ΗΧΗΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

Transcript

1 ΗΧΗΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Θεωρία Εφαρμογές φαινομένου Doppler Λυμένες Ασκήσεις Ερωτήσεις Ασκήσεις Προβλήματα Θέματα study4exams Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων Θέματα Διαγωνισμών ΟΕΦΕ Μιχάλης Β. Πετρόπουλος Εργαστήριο Φυσικής ΕΑΠ

2 HXHTIKO ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Το φαινόμενο Doppler είναι η παρατηρούμενη μεταβολή στη συχνότητα που αντιλαμβάνεται παρατηρητής, σε σχέση με τη συχνότητα που εκπέμπεται από μια πηγή, είτε ηχητική είτε φωτεινή, όταν βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του αυστριακού φυσικού Christian Doppler, ο οποίος το πρότεινε το Το φαινόμενο παρατηρείται συχνά όταν κάποιος πλησιάζει ή απομακρύνεται από ηχητικές πηγές υψηλής συχνότητας (π.χ. ασθενοφόρο). Για κύματα όπως τα ηχητικά, που διαδίδονται μέσα σε κάποιο υλικό μέσο, η ταχύτητα τόσο του παρατηρητή όσο και της πηγής πρέπει να προσδιορίζεται σε σχέση με το μέσο διάδοσης. Το φαινόμενο Doppler μπορεί να προκύψει από την κίνηση του παρατηρητή, από την κίνηση της πηγής και από την κίνηση του μέσου διάδοσης. Για κύματα που δεν χρειάζονται ένα υλικό μέσο για τη διάδοσή τους, όπως τα ηλεκτρομαγνητικά ή τα βαρυτικά κύματα στην ειδική σχετικότητα, μόνο η σχετική ταχύτητα του παρατηρητή και της πηγής παίζει ρόλο. Αν και παρουσιάζει γενικότερο ενδιαφέρον, θα περιοριστούμε στα ηχητικά φαινόμενα. Α. Ακίνητη πηγή ακίνητος παρατηρητής Στην περίπτωση αυτή η πηγή παράγει σε χρονικό διάστημα Δt ήχο, που διαδίδεται με ταχύτητα u προς τον παρατηρητή. Στο χρονικό αυτό διάστημα από την πηγή παράγονται Ν A S u Σχήμα [1] A S κύματα, τα οποία είναι αριθμητικά ίσα με αυτά που φθάνουν στον παρατηρητή (σχήμα [1]). Δηλαδή έχουμε: } όπου: f A η συχνότητα που εκπέμπεται από την πηγή. f S η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. u η ταχύτητα διάδοσης του ήχου ως προς τον αέρα. Συμπέρασμα: Ο παρατηρητής στην περίπτωση αυτή αντιλαμβάνεται συχνότητα ακριβώς ίδια με τη συχνότητα με την οποία εκπέμπει η πηγή. Β. Ακίνητη πηγή κινούμενος παρατηρητής Έστω κινούμενος παρατηρητής, που A S κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u προς την ακίνητη πηγή. Ο παρατηρητής κάποια στιγμή, όπως φαίνεται στο σχήμα [2], δέχεται το Α S κύμα (1) από την πηγή, καθώς κινείται προς αυτήν. Σε χρονικό διάστημα Δt, ο παρατηρητής έχει μετακινηθεί κατά s A, ενώ ο ήχος έχει μετατοπισθεί κατά s η κατά την κατεύθυνση διάδοσής του. λ S u (5) (4) (3) (2) (1) u S λ S u u S S A (5) (4) (3) (2) (1) S A Σχήμα [2] s A d s η Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 1

3 Στο χρονικό αυτό διάστημα Δt ο παρατηρητής έχει ακούσει όλα τα κύματα, Ν συνολικά, που περιέχονται στην περιοχή πλάτους d. Ο ήχος διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u προς τον παρατηρητή. Εξ ορισμού της συχνότητας έχουμε: όπου f Α η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Όμως: } Από τη γεωμετρία του σχήματος έχουμε ότι: όπου λ S το μήκος κύματος το ήχου που εκπέμπεται από την πηγή. Από την ταχύτητα διάδοσης του ήχου έχουμε ότι: Συνεπώς: όπου: f A η συχνότητα που εκπέμπεται από την πηγή. f S η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. u A η ταχύτητα κίνησης του παρατηρητή ως προς τον αέρα. u η ταχύτητα διάδοσης του ήχου ως προς τον αέρα. Συμπέρασμα: Ο παρατηρητής στην περίπτωση που προσεγγίζει την ακίνητη πηγή, αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου μεγαλύτερη από την συχνότητα με την οποία εκπέμπει η πηγή. Εργαζόμενοι με αντίστοιχο τρόπο στην περίπτωση απομάκρυνσης του παρατηρητή από την ακίνητη πηγή, θα προκύψει η σχέση: Συμπέρασμα: Ο παρατηρητής στην περίπτωση που απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή, αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου μικρότερη από την συχνότητα με την οποία εκπέμπει η πηγή. (6) Γ. Κινούμενη πηγή ακίνητος παρατηρητής Έστω κινούμενη πηγή, που κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u S προς τον ακίνητο παρατηρητή (σχήμα [3]). Η πηγή τη στιγμή t o απέχει απόσταση d από τον παρατηρητή και εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f S. Αν η πηγή ήταν ακίνητη σε χρόνο Δt θα έφθαναν στον παρατηρητή Ν κύματα, με μήκος κύματος λ S. d S (5) (4) (3) (2) (1) u λ S u (5) (4) (3) (2) (1) λ Α u S d Σχήμα [3] d 1 Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 2

4 Θα είναι: Ο παρατηρητής, τώρα που τον πλησιάζει η πηγή, θα ακούσει τα κύματα αυτά σε μικρότερο «χώρο» d 1, μιας και η πηγή στο χρονικό αυτό διάστημα Δt έχει μετατοπιστεί κατά d s. Προφανώς και είναι: ds = us Δt (2) Επειδή τα κύματα πλησιάζουν τον παρατηρητή σε μικρότερο χώρο, «συμπιέζονται» και το μήκος κύματός τους γίνεται πλέον, που είναι μικρότερο σε σχέση με το μήκος κύματος που θα είχαν, αν η πηγή ήταν ακίνητη. Από την ταχύτητα διάδοσης του ήχου έχουμε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ότι: Οπότε, για τα Ν κύματα θα ισχύει: όπου: f A η συχνότητα που εκπέμπεται από την πηγή. f S η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. u S η ταχύτητα κίνησης της πηγής ως προς τον αέρα. u η ταχύτητα διάδοσης του ήχου ως προς τον αέρα. Συμπέρασμα: Ο ακίνητος παρατηρητής, στην περίπτωση που τον προσεγγίζει κινούμενη πηγή, αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου μεγαλύτερη από την συχνότητα την οποία εκπέμπει η πηγή. Εργαζόμενοι με αντίστοιχο τρόπο στην περίπτωση απομάκρυνσης της πηγής από τον ακίνητο παρατηρητή, θα προκύψει η σχέση: Συμπέρασμα: Ο ακίνητος παρατηρητής, στην περίπτωση που απομακρύνεται από αυτόν κινούμενη πηγή, αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου μικρότερη από την συχνότητα την οποία εκπέμπει η πηγή. Συνοψίζοντας, μπορούμε να συγκεντρώσουμε στην ακόλουθη εξίσωση τη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε σχέση με τη συχνότητα που εκπέμπει η πηγή ως ακολούθως: (6) Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 3

5 (7) όπου: f A η συχνότητα που εκπέμπεται από την πηγή. f S η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. u A η ταχύτητα κίνησης του παρατηρητή ως προς τον αέρα. u S η ταχύτητα κίνησης της πηγής ως προς τον αέρα. u η ταχύτητα διάδοσης του ήχου ως προς τον αέρα. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 4

6 Παρατηρήσεις 1. Στην περίπτωση που κινούνται και η πηγή και ο παρατηρητής εργαζόμαστε ως εξής: 1.α. Για τον αριθμητή: θα θεωρούμε την πηγή ως ακίνητη και θα ελέγχουμε ο παρατηρητής αν απομακρύνεται από την πηγή ή την πλησιάζει, επιλέγοντας το κατάλληλο πρόσημο. 1.β. Για τον παρονομαστή: θα θεωρούμε τον παρατηρητή ακίνητο και θα ελέγχουμε αν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή ή τον πλησιάζει και θα επιλέγουμε το κατάλληλο πρόσημο. Στα παραδείγματα που ακολουθούν, με Π σημειώνεται η πηγή, με Α ο παρατηρητής, ενώ τα βέλη δείχνουν προς τα που κινούνται, πάνω στην κοινή διεύθυνση κίνησης. (Βασισμένα στην ερώτηση 5.20 του σχολικού βιβλίου, σελ. 176, έκδοση 2001). 2. Αν με οποιονδήποτε τρόπο ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή του ήχου, θα αντιλαμβάνεται ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από εκείνον που πραγματικά εκπέμπει η πηγή. 3. Αν με οποιονδήποτε τρόπο ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή του ήχου, θα αντιλαμβάνεται ήχο μικρότερης συχνότητας από εκείνον που πραγματικά εκπέμπει η πηγή. 4. Η σχέση ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι πηγή και παρατηρητής κινούνται στην ίδια διεύθυνση. Στην περίπτωση που κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις θα αναλύουμε τις ταχύτητες σε δύο συνιστώσες, μία πάνω στην ευθεία που συνδέει πηγή και παρατηρητή και μία πάνω κάθετη προς αυτήν και θα λαμβάνουμε υπόψη μας τις συνιστώσες που ανήκουν στην ευθεία που διέρχεται από την πηγή και τον παρατηρητή. u Sy θ u Sx u S u Α u Ax φ Έτσι, στην περίπτωση του σχήματος [4] θα έχουμε: Σχήμα [4] u Ay 5. Λόγω της κίνησής του ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται σωστά το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή, αλλά λανθασμένα την ταχύτητα διάδοσής του. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 5

7 5.α. Αν η ταχύτητα του ήχου και του παρατηρητή είναι ομόρροπες, τότε:. 5.β. Αν η ταχύτητα του ήχου και του παρατηρητή είναι αντίρροπες, τότε:. 6. Λόγω της κίνησης της πηγής, ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται σωστά την ταχύτητα διάδοσης του ήχου, αλλά λανθασμένα το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή. 6.α. Αν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή, θα είναι: λ Α = λ S u S T 6.β. Αν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή, θα είναι: λ Α = λ S + u S T 7. Η σχέση ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι ο αέρας είναι ακίνητος ως προς το έδαφος. Αν ο αέρας πνέει με ταχύτητα μέτρου u αερα, η σχέση (7) παίρνει τη μορφή: Όπου: 7.α. 7.β., αν ο αέρας πνέει από την πηγή προς τον παρατηρητή., αν ο αέρας πνέει από τον παρατηρητή προς την πηγή. 8. Ο αριθμός Ν Α των κυμάτων που εκπέμπει η πηγή ισούται με τον αριθμό των κυμάτων Ν S που λαμβάνει ο παρατηρητής. Συνεπώς: } 9. Ο αριθμός των κυμάτων που δέχεται ο παρατηρητής μπορεί να βρεθεί από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο, f A =f(t). Από την κλίση της γραφικής παράστασης f A =f(t) μπορούμε να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. 10. Στην περίπτωση ηχητικού παλμού, οπότε η πηγή εκπέμπει τον ήχο για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα Δt S, θα εκπεμφθούν από την πηγή Ν Α κύματα, αλλά ο παρατηρητής θα αντιληφθεί ότι έλαβε Ν S στο ίδιο χρονικό διάστημα. Δηλαδή: } 11. Όταν η ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας f S που προσπίπτει σε ακλόνητο εμπόδιο (π.χ. τοίχος), όπως το τρένο που πλησιάζει σε μία σήραγγα με ταχύτητα μέτρου u S, φαίνεται στο σχήμα [5], τότε: λ 1 λ 2 λ 3 u S A 2 S A 1 Σχήμα [5] Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 6

8 11.1. Το ακλόνητο εμπόδιο παίζει ρόλο ακίνητου παρατηρητή και «αντιλαμβάνεται» ήχο συχνότητας f τ, που είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα που εκπέμπει η πηγή: Ο ήχος ανακλάται από το εμπόδιο, το οποίο τώρα διαδραματίζει ρόλο ακίνητης πηγής, που εκπέμπει με συχνότητα f τ. Δηλαδή, όσα κύματα προσπίπτουν στο εμπόδια ανά μονάδα χρόνου τόσα ανακλώνται Ο ακίνητος παρατηρητής Α 1, που στέκεται ανάμεσα στο εμπόδιο και την πηγή ήχου αντιλαμβάνεται δύο κύματα, το ένα απευθείας από την πηγή S και το άλλο από την ανάκλαση στο εμπόδιο. Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από την ηχητική πηγή είναι: Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από τον τοίχο είναι:, γιατί και το εμπόδιο και ο παρατηρητής Α 1 είναι ακίνητοι. Όπως παρατηρούμε από τις εξισώσεις (11.2) και (11.3) ο παρατηρητής Α 1 δεν αντιλαμβάνεται καμία διαφορά στη συχνότητα των δύο ήχων Ο οδηγός του τρένου αντιλαμβάνεται δύο διαφορετικές συχνότητες. Η μία είναι της ηχητικής πηγής f S, επί της οποίας βρίσκεται και επειδή κινείται μαζί της δεν ακούει καμία διαφοροποίηση. Δηλαδή: Η άλλη είναι ο εξ ανακλάσεως ήχος από τον τοίχο, που λειτουργεί ως ακίνητη πηγή την οποία πλησιάζει. Συνεπώς: Επειδή, ο οδηγός αντιλαμβάνεται εξ ανακλάσεως ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που εκπέμπει η ηχητική πηγή. Υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις, που δεν είναι δύσκολο να επιτευχθούν, ο οδηγός μπορεί να ακούει διακρότημα, συχνότητας Ο ακίνητος παρατηρητής Α 2, που στέκεται πίσω από την πηγή ήχου που απομακρύνεται αντιλαμβάνεται δύο κύματα, το ένα απευθείας από την πηγή S και το άλλο από την ανάκλαση στο εμπόδιο. Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από την απομακρυνόμενη ηχητική πηγή είναι: Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από τον τοίχο είναι: γιατί και το εμπόδιο και ο παρατηρητής Α 2 είναι ακίνητοι. Επειδή, ο παρατηρητής Α 2 αντιλαμβάνεται από την ηχητική πηγή εξ ανακλάσεως ήχο μικρότερης συχνότητας από αυτόν που εκπέμπεται πραγματικά, ενώ εξ ανακλάσεως αντιλαμβάνεται ήχο μεγαλύτερης συχνότητας, μιας και. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 7

9 Υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις, που και στην περίπτωση αυτή δεν είναι δύσκολο να επιτευχθούν, ο οδηγός μπορεί να ακούει διακρότημα, συχνότητας. 12. Όταν η ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας f S που προσπίπτει σε κινούμενη επιφάνεια, προς την ίδια διεύθυνση (π.χ. άλλο όχημα), οι συχνότητες που αντιλαμβάνονται οι παρατηρητές και ο οδηγός της ηχητικής πηγής διαφοροποιούνται ανάλογα με τα μέτρα των ταχυτήτων και τη φορά της κίνησής τους. Ας δούμε το παράδειγμα όπου ασθενοφόρο πλησιάζει με ταχύτητα u μέτρου u S προπορευόμενο όχημα Α, S u Α που κινείται στην ίδια κατεύθυνση, A 2 A 1 όπως φαίνεται στο σχήμα [6]. Τότε: Σχήμα [6] Ο οδηγός του προπορευόμενου οχήματος αντιλαμβάνεται συχνότητα μεγαλύτερη από αυτήν που πραγματικά εκπέμπεται από το ασθενοφόρο, γιατί αν και κινούνται κατά την ίδια φορά, η ηχητική πηγή το πλησιάζει: Το όχημα Α, τώρα, λειτουργεί εξ ανακλάσεως ως ηχητική πηγή που εκπέμπει με συχνότητα f A, μιας και όσα κύματα λαμβάνει ανά μονάδα χρόνου, τόσα εκπέμπει Ο οδηγός του ασθενοφόρου αντιλαμβάνεται δύο συχνότητες. Της σειρήνας του οχήματός του f S και τη συχνότητα f οδ από την ανάκλαση του ηχητικού κύματος στο προπορευόμενο όχημα, το οποίο πλησιάζει. Εφαρμόζοντας τους κανόνες που προαναφέραμε για τα πρόσημα, η συχνότητα f οδ είναι: Ο ακίνητος παρατηρητής Α 1, που στέκεται ανάμεσα στο ασθενοφόρο και το όχημα Α, αντιλαμβάνεται δύο κύματα, το ένα απευθείας από την πηγή-ασθενοφόρο S και το άλλο από την ανάκλαση στο όχημα Α. Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από την ηχητική πηγή είναι:, αφού το ασθενοφόρο τον πλησιάζει. Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από το όχημα Α είναι: γιατί το όχημα Α απομακρύνεται. Υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις ο παρατηρητής Α 1 μπορεί να ακούει διακρότημα συχνότητας Ο ακίνητος παρατηρητής Α 2, που στέκεται πίσω από το ασθενοφόρο αντιλαμβάνεται δύο κύματα, το ένα απευθείας από την πηγή-ασθενοφόρο S και το άλλο από την ανάκλαση στο όχημα Α. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 8

