2.2 ιατήρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης

Transcript

1 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης. Έργο α) Ορισμός : Έργο (W) σταθερς δύναμης F η οποία μετατοπίζει ένα σώμα κατά την διεύθυνση της ονομάζεται το γινόμενο της δύναμης επί την μετατόπιση δηλαδ είναι W = F. Μονάδα έργου είναι το J (joule) και J = N. y F β) Έργο σταθερς δύναμης : Το έργο σταθερς δύναμης που μετατοπίζει ένα σώμα κατά την διεύθυνση της είναι W = F ενώ το έργο δύναμης που είναι κάθετη στην μετατόπιση είναι ίσο F y με μηδέν. Αν έχουμε σταθερ δύναμη F που σχηματίζει γωνία θ με την διεύθυνση της μετατόπισης τότε αν αναλύσουμε την δύναμη σε δυο συνιστώσες όπως στο σχμα θα έχουμε : W F = W F + W Fy Αλλά W Fy = 0 και F = F συνθ άρα για το έργο έχουμε W F = F συνθ.από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι το πρόσημο του έργου συμπίπτει με το πρόσημο του συνθ. Αν 0 θ < π/ το έργο είναι θετικό (W > 0) ενώ αν π/ θ π το έργο είναι αρνητικό (W < 0). γ) Έργο δύναμης μεταβλητού μέτρου : Αν η δύναμη είναι συνάρτηση της μετατόπισης τότε το έργο της υπολογίζεται ως εξς : Κατασκευάζουμε το διάγραμμα δύναμης μετατόπισης. Το έργο της δύναμης για μετατόπιση κατά είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται από το διάγραμμα F = f(), τον άξονα των και τις καθέτους στον άξονα οι οποίες αντιστοιχούν στην μετατόπιση. Παρατρηση: Αν κάποιο τμμα του διαγράμματος είναι κάτω από τον άξονα των, τότε το έργο είναι αρνητικό για το τμμα αυτό.. Βασικά Έργα α) Έργο βάρους : Θεωρούμε μικρ μετατόπιση του σώματος βάρους g στο βαρυτικό πεδίο ώστε η επιτάχυνση g να μένει σταθερ. Η τυχαία διαδρομ Α ΓΑ z Γ του σώματος μετατρέπεται στην κλιμακωτ διαδρομ του σχματος. g Έργο του βάρους έχουμε μόνο στις κατακόρυφες μετατοπίσεις και είναι ίσο με το γινόμενο του βάρους επί το αλγεβρικό τους άθροισμα, δηλαδ g(a A 3 ). Aν τα σκαλοπάτια της κλίμακας γίνουν παρά πολύ μικρά και z A 3 A ταυτόχρονα αυξάνει ο αριθμός τους τότε η κλιμακωτ γραμμ έχει όριο 0 την καμπύλη Α ΓΑ ενώ το έργο παραμένει σταθερό. Αλλά η απόσταση (Α Α 3 ) = z - z άρα για το έργο του βάρους γράφουμε W ( ) = g(z - z ). Δηλαδ το έργο του βάρους είναι ίσο με το γινόμενο του βάρους επί την διαφορά του αρχικού ύψους μείον το τελικό ύψος. β) Έργο της τριβς ολίσθησης : Σε μια ευθύγραμμη τροχιά για μετατόπιση το έργο της τριβς ολίσθησης είναι W T = T συν80 0 W T = - T. To έργο αυτό είναι πάντα αρνητικό γιατί πάντα η τριβ είναι αντίθετη στην μετατόπιση. Άρα το έργο της τριβς ολίσθησης σε μια κλειστ διαδρομ δεν μπορεί να είναι ποτέ ίσο με μηδέν. Αυτού του είδους οι δυνάμεις λέγονται μη διατηρητικές. Διατηρητικές ( συντηρητικές ) λέγονται οι δυνάμεις το έργο των οποίων σε μια κλειστ διαδρομ είναι ίσο με μηδέν. Τέτοια δύναμη είναι το βάρος. z A F 0 0 θ F F = f() Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

