Άπληστοι Αλγόριθµοι. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 1

Transcript

1 Άπληστοι Αλγόριθµοι Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 1

2 Άπληστοι Αλγόριθµοι... για προβλήµατα βελτιστοποίησης: Λειτουργούν σε βήµατα. Κάθε βήµα κάνει µια αµετάκλητη επιλογή για λύση. Άπληστη επιλογή: αυτό που φαίνεται καλύτερο µε βάση τρέχουσα κατάσταση και κάποιο (απλό) κριτήριο. Ίδια στρατηγική στο υποπρόβληµα που προκύπτει. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 1

3 Άπληστοι Αλγόριθµοι... για προβλήµατα βελτιστοποίησης: Λειτουργούν σε βήµατα. Κάθε βήµα κάνει µια αµετάκλητη επιλογή για λύση. Άπληστη επιλογή: αυτό που φαίνεται καλύτερο µε βάση τρέχουσα κατάσταση και κάποιο (απλό) κριτήριο. Ίδια στρατηγική στο υποπρόβληµα που προκύπτει. Πλεονεκτήµατα: Γρήγοροι, απλοί, και «φυσιολογικοί» αλγόριθµοι. Εφαρµόζεται (επιτυχώς) σε πολλά και σηµαντικά προβλήµατα. Μειονεκτήµατα: Βέλτιστη λύση µόνο υπό προϋποθέσεις! Βέλτιστη λύση: απόδειξη ορθότητας (συν. επαγωγή). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 1

4 Άπληστη Στρατηγική Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 2

5 Άπληστη Στρατηγική Ταξινόµηση συνιστωσών µε βάση κάποιο απλό κριτήριο. (Αµετάκλητη) επιλογή καθορίζει αν «καλύτερη» συνιστώσα θα συµπεριληφθεί στη λύση. Επιλογή µε κάποιον απλό κανόνα. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 2

6 Άπληστη Στρατηγική Ταξινόµηση συνιστωσών µε βάση κάποιο απλό κριτήριο. (Αµετάκλητη) επιλογή καθορίζει αν «καλύτερη» συνιστώσα θα συµπεριληφθεί στη λύση. Επιλογή µε κάποιον απλό κανόνα. Ίδια στρατηγική σε υποπρόβληµα που προκύπτει. Μη-προσαρµοστικός: ίδια ταξινόµηση σε όλα τα βήµατα. Προσαρµοστικός: αλλάζει ταξινόµηση σε κάθε βήµα. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 2

7 Άπληστη Στρατηγική Ταξινόµηση συνιστωσών µε βάση κάποιο απλό κριτήριο. (Αµετάκλητη) επιλογή καθορίζει αν «καλύτερη» συνιστώσα θα συµπεριληφθεί στη λύση. Επιλογή µε κάποιον απλό κανόνα. Ίδια στρατηγική σε υποπρόβληµα που προκύπτει. Μη-προσαρµοστικός: ίδια ταξινόµηση σε όλα τα βήµατα. Προσαρµοστικός: αλλάζει ταξινόµηση σε κάθε βήµα. Χρόνος εκτέλεσης συνήθως καθορίζεται από επιλογή «καλύτερης» συνιστώσας σε κάθε βήµα. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 2

8 Επιλογή Δραστηριοτήτων Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 3

9 Επιλογή Δραστηριοτήτων n δραστηριότητες: αρχή και τέλος (π.χ. µαθήµατα, υπολογιστικές διεργασίες). Επιλογή δραστηριοτήτων χωρίς χρονικές επικαλύψεις και δροµολόγηση σε κοινό πόρο (π.χ. αίθουσα διδασκαλίας, επεξεργαστής). Ζητούµενο: δροµολόγηση µέγιστου #δραστηριοτήτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 3

