Γενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex

Transcript

1

2 Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, µεταβλητές)

3 Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, µεταβλητές) Μεγάλα µεγέθη (30 περιορισµοί, µεταβλητές)

4 Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, µεταβλητές) Μεγάλα µεγέθη (30 περιορισµοί, µεταβλητές) Επίλυση µέσω προβλήµατος Σακιδίου

5 Πρόβληµα cutting stock p ορθογώνιες πλάκες µε µήκος (L 1,..., L p ) και ένα κόστη (c 1,..., c p )

6 Πρόβληµα cutting stock p ορθογώνιες πλάκες µε µήκος (L 1,..., L p ) και ένα κόστη (c 1,..., c p ) m διαφορετικά είδη παραγγελιών (l 1,..., l m ) στις ποσότητες στις ποσότητες (d 1,..., d m )

7 Πρόβληµα cutting stock p ορθογώνιες πλάκες µε µήκος (L 1,..., L p ) και ένα κόστη (c 1,..., c p ) m διαφορετικά είδη παραγγελιών (l 1,..., l m ) στις ποσότητες στις ποσότητες (d 1,..., d m ) Ικανοποίηση παραγγελιών µε το ελάχιστο κόστος

8 Πρόβληµα cutting stock p ορθογώνιες πλάκες µε µήκος (L 1,..., L p ) και ένα κόστη (c 1,..., c p ) m διαφορετικά είδη παραγγελιών (l 1,..., l m ) στις ποσότητες στις ποσότητες (d 1,..., d m ) Ικανοποίηση παραγγελιών µε το ελάχιστο κόστος Υπαρξη άχρηστων κοµµατιών

9 Cutting Stock Μοντελοποίηση Θεωρούµε κάθε δυνατό µοντέλο ανάθεσης παραγγελιών J k για την πλάκα k

10 Cutting Stock Μοντελοποίηση Θεωρούµε κάθε δυνατό µοντέλο ανάθεσης παραγγελιών J k για την πλάκα k Κάθε µοντέλο αποτελείται από έναν αριθµό από κάθε παραγγελία που ϑα αποκοπεί από την πλάκα k

11 Cutting Stock Μοντελοποίηση Θεωρούµε κάθε δυνατό µοντέλο ανάθεσης παραγγελιών J k για την πλάκα k Κάθε µοντέλο αποτελείται από έναν αριθµό από κάθε παραγγελία που ϑα αποκοπεί από την πλάκα k j J k 0 L k m i=1 παραγγελιών i στο µοντέλο j a ij l i M, a ij αντιστοιχεί στον αριθµό της

12 Cutting Stock Μοντελοποίηση Θεωρούµε κάθε δυνατό µοντέλο ανάθεσης παραγγελιών J k για την πλάκα k Κάθε µοντέλο αποτελείται από έναν αριθµό από κάθε παραγγελία που ϑα αποκοπεί από την πλάκα k j J k 0 L k m i=1 παραγγελιών i στο µοντέλο j a ij N a ij l i M, a ij αντιστοιχεί στον αριθµό της

13 Cutting Stock Μοντελοποίηση min w = s.t. p c k k=1 p j J k x j a ij x j = d i, i = 1,..., m k=1 j J k p x j N, j k=1 J k

14 Cutting Stock Μοντελοποίηση min w = s.t. p c k k=1 p j J k x j a ij x j = d i, i = 1,..., m k=1 j J k p x j N, j k=1 J k Σύµφωνα µε τη µορφή πινάκων σε κάθε µοντέλο αντιστοιχίζεται και µια p κολόνα του A. Συνολικός αριθµός κολονών : n = J k k=1

15 Cutting Stock Μοντελοποίηση min w = s.t. p c k k=1 p j J k x j a ij x j = d i, i = 1,..., m k=1 j J k p x j N, j k=1 J k Σύµφωνα µε τη µορφή πινάκων σε κάθε µοντέλο αντιστοιχίζεται και µια p κολόνα του A. Συνολικός αριθµός κολονών : n = J k Τεράστιες διαστάσεις! k=1

16 Cutting Stock Παράδειγµα ύο πλάκες µε µήκη : L 1 = 7.4 και L 2 = 7

17 Cutting Stock Παράδειγµα ύο πλάκες µε µήκη : L 1 = 7.4 και L 2 = 7 Κόστη πλακών c 1 = 7.3 και c 2 = 7

18 Cutting Stock Παράδειγµα ύο πλάκες µε µήκη : L 1 = 7.4 και L 2 = 7 Κόστη πλακών c 1 = 7.3 και c 2 = 7 Τρία είδη παραγγελιών µε µήκη : l 1 = 2.9, l 2 = 2.1 και l 3 = 1.5