10 Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από την ηχητική πηγή είναι:, αφού το ασθενοφόρο απομακρύνεται. Η συχνότητα που αντιλαμβάνεται από το όχημα Α είναι: γιατί το όχημα Α απομακρύνεται. Υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις ο παρατηρητής Α 1 μπορεί να ακούει διακρότημα συχνότητας. 13. Όταν η ηχητική πηγή κινείται με μεταβλητή ταχύτητα ως προς τον παρατηρητή, θα προσέχουμε τις ιδιαιτερότητες της σχετικής κίνησης. Ας δούμε δύο από τις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις για τη διδακτέα ύλη της Γ Λυκείου Η πηγή του ήχου εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε σημαντική απόσταση από ακίνητο παρατηρητή Α. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο μεταβλητής συχνότητας, σύμφωνα και με τα όσα αναφέρθηκαν στην 4 των παρατηρήσεων. Έτσι: Δ A Γ Β Ε u S A A Σχήμα [7] Η γωνία θ είναι η γωνία που κάθε στιγμή σχηματίζει η διεύθυνση της ταχύτητας με τη διεύθυνση του ακίνητου παρατηρητή (σχήμα [7]). Καθώς κινείται κυκλικά το σώμα, ο παρατηρητής θα διαπιστώνει ότι: Στις θέσεις Β και Δ αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f A =f S, γιατί η ταχύτητα κίνησης της πηγής είναι κάθετη προς τη διεύθυνσης του παρατηρητή Στη θέση Γ, όπου η κινούμενη πηγή βρίσκεται πάνω στη μία εφαπτόμενη του κύκλου που διέρχεται από τον παρατηρητή, είναι συνθ=1 και αντιλαμβάνεται ήχο μέγιστης συχνότητας: Στη θέση Ε, όπου η κινούμενη πηγή βρίσκεται πάνω στην άλλη εφαπτόμενη του κύκλου που διέρχεται από τον παρατηρητή, αντιλαμβάνεται ήχο ελάχιστης συχνότητας: Η ηχητική πηγή εκτελεί γραμμικά αρμονική ταλάντωση ως προς ακίνητο παρατηρητή, που βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση ταλάντωση της πηγής (σχήμα [8]). Ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο μεταβλητής συχνότητας, που δίνεται από τη σχέση: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 9

11 Στις ακραίες θέσεις 1, 3 και 5 της ταλάντωσης, όπου στιγμιαία το ταλαντούμενο σώμα ακινητοποιείται, ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f A =f S Στη θέση 2, όπου η κινούμενη πηγή βρίσκεται διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, όπου η ταχύτητα κατά μέτρο είναι μέγιστη της ταλάντωσης και απομακρυνόμενη του παρατηρητή, αντιλαμβάνεται ηχητικό κύμα της ελάχιστης συχνότητας: Σχήμα [8] Στη θέση 4, όπου η ηχητική πηγή βρίσκεται διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, όπου η ταχύτητα κατά μέτρο είναι μέγιστη της ταλάντωσης και κινούμενη προς τον παρατηρητή, αντιλαμβάνεται ηχητικό κύμα της ελάχιστης συχνότητας: 14. Εφαρμογές φαινομένου Doppler Στην Αστρονομία. Το φαινόμενο Doppler παρουσιάζει έντονο ενδιαφέρον για τους αστρονόμους, που το αξιοποιούν για τη συλλογή πληροφοριών σχετικά με την αλλαγή στη συχνότητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που παράγονται από κινούμενα αστέρια στο γαλαξία μας, αλλά και γαλαξίες, όπως η κίνηση και η θερμοκρασία τους. Η πεποίθηση ότι το σύμπαν διαστέλλεται βασίζεται εν μέρει σε παρατηρήσεις των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που εκπέμπονται από τα αστέρια σε μακρινούς γαλαξίες. Οι γαλαξίες είναι συστάδες αστεριών που συνήθως περιστρέφονται γύρω από κάποιο σημειακό κέντρο μάζας. Η Η/Μ ακτινοβολία που εκπέμπεται από αστέρια σε ένα μακρινό γαλαξία φαίνεται να μετατοπίζεται προς τα κάτω στη συχνότητα (μια μετατόπιση προς το ερυθρό), εάν το αστέρι περιστρέφεται στο σύμπλεγμα του σε μια κατεύθυνση που είναι μακριά από τη Γη. Από την άλλη πλευρά, υπάρχει μια ανοδική μετατόπιση στη συχνότητα (μετατόπιση προς το μπλε ή το ιώδες) εάν το αστέρι περιστρέφεται σε μια κατεύθυνση προς τη Γη. Οι εξισώσεις του φαινομένου Doppler στην αστρονομία έχουν τις εξής μορφές: Αν η φωτεινή πηγή απομακρύνεται από τη Γη: Αν η φωτεινή πηγή πλησιάζει προς τη Γη: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 10

12 Αν η φωτεινή πηγή κινείται κάθετα προς τη Γη: Όπου u το μέτρο της ταχύτητας που κινείται η φωτεινή πηγή και c η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό Στη μετεωρολογία. Οι μετεωρολόγοι χρησιμοποιούν μια παρόμοια αρχή για να μελετήσουν τα καιρικά φαινόμενα. Στην περίπτωση αυτή, ο στατικός πομπός βρίσκεται σε ένα σταθμό και το κινούμενο αντικείμενο που μελετάται είναι ένα σύστημα καταιγίδας. Εκπέμπονται ραδιοκύματα από ένα μετεωρολογικό σταθμό σε συγκεκριμένη συχνότητα. Τα ραντάρ καιρού αποτελούνται από ένα μεγάλο 'πιάτο' το οποίο στεγάζεται σε ένα ακόμα μεγαλύτερο εξαγωνικό θόλο για προστασία. Το πιάτο αυτό μπορεί να περιστραφεί 360 μοίρες οριζόντια και περίπου 20 μοίρες κάθετα. Καθώς η κεραία περιστρέφεται, εκπέμπει παλμούς, και περιμένει να επιστρέψουν την περίοδο ακρόασης. Κάθε παλμός διαρκεί s και έχει περίοδο ακρόασης s. Τα ραδιοκύματα μεταδίδονται στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα περίπου ίση με αυτή του φωτός. Όταν χτυπήσουν έναν στόχο όπως μια σταγόνα βροχής ή μια χιονονιφάδα, σκεδάζονται, και ένα μέρος της ενέργειας επιστρέφει στο ραντάρ. Το ραντάρ παρακολουθεί αυτές τις πληροφορίες κατά τη διάρκεια της περιόδου ακρόασης, με την διαδικασία να επαναλαμβάνεται 1300 φορές το δευτερόλεπτο. Παρατηρώντας τον χρόνο που χρειάζεται το κύμα να φύγει από την κεραία, να χτυπήσει τον στόχο και να επιστρέψει στην κεραία, το ραντάρ μπορεί να υπολογίσει την απόσταση και την κατεύθυνση του στόχου χρησιμοποιώντας το φαινόμενο Doppler. Επίσης, η ενέργεια που επιστρέφει στο ραντάρ παρέχει πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά του στόχου. Υπολογιστές στο ραντάρ μετατρέπουν ηλεκτρονικά τα δεδομένα μετατόπισης Doppler για τα ανακλώμενα ραδιοκύματα σε εικόνες που δείχνουν τις ταχύτητες ανέμου και την κατεύθυνση. Αυτά τα δεδομένα χρησιμοποιούνται για να σχηματιστούν διάφοροι μετεωρολογικοί χάρτες, όπως της έντασης βροχόπτωσης για παράδειγμα Στην Ιατρική. Ένα παραδοσιακό υπερηχοκαρδιογράφημα χρησιμοποιεί ηχητικά κύματα για να παράγει εικόνες της καρδιάς. Σε αυτή τη διαδικασία ο ακτινολόγος χρησιμοποιεί ένα μετατροπέα για τη μετάδοση και λήψη υπερήχων κυμάτων, που Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 11

13 αντικατοπτρίζονται όταν φτάσουν στην άκρη του δύο δομές με διαφορετικές πυκνότητες. Η εικόνα που παράγεται από ένα ηχοκαρδιογράφημα δείχνει τα άκρα των δομών της καρδιάς, αλλά δεν μπορεί να μετρήσει την ταχύτητα του αίματος που ρέει μέσα από την καρδιά. Τεχνικές Doppler ενσωματώνονται στη διαδικασία για να παρέχει αυτές τις πρόσθετες πληροφορίες. Στο ηχοκαρδιογράφημα Doppler, τα ηχητικά κύματα από μια ορισμένη συχνότητα μεταδίδεται στην καρδιά. Τα ηχητικά κύματα ανακλώνται από τα κύτταρα του αίματος που διακινούνται μέσω της καρδιάς και των αιμοφόρων αγγείων. Η κίνηση των κυττάρων αυτών, είτε προς ή μακριά από τα μεταδιδόμενα κύματα, έχουν ως αποτέλεσμα μια μετατόπιση συχνότητας που μπορεί να μετρηθεί. Αυτό βοηθά καρδιολόγους καθορίζουν την ταχύτητα και την κατεύθυνση της ροής του αίματος στην καρδιά Στη Γεωλογία. Στη γεωλογία χρησιμοποιείται το ground-penetrating radar. Πρόκειται για μια γεωφυσική μέθοδο, που χρησιμοποιεί παλμούς ραντάρ για να χαρτογραφήσει το υπέδαφος. Εκπέμπει ακτινοβολία στη μικροκυματική ζώνη και εντοπίζει τα ανακλώμενα σήματα από δομές του υπεδάφους. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια ποικιλία μέσων, όπως πέτρα, χώμα, πάγο, νερό. Μπορεί να εντοπίσει αντικείμενα, αλλαγές στο υλικό, ρήγματα και κενά Αστυνομικά radars. Το ραντάρ της αστυνομίας είναι ένα ραντάρ τύπου doppler. Μετράει την ταχύτητα ψάχνοντας μια μετατόπιση του φωτός προς το ερυθρό ή προς το μπλε, παρόμοια με τον τρόπο που οι αστρονόμοι μετρούν την ταχύτητα και την απόσταση των άστρων. Η κεραία του ραντάρ εκπέμπει μια δέσμη φωτός στο εύρος ζώνης των ραδιοσυχνοτήτων. Το φως ανακλάται στον στόχο και μετά επιστρέφει στην κεραία του ραντάρ της αστυνομίας. Η ταχύτητα του στόχου θα αλλάξει τη συχνότητα του σήματος ραντάρ. Αυτή η αλλαγή στη συχνότητα ερμηνεύεται από το ραντάρ και εμφανίζεται στον υπάλληλο της αστυνομίας ως η ταχύτητα του στόχου. Το πιο σημαντικό κομμάτι μιας υπόθεσης ραντάρ είναι ο εντοπισμός του οχήματος που παραβαίνει τα όρια ταχύτητας. Το ραντάρ θα εμφανίσει έναν αριθμό και αυτό είναι όλο. Δεν θα πει στον υπάλληλο της αστυνομίας για ποιο όχημα πρόκειται. Ο αστυνομικός πρέπει να εντοπίσει το όχημα για να επιβεβαιώσει ότι οι παρατηρήσεις του ταιριάζουν σε αυτό που δείχνει το ραντάρ. Αλλιώς ο αστυνομικός μπορεί να σταματήσει το λάθος όχημα, ή συχνά, το ραντάρ μπορεί να δώσει μια λανθασμένη ταχύτητα. Η δέσμη ακτίνων του ραντάρ είναι ένας κώνος. Δεν διαλέγει μεμονωμένα οχήματα. Δεν μπορεί καν να διαλέξει μεμονωμένες λωρίδες στον δρόμο. Το ραντάρ δείχνει μια ταχύτητα που βασίζεται σε τρεις παράγοντες: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 12

14 Ανακλαστικότητα Θέση Ταχύτητα Σφάλματα στα ραντάρ. Υπάρχουν κάποια πράγματα που μπορούν να επηρεάσουν ένα ραντάρ της αστυνομίας. Υπάρχει ένα διάσημο παράδειγμα ενός δικηγόρου που που στοχεύει ένα ραντάρ στον τοίχο μιας αίθουσας δικαστηρίου, και το ραντάρ μετράει την ταχύτητά του στα 30 χμ/ώρα.το ραντάρ της αστυνομίας χρησιμοποιεί μέρος του η/μ φάσματος. Μπορεί να επηρεαστεί από ένα πλήθος ηλεκτρομαγνητικών και φυσικών φαινομένων. Τα κλιματιστικά στα περιπολικά δημιουργούν μια ένδειξη (περίπου 50 χμ/ώρα). Μερικές γραμμές μεταφοράς υψηλής ισχύος μπορούν επίσης να επηρεάσουν τα ραντάρ (γενικά γύρω στα 150 ή 160 χμ/ώρα). Οι υπάλληλοι της αστυνομίας πρέπει να επιβεβαιώσουν ότι οι παρατηρήσεις τους ταιριάζουν με την ταχύτητα που εμφανίζει το ραντάρ. Εάν ένα περιπολικό οδηγεί σε ένα δρόμο με όριο ταχύτητας 50 χμ/ώρα και βλέπει ένα όχημα που ταξιδεύει με περίπου 80 χμ/ώρα, ενώ το ραντάρ εμφανίζει 160 χμ/ώρα, τότε γνωρίζουμε ότι η ένδειξη είναι ψευδής. Μερικά είδη παρεμβολών, όπως τα συστήματα κλιματισμού, θα εξαφανιστούν μόλις το ραντάρ εντοπίσει ένα αντικείμενο που πραγματικά κινείται. Οι παράγοντες λήψης απόφασης του ραντάρ θα αγνοήσουν ένα σήμα τόσο αδύναμο όσο του air-condition Στις τηλεπικοινωνίες. Όταν τα σήματα επικοινωνίας που αποστέλλονται από τη Γη σε ένα ταχέως κινούμενο δορυφόρο, το λαμβανόμενο συχνότητα μετατοπίζεται λόγω του φαινομένου Doppler. Παρομοίως, τα σήματα που λαμβάνονται από το σταθμό Γη μετατοπίζεται λόγω της κίνησης του δορυφόρου.μια μέθοδος που ονομάζεται Dynamic Doppler αντιστάιμιση αλλάζει τη συχνότητα του σήματος πολλές φορές κατά τη διάρκεια της εκπομπής, για να βοηθήσει να διατηρήσει σταθερή τη συχνότητα του σήματος Στρατιωτικές εφαρμογές. Το ραντάρ για τον στρατό είναι ένας τρόπος για εντοπισμό εχθρικών δραστηριοτήτων από μακριά, μέρα ή νύχτα, βρέξει χιονίσει, με λειτουργία στην ταχύτητα του φωτός και ακρίβεια πινέζας. Πιθανότατα οι στρατιωτικές εφαρμογές ξεπερνούν σε αριθμό όλες τις άλλες εφαρμογές των ραντάρ στην επιστήμη, μετεωρολογία και τον εναέριο έλεγχο. Τα ραντάρ λειτουργούν σαν αισθητήρες για να θέσουν υπό παρακολούθηση μια συγκεκριμένη περιοχή, να βρουν στόχους εντός αυτής, να εντοπίσουν τις κινήσεις των στόχων, και να κατευθύνουν άλλα όπλα εναντίον τους. Άλλες εφαρμογές όπως τα ραντάρ πλοήγησης ή τα ραντάρ καιρού, χρησιμοποιούνται επίσης από τον στρατό. Κύριες στρατιωτικές εφαρμογές είναι: Radar που διεισδύει στο έδαφος (ground penetrating), κυρίως για ανίχνευση ναρκών. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 13