10 Επιλογή Δραστηριοτήτων n δραστηριότητες: αρχή και τέλος (π.χ. µαθήµατα, υπολογιστικές διεργασίες). Επιλογή δραστηριοτήτων χωρίς χρονικές επικαλύψεις και δροµολόγηση σε κοινό πόρο (π.χ. αίθουσα διδασκαλίας, επεξεργαστής). Ζητούµενο: δροµολόγηση µέγιστου #δραστηριοτήτων. Πρόβληµα συνδυαστικής βελτιστοποίησης: Κάθε δροµολόγηση χωρίς επικαλύψεις: εφικτή λύση. Ζητούµενο: εφικτή δροµολόγηση µε µέγιστο #δραστηριοτήτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 3

11 Παράδειγµα Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 4

22 Παράδειγµα Βέλτιστη λύση: 4 δραστηριότητες. Π.χ. {1, 3, 6, 8}, {2, 4, 7, 10}, {1, 4, 7, 10}, Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 4

23 Άπληστος Αλγόριθµος Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 5

24 Άπληστος Αλγόριθµος Κριτήριο άπληστης επιλογής; Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 5

25 Άπληστος Αλγόριθµος Κριτήριο άπληστης επιλογής; Ελάχιστος χρόνος ολοκλήρωσης. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 5

26 Άπληστος Αλγόριθµος Κριτήριο άπληστης επιλογής; Ελάχιστος χρόνος ολοκλήρωσης. Ταξινόµηση σε αύξουσα σειρά χρόνου ολοκλήρωσης. Επόµενη δραστηριότητα: Δροµολογείται αν είναι εφικτό (πόρος είναι ελεύθερος). Αγνοείται αν δροµολόγηση δεν είναι εφικτή. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 5

27 Υλοποίηση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 6

29 Υλοποίηση Χρόνος Ο(n log n) (ταξινόµηση ως προς χρόνο ολοκλήρωσης). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 6

30 Υπολογισµός Βέλτιστης Λύσης Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 7

31 Υπολογισµός Βέλτιστης Λύσης Βέλτιστη λύση: απόδειξη ορθότητας (επαγωγή). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 7

32 Υπολογισµός Βέλτιστης Λύσης Βέλτιστη λύση: απόδειξη ορθότητας (επαγωγή). Βασίζεται σε δύο ιδιότητες (απαραίτητες!): Αρχή βελτιστότητας (βέλτιστες επιµέρους λύσεις): Κάθε τµήµα βέλτιστης λύσης αποτελεί βέλτιστη λύση για αντίστοιχο υποπρόβληµα. π.χ. κάθε τµήµα µιας συντοµότερης διαδροµής είναι συντοµότερη διαδροµή µεταξύ των άκρων του. Χαρακτηριστικό και δυναµικού προγραµµατισµού. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 7

33 Υπολογισµός Βέλτιστης Λύσης Βέλτιστη λύση: απόδειξη ορθότητας (επαγωγή). Βασίζεται σε δύο ιδιότητες (απαραίτητες!): Αρχή βελτιστότητας (βέλτιστες επιµέρους λύσεις): Κάθε τµήµα βέλτιστης λύσης αποτελεί βέλτιστη λύση για αντίστοιχο υποπρόβληµα. π.χ. κάθε τµήµα µιας συντοµότερης διαδροµής είναι συντοµότερη διαδροµή µεταξύ των άκρων του. Χαρακτηριστικό και δυναµικού προγραµµατισµού. Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Υπάρχει βέλτιστη λύση που συµφωνεί µε την άπληστη επιλογή που κάνει ο αλγόριθµος.... ή ισοδύναµα: η άπληστη επιλογή µπορεί να οδηγήσει σε βέλτιστη λύση. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 7

34 Ορθότητα Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

35 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

36 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

37 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Έστω αλγ. υπολογίζει βέλτιστη λύση για n 1 δραστ. Θδο. υπολογίζει βέλτιστη λύση για σύνολο Α µε n δραστ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

