Εξαντλητική Απαρίθµηση

Transcript

1

2 Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου

3 Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Ως µέτρο ϑεωρούµε τα ϐασικά ϐήµατα υπολογισµού π.χ. πρόσθεση

4 Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Ως µέτρο ϑεωρούµε τα ϐασικά ϐήµατα υπολογισµού π.χ. πρόσθεση Συνήθως µας ενδιαφέρει η χρονική πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης

5 Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Ως µέτρο ϑεωρούµε τα ϐασικά ϐήµατα υπολογισµού π.χ. πρόσθεση Συνήθως µας ενδιαφέρει η χρονική πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης Ενας αλγόριθµος έχει πολυπλκότητα O(f(n)) χειρότερης περίπτωσης αν για οποιαδήποτε είσοδο µήκους n που n, τα ϐήµατα του αλγορίθµου έχουν άνω ϕράγµα την τιµή που επιστρέφει το πολυώνυµο f(n)

6 Παραδείγµατος χάριν f(n) = n n O(n 2 )

7 Παραδείγµατος χάριν f(n) = n n O(n 2 ) f(n) = n n + 2 n O(2 n )

8 Παραδείγµατος χάριν f(n) = n n O(n 2 ) f(n) = n n + 2 n O(2 n ) f(n) = log log n + log n O(log n)

9 Εχουµε δύο υπολογιστές M 1 και M 2, όπου ο M 1 είναι 16 ϕορές ταχύτερος από τον M 2

10 Εχουµε δύο υπολογιστές M 1 και M 2, όπου ο M 1 είναι 16 ϕορές ταχύτερος από τον M 2 Θεωρούµε ένα πρόβληµα και τέσσερεις αλγορίθµους µε διαφορετική πολυπλοκότητα που το επιλύουν.

11 Εχουµε δύο υπολογιστές M 1 και M 2, όπου ο M 1 είναι 16 ϕορές ταχύτερος από τον M 2 Θεωρούµε ένα πρόβληµα και τέσσερεις αλγορίθµους µε διαφορετική πολυπλοκότητα που το επιλύουν. Για συγκεκριµένο χρόνο έστω t εξετάζουµε ποιό είναι το µέγιστο µήκους της εισόδου για το οποίο µπορεί να επιλύσει ο κάθε το υπολογιστής πρόβληµα στο χρόνο αυτό

12 Εχουµε δύο υπολογιστές M 1 και M 2, όπου ο M 1 είναι 16 ϕορές ταχύτερος από τον M 2 Θεωρούµε ένα πρόβληµα και τέσσερεις αλγορίθµους µε διαφορετική πολυπλοκότητα που το επιλύουν. Για συγκεκριµένο χρόνο έστω t εξετάζουµε ποιό είναι το µέγιστο µήκους της εισόδου για το οποίο µπορεί να επιλύσει ο κάθε το υπολογιστής πρόβληµα στο χρόνο αυτό Αλγόριθµος Πολυπλκότητα M 1 M 2 1 O(2 n ) O(n 2 ) O(n) O(log n) ( ) 16

13 Πρόβληµα Σακιδίου Πρόβληµα Σακιδίου Σε ένα πρόβληµα σακιδίου έχουµε n αντικείµενα που το κάθε ένα έχει µια συγκεκριµένη αξία c i και ένα συγκεκριµένο ϐάρος a i. Σκοπός µας είναι να διαλέξουµε έναν αριθµό από αντικείµενα χωρίς να παραβιάζεται η µέγιστη ποσότητα ϐάρους που µπορεί να αντέξει το σακίδιο µας b µεγιστοποιόντας παράλληλα τη συνολική αξία των αντικειµένων

14 Πρόβληµα Σακιδίου Πρόβληµα Σακιδίου Σε ένα πρόβληµα σακιδίου έχουµε n αντικείµενα που το κάθε ένα έχει µια συγκεκριµένη αξία c i και ένα συγκεκριµένο ϐάρος a i. Σκοπός µας είναι να διαλέξουµε έναν αριθµό από αντικείµενα χωρίς να παραβιάζεται η µέγιστη ποσότητα ϐάρους που µπορεί να αντέξει το σακίδιο µας b µεγιστοποιόντας παράλληλα τη συνολική αξία των αντικειµένων Μοντελοποίηση µε Ακέραιο Γραµµικό Προγραµµατισµό n max z = c i x i s.t. i=1 n a i x i b i=1 x i {0, 1}

15 Πρόβληµα Σακιδίου Μία ϱητή απαρίθµηση ϑα απαιτούσε εκθετικό αριθµό ϐηµάτων : 2 n λύσεις!

16 Πρόβληµα Σακιδίου Μία ϱητή απαρίθµηση ϑα απαιτούσε εκθετικό αριθµό ϐηµάτων : 2 n λύσεις! Θεωρούµε πώς µια πρόσθεση χρειάζεται δευτερόλεπτα και ένας πολλαπλασιασµός περίπου τον τριπλάσιο χρόνο

17 Πρόβληµα Σακιδίου Μία ϱητή απαρίθµηση ϑα απαιτούσε εκθετικό αριθµό ϐηµάτων : 2 n λύσεις! Θεωρούµε πώς µια πρόσθεση χρειάζεται δευτερόλεπτα και ένας πολλαπλασιασµός περίπου τον τριπλάσιο χρόνο n = 10 t = 10 2 s n = 20 t = 20s n = 50 t = s n =

18 Πρόβληµα Σακιδίου Ιστορία Προβλήµατος Σακιδίου µε 1000 µεταβλητές : Ονοµα Ετος Χρόνος Υπολογισµού Greenberry, Hegerich Fayard, Plateu Horowitz, Sani Lauriere Martello, Toth Balas, Zemel Martello, Toth Fayard, Plateu Metairie, Polian, Fayard 88 36