ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΗΕ ΙΙ

5 Περιεχόμενα ενότητας 4. Δυναμική σύγχρονων μηχανών 5. Ευστάθεια μεταβατικής κατάστασης i. Κριτήριο ίσων εμβαδών a. Εφαρμογές του κριτηρίου των ίσων εμβαδών: μέγιστη αλλαγή φορτίου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 5

6 4. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ A F δ m θ m Δρομέας Στάτης ω ms Σχ.4.11: Δρομέας ΣΓ με το μαγνητικό του άξονα F, που στρέφεται με μηχανική γωνιακή ταχύτητα ω ms. Φαίνεται επίσης ο μαγνητικός άξονας A της φάσης a του τριφασικού τυλίγματος του στάτη και η γεωμετρική γωνία φόρτισης δ m ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 6

7 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Γωνία στο χώρο θ m θ p ( p: αριθμός ζευγών πόλων) Μηχανική συχνότητα f m f p Μηχανική γωνιακή ταχύτητα ω m ω p Ηλεκτρική συχνότητα f pn Μηχανική γωνία δρομέα θ ( t) ω t δ ( t) m ms m ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 7

8 Απόλυτη γωνιακή ταχύτητα m m ω m d θ ωms dt d δ dt Γωνιακή επιτάχυνση dωm d θm d δm (1) dt dt dt Ροπή αδράνειας Στροφορ μή J M m J ω r dm m d ωm Ροπή T J dt dm dt ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 8

9 Κινητική ενέργεια δρομέα 1 1 W Jωm Mω m Ισχύς επιτάχυνσης που εφαρμόζεται στον άξονα dw dωm dωm Pa Jωm M Tω () m dt dt dt Σταθερή αδράνειας Ws Msωms H [10 3 sec] S S N N ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 9

10 Η ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΡΟΜΕΑ (1),() P M dω M d δ M d δ P P dt dt p dt m m a sh e ΠΑΡΑΔΟΧΗ Η μηχανική γωνιακή ταχύτητα ω m της ΣΓ θεωρείται σταθερή και ίση με την ονομαστική (σύγχρονη) μηχανική γωνιακή ταχύτητα ω ms για το μικρό χρονικό διάστημα που ενδιαφέρει η πορεία της ταλάντωσης και κατά συνέπεια η ευστάθεια του συστήματος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 10

11 ωm ωms ct M ct M M s Jωms Ανηγμένη ισχύς επιτάχυνσης p a p a P M d δ M ω d δ H d δ S ps dt S pω dt pω dt a s s ms N N N ms ms p a = H ω S d δ dt για ω m(t) ct (3) ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 11

12 Ανηγμένη ισχύς επιτάχυνσης p p p a sh e p p p Ηλεκτρική ισχύς e es ea Σύγχρονη ηλεκτρική ισχύς 1 Ασύγχρονη ηλεκτρική ισχύς p ea p k d es ee x ω ω ω 1 - s s sin δ ~ dδ dt Βασική ηλεκτρομηχανική εξίσωση κίνησης του δρομέα ΣΓ στη μεταβατική κατάσταση λειτουργίας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 1

13 Βασική ηλεκτρομηχανική εξίσωση κίνησης του δρομέα ΣΓ στη μεταβατική κατάσταση λειτουργίας (3) 1 - p sh δ kd s 1 s Hdδ e e ω ωs sin - ω dt x ω Με αρχικές συνθήκες δ( t 0 ) dδ dt t0 0 δ (4) δ : γωνία φόρτισης της ΣΓ στη στάσιμη κατάσταση λειτουργίας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 13

14 Λύση της βασικής ηλεκτρομηχανικής εξίσωσης κίνησης του δρομέα ΣΤΑΣΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Θεωρούμε ότι η ΣΓ λειτουργούσε πριν από τη διαταραχή στη στάσιμη κατάσταση Χαρακτηρίζουμε με παύλα ( ) όλα τα μεγέθη που αναφέρονται στη στάσιμη κατάσταση λειτουργίας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 14

15 psh psh p e δ δ ω ω s d δ dω 0 dt dt p a psh sin x1 p p es ea p 0 sh ee δ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 15

16 Λύση για μικρές ταλαντώσεις του δρομέα Υποθέτουμε ότι η ενώ η ΣΓ λειτουργεί στη στάσιμη κατάσταση, η μηχανική ισχύς στον άξονα αυξάνεται κατά ένα ποσό Δp sh τόσο μικρό, ώστε η αντίστοιχη μεταβολή της γωνίας φόρτισης Δδ να επιτρέπει γραμμικοποίηση της εξίσωσης κίνησης Χαρακτηρίζουμε με περισπωμένη ( ~ ) όλα τα μεγέθη που αναφέρονται στις μικρές μεταβολές των μεγεθών γύρω από την τιμή ισορροπίας τους p sh Δp sh p e Δp e sin( δ δ) sin δ δ (cos δ) δ Δδ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 16