15 Θέση Παρακολούθηση περιοχής ή εδάφους (area surveillance or ground surveillance). Παρακολούθηση αέρα. Εντοπισμός στόχων. Εντοπισμός οβίδων. Έγκαιρη προειδοποίηση βαλλιστικών πυραύλων και άμυνα κατά των βαλλιστικών πυραύλων (τεράστιες εγκαταστάσεις). 15. Όλα όσα έχουμε αναφέρει ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι τόσο η ηχητική πηγή όσο και ο παρατηρητής κινούνται με ταχύτητες που έχουν μέτρα μικρότερα από το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του ήχου στον αέρα. Στην περίπτωση που η ηχητική πηγή κινείται πιο γρήγορα από την ταχύτητα του ήχου (ή οριακά ίση με αυτήν, θα σπάσει το φράγμα του ήχου. Γιατί αυτό; Ας προσπαθήσουμε να το εκλαϊκεύσουμε όσο περισσότερο γίνεται. Υποθέτοντας ένα στατικό παρατηρητή και μια πηγή που κινείται με την ταχύτητα του ήχου, η εξίσωση Doppler προβλέπει άπειρη συχνότητα!!! Εάν η πηγή ταξιδεύει με την ταχύτητα του ήχου, τα κύματα συσσωρεύονται και προχωρούν μαζί με την πηγή. Όλες οι κορυφές είναι στο ίδιο σημείο, έτσι ώστε το μήκος κύματος είναι μηδέν και η συχνότητα να είναι άπειρη. Αυτή η επικάλυψη όλων των κυμάτων παράγει ένα κύμα σοκ, γνωστό ως ηχητική έκρηξη. Όταν η πηγή κινείται γρηγορότερα από την ταχύτητα του κύματος η πηγή «τρέχει» μπροστά το κύμα. Η εξίσωση μπορεί να δώσει αρνητικές τιμές συχνοτήτων, αλλά τα -500 Hz είναι λίγο πολύ το ίδιο με τα +500 Hz, όσον αφορά έναν παρατηρητή. Τα κύματα συσσωρεύονται κατά μήκος μιας συγκεκριμένης γωνίας, που παράγει ηχητική έκρηξη. Η γωνία με την οποία το κρουστικό κύμα κινείται μακριά από τη διαδρομή της πηγής εξαρτάται από την ταχύτητα της πηγής σε σχέση με την ταχύτητα του ήχου. Όταν παράγονται κύματα σπάζοντας τα ηχητικά φράγματα, που προκαλούνται από τα υπερηχητικά αεροσκάφη, μπορεί να προκληθούν καταστροφές από τους ήχους και δονήσεις στο έδαφος. Για το λόγο αυτό και απαγορεύεται να κινούνται τα αεροπλάνα σε τέτοιες ταχύτητες και επί του παρόντος περιορίζεται μόνο σε ερευνητικές εφαρμογές. Όσοι ασχολούνται με τα ταχύπλοα σκάφη είναι εξοικειωμένοι με τέτοιες εικόνες στην επιφάνεια του νερού. Μπορείτε να φανταστείτε γιατί; Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 14

16 Ερωτήσεις Κατανόησης Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1. Το φαινόμενο Doppler ισχύει και στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. 2. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι ίδια με αυτή που ισχύει για τον ήχο. 3. Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται στην ιατρική, για την παρακολούθηση τη ροής του αίματος. 4. Καθώς παρατηρητής πλησιάζει ακίνητη ηχητική πηγή, αντιλαμβάνεται ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτήν που παράγει η πηγή. 5. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής, καθώς μια ηχητική πηγή πλησιάζει προς αυτόν, είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. 6. Η συχνότητα του ήχου της σειρήνας πυροσβεστικού οχήματος, την οποία αντιλαμβάνεται ο οδηγός, είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. 7. Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα μια ακίνητη ηχητική πηγή, τότε αντιλαμβάνεται ήχο μικρότερης συχνότητας από εκείνον που παράγεται από την πηγή. 8. Βασιζόμενοι στο φαινόμενο Doppler μπορούμε να καταλάβουμε αν ένα άστρο απομακρύνεται τη Γη. 9. Το φαινόμενο Doppler ισχύει για όλα τα είδη κυμάτων. 10. Όταν η σχετικά απόσταση ηχητικής πηγής και παρατηρητή ελαττώνεται, ο παρατηρητής ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας από τη συχνότητα που εκπέμπει η πηγή. 11. Διαφορετικοί παρατηρητές μπορεί να αντιλαμβάνονται με διαφορετική συχνότητα το ίδιο ηχητικό κύμα. 12. Το φαινόμενο Doppler αξιοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας των αεροπλάνων με το ραντάρ. 13. Όταν η σχετικά απόσταση ηχητικής πηγής και παρατηρητή ελαττώνεται, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι ίδια από την συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. 14. Στο ηχητικό φαινόμενο Doppler ένας ακίνητος κι ένας κινούμενος παρατηρητής αντιλαμβάνονται τον ήχο που προέρχεται από ακίνητη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα. 15. Στο ηχητικό φαινόμενο Doppler ένας ακίνητος κι ένας κινούμενος παρατηρητής αντιλαμβάνονται τον ήχο που προέρχεται από μια ακίνητη ηχητική πηγή να διαδίδεται με το ίδιο μήκος κύματος. 16. Στο ηχητικό φαινόμενο Doppler ένας ακίνητος κι ένας κινούμενος παρατηρητής αντιλαμβάνονται τον ήχο που προέρχεται από κινούμενη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια συχνότητα. 17. Όταν η απόσταση ηχητικής πηγής και παρατηρητή αυξάνεται, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μεγαλύτερη της συχνότητας που εκπέμπει η πηγή. 18. Το φαινόμενο Doppler ισχύει μόνο στα ηχητικά κύματα. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 15

17 19. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται οδηγός σειρηνοφόρου οχήματος σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του είναι ίδια με τη συχνότητα που εκπέμπεται από την ηχητική πηγή που είναι ακλόνητα στερεωμένη στο όχημα. 20. Το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει ηχητική πηγή που προσεγγίζει σε ακίνητο παρατηρητή είναι μικρότερο από αυτό που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. 21. Στο φαινόμενο Doppler οι ταχύτητες της πηγής και του παρατηρητή, αναφέρονται στο σύστημα αναφοράς του μέσου διάδοσης. 22. Στο ηχητικό φαινόμενο Doppler ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται διαφορετικό μήκος κύματος από αυτό που εκπέμπει η ηχητική πηγή, μόνο εάν αυτή κινείται. 23. Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται από τους τροχονόμους για τη μέτρηση της ταχύτητας των οχημάτων. 24. Στην εξίσωση του ηχητικού φαινομένου Doppler, ως ακίνητο σύστημα αναφοράς λαμβάνουμε το μέσο διάδοσης. 25. Διαφορετικοί παρατηρητές μπορεί να αντιλαμβάνονται με διαφορετική συχνότητα το ίδιο ηχητικό κύμα. 26. Μια σειρήνα εκπέμπει ήχο 300 Hz. Ένας παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας 274 Hz. Αυτό μπορεί να συμβαίνει όταν: α. ο παρατηρητής απομακρύνεται από την ακίνητη πηγή. β. ο παρατηρητής πλησιάζει την ακίνητη πηγή. γ. η πηγή απομακρύνεται από τον ακίνητο παρατηρητή. δ. πηγή και παρατηρητής απομακρύνονται μεταξύ τους. ε. παρατηρητής και πηγή πλησιάζουν μεταξύ τους. 27. Το φαινόμενο Doppler ισχύει στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως το φώς. 28. Η εξίσωση που ισχύει για το φαινόμενο Doppler στα Η/Μ κύματα είναι διαφορετική από την αντίστοιχη σχέση για τα ηχητικά κύματα. 29. Το φαινόμενο Doppler παρατηρείται μόνο η πηγή και ο παρατηρητής κινούνται στην ίδια διεύθυνση. 30. Όταν ένας ποδηλάτης απομακρύνεται από μία ακίνητη ηχητική πηγή, ακούει ήχο με συχνότητα μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. 31. Όταν η απόσταση ηχητικής πηγής και παρατηρητή δε μεταβάλλεται, τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο ίδιας συχνότητας με αυτήν που εκπέμπει η πηγή. 32. Εάν η ηχητική πηγή κινείται προς τον παρατηρητή, που κινείται κατά την ίδια φορά, τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται πάντα ήχο μεγαλύτερης συχνότητας. 33. Όταν πηγή και παρατηρητής κινούνται με αντίθετες φορές, τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται πάντα ήχο μεγαλύτερης συχνότητας. 34. Όταν πηγή και παρατηρητής κινούνται με αντίθετες κατευθύνσεις, τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται πάντα ήχο μεγαλύτερης συχνότητας. 35. Όταν πηγή ήχων πλησιάζει ακίνητο παρατηρητή τότε η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μεγαλύτερη από την συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. 36. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται μηχανοδηγός τρένου σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του τρένου είναι ίδια με τη συχνότητα που εκπέμπεται από πηγή η οποία Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 16

18 είναι ακλόνητα στερεωμένη στο τρένο. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 37. Δεν παρατηρούμε φαινόμενο Doppler όταν: α. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και απομακρύνεται η πηγή. β. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα. γ. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και πλησιάζει η πηγή. δ. η πηγή είναι ακίνητη και πλησιάζει ο παρατηρητής. 38. Το φαινόμενο Doppler: α. αξιοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας των αεροπλάνων με το ραντάρ. β. συμβαίνει όταν παρατηρητής και ηχητική πηγή κινούνται με την ίδια ταχύτητα. γ. γίνεται αντιληπτό μόνο από ακίνητο παρατηρητή. δ. αξιοποιείται από τους γιατρούς για τον έλεγχο των καταγμάτων. 39. Ακίνητη πηγή παράγει ήχο συχνότητας f S = 1000 Hz. Παρατηρητής Α κινείται με ταχύτητα μέτρου υ Α = 170 m/s απομακρυνόμενος από την πηγή. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s, i. Πόσα κύματα εκπέμπει η πηγή σε χρόνο t = 5 s; α. 200 β γ δ ii. Πόσα κύματα αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής στον ίδιο χρόνο; α. 100 β. 500 γ δ Παρατηρητής πλησιάζει επιβραδυνόμενος προς ακίνητη πηγή, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f s. Ποιο από τα διαγράμματα αποδίδει τη συχνότητα f A του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο; f A f A f A f A α. β. γ. δ. t t t t 41. Ακίνητος παρατηρητής αρχίζει, τη χρονική στιγμή t o = 0, αρχίζει να κινείται ως προς ακίνητη πηγή, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f s. Αν ο παρατηρητής κινείται επί της ευθείας που τον συνδέει με την πηγή και η σχέση της συχνότητας f Α του ήχου που αντιλαμβάνεται αυτός σε συνάρτηση με το χρόνο t, δίνεται από το διπλανό διάγραμμα, τότε ο παρατηρητής: α. πλησιάζει προς την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα. β. απομακρύνεται από την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα. γ. πλησιάζει προς την πηγή κινούμενος με σταθερή επιτάχυνση. δ. απομακρύνεται από την πηγή κινούμενος με σταθερή επιτάχυνση. f A f S. t Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 17

19 42. Ακίνητος παρατηρητής ακούει ήχο που έρχεται από κινούμενη ηχητική πηγή, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f s, που αρχικά τον πλησιάζει. Ποιο από τα διαγράμματα αποδίδει τη συχνότητα f A του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο; f A f A f A f A α. β. γ. δ. t t t t 43. Παρατηρητής στέκεται ακίνητος στη θέση ισορροπίας ταλάντωσης, που εκτελείται από ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f s. Ποιο από τα διαγράμματα αποδίδει καλύτερα τη συχνότητα f A του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο; f A f A f A f A f S α. f S f S β. γ. T t T t T t f S δ. T t 44. Ένας παρατηρητής Α πλησιάζει προς ακίνητη ηχητική πηγή με ταχύτητα u A. Αν με u συμβολίσουμε την ταχύτητα διάδοσης του ήχου ως προς το μέσο διάδοσης, τότε η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή είναι: α. u-u A. β. u+u A. γ. u A -u. δ. 2u A -u. 45. Ακίνητος παρατηρητής διαπιστώνει ότι ο λόγος των συχνοτήτων που αντιλαμβανόταν και αντιλαμβάνεται από κινούμενη ηχητική πηγή, κινούμενη με σταθερή S u S ταχύτητα και στην ίδια διεύθυνση, αφότου περάσει από μπροστά του είναι 8/9. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι 340 m/s, το μέτρο της ταχύτητας της πηγής είναι: 46. Πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας f S και μήκους κύματος λ S πλησιάζει προς ακίνητο παρατηρητή A με ταχύτητα u S. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος λ Α που είναι ίσο με: α. λ A =λ S u S T S. β. λ A =λ S + u S T S. γ. λ A =λ S u S f S. δ. λ A =λ S +u S f S. 47. Ηχητική πηγή και παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Ο παρατηρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που παράγει η πηγή, μόνο όταν α. η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής απομακρύνεται από αυτήν. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 18

20 β. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή απομακρύνεται από αυτόν. γ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με τον παρατηρητή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτήν της πηγής. δ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με την πηγή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο ταχύτητα μικρότερη από αυτήν του παρατηρητή. 48. Σταθμευμένο σειρηνοφόρο όχημα u αν εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f S. Ακίνητος παρατηρητής που το παρακολουθεί αντιλαμβάνεται ότι ανά μονάδα χρόνου δέχεται Ν κύματα. Ξαφνικά αρχίζει να φυσά άνεμος σταθερής ταχύτητας από τον παρατηρητή προς το όχημα, με ταχύτητα ίση με το 2% της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Ποια θα είναι η συχνότητα του ήχου της σειρήνας ως ακουστεί από τον ακροατή, όταν φυσάει ο άνεμος; α. 0,98 f S β. 0,99 f S γ. f S δ. 1,02 f S 49. Ηχητική πηγή απομακρύνεται με ταχύτητα μέτρου u S από παρατηρητή που την καταδιώκει στην ίδια ευθεία με ταχύτητα μέτρου u Α. Αν ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα f Α, η πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας: 50. Στο φαινόμενο Doppler και στα ηχητικά κύματα, ένας ακίνητος παρατηρητής Α και ένας κινούμενος παρατηρητής Β αντιλαμβάνονται τον ήχο που προέρχεται από μια: α. ακίνητη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα. β. κινούμενη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα. γ. ακίνητη ηχητική πηγή να διαδίδεται με το ίδιο μήκος κύματος. δ. κινούμενη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια συχνότητα. 51. Κινείστε με σταθερή ταχύτητα μέτρου 18 προς ακλόνητο εμπόδιο, που βρίσκεται στην ίδια διεύθυνση με εσάς. Αν εκπέμπεται ήχο συχνότητας 272 Hz και η ταχύτητα του ήχου ισούται με u ηχ = 345, ακούτε διακρότημα συχνότητας α. 8 Hz β. 6 γ. 3 δ Στο φαινόμενο Doppler, αν fs είναι η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει μια πηγή, τότε η συχνότητα f A που αντιλαμβάνεται παρατηρητής που κινείται σε σχέση με την πηγή δίνεται από τη σχέση. Στη σχέση αυτή οι ταχύτητες έχουν μετρηθεί ως προς σύστημα αναφοράς: α. τον παρατηρητή. β. την πηγή. γ. το μέσον διάδοσης του ήχου. δ. οποιοδήποτε κινούμενο σώμα σε σχέση με τη Γη. 53. Όταν συμβαίνει φαινόμενο Doppler: α. μεταβάλλεται η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή κυμάτων. β. ο παρατηρητής και η ηχητική πηγή κινούνται με την ίδια ταχύτητα. γ. η απόσταση μεταξύ παρατηρητή και πηγής ήχου αλλάζει. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 19

21 δ. η απόσταση μεταξύ παρατηρητή και πηγής ήχου παραμένει σταθερή. 54. Στο φαινόμενο Doppler η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής οφείλεται μόνο: α. στο πόσο μεγάλη είναι η ένταση του ήχου. β. στο πόσο γρήγορα κινείται η πηγή που δημιουργεί το κύμα. γ. στο πόσο γρήγορα κινείται ο παρατηρητής. δ. στον αριθμό των μεγίστων που φτάνουν στον παρατηρητή στη μονάδα του χρόνου. 55. Δύο τρένα Α και Β προσεγγίζουν ένα σταθμό από αντίθετες κατευθύνσεις, ηχώντας τις σφυρίχτρες τους. Ακίνητος παρατηρητής στην πλατφόρμα αναμονής επιβατών δεν αντιλαμβάνεται κανένα διακρότημα. Εάν οι ταχύτητες των Α και Β είναι κατά μέτρο 15 m/s και 30 m/s αντίστοιχα και η πραγματική συχνότητα της σφυρίχτρας του Β είναι 600 Hz, η πραγματική συχνότητα της σφυρίχτρας του Α είναι (ταχύτητα του ήχου 330 m/s) α. 540 Hz β. 570 Hz γ. 630 Hz δ. 660 Hz 56. Απαραίτητη προϋπόθεση για να ακούει ένας παρατηρητής συχνότητα μεγαλύτερη από αυτή που εκπέμπει η πηγή είναι: α. η πηγή ήχων και ο παρατηρητής η μεταξύ τους απόσταση να μειώνεται. β. η πηγή να είναι ακίνητη. γ. ο παρατηρητής να είναι ακίνητος. δ. η πηγή ήχων και ο παρατηρητής να απομακρύνονται. 57. Ηχητική πηγή πλησιάζει ακίνητο παρατηρητή. Αν η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχει μεταβολή κατά 20% σε σχέση με τον ήχο που εκπέμπει η πηγή, η ταχύτητά της πηγής σε σχέση με την ταχύτητα του ήχου υ ηχ είναι: Ερωτήσεις Ανάπτυξης 58. Ας υποθέσουμε ότι στέκεστε στην πλατφόρμα των επιβατών ενός σιδηροδρομικού σταθμού. Καθώς ο προαστιακός προσεγγίζει το σταθμό, σταδιακά αρχίζει να επιβραδύνεται. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, ο οδηγός ακούει την κόρνα με σταθερή συχνότητα 300 Hz. Τι μεταβολές στη συχνότητα θα αντιλαμβάνονται οι επιβάτες που αναμένουν την άφιξη του τρένου στην πλατφόρμα; 59. Το κόκκινο όχημα του γειτονικού σχήματος εισέρχεται στην κυκλική διαδρομή και αρχίζει να διαγράφει κύκλους με ταχύτητα σταθερού μέτρο. Να περιγράψετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνονται: α. Η ακίνητη κυρία στην άκρη του πεζοδρομίου. β. Ο ποδηλάτης που κινείται επί της κυκλικής διαδρομής. γ. Ο οδηγός του ταξί, αν κινείται κι αυτός επί της κυκλικής διαδρομής. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 20

