ερευνητικές προσπάθειες επίλυσης του συγκεκριμένου προβλήματος, που όμως είναι ενδεικτικές τόσο του διαρκώς αυξανόμενου επιστημονικού ενδιαφέροντος, όσο και του τρόπου προσέγγισης της επίλυσής του. Οι αναφερόμενες ε- Σελίδα35

44 ρευνητικές προσπάθειες έχουν μελετηθεί ως προς την αποτελεσματικότητά τους με βάση τα αρχεία δεδομένων που παρέσχε ο Διαγωνισμός ITC2007. Οι Burke κ.ά. (2008 και 2010a) προτείνουν μια ακριβή (exact) μέθοδο επίλυσης, η οποία στηρίζεται σε ένα μοντέλο Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού (ILP). Το μοντέλο επιλύεται από έναν γενικό solver Γραμμικού Προγραμματισμού. Παρόλα αυτά, για μη απλά αρχεία εισόδου, η συγκεκριμένη μέθοδος δεν καταφέρνει να βρει την βέλτιστη λύση, ακόμη και αν επιτραπεί στον αλγόριθμο να εκτελείται για αρκετές ημέρες. Έτσι, οι προηγούμενοι ερευνητές περιορίζονται στην ανακάλυψη και παρουσίαση νέων κατώτερων ορίων, τα οποία ευρίσκονται σε λογικό χρονικό διάστημα. Επίσης, οι Burke κ.ά. (2012), προτείνουν ακόμη έναν ακριβή αλγόριθμο βασισμένο στη διαδικασία Branch And Cut, ο οποίος βασίζεται σε ένα ILP μοντέλο που, επί της ουσίας, αποτελεί μια χαλάρωση του προηγούμενου ILP μοντέλου. Έτσι, κατορθώνουν να βρουν την βέλτιστη λύση για δύο αρχεία εισόδου, ενώ ανακαλύπτουν νέα κατώτερα όρια. Σελίδα36 Μια επίσης ακριβής μέθοδος επίλυσης του προβλήματος προτείνεται από τους Lach και Lübbecke (2012). Αντίθετα από τις δυο προηγούμενες προσεγγίσεις, οι ο- ποίες χρησιμοποιούν ένα ILP μοντέλο, οι δύο ερευνητές χρησιμοποιούν δύο μοντέλα ILP, τα οποία επιλύουν διαδοχικά. Επί της ουσίας, επιχειρούν μια διάσπαση του αρχικού προβλήματος σε δύο απλούστερα υπό-προβλήματα. Το πρώτο ILP μοντέλο αναφέρεται στην ανάθεση διαλέξεων σε χρονικές περιόδους, χωρίς να ασχολείται ρητά με τις αίθουσες. Επιχειρείται η ελαχιστοποίηση των ποινών οι οποίες αναφέρονται στην κάλυψη αιθουσών, την συνοχή των curricula και τις ημέρες εργασίας. Κατά την δεύτερη φάση, επιχειρείται η ανάθεση των διαλέξεων σε αίθουσες, έχοντας δεδομένη την ανάθεση της πρώτης φάσης, και λαμβάνεται υπόψη ο περιορισμός 8, που αναφέρουμε λίγο πιο πάνω, του οποίου το κόστος παραβίασης επιχειρείται να ελαχιστοποι-

45 ηθεί. Περισσότερες πληροφορίες μπορεί να αναζητηθούν στους Lach και Lübbecke (2012). Δύο άλλοι ερευνητές, οι Hao και Benlic (2011), στην προσπάθειά τους να εντοπίσουν νέα κατώτερα όρια για τα συγκεκριμένα αρχεία του Διαγωνισμού, προτείνουν μια επίσης ακριβή μέθοδο, η οποία βασίζεται στην διάσπαση του αρχικού προβλήματος σε πολλά επιμέρους ανεξάρτητα υπό-προβλήματα. Εν ολίγοις, ακολουθούν την αρχή του «Διαίρει και βασίλευε» (Divide and Conquer). Κάθε ένα από τα ανεξάρτητα υπό-προβλήματα μπορεί να επιλυθεί με το μοντέλο που πρότειναν οι Lach και Lübbecke (2012). Επιγραμματικά, η μέθοδος των Hao και Benlic συνίσταται στην δημιουργία μιας διαμέρισης {X p} του συνόλου των μαθημάτων, όπου, για κάθε μέλος της διαμέρισης, επιλύεται το αντίστοιχο υπό-πρόβλημα P(X p), p = 1,..., k, με την χρήση ενός ILP solver. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζονται τα κατώτερα όρια, των οποίων οι k τιμές αθροίζονται ώστε να προκύψει το τελικό καθολικό κατώτερο όριο. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στους Hao και Benlic (2011) για μια πλήρη περιγραφή της μεθόδου. Θα ολοκληρώσουμε την σύντομη και ούτως ή άλλως ενδεικτική αναφορά στις ακριβείς μεθόδους επίλυσης σημειώνοντας την προσπάθεια των Cacchiani κ.ά. (2013). Οι συγκεκριμένοι ερευνητές χρησιμοποιούν διάφορες αναπαραστάσεις του προβλήματος. Όλες χρησιμοποιούν την μέθοδο Column Generation και εκθετικού πλήθους μεταβλητές. Η αναπαράσταση με τα καλύτερα αποτελέσματα ονομάζεται Two Weekly Schedule Types (2WST). Χρησιμοποιεί δύο σύνολα δυαδικών μεταβλητών, όπου το πρώτο αναφέρεται σε όλες τις δυνατές εφικτές αναθέσεις των διαλέξεων σε αίθουσες και χρονοθυρίδες, ενώ ταυτόχρονα λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί Σελίδα37 της χωρητικότητας αιθουσών και της μονιμότητας αιθουσών. Το δεύτερο σύνολο των μεταβλητών αναφέρεται σε όλες τις δυνατές εφικτές αναθέσεις διαλέξεων σε χρονο-

46 θυρίδες και λαμβάνει υπόψη τους περιορισμούς της συνοχής των curricula και των ελάχιστων ημερών εργασίας. Θα κλείσουμε την αναφορά μας στο University Course Timetabling πρόβλημα, όπως αυτό ορίστηκε στον Διεθνή Διαγωνισμό ITC2007, με την παράθεση ορισμένων μόνο ενδεικτικών προσπαθειών επίλυσης, οι οποίες δεν είναι ακριβείς αλλά στηρίζονται σε ευρετικές και υβριδικές μεθόδους. Σελίδα38 Οι Di Gaspero και Schaerf (2003) προτείνουν έναν ευρετικό αλγόριθμο, ο οποίος βασίζεται σε τρείς διαφορετικές δομές. Η πρώτη δομή χρησιμοποιεί την ένωση ενός αριθμού διαφορετικών γειτονιών. Σημειώνουμε ότι, με τον όρο γειτονιά εννοούμε ένα σύνολο από λύσεις, οι οποίες μπορούν να προκύψουν από μια συγκεκριμένη αρχική λύση με την εφαρμογή ενός μετασχηματισμού επί της αρχικής λύσης. Συχνά γίνεται ταύτιση της έννοιας της γειτονιάς με τον μετασχηματισμό ο οποίος την παράγει. Κάθε λύση που ανήκει σε μια γειτονιά ονομάζεται γείτονας (neighbor) της αρχικής λύσης. Στην προσέγγιση των Gaspero και Schaerf, σε κάθε γενεά, ο αλγόριθμος τοπικής αναζήτησης επιλέγει μια γειτονιά, η οποία ανήκει στην ένωση των γειτονιών. Επί της ουσίας επιλέγεται ένας γείτονας. Η δεύτερη δομή χρησιμοποιεί την σύνθεση διαφορετικών γειτονιών. Σε κάθε γενεά, ο αλγόριθμος τοπικής αναζήτησης επιλέγει να εκτελέσει μια αλυσίδα από κινήσεις οι οποίες ανήκουν σε διαφορετικές γειτονιές και ως αποτέλεσμα έχουμε την ανακάλυψη του καλύτερου γείτονα. Τέλος, η τρίτη δομή χρησιμοποιεί μια αρχική λύση και ένα σύνολο από διαφορετικούς αλγορίθμους, που βασίζονται σε διαφορετικές γειτονιές. Οι διαφορετικοί αλγόριθμοι επιλέγονται και εκτελούνται κυκλικά, ενώ κάθε ένας από αυτούς χρησιμοποιεί ως αρχική λύση την καλύτερη (καλύτερο γείτονα) που βρέθηκε από τον προηγούμενό του αλγόριθμο. Στην πραγματικότητα, οι παραπάνω ερευνητές χρησιμοποιούν μόνο δύο αλγορίθμους, τους Hill Climbing και Tabu Search.

