ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. Αυτοκίνητο της τροχαίας κινείται σε ευθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Αυτοκίνητο της τροχαίας κινείται σε ευθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα ενεργοποιημένη τη σειρήνα του, η οποία παράγει ήχο συχνότητας ή 0 και έχει. Μοτοσικλετιστής που προπορεύεται και κινείται με ταχύτητα μέτρου το μισό από αυτό της ταχύτητας του αυτοκινήτου, ακούει ήχο με συχνότητα A για την οποία ισχύει α) β) A A γ) A Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Έχουμε πηγή που κατευθύνεται προς παρατηρητή και παρατηρητή που απομακρύνεται από την πηγή. Άρα ο ήχος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχει συχνότητα που δίνεται από τη σχέση: A ή ή A Με αντικατάσταση ή και 0 0 ή A παίρνουμε: ή 9 ή ή A A A ή 9 8 ή ή 0 0

2 Ερώτηση. Μια πηγή ήχου που πλησιάζει προς ακίνητο παρατηρητή εκπέμπει ήχο συχνότητας που διαδίδεται με ταχύτητα διπλάσια από τη συχνότητα που εκπέμπει η πηγή α) να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα. β) να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα. γ) να απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα. Για να αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής συχνότητα. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. A Σωστή απάντηση είναι η β. Ισχύει A () Έχουμε πηγή που κατευθύνεται προς ακίνητο παρατηρητή, άρα ο ήχος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχει συχνότητα A () Από τις () και () προκύπτει.

3 Ερώτηση 3. (Η ερώτηση δόθηκε από τον κ. Παλόγο Αντώνιο) Μια ηχητική πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα προς ακίνητο παρατηρητή. Τα μήκη κύματος που εκπέμπει η πηγή προς την κατεύθυνση του παρατηρητή, πριν και μετά τη διέλευση της από αυτόν, διαφέρουν μεταξύ τους κατά που εκπέμπει η πηγή όταν είναι ακίνητη. Αν 0, όπου το μήκος κύματος η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο λόγος α) β) γ) είναι Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Το μήκος κύματος που εκπέμπει η πηγή προς τον παρατηρητή είναι ίσο με την απόσταση που αυτός «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος. Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή αυτός «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση T, όπου η περίοδος του ηχητικού κύματος. T Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή αυτός «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση B T. Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει: B A ( T ) ( T ) T

4 Ερώτηση 4. (Η ερώτηση δόθηκε από τον κ. Παλόγο Αντώνιο) Ένας παρατηρητής απομακρύνεται από ακίνητη ηχητική πηγή με σταθερή ταχύτητα Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μειωμένη σε σχέση με αυτή που εκπέμπει η πηγή. Το μήκος κύματος σε σχέση με το μήκος κύματος α) β) γ) A. A. A. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. που εκπέμπει η πηγή είναι του ήχου που φτάνει στον παρατηρητή. Σωστή απάντηση είναι η γ. Ένας ακίνητος παρατηρητής γράφει τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής ως εξής: () Ο κινούμενος παρατηρητής γράφει τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής ως εξής: ή ( ) A () Όμως: ή ( ) A παρατηρητή., όπου η ταχύτητα διάδοσης του ήχου για τον ακίνητο A A Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε A ή ( ) A A Από τη σύγκριση της τελευταίας σχέσης με την () προκύπτει ότι. 4

5 Ερώτηση 5. Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών B και A κινείται πηγή με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας προς τον A. Τα μήκη κύματος που φτάνουν στους παρατηρητές A και B είναι και αντίστοιχα. Όταν η πηγή είναι ακίνητη εκπέμπει ήχο μήκους κύματος. Το μήκος κύματος ( ) α). και τα μήκη κύματος και συνδέονται με τη σχέση β) ( ). γ). ( ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Ο παρατηρητής Α, που τον πλησιάζει η πηγή, «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση T, όπου T η περίοδος του ηχητικού κύματος. Ο παρατηρητής B, που απομακρύνεται από αυτόν η πηγή, «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση B T. Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει ( ) 5

6 Ερώτηση 6. Ένας επιβάτης λεωφορείου, που είναι ακίνητο σε ευθύγραμμο δρόμο, αρχίζει να ακούει τη χρονική στιγμή t 0=0 τη σειρήνα πυροσβεστικού οχήματος που κινείται στον ίδιο δρόμο. Μέχρι τη χρονική στιγμή t ακούει σταθερή συχνότητα μικρότερη της εκπεμπόμενης. Από τη στιγμή t έως τη στιγμή t, η συχνότητα του ήχου που ακούει διαρκώς αυξάνεται. Στα χρονικά διαστήματα (0,t ), (t,t ) η κίνηση του πυροσβεστικού οχήματος ήταν αντίστοιχα α. ευθύγραμμη ομαλή απομακρυνόμενο από το λεωφορείο, επιταχυνόμενη. β. ευθύγραμμη ομαλή πλησιάζοντας το λεωφορείο, επιβραδυνόμενη. γ. ευθύγραμμη ομαλή απομακρυνόμενο από το λεωφορείο, επιβραδυνόμενη. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Ο ακίνητος παρατηρητής στο χρονικό διάστημα (0,t ) ακούει ήχο σταθερής συχνότητας μικρότερης της εκπεμπόμενης. Άρα η ηχητική πηγή απομακρύνεται από αυτόν με υηχ σταθερή ταχύτητα και η σχέση που συνδέει τις δύο συχνότητες είναι: A. υ υ Έτσι, σωστή μπορεί να είναι η (α) ή η (γ). Στο χρονικό διάστημα (t,t ), ο ακίνητος παρατηρητής ακούει ήχο με διαρκώς αυξανόμενη συχνότητα. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει στην παραπάνω σχέση το διαρκώς να μειώνεται. Αυτό συμβαίνει στην επιβραδυνόμενη κίνηση. ηχ υ 6

7 Ερώτηση 7. Οι δύο ηχητικές πηγές του σχήματος Π και Π εκπέμπουν ήχο ίδιας συχνότητας. Η πηγή Π είναι ακίνητη ενώ η Π κινείται με σταθερή ταχύτητα u απομακρυνόμενη από τον ακίνητο παρατηρητή A. Δεχόμαστε ότι κατά τη διάδοση του ήχου από τις δύο πηγές δεν έχουμε απώλειες ενέργειας και η ένταση του ήχου είναι σταθερή στην περιοχή του φαινομένου με συνέπεια ο παρατηρητής να ακούει διακροτήματα. Τα παραγόμενα διακροτήματα έχουν α) σταθερή συχνότητα. β) αυξανόμενη συχνότητα. γ) μειούμενη συχνότητα. Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Ο παρατηρητής ακούει από την ακίνητη πηγή Π ήχο συχνότητας =, ενώ από την u απομακρυνόμενη πηγή Π : όπου u η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. u u Επειδή έχουμε την ίδια ένταση του ήχου στην περιοχή του φαινομένου, αυτό σημαίνει ότι το αυτί του παρατηρητή δέχεται δύο ηχητικά κύματα ίδιου πλάτους που οι συχνότητές τους διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Η συχνότητα του δημιουργούμενου διακροτήματος είναι: u Δ u u u δ u u σταθερή 7