22 δ. Η ακίνητη νηφάλια κοπέλα, στο κέντρο της πλατείας. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής με τεκμηρίωση 60. Αυτοκίνητο της τροχαίας κινείται σε ευθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα u ηχ /10 και έχει ενεργοποιημένη τη σειρήνα του, η οποία παράγει ήχο συχνότητας f S. Μοτοσικλετιστής που προπορεύεται και κινείται με ταχύτητα μέτρου το μισό από αυτό της ταχύτητας του αυτοκινήτου, ακούει ήχο με συχνότητα f A για την οποία ισχύει α.. β.. γ.. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 61. Μια πηγή ήχου που πλησιάζει προς ακίνητο παρατηρητή εκπέμπει ήχο συχνότητας f s που διαδίδεται με ταχύτητα. Για να αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα που εκπέμπει η πηγή, πρέπει να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα α. 2. β.. γ.. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 62. Μια ηχητική πηγή S εκπέμπει ηχητικά κύματα συχνότητας f s που διαδίδονται στον αέρα με ταχύτητα υ. α. Να γράψετε την εξίσωση της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής ο οποίος πλησιάζει την ακίνητη πηγή με σταθερή ταχύτητα υ Α, και τη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής αν είναι αυτός ακίνητος και τον πλησιάζει η πηγή με σταθερή ταχύτητα υ s =υ Α. β. Εάν είναι υ > υ Α, ποια από τις δύο συχνότητες είναι μεγαλύτερη; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. [ΟΕΦΕ 2003] 63. Μια ηχητική πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα προς ακίνητο παρατηρητή. Τα μήκη κύματος που εκπέμπει η πηγή προς την κατεύθυνση του παρατηρητή, πριν και μετά τη διέλευση της από αυτόν, διαφέρουν μεταξύ τους κατά λ/10, όπου λ το μήκος κύματος που εκπέμπει η πηγή όταν είναι ακίνητη. Αν υ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο λόγος είναι α. 0,2. β. 0,1. γ. 0,05. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 64. Σώμα Σ, προσδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, τη χρονική στιγμή t 0 = 0 αρχίζει να εκτελεί στον οριζόντιο άξονα γραμμική αρμονική ταλάντωση, συχνότητας f = 0,2 Hz, όπως φαίνεται στο σχήμα. Πάνω στο σώμα Σ βρίσκεται ηχητική πηγή που είναι δεμένη ακλόνητα ως προς το σώμα Σ. Για χρονικό διάστημα από 0 έως 2,5 sec η ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας f s, τον οποίο ο ακίνητος παρατηρητής, που βρίσκεται συνεχώς δεξιά από το ταλαντούμενο σύστημα, αντιλαμβάνεται με συχνότητα f Α fs. Αν θεωρήσετε ως θετική φορά της κίνησης τη φορά προς O Σ Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 21

23 τα δεξιά, τότε: α. Η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ δίνεται από τη σχέση : ( ) ( ) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. β. στη διάρκεια των 2,5sec, ο παρατηρητής θα αντιληφθεί ήχο με την μέγιστη συχνότητα για : i. 1 φορά, ii. 2 φορές, iii. 3 φορές Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. [ΟΕΦΕ 2007] 65. Στην ευθεία x x κινείται όχημα με ταχύτητα υs μικρότερη της ταχύτητας υ του ήχου στον αέρα. Από το όχημα εκπέμπεται ήχος ακουστής συχνότητας f S και μήκους κύματος λ S =u/f S. Στην ίδια ευθεία και πίσω από το όχημα βρίσκονται δύο παρατηρητές Α 1 και Α 2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο παρατηρητής Α 1 είναι ακίνητος και ακούει ήχο συχνότητας f A1, ενώ μετράει μήκος κύματος λ Α1. Ο παρατηρητής Α 2 κινείται προς την ίδια φορά με το όχημα έχοντας ταχύτητα υ 2 < υs, οπότε ακούει ήχο συχνότητας f A2, ενώ μετράει μήκος κύματος λ Α2. Τότε ισχύει: i. f A1 < f A2, ii. f A1 > f A2 iii. f A1 = f A2 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. [ΟΕΦΕ 2009] 66. Στην ευθεία x x κινείται όχημα με ταχύτητα υ s μικρότερη της ταχύτητας υ του ήχου στον αέρα. Από το όχημα εκπέμπεται ήχος ακουστής συχνότητας f S και μήκους κύματος λ S =u/f S. Στην ίδια ευθεία και πίσω από το όχημα βρίσκονται δύο παρατηρητές Α 1 και Α 2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο παρατηρητής Α 1 είναι ακίνητος και ακούει ήχο συχνότητας f A1, ενώ μετράει μήκος κύματος λ Α1. Ο παρατηρητής Α 2 κινείται προς την ίδια φορά με το όχημα έχοντας ταχύτητα υ 2 < υs, οπότε ακούει ήχο συχνότητας f A2, ενώ μετράει μήκος κύματος λ Α2. Τότε ισχύει: i. f A1 < f A2 και λ Α1 > λ Α2 > λ S. ii. f A1 > f A2 και λ Α1 < λ Α2 < λ S. iii. f A1 < f A2 και λ Α1 = λ Α2 > λ S. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. [ΟΕΦΕ 2009] 67. Επάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται δύο μικρά και όμοια σώματα ίδιας μάζας, που φέρουν το ένα πομπό (Π) και το άλλο δέκτη (Δ) ηχητικών κυμάτων. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 22

24 Αρχικά το σώμα που φέρει τον πομπό, κινείται με κατεύθυνση προς το ακίνητο σώμα που φέρει το δέκτη, με ταχύτητα μέτρου, όπου u ηχ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Ο δέκτης, πριν την κρούση, καταγράφει συχνότητα f 1 και μετά την κρούση καταγράφει συχνότητα f 2. Το πηλίκο είναι ίσο με: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. [ΟΕΦΕ 2011] 68. Ηχητική πηγή S και παρατηρητής Α είναι αρχικά ακίνητοι σε απόσταση d = 50m μεταξύ τους. Τη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή αρχίζει να κινείται προς τον παρατηρητή με σταθερή ταχύτητα μέτρου us = 20 m/s και ταυτόχρονα αρχίζει να εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας fs = 400Hz. Το πλήθος των ηχητικών μεγίστων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή που η πηγή φθάνει σε αυτόν είναι: i. 500, ii. 1000, iii Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. [ΟΕΦΕ 2012] 69. Μια ηχητική πηγή κινούμενη με σταθερή ταχύτητα πλησιάζει και προσπερνά ακίνητο παρατηρητή Α. Οι συχνότητες του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής καθώς η πηγή τον πλησιάζει και καθώς απομακρύνεται από αυτόν είναι f 1 και f 2 αντίστοιχα. Οι δύο συχνότητες συνδέονται με τη σχέση f 1 =2 f 2. Η ταχύτητα της πηγής και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου συνδέονται με τη σχέση: Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 70. Δύο πλοία Α και Β βρίσκονται στο λιμάνι, το Α ακίνητο, ενώ το Β κινείται πάνω στην ευθεία που τα συνδέει. Τα δύο πλοία εκπέμπουν ταυτόχρονα ήχους ίδιας συχνότητας. Ο ήχος που αντιλαμβάνεται ο πλοίαρχος του Α είναι α. μεγαλύτερης συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο πλοίαρχος του Β. β. μικρότερης συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο πλοίαρχος του Β. γ. ίδιας συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο πλοίαρχος του Β. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 71. Μια πηγή κινούμενη με ταχύτητα απομακρύνεται από κινούμενο παρατηρητή ο οποίος κινείται με ταχύτητα κατευθυνόμενος προς την πηγή. Η πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας f s, μήκους κύματος λ s, ο οποίος κινείται στον αέρα με ταχύτητα. α. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει ταχύτητα διάδοσης ως προς αυτόν. β. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει μήκος κύματος. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 23

25 γ. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει συχνότητα. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 72. Ένας παρατηρητής απομακρύνεται από ακίνητη ηχητική πηγή με σταθερή ταχύτητα. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μειωμένη σε σχέση με αυτή που εκπέμπει η πηγή. Το μήκος κύματος λ Α του ήχου που φτάνει στον παρατηρητή σε σχέση με το μήκος κύματος λ που εκπέμπει η πηγή είναι α. λ Α <λ. β. λ Α >λ. γ. λ Α =λ. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 73. Μια ηχητική πηγή βρίσκεται μεταξύ δυο ακίνητων παρατηρητών Α και Β. Η πηγή εκπέμπει ηχητικά κύματα που έχουν μήκος κύματος λ s και συχνότηταs f s. O παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα ηχητικά κύματα να έχουν μήκος κύματος λ Α = 0,9 λ S. Επομένως: 1) α) η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή Α. β) η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή Α. γ) η πηγή είναι ακίνητη. 2) Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος: i) λ B = 0,9 λ S. ii) λ B = 0,9 λ S iii) λ B = 0,9 λ S Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 74. Ένας παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Α προς ακίνητη πηγή ήχου που εκπέμπει κύματα συχνότητας f s και μήκους κύματος λ s. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα ηχητικά κύματα να διαδίδονται με ταχύτητα η οποία είναι κατά 10% μεγαλύτερη από αυτήν που αντιλαμβάνεται όταν είναι ακίνητος. Η συχνότητα του ήχου f Α που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και η συχνότητα συνδέονται με τη σχέση f s α. f Α =1,05 f s β. f Α =1,1 f s γ. f Α =1,2 f s Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 75. Μια ακίνητη πηγή ήχου S εκπέμπει ήχο συχνότητας f s. Ένας παρατηρητής πλησιάζει την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα. Η πηγή εκπέμπει μέγιστα ήχου Ν S σε χρονικό διάστημα Δt. Ο παρατηρητής στο χρονικό διάστημα θα αντιλαμβάνεται μέγιστα ήχου για τα οποία ισχύει: α. Ν S = Ν A β. Ν S > Ν A γ. Ν S < Ν A Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 76. Πηγή κινείται με ταχύτητα, όπου η ταχύτητα του ήχου ως προς τον αέρα. Μπροστά από την πηγή, σε μεγάλη απόσταση, υπάρχει ακίνητο κατακόρυφο εμπόδιο (τοίχος) στο οποίο ο ήχος μπορεί να ανακλαστεί. Ανάμεσα στην πηγή και στο εμπόδιο υπάρχει ένας παρατηρητής Α ο οποίος κατευθύνεται προς το εμπόδιο με ταχύτητα. Η πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας f s. Ο ήχος μετά την ανάκλαση του στον κατακόρυφο τοίχο γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή με συχνότητα f Α. Οι δύο συχνότητες συνδέονται με τη σχέση: α.. β.. γ.. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 24

26 Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 77. Περιπολικό κινούμενο κατά μήκος ευθύγραμμης λεωφόρου με ταχύτητα μέτρου u s = u ηχ /10 πλησιάζει σε μια διασταύρωση που έχει φανάρια, όταν εκείνη τη στιγμή περνάει το κόκκινο φανάρι αυτοκίνητο με ταχύτητα μέτρου u A =u ηχ /8, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η σειρήνα του περιπολικού έχει συχνότητα f s και η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι δύο δρόμοι είναι φ (δίνεται ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8), ο λόγος της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παραβάτης οδηγός προς τη συχνότητα της σειρήνας είναι: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 78. Ακίνητη ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f s = 680 Hz. Στην ίδια ευθεία που διέρχεται από την ηχητική πηγή και σε μικρή απόσταση από αυτήν, κινείται όχημα με σταθερή ταχύτητα μέτρου 40 m/s απομακρυνόμενο από την πηγή. Τη χρονική στιγμή t = 0, αρχίζει να φρενάρει προσδίδοντας στο όχημα σταθερή επιβράδυνση ίδιας διεύθυνσης με την ταχύτητάς του και μέτρο 5 m/s 2. Η συχνότητα του ήχου που γίνεται αντιληπτός από τον οδηγό του αυτοκινήτου τη χρονική στιγμή t = 2s είναι: α. 560 Hz β. 620 Hz γ. 680 Hz Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 79. Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών B και A κινείται πηγή με σταθερή ταχύτητα us πλησιάζοντας προς τον A. Τα μήκη κύματος που φτάνουν στους παρατηρητές A και B είναι λ A και λ Β αντίστοιχα. Όταν η πηγή είναι ακίνητη εκπέμπει ήχο μήκους κύματος λ. Το μήκος κύματος λ και τα μήκη κύματος λ Α και λ Β συνδέονται με τη σχέση α.. β.. γ. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ερωτήσεις Αντιστοίχισης 80. Δύο αυτοκίνητα (1) και (2) κινούνται ευθύγραμμα και ομόρροπα με ταχύτητες u 1 u 2 μέτρων u 1 =40 m/s και u 2 =20 m/s και αντίστοιχα. Τα αυτοκίνητα πλησιάζουν προς κατακόρυφο τοίχο στη βάση του οποίου έχουμε τοποθετήσει έναν ανιχνευτή ηχητικών κυμάτων. Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία το αυτοκίνητο (2) προπορεύεται του (1), ο οδηγός του (2) πιέζει την κόρνα του, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f S =640 Hz. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα με εκείνα της δεύτερης, τεκμηριώνοντας τις επιλογές σας. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 25

27 Συχνότητα του Α. ήχου που καταγράφει ο ανιχνευτής στη βάση του τοίχου Β. του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου (1) απ ευθείας από το αυτοκίνητο (2) Γ. του ήχου που ανακλάται από τον τοίχο, όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου (1) Δ. του ήχου που ανακλάται από τον τοίχο, όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου (2) Τιμή (σε Hz) Στα ακόλουθα σχήματα δίνονται υ S = 80 m/s και f S = 400 Hz. Αν υ A = 50 m/s, ποια είναι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε κάθε μια από τις περιπτώσεις; S u S u A A ,81 Hz Β. S u S ,15 Hz u S S u A Γ ,43 Hz u S S u A Δ ,19 Hz u S S Ε ,08 Hz Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 26

28 Φυσική Προσανατολισμού Γ Λυκείου Λυμένα Παραδείγματα1 Ένας ακίνητος παρατηρητής A A βρίσκεται ανάμεσα σε δυο Π1 Π2 𝒖𝟐 𝒖𝟏 πανομοιότυπες πηγές κυμάτων Π1 και Π2, οι οποίες κατευθύνονται προς τον παρατηρητή και εκπέμπουν κύματα ίδιας συχνότητας fs = 697,2 Hz. Οι ταχύτητες των δυο πηγών είναι u1 = 4 m/s και u2 = 8 m/s. α) Ποιες είναι οι συχνότητες fα1 και fα2 των δύο ήχων που ακούει ο παρατηρητής; β) Ποια τα μήκη κύματος λα1 και λα2 των δύο ήχων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής; γ) Ποια η συχνότητα του σύνθετου ήχου και ποια η συχνότητα των διακροτημάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Για τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής από την πηγή Π 1 ισχύει ότι: 1. Για τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής από την πηγή Π2 ισχύει ότι: β) Επειδή ο παρατηρητής είναι ακίνητος αντιλαμβάνεται ότι ο ήχος έχει ταχύτητα u= 340 m/s (βλ. Παρατήρηση 5). Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής για το κύμα της κάθε πηγής, ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα ακόλουθα μήκη κύματος: γ) Oι δύο ήχοι έχουν παραπλήσιες συχνότητες και θα δημιουργήσουν διακροτήματα. Για τη συχνότητα fτ του σύνθετου ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ισχύει: Για τη συχνότητα fδ του διακροτήματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ισχύει: 2. Ένα ασθενοφόρο 𝒖𝑺 που κινείται με 𝒖𝑨 𝒖𝑩 σταθερή ταχύτητα us = 25m/s σε ευθύγραμμο δρόμο έχει ενεργοποιημένη την σειρήνα του και εκπέμπει ήχο συχνότητας fs = 945 Hz. Στη διεύθυνση κίνησης του ασθενοφόρου υπάρχουν ακόμα ένας ποδηλάτης Α που κινείται 1 Τα λυμένα παραδείγματα προέρχονται από τη συλλογή ασκήσεων της ιστοσελίδας του Υπουργείου Παιδείας Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 27