47 Oι Atsuta κ.ά. (2008) προτείνουν την μοντελοποίηση του προβλήματος ως πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών (constraint satisfaction problem CSP) και στην συνέχεια προτείνουν την χρήση ενός λύτη (solver) CSP γενικής χρήσης, ο οποίος θα υιοθετεί την μέθοδο Tabu Search και την μέθοδο της επαναλαμβανόμενης τοπικής αναζήτησης. Ο αλγόριθμος των συγκεκριμένων ερευνητών κατετάγη στην τρίτη θέση του Διαγωνισμού ITC2007. Οι ερευνητές Clark κ.ά. (2008) παρουσίασαν έναν αλγόριθμο τον οποίο ονόμασαν QuickFix. Ο αλγόριθμος κατασκευάζει μια αρχική λύση με αντιστοίχιση καθηγητών, περιόδων και δωματίων, σε διαλέξεις μαθημάτων, ενώ αδιαφορεί για τις ενδεχόμενες παραβιάσεις των περιορισμών. Στην συνέχεια επιλέγονται διαδοχικά και τυχαία περιορισμοί, οι οποίοι παραβιάζονται και εφαρμόζονται διορθωτικές κινήσεις, με στόχο την αποκατάσταση της παραβίασης. Ταυτόχρονα, χρησιμοποιούνται δύο λίστες, οι οποίες καταγράφουν τις πρόσφατες και τις άσχημες κινήσεις, ώστε να αποφεύγεται η επανάληψή τους. Με αυτό το σχήμα Tabu Search, σε συνδυασμό με έναν μηχανισμό σκέδασης, κατά τον οποίο αλλάζουν τιμή τα βάρη των περιορισμών, επιχειρείται η αποφυγή της παγίδευσης του αλγορίθμου σε τοπικά βέλτιστα ακρότατα. Τελικά οι συγκεκριμένοι ερευνητές έλαβαν την πέμπτη θέση στον Διαγωνισμό ITC2007. Οι Lü και Hao (2010) προτείνουν έναν αλγόριθμο ο οποίος χρησιμοποιεί μια Σελίδα39 προσαρμοζόμενη Tabu Search. Ο αλγόριθμος αποτελείται από τρείς διακριτές φάσεις. Κατά την πρώτη φάση παράγεται ένα εφικτό πρόγραμμα (timetable), με την βοήθεια ενός άπληστου σειριακού αλγορίθμου. Στο αρχικά κενό πρόγραμμα προστίθενται διαλέξεις μαθημάτων, με τέτοιο τρόπο, ώστε τα μαθήματα που έχουν λίγες χρονοθυρίδες διαθέσιμες καθώς και αυτά που έχουν πολλές μη αντιστοιχισμένες διαλέξεις να έχουν υψηλότερη προτεραιότητα επιλογής. Η επιλογή των διαλέξεων των μαθημάτων συνοδεύεται από αντιστοίχιση αυτών σε χρονοθυρίδες και αίθουσες. Μόλις

48 κατασκευαστεί μια αρχική εφικτή λύση ακολουθούν οι δύο επόμενες φάσεις, οι οποίες στοχεύουν στην ελαχιστοποίηση των παραβιάσεων των ελαστικών περιορισμών. Η μια εκ των δύο φάσεων χρησιμοποιείται για την εξερεύνηση όσο το δυνατόν μεγαλύτερου χώρου έρευνας (diversification), ενώ η άλλη χρησιμοποιείται για την εκλέπτυνση μιας λύσης (intensification). Η φάση του diversification στηρίζεται στην επαναλαμβανόμενη τοπική αναζήτηση (iterated local search) και αποφεύγει τον εγκλωβισμό σε τοπικά βέλτιστα με έναν μηχανισμό ανατάραξης της τρέχουσας λύσης. Όσον αφορά στην φάση του intensification, χρησιμοποιείται ένα σχήμα Tabu Search που ερευνά δύο είδη γειτονιών: μια που προέρχεται από ανταλλαγή των χρονοθυρίδων και των αιθουσών δύο διαλέξεων και μια άλλη που βασίζεται στην ανταλλαγή με χρήση αλυσίδων Kempe. Όταν η έρευνα τερματιστεί σε ένα τοπικό βέλτιστο, η Tabu Search ξαναρχίζει, αλλά αυτή την φορά χρησιμοποιείται η άλλη γειτονιά. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται κυκλικά έως ότου να μην είναι δυνατή η περεταίρω βελτίωση. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος απέσπασε την δεύτερη θέση στον Διαγωνισμό. Ο Geiger (2012) προτείνει έναν αλγόριθμο ο οποίος χρησιμοποιεί μια διαδικασία τοπικής αναζήτησης. Η συγκεκριμένη διαδικασία θεωρεί ένα ντετερμινιστικό σχήμα, το οποίο είναι ανάλογο με τον αλγόριθμο Simulated Annealing, με την διαφορά ότι οι κατώτερες ποιοτικά λύσεις γίνονται ενίοτε δεκτές με βάση ένα κατώφλι, το οποίο όμως δεν εμπεριέχει την έννοια της πιθανότητας. Με την βοήθεια αυτού του σχήματος ο εγκλωβισμός σε τοπικά βέλτιστα καθίσταται δυσκολότερος. Ακόμη, ο αλγόριθμος Σελίδα40 αποτελείται από μια κατασκευαστική φάση, κατά την οποία παράγεται μια εφικτή λύση. Συγκεκριμένα, σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου, επιλέγεται μια διάλεξη η ο- ποία έχει τον μεγαλύτερο βαθμό δυσκολίας, όσον αφορά τον προγραμματισμό της, δηλαδή υπάρχουν οι λιγότερες κατάλληλες χρονοθυρίδες στις οποίες μπορεί να ανατεθεί. Ακολούθως, η διάλεξη τοποθετείται σε κάποια από τις υποψήφιες χρονοθυρί-

49 δες, με κριτήριο τον βαθμό ικανοποίησης του αριθμού των φοιτητών σε σχέση με την χωρητικότητα των διαθέσιμων αιθουσών. Αφού κατασκευαστεί μια εφικτή λύση, ε- φαρμόζεται μια επαναληπτική διαδικασία κατά την οποία, σε κάθε βήμα της, ένας α- ριθμός από τυχαία επιλεγμένες προγραμματισμένες διαλέξεις αναθεωρείται. Ακολουθεί η επανατοποθέτηση των αναθεωρημένων διαλέξεων με τυχαίο τρόπο και με την ίδια πιθανότητα τοποθέτησης για κάθε αναθεωρημένη διάλεξη. Η αξιολόγηση των λύσεων γίνεται με βάση την απόσταση της λύσης από την εφικτή λύση, δηλαδή το κόστος παραβίασης των ανελαστικών περιορισμών, και με βάση το κόστος παραβίασης των ελαστικών περιορισμών. Σε περίπτωση όπου μεταξύ δύο υποψήφιων λύσεων πρέπει να επιλεγεί μια εξ αυτών, αλλά ταυτόχρονα οι δύο λύσεις έχουν το ίδιο κόστος παραβίασης ανελαστικών περιορισμών, τότε υπάρχει περίπτωση να επιλεγεί η χειρότερη λύση με βάση το ντετερμινιστικό κατώφλι αποδοχής. Ο εν λόγω αλγόριθμος κατετάγη στην τέταρτη θέση του Διαγωνισμού ITC2007. Ένας αλγόριθμος, που βασίζεται στον Simulated Annealing, προτείνεται από τους Bellio κ.ά. (2016). Σε αυτόν θεωρούνται δύο γειτονιές. Η πρώτη δημιουργείται με την μετακίνηση μιας διάλεξης από μια χρονοθυρίδα και αίθουσα σε άλλη χρονοθυρίδα και αίθουσα (πιθανόν η αίθουσα να είναι κενή κατά την συγκεκριμένη χρονοθυρίδα). Η δεύτερη γειτονιά δημιουργείται με την ανταλλαγή των χρονοθυρίδων και αιθουσών δύο διαλέξεων, οι οποίες ανήκουν σε διακεκριμένα μαθήματα. Εκτός από την θεώρηση των δύο προηγούμενων γειτονιών, ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μια παράμετρο που ελέγχει τον ρυθμό με τον οποίο επιλέγεται μια γειτονιά σε σχέση με την επιλογή της άλλης. Τέλος, ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί δύο χαρακτηριστικά, τα οποία αναβαθμίζουν τον Simulated Annealing: ένα νέο σχήμα ψύξης, δηλαδή ελάττωσης της θερμοκρασίας του αλγορίθμου και ένα κριτήριο τερματισμού που βασίζεται σε έναν Σελίδα41 μέγιστο αριθμό επιτρεπόμενων επαναλήψεων. Σημειώνεται ότι η θερμοκρασία του