8 Ερώτηση 8. Προκειμένου να βρούμε την ταχύτητα περιστροφής των αερίων μαζών σε έναν ανεμοστρόβιλο στηριζόμαστε στο φαινόμενο Doppler. Aπό μια σταθερή πηγή που είναι και δέκτης εκπέμπουμε από μεγάλη απόσταση υπέρηχους συχνότητας προς τον ανεμοστρόβιλο (βλέπε σχήμα). Ο ανακλώμενος υπέρηχος ανιχνεύεται από τον δέκτη σε διάφορες τιμές που κυμαίνονται μεταξύ μιας ελάχιστης in και μιας μέγιστης ax. Η ελάχιστη συχνότητα ανιχνεύεται από την ανάκλαση στην περιοχή του σημείου α. Α και είναι ίση με β. Α και είναι ίση με γ. Β και είναι ίση με in in in u u u u u u ηχ ηχ ηχ ηχ ηχ ηχ u u u u u u π π π π π π... Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Η σωστή απάντηση είναι η (β). Η ελάχιστη συχνότητα ανιχνεύεται όταν ο υπέρηχος ανακλάται στο σημείο Α του σχήματος, επειδή οι ανακλώσες αέριες μάζες απομακρύνονται με ταχύτητα u π, ενώ η μέγιστη ανιχνεύεται από την ανάκλαση στο σημείο Β του σχήματος. Έτσι για το σημείο Α uηχ uπ έχουμε:,προσπίπτοντος,ανακλώμενου u Ο δέκτης ανιχνεύει ως ελάχιστη συχνότητα την ηχ u u u u u u ηχ ηχ ηχ π ηχ π in in uηχ uπ uηχ uπ uηχ uηχ uπ 8

9 Ερώτηση 9. Μοτοσυκλέτα και περιπολικό κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο με ίσες κατά μέτρο ταχύτητες υ ο, κινούμενα αντίθετα και πλησιάζοντας μεταξύ τους. Κάποια στιγμή, το περιπολικό αρχίζει να παράγει ήχο με τη σειρήνα συχνότητας. Λίγο μετά, το περιπολικό αρχίζει να επιβραδύνεται και την ίδια στιγμή αρχίζει να επιβραδύνεται και ο μοτοσυκλετιστής. Ο μοτοσυκλετιστής, κατά τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησής του, ακούει ήχο που η συχνότητά του α) είναι σταθερή. β) αυξάνεται διαρκώς. γ) μειώνεται διαρκώς. Να αιτιολογείστε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Η συχνότητα του ήχου που άκουγε πριν την επιβραδυνόμενη κίνησή του είναι: υ υ ηχ 0 υηχ υ0 και μετά υ υ ηχ μ υηχ υπ. Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής ελαττώνεται διαρκώς με το χρόνο ενώ ο παρονομαστής αυξάνεται. Άρα ακούει ήχο με μειούμενη διαρκώς συχνότητα. 9

10 Ερώτηση 0. Ο πoδηλάτης Α του σχήματος πλησιάζει προς την ακίνητη ηχητική πηγή με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α ξεκινώντας από την ηρεμία. Η πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας. H συχνότητα A που αντιλαμβάνεται ο πoδηλάτης σε σχέση το χρόνο καθώς αυτός πλησιάζει την πηγή δίνεται από το διάγραμμα α. (I) β. (II) γ. (III) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Ο παρατηρητής πλησιάζει κινούμενος προς την πηγή με σταθερή επιτάχυνση. Επομένως έχει ταχύτητα μέτρου υ αt. H συχνότητα που αντιλαμβάνεται δίνεται από τη σχέση υηχ υ υηχ αt α A A t υηχ υ ηχ υ ηχ Η τελευταία σχέση δείχνει ότι συχνότητα χρόνο. είναι συνάρτηση A ου βαθμού ως προς το 0

11 Ερώτηση. Οι ακίνητες ηχητικές πηγές και του σχήματος εκπέμπουν κύματα σταθερής συχνότητας. Ένας παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Α κατά μήκος της ευθείας των πηγών και με κατεύθυνση προς τα δεξιά. Όταν βρίσκεται στο χώρο (Β), δηλαδή μεταξύ των πηγών, αντιλαμβάνεται λόγο συχνοτήτων 9 όπου και οι συχνότητες που αντιλαμβάνεται από τις πηγές και αντίστοιχα. Αν υ ηχ είναι η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα, ο παρατηρητής κινείται με ταχύτητα α. β. γ. υ υ υ A A A υ 9 ηχ υηχ υηχ 0 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στο χώρο (Β) πλησιάζει την πηγή και αντιλαμβάνεται συχνότητα ενώ απομακρύνεται από την και αντιλαμβάνεται συχνότητα. Επομένως υ υ 9 υ υ 0 ηχ A υηχ υ ηχ υa υηχ υa υ ηχ υa ηχ A υηχ

12 Ερώτηση. Το σώμα Α μάζας κινείται προς το ακίνητο σώμα Β μάζας 3 με ταχύτητα μέτρου υ Α=υ ηχ/5 και συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με αυτό. Το σώμα Β περιέχει ηχητική πηγή που εκπέμπει κύματα σταθερής συχνότητας, ενώ το Α περιέχει δέκτη Δ που την καταγράφει. Η συχνότητα που καταγράφει ο δέκτης μετά την κρούση και η συχνότητα συνδέονται με τη σχέση α. 0 β. γ. 9 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, επομένως οι ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση είναι: υ υ υ υ, υ υ Α Β Α Α Α Α Α Β Α Α Β Α Β Μετά την κρούση ο δέκτης καταγράφει συχνότητα υ υ Α ηχ υηχ υηχ 0 9 υ υ 0 Α ηχ υηχ υηχ