17 p p p sh e e sh p p p δ δ δ e sh dδ ω ωs ω ωs dt Ισχύς συγχρονισμού Σταθερή απόσβεσης (4) p d Hdδ dδ p d psδ psh ωs dt dt δt ( 0 ) 0 dδ dt p s t0 k ω d s ee x cosδ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 17

18 Μικρές ταλαντώσεις με απόσβεση ( p d 0) Διερεύνηση λύσεων με το κριτήριο του Routh Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια είναι: p p s d p δ 0 e 0 Διερεύνηση της λύσης της εξίσωσης για την περίπτωση όπου μεταβάλλεται η μηχανική ισχύς του στροβίλου από p σε psh psh sh ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 18

19 Μερική λύση μη ομογενούς: δ p p sh s Δυσμενέστερη περίπτωση: υποκρίσιμη απόσβεση ρίζες ΧΕ: ωp ωs 8Hps ω s d spd ξ1, j α jω 4H 4H d λύση ΔΕ: α δ t δ 1 e cos ωdt sin ωdt ωd αt ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 19

20 Μικρές ταλαντώσεις με απόσβεση ( p d 0) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ α) Η γωνία φόρτισης δ, η οποία αρχικά ταλαντώνεται, καταλήγει στη γωνία δ δ β) Η περίοδος ταλάντωσης T d της γωνίας είναι T d π 8πH ωd ω 8Hp ω p s s s d ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 0

21 και εξαρτάται από την ισχύ συγχρονισμού p s, εφόσον τα υπόλοιπα μεγέθη είναι σταθερά για μία συγκεκριμένη ΣΓ Η αύξηση του φορτίου στάσιμης κατάστασης της ΣΓ οδηγεί σε μείωση της ισχύος συγχρονισμού και τελικά σε αύξηση της περιόδου ταλάντωσης T d γ) Η σταθερή απόσβεσης p dc που οδηγεί σε κρίσιμη απόσβεση (δηλαδή σε απόσβεση χωρίς ταλαντώσεις) είναι p dc 8Hps ω s ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 1

22 και η αντίστοιχη λύση της ΔΕ είναι δ t δ αt e όπου -αt ( ) [1 (1 ) ] α ωp s 4H dc ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ

23 Μικρές ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση ( p d = 0) Λύση ΔΕ δ( t) δ 1 cos( ω t) n Περίοδος ταλάντωσης γωνίας T n π Η π 1 [sec] ω p ω n s s ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 3

24 α) Η γωνία φόρτισης δ ταλαντώνεται συνεχώς γύρω από την τιμή δ δ, με πλάτος ταλάντωσης δ β) Η περίοδος της ταλάντωσης Τ n εξαρτάται πάλι από την ισχύ συγχρονισμού p s, εφόσον τα υπόλοιπα μεγέθη είναι σταθερά. Η αύξηση του φορτίου στάσιμης κατάστασης της ΣΓ οδηγεί και εδώ σε μείωση της ισχύος συγχρονισμού και τελικά σε αύξηση της περιόδου ταλάντωσης Τ n ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 4

25 Στην περίπτωση που η κινητήριος μηχανή είναι εμβολοφόρος Diesel, παρουσιάζονται σ' αυτήν ιδιοσυχνότητες που πλησιάζουν πολύ τη συχνότητα ω n της ΣΓ Το ηλεκτροπαραγωγό ζεύγος κινδυνεύει από μηχανική καταστροφή Οι ταλαντώσεις αυτές πρέπει να αποφεύγονται ή στη χειρότερη περίπτωση να οδηγούνται γρήγορα σε απόσβεση Κλωβός απόσβεσης πάντοτε στο δρομέα της ΣΓ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 5

26 5. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 1 ο δευτερόλεπτο ( E, X ) ( E, X ) d d Συνολική αντίδραση μεταφοράς X X X X ' d T ' X d X T X ΑΚΑΜΠΤΟ ΔΙΚΤΥΟ E ' = E ' δ ~ X V = V 0 Σχ.4.13: Ισοδύναμο κύκλωμα συστήματος ΣΓ συνδεδεμένης σε άπειρο ζυγό, κατάλληλο για τη μελέτη της ευστάθειας μεταβατικής κατάστασης ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 6

27 α) V ct V ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ 0 δ( t 0) β) E ct E δt () γ) Αποσβέσεις: Αμελούνται δ) Αντιστάσεις: Αμελούνται ε) Tsh ct Psh ct δ pa p ( ) sh pe δ ω Hdδ s dt ev pe δ δ x όπου sin ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 7