50 αλγορίθμου, που αναφέραμε προηγουμένως, δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια μεταβλητή, η οποία μετέχει στην διαμόρφωση της τιμής της πιθανότητας αποδοχής των κακών κινήσεων. Επίσης, το σχήμα ψύξης, δηλαδή η ελάττωση της θερμοκρασίας, εξυπηρετεί την όλο και πιο δύσκολη αποδοχή των κακών λύσεων καθώς ο αλγόριθμος πλησιάζει προς τον τερματισμό του. Ένας ακόμη υβριδικός Simulated Annealing αλγόριθμος προτείνεται από τους ερευνητές Tarawneh κ.ά. (2013). Καταρχήν κατασκευάζεται μια εφικτή λύση με βάση τον άπληστο αλγόριθμο των Lü και Hao (2010). Στην συνέχεια εφαρμόζεται ο Simulated Annealing, ο οποίος διαθέτει ένα χαρακτηριστικό που τον αναβαθμίζει: αποθηκεύει τις μη αποδεκτές λύσεις και τις χρησιμοποιεί για να ξεφεύγει από τον εγκλωβισμό σε τοπικά βέλτιστα. Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί τρείς γειτονιές: α) μετακίνηση μιας διάλεξης από μια χρονοθυρίδα σε μια άλλη ελεύθερη, έτσι ώστε να μην δημιουργείται οποιαδήποτε παραβίαση, β) ανταλλαγή δύο διαλέξεων χωρίς παραβίαση ανελαστικών περιορισμών και γ) ανταλλαγή μιας χρονοθυρίδας, η οποία χαρακτηρίζεται από το μεγαλύτερο κόστος παραβιάσεων, με μια άλλη, τυχαία επιλεγμένη. Θα ολοκληρώσουμε την αναφορά στις ερευνητικές προσπάθειες επίλυσης του συγκεκριμένου προβλήματος παραθέτοντας περιληπτικά τον προτεινόμενο υβριδικό αλγόριθμο του Müller (2009) και ονομαστικά μερικές ακόμη προτάσεις υβριδικών αλγορίθμων. Ο Müller προτείνει μια υβριδική προσέγγιση, η οποία συνίσταται σε τρείς φάσεις. Σελίδα42 Στην κατασκευαστική φάση δημιουργείται μια εφικτή λύση, επιλέγοντας επαναληπτικά μια διάλεξη ενός μαθήματος και τοποθετώντας την σε μια χρονοθυρίδα και σε μια αίθουσα. Στην περίπτωση κατά την οποία η συγκεκριμένη τοποθέτηση προκαλεί παραβιάσεις ανελαστικών περιορισμών, λόγω της προϋπάρχουσας τοποθέτησης προη-

51 γούμενων διαλέξεων, τότε η τοποθέτηση των προηγούμενων διαλέξεων αναιρείται. Η διαδικασία της κατασκευαστικής φάσης τερματίζεται μόλις τοποθετηθούν όλες οι διαλέξεις σε χρονοθυρίδες και αίθουσες. Ακολουθεί η δεύτερη φάση, η οποία χρησιμοποιεί την μέθοδο «Ανάβαση Λόφου» (Hill Climbing), έτσι ώστε να εντοπιστεί ένα τοπικό βέλτιστο. Σε αυτήν την φάση θεωρούνται διάφορες γειτονιές, που βασίζονται σε κινήσεις σχετικές με χρονοθυρίδες, αίθουσες και διαλέξεις καθώς και με ελαστικούς περιορισμούς. Όταν δεν είναι δυνατή η περεταίρω βελτίωση του τοπικού βέλτιστου, μετά από έναν συγκεκριμένο αριθμό επαναλήψεων, η δεύτερη φάση τερματίζεται. Ακολούθως εφαρμόζεται η φάση του Μεγάλου Κατακλυσμού (Great Deluge). Σε αυτή τη φάση τίθεται ένα ποιοτικό όριο για την τρέχουσα λύση, το οποίο σταδιακά μειώνεται με έναν συγκεκριμένο ρυθμό ψύξης. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και το Simulated Annealing σχήμα. Το κριτήριο τερματισμού είναι η υπέρβαση του μέγιστου επιτρεπόμενου χρόνου. Ας σημειωθεί ότι ο παραπάνω αλγόριθμος κατέλαβε την πρώτη θέση στον Διαγωνισμό. Άλλες ενδιαφέρουσες προτάσεις υβριδικών αλγορίθμων ανήκουν στους Abdullah και Turabieh (2012) (υβριδοποιείται ένας μιμητικός αλγόριθμος με έναν γενετικό), στους Bellio κ.ά. (2012) (υβριδοποιείται ο Simulated Annealing με δυναμική Tabu Search) και στους Shaker κ.ά. (2013) (υβριδοποιείται ο αλγόριθμος του Μεγάλου Κατακλυσμού με Tabu Search). Σελίδα43

52 Σελίδα44 Πανεπιστήμιο Πατρών Διδακτορική Διατριβή Ιωάννης Ξ. Τασσόπουλος

53 Κεφάλαιο 3: Το πρόβλημα School Timetabling Στο παρόν Κεφάλαιο γίνεται μια παρουσίαση του προβλήματος School Timetabling. Αρχικά δίνεται ο τυπικός ορισμός του προβλήματος, με αναφορές στην υπολογιστική του πολυπλοκότητα, και στην συνέχεια παρουσιάζεται μια σύντομη βιβλιογραφική ανασκόπηση, όπου παρουσιάζονται κάποιες ερευνητικές προσπάθειες επίλυσής του. Ακολούθως, παρουσιάζεται η συγκεκριμένη εκδοχή του προβλήματος, την οποία πραγματεύεται η παρούσα Διατριβή και ακολουθούν οι ανελαστικοί και ε- λαστικοί περιορισμοί. Κλείνουμε παραθέτοντας το μαθηματικό μοντέλο, στην γενική του μορφή School Timetabling: Ορισμός και υπολογιστική πολυπλοκότητα Ήδη από τις αρχές της δεκαετίας του 1960 συναντάται το School Timetabling πρόβλημα στην επιστημονική βιβλιογραφία (Gotlieb, 1962). Από τότε, το ενδιαφέρον των ερευνητών αυξάνεται διαρκώς και συνεχώς παρουσιάζονται νέες προτάσεις επίλυσής του. Στην πιο απλή του μορφή περιλαμβάνει τον προγραμματισμό ενός συνόλου από ζεύγη (t, c), όπου t T και c C (T: το σύνολο των καθηγητών, C: το σύνολο των τάξεων) με τέτοιο τρόπο ώστε κανένας καθηγητής t και καμία τάξη c δεν αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα μάθημα σε συγκεκριμένη ώρα. Αυτή η βασική έκδοση του προβλήματος, είναι αλήθεια ότι μπορεί να επιλυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο, με έναν αλγόριθμο ελάχιστου κόστους δικτύου (Min Cost Network), όπως απέδειξε ο de Werra το Αντίθετα όμως, στην πραγματικότητα, η κατάσταση είναι διαφορετική. Σελίδα45 Κάποιοι καθηγητές ενός σχολείου είναι αναγκασμένοι να εργάζονται σε περισσότερα

54 του ενός σχολεία κατά την διάρκεια της εβδομάδας και ως εκ τούτου υπάρχουν ημέρες ή μεμονωμένες ώρες κάποιων ημερών, κατά τις οποίες δεν είναι διαθέσιμοι στο σχολείο. Σε αυτήν την περίπτωση, αν ληφθεί υπόψη αυτός ο πρόσθετος περιορισμός της διαθεσιμότητας, το πρόβλημα καθίσταται NP πλήρες (NP Complete), όπως απέδειξαν οι Even κ.ά. (1975). Επίσης, στην πράξη εμφανίζεται η ανάγκη για συνδιδασκαλίες. Η περίπτωση των συνδιδασκαλιών μπορεί να αφορά την ταυτόχρονη παρουσία δύο καθηγητών στην ίδια τάξη ή ακόμη την ταυτόχρονη διδασκαλία δύο καθηγητών σε δύο διαφορετικές τάξεις. Αν ληφθούν υπόψη και οι περιορισμοί που εισάγει η περίπτωση των συνδιδασκαλιών, τότε το πρόβλημα καθίσταται επίσης NP Complete. Την πρόταση αυτή απέδειξαν οι Cooper και Kingston το Το σύνολο των αντικειμενικών στόχων επίλυσης και των περιορισμών εξαρτάται από τον τύπο του σχολείου και το κράτος στο οποίο εδρεύει (Post κ.ά. 2014, Drexl και Salewski, 1997 και Schaerf, 1999). Εξάλλου, σε πολλές περιπτώσεις, είναι επιθυμητή η ελαχιστοποίηση των κενών στο πρόγραμμα κάθε καθηγητή, ή ακόμη κάποια μαθήματα να διδάσκονται σε κάποια τάξη για δύο (ή περισσότερες) συνεχόμενες διδακτικές ώρες. Αυτοί οι επιπλέον περιορισμοί ορίζουν μια έκδοση του προβλήματος, η οποία ονομάζεται Πρόβλημα προγραμματισμού Τάξεων Καθηγητών με απαιτήσεις Συμπάγειας (Class Teacher Timetabling Problem with Compactness Requirements CTTPCR). Η συγκεκριμένη έκδοση έχει μελετηθεί από τους Souza (2000), Souza κ.ά. (2004), Santos και Ochi (2005), Santos (2007), Bello κ.ά. (2008) και Santos κ.ά. (2012). Είναι αξιοσημείωτο ότι για πολλά χρόνια, διάφορες μορφές του προβλήματος Σελίδα46 School Timetabling εθεωρούντο μη επιλύσιμες με ακριβείς μεθόδους. Παρόλα αυτά, η μεγάλη βελτίωση στους solvers Μεικτού Ακέραιου Προγραμματισμού (MIP) που συντελέστηκε πρόσφατα, επιτρέπουν πλέον την αντιμετώπιση του προβλήματος σε κάποιες μορφές του και με την χρήση αυτών. (Birbas κ.ά., 2009).