13 Ερώτηση 3. Το σώμα Α μάζας κινείται προς το ακίνητο σώμα Β μάζας 3 με ταχύτητα μέτρου υ Α=υ ηχ/5 και συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με αυτό. Το σώμα Β περιέχει ηχητική πηγή που εκπέμπει κύματα σταθερής συχνότητας, ενώ το Α περιέχει δέκτη Δ που καταγράφει το μήκος κύματος του ανιχνευόμενου ήχου. Αν με λ συμβολίσουμε το μήκος κύματος που ανιχνεύει ο δέκτης πριν την κρούση και λ αυτό που ανιχνεύει μετά την κρούση, ο λόγος α. 9 0 β. γ Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. λ λ είναι Σωστή απάντηση είναι η (β). Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, επομένως οι ταχύτητες μετά την κρούση είναι υ υ υ υ, υ υ Α Β Α Α Α Α Α Β Α Α Β Α Β Το μήκος κύματος που καταγράφει ο δέκτης πριν την κρούση είναι ίδιο με αυτό της πηγής, λ λ. Μετά την κρούση η πηγή απομακρύνεται από το δέκτη με ταχύτητα μέτρου άρα ο δέκτης ανιχνεύει μήκος κύματος υ λ λ λ υ T λ λ ηχ 0 υηχ 0 υ Α υ ηχ, 0 Άρα λ 0. λ 3

14 Ερώτηση 4. Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται στον αυτοκινητόδρομο σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες ίδιου μέτρου. Τα αυτοκίνητα αρχικά πλησιάζουν το ένα στο άλλο και αφού διασταυρωθούν απομακρύνονται μεταξύ τους. Σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου το αυτοκίνητο Α έχει την κόρνα του διαρκώς ενεργοποιημένη εκπέμποντας ήχο σταθερής συχνότητας. Ο οδηγός του αυτοκινήτου Β, αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας όταν τα αυτοκίνητα πλησιάζουν το ένα στο άλλο και ήχο συχνότητας, όπου, όταν αυτά απομακρύνονται μεταξύ τους. Αν υ ηχ είναι η ταχύτητα,44 του ήχου στον αέρα, τότε τα αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες μέτρου α. υ ηχ/0 β. υ ηχ/ γ. υ ηχ/9 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν τα αυτοκίνητα πλησιάζουν ο οδηγός του Β αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας, () Όταν τα αυτοκίνητα απομακρύνονται, ο οδηγός του Β αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας, () Από την εκφώνηση έχουμε, (3),44 Συνδυάζοντας τις (),(),(3) παίρνουμε 4

15 ή,44,44 ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ή ή,, ή,44,, 0, ή ή 5

16 Ερώτηση 5. Μια ακίνητη ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας για χρονικό διάστημα Δt. Ένας παρατηρητής που πλησιάζει την πηγή με ταχύτητα υ ηχ/00 όπου υ ηχ η ταχύτητα του ήχου, αντιλαμβάνεται τον ήχο για χρονικό διάστημα Δt A που είναι ίσο με 00 t t. 0 α. A 99 t t. 00 β. A 0 t t. 0 γ. A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την ακίνητη πηγή ακούει ήχο συχνότητας, () A 00 0 ή 00 N Η πηγή εκπέμπει Ν πυκνώματα συχνότητας για χρονικό διάστημα Δt όπου t και ο παρατηρητής δέχεται τον ίδιο αριθμό πυκνωμάτων με συχνότητα ήχου Επομένως N t t t 00 t t ή t t ή t t ()

17 Ερώτηση 6. Η ηχητική πηγή του σχήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας. Στην ευθεία του άξονα του ελατηρίου υπάρχει ακίνητος δέκτης, Δ, ο οποίος ανιχνεύει τον ήχο που εκπέμπει η 3 πηγή. Όταν η πηγή διέρχεται από τη θέση x A, πλησιάζοντας τo δέκτη αυτός ανιχνεύει συχνότητα και όταν διέρχεται απομακρυνόμενη συχνότητα. Ο λόγος των συχνοτήτων είναι α. β. γ. A A. A. A A. A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). H ηχητική πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης ενέργειας στην ταλάντωση για να υπολογίσουμε το μέτρο της ταχύτητας υ της πηγής όταν 3 διέρχεται από τη θέση x A. K U E ή x A ή A x ή 3 A A A A A ή ή ή Όταν η πηγή πλησιάζει το δέκτη, αυτός ανιχνεύει συχνότητα 7

18 , () Όταν η πηγή απομακρύνεται από το δέκτη, αυτός ανιχνεύει συχνότητα, () Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε A A 8

19 Ερώτηση 7. Στο διπλανό σχήμα, η ακίνητη πηγή και το περιπολικό εκπέμπουν ηχητικά σήματα συχνότητας, με το περιπολικό να απομακρύνεται από τον παρατηρητή Α με ταχύτητα μέτρου υ =υ ηχ/0. Ο παρατηρητής που βρίσκεται ακίνητος στην ευθεία που διέρχεται από τις δύο ηχητικές πηγές αντιλαμβάνεται διακροτήματα συχνότητας α. 0. β. γ.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). O παρατηρητής αντιλαμβάνεται δύο συχνότητες: από την πηγή ήχο συχνότητας = (ακίνητος παρατηρητής ακίνητη πηγή), 0 από την πηγή ήχο συχνότητας 0 επομένως αντιλαμβάνεται διακρότημα συχνότητας 0 ή 9

20 Ερώτηση 8. Το αυτοκίνητο του σχήματος (πηγή ) κινείται με ταχύτητα μέτρου υ πλησιάζοντας τον κατακόρυφο τοίχο και φέρει ηχητική πηγή η οποία εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας. Ο ποδηλάτης που απομακρύνεται από το αυτοκίνητο κινούμενος με ταχύτητα μέτρου υ αντιλαμβάνεται τον ήχο με δύο συχνότητες. Τη συχνότητα που προέρχεται απευθείας από το αυτοκίνητο και τη συχνότητα που προέρχεται από ανάκλαση στον τοίχο. Αν ο ποδηλάτης αυξήσει την ταχύτητά του, τότε ο λόγος α. αυξάνεται. β. μειώνεται. γ. παραμένει σταθερός. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). O ποδηλάτης αντιλαμβάνεται δύο ήχους. Από την πηγή που απομακρύνεται από αυτόν αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας, () Στον τοίχο τα κύματα του ήχου προσπίπτουν με συχνότητα T, () O τοίχος λειτουργεί ως δευτερογενής πηγή ήχου εκπέμπoντάς τον με συχνότητα T. Έτσι ο ποδηλάτης απομακρυνόμενος από τον τοίχο ακούει το δεύτερο ήχο με συχνότητα ή, (3) () T Διαιρώντας τις (),(3) κατά μέλη παίρνουμε 0

21 Παρατηρούμε ότι ο λόγος δεν εξαρτάται από την ταχύτητα υ του ποδηλάτη.