2 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Μη διατηρητικές ( μη συντηρητικές ) λέγονται οι δυνάμεις το έργο των οποίων σε μια κλειστ διαδρομ είναι διαφορετικό από μηδέν. Τέτοια δύναμη είναι η τριβ. γ) Έργο δύναμης ελατριου : F H δύναμη η οποία μεταβάλλει το μκος ελατριου δίνεται από τον νόμο του Hooke F = k, όπου k η σταθερά του ελατριου και η παραμόρφωση k B μετρημένη από το φυσικό του μκος l 0. Επειδ η δύναμη δεν είναι F σταθερ δεν μπορώ να χρησιμοποισω την W = F για τον υπολογισμό του k A έργου για παραμόρφωση από έως. Αν χωρίσω την παραμόρφωση σε Γ μικρά κομμάτια Δ τότε η δύναμη θεωρείται σταθερ και το έργο είναι 0 ΔW = FΔ. Το άθροισμα αυτών των στοιχειωδών έργων είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ΑΒΓΔ του τραπεζίου του σχματος. Το τραπέζιο έχει βάσεις ΑΔ = k και ΒΓ = k και ( AΔ+ΒΓ) ΓΔ (k + k ) ( - ) ύψος -. Άρα W( ) = (AΒΓΔ) W ( ) = W( ) = k ( + ) ( - ) k ( - ) W( ) = W( ) = W( ) = k k. Aν θεωρσουμε ότι αρχικά το ελατριο βρίσκεται στο φυσικό του μκος τότε = 0 και έχουμε W(0 ) = k. Οι σχέσεις αυτές ισχύουν και για συμπίεση και για επιμκυνση του ελατριου. Παρατρηση : Τα μκη και είναι μετρημένα από το φυσικό μκος του ελατηρίου πάντα. 3. Κινητικ Ενέργεια α) Έργο και κινητικ ενέργεια : Ας θεωρσουμε ένα σώμα μάζας που κινείται με σταθερ ταχύτητα υ 0. Κάποια στιγμ ασκείται στο σώμα σταθερ δύναμη F η οποία έχει την διεύθυνση της ταχύτητας. Σε χρόνο t η δύναμη μετατοπίζει το σώμα κατά. Για την ταχύτητα υ και την μετατόπιση στο χρόνο t θα ισχύει : υ = υ 0 + αt και = υ 0 t + υ-υ αt. Λύνοντας την πρώτη ως προς t έχουμε t = 0 και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έχουμε α υ-υ α 0 υ-υ0 υυ -υ α( υ -υυ +υ 0 0) υυ -υ υ -υυ +υ =υ + 0 = + = + α α α α α α υυ -υ + υ -υυ +υ υ -υ = = 0. α α Αλλά για την δύναμη ισχύει F = α και για το έργο W = F και αντικαθιστώντας την δύναμη και την μετατόπιση στον τύπο του έργου έχουμε H ποσότητα υ Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται υ -υ W =α 0 α υ -υ W = 0 υ υ0 W =. λέγεται κινητικ ενέργεια του σώματος και συμβολίζεται με Κ. Είναι υ K = άρα W = K - K 0. Άρα το έργο της δύναμης χρησιμοποιθηκε για να αυξσει την κινητικ ενέργεια του σώματος. β) Το θεώρημα (της μεταβολς) της κινητικς ενέργειας : Όταν σε κινούμενο σώμα ασκούνται παραπάνω από μια δυνάμεις, κάθε μια από αυτές εκτελεί το έργο της ανεξάρτητα από τις άλλες. Το αλγεβρικό άθροισμα όλων των έργων λέγεται ολικό έργο W ολ. Για τον υπολογισμό του έχουμε δυο επιλογές. Υπολογίζουμε το έργο κάθε δύναμης χωριστά και το αλγεβρικό άθροισμα των έργων δίνει το W ολ Υπολογίζουμε την συνιστάμενη δύναμη και το έργο της δίνει το W ολ. Γενικεύοντας την σχέση έργου και κινητικς ενέργειας που αποδείξαμε στο (β) έχουμε το θεώρημα (μεταβολς) της κινητικς ενέργειας : «Σε κάθε μετατόπιση το ολικό έργο των δυνάμεων που ασκθηκαν στο σώμα είναι ίσο με την μεταβολ που παρουσίασε η κινητικ ενέργεια του σώματος», δηλαδ K - K = W ολ.

