ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

Transcript

1 ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού µεταξύ των κορυφών v και µε τον αλγόριθµο του Dijkstra. Να περιγράψετε αναλυτικά τα βήµατα του αλγορίθµου. Ποιο είναι το αντίστοιχο µικρότερο µονοπάτι µεταξύ των κορυφών v και. Είναι µοναδικό; v v v v v v Απάντηση: είχνουµε παρακάτω την εκτέλεση του αλγορίθµου. Σε κάθε βήµα σκιάζουµε τα πεδία που ενηµερώνονται. Αρχική Κατάσταση Ετικέτες L(x) v v v v v v v v Τ={v,v,v,v,v,v,, } v v v v Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

2 Βήµα Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v v Τ:= Τ-{v} = {v,v,v,v,v,, } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: v,v,v Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v Βήµα Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v v Τ:= Τ-{v} = {v,v,v,v,, } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: v, Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v Βήµα Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v Τ:= Τ-{v} = {v,v,v,v, } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

3 Βήµα Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v v Τ:= Τ-{v} = {v,v,v, } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: v, Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v Βήµα 8 Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v v Τ:= Τ-{v} = {v,v, } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: v Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v 8 Βήµα 8 Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v v Τ:= Τ-{v} = {v, } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: v, Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v 8 Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

4 Βήµα 7 8 Κορυφή v στο Τ µε το ελάχιστο L(v): v v Τ:= Τ-{v} = {v } Γειτονικές κορυφές της v στο Τ: -- Ετικέτες L(x) v v v v v v v v v v 8 Εδώ ο αλγόριθµος τερµατίζει καθώς η τελική κορυφή δεν ανήκει στο Τ. Άρα το µήκος του µικρότερου µονοπατιού από την v στην είναι. Για την εύρεση µικρότερου µονοπατιού ξεκινάµε από την τελική κορυφή και βαδίζουµε προς τα πίσω αναζητώντας κάθε φορά µια γειτονική κορυφή που απέχει ακριβώς όσο το βάρος της αντίστοιχης εφαπτόµενης ακµής: Από την βρίσκουµε την v (διότι -8= ενώ - και - ). Από την v βρίσκουµε την v (διότι 8-=). Από την v βρίσκουµε τις v και v (διότι -= και -=). Η επιλογή της v δίνει το ελάχιστο µονοπάτι v - v - v - Η επιλογή της v µπορεί να δώσει κι άλλο ελάχιστο µονοπάτι: Από την v βρίσκουµε την v (διότι -=). Από την v βρίσκουµε την v (διότι -=). Παίρνουµε λοιπόν και το δεύτερο ελάχιστο µονοπάτι v - v - v - v - v - Ερώτηµα.. Να αποδείξετε ή να δώσετε αντιπαράδειγµα για την ακόλουθη πρόταση: «Σε ένα γράφηµα µε βάρη, το µικρότερο µονοπάτι µεταξύ δύο κορυφών δεν µεταβάλλεται αν όλα τα βάρη πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο θετικό αριθµό». Για παράδειγµα, Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

5 . Να αποδείξετε ή να δώσετε αντιπαράδειγµα για την ακόλουθη πρόταση: «Σε ένα γράφηµα µε βάρη, το µικρότερο µονοπάτι µεταξύ δύο κορυφών δεν µεταβάλλεται αν σε όλα τα βάρη προστεθεί ο ίδιος θετικός αριθµός». Για παράδειγµα, +. Ο αλγόριθµος του Dijkstra υπολογίζει το µήκος του µικρότερου µονοπατιού µεταξύ δύο κορυφών ενός γραφήµατος µε µη αρνητικά βάρη. Θεωρείστε την ακόλουθη επέκταση του αλγόριθµου του Dijkstra όταν κάποιες ακµές του γραφήµατος έχουν αρνητικό βάρος: Έστω a το µικρότερο (αρνητικό) βάρος που εµφανίζεται στο γράφηµα (a > ). Προσθέτουµε το a > στα βάρη όλων των ακµών και εκτελούµε τον αλγόριθµο του Dijkstra για τα νέα βάρη, κανένα από τα οποία δεν είναι αρνητικό. Υπολογίζει αυτός ο αλγόριθµος σωστά το µήκος του µικρότερου µονοπατιού όταν το γράφηµα έχει αρνητικά βάρη; Τεκµηριώστε την απάντησή σας αποδεικνύοντας την ορθότητα του αλγόριθµου ή δίνοντας αντιπαράδειγµα. Απάντηση:. Θα αποδείξουµε ότι η πρόταση ισχύει. Έστω G ένα γράφηµα µε βάρη και G το γράφηµα που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουµε όλα τα βάρη του G µε τον ίδιο θετικό αριθµό c. Έστω επίσης ότι το µικρότερο µονοπάτι µεταξύ δύο κορυφών a και b (ή κάποιο από αυτά αν υπάρχουν πολλά) έχει µήκος m. Τότε ισχυριζόµαστε ότι το ίδιο µονοπάτι στο G που έχει µήκος cm είναι το µικρότερο µονοπάτι µεταξύ των κορυφών a και b. Πράγµατι, αν υπήρχε µονοπάτι µεταξύ των κορυφών a και b µε µήκος µικρότερο από cm στο G τότε το ίδιο µονοπάτι στο G θα είχε µήκος µικρότερο από m το οποίο άτοπο. Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