29 ομόρροπα με το ασθενοφόρο με ταχύτητα u A = 10 m/s και βρίσκεται μπροστά από αυτό και μοτοσικλετιστής Β που κινείται αντίθετα από το ασθενοφόρο με σταθερή ταχύτητα u B και βρίσκεται μπροστά από το ασθενοφόρο και αυτός. Για τις συχνότητες του ήχου f A και f B που αντιλαμβάνονται ο ποδηλάτης και ο μοτοσικλετιστής αντίστοιχα, ισχύει ότι. Να βρεθούν: α) η συχνότητα f A που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης. β) η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή u B. γ) ο λόγος, όπου και, οι ταχύτητες διάδοσης του ήχου που αντιλαμβάνονται ο ποδηλάτης και ο μοτοσικλετιστής αντίστοιχα. δ) ο λόγος, όπου λ Α και λ Β,, τα μήκη κύματος που αντιλαμβάνονται ο ποδηλάτης και ο μοτοσικλετιστής αντίστοιχα. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Ο ποδηλάτης απομακρύνεται από πηγή που τον πλησιάζει και συνεπώς η συχνότητα που αντιλαμβάνεται είναι: β) Ο μοτοσικλετιστής πλησιάζει την πηγή, η οποία τον πλησιάζει και αυτή, και συνεπώς η συχνότητα που αντιλαμβάνεται είναι: Από τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε: γ) Η ταχύτητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής u ηχα εξαρτάται από την ταχύτητα του παρατηρητή u A και είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα της πηγής. Ισχύει ότι: Όταν παρατηρητής πλησιάζει την πηγή:. Όταν παρατηρητής απομακρύνεται την πηγή:. όπου u η ταχύτητα του ήχου ως προς ακίνητο παρατηρητή. Οι ταχύτητες του ήχου που αντιλαμβάνονται ο ποδηλάτης και ο μοτοσικλετιστής αντίστοιχα θα είναι συνεπώς: Οπότε: δ) Το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα της πηγής και είναι ανεξάρτητο από την ταχύτητα του παρατηρητή. Ισχύει ότι: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 28

30 Αν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα u S τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται μήκος κύματος (δηλαδή ). Aν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα u S, τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται μήκος κύματος (δηλαδή ). Το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται κάθε παρατηρητής εξαρτάται από την ταχύτητα της πηγής και την θέση του παρατηρητή. Οι δυο παρατηρητές είναι μπροστά από την πηγή που τους πλησιάζει οπότε και για τους δύο παρατηρητές Α και Β ισχύει η πρώτη περίπτωση. Συνεπώς: 3. Πηγή ήχου S κινείται με σταθερή ταχύτητα u S σε ευθύγραμμη τροχιά και εκπέμπει ήχο συχνότητας f S. Στην ίδια ευθεία βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής ο οποίος ακούει ήχο με συχνότητα f Α1 = 680 Hz, όταν η πηγή τον πλησιάζει, ενώ ακούει ήχο με συχνότητα όταν η πηγή απομακρύνεται από αυτόν. Ζητείται: α) η ταχύτητα με την οποία κινείται η πηγή. β) η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. γ) το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής όταν η πηγή τον πλησιάζει και όταν η πηγή απομακρύνεται από αυτόν. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Επειδή η πηγή κινείται προς ακίνητο παρατηρητή, αυτός αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας: Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον ίδιο ακίνητο παρατηρητή, αυτός αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας: Συνεπώς: β) Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) λαμβάνουμε f S = 660 Hz. γ) Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα u S, αυτός αντιλαμβάνεται μήκος κύματος. Συνεπώς: Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα u S, αυτός αντιλαμβάνεται μήκος κύματος. Συνεπώς: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 29

31 4. Η σειρήνα ενός u S u ασθενοφόρου που Α κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά με σταθερή ταχύτητα μέτρου u S = 40 m/s εκπέμπει ήχο με συχνότητα f S =600 Hz για χρονικό διάστημα Δt S =3,5 s. Ένας παρατηρητής κινείται αντίθετα από το ασθενοφόρο με σταθερή ταχύτητα μέτρου u A = 10m/s. Να βρεθούν: α) η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. β) το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει το ασθενοφόρο καθώς και το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α. γ) ο αριθμός των μεγίστων που εκπέμπει η σειρήνα του ασθενοφόρου. δ) η χρονική διάρκεια του ήχου που ακούει ο παρατηρητής. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Επειδή ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή και η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή ισχύει ότι : β) Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής για ακίνητο παρατηρητή ισχύει ότι: Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα u S, αυτός αντιλαμβάνεται μήκος κύματος. Συνεπώς: γ) Ο αριθμός των κυμάτων που εκπέμπει η πηγή υπολογίζεται εύκολα από τον ορισμό της συχνότητας: δ) Όσα κύματα εκπέμπει η πηγή τόσα θα ακούσει και ο παρατηρητής. Συνεπώς: Ένας παρατηρητής Α κινείται με ταχύτητα u A = m/s κατευθυνόμενος προς ακίνητη πηγή ήχου, η S u Α A οποία εκπέμπει κύματα συχνότητας f S =68 Hz και μήκους κύματος λ S, για χρονικό διάστημα Δt S = 10s. α) Ποια είναι η συχνότητα και ποιο το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής καθώς πλησιάζει την πηγή; β) Πόσο έχει μετατοπισθεί ο παρατηρητής στο χρονικό διάστημα που ακούει δύο διαδοχικά μέγιστα ήχου; γ) Πόση είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μέγιστων του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής; Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 30

32 δ) Να βρεθεί η απόσταση πηγής-παρατηρητή τη χρονική στιγμή που φτάνει σε αυτόν το 1 ο μέγιστο ήχου αν γνωρίζουμε ότι την ίδια στιγμή η πηγή εκπέμπει το τελευταίο μέγιστο ήχου. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Ο παρατηρητής κινείται προς ακίνητη πηγή, οπότε: Επειδή κινείται ο παρατηρητής και όχι η πηγή, θα αντιλαμβάνεται το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπεται από αυτήν. Δηλαδή β) Το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών μεγίστων ήχου ισούται με την περίοδο του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής: Στο χρονικό αυτό διάστημα ο παρατηρητής έχει μετατοπιστεί κατά Δs γ) Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μέγιστων του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής ισούται με το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται. Συνεπώς δ) Ο αριθμός των κυμάτων (μεγίστων) που εκπέμπονται από την πηγή είναι: Τόσα θα αντιλαμβάνεται και ο παρατηρητής, αλλά κατά ένα λιγότερα, μιάς και όταν φθάνει σε αυτόν το πρώτο κύμα, τότε εκπέμπεται από την πηγή το τελευταίο. Συνεπώς η μεταξύ τους απόσταση θα είναι: 6. Μια αμαξοστοιχία πλησιάζει έναν ακίνητο παρατηρητή κινούμενη με σταθερή ταχύτητα και τη στιγμή που η σειρήνα του απέχει d = 680 m από τον παρατηρητή εκπέμπει ήχο συχνότητας f S = 800 Hz για χρονικό διάστημα Δt S = 8,5s. Ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f A = 850 Hz. Να υπολογιστούν: α) η ταχύτητα της αμαξοστοιχίας. β) το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. γ) το χρονικό διάστημα για το οποίο ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας. δ) η απόσταση αμαξοστοιχίας παρατηρητή την στιγμή που ο παρατηρητής σταμάτησε να ακούει τον ήχο. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Η κινούμενη πηγή κινείται προς ακίνητο παρατηρητή, οότε: ( ) ( ) Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 31

33 β) Η αμαξοστοιχία πλησιάζει τον ακίνητο παρατηρητή με ταχύτητα u S, οπότε αυτός αντιλαμβάνεται μήκος κύματος. Συνεπώς: u S γ) Ο αριθμός των κυμάτων (μεγίστων) που εκπέμπονται από την πηγή είναι όσα και τα κύματα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Συνεπώς: } δ) Ο παρατηρητής ακούει τον ήχο της σειρήνας της αμαξοστοιχίας για 8s. Ο ήχος κινείται με σταθερή ταχύτητα και για να διανύσει την απόσταση των 680 m απαιτείται χρονικό διάστημα: Επομένως, από την στιγμή που ξεκινά το πρώτο μέγιστο από την αμαξοστοιχία μέχρι να φτάσει και το τελευταίο στον παρατηρητή διέρχεται χρόνος: Η αμαξοστοιχία στο χρονικό αυτό διάστημα μετατοπίστηκε κατά: και η μεταξύ τους απόσταση θα είναι 480 m. 7. Ένα σώμα Σ 1 που έχει πάνω του προσαρμοσμένο δέκτη ηχητικών κυμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον οριζόντιο άξονα x Ox με εξίσωση ( ) (SI). Στον θετικό ημιάξονα και σε απόσταση μεγαλύτερη από το πλάτος ταλάντωσης βρίσκεται ακίνητη μια σειρήνα που παράγει ηχητικά κύματα συχνότητας f S = 850 Hz. Να βρεθούν: α) ποια είναι η ελάχιστη και ποια είναι η μέγιστη συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει ο δέκτης. β) πόσες φορές σε χρονική διάρκεια Δt = π s ο ανιχνευτής μετρά ήχο ίδιας συχνότητας με τον ήχο που εκπέμπει η πηγή. γ) η συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης σε σχέση με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες για χρονικό διάστημα ίσο με μια περίοδο της ταλάντωσης. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 32

34 Λύση α) Όπως αναφέρθηκε και στη θεωρία (παρατήρηση 13.2) ο δέκτης θα ανιχνεύει τη μέγιστη συχνότητα τη στιγμή που θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, κινούμενος προς τον ηχητικό πομπό, ενώ θα ανιχνεύει την ελάχιστη συχνότητα τη στιγμή που θα S A.Θ. A Θ.Ι. A.Θ. βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, απομακρυνόμενος από τον ηχητικό πομπό. Η πηγή ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,4m, γωνιακή συχνότητα ω= 10 r/s, η ταλάντωση εμφανίζει αρχική φάση φ ο =3π/2. Στη θέση ισορροπίας ο ηχητικός πομπός κινείται με τη μέγιστη ταχύτητα, η οποία κατά μέτρου ισούται με: Κατά συνέπεια: β) Για να ανιχνεύει ο δέκτης την ίδια συχνότητα με αυτήν που εκπέμπει η ηχητική πηγή, πρέπει να ισχύει. Μιας και ο πομπός είναι ακίνητος, η ταύτιση θα συμβαίνει στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης, όπου στιγμιαία ο δέκτης ακινητοποιείται. Σε μία περίοδο της ταλάντωσης το σώμα που ταλαντώνεται διέρχεται από τις ακραίες θέσεις δύο φορές. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι: Ο αριθμός των ταλαντώσεων που πραγματοποιούνται σε χρόνο Δt είναι: Συνεπώς ο δέκτης θα καταγράψει ίδια συχνότητα με αυτήν του πομπού στο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα 10 φορές. γ) Η ταχύτητα του ανιχνευτή λαμβάνεται από τη σχέση: ( ) Συνεπώς η συχνότητα που θα αντιλαμβάνεται θα είναι: ( ) ( ) Οι τιμές της συχνότητας κυμαίνονται στην περιοχή [840 Hz 860 Hz]. Η γραφική παράσταση της εξέλιξης της συχνότητας με το χρόνο, σε μία περίοδο της ταλάντωσης φαίνεται στο γειτονικό σχήμα. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 33

35 f A (Hz) (O,0) 0,1π t (s) Τα δελφίνια χρησιμοποιούν σύστημα εκπομπής και λήψης υπερήχων για να 8. εντοπίζουν την τροφή τους. Ένα ακίνητο δελφίνι παρακολουθεί ένα κοπάδι ψάρια που το πλησιάζουν με ταχύτητα u A. Το δελφίνι εκπέμπει έναν υπέρηχο συχνότητας f S = 78,396 khz, ο οποίος αφού ανακλαστεί στο κινούμενο κοπάδι ψαριών, ανιχνεύεται από το δελφίνι ως υπέρηχος συχνότητας f 2 = 79,524 khz. Τα ψάρια αντιλαμβάνονται το δελφίνι τη χρονική στιγμή t=0 και αντιστρέφοντας αμέσως την ταχύτητά τους (χωρίς να αλλάξουν το μέτρο της) αρχίζουν να απομακρύνονται από αυτό. Το δελφίνι παραμένει ακίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή t = 3 s και στη συνέχεια αρχίζει να κυνηγά το κοπάδι κινούμενο με σταθερή ταχύτητα u Δ =20m/s. Να βρεθούν: α) το μέτρο της ταχύτητας u A των ψαριών. β) η συχνότητα του υπερήχου που ανιχνεύει το ακίνητο δελφίνι καθώς τα ψάρια απομακρύνονται από αυτό. γ) ποια χρονική στιγμή το δελφίνι θα φτάσει στο κοπάδι ψαριών αν τα ψάρια πλησίασαν το δελφίνι σε απόσταση d = 120 m και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το κοπάδι αλλά και το δελφίνι έως τότε. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στο θαλασσινό νερό u = 1400 m/s. Λύση α) Το δελφίνι εκπέμπει συχνότητα f S = 78,396 khz παίζοντας ρόλο ακίνητου πομπού. Ο κοπάδι των ψαριών παίζει ρόλο κινούμενου παρατηρητή, που αντιλαμβάνεται συχνότητα f A1 (βλέπε παρατήρηση 12): Ο ήχος ανακλάται στο κοπάδι ψαριών, που τώρα παίζει ρόλο κινούμενης πηγής με συχνότητα f A1, ενώ το δελφίνι παίζει ρόλο ακίνητου παρατηρητή που λαμβάνει κύμα συχνότητας: Από το συνδυασμό των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 34

36 β) Το δελφίνι εκπέμπει συχνότητα f S = 78,396 khz παίζοντας ρόλο ακίνητου πομπού. Όταν το κοπάδι απομακρύνεται παίζει ρόλο κινούμενου παρατηρητή, που αντιλαμβάνεται συχνότητα f A3 : Ο ήχος ανακλάται στο κοπάδι ψαριών, που τώρα παίζει ρόλο κινούμενης πηγής με συχνότητα f A3, ενώ το δελφίνι παίζει ρόλο ακίνητου παρατηρητή που λαμβάνει κύμα συχνότητας: Από το συνδυασμό των σχέσεων (3) και (4) έχουμε: γ) Το δελφίνι και το κοπάδι εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Απλά το δελφίνι ξεκινά με καθυστέρηση τριών δευτερολέπτων. Οπότε, όπως φαίνεται και από τη γεωμετρία του σχήματος: u S d δ u A d d κ Οι αποστάσεις που θα έχουν διανύσει το δελφίνι και το κοπάδι θα είναι αντίστοιχα: Το σώμα Σ 1 του σχήματος έχει μάζα m 1 = 1 kg κα φέρει ενσωματωμένο ανιχνευτή 9. ήχου και αρχικά ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατά d = A = 0,2 m προς την αρνητική κατεύθυνση και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Στη διεύθυνση ταλάντωσης και στο σημείο Γ υπάρχει ακίνητη πηγή ήχου που εκπέμπει κύματα συχνότητας f S = 510 Hz. Όταν το Σ 1 βρίσκεται σε απομάκρυνση m κατευθυνόμενο προς την ηχητική πηγή, συγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ 2, μάζας m 2 = 3 kg, το οποίο κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου u 2 = 3 m/s. Να βρεθούν: α) η μέγιστη τιμή της συχνότητας που θα καταγράψει ο ανιχνευτής πριν την κρούση. β) η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής ελάχιστα πριν την κρούση. γ) η σχέση που δίνει τη συχνότητα που ανιχνεύει ο ανιχνευτής σε συνάρτηση με το χρόνο πριν την κρούση, θεωρώντας t = 0 την στιγμή που το Σ 1 είναι στη θέση ισορροπίας του και κινείται προς τα θετικά. δ) η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής αμέσως μετά την κρούση καθώς και το Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 35