3 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης γ) Κινητικ ενέργεια συστματος υλικών σημείων : Έχουμε ένα σύνολο από υλικά σημεία με μάζες,, 3,..., ν και ταχύτητες υ, υ, υ 3,..., υ ν αντίστοιχα. Σαν κινητικ ενέργεια του συστματος θεωρούμε το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των υλικών σημείων, δηλαδ K = υ + υ + υ υ ολ ν ν 4. Δυναμικ Ενέργεια α) Ορισμός : Δυναμικ ενέργεια λέγεται η ενέργεια που έχουν αποθηκευμένη τα σώματα που μπορούν να εκτελέσουν έργο και να μεταδώσουν κίνηση. β) Βαρυτικ δυναμικ ενέργεια : λέγεται η δυναμικ ενέργεια που έχει ένα σώμα όταν βρίσκεται σε ορισμένο ύψος από το έδαφος και έχει βάρος. Έχουμε δείξει ότι το έργο του βάρους για μετακίνηση σώματος μάζας από ύψος z σε ύψος z από το έδαφος είναι W ( ) = g(z - z ) άρα W ( ) = gz - gz. Ονομάζοντας U = gz δυναμικ ενέργεια έχουμε W ( ) = U - U. Η ποσότητα U = gz δίνει το έργο του βάρους για μετατόπιση z. Γενικεύοντας ορίζουμε σαν δυναμικ βαρυτικ ενέργεια ενός σώματος την ποσότητα U = gz όπου z η απόσταση του σώματος από κάποια οριζόντια επιφάνεια αναφοράς. Από την W ( ) = U - U W w = - ( U - U ) W w = - ΔU ΔU = - W w. Δηλαδ η μεταβολ της δυναμικς ενέργειας είναι αντίθετη από το έργο του βάρους. γ) Δυναμικ ενέργεια (γενίκευση) : Σε κάθε σύστημα σωμάτων που αλληλεπιδρούν και οι αλληλεπιδράσεις περιγράφονται με διατηρητικές δυνάμεις αντιστοιχεί κάποια δυναμικ ενέργεια. Η τιμ της μεταβάλλεται εφόσον τα σώματα παρουσιάσουν σχετικ μετακίνηση. Οι μεταβολές της είναι αντίθετες με το έργο των δυνάμεων που περιγράφουν την αλληλεπίδραση. Δηλαδ ΔU = - W αλ. δ) Ελαστικ δυναμικ ενέργεια ελατριου : θεωρούμε ένα ελατριο τεντωμένο συσπειρωμένο κατά από το φυσικό του μκος. Για να ισορροπεί σε αυτ τη θέση το ελατριο πρέπει να ασκείται εξωτερικ δύναμη που δίνεται από τον νόμο του Hooke F εξ = k. Για μεταβολ της παραμόρφωσης από σε η εξωτερικ δύναμη εκτελεί έργο το οποίο είναι W = k k. Aν δεχτούμε ότι η εξωτερικ Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται εξ( ) δύναμη ενεργεί αργά ώστε κατά την μεταβολ της παραμόρφωσης να έχουμε διαρκώς ισορροπία της εξωτερικς δύναμης και της δύναμης αλληλεπίδρασης από το ελατριο, η μεταβολ της κινητικς ενέργειας είναι μηδέν. Από το θεώρημα κινητικς ενέργειας έχουμε : ΔK = W εξ( ) + W αλ( ) = 0 W εξ( ) = - W αλ( ). Αλλά - W = k αλ( ) - k αλ( ) W = k - k W αλ( ) = U - U. W εξ( ) = k k άρα Ονομάσαμε U= k την ελαστικ δυναμικ ενέργεια του ελατριου. Αυτ δίνει το έργο που έχει την δυνατότητα να εκτελέσει ένα παραμορφωμένο ελατριο μέχρι να επανέλθει στο φυσικό του μκος το έργο που εκτελέσαμε για να γίνει αυτ η παραμόρφωση. ε) Δυναμικ ενέργεια και ισορροπία : Ένα σώμα που βρίσκεται σε ασταθ ισορροπία έχει την μέγιστη δυναμικ ενέργεια και σε οποιαδποτε μετατόπιση η δυναμικ ενέργεια του μειώνεται. Ένα σώμα που βρίσκεται σε αδιάφορη ισορροπία έχει κάποια δυναμικ ενέργεια και σε οποιαδποτε μετατόπιση η ενέργεια αυτ παραμένει σταθερ. Ένα σώμα που βρίσκεται σε ευσταθ ισορροπία έχει την ελάχιστη δυναμικ ενέργεια και σε οποιαδποτε μετατόπιση η δυναμικ του ενέργεια αυξάνεται. Γενικότερα ένα σύστημα, τα σώματα του οποίου αλληλεπιδρούν τείνει αυθόρμητα να μεταπέσει σε μια κατάσταση στην οποία η δυναμικ του ενέργεια θα είναι ελάχιστη. 