6 . [Σχόλιο: Εδώ δεν µπορούµε να ακολουθήσουµε το ίδιο σκεπτικό διότι τα µήκη των µονοπατιών δεν αυξάνονται οµοιόµορφα αλλά ανάλογα µε το πόσες ακµές περιέχουν. Έτσι αν προσθέσουµε το ίδιο θετικό βάρος σε όλες τις ακµές, ένα µονοπάτι που έχει µεν µικρό βάρος αλλά πολλές ακµές θα «επιβαρυνθεί» αρκετά ενώ κάποιο άλλο µε λιγότερες ακµές θα «επιβαρυνθεί» λιγότερο και µπορεί τελικά να αναδειχτεί σε συντοµότερο µονοπάτι. Αντιλαµβανόµαστε λοιπόν ότι πρέπει να αναζητήσουµε κατάλληλο αντιπαράδειγµα] v v + v v v v Στο πρώτο γράφηµα παραπάνω το ελάχιστο µονοπάτι µεταξύ των κορυφών v και v είναι το v v -v v και έχει µήκος. Αν προσθέσουµε τον αριθµό σε όλα τα βάρη προκύπτει το δεύτερο γράφηµα, όπου το µήκος του µονοπατιού αυτού γίνεται ενώ το ελάχιστο µονοπάτι µεταξύ των κορυφών v και v είναι το v v µε µήκος. Άρα η πρόταση δεν ισχύει.. Όπως καταλαβαίνουµε από το ερώτηµα η πρόσθεση του ίδιου αριθµού σε όλα τα βάρη δεν εξασφαλίζει τη διατήρηση του µικρότερου µονοπατιού. Άρα ο αλγόριθµος Dijkstra δεν επεκτείνεται, µε τον τρόπο που περιγράφεται στο ερώτηµα, σε γραφήµατα µε αρνητικά βάρη. ίνουµε αντιπαράδειγµα: v v - + v v v v Όπως και πριν το ελάχιστο µονοπάτι µεταξύ των κορυφών v και v είναι το v v -v v ενώ αν ακολουθήσουµε το σκεπτικό του ερωτήµατος θα προκύψει το v v. Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

7 Ερώτηµα.. Για το γράφηµα του Ερωτήµατος να υπολογιστούν: To µητρώο σύνδεσης / πίνακας γειτνίασης (adjacncy matrix) για τη διάταξη κορυφών v, v,,. O πίνακας εφαπτόµενων ακµών / πίνακας πρόσπτωσης (incidnc matrix). Ονοµάστε και διατάξτε τις ακµές όπως εσείς επιθυµείτε.. Να σχεδιαστούν τα απλά γραφήµατα που αντιστοιχούν: Στο παρακάτω µητρώο σύνδεσης / πίνακα γειτνίασης (adjacncy matrix). Στον παρακάτω πίνακα εφαπτόµενων ακµών / πίνακα πρόσπτωσης (incidnc matrix). Απάντηση:. Ονοµάζουµε τις ακµές ως εξής: v v v v v 7 8 v Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not 7

8 To µητρώο σύνδεσης / πίνακας γειτνίασης (adjacncy matrix) για τη διάταξη κορυφών v, v,, είναι O πίνακας εφαπτόµενων ακµών / πίνακας πρόσπτωσης είναι (δείχνουµε στην αρχή των γραµµών και των στηλών τις αντίστοιχες κορυφές και ακµές) v v v v v v v v. - Αν ονοµάσουµε τις κορυφές µε τη διάταξη v,v, v, v, v, v τότε το απλό γράφηµα που αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) είναι v v v v v v Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not 8

