Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Transcript

1 Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί; Το παραπάνω σύνολο γράφων μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα υποσύνολα έτσι ώστε τα μέλη κάθε υποσυνόλου να είναι ισομορφικά μεταξύ τους. 1. Μ, S, V, Z 2. A, R 3. X, K 4. F, T (το δυσκολότερο ίσως να δει κάποιος, δες παρακάτω σχήμα)

2 Άσκηση 10.2: Έστω ο γράφος G που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. (i) Περιλαμβάνει ο γράφος αυτός μονοπάτι Euler; (ii) Περιλαμβάνει ο γράφος αυτός κύκλωμα Euler; Σε κάθε περίπτωση, δικαιολογείστε την απάντησή σας. (α) (i) Ναι, περιλαμβάνει μονοπάτι Euler γιατί ο γράφος αυτός έχει ακριβώς δύο κόμβους περιττού βαθμού. (ii) Όχι, δεν περιλαμβάνει κύκλωμα Euler γιατί ο γράφος αυτός έχει κόμβους περιττού βαθμού.

3 Άσκηση 10.3: Έστω οι δύο γράφοι που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Είναι αυτοί οι δύο γράφοι ισομορφικοί; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Όχι, οι δύο αυτοί γράφοι δεν είναι ισομορφικοί. Αυτό μπορεί να τεκμηριωθεί με πολλούς τρόπους. Παρατηρούμε για παράδειγμα ότι ο γράφος στα δεξιά περιλαμβάνει κόμβο με βαθμό 4, ενώ αυτό δεν ισχύει για τον γράφο στα αριστερά.

4 Άσκηση 10.4: Για καθένα από τους γράφους (i), (ii) και (iii) του παρακάτω σχήματος, (α) περιλαμβάνει ο γράφος κύκλωμα Euler; (β) περιλαμβάνει ο γράφος κύκλωμα Hamilton; Στην περίπτωση που η απάντησή σας σε κάποιο ερώτημα και για κάποιο γράφο είναι θετική, γράψτε την ακολουθία επίσκεψης των κόμβων που δημιουργεί ένα αντίστοιχο κύκλωμα. (i) (ii) (iii) (α) (i) Όχι, γιατί υπάρχουν κόμβοι με περιττό βαθμό (ο 2 και ο 5) (ii) Ναι, γιατί όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό. Π.χ. 1,2,3,5,6,9,8,7,5,4,2,5,8,4,1. (iii) Όχι, γιατί υπάρχουν κόμβοι με περιττό βαθμό (για την ακρίβεια, όλοι έχουν περιττό βαθμό). (β) (i) Ναι, π.χ. 1,4,3,6,7,8,5,2,1 (ii) Οχι. (iii) Ναι, π.χ. 1,5,3,6,2,4,1

5 Άσκηση 10.5: Σχεδιάστε ένα γράφο με έξι κορυφές που να περιλαμβάνει κύκλωμα Hamilton και που να μην περιλαμβάνει κύκλωμα Euler. Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι γράφοι. Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω: Άσκηση 10.6: Έχει ο πλήρης διμερής γράφος K 3,4 (α) μονοπάτι Euler; (β) κύκλωμα Euler; (γ) μονοπάτι Hamilton; (δ) κύκλωμα Hamilton; Σε κάθε περίπτωση, δικαιολογείστε την απάντησή σας. (α) Όχι, γιατί ο K 3,4 δεν έχει ακριβώς δύο κορυφές περιττού βαθμού (β) Όχι, γιατί ο K 3,4 περιλαμβάνει κορυφές με περιττό βαθμό. (γ) Ναι, π.χ. το μονοπάτι 4, 1, 5, 2, 6, 3, 7 στο παρακάτω σχήμα (δ) Όχι.

6 Άσκηση 10.7: Ποια από τα παρακάτω δύο σχήματα μπορούν να σχεδιαστούν με μονοκοντυλιά, δηλαδή χωρίς να σηκώσει κανείς το μολύβι από το χαρτί και χωρίς να περάσει δύο φορές από την ίδια γραμμή; Εξηγείστε την απάντησή σας. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η αναπαράσταση των σχημάτων της άσκησης ως γράφοι. Ο γράφος (a) έχει μονοπάτι Euler αφού έχει ακριβώς δύο κόμβους περιττού βαθμού. Για τον γράφο (b) δεν ισχύει αυτό. Επομένως ο (a) μπορεί να σχεδιαστεί ως μονοκοντυλιά, ενώ αυτό δεν ισχύει για τον (b).