55 3.2. Βιβλιογραφική ανασκόπηση του προβλήματος Στη διεθνή σχετική βιβλιογραφία, έχουν κατά καιρούς προταθεί πολλές εκδοχές του προβλήματος School Timetabling. Είναι φανερό ότι η ύπαρξη όλων αυτών των εκδοχών οφείλεται στα διαφορετικά εκπαιδευτικά συστήματα που υπάρχουν ανά τον κόσμο. Για παράδειγμα, οι Moura και Scaraficci (2010) επιλύουν το συγκεκριμένο πρόβλημα για τρία σχολεία της Βραζιλίας, με την χρήση μιας βασικής ευρετικής μεθόδου GRASP η οποία συνοδεύεται από μια βελτιωτική μέθοδο στηριζόμενη στο path relinking (επανασύνδεση μονοπατιών). Επιπλέον οι Santos κ.ά. (2012) θέτουν νέα χαμηλότερα όρια σε ένα σύνολο δεδομένων, επίσης από την Βραζιλία, με χρήση της μεθόδου Column Generation. Ακόμη, οι Sørensen και Stidsen (2012), χρησιμοποιούν Γραμμικό Προγραμματισμό για την επίλυση του προβλήματος, όπως αυτό απαντάται στην Δανία. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούν μια διάσπαση του προβλήματος δύο φάσεων. Επιπλέον, οι Avella κ.ά. (2007) χρησιμοποιούν έναν υβριδικό αλγόριθμο, όπου χρησιμοποιείται ο Simulated Annealing για την παραγωγή της αρχικής λύσης και μια έρευνα γειτονιάς μεγάλης κλίμακας (large neighborhood search) για την βελτίωσή της. Οι συγκεκριμένοι ερευνητές διαπραγματεύονται το πρόβλημα όπως αυτό παρουσιάζεται σε δύο σχολεία της Ιταλίας. Τέλος, οι Post κ.ά. (2012a) χρησιμοποιούν έναν αλγόριθμο «κυκλικής μεταφοράς» (cyclic transfer algorithm) προκειμένου να επιλύσουν το πρόβλημα σε τέσσερα Ολλανδικά σχολεία. Όσον αφορά σε ερευνητικές προσπάθειες της τελευταίας δεκαετίας, θα πρέπει να αναφερθεί ότι υπάρχει μια πληθώρα από προτάσεις ειδικών τεχνικών επίλυσης του προβλήματος. Οι Raghavjee και Pillay (2012), ασχολούμενοι με την επίλυση ενός συνόλου δύσκολων προβλημάτων του School Timetabling, συγκρίνουν την απόδοση των Γενετικών αλγορίθμων με αυτήν Σελίδα47 των αλγορίθμων Γενετικού Προγραμματισμού. Δείχνουν ότι οι συγκεκριμένοι αλγόριθμοι παράγουν συγκρίσιμα αποτελέσματα με αυτά άλλων τεχνικών, ασχολούμενων

56 Σελίδα48 με το ίδιο σύνολο δεδομένων. Επίσης, οι Sørensen κ.ά. (2012) περιγράφουν έναν αλγόριθμο, ο οποίος βασίζεται σε μια έρευνα εκτεταμένης και προσαρμοστικής γειτονιάς, προκειμένου να επιλύσουν το γενικό School Timetabling πρόβλημα, όπως αυτό ορίζεται στον Διεθνή Διαγωνισμό Timetabling 2011 (ITC 2011). Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος ήταν ανάμεσα στους πρώτους του δεύτερου γύρου του Διαγωνισμού. Περισσότερες πληροφορίες για τον Διεθνή Διαγωνισμό Timetabling (ITC 2011) παρέχουν οι Post κ.ά. (2012b). Ακόμη, οι Domrös και Homberger (2012), παρουσιάζουν έναν εξελικτικό αλγόριθμο για το συγκεκριμένο πρόβλημα, ο οποίος βασίζεται σε δύο βασικές ιδέες: πρώτον, χρησιμοποιείται μια έμμεση αναπαράσταση των προγραμμάτων (timetables) και δεύτερον, η εξελικτική έρευνα ελέγχεται από την ιδέα του πληθυσμού της (1 + 1) Εξελικτικής Στρατηγικής. Σχετικά με την Εξελικτική Στρατηγική, παραπέμπουμε στους Beyer και Schwefel (2002), οι οποίοι διαπραγματεύονται το θέμα. Επιπλέον, οι Kheiri κ.ά. (2016), οι οποίοι μετέχουν στην ομάδα υπέρευρετικών στρατηγικών ερευνών και timetabling (HySST), παρουσιάζουν μια μάλλον βασική στοχαστική μέθοδο έρευνας, που όμως είναι αναβαθμισμένη λόγω της χρήσης μιας υπέρευρετικής μεθόδου επιλογής και έναν προσαρμοστικό μηχανισμό αποδοχής. Αυτή η μέθοδος παρήγαγε το καλύτερο αποτέλεσμα για τρία αρχεία εισόδου στον Γύρο 1 και κέρδισε την δεύτερη θέση στον Γύρο 2 και Γύρο 3 στον ITC Να σημειώσουμε ότι ο αλγόριθμος που απέσπασε την πρώτη θέση στον διαγωνισμό ITC 2011, σχεδιάστηκε από τους da Fonseca κ.ά. και περισσότερες πληροφορίες για την δομή παρέχονται από τους da Fonseca κ.ά. (2016). Να αναφέρουμε εδώ ενδεικτικά, ότι ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί τοπική αναζήτηση (local search) με διάφορες δομές γειτονιών που συνδυάζονται με ένα σχήμα Simulated Annealing. Ακόμη, μια άλλη μέθοδος που εφαρμόστηκε στα δεδομένα ITC 2011 εμπεριέχει έναν προσαρμοστικό αλγόριθμο Μεγάλου Κατακλυσμού και πιστώνεται στους Ahmed κ.ά. (2015). Τέλος, οι

57 Raghavjee και Pillay (2013) παρουσιάζουν μια μελέτη της απόδοσης των Γενετικών αλγορίθμων και αποκαλύπτουν ότι είναι σε θέση να παράγουν ανταγωνιστικά αποτελέσματα, σε σχέση με άλλες μεθόδους. Δείχνουν επίσης ότι ο συνδυασμός χαμηλού επιπέδου κατασκευαστικών ευρετικών μεθόδων μαζί με τους γενετικούς τελεστές παράγουν εφικτά προγράμματα καλής ποιότητας, σε διάφορες εκδοχές του προβλήματος School Timetabling. Ολοκληρώνουμε με αναφορά στην εργασία των Dorneles κ.ά. (2014), οι οποίοι προτείνουν μια μέθοδο τριμερούς αποσύνθεσης του προβλήματος (τάξη καθηγητής ημέρα). Πριν ολοκληρώσουμε την παρούσα ενότητα, κρίνουμε σκόπιμο να αναφερθούν σε αυτό το σημείο οι ερευνητικές προσπάθειες, οι οποίες πραγματεύονται το School Timetabling πρόβλημα, έτσι ακριβώς όπως ορίζεται στην ενότητα 3.3. Άλλωστε, όλοι οι ερευνητές που θα αναφέρουμε στην συνέχεια, έχουν χρησιμοποιήσει τα ίδια δεδομένα εισόδου. Το συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων, αποτελούμενο από 10 αρχεία, είναι πλέον καθιερωμένο στην Διεθνή βιβλιογραφία και αντικείμενο αρκετών εργασιών. Όπως εξηγούμε και στο Κεφάλαιο 5, αυτός είναι ο λόγος που επιλέχτηκαν τα ίδια αυτά συγκεκριμένα αρχεία για τον έλεγχο της απόδοσης των αλγορίθμων που προτείνει η παρούσα Διατριβή, αφού παρέχεται άμεσα ένα δίκαιο μέτρο σύγκρισης της σχετικής απόδοσης. Οι Papoutsis κ.ά. (2003) χρησιμοποιούν τέσσερα από τα δέκα συνολικά ελληνικά αρχεία δεδομένων, προκειμένου να αξιολογήσουν έναν αλγόριθμο βασισμένο στην μέθοδο Column Generation. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος επιτυγχάνει σχεδόν τα ίδια αποτελέσματα με αυτά που επιτυγχάνει ο προτεινόμενος αλγόριθμος των Valouxis και Housos (2003) και ο οποίος, χρησιμοποιώντας τρία από τα δέκα ελληνικά αρχεία, Σελίδα49 στηρίζεται στην μέθοδο Constraint Programming. Οι Beligiannis κ.ά. (2009) προτείνουν έναν Γενετικό αλγόριθμο με προσαρμοστική συμπεριφορά, η οποία επιτρέπει