9 - Αν ονοµάσουµε τις κορυφές µε τη διάταξη v, v, v, v, v, v και τις ακµές µε τη διάταξη,,,,, τότε το απλό γράφηµα που αντιστοιχεί στον πίνακα πρόσπτωσης (ή πίνακα εφαπτόµενων ακµών) είναι v v v v v v Ερώτηµα. Έστω Α το µητρώο σύνδεσης / ο πίνακας γειτνίασης (adjacncy matrix) ενός απλού µη κατευθυνόµενου γραφήµατος G µε n κορυφές. Έστω επίσης ο πίνακας Υ n i = = Α i που ορίζεται στη ραστηριότητα., Βιβλίο Γ. Βούρου. Ορίζουµε τον πίνακα Χ ως εξής: αν Υ[ i, j] = ή i = j Χ[ i, j] = διαφορετικά. Να υπολογίσετε τον πίνακα Χ αν το γράφηµα G είναι συνδεδεµένο.. Να δείξετε ότι αν το G δεν είναι συνδεδεµένο, το γράφηµα που αντιστοιχεί στο µητρώο σύνδεσης / πίνακα γειτνίασης Χ επίσης δεν είναι συνδεδεµένο. Απάντηση:. Ας αριθµήσουµε τις κορυφές του G µε τους δείκτες,,,,n. Αν υπάρχει µονοπάτι που συνδέει τις διαφορετικές κορυφές i και j στο γράφηµα G τότε Y [ i, j] και συνεπώς X [ i, j] =. Αντίστροφα, αν X[ i, j] = τότε υπάρχει µονοπάτι που συνδέει τις διαφορετικές κορυφές i και j στο γράφηµα G. Άρα, αν το γράφηµα είναι συνδεδεµένο τα µη διαγώνια στοιχεία του πίνακα X είναι. ηλαδή Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

10 X = Μ Μ Λ Λ Μ Ο Λ Μ. Έστω G το γράφηµα που αντιστοιχεί στον πίνακα X και έχει τις ίδιες κορυφές µε αυτές του G. Από τα σχόλια στο υποερώτηµα, δύο κορυφές συνδέονται µε ακµή στο G αν και µόνον αν συνδέονται µε µονοπάτι στο G. Έστω ότι το G δεν είναι συνδεδεµένο και a και b δύο κορυφές του που δεν συνδέονται µε µονοπάτι (τότε X[ a, b] = ). Ισχυριζόµαστε ότι οι κορυφές αυτές δεν συνδέονται ούτε στο γράφηµα G. Έστω αντίθετα ότι b) συνδέονται και ( a i, i, ik, ένα µονοπάτι που τις συνδέει, οπότε, Κ X [ a, i ] =, X i, i ],, [ i, b] = [ = Τότε στο αρχικό γράφηµα G υπάρχουν µονοπάτια που συνδέουν τις κορυφές a και, τις κορυφές και i,, τις κορυφές i και b. Αν i i συνδέσουµε αυτά τα µονοπάτια βρίσκουµε µονοπάτι του G που συνδέει τις κορυφές a και b, άτοπο. X k k Ερώτηµα.. Βρείτε ένα (απλό µη κατευθυνόµενο) αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα µε κορυφές.. Να αποδείξετε ότι η ιδιότητα «το γράφηµα G έχει κύκλο Hamilton» είναι αναλλοίωτη ιδιότητα (σε ισοµορφικά γραφήµατα). Απάντηση:. Το πλήρες γράφηµα µε κορυφές K έχει = ακµές. Για να είναι ένα γράφηµα µε κορυφές αυτοσυµπληρωµατικό (δηλαδή ισοµορφικό µε το συµπλήρωµά του) καταρχάς πρέπει και το ίδιο και το συµπλήρωµά του να έχουν από ακµές. ίνουµε λοιπόν το Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

11 v v v v v που έχει σαν συµπλήρωµά του το v v v v v Και τα δύο γραφήµατα είναι απλοί κύκλοι κορυφών και άρα ισοµορφικά.. Έστω G και G δύο ισοµορφικά γραφήµατα µε n κορυφές και ότι το G έχει κύκλο Hamilton. Θα δείξουµε ότι και το G έχει κύκλο Hamilton. Αν ( v,, v,,..., v,, v ) n n είναι ένας κύκλος Hamilton στο G και ισοµορφισµός των δύο γραφηµάτων, ισχυριζόµαστε ότι το µονοπάτι ( f, g) ( f ( v ), g( ), f ( v), g( ),..., f ( v ), g( ), f ( v)) είναι κύκλος Hamilton στο G (το ότι είναι µονοπάτι προκύπτει από τον ορισµό του ισοµορφισµού) Καταρχάς πρόκειται για κύκλο εφόσον η αρχική και η τελική κορυφή συµπίπτουν. Εφόσον η f είναι -, οι κορυφές του κύκλου είναι όλες διαφορετικές ανά δύο. Άρα ο κύκλος περιέχει και τις n κορυφές του G και µάλιστα µια φορά την καθεµιά. Είναι δηλαδή κύκλος Hamilton. n n Ερώτηµα.. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω γραφήµατα είναι ισοµορφικά µεταξύ τους. Για κάθε ζεύγος ισοµορφικών γραφηµάτων, να δοθεί ένας ισοµορφισµός (δηλαδή µία αντιστοιχία των κορυφών, εφόσον πρώτα Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

