Μαθηματικά Πληροφορικής

Transcript

1 Μαθηματικά Πληροφορικής 7ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών

2 Ταιριάσματα(matchings) Ορισμός(Ταίριασμα) Εστωγράφημα G = (V,E).Ταίριασμακαλείταιένασύνολο M E,τέτοιοώστεκάθεκόμβοςτου Vανήκειτοπολύσεμία ακμήτου M.Τομέγεθοςτουταιριάσματοςείναιτο M. Εναταίριασμα Mκαλείταιταίριασματου U V,ανσεκάθε κορυφήτου Uπροσπίπτειμίαακμήτου M.Ταίριτου u U καλείταιημοναδικήκορυφή v Uγιατηνοποία {u,v} M.Μια κορυφή χωρίς ταίρι, καλείται αταίριαστη. Ενα ταίριασμα του V καλείται πλήρες ή τέλειο(perfect matching). Δεν έχουν όλα τα γραφήματα πλήρες ταίριασμα.

3 Διμερή Γραφήματα Ορισμός(Διμερές γράφημα) Εναγράφημα G = (V,E)ονομάζεταιδιμερέςαν V = A B, A B =,καιγιακάθε {u,v} E, u A,v B. Εναδιμερέςγράφημα G = (V,E)μεδιαμέριση {A,B}θατο συμβολίζουμεως G = (A B,E).

4 Ταιριάσματα(matchings) l 1 r 1 l 1 r 1 l 2 r 2 l 2 r 2 l 3 r 3 l 3 r 3 l 4 r 4 l 4 r 4 l 5 r 5 l 5 r 5 l 6 r 6 l 6 r 6 (a) (b) Σχήμα: Διμερές γράφημα (a) και ένα πλήρες ταίριασμα (b) Ορισμός(Πρόβλημα πλήρους ταιριάσματος σε διμερή γραφήματα) Δοθέντος ενός διμερούς γραφήματος, υπάρχει πλήρες ταίριασμα;

5 Θεώρημα του Hall Για S V,συμβολίζουμεμε Γ(S)τοσύνολοτωνγειτόνωντου S. Θεώρημα(Hall) Εναδιμερέςγράφημα G = (L R,E)μείσοαριθμόκόμβωνστα δυομέρη Lκαι R,περιέχειτέλειοταίριασμαανκαιμόνοανγια κάθευποσύνολο Sτου L S Γ(S).

6 Θεώρημα του Hall Για S V,συμβολίζουμεμε Γ(S)τοσύνολοτωνγειτόνωντου S. Θεώρημα(Hall) Εναδιμερέςγράφημα G = (L R,E)μείσοαριθμόκόμβωνστα δυομέρη Lκαι R,περιέχειτέλειοταίριασμαανκαιμόνοανγια κάθευποσύνολο Sτου L S Γ(S). Απόδειξη( ) Η συνθήκη του Hall είναι ξεκάθαρα αναγκαία. Αν υπάρχει ταίριασμα Mτου L,τότεπράγματιγιακάθευποσύνολο Sτου L S Γ(S). Ταταίριατωνκορυφώντου Sστο Mείναιακριβώς S το πλήθος και ανήκουν στο Γ(S).

7 Απόδειξη του Θεωρήματος του Hall( ) Απομένειναδείξουμεότιησυνθήκητου Hallείναικαιικανή. Ορισμός Εστω M ταίριασμα(όχι απαραίτητα τέλειο). Εναλλασσόμενο μονοπάτι ονομάζεται ένα μονοπάτι P που ξεκινάει από αταίριαστη κορυφή και του οποίου οι ακμές ανήκουν εναλλάξ στο E \Mκαιτο M.Αυξητικόμονοπάτιονομάζεταιένα εναλλασσόμενο μονοπάτι που τελειώνει σε αταίριαστη κορυφή. Θα αποδείξουμε κατασκευαστικά πως αν ισχύει η συνθήκη και έχουμε μερικό ταίριασμα του L, μπορούμε πάντα να βρούμε αυξητικό μονοπάτι ξεκινώντας από αταίριαστη κορυφή u L.

8 Απόδειξη του Θεωρήματος του Hall( ) l 1 r 1 l 2 r 2 l 3 r 3 l 4 r 4 l 5 r 5 l 6 r 6 l 7 r 7 l 8 r 8 Σχήμα: Ενα μερικό ταίριασμα

9 Απόδειξη του Θεωρήματος του Hall( ) r 5 l 5 r 1 l 3 r 7 l 1 r 3 l 6 r 2 l 2 r 6 l 7 r 4 l 4 (a) r 5 l 5 r 1 l 3 r 7 l 1 r 3 l 6 r 2 l 2 r 6 l 7 r 4 l 4 Σχήμα: (a)ξεδιπλώνουμετογράφημααπότο l 1. (b)παίρνουμεένα καλύτερο ταίριασμα εναλλάσοντας τις ακμές στο μονοπάτι (l 1,r 1,l 3,r 5,l 5,r 7). (b)

10 Απόδειξη του Θεωρήματος του Hall( ) Για S R, M(S) := {u L v S {u,v} M}. Δηλ. M(S)είναιταταίριατωνκορυφώντου S. Δίνουμε αλγόριθμο που ξεκινώντας από αταίριαστη κορυφή u Lψάχνειγιααυξητικόμονοπάτι. Ο αλγόριθμος επισκέπτεται τις κορυφές ανά«επίπεδα» όπου διαδοχικά επίπεδα αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεριέςτου G,δηλ.στο Lκαιστο R. L 0,R 1,L 1,R 2,L 2,... Αρχικά L 0 = {u}και R 1 = Γ(L 0 ).Μετά L 1 = M(R 1 ), R 2 = Γ(L 2 )κοκ.

11 Αλγόριθμος για αυξητικό μονοπάτι 1 L 0 := {u} // u M(R), δηλαδή αταίριαστη 2 R 1 := Γ(L 0 ) 3 SeenL := L 0 SeenR := R 1 4 i := 1 5 while (όλεςοικορυφέςτου R i ταιριασμένες and R i ) do 6 L i := M(R i ) 7 R i+1 := Γ(L i )\SeenR 8 SeenL := SeenL L i 9 SeenR := SeenR R i+1 10 i := i end 12 ifυπάρχειαταίριαστηκορυφήστο R i then 13 return «βρέθηκε αυξητικό μονοπάτι» 14 end

12 Αλγόριθμος για αυξητικό μονοπάτι Από τη Γραμμή 6 του Αλγορίθμου, i, R i = L i. (1) Αν το while-loop τερματίσει και δεν έχουμε βρει αυξητικό μονοπάτι,το«τελευταίο» R i+1 = καιτο«ξεδίπλωμα»του γραφήματος σταματάει σε κορυφές του L. Άρα SeenR = i=1 R i (1) = L i = SeenL 1 i=1 γιατί SeenL = {u} ( i=1 L i). Εκ κατασκευής SeenR = Γ(SeenL). Από συνθήκη Hall, θα έπρεπε SeenR SeenL, άτοπο.

13 Θεώρημα του Hall Στην πραγματικότητα αποδείξαμε κάτι πιο γενικό: Θεώρημα(Hall) Εναδιμερέςγράφημα G = (L R,E)περιέχειταίριασματου L ανκαιμόνοανγιακάθευποσύνολο Sτου L S Γ(S).

14 Πόρισμα του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα(Πόρισμα του Θ. του Hall) Ανσεέναδιμερέςγράφημα G = (L R,E)γιακάθευποσύνολο Sτου L S d Γ(S) όπου d {0,1,..., L },τότετο Gπεριέχειταίριασμαμεγέθους L d.