ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30"

Ευμελια Σπανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού (Tipp-ex). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Πρόβλημα 1: Έστω Να αποδείξετε ότι: Από την γνωστή ταυτότητα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ να είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε θα πάρουμε διαδοχικά, Από την AM-GM, ανισότητα έχουμε και λόγω αυτής η γίνεται Χρησιμοποιώντας όμως την δεδομένη ανισότητα η γίνεται Υψώνουμε την στην και την στην, και έχουμε ( ) Πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες ανισότητες θα έχουμε

2 Πρόβλημα 2 : Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακεραίων όπου είναι πρώτοι αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση Από την δεδομένη εξίσωση έχουμε Όλα όμως τα τετράγωνα ακεραίων όταν διαιρεθούν με το αφήνουν υπόλοιπο. Δηλαδή Επομένως, αν ούτε το ούτε το είναι, τότε θα είχαμε Άρα, τότε, άτοπο. Δηλαδή ένας από τους δύο είναι το και χωρίς βλάβη της γενικότητας παίρνουμε Τότε, Αν τότε η προηγούμενη εξίσωση γίνεται, άτοπο. Άρα και από την, παρατηρούμε ότι Επομένως Επομένως,. Όλες τις τριάδες των θετικών ακεραίων όπου είναι πρώτοι αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση, είναι

3 Πρόβλημα 3 : Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με, και το ορθόκεντρο του. Από το φέρουμε κάθετη προς την διχοτόμο της γωνίας του τριγώνου, η οποία τέμνει τις πλευρές του στα σημεία αντίστοιχα. Ονομάζουμε το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής του με την διχοτόμο (διαφορετικό από το ) και το σημείο τομής της ευθείας με την. Αν είναι το ίχνος του ύψους του τριγώνου από την κορυφή πάνω στην πλευρά του να αποδείξετε ότι, Έστω το σημείο τομής της με την. Τότε, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως Επίσης από το εγγράψιμο τετράπλευρο Επομένως Άρα, η είναι εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Από τα προηγούμενα έχουμε και αφού, συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η είναι διάμετρος του Επομένως,. Από αυτό έχουμε Από το σημείο φέρουμε μια ευθεία παράλληλη προς την και έστω το σημείο τομής της με την Από το θεώρημα του Θαλή παίρνουμε Επίσης, και αφού διχοτόμος των γωνιών, θα έχουμε

4 Από τις θα έχουμε και από το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή, Άρα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως η διέρχεται από το μέσον του και το σημείο είναι το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο Αν η τέμνει για δεύτερη φορά τον στο τότε Αφού όμως, συμπεραίνουμε ότι τα σημεία ταυτίζονται. Όμως,. Επομένως, από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε Πρόβλημα 4 : Μια «μαγική τριγωνοποίηση» ονομάζεται μια διαμέριση ενός τριγώνου σε μικρότερα τρίγωνα με ένα πεπερασμένο αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων των οποίων τα άκρα είναι οι κορυφές του τριγώνου ή σημεία στο εσωτερικό του, έτσι ώστε σε κάθε σημείο (συμπεριλαμβανομένων των κορυφών του τριγώνου) να συναντώνται ο ίδιος αριθμός ευθυγράμμων τμημάτων. Να βρείτε τον μέγιστο αριθμό των μικρότερων τριγώνων που μπορεί να διαιρεθεί ένα τρίγωνο με μια τέτοια «μαγική τριγωνοποίηση». Συμβολίζουμε με τον αριθμό των μικρών τριγώνων, τον αριθμό των σημείων στην «μαγική τριγωνοποίηση» (μαζί με τις κορυφές του τριγώνου), τον αριθμό των τμημάτων της τριγωνοποίησης (μαζί με τις πλευρές του τριγώνου) και τον αριθμό των τμημάτων που τέμνονται σε κάθε σημείο της τριγωνοποίησης. Προφανώς, ισχύει Επιπλέον, τα τμήματα είναι πλευρές των τριγώνων. Άρα αφού κάθε τμήμα είναι μια πλευρά ακριβώς δύο τριγώνων. Θεωρούμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών των μικρών τριγώνων. Το άθροισμα αυτό είναι Από την άλλη μεριά, σε κάθε ένα από τα σημεία το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών των τριγώνων που έχουν κορυφή το κάθε ένα από αυτά τα σημεία θα είναι. Αν προσθέσουμε και τις γωνίες του αρχικού μεγάλου τριγώνου, παίρνουμε ότι το άθροισμα των γωνιών των μικρών τριγώνων θα είναι Άρα, Επομένως, Άρα, το πρέπει να διαιρεί το, δηλαδή { }, επομένως { }

5 και συμπεραίνουμε { } Άρα ο μέγιστος αριθμός των μικρότερων τριγώνων που μπορεί να διαιρεθεί ένα τρίγωνο με μια τέτοια «μαγική τριγωνοποίηση είναι Μια τέτοια τριγωνοποίηση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Σχετικά έγγραφα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 21/01/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.