22 Ερώτηση 9. Στο σχήμα δείχνεται ένα αεροπλάνο που ετοιμάζεται για προσγείωση και μια ακίνητη πηγή υπερήχων συχνότητας (πηγή τοπικού σήματος) που βρίσκεται στην αρχή του διαδρόμου προσγείωσης. Το αεροπλάνο εκπέμπει υπέρηχο σταθερής συχνότητας, ίδιας με αυτή της ακίνητης πηγής. Ο πύργος ελέγχου ανιχνεύει τους δύο υπερήχους και βρίσκει ότι οι δύο συχνότητες έχουν διαφορά /5. Αν με υ ηχ συμβολίσουμε την ταχύτητα των υπερήχων στον αέρα, η ταχύτητα προσγείωσης του αεροπλάνου είναι α. υ ηχ/5 β. υ ηχ/6 γ. υ ηχ/0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). O πύργος ελέγχου λαμβάνει δύο υπέρηχους: Τον υπέρηχο που εκπέμπει η ακίνητη πηγή τοπικού σήματος που βρίσκεται στο διάδρομο προσγείωσης συχνότητας = (ακίνητος παρατηρητής ακίνητη πηγή). Τον υπέρηχο συχνότητας, εξαιτίας του αεροπλάνου καθώς αυτό πλησιάζει προς τον πύργο ελέγχου, επομένως η διαφορά των δύο συχνοτήτων είναι: ή 5 6 ή 5 6 ή

23 Ερώτηση 0. Στο σχήμα, το αυτοκίνητο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ εκπέμποντας ήχο σταθερής συχνότητας και μήκους κύματος λ. Οι παρατηρητές Α και Β αντιλαμβάνονται μήκη κύματος λ Α και λ Β αντίστοιχα ο καθένας, για τα οποία ισχύει A 8 6. Αν υ ηχ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα, τότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι α. υ ηχ/8 β. υ ηχ/7 γ. υ ηχ/6. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Για τον παρατηρητή Α η πηγή απομακρύνεται και αντιλαμβάνεται τον ήχο με μήκος κύματος, () Για τον παρατηρητή Β η πηγή πλησιάζει και αντιλαμβάνεται τον ήχο με μήκος κύματος, () B όπου Τ είναι ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικά πυκνώματα του ήχου (περίοδος του ήχου) και ισχύει. Διαιρώντας κατά μέλη τις (),() παίρνουμε A 8 ή = ή 34 ή ή 3

24 Ερώτηση. Ο δέκτης ηχητικών κυμάτων, Δ, του σχήματος είναι προσαρμοσμένος στο σώμα Σ που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο, η οποία περιγράφεται από την εξίσωση x=aημωt. Πάνω στην ευθεία που διέρχεται από τον άξονα του ελατηρίου και δεξιότερα της μέγιστης θετικής απομάκρυνσης του σώματος Σ, υπάρχει ακίνητη ηχητική πηγή,, η οποία εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας. H συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει ο δέκτης, Δ, μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με το διάγραμμα α. (I) β. (II) γ. (III) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). H συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει ο δέκτης, Δ, δίνεται από τη σχέση A, () Όπου t, () Αντικαθιστώντας την () στην () παίρνουμε t A t Η γραφική παράσταση που αντιστοιχεί στην παραπάνω σχέση είναι η (III). 4

25 Ερώτηση. Μια νυχτερίδα κινούμενη με ταχύτητα υ ν εκπέμπει υπέρηχο συχνότητας, ο οποίος ανακλάται σε ακίνητο εμπόδιο το οποίο βρίσκεται μπροστά της και επιστρέφει σε αυτήν. Αν με υ ηχ συμβολίσουμε την ταχύτητα του υπέρηχου στον αέρα, ο ανακλώμενος υπέρηχος ανιχνεύεται από τη νυχτερίδα με συχνότητα, για την οποία ισχύει α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Τα κύματα του υπέρηχου προσπίπτουν στο εμπόδιο με συχνότητα T, () Το εμπόδιο λειτουργεί ως δευτερογενής πηγή υπέρηχου εκπέμπoντάς τον με συχνότητα T. Έτσι η νυχτερίδα πλησιάζοντας το εμπόδιο αντιλαμβάνεται υπέρηχο συχνότητας ή () T 5

26 Ερώτηση 3. Στο σχήμα, το αυτοκίνητο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ και εκπέμπει έναν ήχο συχνότητας για χρονικό διάστημα t. Οι παρατηρητές Α και Β αντιλαμβάνονται τον ήχο για χρονικά διαστήματα Δt A και Δt Β t A αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει. t 9 Αν υ ηχ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα, τότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι α. υ ηχ/9 β. υ ηχ/0 γ. υ ηχ/0. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται τον ήχο με συχνότητα, () Ο παρατηρητής B αντιλαμβάνεται τον ήχο με συχνότητα B, () Αν Ν είναι ο αριθμός των πυκνωμάτων που εκπέμπει η πηγή κατά τη χρονική διάρκεια εκπομπής του ήχου, Δt, ισχύει : N t 3 Οι παρατηρητές Α και Β αντιλαμβάνονται τον ίδιο αριθμό πυκνωμάτων, Ν, για χρονικά διαστήματα Δt Α και Δt B, για τα οποία ισχύει αντίστοιχα: N t 4 N t 5 6

27 Για τον παρατηρητή Α, από το συνδυασμό των σχέσεων (3), (4) και () προκύπτει: t t t t ή t t ή t t () Για τον παρατηρητή Β, από το συνδυασμό των σχέσεων(3), (5) και () προκύπτει: t t t t ή t t ή t t () B B B B B B Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις παίρνουμε: t t t B t 9 0 ή 9 9 ή ή 7

28 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα σταθεράς, με μάζα 4Kg, είναι στερεωμένο στη μία άκρη ιδανικού ελατηρίου N k 500, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σε κατακόρυφο τοίχο. To σύστημα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα δεύτερο σώμα Kg κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 0 ελατηρίου, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα σώμα 700Hz., μάζας κατά μήκος του άξονα του, όπως στο σχήμα. Το έχει ενσωματωμένη σειρήνα που εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας α) Nα υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής του σχήματος, πριν από την κρούση του σώματος με το σώμα. β) Να υπολογίσετε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κρούση. γ) Να γράψετε την ταχύτητα υ του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Για την περιγραφή αυτή να θεωρήσετε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t 0) τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά του άξονα των απομακρύνσεων τη φορά της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. δ) Αν η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση, να βρείτε το πηλίκο της μέγιστης συχνότητας A,ax προς την ελάχιστη συχνότητα A,in που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα x και g 8