38 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Έστω αλγ. υπολογίζει βέλτιστη λύση για n 1 δραστ. Θδο. υπολογίζει βέλτιστη λύση για σύνολο Α µε n δραστ. Αλγ. επιλέγει 1 ( f 1 ) και βέλτιστη λύση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

39 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Έστω αλγ. υπολογίζει βέλτιστη λύση για n 1 δραστ. Θδο. υπολογίζει βέλτιστη λύση για σύνολο Α µε n δραστ. Αλγ. επιλέγει 1 ( f 1 ) και βέλτιστη λύση C * (A) βέλτιστη λύση και j δραστ. C * (A) ολοκληρώνεται πρώτη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

40 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Έστω αλγ. υπολογίζει βέλτιστη λύση για n 1 δραστ. Θδο. υπολογίζει βέλτιστη λύση για σύνολο Α µε n δραστ. Αλγ. επιλέγει 1 ( f 1 ) και βέλτιστη λύση C * (A) βέλτιστη λύση και j δραστ. C * (A) ολοκληρώνεται πρώτη. #δραστηριοτήτων άπληστου αλγ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

41 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Έστω αλγ. υπολογίζει βέλτιστη λύση για n 1 δραστ. Θδο. υπολογίζει βέλτιστη λύση για σύνολο Α µε n δραστ. Αλγ. επιλέγει 1 ( f 1 ) και βέλτιστη λύση C * (A) βέλτιστη λύση και j δραστ. C * (A) ολοκληρώνεται πρώτη. #δραστηριοτήτων άπληστου αλγ. Άπληστη επιλογή: βέλτιστη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

42 Ορθότητα Επαγωγή στον #δραστηριοτήτων. Υποθέτουµε πάντα ότι Βάση: αν 1 δραστ., αυτή επιλέγεται πάντα. Έστω αλγ. υπολογίζει βέλτιστη λύση για n 1 δραστ. Θδο. υπολογίζει βέλτιστη λύση για σύνολο Α µε n δραστ. Αλγ. επιλέγει 1 ( f 1 ) και βέλτιστη λύση C * (A) βέλτιστη λύση και j δραστ. C * (A) ολοκληρώνεται πρώτη. #δραστηριοτήτων άπληστου αλγ. Άπληστη επιλογή: βέλτιστη. Άπληστος αλγόριθµος υπολογίζει βέλτιστη λύση για Α. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 8

44 Ορθότητα Αποδείξαµε ότι Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 9

45 Ορθότητα Αποδείξαµε ότι Ιδιότητα άπληστης επιλογής: (Άπληστη) επιλογή δραστηριότητας µε ελάχιστο χρόνο ολοκλήρωσης οδηγεί σε συνολικά βέλτιστη λύση. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 9

46 Ορθότητα Αποδείξαµε ότι Ιδιότητα άπληστης επιλογής: (Άπληστη) επιλογή δραστηριότητας µε ελάχιστο χρόνο ολοκλήρωσης οδηγεί σε συνολικά βέλτιστη λύση. Ιδιότητα βέλτιστων επιµέρους λύσεων: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 9

47 Ορθότητα Αποδείξαµε ότι Ιδιότητα άπληστης επιλογής: (Άπληστη) επιλογή δραστηριότητας µε ελάχιστο χρόνο ολοκλήρωσης οδηγεί σε συνολικά βέλτιστη λύση. Ιδιότητα βέλτιστων επιµέρους λύσεων: Βέλτιστη λύση περιέχει βέλτιστη λύση για υποπρόβληµα Α 1 (δραστ. που δεν επικαλύπτονται µε πρώτη). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 9

48 Χρωµατισµός Διαστηµάτων Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι

49 Χρωµατισµός Διαστηµάτων n διαστήµατα: αρχή και τέλος Χρωµατισµός όλων ώστε επικαλυπτόµενα διαστήµατα να έχουν διαφορετικό χρώµα. Ζητούµενο: χρωµατισµός µε ελάχιστο #χρωµάτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι

50 Χρωµατισµός Διαστηµάτων n διαστήµατα: αρχή και τέλος Χρωµατισµός όλων ώστε επικαλυπτόµενα διαστήµατα να έχουν διαφορετικό χρώµα. Ζητούµενο: χρωµατισµός µε ελάχιστο #χρωµάτων. Άπληστος αλγόριθµος: Ταξινόµηση µε χρόνο έναρξης. Κάθε διάστηµα που αρχίζει παίρνει πρώτο διαθέσιµο χρώµα. Κάθε διάστηµα που τελειώνει «απελευθερώνει» το χρώµα του. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι

51 Χρωµατισµός Διαστηµάτων n διαστήµατα: αρχή και τέλος Χρωµατισµός όλων ώστε επικαλυπτόµενα διαστήµατα να έχουν διαφορετικό χρώµα. Ζητούµενο: χρωµατισµός µε ελάχιστο #χρωµάτων. Άπληστος αλγόριθµος: Ταξινόµηση µε χρόνο έναρξης. Κάθε διάστηµα που αρχίζει παίρνει πρώτο διαθέσιµο χρώµα. Κάθε διάστηµα που τελειώνει «απελευθερώνει» το χρώµα του. Χρήση χρώµατος d 2 µόνο αν επικάλυψη d διαστηµάτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι

52 Δροµολόγηση Εργασιών Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 11

53 Δροµολόγηση Εργασιών Ένας εξυπηρετητής (π.χ. επεξεργαστής, εκτυπωτής, ταµίας). Σύνολο Ν µε n εργασίες: χρόνο εκτέλεσης (π.χ. υπολογιστικές διεργασίες, εκτυπώσεις, συναλλαγές). Δροµολόγηση για ελαχιστοποίηση συνολικού (ισοδύναµα, µέσου) χρόνου εξυπηρέτησης. t 1 = 8, t 2 = 7, t 3 = 2, t 4 = 5. 1, 2, 3, 4: = 62. 3, 4, 2, 1: = 45. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 11

54 Δροµολόγηση Εργασιών Ένας εξυπηρετητής (π.χ. επεξεργαστής, εκτυπωτής, ταµίας). Σύνολο Ν µε n εργασίες: χρόνο εκτέλεσης (π.χ. υπολογιστικές διεργασίες, εκτυπώσεις, συναλλαγές). Δροµολόγηση για ελαχιστοποίηση συνολικού (ισοδύναµα, µέσου) χρόνου εξυπηρέτησης. t 1 = 8, t 2 = 7, t 3 = 2, t 4 = 5. 1, 2, 3, 4: = 62. 3, 4, 2, 1: = 45. Δροµολόγηση: µετάθεση Χρόνος εξυπηρέτησης i : Συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 11

56 Άπληστος Αλγόριθµος Δροµολόγηση σε αύξουσα σειρά χρόνου εκτέλεσης: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 12

57 Άπληστος Αλγόριθµος Δροµολόγηση σε αύξουσα σειρά χρόνου εκτέλεσης: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 12

58 Άπληστος Αλγόριθµος Δροµολόγηση σε αύξουσα σειρά χρόνου εκτέλεσης: Συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 12

62 Άπληστος Αλγόριθµος Δροµολόγηση σε αύξουσα σειρά χρόνου εκτέλεσης: Συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης: Βέλτιστος γιατί όσο µεγαλύτερος χρόνος εκτέλεσης, τόσο λιγότερες φορές συνεισφέρει στο συνολικό χρόνο εξυπηρέτησης. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 12

63 Ορθότητα: Επιχείρηµα Ανταλλαγής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 13