58 την κατασκευή ποιοτικών ωρολογίων προγραμμάτων ανάλογα με τις προτιμήσεις του χρήστη. Ο αλγόριθμος είναι σε θέση να κατασκευάσει ποιοτικότερα ωρολόγια προγράμματα από αυτά που ήδη χρησιμοποιούσαν τα Ελληνικά σχολεία. Ακόμη, αν και η απόδοση του αλγορίθμου αξιολογείται με την χρήση και των δέκα ελληνικών αρχείων, τόσο στα τέσσερα αρχεία που χρησιμοποιούνται από τους Papoutsis κ.ά. (2003) όσο και στα τρία αρχεία που χρησιμοποιούνται τους Valouxis και Housos (2003) παρουσιάζει ποιοτικότερα αποτελέσματα. Επίσης, οι Beligiannis κ.ά. (2008) προτείνουν έ- ναν αλγόριθμο Εξελικτικού Προγραμματισμού, για τα ίδια δέκα αρχεία. Τέλος, οι Zhang κ.ά. (2010), προτείνουν τον αλγόριθμο Simulated Annealing. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος ξεπερνά σε απόδοση όλους τους προηγούμενους, οι οποίοι αναφέρθηκαν προηγουμένως. Στην συνέχεια, στο Κεφάλαιο 7, παρουσιάζεται η συγκριτική απόδοση όλων των παραπάνω αλγορίθμων με τους τρείς προτεινόμενους υβριδικούς PSO αλγορίθμους καθώς και με δύο νέους αλγορίθμους: τον AFSO και τον CSO Η μορφή του προβλήματος School Timetabling Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα 3.2 η μορφή του συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται από το εκπαιδευτικό σύστημα της χώρας στην οποία ανήκει το σχολείο. Στην παρούσα Διατριβή χρησιμοποιούμε 10 αρχεία δεδομένων, τα οποία αντιπροσωπεύουν το πραγματικό πρόβλημα προγραμματισμού αντίστοιχων σχολείων της Ελληνικής Επικράτειας. Τα αρχεία αυτά καθορίζουν όλα τα πραγματικά δεδομένα και όπως αναφέρουμε στην ενότητα 3.2, έχουν χρησιμοποιηθεί από διάφορους άλλους Σελίδα50 ερευνητές ως βάση για την μελέτη αλγορίθμων επίλυσης που αυτοί προτείνουν. Οι ερευνητές αυτοί χρησιμοποιούν όλοι τους ίδιους ανελαστικούς και ελαστικούς περιορισμούς, καθώς και την ίδια βαρύτητα όσον αφορά στην παραβίαση των ελαστικών περιορισμών. Στις επόμενες παραγράφους παρουσιάζουμε τους ανελαστικούς και

59 ελαστικούς περιορισμούς καθώς και την μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος, έτσι όπως αυτό αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της παρούσας Διατριβής Οι ανελαστικοί περιορισμοί Υπάρχουν τριών ειδών ανελαστικοί περιορισμοί, οι οποίοι περιλαμβάνονται στη συγκεκριμένη μορφή του προβλήματος: περιορισμοί οι οποίοι αναφέρονται στις τάξεις, περιορισμοί οι οποίοι αναφέρονται στους καθηγητές και περιορισμοί που αναφέρονται στις συνδιδασκαλίες. Οι ανελαστικοί περιορισμοί των τάξεων είναι οι εξής: 1. Συγκρούσεις τάξεων: σε κάθε τάξη διδάσκεται το πολύ ένα μάθημα σε δεδομένη διδακτική ώρα. Επίσης, σε κάθε τάξη διδάσκει το πολύ ένας καθηγητής σε δεδομένη διδακτική ώρα, με την εξαίρεση των περιπτώσεων συνδιδασκαλίας. 2. Αδρανείς ώρες τάξεων: οι αδρανείς ώρες μιας τάξης, δηλαδή ώρες κατά τις οποίες η τάξη δεν έχει μάθημα, οφείλουν να βρίσκονται στο τέλος του ημερήσιου ωραρίου διδασκαλίας. Οι ανελαστικοί περιορισμοί των καθηγητών είναι οι εξής: 1. Συγκρούσεις καθηγητών: κάθε καθηγητής, σε δεδομένη διδακτική ώρα, διδάσκει το πολύ σε μια τάξη. 2. Διαθεσιμότητα καθηγητών: κάθε καθηγητής πρέπει να ανατίθεται σε διδακτικές ώρες κατά τις οποίες είναι διαθέσιμος στο σχολείο. 3. Ανάθεση καθηγητή τάξης μαθήματος: ο αριθμός των ωρών και των μαθημάτων που ανατίθενται σε κάθε καθηγητή για διδασκαλία σε κάθε Σελίδα51 τάξη είναι σταθερός και προκαθορίζεται από τα δεδομένα εισόδου.

60 ξής: Τέλος, οι ανελαστικοί περιορισμοί που αφορούν στις συνδιδασκαλίες, είναι οι ε- 1. Αν δύο καθηγητές πρέπει να διδάξουν ταυτόχρονα στην ίδια τάξη, τότε πρέπει να ανατεθούν σε αυτήν την τάξη και οι δύο κατά την διάρκεια των διδακτικών ωρών της συνδιδασκαλίας. 2. Αν δύο καθηγητές πρέπει να διδάξουν σε δύο διαφορετικές τάξεις ταυτόχρονα, τότε οι διδασκαλίες του ενός στην μια τάξη πρέπει να λαμβάνουν χώρα στις ίδιες διδακτικές χώρες που πραγματοποιούνται οι διδασκαλίες του άλλου καθηγητή στην άλλη τάξη Οι ελαστικοί περιορισμοί Οι ελαστικοί περιορισμοί, που ισχύουν στην προτεινόμενη έκδοση του School Timetabling προβλήματος, είναι οι εξής: 1. Κατανομή μαθημάτων: κάθε μάθημα πρέπει να διδάσκεται το πολύ μια φορά σε μια τάξη κατά την διάρκεια μιας ημέρας. 2. Κατανομή ωραρίου καθηγητών: κάθε καθηγητής πρέπει να έχει ισορροπημένη κατανομή του ωραρίου του (διδασκαλιών) στις ημέρες που είναι διαθέσιμος. 3. Αδρανείς ώρες καθηγητών: κάθε καθηγητής πρέπει να έχει συμπαγές Σελίδα52 πρόγραμμα διδασκαλιών σε κάθε ημέρα, δηλαδή να μην έχει ώρα αδράνειας μεταξύ δύο διαδοχικών ωρών διδασκαλίας.

61 Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος Βασικές μεταβλητές, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην επόμενη μοντελοποίηση, είναι οι εξής: DaysNo: το μέγιστο πλήθος ημερών διδασκαλίας. HoursNo: το μέγιστο πλήθος των ωρών διδασκαλίας σε κάθε ημέρα. LessonsNo: το μέγιστο πλήθος μαθημάτων που διδάσκονται στο σχολείο. ClassesNo: το πλήθος των τάξεων του σχολείου. TeachersNo: το πλήθος των καθηγητών του σχολείου. Τα σύνολα δεδομένων, τα οποία χρησιμοποιούνται στο μοντέλο του προβλήματος, είναι τα εξής: D = {1,, DaysNo}: το σύνολο των ημερών διδασκαλίας ανά εβδομάδα. H = {1,, HoursNo}: το σύνολο των ωρών διδασκαλίας ανά ημέρα. L = {1,, LessonsNo}: το σύνολο των διαφορετικών μαθημάτων που διδάσκονται στο σχολείο. C = {1,, ClassesNo}: το σύνολο των τάξεων του σχολείου. T = {1,, TeachersNo}: το σύνολο των καθηγητών που εργάζονται στο σχολείο. H t not available : το σύνολο των ωρών μη διαθεσιμότητας του καθηγητή t. H last : το σύνολο των τελευταίων ωρών όλων των ημερών. Σελίδα53

62 E: ένα σύνολο από συναντήσεις, έτσι ώστε σε κάθε συνάντηση e E είναι προκαθορισμένα ένα ζεύγος «καθηγητής τάξη» και ένας δοθείς αριθμός μαθημάτων που πρέπει να προγραμματιστούν. E t : το σύνολο των συναντήσεων που αντιστοιχούν στον καθηγητή t. U: το σύνολο των ζευγών (m, n) για m, n P: n m + 1. Οι μεταβλητές και οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στην μοντελοποίηση της παρούσας εκδοχής του προβλήματος, είναι οι εξής: 1, αν το a είναι αληθές x(a) = { 0, αν το a είναι ψευδές 1, αν ένα μάθημα l διδάσκεται στην τάξη c την ημέρα d την ώρα h y lcdh = { 0, αν ένα μάθημα l δεν διδάσκεται στην τάξη c την ημέρα d την ώρα h 1, αν ο καθηγητής t διδάσκει στην τάξη c την ημέρα d την ώρα h x tcdh = { 0, αν ο καθηγητής t δεν διδάσκει στην τάξη c την ημέρα d την ώρα h Subjects tc : το πλήθος των διαφορετικών αντικειμένων διδασκαλίας όπου ο καθηγητής t διδάσκει στην τάξη c και που καθορίζονται από τα δεδομένα εισόδου. Class_Total_Hours c : το πλήθος των ωρών διδασκαλίας της τάξης c σε μια εβδομάδα και που καθορίζεται από τα δεδομένα εισόδου. Teacher_Total_Hours t : το πλήθος των ωρών διδασκαλίας του καθηγητή t σε μια εβδομάδα και που καθορίζεται από τα δεδομένα εισόδου. Σελίδα54 LowerBound td : ο ελάχιστος αριθμός ωρών διδασκαλίας που πρέπει να διδάσκει ο καθηγητής t σε μια ημέρα d που είναι διαθέσιμος, έτσι ώστε η κατανομή του εβδομαδιαίου ωραρίου του να είναι ομοιόμορφη.