19 Cutting Stock Παράδειγµα ύο πλάκες µε µήκη : L 1 = 7.4 και L 2 = 7 Κόστη πλακών c 1 = 7.3 και c 2 = 7 Τρία είδη παραγγελιών µε µήκη : l 1 = 2.9, l 2 = 2.1 και l 3 = 1.5 Απαιτήσεις σε παραγγελίες : d 1 = 100, d 2 = 100 και d 3 = 100

20 Cutting Stock Παράδειγµα ύο πλάκες µε µήκη : L 1 = 7.4 και L 2 = 7 Κόστη πλακών c 1 = 7.3 και c 2 = 7 Τρία είδη παραγγελιών µε µήκη : l 1 = 2.9, l 2 = 2.1 και l 3 = 1.5 Απαιτήσεις σε παραγγελίες : d 1 = 100, d 2 = 100 και d 3 = 100 Εύρεση πλήθους L 1 και L 2 που πρέπει να χρησιµοποιηθούν για να ικανοποιηθούν οι παραγγελίες και να ελαχιστοποιείται το κόστος

21 Cutting Stock Παράδειγµα Ενας αριθµός µοντέλων µπορεί να ϑεωρηθεί αχρηστοσ αν δεν χρησιµοποιεί εκµεταλλεύσιµο κοµµάτι τις εκάστοτε πλάκας

22 Cutting Stock Παράδειγµα Ενας αριθµός µοντέλων µπορεί να ϑεωρηθεί αχρηστοσ αν δεν χρησιµοποιεί εκµεταλλεύσιµο κοµµάτι τις εκάστοτε πλάκας π.χ. το µοντέλο (0, 0, 0) δεν χρησιµοποιεί κανένα κοµµάτι της πλάκας

23 Cutting Stock Παράδειγµα Ενας αριθµός µοντέλων µπορεί να ϑεωρηθεί αχρηστοσ αν δεν χρησιµοποιεί εκµεταλλεύσιµο κοµµάτι τις εκάστοτε πλάκας π.χ. το µοντέλο (0, 0, 0) δεν χρησιµοποιεί κανένα κοµµάτι της πλάκας Αποφεύγουµε αυτό το είδος των µοντέλων ϐάζοντας ένα όριο στο αχρησιµοποίητο κοµµάτι της πλάκας. Ενα προφανές πάνω ϕράγµα είναι το µήκος της µικρότερου είδους παραγγελίας

24 Cutting Stock Παράδειγµα Ενας αριθµός µοντέλων µπορεί να ϑεωρηθεί αχρηστοσ αν δεν χρησιµοποιεί εκµεταλλεύσιµο κοµµάτι τις εκάστοτε πλάκας π.χ. το µοντέλο (0, 0, 0) δεν χρησιµοποιεί κανένα κοµµάτι της πλάκας Αποφεύγουµε αυτό το είδος των µοντέλων ϐάζοντας ένα όριο στο αχρησιµοποίητο κοµµάτι της πλάκας. Ενα προφανές πάνω ϕράγµα είναι το µήκος της µικρότερου είδους παραγγελίας π.χ για το µοντέλο (a 1, a 2, a 3 ) ισχύει: 2.9a a a 3 + b = L i, i = 1, 2, b < 1.5

25 Cutting Stock Παράδειγµα Αν εφαρµόσουµε αυτή την τεχνική για την επιλογή µοντέλων στο προηγούµενο παράδειγµα καταλήγουµε στα εξής εφικτά µοντέλα :

26 Cutting Stock Παράδειγµα Αν εφαρµόσουµε αυτή την τεχνική για την επιλογή µοντέλων στο προηγούµενο παράδειγµα καταλήγουµε στα εξής εφικτά µοντέλα : (2, 0, 1) : 2l 1 +0l 2 +l 3 = 7.3 (1, 2, 0) : l 1 +2l 2 +0l 3 = 7.1 (1, 0, 3) : l 1 +0l 2 +3l 3 = 7.4 (0, 2, 2) : 0l 1 +2l 2 +2l 3 = 7.2 (1, 1, 1) : l 1 +l 2 +l 3 = 6.5 (0, 3, 0) : 0l 1 +3l 2 +0l 3 = 6.3 (0, 1, 3) : 0l 1 +1l 2 +3l 3 = 6.6 (0, 0, 4) : 0l 1 +0l 2 +4l 3 = 6.5