64 Ορθότητα: Επιχείρηµα Ανταλλαγής Έστω π * βέλτιστη δροµολόγηση, Τ(π * ) συνολικός χρόνος. λ * (j) : σειρά εργασίας j στη βέλτιστη δροµολόγηση. Έστω π * διαφορετική από άπληστη: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 13

65 Ορθότητα: Επιχείρηµα Ανταλλαγής Έστω π * βέλτιστη δροµολόγηση, Τ(π * ) συνολικός χρόνος. λ * (j) : σειρά εργασίας j στη βέλτιστη δροµολόγηση. Έστω π * διαφορετική από άπληστη: k πρώτη που δροµολογείται αργότερα στην π * : λ * (k) > k j αυτή που δροµολογείται k-οστή στην π * : λ * (j) = k συµφωνούν σε k 1 αρχικές: k < j και Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 13

66 Ορθότητα: Επιχείρηµα Ανταλλαγής Έστω π * βέλτιστη δροµολόγηση, Τ(π * ) συνολικός χρόνος. λ * (j) : σειρά εργασίας j στη βέλτιστη δροµολόγηση. Έστω π * διαφορετική από άπληστη: k πρώτη που δροµολογείται αργότερα στην π * : λ * (k) > k j αυτή που δροµολογείται k-οστή στην π * : λ * (j) = k συµφωνούν σε k 1 αρχικές: k < j και t k και t j στο T(π * ): Ανταλλαγή k και j: (k πηγαίνει στη θέση που έχει στην άπληστη δροµολόγηση). Διαφορά: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 13

67 Ορθότητα: Επιχείρηµα Ανταλλαγής Έστω π * βέλτιστη δροµολόγηση, Τ(π * ) συνολικός χρόνος. λ * (j) : σειρά εργασίας j στη βέλτιστη δροµολόγηση. Έστω π * διαφορετική από άπληστη: k πρώτη που δροµολογείται αργότερα στην π * : λ * (k) > k j αυτή που δροµολογείται k-οστή στην π * : λ * (j) = k συµφωνούν σε k 1 αρχικές: k < j και t k και t j στο T(π * ): Ανταλλαγή k και j: (k πηγαίνει στη θέση που έχει στην άπληστη δροµολόγηση). Διαφορά: Έτσι π * γίνεται ίδια µε άπληστη χωρίς αύξηση χρόνου. Άπληστη δροµολόγηση είναι βέλτιστη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 13

68 Ιδιότητες Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 14

69 Ιδιότητες Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 14

70 Ιδιότητες Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Για κάθε k, βέλτιστη δροµολόγηση π * συµφωνεί µε άπληστη στη σειρά των k πρώτων εργασιών. (Άπληστη) επιλογή συντοµότερης διαθέσιµης βέλτιστη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 14

71 Ιδιότητες Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Για κάθε k, βέλτιστη δροµολόγηση π * συµφωνεί µε άπληστη στη σειρά των k πρώτων εργασιών. (Άπληστη) επιλογή συντοµότερης διαθέσιµης βέλτιστη. Ιδιότητα βέλτιστων επιµέρους λύσεων: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 14

72 Ιδιότητες Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Για κάθε k, βέλτιστη δροµολόγηση π * συµφωνεί µε άπληστη στη σειρά των k πρώτων εργασιών. (Άπληστη) επιλογή συντοµότερης διαθέσιµης βέλτιστη. Ιδιότητα βέλτιστων επιµέρους λύσεων:. Αν αγνοήσουµε t 1, π * παραµένει βέλτιστη για υπόλοιπες. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 14

73 Ιδιότητες Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Για κάθε k, βέλτιστη δροµολόγηση π * συµφωνεί µε άπληστη στη σειρά των k πρώτων εργασιών. (Άπληστη) επιλογή συντοµότερης διαθέσιµης βέλτιστη. Ιδιότητα βέλτιστων επιµέρους λύσεων:. Αν αγνοήσουµε t 1, π * παραµένει βέλτιστη για υπόλοιπες. Απόδειξη ορθότητας: (επαγωγική) εφαρµογή ιδιότητας άπληστης επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 14