63 UpperBound td : ο μέγιστος αριθμός ωρών διδασκαλίας που πρέπει να διδάσκει ο καθηγητής t σε μια ημέρα d που είναι διαθέσιμος, έτσι ώστε η κατανομή του εβδομαδιαίου ωραρίου του να είναι ομοιόμορφη. z tdnm : το πλήθος των αδρανών ωρών του καθηγητή t μεταξύ των ωρών m και n την ημέρα d. 1, αν η συνάντηση e προγραμματίζεται στην ώρα p της ημέρας d v edp = { 0, αλλιώς Τα κόστη των ελαστικών περιορισμών στο μοντέλο του προβλήματος είναι τα εξής: κόστος κατανομής μαθημάτων = scw 2 T t=1 G tcd 1, αν H h=1 όπου G tcd = { x tcdh > Subjects tc, t T, c C, d D 0, αλλιώς και scw 2 το βάρος του ελαστικού περιορισμού 1 της ενότητας Αν: H x tcdh Subjects tc h=1 τότε αυτό σημαίνει ότι ο καθηγητής t διδάσκει τουλάχιστον ένα αντικείμενο (μάθημα) στην τάξη c την ημέρα d τουλάχιστον δύο φορές. κόστος κατανομής ωραρίου καθηγητών = scw 1 t=1 d=1 D td 1, αν ( C c=1 x tcdh UpperBound td + 1) ( C όπου D td = c=1 x tcdh Loweround td 1), t T, d D, h H { 0, αλλιώς και scw 1 το βάρος του ελαστικού περιορισμού 2 της ενότητας T D Σελίδα55

64 κόστος αδρανών ωρών καθηγητών = scw 3 d=1 (m,n) U z tdmn όπου z tdmn 0, t T, d D, (m, n) U, z tdmn (n m 1) και ( 1 + e E t (v edm + v edn m<p<n v edp )), t T, d D, (m, n) U και scw 3 τοβάρος του ελαστικού περιορισμού 3 της ενότητας D Σημειώνεται ότι, σύμφωνα με την τελευταία ανισότητα, αν οι μεταβλητές είναι ενεργοποιημένες και δεν υπάρχουν ώρες διδασκαλίας μεταξύ τους, τότε η μεταβλητή z tdmn ισούται με (n m 1), δηλαδή με τον αριθμό των αδρανών ωρών του καθηγητή μεταξύ των ωρών m και n. Σημειώνεται ότι η προηγούμενη μοντελοποίηση του περιορισμού που αναφέρεται στις αδρανείς ώρες των καθηγητών (κενά) είναι μια εκ των τριών που προτείνουν οι Dorneles κ.ά. (2012). Συμπερασματικά, δοθέντων των παραπάνω, ο αντικειμενικός σκοπός του προβλήματος School Timetabling είναι ο ακόλουθος: κόστος κατανομής μαθημάτων + min ( κόστος κατανομής ωραρίου καθηγητών + ), κόστος αδρανών ωρών καθηγητών t T, c C, l L, d D, h H, e E με ικανοποίηση των παρακάτω ανελαστικών περιορισμών: C c=1 χ ((x li cdh = 1) (x lj cdh = 1)) 0, l i, l j L (i j), d D, h H (περιορισμός συγκρούσεων τάξεων, ενότητα 3.2.1) Σελίδα56 C c=1 χ((y lcdh = 0) h H last ) 0, l L, d D, h H (περιορισμός αδρανών ωρών τάξεων, ενότητα 3.2.1) T t=1 χ ((x tci dh = 1) (x tcj dh = 1)) 0, c i, c j C (i j), d D, h H (περιορισμός συγκρούσεων καθηγητών, ενότητα 3.2.1)

65 T not t=1 χ ((x tcdh = 1) h H available t ) 0, c C, d D, h H (περιορισμός διαθεσιμότητας καθηγητών, ενότητα 3.2.1) C D H c=1 d=1 h=1 x tcdh = Teacher_Total_Hours t, t T (περιορισμός ωρών διδασκαλίας καθηγητή στις τάξεις, ενότητα 3.2.1) D H T t=1 d=1 h=1 x tcdh = Class_Total_Hours c, c C (περιορισμός ωρών διδασκαλίας τάξης, ενότητα 3.2.1) (x χ ( ti cdh = 1) (x tj cdh = 1) C καθηγητές t i και t j δεν εμπλέκονται σε συνδιδασκαλία ) 0, c=1 t i, t j T (i j), d D, h H (περιορισμός συνδιδασκαλιών, ενότητα 3.2.1) Σελίδα57

66 Σελίδα58 Πανεπιστήμιο Πατρών Διδακτορική Διατριβή Ιωάννης Ξ. Τασσόπουλος

67 Κεφάλαιο 4: Ο αλγόριθμος Particle Swarm Optimization (PSO) Ο αλγόριθμος Particle Swarm Optimization (PSO) εφευρέθηκε από τους Kennedy και Eberhart το Αποτελεί έναν ιδιαίτερα δημοφιλή αλγόριθμο μεταξύ των ε- ρευνητών οι οποίοι ασχολούνται με προβλήματα βελτιστοποίησης, διότι είναι απλός, εύκολος στην κωδικοποίηση και δεν έχει πολλές παραμέτρους που θα πρέπει να ρυθμιστούν. Η αρχική του έκδοση αναφερόταν σε προβλήματα συνεχούς χώρου. Αργότερα, οι ίδιοι ερευνητές παρουσίασαν και μια εκδοχή για διακριτό χώρο (Kennedy και Eberhart, 1997). Ακολούθησαν πολλές παραλλαγές του αλγορίθμου, οι οποίες δίνουν καλύτερα αποτελέσματα από την αρχική εκδοχή. Πρόσφατα παρουσιάστηκε μια εκδοχή, η SPSO 2011 (Clerc, 2012), η οποία μάλλον αποτελεί το τρέχον πρότυπο του αλγορίθμου για συνεχή χώρο έρευνας. Παρόλα αυτά, δεν ισχύει το ίδιο για τον διακριτό χώρο έρευνας. Ο Maurice Clerc συντηρεί ένα δικτυακό 4 τόπο στον οποίο υπάρχει πληθώρα εκδόσεων και παραλλαγών του PSO. Όμως, αν και έχουν καταγραφεί αρκετές εκδοχές του PSO για τον διακριτό χώρο, εν τούτοις μάλλον είναι αδύνατον ή τουλάχιστον πολύ δύσκολο να υπάρξει γενικά αποδεκτή εκδοχή του PSO, που να εφαρμόζεται σε διαφορετικά προβλήματα διακριτού χώρου. Αυτό οφείλεται στο γεγονός της διαφορετικής μοντελοποίησης των αντίστοιχων προβλημάτων. Το παρόν Κεφάλαιο παρουσιάζει την αρχική μορφή του PSO, τόσο για συνεχή όσο και για διακριτό χώρο. Όσον αφορά στον αρχικό PSO για συνεχή χώρο, επισημαίνονται οι αδυναμίες που παρατηρήθηκαν εκ των υστέρων και οι οποίες οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων παραλλαγών και τελικά στην εξέλιξη του αλγορίθμου, μέχρι Σελίδα59 και την έκδοση SPSO 2011, την οποία και παραθέτουμε. 4

68 4.1. Ο αρχικός PSO για συνεχή χώρο καθολική (Global) εκδοχή Όπως έχει ήδη αναφερθεί, οι εμπνευστές του συγκεκριμένου αλγορίθμου τον παρουσίασαν σαν μια μέθοδο βελτιστοποίησης, που μπορεί να εφαρμοστεί στην εύρεση του ολικού ελαχίστου (όταν το πρόβλημα βελτιστοποίησης αφορά ελαχιστοποίηση) σε ένα σύνολο μη γραμμικών συναρτήσεων με συνεχές πεδίο ορισμού. Ο αλγόριθμος Particle Swarm Optimization (PSO) προσομοιώνει την συμπεριφορά ενός σμήνους πτηνών, καθώς τα μέλη αυτού επιδιώκουν έναν κοινό στόχο, όπως την αναζήτηση τροφής. Σύμφωνα με την ορολογία του αλγορίθμου, τα μέλη του σμήνους ο- νομάζονται particles (σωματίδια), ενώ ο κοινός στόχος του σμήνους των particles είναι η ανακάλυψη του ολικού βέλτιστου σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης. Όπως αναφέρουν οι εμπνευστές του, ο αλγόριθμος μπορεί αν χρησιμοποιηθεί στα ίδια προβλήματα όπου εφαρμόζεται ο Γενετικός αλγόριθμος (GA), χωρίς να έχει τα μειονεκτήματα αυτού. Συγκεκριμένα, η αλληλεπίδραση των particles εξυπηρετεί την εξεύρεση της βέλτιστης λύσης. Ακόμη, το σμήνος (swarm) διαθέτει μνήμη, ενώ ο GA δεν διαθέτει. Οι αλλαγές στον γενετικό πληθυσμό του GA έχουν σαν αποτέλεσμα την απώλεια της προηγούμενης γνώσης για το πρόβλημα, εκτός ίσως από την περίπτωση της εφαρμογής του σχήματος Ελιτισμού, κατά το οποίο ένα μικρό μέρος του πληθυσμού διατηρεί την ταυτότητά του. Άλλωστε, όπως εξηγείται στην συνέχεια, τα particles τα οποία «ίπτανται» πέραν των βέλτιστων, εξαναγκάζονται να επιστρέψουν κοντά σε αυτά. Η γνώση για τις καλές ευρεθείσες λύσεις διατηρείται. Το κάθε μέλος του Σελίδα60 σμήνους ακολουθεί την δικιά του πορεία μέσα στον χώρο έρευνας, ο οποίος αποτελείται από όλα τα σημεία τα οποία είναι υποψήφιες εφικτές ή μη λύσεις του προβλήματος. Το κάθε particle επιδεικνύει κάποια μορφή νοημοσύνης με βάση την οποία κινείται ή, σύμφωνα με την ορολογία του αλγορίθμου, «ίπταται». Η κίνηση του κάθε particle διαμορφώνεται εν πολλοίς από την κοινωνική συμπεριφορά του σμήνους: ε-