7 Άσκηση 10.8: Καθένα από τα τρία τα σπίτια Α, Β και Γ του παρακάτω σχήματος πρέπει να συνδεθεί με τις κεντρικές παροχές ηλεκτρικού ρεύματος, νερού και τηλεφώνου. Σύμφωνα με τις προδιαγραφές ασφαλείας, καμία σύνδεση δεν πρέπει να διασταυρώνεται με οποιαδήποτε άλλη. Μπορεί να γίνει αυτό; Αν ναι, δώστε το σχετικό διάγραμμα συνδέσεων. Αν όχι, γιατί; Η απαίτηση της άσκησης για απευθείας σύνδεση των σπιτιών με τις κεντρικές παροχές ηλεκτρικού ρεύματος, νερού και τηλεφώνου οδηγεί στην απαίτηση κατασκευής ενός πλήρους διμερούς γράφου (Κ 3,3) για τον οποίο γνωρίζουμε ότι δεν είναι επίπεδος. Επομένως, δεν γίνεται να ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές ασφαλείας. Άσκηση 10.9 Να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να υπάρξει απλός γράφος με a. 6 κορυφές, καθεμία από τις οποίες έχει βαθμό 2, 3, 3, 4, 4, και 5. b. 5 κορυφές, καθεμία από τις οποίες έχει βαθμό 2, 3, 4, 4, και 5. a. =2 Ένας απλός γράφος πρέπει να έχει άρτιο αριθμό κόμβων περιττού βαθμού. Ο συγκεκριμένος έχει 3 άρα δεν μπορεί να είναι απλός b. Εφόσον έχει κόμβο από όπου ξεκινούν 5 ακμές δεν μπορεί να είναι απλός. Μια τουλάχιστον θα είναι διπλή Άσκηση Απαντήστε στα παρακάτω δύο ερωτήματα. Αν η απάντησή σας είναι θετική, δώστε παράδειγμα. Αν είναι αρνητική, εξηγείστε γιατί. a. Μπορεί ένας απλός γράφος να είναι ταυτόχρονα πλήρης και κυκλικός; b. Μπορεί ένας απλός γράφος να είναι ταυτόχρονα διμερής και πλήρης;

8 a. Ο μόνος γράφος που μπορεί να είναι πλήρης και κυκλικός ταυτόχρονα είναι ένας πλήρης γράφος με 3 κόμβους π.χ. Κάθε άλλος πλήρης γράφος με περισσότερους κόμβους αναγκαστικά θα έχει «ενδιάμεσες» ακμές Π.χ. b. Γενικά όχι, ο μόνος απλός πλήρης γράφος που είναι διμερής είναι ο Κ 2 Άσκηση Αποδείξτε ότι η σχέση ισομορφισμού γράφων είναι σχέση ισοδυναμίας. Για να είναι σχέση ισοδυναμίας πρέπει να έχει την ανακλαστική συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα 1. Πράγματι κάθε γράφος είναι ισόμορφος με τον εαυτό του (πληρούνται τα κριτήρια για τους κόμβους και τις ακμές και η συνάρτηση που μετατρέπει τους κόμβους του ενός σε κόμβους του άλλου είναι η ταυτοτική συνάρτηση). Άρα έχει την ανακλαστική ιδιότητα 2. Έστω γράφος G ισομορφικός με τον D. Τότε και ο D είναι ισομορφικός με τον G μια και πληρούνται τα κριτήρια για τους κόμβους και τις ακμές και αν f η συνάρτηση που μετατρέπει τους κόμβους του G δε κόμβους του D, αντίστοιχα η f -1, μετατρέπει τους κόμβους του D σε κόμβους του G. Έχει τη συμμετρική ιδιότητα 3. Έστω γράφος G 1 ισομορφικός με τον G 2 και G 2 ισομορφικός με τον G 3. Ο G 1 είναι ισομορφικός με τον G 3 μια και πληρούνται τα κριτήρια για τους κόμβους και τις ακμές και αν f: G 1 G 2 και g: G 2 G 3 οι συναρτήσεις που απεικονίζουν τους κόμβους του G 1 στον G 2 και του G 2 στον G 3 αντίστοιχα τότε η g f: G 1 G 3 απεικονίζει τους κόμβους του G 1 σε αυτούς του G 3. Άρα έχει και τη μεταβατική ιδιότητα Άσκηση 10.12

9 Είναι ισομορφικοί οι δύο παρακάτω απλοί, μη κατευθυνόμενοι γράφοι; Όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα είναι ισομορφικοί. Έχουμε ίδιο αριθμό κορυφών, ίδιο αριθμό ακμών και μπορώ να βρω μια συνάρτηση που να αντιστοιχεί τις κορυφές/ακμές του πρώτου στις κορυφές/ακμές του 2 ου γράφου (ή αλλιώς να μετατρέψω τον πρώτο στο δεύτερο γράφο) Άσκηση Σε ποιο ειδικό τύπο γράφου κατατάσσεται ένας γράφος για τον οποίο ισχύει ότι κάθε κύκλωμα Euler που έχει, είναι επίσης και κύκλωμα Hamilton; Στους κυκλικούς γράφους