29 α) Έχουμε πηγή που απομακρύνεται από ακίνητο παρατηρητή. Η εξίσωση που περιγράφει τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι A, από όπου με αντικατάσταση παίρνουμε: A 340 A 700Hz A 680Hz β) Το συσσωμάτωμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο kg 4kg k 500N / 5 T T και γωνιακή συχνότητα 5 rad 0 Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής για την κρούση. kg 0 ( ) (kg 4kg) p p ά ( )V V V Η ταχύτητα V είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης, επειδή η θέση αυτή είναι και θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Συνεπώς V, από όπου με αντικατάσταση παίρνουμε: V 0, rad 0 γ) Τη χρονική στιγμή t 0 το συσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα, οπότε η συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα του σε σχέση με το χρόνο είναι: ax t 0t (.I.) 9

30 δ) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τη μέγιστη συχνότητα όταν το συσσωμάτωμα, με την πηγή, τον πλησιάζει με τη μέγιστη ταχύτητα, δηλαδή με / Hz 700Hz A,ax A,ax Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται την ελάχιστη συχνότητα όταν το συσσωμάτωμα, με την πηγή, απομακρύνεται από αυτόν με την μέγιστη ταχύτητα, δηλαδή με / Hz 700Hz A,in A,in Το ζητούμενο πηλίκο είναι: Hz A,ax A,ax A,in 700Hz A,in

31 Άσκηση. Τα τρία οχήματα του σχήματος, A, B και κινούνται σε ευθύγραμμο αυτοκινητόδρομο. Τα μέτρα των ταχυτήτων τους είναι 0, 30 και 3 0 αντίστοιχα, όπως στο σχήμα. Τα οχήματα A και B κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση και προπορεύεται το όχημα A, ενώ το όχημα κατεύθυνση. Το όχημα B εκπέμπει ήχο συχνότητας 930Hz. έρχεται από την αντίθετη α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος. A β) Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος. γ) τα οχήματα B και διασταυρώνονται, οπότε στη συνέχεια απομακρύνεται το ένα από το άλλο, να υπολογίσετε τη νέα συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Γ. δ) Ο οδηγός του οχήματος Α τη χρονική στιγμή, ενώ προηγείται του οχήματος Β, πατάει γκάζι και προσδίδει στο όχημά του σταθερή επιτάχυνση για χρονικό διάστημα, παραμένοντας σε όλη τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης προπορευόμενος του οχήματος Β. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο οδηγός συναρτήσει του χρόνου σε αριθμημένους άξονες για το 5 χρονικό διάστημα των 5. A t 0 Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα 340. Οι πράξεις να γίνουν με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου. Θα προσαρμόσουμε τη σχέση A στα δεδομένα κάθε ερωτήματος. Όταν ο παρατηρητής κατευθύνεται προς την πηγή, τότε στον αριθμητή ισχύει το (+), ενώ όταν απομακρύνεται (-). 3

32 Όταν η πηγή κατευθύνεται προς τον παρατηρητή, τότε στον παρονομαστή ισχύει το (-), ενώ όταν απομακρύνεται το (+). α) Για την περίπτωση του οδηγού Α έχουμε: παρατηρητή που απομακρύνεται από την πηγή με ταχύτητα, και πηγή που κατευθύνεται προς τον παρατηρητή με ταχύτητα 340 / 0 / 930Hz 960Hz A A 340 / 30 / β) Για την περίπτωση του οδηγού Γ έχουμε: παρατηρητή που κατευθύνεται προς την πηγή με ταχύτητα 3, και πηγή που κατευθύνεται προς τον παρατηρητή με ταχύτητα 340 / 0 / 3 930Hz 080Hz 340 / 30 / γ) Στην περίπτωση αυτή έχουμε: παρατηρητή που απομακρύνεται από την πηγή με ταχύτητα 3, και πηγή που απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα 340 / 0 / 930Hz 804Hz / 30 / δ) Η ταχύτητα του οχήματος Α που επιταχύνεται δίνεται από τη σχέση: t 0 t.i. 0 t 5, A A 3

33 Η εξίσωση Doppler για τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α, ο οποίος απομακρύνεται από την πηγή αλλά η πηγή πλησιάζει προς αυτόν, με βάση όσα αναφέρθηκαν παραπάνω για τα πρόσημα, είναι: ( t) 340 (0 t) 930(.I.) A 960 6t (.I.) με 0 t 5 Τη χρονική στιγμή t 0 η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α είναι, ενώ τη χρονική στιγμή η συχνότητα που αντιλαμβάνεται είναι. 960Hz 930Hz t 5 33

34 Άσκηση 3. Μια ηχητική πηγή Σ κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ = 5 / σε οριζόντιο επίπεδο και εκπέµπει ήχο συχνότητας = 355Hz. Στο ίδιο επίπεδο κινούνται άλλα δύο σώματα με ταχύτητες υ = 0 / και υ 3 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα οποία φέρουν δέκτες ηχητικών κυμάτων. Για τις συχνότητες του ήχου και 3 που αντιλαµβάνονται οι δέκτες των σωμάτων Σ και Σ 3 ισχύει Να υπολογίσετε: α. τη συχνότητα του ήχου,, που αντιλαμβάνεται ο δέκτης του σώματος Σ. β. την ταχύτητα υ 3 του σώματος Σ 3. γ. το λόγο των μηκών κύματος λ και λ 3 των ήχων που αντιλαμβάνονται οι δύο παρατηρητές. δ. αν o δέκτης του σώματος Σ αντιλαμβάνεται τον ήχο για χρονικό διάστημα Δt =7,, για πόσο χρονικό διάστημα Δt 3, αντιλαμβάνεται τον ήχο o δέκτης του σώματος Σ 3; ίνεται υ ηχ = 340 /.. Σ υ υ Σ υ3 Σ3 α. Ο δέκτης του σώματος Σ αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας για την οποία ισχύει: υηx υ Hz 360Hz υ ηx υ β. Ο δέκτης του σώματος Σ 3 αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας 3 για την οποία ισχύει: υ 3 3 ηx υ 340 υ 340 υ Hz 3 355Hz. υ ηx υ