12 τις ονοµάσετε). Για κάθε ζεύγος µη ισοµορφικών γραφηµάτων, να αναφερθεί µία αναλλοίωτη ιδιότητα η οποία δεν ικανοποιείται και από τα δύο γραφήµατα.. Να γίνει το ίδιο για τα παρακάτω γραφήµατα. Απάντηση:. Παρατηρούµε ότι όλα τα γραφήµατα έχουν κορυφές. Το πρώτο γράφηµα έχει ακµές, το δεύτερο και το τρίτο από ακµές. Εφόσον το πλήθος των ακµών είναι αναλλοίωτη ιδιότητα, έχει νόηµα να εξετάσουµε µόνο αν το δεύτερο και το τρίτο γράφηµα είναι ισοµορφικά µεταξύ τους. Τα γραφήµατα αυτά είναι πράγµατι ισοµορφικά. ίνουµε την αντιστοιχία κορυφών ανάµεσα στα δύο αυτά γραφήµατα χρησιµοποιώντας την ίδια αρίθµηση: To µητρώο σύνδεσης / πίνακας γειτνίασης για τη διάταξη κορυφών,,,,, και για τα δύο γραφήµατα είναι ο πίνακας Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

13 [Σχόλιο: Επειδή τα γραφήµατα έχουν πολλές ακµές ένας εύκολος τρόπος να διαπιστώσουµε αν είναι ισοµορφικά µεταξύ τους θα ήταν να εξετάσουµε τα συµπληρωµατικά γραφήµατά τους Εύκολα διαπιστώσουµε ότι µόνο τα δύο τελευταία είναι ισοµορφικά µεταξύ τους]. Παρατηρούµε ότι όλα τα γραφήµατα έχουν 7 κορυφές και ακµές. Στο δεύτερο γράφηµα υπάρχει κορυφή βαθµού (στην πάνω αριστερή γωνία) ενώ στα άλλα δύο γραφήµατα δεν υπάρχει τέτοια κορυφή. Εφόσον η ύπαρξη κορυφής µε βαθµό αναλλοίωτη ιδιότητα, έχει νόηµα να εξετάσουµε µόνο αν το πρώτο και το τρίτο γράφηµα είναι ισοµορφικά µεταξύ τους. Τα γραφήµατα αυτά είναι πράγµατι ισοµορφικά. ίνουµε την αντιστοιχία κορυφών ανάµεσα στα δύο αυτά γραφήµατα χρησιµοποιώντας την ίδια αρίθµηση: 7 7 To µητρώο σύνδεσης / πίνακας γειτνίασης για τη διάταξη κορυφών,,,,,,7 και για τα δύο γραφήµατα είναι ο πίνακας Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

14 Ερώτηµα 7.. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα του Kuratowski, να δείξετε ότι το γράφηµα Ptrsn (Βιβλίο Μ. Μαυρονικόλα, Σχήµα.) δεν είναι επίπεδο.. Να δείξετε ότι το συµπληρωµατικό γράφηµα του γραφήµατος Ptrsn δεν είναι επίπεδο. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε το αποτέλεσµα της Άσκησης Αυτοαξιολόγησης.8, Βιβλίο Γ. Βούρου.. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω γραφήµατα είναι επίπεδα δίνοντας αποτυπώσεις τους. Να επαληθεύσετε τον τύπο του Eulr σε αυτά τα γραφήµατα. Απάντηση:. είχνουµε διαδοχικά τα βήµατα Αρχικό γράφηµα Ptrsn Υπογράφηµα µετά από αφαίρεση δύο ακµών Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