69 πηρεάζεται από το προσωπικό του καλύτερο επίτευγμα διαχρονικά, αλλά και από το καθολικά καλύτερο επίτευγμα του σμήνους. Στις πρακτικές εφαρμογές το κάθε particle αντιπροσωπεύει μια υποψήφια λύση, ενώ η κίνησή του επιτυγχάνεται με την επίδραση ενός διανύσματος, της ταχύτητας. Αυτό ακριβώς το διάνυσμα της ταχύτητας αποτελείται από δύο συνιστώσες. Η μια αντιστοιχεί στην «προσωπική εμπειρία» του particle, ενώ η άλλη αντιστοιχεί στο καθολικά καλύτερο επίτευγμα. Ο βαθμός κατά τον οποίο η κίνηση του particle θα επηρεαστεί περισσότερο ή λιγότερο από την μια ή την άλλη συνιστώσα είναι ελεγχόμενος και καθορίζεται από την τιμή του συντελεστή με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η κάθε συνιστώσα. Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής της «προσωπικής εμπειρίας» σε σχέση με τον συντελεστή του καθολικά καλύτερου επιτεύγματος, τόσο το particle επιδεικνύει κατά την κίνησή του εξερευνητική συμπεριφορά, ενώ στην αντίθετη περίπτωση η συμπεριφορά του particle αποσκοπεί στην εκλέπτυνση της ήδη ευρεθείσας λύσης. Την εξερευνητική συμπεριφορά την καλούμε exploration ενώ την εκλέπτυνση exploitation. Χαρακτηριστική έννοια του αλγορίθμου, όπως και σε όλους τους αλγορίθμους της Υπολογιστικής Νοημοσύνης, είναι η έννοια της γενεάς. Με τον όρο αυτό εννοούμε ένα πλήρη κύκλο του αλγορίθμου, στον οποίο ολοκληρώνονται κάποιες βασικές λειτουργίες του, οι οποίες δυνητικά επιτρέπουν την προσέγγιση του ολικού βέλτιστου. Έτσι, η επαναληπτική διαδικασία που περιλαμβάνει ένα σύνολο γενεών επιτυγχάνει την εξεύρεση του ολικού βέλτιστου ή την προσέγγισή του. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο PSO (όπως και άλλοι αλγόριθμοι της Υπολογιστικής Νοημοσύνης) δεν παρέχουν κανενός είδους a priori εγγύηση για την εύρεση του ολικού βέλτιστου. Παρόλα αυτά, αν και δεν έχει αποδειχτεί ακόμη το γιατί, τις περισσότερες φορές τα αποτελέσματα είναι ικανοποιητικά. Πριν προχωρήσουμε στην παράθεση του ψευδό κώδικα του PSO, σημειώνουμε Σελίδα61 ότι με pbest i παριστάνεται η τιμή της καλύτερης λύσης που έχει ανακαλυφθεί από το

70 particle i μέχρι την τρέχουσα γενεά, ενώ με gbest παριστάνεται η καλύτερη καθολικά τιμή μέχρι την τρέχουσα γενεά. Επίσης, με X i παριστάνεται το διάνυσμα particle i, ενώ με PBEST i παριστάνεται η καλύτερη δομή (διάνυσμα) του particle i, δηλαδή το προσωπικό καλύτερο επίτευγμα και με GBEST παριστάνεται η δομή του καθολικά καλύτερου particle. Ακόμη, με τον όρο fitness παριστάνεται η τιμή της συνάρτησης, της οποίας η βέλτιστη τιμή αναζητείται. Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης, ενώ η συνάρτηση αποτελείται από d μεταβλητές στον Υπέρ χώρο D. Συνεπώς, το κάθε particle είναι ένα διάνυσμα d συντεταγμένων. Εικόνα 4.1: Ο ψευδό κώδικας του αρχικού PSO (Eberhart και Kennedy, 1995) 1: 2: 3: 4: 5: 6: Initialize an array of particles with random positions and velocities on D dimensions, Evaluate the desired minimization function in D variables, Compare evaluation with particle s previous best value (pbest i ): If current value< pbest i then pbest i =current value and PBEST i = current position in D dimensional hyperspace, Compare evaluation with group s previous best (gbest): If current value < gbest then Gbest = current value, Change velocity by the following formula: V i = V i + C 1 rand( ) (PBEST i X i ) + C 2 rand( ) (GBEST X i ), and, Move to Present X i + V i : Loop to step 2 and repeat until a criterion is met. Ομοίως και το διάνυσμα της ταχύτητας V i που αντιστοιχεί σε κάθε particle i. Σε Σελίδα62 κάθε γενεά ενημερώνεται το διάνυσμα της ταχύτητας κάθε particle και στην συνέχεια προστίθεται στο particle. Με αυτόν τον τρόπο το particle i επιταχύνεται, δηλαδή «ωθείται» προς το PBEST i και το GBEST. Αυτό το γεγονός οδήγησε τους εμπνευστές του αλγορίθμου να προσδώσουν σε αυτήν την εκδοχή τον χαρακτηρισμό global (καθολι-

71 κή), σε αντιδιαστολή με την εκδοχή που παραθέτουμε στην ενότητα 4.2 και την οποία ονόμασαν τοπική (local) εκδοχή. Παραθέτουμε στην Εικόνα 4.1 τον ψευδό κώδικα του αλγορίθμου PSO στην καθολική του εκδοχή. Στην συνέχεια, προς χάριν της σαφήνειας του κειμένου, παραθέτουμε ξεχωριστά τις εξισώσεις ενημέρωσης της ταχύτητας και των particles, όπως παρουσιάζονται στην βιβλιογραφική αναφορά (Kennedy και Eberhart, 1995): V id = V id + C 1 rand( ) (p id x id ) + C 2 rand( ) (p gd x id ) (4.1) x id = x id + V id (4.2) Σημειώνεται ότι, στην πρωτότυπη έκδοση του PSO, προτείνονται οι τιμές C 1 = C 2 = 2 για την εξ. (4.1), ενώ το σύμβολο rand( ) υπονοεί τυχαία ανεξάρτητα και ομοιόμορφα επιλεγμένους πραγματικούς αριθμούς από το διάστημα [0, 1]. Μεταγενέστερα, προτάθηκαν και άλλες τιμές για τους C 1 και C 2, για διάφορες εφαρμογές, πάντα όμως πλησίον του 2. Δεν θα πρέπει να παραληφθεί ότι, οι Shi και Eberhart (1998), πρότειναν την συμπερίληψη στην εξ. (4.1) ενός συντελεστή W, τον οποίο ονόμασαν inertia weight (συντελεστή αδράνειας). Έτσι, σύμφωνα με την μεταγενέστερη πρόταση των ερευνητών, η εξ. (4.1) μετατρέπεται ως εξής: V id = W V id + C 1 rand( ) (p id x id ) + C 2 rand( ) (p gd x id ) (4.3) Όπως σημειώνουν, η χρήση του W είναι μάλλον απαραίτητη για την σύγκλιση του αλγορίθμου. Προτείνουν δε, η αρχική τιμή του W να ισούται με 0,9 και να μειώνεται γραμμικά έως το 0,4. Τέλος, δύο χρόνια αργότερα, οι ίδιοι ερευνητές (Eberhart και Σελίδα63 Shi, 2000), δημοσίευσαν μια μελέτη σχετικά με την ρύθμιση των τιμών των μεταβλητών του PSO. Σε αυτήν την μελέτη προτείνουν την χρήση μιας επιπλέον μεταβλητής

72 στην εξ. (4.1). Πρόκειται για την μεταβλητή Κ, την οποία ονόμασαν constriction factor (συστολικό παράγοντα). Η χρήση του παράγοντα αυτού «περιορίζει» τις τιμές της ταχύτητας και ως εκ τούτου δεν αφήνει τα particles να ίπτανται πέραν του χώρου έρευνας. Η τιμή του Κ δίνεται από την παρακάτω σχέση: 2 K = 2 φ φ 2 4φ, με φ = C 1 + C 2 και φ > 4 (4.4) 4.2. Ο αρχικός PSO για συνεχή χώρο τοπική (Local) εκδοχή Όπως παρατηρούν οι Kennedy και Eberhart (1997), η καθολική εκδοχή έχει το μειονέκτημα ότι μπορεί να εγκλωβιστεί σε τοπικά βέλτιστα, μια παρατήρηση που έγινε και από άλλους ερευνητές, αργότερα. Για να αποφύγουν αυτήν την αδυναμία, πρότειναν την τοπική εκδοχή κατά την οποία το κάθε particle «ωθείται» προς το personal best (όπως και στην καθολική εκδοχή) και στο local best (ενώ στην καθολική εκδοχή ωθείται προς το global best). Η διαφορά του local best από το global best είναι ότι το local best είναι το καλύτερο particle στην συγκεκριμένη «γειτονιά» αυτού και όχι σε όλο το σμήνος. Με τον όρο «γειτονιά» εννοούμε ένα υποσύνολο από particles του συνολικού πληθυσμού (swarm). Έτσι, με τον διαχωρισμό του αρχικού πληθυσμού σε υπό ομάδες (γειτονιές) τα particles σκοπίμως αποσπώνται και διαχωρίζονται χωροταξικά και έτσι έχουν μεγαλύτερη δυνατότητα διερεύνησης (exploration) του χώρου. Με αυτόν τον τρόπο, ο αλγόριθμος σπανίως εγκλωβίζεται σε τοπικά βέλτιστα, αν και Σελίδα64 η τοπική εκδοχή απαιτεί περισσότερες γενεές, και άρα περισσότερο χρόνο, για την εύρεση του βέλτιστου. Όσον αφορά στο μέγεθος της γειτονιάς κάθε particle, οι Kennedy και Eberhart, (1995) προτείνουν μια τιμή μεταξύ 2 και 8. Όσον αφορά στις τοπολογίες, δηλαδή στον τρόπο με τον οποίο συνδέονται οι γείτονες και αποτελούν μια γειτονιά, έχουν προταθεί διάφορα σχήματα, όπως η τοπολογία αστέρα, η κυκλική το-