74 Πρόβληµα του Περιπτερά Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 15

75 Πρόβληµα του Περιπτερά Κέρµατα αξίας 1, 5, και 20 λεπτών. Ρέστα ποσό x µε ελάχιστο #κερµάτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 15

76 Πρόβληµα του Περιπτερά Κέρµατα αξίας 1, 5, και 20 λεπτών. Ρέστα ποσό x µε ελάχιστο #κερµάτων. Αλγόριθµος: Όσο περισσότερα 20λεπτα: Όσο περισσότερα 5λεπτα: Υπόλοιπα 1λεπτα: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 15

77 Πρόβληµα του Περιπτερά Κέρµατα αξίας 1, 5, και 20 λεπτών. Ρέστα ποσό x µε ελάχιστο #κερµάτων. Αλγόριθµος: Όσο περισσότερα 20λεπτα: Όσο περισσότερα 5λεπτα: Υπόλοιπα 1λεπτα: Βέλτιστη λύση χρησιµοποιεί ίδιο #κερµάτων: 20λεπτα: Δεν µπορεί περισσότερα. Βελτιώνεται αν λιγότερα. Αν ίδιο #20λέπτων, τότε ίδιο #5λέπτων. επαγωγή στα πλήθος διαφορετικών κερµάτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 15

78 Πρόβληµα του Περιπτερά Κέρµατα αξίας 1, 5, και 20 λεπτών. Ρέστα ποσό x µε ελάχιστο #κερµάτων. Αλγόριθµος: Όσο περισσότερα 20λεπτα: Όσο περισσότερα 5λεπτα: Υπόλοιπα 1λεπτα: Βέλτιστη λύση χρησιµοποιεί ίδιο #κερµάτων: 20λεπτα: Δεν µπορεί περισσότερα. Βελτιώνεται αν λιγότερα. Αν ίδιο #20λέπτων, τότε ίδιο #5λέπτων. επαγωγή στα πλήθος διαφορετικών κερµάτων. Δουλεύει αλγόριθµος αν κέρµατα 1, 12, και 20 λεπτών; Π.χ. ρέστα 24 λεπτά. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 15

79 Κλασµατικό Πρόβληµα Σακιδίου Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 16

80 Κλασµατικό Πρόβληµα Σακιδίου Δίνονται n είδη και ένα σακίδιο µεγέθους Β. Είδος i διαθέσιµο σε ποσότητα s i µε αξία p i : Είδος i µπορεί να συµπεριληφθεί στο σακίδιο σε οποιοδήποτε ποσοστό. Ζητείται συλλογή µέγιστης αξίας που χωράει στο σακίδιο. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 16

81 Κλασµατικό Πρόβληµα Σακιδίου Δίνονται n είδη και ένα σακίδιο µεγέθους Β. Είδος i διαθέσιµο σε ποσότητα s i µε αξία p i : Είδος i µπορεί να συµπεριληφθεί στο σακίδιο σε οποιοδήποτε ποσοστό. Ζητείται συλλογή µέγιστης αξίας που χωράει στο σακίδιο. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 16

82 Κλασµατικό Πρόβληµα Σακιδίου Δίνονται n είδη και ένα σακίδιο µεγέθους Β. Είδος i διαθέσιµο σε ποσότητα s i µε αξία p i : Είδος i µπορεί να συµπεριληφθεί στο σακίδιο σε οποιοδήποτε ποσοστό. Ζητείται συλλογή µέγιστης αξίας που χωράει στο σακίδιο. Είδη: { (3, 5), (2, 7), (4, 4), (6, 8), (5, 4) } Μέγεθος σακιδίου: 10. Βέλτιστη λύση = { 1 (3, 5), 1 (2, 7), (5/6) (6, 8) } Βέλτιστη αξία = (5/6) 8 = Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 16