35 Όμως ισχύει 340 υ Hz 355Hz υ3 υ γ. Τα μήκη κύματος λ και λ 3 των ήχων που αντιλαμβάνονται οι δύο παρατηρητές είναι υ υ υ υ λ λ υ T λ και ηχ ηχ υ υ υ υ λ λ υ T λ. ηχ ηχ 3 3 Με διαίρεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει: υηχ υ λ υ ηχ υ 7. λ υ 3 ηχ υ υ ηχ υ δ. Ο αριθμός των πυκνωμάτων Ν που εκπέμπει η πηγή είναι ίσος με τον αριθμό των πυκνωμάτων που φτάνουν στους δύο παρατηρητές. Για τα χρονικά διαστήματα Δt και Δt 3 που αντιλαμβάνονται τον ήχο οι δύο δέκτες ισχύει: Ν () και Δt 3 Ν () Δt 3 Οι σχέσεις () και () δίνουν: Δt 65 Δt Δt Δt Δt 6, Δt 7 7, 35

36 Άσκηση 4. Ένα τρένο κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ τρ=30/, καθώς κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο, ενεργοποιεί τη σειρήνα του, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας =370Hz. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται πίσω από το τρένο και περπατάει στην κατεύθυνση κίνησης του τρένου με ταχύτητα υ Α=/, ακούει δύο ήχους. Ο ένας προέρχεται άμεσα από το τρένο και ο άλλος από την ανάκλαση στο βράχο. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον ακίνητο αέρα είναι υ ηχ=340/. Να υπολογίσετε: A) τη συχνότητα του ήχου,, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής άμεσα από το τρένο. B) τη συχνότητα του ήχου,, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής από την ανάκλαση στο βράχο. Γ) το μήκος κύματος του ήχου, λ, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και προέρχεται άμεσα από το τρένο. Δ) τον αριθμό των πυκνωμάτων του ηχητικού κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και προέρχονται άμεσα από το τρένο, σε χρονικό διάστημα Δt=0. A) Η συχνότητα του ήχου,, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής άμεσα από το τρένο δίνεται από τη σχέση 340 x A 370Hz 34Hz. x B) Tα κύματα προσπίπτουν στον ακίνητο κατακόρυφο βράχο, πάνω από το τούνελ, με συχνότητα βρ 340 x Hz 370Hz. x Στη συνέχεια ο βράχος λειτουργεί ως δευτερογενής ακίνητη πηγή κυμάτων συχνότητας βρ. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται το κύμα από την ανάκλαση στο βράχο με συχνότητα για την οποία ισχύει 36

37 340 x Hz 37Hz 407 Hz. x Γ) Το μήκος κύματος του ήχου, λ, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και προέρχεται άμεσα από το τρένο είναι T. 370Hz Δ) Τα πυκνώματα του ηχητικού κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και προέρχονται άμεσα από το τρένο, σε χρονικό διάστημα Δt=0 είναι t 34Hz ώ. t 37

38 Άσκηση 5. Ένα ασθενοφόρο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ και κατευθύνεται προς έναν ακίνητο παρατηρητή. Η σειρήνα του ασθενοφόρου εκπέμπει ήχο συχνότητας =680Hz, για χρονικό διάστημα Δt. O παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας με μήκος κύματος λ Α=0,45 και για χρονικό διάστημα Δt A=4,5. H ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα είναι υ ηχ=340/. Να υπολογίσετε: A) το μήκος κύματος του ήχου, λ, που εκπέμπει η σειρήνα. B) την ταχύτητα του ασθενοφόρου. Γ) τη συχνότητα του ήχου, Α, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, όταν το ασθενοφόρο πλησιάζει προς αυτόν και τη συχνότητα του ήχου, Α, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, όταν το ασθενοφόρο απομακρύνεται απ αυτόν. Δ) το χρονικό διάστημα Δt που εκπέμπει τον ήχο η σειρήνα του ασθενοφόρου. A) Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής για τον ήχο που εκπέμπει η σειρήνα, υπολογίζουμε το μήκος κύματος του ήχου, λ 340 0,5. 680Hz B) Από το μήκος κύματος, λ Α, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής προκύπτει η ταχύτητα του ασθενοφόρου, υ T A A A 340 0, 45680Hz 34. Γ) H συχνότητα του ήχου, Α, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, όταν το ασθενοφόρο πλησιάζει προς αυτόν είναι: 38

39 340 x 6800 A 680Hz A Hz 755, 6 Hz. x Η συχνότητα του ήχου, Α, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, όταν το ασθενοφόρο απομακρύνεται απ αυτόν είναι 340 x 6800 A 680Hz A Hz 68, Hz. x Δ) Ο αριθμός των πυκνωμάτων, Ν, που εκπέμπει η σειρήνα είναι ίσος με τον αριθμό των πυκνωμάτων που φτάνουν στον παρατηρητή. Η σειρήνα του ασθενοφόρου εκπέμπει τον ήχο για χρονικό διάστημα Δt, ενώ ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο για χρονικό διάστημα Δt A=4,5. Για τη συχνότητα,, του ήχου της σειρήνας και για τη συχνότητα του ήχου, Α, που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχουμε t () και A () t A Οι σχέσεις () και () δίνουν 6800 Hz 4,5 t t t t t 9 t 5. A A A A 680Hz 39

40 ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. (Το πρόβλημα δόθηκε από τον εθελοντή κ. Παλόγο Αντώνιο) Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά k 400N / και έχει στο ένα άκρο του στερεωμένο ένα σώμα, Σ, μάζας που φέρει ενσωματωμένο ένα δέκτη ήχου, Δ. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,4 πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή που το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ, μάζας, το οποίο φέρει ενσωματωμένη πηγή ήχου συχνότητας 688Hz. kg 3kg Να βρείτε: α) την ταχύτητα του σώματος Σ ελάχιστα πριν τη σύγκρουση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων Σ και Σ αμέσως μετά τη σύγκρουση καθώς και το πλάτος της νέας ταλάντωσης. γ) τη συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης όταν το σώμα Σ διέρχεται για η και για η φορά μετά την κρούση από την απομάκρυνση x 0, 3. Να θεωρήσετε θετικό τον ημιάξονα προς τα δεξιά. δ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη στιγμή που ανιχνεύει συχνότητα A 680Hz. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, 340 /. 40

41 α) Το σώμα Σ ελάχιστα πριν τη σύγκρουση κινείται με τη διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. ax της ταλάντωσης, επειδή k 400N / ax A 0,4 8 / kg β) Η κρούση των δύο σωμάτων είναι κεντρική ελαστική, οπότε οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση θα είναι: kg 3kg 8 / 4 / kg 3kg kg 8 / 4 / kg 3kg Άρα, μετά την κρούση η ηχητική πηγή απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα 4 / και το σώμα Σ γυρνά πίσω ξεκινώντας νέα ταλάντωση με περίοδο ίδια με την αρχική και νέα μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης 4 /. Άρα το νέο πλάτος ταλάντωσης είναι: ax ax ax 4 / ax 0, k 400N / kg 4