37 ποσοστό της επί % μεταβολής της συχνότητας που καταγράφει ο δέκτης κατά την κρούση. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση S Σ 2 α) Όπως αναφέρθηκε και στη θεωρία (παρατήρηση 13.2) ο δέκτης θα ανιχνεύει τη μέγιστη συχνότητα τη στιγμή που θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, κινούμενος προς τον ηχητικό πομπό, ενώ θα ανιχνεύει την ελάχιστη συχνότητα τη στιγμή που θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, απομακρυνόμενος από τον ηχητικό πομπό. Στη θέση ισορροπίας ο ηχητικός ο δέκτης κινείται με τη μέγιστη ταχύτητα, η οποία κατά μέτρου ισούται με: Συνεπώς: β) Η ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται λίγο πριν τη σύγκρουση είναι: Επειδή ο δέκτης κινείται προς την πηγή του ήχου θα ανιχνεύει συχνότητα: γ) Η ταχύτητα του ανιχνευτή λαμβάνεται από τη σχέση: Συνεπώς η συχνότητα που θα αντιλαμβάνεται θα είναι: ( ) Οι τιμές της συχνότητας κυμαίνονται στην περιοχή [507 Hz 513 Hz]. δ) Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής κατά την πλαστική κρούση έχουμε: Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση έχει τη φορά κίνησης του σώματος Σ 2 πριν την κρούση. Δηλαδή, ο δέκτης μετά την κρούση απομακρύνεται από τον ηχητικό πομπό και αμέσως μετά την κρούση ανιχνεύει συχνότητα: Το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας λόγω της κρούσης είναι: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 36

38 Ένα σώμα Σ 1, μάζας m 1 = 1 kg, που φέρει ενσωματωμένη σειρήνα συχνότητας f S = Hz, κινείται στον οριζόντιο άξονα x x και προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου u 1. Μπροστά από το Σ 1 κινείται προς την ίδια κατεύθυνση ένα δεύτερο σώμα Σ 2, μάζας m 2 = 2m 1, με ταχύτητα μέτρου u 2 = 5 m/s. Ένας ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα x x και δεξιότερα από τα δύο σώματα. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα Σ 1 απέχει 120 m από τον παρατηρητή, ο οποίος αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας να έχει συχνότητα f A =561 Hz. Μετά από χρονικό διάστημα Δt το Σ 1 φτάνει στο Σ 2 και συγκρούεται με αυτό πλαστικά. Το συσσωμάτωμα αφού κινηθεί για χρονικό διάστημα Δt προσπερνά τον παρατηρητή τη χρονική στιγμή t = 2 Δt. Να βρεθούν: α) η ταχύτητα του σώματος Σ 1 πριν την κρούση του με το Σ 2. β) η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α μετά την πλαστική κρούση. γ) η χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα προσπερνά τον παρατηρητή. δ) και να σχεδιαστεί σε αριθμημένους άξονες το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε σχέση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση S A. u S Σ 2 u 2 d 1 d 2 d α) Ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα f A από την κινούμενη πηγή που τον πλησιάζει: β) Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής για την πλαστική κρούση έχουμε: και το συσσωμάτωμα κινείται προς τον ακίνητο παρατηρητή Α, ο οποίος αμέσως μετά την κρούση αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας: γ) Το σειρηνοφόρο όχημα χρειάζεται χρόνο Δt για να φθάσει στο προπορευόμενο όχημα και άλλο τόσο χρόνο, ως μέλος του συσσωματώματος, για να περάσει μπροστά από τον ακίνητο παρατηρητή. Όπως φαίνεται και από τη γεωμετρία του σχήματος: δ) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τρεις διαφορετικής συχνότητας ήχους. Από η ηχητική πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή, που αντιλαμβάνεται ήχο μήκους κύματος: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 37

39 Από η ηχητική πηγή-συσσωμάτωμα πλησιάζει τον παρατηρητή, που αντιλαμβάνεται ήχο μήκους κύματος: Από η ηχητική πηγή-συσσωμάτωμα απομακρύνεται από τον παρατηρητή, που αντιλαμβάνεται ήχο μήκους κύματος: Το διάγραμμα που περιγράφει χρονικά το φαινόμενο είναι το ακόλουθο: λ A (m) 0,663 0,625 0,606 (O,0) t (s) Ένα περιπολικό που στέκεται ακίνητο στην άκρη του δρόμου έχει σειρήνα που 11. εκπέμπει κύματα συχνότητας f S = 510 Hz. Ένας ποδηλάτης (παρατηρητής Α) που βρίσκεται ακίνητος ακριβώς δίπλα στο περιπολικό ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με α A = 1 m/s 2 απομακρυνόμενος από αυτό. Την ίδια χρονική στιγμή το περιπολικό ενεργοποιεί τη σειρήνα του. Ένας αθλητής (παρατηρητής Β) κινείται με σταθερή ταχύτητα u B πλησιάζοντας το περιπολικό και αντιλαμβάνεται συχνότητα ήχου f B. Τη χρονική στιγμή t = 18 s ο ποδηλάτης αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f A που διαφέρει από την f B κατά 36 Hz. α) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κινείται ο αθλητής καθώς και η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται. β) Να βρεθεί η συχνότητα f A του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να γίνει σε αριθμημένους άξονες το διάγραμμα της συχνότητας f A του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα. δ) Να βρεθεί αριθμός των μεγίστων που άκουσε συνολικά ο ποδηλάτης στο χρονικό διάστημα. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση α) Ο ποδηλάτης εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 38

40 οπότε τη στιγμή t=18 s u B έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρου: u A = a t = 18 m/s. Την ίδια στιγμή αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας: u S 0 a A Ο αθλητής πλησιάζει την ακίνητη ηχητική πηγή, οπότε αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας: Συνεπώς, αντιλαμβάνεται ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από τον ποδηλάτη, οπότε: Άρα: β) Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι: γ) Το διάγραμμα φαίνεται στο γειτονικό σχήμα. δ) ΤΟ εμβαδόν της γραφικής παράστασης f A =f(t) μας δίνει τον αριθμό των κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Άρα και των μεγίστων. Από το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν του σχήματος, που είναι τραπέζιο έχουμε: Ένας ακίνητος παρατηρητής ενώ βρίσκεται στο μέσο Μ μιας γέφυρας ΑΒ μήκους L 12. αντιλαμβάνεται σε απόσταση d, από το άκρο Α της γέφυρας, ένα τρένο να πλησιάζει με ταχύτητα Μέτρου u S. Ταυτόχρονα ακούει τον ήχο της σειρήνας του τρένου η οποία έχει συχνότητα f S = 300 Hz, ενώ αυτός αντιλαμβάνεται τον ήχο της με συχνότητα f A = 340 Hz. Ο παρατηρητής αρχίζει αμέσως να τρέχει (θεωρούμενη χρονική στιγμή t = 0) με σταθερή ταχύτητα μέτρου u A = 8 m/s προς το άκρο Β της γέφυρας και χρειάζεται χρόνο t A να φτάσει σε αυτό. Ο μηχανοδηγός από την απόσταση d που βρίσκεται ενεργοποιεί το σύστημα φρένων του τρένου, δίνει σε αυτό σταθερή επιτάχυνση α = -0,5 m/s 2 και ακινητοποιεί το τρένο στο άκρο Β της γέφυρας μετά από χρονικό διάστημα t A. Να υπολογίσετε: α) την αρχική ταχύτητα του τρένου. β) το μήκος L της γέφυρας καθώς και τη συνολική απόσταση που διέτρεξε το τρένο μέχρι να σταματήσει. γ) τις συναρτήσεις που δίνουν τις θέσεις του τρένου και του παρατηρητή σε σχέση με το χρόνο για όλο το χρονικό διάστημα της επιβραδυνόμενης κίνησης του τρένου. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 39

41 Να θεωρήσετε x = 0 τη θέση του τρένου τη χρονική στιγμή t=0. Να σχεδιάσετε τις συναρτήσεις σε κοινό ορθογώνιο αριθμημένο σύστημα αξόνων. δ) ποια ήταν η τελευταία συχνότητα που αντιλήφθηκε ο παρατηρητής πριν τον προσπεράσει το τρένο. (το αποτέλεσμα να δοθεί με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου). Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u = 340 m/s. Λύση u S u Α x=0 d L L/2 α) Αρχικά ο παρατηρητής είναι ακίνητος και αντιλαμβάνεται συχνότητα f A = 640 Hz. Οπότε: ( ) ( ) β) Το τρένο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη μέχρι να ακινητοποιηθεί. Συνεπώς: Στον ίδιο χρόνο ο παρατηρητής εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Έτσι: Από την εξίσωση της μετατόπισης στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη λαμβάνουμε: Συμπεραίνουμε ότι τη στιγμή t=0 το τρένο απείχε από τη γέφυρα απόσταση: γ) Από την εξίσωση της μετατόπισης στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη λαμβάνουμε: Ο παρατηρητής, τη χρονική στιγμή t=0, βρίσκεται στο μέσον της γέφυρας και σε απόσταση από την αρχή μέτρησης των αποστάσεων: Συνεπώς η εξίσωση της μετατόπισής του είναι: Οι εξισώσεις κίνησης σε κοινό διάγραμμα φαίνονται στο γειτονικό διάγραμμα. δ) Το τρένο φθάνει τον παρατηρητή τις στιγμές κατά τις οποίες είναι x A =x S. Από τις εξισώσεις κίνησης των δύο κινητών έχουμε: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 40

42 Από την επίλυση του τριωνύμου προκύπτουν οι ρίζες: Η πρώτη ρίζα αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που το τρένο προσπερνά τον παρατηρητή πάνω στη γέφυρα, ενώ η δεύτερη ρίζα στη χρονική στιγμή που ο παρατηρητής φτάνει ταυτόχρονα με το τρένο στην άκρη της γέφυρας, όπου και ακινητοποιείται. Όταν το τρένο προσπερνά τον κινούμενο παρατηρητή έχει στιγμιαία ταχύτητα: { Τη στιγμή αυτή η ηχητική πηγή κινείται προς τον παρατηρητή και ο παρατηρητής απομακρύνεται της πηγής. Συνεπώς: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 41

43 Ασκήσεις προς λύση 1. Τρένο πλησιάζει προς διασταύρωση και εκπέμπει ήχο συχνότητας 700 Hz για χρονικό διάστημα 15s. Ακίνητος παρατηρητής, που στέκεται στη διασταύρωση αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας 750 Hz. Για πόσο χρόνο θα ακούσει ο παρατηρητής την ηχητική εκπομπή από το τρένο; ) 2. Περιπολικό που κινείται με ταχύτητα μέτρου 22 m/s, καταδιώκει μοτοσικλετιστή, που κινείται στην ίδια ευθεία. Η σειρήνα του περιπολικού εκπέμπει ήχο συχνότητας 176 Hz, ενώ και οι δυο τους κινούνται προς ακλόνητη σειρήνα συχνότητας 165 Hz. Υπολογίστε την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή, γνωρίζοντας ότι αυτός δεν αντιλαμβάνεται κανένα διακρότημα. (Ταχύτητα του ήχου u ηχ = 330 m/s) 2m/s) 3. Μία νυχτερίδα εκπέμπει υπερηχητικά κύματα με συχνότητα 56kHz. Η νυχτερίδα πετά με ταχύτητα μέτρου m/s προς σκώρο, που πετά μακριά με 8 m/s. Η ταχύτητα του ήχου είναι 340,0 m / s. α. Υποθέτοντας ότι ο σκώρος θα μπορούσε να ανιχνεύσει τα κύματα, τι συχνότητας κύματα θα αντιλαμβανόταν; 58,1 β. Τα κύματα ανακλώνται από το σκώρο και ανιχνεύονται από τη νυχτερίδα. Ποια είναι η συχνότητα των κυμάτων που ανιχνεύονται από τη νυχτερίδα; 60,1 4. Η σειρήνα περιπολικού που κινείται με ταχύτητα μέτρου 20 m/s σε μεγάλη ευθεία, εκπέμπει ήχο συχνότητας 640 Hz. Στην ίδια ευθεία κινείται μοτοσικλετιστής, που αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας 720 Hz. Ποια η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή; (Ταχύτητα του ήχου u ηχ = 340 m/s) (-20m/s) 5. Σειρηνοφόρο όχημα κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u S = 72 km/h, εκπέμποντας ήχο συχνότητας f S = 500 Hz. Αν ό ήχος διαδίδεται με ταχύτητα u ηχ = 340 m/s, ποια τα μήκη κύματος του ήχου της σειρήνας μπροστά και πίσω από το όχημα; (0,64 m, 0,72 m) 6. Το όχημα Ο 1 του σχήματος κινείται με ταχύτητα μέτρου 20 m/s προς το ακλόνητο εμπόδιο, εκπέμποντας ήχο σταθερής u 2 Ο 2 Ο 1 συχνότητας. Δεχόμενοι ότι ό ήχος διαδίδεται με ταχύτητα u ηχ = 340 m/s, ποιος ο λόγος των συχνοτήτων που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Ο 2 ; 7. Τρένο Α κινείται πάνω σε ευθεία τροχιά με ταχύτητα μέτρου u A = 30 m/s και εκπέμπει ήχο συχνότητας f A = 500 Hz προς τρένο Β, που βρίσκεται σε σημαντική απόσταση και κινείται προς την αντίθετη φορά στη γειτονική σιδηροτροχιά, με ταχύτητα μέτρου u Β = 15 m/s. α. Ποιες συχνότητες αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός του δεύτερου τρένου, μέχρι να απομακρυνθούν το ένα από το άλλο; β. Ποιες συχνότητες θα αντιλαμβανόταν ο μηχανοδηγός του δεύτερου, μέχρι να απομακρυνθούν το ένα τρένο από το άλλο, αν ταυτόχρονα φυσούσε σταθερός άνεμος u 1 Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 42

44 ταχύτητας μέτρου u αν = 9 m/s, με φορά από το Β προς το Α; 8. Ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας f S =500 Hz και περνά μπροστά από ακίνητο παρατηρητή, ο οποίος αντιλαμβάνεται μεταβολή στην συχνότητας που ακούει κατά 100 Hz. Αν η ηχητική πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u S = 40 m/s, ποια η συχνότητα του ήχου που πραγματικά εκπέμπεται από την πηγή; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου u ηχ = 340 m/s. 9. Ακίνητος παρατηρητής προσπαθεί να επιβεβαιώσει όσα έμαθε σχετικά με το φαινόμενο Doppler και στέκεται στην άκρη σιδηροτροχιάς, μελετώντας ένα τρένο που αρχικά τον πλησιάζει και μετά απομακρύνεται από αυτόν. Γνωρίζει ότι η σειρήνα του τρένου εκπέμπει ήχους συχνότητας f S = 1000 Hz. Δεδομένου ότι ο παρατηρητής δεν μπορεί να ανιχνεύσει μεταβολές στη συχνότητα μικρότερες των 20Hz, ποια είναι η ελάχιστη ταχύτητα του τρένου που μπορεί να ανιχνεύσει με την εφαρμογή του φαινομένου Doppler; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου u ηχ = 340 m/s. 10. Ακίνητο σειρηνοφόρο όχημα σε ευθύ δρόμο, εκπέμπει ηχητικό παλμό συχνότητας 680Hz για χρονικό διάστημα 12s. Ο οδηγός μικρού οχήματος, που κινείται στον ίδιο δρόμο, αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας 600 Hz. α. Το μικρό όχημα πλησιάζει ή απομακρύνεται από το σειρηνοφόρο όχημα; β. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας του μικρού οχήματος; γ. Επί πόσο χρόνο ο οδηγός του μικρού οχήματος ακούει τον ηχητικό παλμό; Δίνεται ταχύτητα του ήχου u ηχ = 340 m/s. 11. Οδηγός απομακρύνεται από ακλόνητο κατακόρυφο εμπόδιο, εκπέμποντας ήχο συχνότητας 682 Hz. Λίγο αργότερα αντιλαμβάνεται σύνθετο ήχο, με 20 μέγιστα σε χρονικό διάστημα 5s. Αν ταχύτητα του ήχου είναι u ηχ = 340 m/s, με πόση ταχύτητα απομακρύνεται; 12. Αεροπλάνο πετά σε αρκετό ύψος h πάνω από το έδαφος με ταχύτητα u S =0,4 u ηχ, όπου u ηχ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου. Δύο ακίνητοι παρατηρητές Α και Β βρίσκονται στο έδαφος, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το αεροπλάνο (στον άξονα πτήσης) και απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 1,5 h. Αν το αεροπλάνο εκπέμπει ήχους συχνότητας f S, να βρεθεί ο λόγος των συχνοτήτων που αντιλαμβάνονται οι παρατηρητές από τους ήχους που εκπέμφθηκαν όταν το αεροπλάνο βρισκόταν στη μεσοκάθετο της ΑΒ. 13. Αεροπλάνο πετά σε ύψος h = 900 m πάνω από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα u S = 360 km/h,. Δύο ακίνητοι παρατηρητές Α και Β, που βρίσκονται στο έδαφος, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το αεροπλάνο (στον άξονα πτήσης) και απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 1350 m, ακούν τον ήχο που εξέπεμψε το αεροπλάνο όταν βρισκόταν επί της κατακορύφου που διέρχεται από το μέσον της απόστασης d. Αν το αεροπλάνο εκπέμπει ήχους συχνότητας f S, να βρεθεί ο λόγος των συχνοτήτων που αντιλαμβάνεται ο κάθε παρατηρητής ως προς τη συχνότητα του ήχου που παράγεται από το αεροπλάνο. Δίνεται ταχύτητα του ήχου u ηχ = 340 m/s. Ικάρων, 1964 Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 43