83 Κλασµατικό Πρόβληµα Σακιδίου Δίνονται n είδη και ένα σακίδιο µεγέθους Β. Είδος i διαθέσιµο σε ποσότητα s i µε αξία p i : Είδος i µπορεί να συµπεριληφθεί στο σακίδιο σε οποιοδήποτε ποσοστό. Ζητείται συλλογή µέγιστης αξίας που χωράει στο σακίδιο. Είδη: { (3, 5), (2, 7), (4, 4), (6, 8), (5, 4) } Μέγεθος σακιδίου: 10. Βέλτιστη λύση = { 1 (3, 5), 1 (2, 7), (5/6) (6, 8) } Βέλτιστη αξία = (5/6) 8 = Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 16

85 Άπληστος Αλγόριθµος Είδη N = {1,, n}, σακίδιο µεγέθους Β. Βέλτιστη λύση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 17

86 Άπληστος Αλγόριθµος Είδη N = {1,, n}, σακίδιο µεγέθους Β. Βέλτιστη λύση Βέλτιστες Επιµέρους Λύσεις. Αγνοούµε είδος i :. βέλτιστη λύση για Ν \ { i } µε σακίδιο Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 17

87 Άπληστος Αλγόριθµος Είδη N = {1,, n}, σακίδιο µεγέθους Β. Βέλτιστη λύση Βέλτιστες Επιµέρους Λύσεις. Αγνοούµε είδος i :. βέλτιστη λύση για Ν \ { i } µε σακίδιο Είδος i : (αξία / µονάδα µεγέθους) Είδη σε φθίνουσα σειρά r i : Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 17

88 Άπληστος Αλγόριθµος Είδη N = {1,, n}, σακίδιο µεγέθους Β. Βέλτιστη λύση Βέλτιστες Επιµέρους Λύσεις. Αγνοούµε είδος i :. βέλτιστη λύση για Ν \ { i } µε σακίδιο Είδος i : (αξία / µονάδα µεγέθους) Είδη σε φθίνουσα σειρά r i : Όσο περισσότερο από i χωράει στο (διαθέσιµο) σακίδιο. Αναπροσαρµογή διαθέσιµου σακιδίου και επόµενο είδος. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 17

90 Υλοποίηση Χρόνος Ο(n log n) (ταξινόµηση ως προς λόγο αξίας / µέγεθος). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 18

91 Άπληστη Επιλογή Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 19

92 Άπληστη Επιλογή Έστω βέλτιστη λύση Έστω άπληστη λύση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 19

93 Άπληστη Επιλογή Έστω βέλτιστη λύση Έστω άπληστη λύση Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Υπάρχει βέλτιστη λύση: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 19

94 Άπληστη Επιλογή Έστω βέλτιστη λύση Έστω άπληστη λύση Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Υπάρχει βέλτιστη λύση: Απληστία: καµία λύση µε περισσότερο από είδος 1. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 19

95 Άπληστη Επιλογή Έστω βέλτιστη λύση Έστω άπληστη λύση Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Υπάρχει βέλτιστη λύση: Απληστία: καµία λύση µε περισσότερο από είδος 1. Αν βέλτιστη, αντικαθιστούµε µονάδες άλλου είδους (ή κενού) µε είδος 1: Αποδεκτή λύση γιατί Αξία δεν µειώνεται. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 19

96 Άπληστη Επιλογή Έστω βέλτιστη λύση Έστω άπληστη λύση Ιδιότητα άπληστης επιλογής: Υπάρχει βέλτιστη λύση: Απληστία: καµία λύση µε περισσότερο από είδος 1. Αν βέλτιστη, αντικαθιστούµε µονάδες άλλου είδους (ή κενού) µε είδος 1: Αποδεκτή λύση γιατί Αξία δεν µειώνεται. Απόδειξη ορθότητας µε επαγωγική εφαρµογή ιδιότητας άπληστης επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 19