28 ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΡΟΜΕΑ ΔΕ p sh H d δ ωs dt x ev sinδ δ( t 0 ) δ (μη γραμμική ΔΕ β τάξης) ΑΣ dδ dt t0 0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 8

29 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Αναμένεται μεγάλη μεταβολή της γωνίας φόρτισης δ Οι ταλαντώσεις της γωνίας φόρτισης δ θα είναι μεγάλου πλάτους Δεν ισχύει η προσέγγιση sinδ Δεν μπορεί να γίνει γραμμικοποίηση της ΔΕ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 9

30 Α) Έμμεση ανάλυση ευστάθειας (Indirect stability analysis) Η ΔΕ λύνεται κατά τη διάρκεια, και μετά την αποκατάσταση του σφάλματος Προσομοίωση σε Η/Υ, κάνοντας χρήση μεθόδων αριθμητικής ανάλυσης Εκτίμηση ευστάθειας από την μορφή των καμπύλων που προκύπτουν για τη γωνία φόρτισης δ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 30

31 Β) Άμεση ανάλυση ευστάθειας (Direct stability analysis) Εκτίμηση ευστάθειας ΧΩΡΙΣ τη λύση της ΔΕ Μόνο στην περίπτωση μιας γεννήτριας Κριτήριο ίσων εμβαδών (equal area criterion): μέθοδος με μεγάλη εκπαιδευτική αξία ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 31

32 i. Κριτήριο ίσων εμβαδών a. Εφαρμογές του κριτηρίου των ίσων εμβαδών: μέγιστη αλλαγή φορτίου ΔΕ ω H d δ s dt p p δ sh e όπου ˆ sin p δ p δ e e Όριο ευστάθειας στάσιμης κατάστασης: ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 3 ˆ e p ev x

33 p e p e Σ 3 p 3 A p = _ p sh +Δ p sh Σ Σ 4 p 1 = _ p sh Σ 1 A 1 0 δ 1 δ δ 3 π / δ =π-δ 4 π δ [rad] Σχ.4.14: Εφαρμογή του κριτήριου των ίσων εμβαδών, για τη μελέτη της ευστάθειας μεταβατικής κατάστασης του συστήματος ΣΓ-άπειρου ζυγού του Σχ Εξετάζουμε την περίπτωση μεταβολής της γωνίας φόρτισης δ της ΣΓ, όταν επιβάλλεται απότομη αλλαγή της μηχανικής ισχύος στον άξονα ίση με ΔP sh. ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 33

34 Σημείο λειτουργίας Σ.Κ. Σ 1 : p p pˆ sinδ sh 1 e 1 t t : 1 Ξαφνική αύξηση μηχανικής ισχύος Δ p sh, σε Δt 0 p p Δp pˆ sinδ Σημείο λειτουργίας Μ.Κ. Σ : sh e Σχετική γωνιακή ταχύτητα του δρομέα Απόλυτη γωνιακή ταχύτητα sh dδ dt dθ ωs ω() t ω dt s Σύγχρονη γωνιακή ταχύτητα ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 34

35 p e p e Σ 3 p 3 A p = _ p sh +Δ p sh Σ Σ 4 p 1 = _ p sh Σ 1 A 1 0 δ 1 δ δ 3 π / δ 4 =π-δ π t 1 t t 3 δ [rad] t 5 t 4 t t : 0, 1 p δ( t1) δ1, a dδ dt t t 1 0 ω( t1) ωs ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 35

36 t t t : 1 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ: d δ dδ pa psh pe 0 0 ( 0) δ( t) ( δ 1) dt dt t t : p 0 δ( t ) δ a dδ dt t t 0 ω( t ) ωs ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 36

37 t t t : 3 d δ dδ pa psh pe 0 0 ( 0) δ( t) ( δ ) dt dt t t : 0, 3 p δ( t3) δ3, a dδ dt t t 3 0 ω( t 3 ) ωs ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 37

38 Διάστημα επιβράδυνσης: t t t : 3 4 d δ dδ pa psh pe 0 0 ( 0) δ( t) ( δ 3) dt dt t t : 0, 4 p δ( t4) δ, a dδ 4 dt t=t 4 < 0 ω( t ) ωs ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 38

39 p e p e Σ 3 p 3 A p = _ p sh +Δ p sh Σ Σ 4 p 1 = _ p sh Σ 1 A 1 0 δ 1 δ δ 3 π / δ 4 =π-δ π t 1 t t 3 t 5 t 4 t t t : 4 5 d δ dδ pa psh pe 0 0 ( 0) δ( t) ( δ ) dt dt δ [rad] ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 39