45 14. Παρατηρητής Α και ηχητικός πομπός S στέκονται μεταξύ τους ακίνητοι σε απόσταση d = 200 m. Τη στιγμή t 0 = 0 αρχίζουν να κινούνται ισοταχώς ο ένας προς τον άλλον. Διασταυρώνονται μετά από χρονικό διάστημα t = 5s και ακολούθως συνεχίζουν να απομακρύνονται στην ίδια διεύθυνση. Ο παρατηρητής διαπιστώνει με κατάλληλο όργανο ότι ο λόγος των συχνοτήτων που αντιλαμβανόταν πριν και μετά τη συνάντηση είναι 209/273. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι u ηχ = 300 m/s, ποια τα μέτρα των ταχυτήτων παρατηρητή και πομπού; 15. Τα τρία οχήματα του σχήματος, A, B και Γ κινούνται σε ευθύγραμμο αυτοκινητόδρομο. Τα μέτρα των ταχυτήτων τους είναι u 1 =20m/s, u 2 =30 m/s και u 3 =20m/s αντίστοιχα, όπως στο σχήμα. Τα οχήματα A και B κινούνται προς την ίδια Β u 2 Α u 1 u 3 Γ κατεύθυνση και προπορεύεται το όχημα Α, ενώ το όχημα Γ έρχεται από την αντίθετη κατεύθυνση. Το όχημα εκπέμπει ήχο συχνότητας f s =930Hz. α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος A. β. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Γ. γ. Τα οχήματα B και Γ διασταυρώνονται, οπότε στη συνέχεια απομακρύνεται το ένα από το άλλο, να υπολογίσετε τη νέα συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Γ. δ. Ο οδηγός του οχήματος Α τη χρονική στιγμή t=0, ενώ προηγείται του οχήματος Β, πατάει γκάζι και προσδίδει στο όχημά του σταθερή επιτάχυνση α=2m/s 2 για χρονικό διάστημα 5s, παραμένοντας σε όλη τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης προπορευόμενος του οχήματος Β. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο οδηγός A συναρτήσει του χρόνου σε αριθμημένους άξονες για το χρονικό διάστημα των 5s. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u ηχ =340m/s. Οι πράξεις να γίνουν με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου. 16. Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά k=400n/m και έχει στο ένα άκρο του στερεωμένο ένα σώμα, Σ 1, μάζας m 1 =1kg που φέρει ενσωματωμένο ένα δέκτη ήχου, Δ. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,4m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή που το σώμα Σ 1 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ 2, μάζας m 2 =3kg, το οποίο φέρει ενσωματωμένη πηγή ήχου συχνότητας f s =688Hz. Να βρείτε: α. την ταχύτητα του σώματος Σ 1 ελάχιστα πριν τη σύγκρουση. β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 αμέσως μετά τη σύγκρουση καθώς και το πλάτος της νέας ταλάντωσης. γ. τη συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης όταν το σώμα Σ 1 διέρχεται για 1 η και για 2 η φορά Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 44

46 μετά την κρούση από την απομάκρυνση x 1 =-0,1 m. Να θεωρήσετε θετικό τον ημιάξονα προς τα δεξιά. δ. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ 1 τη στιγμή που ανιχνεύει συχνότητα f A =680Hz. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, u ηχ =340m/s. 17. Ένα περιπολικό με τη σειρήνα του σε λειτουργία κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υs = 20 m/s, ανάμεσα σε δύο παρατηρητές Α και B. O παρατηρητής Α ακούει ήχο συχνότητας f A = 425 Hz, ενώ ο παρατηρητής B ακούει ήχο βαρύτερο από αυτόν που ακούει o παρατηρητής Α. α. Το περιπολικό κινείται προς τον παρατηρητή Α ή προς τον παρατηρητή Β; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου της σειρήνας που θα άκουγε καθένας από τους δύο παρατηρητές, αν το περιπολικό σταματούσε να κινείται; γ. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής B, όταν ο παρατηρητής Α ακούει ήχο συχνότητας f A = 425 Hz; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =340 m/s. [ΟΕΦΕ 2004] 18. Ένας παρατηρητής Α και ένα περιπολικό S που θεωρούμε ως πηγή ήχου, κινούνται απομακρυνόμενοι ο ένας από τον άλλον στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες μέτρου υ Α = 20 m/s και υ s =20m/s αντίστοιχα. Το περιπολικό εκπέμπει ήχο συχνότητας f s = 360Hz για χρονικό διάστημα Δt s = 4s. Για τον ήχο που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητή A να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα διάδοσής του. β. Το μήκος κύματός του. γ. Τη συχνότητά του. δ. Τη χρονική του Δt A διάρκεια. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u ηχ = 340 m/s. 19. Σώμα Σ, μάζας Μ=3kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f = Hz σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η απόσταση των ακραίων θέσεων της τροχιάς του είναι 0,2m. Πάνω στο σώμα Σ βρίσκεται προσαρμοσμένη ηχητική πηγή αμελητέας μάζας, που εκπέμπει ήχο με συχνότητα f s = 676 Hz. Δεύτερο σώμα, μάζας m = 1kg, που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ=2 m/s, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα Σ, τη στιγμή που αυτό βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : Μ m - Α x=0 +A Α. Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 45

47 Β. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ από την θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που ξεκινά αμέσως μετά την κρούση. Να θεωρήσετε ως χρονική στιγμή t ο =0 τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά τη θετική φορά της ταλάντωσης του σώματος Σ πριν την κρούση. Γ. Ακίνητος δέκτης ηχητικών κυμάτων βρίσκεται στη διεύθυνση της ταλάντωσης του σώματος Σ. α. Να βρεθεί η μέγιστη συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο δέκτης μετά την κρούση. β. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα Σ τη στιγμή που ο δέκτης καταγράφει την πραγματική συχνότητα που εκπέμπει η πηγή μετά την κρούση. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =340 m/s. [ΟΕΦΕ 2006] 20. Ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται σε απόσταση d = m από ακίνητη ηχητική πηγή. Τη στιγμή t o = 0 αρχίζει να κινείται προς την πηγή και όταν φθάνει ακριβώς δίπλα της διαπιστώνει ότι ο λόγος της συχνότητας που αντιλαμβανόταν προς την πραγματική συχνότητα της πηγής είναι 5/4. α. Τι είδους κίνηση εκτελεί ο παρατηρητής; β. Ποιο το χρονικό διάστημα που απαιτήθηκε για να καλυφθεί η διαδρομή d; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =340 m/s. 21. Διαπασών, που παράγει ήχο συχνότητας f S = 435 Hz αφήνεται να πέσει από ψηλό κτίριο, χωρίς αρχική ταχύτητα. Παρατηρητής Α βρίσκεται 80 m κατακόρυφα πιο κάτω. Ποια η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής: α. Δύο δευτερόλεπτα πριν περάσει από μπροστά του το διαπασών; β. Δύο δευτερόλεπτα αφότου περάσει από μπροστά του το διαπασών; Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =340 m/s και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2. (ΣΜΑ, 1961) 22. Διαπασών, που παράγει ήχο συχνότητας f S = 418 Hz αφήνεται να πέσει από ψηλό κτίριο, χωρίς αρχική ταχύτητα. Παρατηρητής Α βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο επί του εδάφους παρακολουθεί την κίνηση και αντιλαμβάνεται συχνότητα f A = 440 Hz τη στιγμή που το διαπασών βρίσκεται σε ύψος h = 100 m από πάνω του. Από ποιο ύψος αφέθηκε να πέσει το διαπασών; Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =340 m/s και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s Σε κυκλικό στίβο προπονείται αθλητής. Σε κάποια απόσταση από το στίβο βρίσκεται πηγή ηχητικών κυμάτων, η οποία εκπέμπει ήχους συχνότητας f S = 19,8 Hz. Ο αθλητής μόλις που αντιλαμβάνεται τον ήχο σε ένα σημείο της διαδρομής του. Αν το όριο Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 46

48 ακουστότητας του αθλητή είναι 20 Hz, ποια είναι η ταχύτητα του αθλητή, αν θεωρήσουμε ότι έχει σταθερό ρυθμό; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =340 m/s. 24. Αεροπλάνο κινείται προς στόχο, με τους κινητήρες του να παράγουν ήχο συχνότητας f S = 800 Hz. Θεωρώντας ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι u ηχ =332 m/s, με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται το αεροπλάνο, ώστε να μη γίνεται ο ήχος αντιληπτός από παρατηρητή στο στόχο, ο οποίος έχει ανώτερο όριο ακουστών συχνοτήτων τα Hz; Ικάρων, Παρατηρητής A βρίσκεται σε απόσταση ΑΚ = 589 m από ευθύγραμμη σιδηροδρομική γραμμή, επί της οποίας κινείται τρένο S, που κινείται με ταχύτητα μέτρου u S = 72 km/h και κινείται προς το σημείο Κ. Κάποια στιγμή ο παρατηρητής ακούει συχνότητα f A1 = 927 Hz από τη σειρήνα του τρένου, ενώ γνωρίζει ότι η σειρήνα κανονικά εκπέμπει ήχο συχνότητας f S = 900 Hz. Σε πόση απόσταση από το σημείο Κ βρισκόταν το τρένο όταν ο παρατηρητής άκουσε τη συχνότητα f A1 και σε ποια θέση βρισκόταν το τρένο όταν εξέπεμψε τον ήχο; ΕΜΠ, Χημικών Μεταλλειολόγων, Σώμα είναι στερεωμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου. Το σώμα εκτελεί ΓΑΤ σε λείο οριζόντιο δάπεδο με. Τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση όπου ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του είναι μέγιστος, προσκολλάται πάνω του σώμα που φέρει διαπασών συνολικής μάζας κινούμενο κατακόρυφα. Δ1. α. Να υπολογίσετε το νέο πλάτος Α. β. αν για t=0 να βρεθεί η x=f(t). Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που ακούει ακίνητος παρατηρητής που βρίσκεται στη διεύθυνση της ΓΑΤ σε απόσταση 30 cm κατά τη θετική κατεύθυνση από τη Θ.Ι.Τ Δ2. ακριβώς μετά την κρούση Δ3. όταν το συσσωμάτωμα διέρχεται από την ΘΙΤ για 1 η φορά. Η συχνότητα του διαπασών είναι ενώ η ταχύτητα του ήχου. Δ4. Αν το σώμα m και το διαπασών δεν είναι κολλημένα αλλά απλώς ακουμπάνε, ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής ώστε το σώμα που έχει το διαπασών να μην ολισθαίνει πάνω στο Μ. Δίνεται g =10 m/s 2. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 47

49 Θέματα που έχουν τεθεί στις πανελλήνιες εξετάσεις 1 ο ΘΕΜΑ A. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα υ A ακίνητη ηχητική πηγή και αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f A. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ, τότε η συχνότητα f S του ήχου που εκπέμπει η πηγή είναι ίση με υ -υ α. f A. β. f A. γ. f A. δ. Α f A. υ Μονάδες 5 (Επαν. Ημερησίου 2003) 1.3. Ηχητική πηγή και παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Ο παρατηρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που παράγει η πηγή, μόνο όταν α. η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής απομακρύνεται από αυτήν. β. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή απομακρύνεται από αυτόν. γ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με τον παρατηρητή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτήν της πηγής. δ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με την πηγή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο ταχύτητα μικρότερη από αυτήν του παρατηρητή. Μονάδες 5 (Επαν. Ημερησίου 2006) 1.4. Ένας παρατηρητής βρίσκεται ακίνητος στην αποβάθρα ενός σταθμού την ώρα που πλησιάζει ένα τρένο, το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η σειρήνα του τρένου εκπέμπει ήχο συχνότητας f S. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι α. ίση με τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός του τρένου. β. μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός του τρένου. γ. μικρότερη από τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός του τρένου. δ. ίση με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η σειρήνα του τρένου. Μονάδες 5 (Ομογενείς 2007) 1.5. Δεν έχουμε φαινόμενο Doppler όταν α. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και απομακρύνεται η πηγή. β. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα. γ. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και πλησιάζει η πηγή. δ. η πηγή είναι ακίνητη και πλησιάζει ο παρατηρητής. Μονάδες 5 (Επαν. Ημερησίου 2007) 1.6. Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υ A προς ακίνητη πηγή ήχου S, όπως φαίνεται στο σχήμα, αρχικά πλησιάζοντας και στη συνέχεια απομακρυνόμενος απ αυτή. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο με συχνότητα που είναι Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 48

50 α. συνεχώς μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής. β. συνεχώς μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής. γ. αρχικά μεγαλύτερη και στη συνέχεια μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής. δ. αρχικά μικρότερη και στη συνέχεια μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής. Μονάδες 5 (Ομογενείς 2008) 1.7. Μία ηχητική πηγή πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα προς έναν ακίνητο παρατηρητή και εκπέμπει ήχο συχνότητας f S και μήκους κύματος λ. Τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο α. με συχνότητα μικρότερη της f S. β. με συχνότητα ίση με την f S. γ. με μήκος κύματος μικρότερο του λ. δ. με μήκος κύματος ίσο με το λ. Μονάδες 5 (Ημερήσιο 2011) 1.8. Παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα υ Α από ακίνητη ηχητική πηγή, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f S. Το διάνυσμα της ταχύτητας βρίσκεται στην ευθεία πηγής παρατηρητή. Aν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ, η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι υ υ - υ υ Α A - υ υ + υα α. f A = f s. β. f A = f s. γ. f A = f s. δ. f A = f s. υ - υ υ υ υ Α Μονάδες 5 (Ομογενείς 2011) 1.9. Μικρότερη συχνότητα ακούει ένας παρατηρητής σε σχέση με την πραγματική συχνότητα του ήχου που παράγει μια πηγή, όταν πηγή και παρατηρητής α. είναι ακίνητοι. β. κινούνται στην ίδια ευθεία, διατηρώντας σταθερή την μεταξύ τους απόσταση. γ. πλησιάζουν μεταξύ τους κινούμενοι στην ίδια ευθεία. δ. απομακρύνονται μεταξύ τους κινούμενοι στην ίδια ευθεία. Μονάδες 5 (Ομογενείς 2013) Όταν ένας παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα από μια ακίνητη πηγή ήχου, κινούμενος στην ευθεία που τον συνδέει με την πηγή, ο ήχος που ακούει έχει συχνότητα α. ίση με αυτήν της πηγής β. μικρότερη από αυτήν της πηγής γ. μεγαλύτερη από αυτήν της πηγής δ. ίση με τη συχνότητα του ήχου που ακούει, όταν πλησιάζει την πηγή με την ίδια ταχύτητα. Μονάδες 5 (Ομογενείς 2015) Β. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις με Σ αν τις κρίνετε σωστές και με Λ όσες κρίνετε λανθασμένες Το φαινόμενο Doppler ισχύει και στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται από τους γιατρούς, για να παρακολουθούν τη ροή του αίματος. Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 49

51 1.9.3 Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετική από αυτή που ισχύει για τον ήχο Καθώς παρατηρητής πλησιάζει ακίνητη ηχητική πηγή, αντιλαμβάνεται ήχο του οποίου η συχνότητα είναι μεγαλύτερη από αυτήν που παράγει η πηγή Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής, καθώς μια ηχητική πηγή πλησιάζει ισοταχώς προς αυτόν, είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή Η συχνότητα του ήχου της σειρήνας του τρένου, την οποία αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός, είναι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης σταθερή Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα μια ακίνητη ηχητική πηγή, τότε ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) από αυτόν που παράγει η πηγή Βασιζόμενοι στο φαινόμενο Doppler μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ταχύτητα ενός άστρου σε σχέση με τη Γη Το φαινόμενο Doppler ισχύει για κάθε μορφής κύμανση, ακόμη και για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει μια ακίνητη ηχητική πηγή, η συχνότητα την οποία ακούει είναι μικρότερη από αυτήν που παράγει η πηγή Το φαινόμενο Doppler αξιοποιείται από τους γιατρούς για την παρακολούθηση της ροής του αίματος Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετική από αυτήν που ισχύει για τον ήχο. Γ. Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενού Ένας παρατηρητής ακούει ήχο µε συχνότητα... από τη συχνότητα µιας πηγής, όταν η μεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται. ( Ημερησίου 2003) Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 50