27 Cutting Stock Παράδειγµα Παραγγελίες Μοντέλα Ποσότητες Κόστη Μεταβλητές x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8

28 Cutting Stock Παράδειγµα Παραγγελίες Μοντέλα Ποσότητες Κόστη Μεταβλητές x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Μια λύση : x = (5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) 11 Παραγγελίες l 1, 3 παραγγελίες l 2 και 8 παραγγελίες l 3 Κόστος : 50.8

29 Cutting Stock Παράδειγµα Το γραµµικό πρόβληµα σύµφωνα µε τα παραπάνω µοντέλα είναι : min z = 7.3x x 2 +7x x 4 +7x x 6 +7x 7 +7x 8 s.t. 2x 1 +x 2 +x 3 +x x 2 +x 3 +3x 5 +2x 6 +x x 1 +x 3 +3x 4 +2x 6 +3x 7 +4x x i N

30 Ο πίνακας A έχει τεράστιες διαστάσεις

31 Ο πίνακας A έχει τεράστιες διαστάσεις Η ϐάση B όµως είναι µικρή

32 Ο πίνακας A έχει τεράστιες διαστάσεις Η ϐάση B όµως είναι µικρή εν χρειαζόµαστε να γνωρίζουµε όλον τον πίνακα A από την αρχή

33 Ο πίνακας A έχει τεράστιες διαστάσεις Η ϐάση B όµως είναι µικρή εν χρειαζόµαστε να γνωρίζουµε όλον τον πίνακα A από την αρχή Για την εισαγωγή µιας µεταβλητής στη ϐάση πρέπει να ϐρούµε µια κολόνα s εκτός ϐάσης c s < ua s όπου Bu = c s

34 Ο πίνακας A έχει τεράστιες διαστάσεις Η ϐάση B όµως είναι µικρή εν χρειαζόµαστε να γνωρίζουµε όλον τον πίνακα A από την αρχή Για την εισαγωγή µιας µεταβλητής στη ϐάση πρέπει να ϐρούµε µια κολόνα s εκτός ϐάσης c s < ua s όπου Bu = c s Κατασκευάζουµε κάθε ϕορά την κολόνα που ϑα εισάγουµε στη ϐάση

35 Για την εύρεση της κολόνας προς εισαγωγή ϑεωρούµε το παρακάτω πρόβληµα σακιδίου :

36 Για την εύρεση της κολόνας προς εισαγωγή ϑεωρούµε το παρακάτω πρόβληµα σακιδίου : k {1... p} B(P k ) max uz k = u 1 z 1 + u 2 z u m z m s.t. l 1 z 1 + l 2 z l m z m < L k z 1, z 2,..., z m N

37 Για την εύρεση της κολόνας προς εισαγωγή ϑεωρούµε το παρακάτω πρόβληµα σακιδίου : k {1... p} B(P k ) max uz k = u 1 z 1 + u 2 z u m z m s.t. l 1 z 1 + l 2 z l m z m < L k z 1, z 2,..., z m N Η ϐέλτιστη λύση του παραπάνω είναι µια υποψήφια κολόνα για εισαγωγή στη ϐάση. Σε περίπτωση που δεν ϐελτιώνει την αντικειµενική συνάρτηση πρέπει να ελέγξουµε τις υπόλοιπες πλακες

38 Για να γενικεύσουµε την Simplex αλλάζουµε λοιπόν το ϐήµα 2 σε

39 Για να γενικεύσουµε την Simplex αλλάζουµε λοιπόν το ϐήµα 2 σε 1 k = 1

40 Για να γενικεύσουµε την Simplex αλλάζουµε λοιπόν το ϐήµα 2 σε 1 k = 1 2 Βρίσκουµε την ϐέλτιστη λύση uz k του προβλήµατος B(P k ). Αν uz k c k πήγαινε στο ϐήµα 3. Αλλιώς ϑέσε την κολόνα προς εισαγωγή A s = uz k και συνέχισε την Simplex

41 Για να γενικεύσουµε την Simplex αλλάζουµε λοιπόν το ϐήµα 2 σε 1 k = 1 2 Βρίσκουµε την ϐέλτιστη λύση uz k του προβλήµατος B(P k ). Αν uz k c k πήγαινε στο ϐήµα 3. Αλλιώς ϑέσε την κολόνα προς εισαγωγή A s = uz k και συνέχισε την Simplex 3 Εάν k < p ϑέσε k = k + 1 αλλιώς η τρέχον ϐάση B ϐέλτιστη και εκτύπωσε Βέλτιστη Λύση