42 γ) Εφαρμόζοντας τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση υπολογίζουμε την ταχύτητα του σώματος Σ όταν αυτό διέρχεται από τη θέση x 0, 3. k 400N / kx x (4 / ) ( 0, 3) kg ax ax Την η φορά ο δέκτης κινείται προς τα αριστερά απομακρυνόμενος από την ηχητική πηγή, οπότε η συχνότητα που ανιχνεύεται θα είναι: Hz 676 Hz Τη η φορά ο δέκτης κινείται προς τα δεξιά κατευθυνόμενος προς την ηχητική πηγή, που απομακρύνεται, οπότε η συχνότητα που ανιχνεύεται θα είναι: Hz 684 Hz δ) K W F Fx K F kx t t t t () Πρέπει να υπολογιστούν τα x,. Για τη συχνότητα A που ανιχνεύεται από το δέκτη ισχύει: (I) 0 A A A A Άρα, το σώμα Σ βρίσκεται σε ακραία θέση, η ταχύτητα του είναι ίση με μηδέν, οπότε με αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει K 0 t 4

43 Πρόβλημα. Ένας μοτοσικλετιστής κινούμενος με ταχύτητα υ 0 πλησιάζει προς μια ακίνητη ηχητική πηγή, που εκπέμπει ήχο συχνότητας =680Hz. Όταν ο μοτοσικλετιστής πλησιάσει σε απόσταση d =50 από την πηγή, φρενάρει ομαλά και εκτελώντας ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση σταματά αφού διανύσει διάστημα d ολ=00, δηλαδή ξεπερνά την ηχητική πηγή κατά 50. Τη στιγμή που ο μοτοσικλετιστής προσπερνά την πηγή αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας Α=660Hz. H ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα είναι υ ηχ=340/. Να υπολογίσετε: A) την ταχύτητα του μοτοσικλετιστή τη στιγμή που φτάνει στην ηχητική πηγή. B) την επιτάχυνση του μοτοσικλετιστή και το συνολικό χρόνο κίνησης, μέχρι ο μοτοσικλετιστής να σταματήσει. Γ) τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής τη χρονική στιγμή που αρχίζει να εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Δ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής σε συνάρτηση με το χρόνο κίνησής του. Θεωρείστε ως t=0 τη χρονική στιγμή που αρχίζει η ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. A) Την ταχύτητα υ Α, του μοτοσικλετιστή τη στιγμή που φτάνει στην ηχητική πηγή, θα την υπολογίσουμε από τη συχνότητα Α του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής τη στιγμή που προσπερνά την πηγή. Επειδή η συχνότητα που αντιλαμβάνεται, Α=660Hz, είναι μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής, =680Hz, καταλαβαίνουμε ότι τη συχνότητα αυτή την αντιλαμβάνεται τη στιγμή που προσπερνά την πηγή απομακρυνόμενος από αυτήν. x A 680Hz 660Hz A x Hz x B) Από τη στιγμή που ο μοτοσικλετιστής ξεπερνά την ηχητική πηγή μέχρι να σταματήσει διανύει απόσταση Δx =50. Οι εξισώσεις της ταχύτητας και της μετατόπισης για την ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση για το χρονικό διάστημα Δt, που ο μοτοσικλετιστής προσπερνά την πηγή μέχρι να σταματήσει, είναι 43

44 A t 0 0 t () x t t 50 0 t t () ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων () και () υπολογίζουμε την επιτάχυνση του μοτοσικλετιστή και το χρονικό διάστημα Δt. 0 () t 0 () 50 0 t t t t 0. Για το συνολικό χρονικό διάστημα, Δt ολ, της επιβραδυνόμενης κίνησης έχουμε 0 t 0 0 t 0 t (3) και d 0 t t 00 t t t 0. Γ) Από τη σχέση (3) προκύπτει η αρχική ταχύτητα υ 0 του μοτοσικλετιστή 0 0. Η συχνότητα του ήχου A,O, που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής τη χρονική στιγμή που αρχίζει να εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση είναι x 0 A,o A,0 680Hz A,0 70 Hz. x 340 Δ) Η συχνότητα του ήχου A,, που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής στο χρονικό διάστημα Δt =t ολ-δt =0, που κινείται προς την ηχητική πηγή, δίνεται από τη συνάρτηση 44

45 A, ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ t x x 0 t A, A, A, 680Hz x x t (.I.), 0 t 0 Η συχνότητα του ήχου A,, που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής στο χρονικό διάστημα Δt =0, που απομακρύνεται από την ηχητική πηγή, δίνεται από τη συνάρτηση t x x 0 A, A, x x t A, 680Hz t (.I.), 0 t 0 A, Το διάγραμμα της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μοτοσικλετιστής σε συνάρτηση με το χρόνο κίνησής του είναι όπως στο διπλανό σχήμα. 45

46 Πρόβλημα 3. Ένα σώμα, Σ, μάζας =kg, ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00 N/, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Σε απόσταση d=40c από το σώμα Σ βρίσκεται ακίνητο δεύτερο σώμα, Σ, μάζας =4kg, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στο σώμα Σ υπάρχει ενσωματωμένος δέκτης ήχου, Δ, και στο σώμα Σ πηγή ήχου,, συχνότητας =00 Hz. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά A=50c και αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν το σώμα Σ φτάσει στη θέση του σώματος Σ συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά μ αυτό. Να υπολογίσετε: A) την ταχύτητα του σώματος Σ ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σώμα Σ. B) τις συχνότητες των ήχων που ανιχνεύει ο δέκτης, ελάχιστα πριν τη σύγκρουση και ελάχιστα μετά. Γ) το λόγο της μέγιστης προς την ελάχιστη συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης κατά την ταλάντωσή του, μετά την κρούση. Δ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ, όταν ο δέκτης του ανιχνεύει τον ήχο της πηγής με συχνότητα Α= 00 Hz. H ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα είναι υ ηχ=340/. A) Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση (Α.Δ.Ε.Τ.), υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σώμα Σ E K U ka kd k A 3. d N 00 0,5 0, 4 kg 46