98 Ορθότητα Επαγωγή στον #ειδών. Βάση: 1 είδος. Άπληστη επιλογή: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 20

99 Ορθότητα Επαγωγή στον #ειδών. Βάση: 1 είδος. Άπληστη επιλογή: Επαγωγική υπόθεση: ειδών n 1, άπληστη = βέλτιστη. Θεωρούµε n είδη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 20

100 Ορθότητα Επαγωγή στον #ειδών. Βάση: 1 είδος. Άπληστη επιλογή: Επαγωγική υπόθεση: ειδών n 1, άπληστη = βέλτιστη. Θεωρούµε n είδη. Άπληστη επιλογή: Στιγµιότυπο µε n 1 είδη και σακίδιο Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 20

101 Ορθότητα Επαγωγή στον #ειδών. Βάση: 1 είδος. Άπληστη επιλογή: Επαγωγική υπόθεση: ειδών n 1, άπληστη = βέλτιστη. Θεωρούµε n είδη. Άπληστη επιλογή: Στιγµιότυπο µε n 1 είδη και σακίδιο Επαγωγική υπόθεση: βέλτιστη λύση. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 20

102 Ορθότητα Επαγωγή στον #ειδών. Βάση: 1 είδος. Άπληστη επιλογή: Επαγωγική υπόθεση: ειδών n 1, άπληστη = βέλτιστη. Θεωρούµε n είδη. Άπληστη επιλογή: Στιγµιότυπο µε n 1 είδη και σακίδιο Επαγωγική υπόθεση: βέλτιστη λύση. Συνολικά για n είδη: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 20

103 Ορθότητα Επαγωγή στον #ειδών. Βάση: 1 είδος. Άπληστη επιλογή: Επαγωγική υπόθεση: ειδών n 1, άπληστη = βέλτιστη. Θεωρούµε n είδη. Άπληστη επιλογή: Στιγµιότυπο µε n 1 είδη και σακίδιο Επαγωγική υπόθεση: βέλτιστη λύση. Συνολικά για n είδη: Άπληστος αλγόριθµος υπολογίζει βέλτιστη λύση. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 20

104 Άπληστη Στρατηγική Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 21

105 Άπληστη Στρατηγική Ταξινόµηση συνιστωσών µε βάση κάποιο κριτήριο (π.χ. σακίδιο: είδη σε φθίνουσα σειρά αξία / µέγεθος). (Αµετάκλητη) επιλογή καθορίζει αν «καλύτερη» (βλ. «επόµενη») συνιστώσα θα συµπεριληφθεί στη λύση. Ίδια στρατηγική σε υπο-πρόβληµα που προκύπτει. Μη-προσαρµοστικός: ίδια ταξινόµηση σε όλα τα βήµατα. Προσαρµοστικός: αλλάζει ταξινόµηση σε κάθε βήµα. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 21

106 Άπληστη Στρατηγική Ταξινόµηση συνιστωσών µε βάση κάποιο κριτήριο (π.χ. σακίδιο: είδη σε φθίνουσα σειρά αξία / µέγεθος). (Αµετάκλητη) επιλογή καθορίζει αν «καλύτερη» (βλ. «επόµενη») συνιστώσα θα συµπεριληφθεί στη λύση. Ίδια στρατηγική σε υπο-πρόβληµα που προκύπτει. Μη-προσαρµοστικός: ίδια ταξινόµηση σε όλα τα βήµατα. Προσαρµοστικός: αλλάζει ταξινόµηση σε κάθε βήµα. Χρόνος εκτέλεσης καθορίζεται από χρόνο ταξινόµησης. Βέλτιστη λύση: απόδειξη ορθότητας (συνήθ. επαγωγή). Ιδιότητα άπληστης επιλογής. Αρχή βελτιστότητας (βέλτιστες επιµέρους λύσεις). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 21