40 t t : 0, 5 pa δ( t5) δ1, dδ dt t t 5 0 ω( t5) ωs Αρχική παραδοχή: αμελούνται τριβές και αποσβέσεις Η γωνία φόρτισης δ θα ταλαντώνεται συνεχώς μεταξύ των δ 1 και δ 3 Στην πράξη υπάρχουν πάντα τριβές και αποσβέσεις Οι ταλαντώσεις θα φθίνουν συνεχώς ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 40

41 Αν το σύστημα έχει ευστάθεια μεταβατικής κατάστασης, ο δρομέας θα ισορροπήσει στη νέα γωνία φόρτισης δ η οποία αντιστοιχεί στην ισχύ p η οποία προσδιορίζεται από την τομή Σ των καμπυλών της μηχανικής και της ηλεκτρικής ισχύος Η άγνωστη γωνία δ 3 θα προσδιοριστεί από την ισότητα μεταξύ της κινητικής ενέργειας W 1 που κέρδισε ο δρομέας κατά το διάστημα επιτάχυνσης και της κινητικής ενέργειας W που απέδωσε ο δρομέας κατά το διάστημα επιβράδυνσης ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 41

42 Απόδειξη κριτηρίου ίσων εμβαδών Απόδειξη μέσω της αναλογίας ισχύος επιτάχυνσης και ροπής Η άγνωστη γωνία δ 3 μπορεί να προσδιοριστεί από την ισότητα των διαγραμμισμένων εμβαδών Α 1 και Α του σχήματος, επειδή η κινητική ενέργεια W 1 αποδεικνύεται ότι είναι ανάλογη του εμβαδού Α 1 και η κινητική ενέργεια W αποδεικνύεται ότι είναι ανάλογη του εμβαδού Α ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 4

43 Κινητική ενέργεια δρομέα 1 dδ m W Jωm dw J ωm dωm J dωm dt Ροπή δρομέα dω dt m Τ J dw T dδm Ισχύς επιτάχυνσης δρομέα a m P Τω ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 43

44 ΠΑΡΑΔΟΧΗ: Η γωνιακή ταχύτητα ω m για το αρχικό διάστημα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Επομένως, η ισχύς επιτάχυνσης (σε ανηγμένο μέγεθος p a ) μπορεί να θεωρηθεί ανάλογη της ροπής, δηλ. p a Κινητική ενέργεια κατά την επιτάχυνση δ Τ m W Τdδ p dδ A 1 m a 1 δ δ δ m1 1 Κινητική ενέργεια κατά την επιβράδυνση δ m3 3 W Τdδ p dδ A m a δ δ δ m ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 44

45 Αρχική παραδοχή: Αμελούνται οι αποσβέσεις (δινορρεύματα και αντιστάσεις). Επομένως, η κινητική ενέργεια W 1 που κέρδισε ο δρομέας κατά το διάστημα επιτάχυνσης είναι ίση με την κινητική ενέργεια W που απέδωσε ο δρομέας κατά το διάστημα επιβράδυνσης, δηλ. W1 W A1 A σχέση από την οποία υπολογίζεται η άγνωστη γωνία δ 3 Α 1 : Εμβαδόν επιτάχυνσης (acceleration area) Α : Εμβαδόν επιβράδυνσης (deceleration area) ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 45

46 Απόδειξη μέσω της εξίσωσης κίνησης του δρομέα p e p e Σ 3 p 3 A p = _ p sh +Δ p sh Σ Σ 4 p 1 = _ p sh Σ 1 A 1 0 δ 1 δ δ 3 π / δ =π-δ 4 π δ [rad] ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 46

47 δ t H d δ dδ 1 ( sh e) ω δ s dt dt t Α p p dδ dt 1 1 t H dδ dδ H dδ d ω dt dt ω dt s t 1 s t t 1 Α 1 s H dδ H dδ ω dt ω dt t s 1 t ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 47

48 Με όμοιο τρόπο προκύπτει Α s H dδ H dδ ω dt ω dt t s 3 Αλλά, όπως είδαμε, τα σημεία Σ 1 και Σ 3 ορίζονται ως σημεία με μηδενική σχετική γωνιακή ταχύτητα, δηλαδή dδ dt t dδ dt t 1 3 οπότε προκύπτει πάλι η σχέση A A, 1 από την οποία όπως είπαμε υπολογίζεται η άγνωστη γωνία δ 3 0 t ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 48

49 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λαμπρίδης Δημήτρης. «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ, ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΗΕ ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 49

50 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο [1] ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ 50

51 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Σβάρνα Κωνσταντίνα Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο

52 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

53 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ, ΑΠΘ