15 Απλοποίηση σειράς Απλοποίηση σειράς Απλοποίηση σειράς Απλοποίηση σειράς Το τελευταίο γράφηµα είναι το K,. ηλαδή βρήκαµε ένα υπογράφηµα του γραφήµατος Ptrsn που είναι οµοιοµορφικό µε το K, και συνεπώς το γράφηµα Ptrsn δεν είναι επίπεδο.. Το γράφηµα Ptrsn έχει κορυφές και ακµές. Καθώς το πλήρες γράφηµα µε κορυφές έχει = ακµές το συµπληρωµατικό γράφηµα του γραφήµατος Ptrsn έχει κ= κορυφές και ε=-= ακµές. Σύµφωνα µε την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης.8, Βιβλίο Γ. Βούρου, αν το γράφηµα αυτό ήταν επίπεδο θα έπρεπε να ισχύει ε κ- που προφανώς δεν ισχύει. Συνεπώς το γράφηµα δεν είναι επίπεδο.. ίνουµε αποτυπώσεις των τριών γραφηµάτων αντίστοιχα. Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

16 * * Στα δύο πρώτα γραφήµατα µετακινήσαµε µόνο µία κορυφή η οποία σηµειώνεται µε * και στη συνέχεια αναµορφώσαµε κατάλληλα ορισµένες ακµές. Στο τρίτο γράφηµα αναµορφώσαµε µόνο δύο ακµές Ο τύπος του Eulr δίνει ο=ε-κ+ όπου κ,ε,ο τα πλήθη των κορυφών, των ακµών και των όψεων αντίστοιχα. Στο ο γράφηµα: κ=, ε=8, ο=, και φανερά ισχύει =8-+ Στο ο γράφηµα: κ=8, ε=7, ο=, και φανερά ισχύει =7-8+ Στο ο γράφηµα: κ=, ε=, ο=, και φανερά ισχύει =-+ Ερώτηµα 8. ίνεται σαν δεδοµένο ότι κάθε επίπεδο γράφηµα έχει χρωµατικό αριθµό µικρότερο ή ίσο του (βλέπε σελ. και στο Βιβλίο του Μ. Μαυρονικόλα). Με άλλα λόγια, κάθε επίπεδο γράφηµα είναι ένα k -µερές γράφηµα, για κάποιο ακέραιο k (Ορισµός.8, Βιβλίο Μ. Μαυρονικόλα). Να αποδείξετε ότι για κάθε επίπεδο γράφηµα G µε τουλάχιστον 7 κορυφές, το συµπληρωµατικό γράφηµα G είναι µη επίπεδο. Απάντηση: Έστω G επίπεδο γράφηµα µε τουλάχιστον 7 κορυφές. Με βάση τη δεδοµένη πρόταση το γράφηµα είναι k -µερές για κάποιο ακέραιο k. Συνεπώς κάποιο σύνολο ανεξαρτησίας του, έστω το Α, έχει τουλάχιστον κορυφές. Πράγµατι, αν είχαν όλα το πολύ κορυφές, τότε γράφηµα θα είχε το Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not

17 πολύ k κορυφές, άτοπο. Το συµπληρωµατικό του υπογραφήµατος Α είναι πλήρες γράφηµα και περιέχει το Κ, άρα και το G περιέχει ως υπογράφηµα το Κ. Από το Θεώρηµα του Kuratowski προκύπτει ότι το G δεν είναι επίπεδο. [Σχόλιο: Η απόδειξη στηρίζεται στην πρόταση που δίνεται στην εκφώνηση και αποτελεί ένα πολύ καλό παράδειγµα την αρχής του περιστερώνα. Ωστόσο το αποτέλεσµα µπορεί να βελτιωθεί ακόµη περισσότερο. Για παράδειγµα, αν χρησιµοποιήσουµε την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης.8. µπορούµε να δείξουµε ότι ισχύει για επίπεδο γράφηµα µε τουλάχιστον κορυφές: Έστω ότι το συµπληρωµατικό γράφηµα (Η προϋπόθεση ε> της Άσκησης Αυτοαξιολόγησης ικανοποιείται: κανένα από τα G και G δε µπορεί να έχει ή ακµή καθώς τότε το άλλο θα είχε ως υπογράφηµα το πλήρες γράφηµα Κ και δεν θα ήταν επίπεδο) n G έχει n κορυφές και m ακµές και n. Τότε το G έχει n( n ) n κορυφές και m ακµές. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι και τα δύο γραφήµατα είναι επίπεδα. Από την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης.8. για τα δύο γραφήµατα προκύπτει ότι n(n ) m n και Η δεύτερη σχέση γράφεται διαδοχικά m n n m n n n m n n 7n + οπότε από την πρώτη σχέση έχουµε και τελικά Αυτό όµως είναι άτοπο διότι για n n 7n + m (n ) = n n n + n n + = n( n ) + > ] m Error! Rfrnc sourc not found. Error! Rfrnc sourc not found., η εργασία, ΠΛΗ [Error! Rfrnc sourc not 7