73 πολογία και η τοπολογία von Neumann (Kennedy, 1999 και Kennedy και Mendes, 2002). Το 2006 προτάθηκε μια νέα τοπολογία, η τυχαία (Clerc, 2006). Σύμφωνα με αυτήν, οι γείτονες κάθε particle επιλέγονται με τυχαίο τρόπο, ενώ η γειτονιά του κάθε particle αναδιαμορφώνεται κάθε φορά που δεν παρατηρείται βελτίωση της τρέχουσας καλύτερης λύσης για έναν αριθμό γενεών. Ως μέγεθος της γειτονιάς προτείνεται ο α- ριθμός 3. Σημειώνεται, ότι όπως προκύπτει και από την παρουσίαση του 3 ου πρωτότυπου αλγορίθμου PSO που προτείνεται στην ενότητα 6.4 υιοθετώντας την local εκδοχή, με τυχαία τοπολογία και μέγεθος γειτονιάς ίσο με 3, ακόμη και στον διακριτό χώρο, επετεύχθησαν τα καλύτερα μέχρι σήμερα αποτελέσματα, μακράν Ο SPSO 2011 Είναι γεγονός, ότι από το 1995 που εφευρέθηκε ο PSO, άρχισαν να παρατηρούνται ορισμένες αδυναμίες του αλγορίθμου, οι οποίες διατηρήθηκαν σε όλες τις προσπάθειες που έγιναν προς την κατεύθυνση της καθιέρωσης ενός «πρότυπου» PSO. Μέχρι το 2007 η ενημέρωση του διανύσματος της ταχύτητας γινόταν «κατά συντεταγμένες». Αυτό είχε ως αποτέλεσμα η απόδοση του PSO να εξαρτάται εν πολλοίς από το σύστημα συντεταγμένων. Το φαινόμενο αυτό συχνά αποκαλείται «rotation sensitivity». Η αιτία του φαινομένου είναι η εξής: για κάθε particle και για κάθε γενεά, το σύνολο των επόμενων κινήσεών του είναι εξαρτώμενο από τις συντεταγμένες και ειδικότερα από δύο υπέρ παραλληλόγραμμα στον χώρο των D διαστάσεων (D rectangles) των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες προς τους άξονες, με ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας μέσα σε κάθε παραλληλόγραμμο. Ο συνδυασμός αυτός είναι ένα D rectangle αλλά με μη ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας. Επί της Σελίδα65 ουσίας η πιθανότητα είναι πιο πυκνή κοντά στο κέντρο. Διάφορα πειράματα έδειξαν ότι η πρόταση για την αντιμετώπιση του φαινομένου είναι μια απλή υπέρ σφαίρα

74 H(Gr, Gr X ), όπου Gr είναι το κέντρο βάρους των X, P και G, με P = X + c (P X) και G = X + c (G X), c > 1. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει περισσότερες λεπτομέρειες για το προηγούμενο φαινόμενο στους Clerc (2010) και Spears κ.ά. (2010). Ο πυρήνας του SPSO 2011 είναι αυτή ακριβώς η ιδέα. Εισάγεται δηλαδή η έννοια της «αξονικής ανεξαρτησίας» (rotational invariance). Περισσότερες λεπτομέρειες για την αξονική ανεξαρτησία υπάρχουν σε δύο δικτυακούς 5 6 τόπους. Θα πρέπει όμως να σημειωθεί, ότι η απόλυτη αξονική ανεξαρτησία είναι α- δύνατον να επιτευχθεί, εκτός από τις περιπτώσεις όπου ο χώρος έρευνας δεν είναι σφαιρικός. Κατά τα άλλα, ο SPSO 2011, χρησιμοποιεί τις ίδιες πληροφορίες και παραμέτρους με τον αρχικό PSO αλγόριθμο, οπότε είναι ταυτόχρονα απλός και μη εξαρτώμενος, σχετικά, από τις συντεταγμένες. Όσον αφορά στο μέγεθος του πληθυσμού, αυτό αφήνεται στον χρήστη προς ρύθμιση, ανάλογα με τις ανάγκες του. Παρόλα αυτά, προτείνεται η τιμή 40. Στην συνέχεια παραθέτουμε, υπό μορφή εικόνων, την γεωμετρική ερμηνεία των αλγορίθμων PSO μέχρι και το 2007, η οποία αντιδιαστέλλεται με την γεωμετρική ερμηνεία του SPSO Εικόνα 4.2: Γεωμετρική ερμηνεία του αρχικού PSO και του SPSO 2011 Σελίδα66 Όπως φαίνεται στα δεξιά της Εικόνα 4.2, στον SPSO 2011 σχηματίζεται το σημείο G i, το οποίο είναι το κέντρο βάρους (βαρύκεντρο) τριών άλλων σημείων: του X i

75 που παριστάνει την τρέχουσα θέση του particle, ενός σημείου πλησίον του personal best, p i και ενός σημείου πλησίον του local best της γειτονιάς του particle, l i. Οι μαθηματικές σχέσεις που αποτυπώνουν την προηγούμενη ιδέα είναι: p i = X i + c 1 U 1 (p i X i ) (4.5) l i = X i + c 2 U 2 (L X i ) (4.6) G i = X i + p i + l i 3 (4.7) όπου το σύμβολο υποδηλώνει πολλαπλασιασμό διανυσμάτων κατά συντεταγμένες. Οι σχέσεις δε, που αποτυπώνουν την ενημέρωση του διανύσματος της ταχύτητας και των particles είναι: V i = WV i + c 1 U 1 (p i X i ) + c 2 U 2 (L X i ) (4.8) όπου c 1 είναι ο γνωστικός (cognitive) συντελεστής και c 2 ο κοινωνικός (social) συντελεστής, U 1 και U 2 είναι ανεξάρτητα και ομοιόμορφης κατανομής τυχαιοποιημένα διανύσματα στο διάστημα [0, 1] και W ο συντελεστής. X i = X i + V i (4.9) Στην Εικόνα 4.3 παραθέτουμε τον ψευδό κώδικα του αλγορίθμου SPSO Το 2013 οι Liang κ.ά., πρότειναν την διοργάνωση μιας συνεδρίας ή διαγωνισμού βελτιστοποίησης (Real-Parameter Single Objective Optimization), όπου διάφοροι ε- ρευνητές θα συμμετείχαν με προτεινόμενους αλγορίθμους, οι οποίοι θα ελέγχονταν Σελίδα67 ως προς την απόδοσή τους με βάση 28 δύσκολες συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις αυτές ήταν σύνθετες, με βάση άλλες γνωστές απλούστερες, μετατοπισμένες και συστρεμμένες. Οι ερευνητές Zambrano Bigiarini κ.ά. (2013) δοκίμασαν για πρώτη φορά

76 τον SPSO 2011 στις 28 αυτές συναρτήσεις και παρουσίασαν τα αποτελέσματα και συμπεράσματα σε σχετική δημοσίευση. Εικόνα 4.3: Ο ψευδό κώδικας του SPSO : 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: for i = 1to N do {for each particle in the swarm} end for repeat Initialize particles positions (X i ) and velocities (V i ) Initialize personal/previous best, P i, and local best, G for i = 1to N do Update particle s velocity using equation (4.8) Update particle s position using equation (4.9) if f(x i ) < f(p i ) then {minimization of f} end if end for Update particle s best-known position P i = X i if f(p i ) < f(l) then {minimization of f} end if Update the neighborhood s best-known position L = P i until [number of iterations (T) or tolerance error is met] Όπως αναφέρουν, ο SPSO 2011 επέδειξε εξαιρετική απόδοση στις μονοκόρυφες (unimodal) και διαχωρίσιμες συναρτήσεις, με ταχεία σύγκλιση στο ολικό βέλτιστο, ενώ για τέσσερις πολυκόρυφες (multimodal) και συστρεμμένες (rotated) συναρτήσεις η απόδοσή του ήταν καλή. Αντίθετα, ο SPSO 2011 δεν απέδωσε καλά σε όλες τις πολύ περίπλοκες συναρτήσεις που είχαν σχεδιαστεί ειδικά για αυτόν τον διαγωνισμό και σε ορισμένες πολυκόρυφες συναρτήσεις. Σε αυτές τις συναρτήσεις, ο SPSO Σελίδα , είχε περιορισμένες δυνατότητες στην προσπάθεια να ξεφύγει από περιοχές που περιείχαν τοπικά βέλτιστα. Παρά την αδυναμία του αυτή, επέδειξε παρόμοια συμπεριφορά σε προβλήματα μέχρι και διάστασης 50, χωρίς να υπάρχει ανάγκη αύξησης του μεγέθους του swarm. Με δεδομένη την άποψη ότι ο SPSO 2011 δεν φιλοδο-