47 B) Η συχνότητα του ήχου A,, που ανιχνεύει ο δέκτης ελάχιστα πριν τη σύγκρουση είναι x A, A, 00Hz A, 09Hz. x 340 Η κρούση των δύο σωμάτων είναι μετωπική ελαστική. Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν στην ίδια διεύθυνση, με ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις: kg 4kg ' ' 3 ' kg 4kg kg ' ' 3 '. kg 4kg Η συχνότητα του ήχου A,, που ανιχνεύει ο δέκτης ελάχιστα μετά τη σύγκρουση είναι 340 x ' 339 A, A, 00Hz A, 00Hz x ' Hz. A, Γ) Τη μέγιστη και την ελάχιστη συχνότητα ο δέκτης τις ανιχνεύει όταν πλησιάζει και όταν απομακρύνεται με την μέγιστη ταχύτητα, αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Θα βρούμε πρώτα το νέο πλάτος της ταλάντωσης με Α.Δ.Ε.Τ. ' ' kd E K U k A ' kd A ' k N kg 00 0, 4 7 A ' A '. N 00 0 Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης είναι N 00 k 7 A' A' 7. kg 0 ax ax ax Η μέγιστη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο δέκτης όταν πλησιάζει την ηχητική πηγή είναι 47

48 x ax A,ax. ' x Η ελάχιστη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο δέκτης όταν απομακρύνεται από την ηχητική πηγή είναι x ax A,in. ' x Τελικά, ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο δέκτης κατά την ταλάντωσή του, μετά την κρούση είναι: x ax A,ax x ' A,ax x ax A,ax A,in x ax A,in x ax A,in x ' A,ax A,in Δ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ, ισούται με τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται, δηλαδή με τη δύναμη επαναφοράς. Άρα dp dt F kx () Όταν ο δέκτης αντιλαμβάνεται τον ήχο της πηγής με συχνότητα Α= 00Hz, κινείται με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα της πηγής, όπως προκύπτει από τη σχέση 00Hz 00Hz '. ' ' x x A x x Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης για το σώμα Σ υπολογίζουμε τη θέση x στην οποία αυτό έχει ταχύτητα ' 48

49 k A ' E K U k A ' kx x k N 7 00 kg 0 3 x x. N 00 0 Με αριθμητική αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ, όταν ο δέκτης του αντιλαμβάνεται τον ήχο της πηγής με συχνότητα Α= 00 Hz dp N 3 dp kg F kx dt 0 dt 49

50 Πρόβλημα 4. Ένα σώμα Σ, μάζας, είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00n/, που έχει το πάνω άκρο του στερεωμένο σε οροφή. Από το σώμα Σ είναι κρεμασμένο με αβαρές νήμα ένα δεύτερο σώμα Σ, μάζας =kg το οποίο απέχει από το δάπεδο d=. Στο σώμα Σ υπάρχει ενσωματωμένος δέκτης ήχου, 5 Δ, και στο σώμα Σ πηγή ήχου,, συχνότητας =340Hz. Το σύστημα ισορροπεί, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, ενώ το σώμα Σ εκτελεί ελεύθερη πτώση. Όταν το σώμα Σ φτάνει στο έδαφος, το σώμα Σ διέρχεται για πρώτη φορά από την ανώτερη θέση της ταλάντωσής του. Να υπολογίσετε: Α) τη μάζα του σώματος Σ. Β) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ. Γ) το λόγο της μέγιστης δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου προς τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης. Δ) τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο δέκτης ελάχιστα πριν κτυπήσει στο έδαφος. Ε) το μέγιστο μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο δέκτης στη διάρκεια της κίνησής του. H ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα είναι υ ηχ=340/ και το g=0 /. A) Το σώμα Σ εκτελεί ελεύθερη πτώση και φτάνει στο έδαφος σε χρονικό διάστημα Δt. d g t t t. d 5 g 0 / 5 Όταν το σώμα Σ φτάνει στο έδαφος, το σώμα Σ διέρχεται για πρώτη φορά από την ανώτερη θέση της ταλάντωσής του και επειδή μετά το κόψιμο του νήματος ξεκίνησε από την κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης, πέρασε χρονικό διάστημα μισής T περιόδου. Άρα t T t T. 5 50

51 Από τη σχέση της περιόδου υπολογίζουμε τη μάζα του σώματος Σ N 00 Tk 5 T 4kg. k 4 Β) Στην αρχική θέση ισορροπίας, τα δύο σώματα ισορροπούν με την επίδραση του βάρους τους και της δύναμης του ελατηρίου. H αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου x είναι F 0 w F g kx x x x 0, 6. g k 4kg kg0 N 00 Μετά το κόψιμο του νήματος αλλάζει η θέση ισορροπίας, η οποία είναι μετατοπισμένη προς τα πάνω, σε σχέση με την αρχική θέση ισορροπίας. H νέα παραμόρφωση του ελατηρίου x είναι g F 0 w F g kx x k 4kg 0 x x 0, 4. N 00 Επειδή το σώμα Σ μετά το κόψιμο του νήματος ξεκίνησε να ταλαντώνεται χωρίς ταχύτητα, η αρχική του θέση είναι η κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του. Από το σχήμα φαίνεται ότι το πλάτος της ταλάντωσής του είναι Α=x -x =0,. Γ) Στην κάτω ακραία θέση το ελατήριο έχει της μέγιστη δυναμική του ενέργεια, που είναι U,ax kx. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι Uax ka. 5

52 Άρα ο λόγος της μέγιστης δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου προς τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι U kx,ax U,ax x U,ax 0,6 U,ax 9. Uax ka Uax A Uax 0, Uax Δ) Το σώμα Σ εκτελεί ελεύθερη πτώση και φτάνει στο έδαφος μετά από χρονικό διάστημα Δt με ταχύτητα υ g t 0. 5 Εκείνη τη στιγμή, το σώμα Σ διέρχεται για πρώτη φορά από την ανώτερη θέση της ταλάντωσής του, άρα είναι στιγμιαία ακίνητο. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο δέκτης ελάχιστα πριν κτυπήσει στο έδαφος είναι 340 x A 340Hz A 340 Hz. x 340 Ε) Το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο δέκτης στη διάρκεια της κίνησής του παίρνει τη μέγιστη τιμή, όταν η ηχητική πηγή απομακρύνεται απ αυτόν με μέγιστη ταχύτητα. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης της πηγής είναι N 00 k A A 0,. 4kg,ax,ax,ax Και το μέγιστο μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο δέκτης είναι,ax,ax ax,axt ax ax ax ax. 340Hz 340 Ημερομηνία τροποποίησης: 0//08 Επιμέλεια: Πρόδρομος Κορκίζογλου, Αντώνιος Παλόγος, Γεώργιος Παπαλεξίου, Ηλίας Ποντικός, Παναγιώτης Μπετσάκος Επιστημονικός έλεγχος: Αντώνιος Παλόγος, Κωνσταντίνος Στεφανίδης 5