52 2 ο ΘΕΜΑ 2.1 Ένας παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Α προς ακίνητη σημειακή ηχητική πηγή. Οι συχνότητες που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, πριν και αφού διέλθει από την ηχητική πηγή, διαφέρουν μεταξύ τους κατά, όπου f s η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η ηχητική πηγή. Αν υ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο λόγος είναι ίσος με: α. 10. β.. γ.. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ( Ημερησίου 2003) 2.2 Μια ηχητική πηγή κινείται με ταχύτητα υ S ίση με το μισό της ταχύτητας του ήχου, πάνω σε μια ευθεία ε πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή Π 1 ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή Π 2. Οι παρατηρητές βρίσκονται στην ίδια ευθεία με την ηχητική πηγή. Ο λόγος της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π 1 προς την αντίστοιχη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π 2 είναι α. 2. β. 1. γ. 3. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμα. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ( Ομογενείς 2005) 2.3 Σε σημείο ευθείας ε βρίσκεται ακίνητη ηχητική πηγή S που εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας. Πάνω στην ίδια ευθεία ε παρατηρητής κινείται εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα είναι μέγιστη, όταν αυτός βρίσκεται α. στη θέση ισορροπίας Ο της ταλάντωσής του κινούμενος προς την πηγή. β. σε τυχαία θέση της ταλάντωσής του απομακρυνόμενος από την πηγή. γ. σε μία από τις ακραίες θέσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Ημερήσιο 2006) 2.4 Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών Β και Α κινείται πηγή S με σταθερή ταχύτητα υ S πλησιάζοντας προς τον Α. Οι παρατηρητές και η πηγή βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η πηγή εκπέμπει ήχο μήκους κύματος λ, ενώ οι παρατηρητές Α και Β αντιλαμβάνονται μήκη κύματος λ 1 και λ 2 αντίστοιχα. Τότε για το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή θα ισχύει: λ α. 1 λ λ 2 λ1 - λ. β. 2 λ1 λ2 λ. γ. λ. 2 2 λ λ Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Ημερήσιο 2007) 2.5 Πηγή ηχητικών κυμάτων κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου, 1 2 Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 51

53 όπου υ το μέτρο της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται στην ευθεία κίνησης της πηγής. Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή, αυτός αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f 1, και όταν η πηγή απομακρύνεται απ αυτόν, ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f 2. Ο λόγος f f 1 2 ισούται με α.. β.. γ.. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Επαν. Ημερήσιο 2008) 2.6 Ηχητική πηγή S εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f S. Όταν η πηγή πλησιάζει με ταχύτητα μέτρου υ ακίνητο παρατηρητή Α, κινούμενη στην ευθεία «πηγής- παρατηρητή», ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f 1. Όταν ο παρατηρητής Α, κινούμενος με ταχύτητα μέτρου υ, πλησιάζει την ακίνητη πηγή S, κινούμενος στην ευθεία «πηγήςπαρατηρητή», αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f 2. Τότε είναι : α. f 1 > f 2. β. f 1 = f 2. γ. f 1 < f 2. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Επαν. Ημερήσιο 2009) 2.7 Ένα τρένο εκπέμπει ήχο και κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από το τρένο ανακλάται στο βράχο αυτό. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται κοντά στις γραμμές και πίσω από το τρένο ακούει τον ήχο που προέρχεται από το τρένο με συχνότητα f 1 και τον εξ ανακλάσεως ήχο από το βράχο με συχνότητα f 2. Τότε ισχύει ότι α. f 1 < f 2. β. f 1 = f 2. γ. f 1 > f 2. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Ομογενείς 2009) 2.8 Μια ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας και κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στην ευθεία που κινείται η πηγή βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής όταν τον έχει προσπεράσει είναι κατά 30% μικρότερη από τη συχνότητα που αντιλαμβανόταν, όταν τον πλησίαζε η πηγή. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ, τότε η ταχύτητα της πηγής είναι α.. β.. γ.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Επαν. Ημερήσιο 2010) 2.9 Παρατηρητής Α κινείται προς την ηχητική πηγή S με ταχύτητα υ Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ηχητική πηγή S κινείται ομόρροπα με τον παρατηρητή Α με ταχύτητα υ S =2υ Α και εκπέμπει ήχο συχνότητας f S. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α είναι Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 52

54 α. μικρότερη της f S. β. ίση με την f S. γ. μεγαλύτερη από την f S. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ( Ομογενείς 2010) 2.10 Αυτοκίνητο με ταχύτητα υ A = 10 υ (όπου υ η ταχύτητα του ήχου ως προς τον ακίνητο αέρα) κινείται ευθύγραμμα προς ακίνητο περιπολικό. Προκειμένου να ελεγχθεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου εκπέμπεται από το περιπολικό ηχητικό κύμα συχνότητας f 1. Το κύμα, αφού ανακλαστεί στο αυτοκίνητο, επιστρέφει στο περιπολικό με συχνότητα f 2. Ο λόγος των συχνοτήτων είναι α.. β.. γ.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Επαν. Ημερήσιο 2012) 2.11 Πηγή Π ηχητικών κυμάτων εκπέμπει ήχο με συχνότητα fs. Η πηγή, είναι στερεωμένη κατάλληλα σε κατακόρυφο τοίχωμα που διαχωρίζει τη δεξαμενή του νερού από τον αέρα, έτσι ώστε τα ηχητικά κύματα που εκπέμπει να διαδίδονται στον αέρα και στο νερό (σχήμα). Δύο δέκτες Δ 1 και Δ 2 που βρίσκονται, ο πρώτος στον αέρα και ο δεύτερος στο νερό, στην ίδια ευθεία με την πηγή κινούνται προς την πηγή με ταχύτητες μέτρων υ 1 και υ 2, αντίστοιχα. Αν οι συχνότητες f 1 και f 2 που ανιχνεύουν οι δύο δέκτες είναι ίσες και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο νερό υν είναι τετραπλάσια της ταχύτητας διάδοσης του ήχου στον αέρα υ α (υ ν = 4υ α ), ο λόγος των ταχυτήτων είναι i.. ii.. iii.. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Επαν. Ημερήσιο 2014) 2.12 Ένα τρένο κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου, όπου u ηχ είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα. Το τρένο κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από τη σειρήνα του τρένου ανακλάται στον κατακόρυφο βράχο. Ένας ακίνητος παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στις γραμμές και πίσω από το τρένο ακούει δύο ήχους. Έναν ήχο απευθείας από τη σειρήνα του τρένου, με συχνότητα f 1, και έναν ήχο από την ανάκλαση στον κατακόρυφο βράχο, με συχνότητα f 2. Ο λόγος των δύο συχνοτάτων είναι ίσος με i.. ii.. iii.. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Ημερήσιο 2016) Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 53

55 2.13 Παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ A από ακίνητη ηχητική πηγή. Η διεύθυνση της ταχύτητας του παρατηρητή ταυτίζεται με την ευθεία που ενώνει την πηγή με τον παρατηρητή. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα έχει μέτρο υ. Ο αριθμός των μέγιστων του ήχου, που παράγει η πηγή σε χρόνο Δt, είναι Ν s. Ο αριθμός Ν Α των μεγίστων του ήχου, που φτάνουν στον παρατηρητή στον ίδιο χρόνο, είναι ίσος με: Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Ομογενείς 2016) Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 54

56 3 ο ΘΕΜΑ 3.1 Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Α μεταξύ δύο ακίνητων ηχητικών πηγών S 1 και S 2, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η πηγή S 2 αρχικά δεν εκπέμπει ήχο, ενώ η πηγή S 1 εκπέμπει ήχο με συχνότητα f 1 = 100 Hz. Α. Υπολογίστε την ταχύτητα υ Α με την οποία πρέπει να κινείται ο παρατηρητής, ώστε να ακούει ήχο με συχνότητα f A = 100,5 Hz. Μονάδες 6 Κάποια στιγμή ενεργοποιείται και η δεύτερη ηχητική πηγή S 2,η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f 2 = 100 Hz. Β. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δt 1 μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει ο κινούμενος παρατηρητής. Μονάδες 6 Η συχνότητα της ηχητικής πηγής S 2 μεταβάλλεται σε f 2 = 100,5 Hz, ενώ ο παρατηρητής Α σταματάει να κινείται. Γ. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δt 2 μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει ο ακίνητος παρατηρητής. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε το πλήθος των ταλαντώσεων τις οποίες εκτελεί το τύμπανο του αυτιού του παρατηρητή Α μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει. Μονάδες 7 Θεωρούμε ότι οι εντάσεις των ήχων των δύο πηγών είναι ίσες και δεν μεταβάλλονται με την απόσταση. Δίνεται: ταχύτητα διάδοσης ήχου στον αέρα υ ηχ = 340 m/s. (Επαν. Ημερησίου 2011) 3.2 Σε κινούμενο τρένο (1) με ταχύτητα υ 1 υπάρχει ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας f s για χρονικό διάστημα Δt s. Τρένο (2) κινείται με ταχύτητα υ 2 αντίθετης φοράς και τη στιγμή t 0 = 0 απέχει από το τρένο (1) απόσταση d. Στο τρένο (1) υπάρχει συσκευή ανίχνευσης των ανακλώμενων στο τρένο (2) ηχητικών κυμάτων. Δίνεται ότι ο ανακλώμενος ήχος στο τρένο (2) έχει την ίδια συχνότητα με τον προσπίπτοντα σε αυτόν ήχο. Γ1. Αν f 1 είναι η συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει η συσκευή, να δείξετε ότι f 1 υ + υ2 υ + υ1 =..f s Μονάδες 7 υ - υ υ - υ 2 Δίνονται: ταχύτητα ήχου υ = 340 m/s, f s = 1900 Hz, υ 1 = 20 m/s, υ 2 = 20 m/s, Δt s = 0,81 s. Γ2. Αν τη χρονική στιγμή t 1 = 6,8 s η συσκευή αρχίζει να ανιχνεύει τον ανακλώμενο ήχο, να βρεθεί η απόσταση d που είχαν τα τρένα τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Μονάδες 9 1 Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 55

57 Γ3. Ποια χρονική στιγμή t 2 η συσκευή ανίχνευσης των ανακλώμενων κυμάτων σταματά να καταγράφει τον ανακλώμενο ήχο; Μονάδες 9 (Επαν. Ημερησίου 2013) 4 ο ΘΕΜΑ 4.1. Στην οροφή ερευνητικού εργαστηρίου είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=60 m N, στο άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σώμα Σ1 με μάζα m 1 =17kg. To σύστημα ισορροπεί. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα y y που ορίζει ο άξονας του ελατηρίου. Ο παρατηρητής εκτοξεύει κατακόρυφα προς τα πάνω σώμα Σ 2 μάζας m 2 =3kg με ταχύτητα μέτρου υ ο =12 s m. Το σημείο εκτόξευσης απέχει απόσταση h=2,2m από το σώμα Σ 1. Το σώμα Σ 2 έχει ενσωματωμένη σειρήνα που εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας f S =700Hz. α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής λίγο πριν από την κρούση του σώματος Σ 1 με το σώμα Σ 1. β. Η κρούση που επακολουθεί είναι πλαστική και γίνεται με τρόπο ακαριαίο. Να βρεθεί η σχέση που περιγράφει την απομάκρυνση y της ταλάντωσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. Για την περιγραφή αυτή θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά του άξονα των απομακρύνσεων τη φορά της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ. Η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση. Να βρεθεί η σχέση που δίνει τη συχνότητα f A, την οποία αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο μετά την κρούση. δ. Να βρεθεί ο λόγος της μέγιστης συχνότητας f A,max προς την ελάχιστη συχνότητα f A,min που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. m m ίνονται: η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα υ ηχ =340 και g=10 s s 2. (Επαν. Ημερησίου 2005) 4.2. Τα σώματα Σ 1, μάζας m 1 = 1 kg, και Σ 2, μάζας m 2 = 3 kg, του σχήματος είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά d = 0,4 m από τη θέση φυσικού μήκους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια χρονική στιγμή το νήμα κόβεται και το σύστημα των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 κινείται προς τα δεξιά. Μετά την αποκόλληση το σώμα Σ 2 συνεχίζει να κινείται σε λείο δάπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ 3, μάζας m 3 = 2 kg. Πάνω στο σώμα Σ 3 έχουμε τοποθετήσει πηγή S ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας, η οποία εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας f s = 1706 Hz. Πάνω στο σώμα Σ 1 υπάρχει δέκτης Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 56

58 Δ ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας. Δ1. Να προσδιορίσετε τη θέση στην οποία θα αποκολληθεί το σώμα Σ 2 από το σώμα Σ 1, τεκμηριώνοντας την απάντησή σας. Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος Σ 1, καθώς και το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελεί το σώμα Σ 1 αφού αποκολληθεί από το σώμα Σ 2. Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος των σωμάτων Σ 2 και Σ 3 μετά την κρούση και το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση. Δ4. Να υπολογίσετε τη συχνότητα την οποία καταγράφει ο δέκτης Δ κάποια χρονική στιγμή μετά την κρούση κατά την οποία το σώμα Σ 1 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς τα αριστερά. Δίνεται ότι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ ηχ = 340 m/s και η ηχητική πηγή δεν καταστρέφεται κατά την κρούση. ( Ημερησίου 2016) Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 57

59 Σύντομη βιογραφία του Christian Andreas Doppler Ο Κρίστιαν Αντρέας Ντόπλερ (Christian Andreas Doppler, 29 Νοεμβρίου Μαρτίου 1853) ήταν Αυστριακός μαθηματικός που γεννήθηκε στο Σάλτσμπουργκ στις 29 Νοεμβρίου του 1803 και πέθανε στις 17 Μαρτίου του 1853 στη Βενετία της Ιταλίας. Βιογραφία Ο Ντόπλερ γεννήθηκε σε οικογένεια χτιστών στο Σάλτσμπουργκ. Η ασθενής του υγεία δεν του επέτρεψε να ακολουθήσει το επάγγελμα των γονιών του όπως συνηθιζόταν και έτσι ασχολήθηκε με τις επιστήμες, κατόπιν προτροπής των δασκάλων του. Ξεκίνησε τις σπουδές του στα Μαθηματικά στο Πολυτεχνείο της Βιέννης το Μετά από αυτές τις σπουδές επέστρεψε στο Salzburg, όπου παρακολούθησε μαθήματα Φιλοσοφίας στο Λύκειο του Salzburg. Ακολούθως στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης σπούδασε Ανώτερα Μαθηματικά, Μηχανική και Αστρονομία. Κατά τη διάρκεια της ακαδημαϊκής του καριέρας δίδαξε μαθηματικά στο Πολυτεχνείο της Πράγας από το 1836 έως το Στην περίοδο που εργαζόταν στην Πράγα, ως καθηγητής, εξέδωσε περισσότερα από 50 επιστημονικά άρθρα στα πεδία των μαθηματικών, της φυσικής και της αστρονομίας. Το 1840 εκλέχθηκε μέλος της Βασιλικής Βοημικής Κοινότητας και το 1843, λόγω της θετικής επίδρασης των εργασιών του, εκλέχτηκε τακτικό μέλος. Το 1846 η σχετική βελτίωση της υγείας του τού επέτρεψε να αναλάβει τη θέση του Καθηγητή Μαθηματικών, Φυσικής και Μηχανικής στην Ακαδημία Μετάλλων και Δασών στην πόλη Banska Stiavnica. Το 1847 εξελέγη γραμματέας της Κοινότητας και το 1848 τακτικό μέλος της Αυτοκρατορικής Ακαδημίας των Επιστημών στη Βιέννη και ανακηρύσσεται επίτιμος διδάκτορας στο Πανεπιστήμιο της Πράγας. Στο απόγειο της καριέρας του έφτασε το 1850, οπότε και διορίζεται διευθυντής του νέου Ινστιτούτου Φυσικής στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. Ο Ντόπλερ εξέδωσε την πρώτη του εργασία το Το 1842 παρουσίασε την εργασία που τον έκανε διάσημο μέσω του φαινομένου που περιέγραψε σε αυτήν, το οποίο πήρε το όνομά του. Η εργασία ονομαζόταν: "Σχετικά με το έγχρωμο φως διπλών αστέρων και συγκεκριμένων άλλων αστέρων του ουρανίου θόλου" (Über das farbige Licht der Doppelsterne, 1842, Βιέννη). Στο κείμενο παρουσιάστηκε για πρώτη φορά η αρχή του φαινομένου του Ντόπλερ που συνδέει τη συχνότητα μιας πηγής με την ταχύτητά της σε σχέση με κάποιον παρατηρητή. Μετά από έντονα και μακροχρόνια αναπνευστικά προβλήματα αναζήτησε να ζήσει σε πιο ήπια κλίματα και έτσι μετακόμισε στη Βενετία στα τέλη του Η ευαίσθητη υγεία του, όμως, ήταν ήδη πολύ βεβαρυμμένη και απεβίωσε στις 17 Μαρτίου του Πηγή: Αναλυτικότερη βιογραφία στο σύνδεσμο: Μιχάλης Β. Πετρόπουλος 58