5. Μηχανικ Ενέργεια α) Ορισμός : Μηχανικ ενέργεια ( Ε ) ονομάζεται το άθροισμα της κινητικς και της δυναμικς ενέργειας ενός σώματος δηλαδ είναι : Ε = K + U

4 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης β) Η μηχανικ ενέργεια διατηρείται : Aν θεωρσουμε ένα σύστημα σωμάτων στο οποίο δρουν μόνο εσωτερικές διατηρητικές δυνάμεις έχουμε W ολ = ΔK και W αλ = - ΔU και επιπλέον W ολ = W αλ. Άρα ΔK = - ΔU K - K = - ( U - U ) K - K = - U + U K + U = K + U E = Ε. Το τελευταίο συμπέρασμα είναι η μαθηματικ έκφραση της αρχς διατρησης της μηχανικς ενέργειας «Σε κάθε κλειστό σύστημα, στο οποίο εμφανίζονται μόνο εσωτερικές διατηρητικές δυνάμεις, το άθροισμα της κινητικς και δυναμικς ενέργειας ( δηλαδ η μηχανικ ενέργεια ) διατηρείται σταθερό». 6. Ισχύς - Απόδοση Μηχανς α) Ισχύς ( Ρ ) : ορίζεται το πηλίκο του έργου W που εκτελέστηκε σε κάποιο χρόνο t προς τον χρόνο W αυτό. Η ισχύς εκφράζει τον ρυθμό με τον οποίο αποδίδεται η προσφέρεται ενέργεια. Δηλαδ P=. t Μονάδα ισχύος είναι το W ( Watt ) και W = J/s. Παρατρηση : Για την ισχύ σταθερς δύναμης έχουμε : Το έργο της δύναμης δίνεται από την σχέση W W = F άρα η ισχύς είναι P= F P = αλλά υ= άρα P = F υ t t t β) Απόδοση μηχανς (α) : Η ισχύς που αποδίδει μια μηχαν όταν λειτουργεί ονομάζεται ωφέλιμη ισχύς (P ωφ ), ενώ η ισχύς με την οποία την τροφοδοτούμε ονομάζεται καταναλισκόμενη ισχύς (P κατ ). Συντελεστς απόδοσης μιας μηχανς ονομάζεται ο λόγος της ωφέλιμης ισχύος προς την καταναλισκόμενη ισχύ : Pωφ α =. Ισχύει πάντα 0 α. P δαπ. Ορισμοί α) Σύστημα σωμάτων Σύστημα σωμάτων ονομάζουμε δύο περισσότερα σώματα τα οποία αλληλεπιδρούν. β) Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Εσωτερικές δυνάμεις συστματος είναι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης ( δράσεις και αντιδράσεις ) ανάμεσα στα σώματα του συστματος. Εξωτερικές δυνάμεις συστματος λέγονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε σώματα του συστματος από σώματα έξω από το σύστημα, γ) Μονωμένο σύστημα Μονωμένο σύστημα σωμάτων λέγεται αυτό στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις αν ασκούνται η συνισταμένη τους είναι ίση με μηδέν.. Ορμ α) Ορμ υλικού σημείου : Ορμ υλικού σημείου ονομάζεται το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητα του. Είναι διανυσματικό μέγεθος και έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας, δηλαδ p=υ. Μονάδα ορμς στο S.I. είναι το kg /s N s. β) Ορμ συστματος σωμάτων : Είναι το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των υλικών σημείων του συστματος. Δηλαδ p=υ +υ +...+υ. ν ν 3. Δύναμη και μεταβολ της ορμς Όταν σε ένα σώμα ασκούνται δυνάμεις έχουμε αλλαγ της ταχύτητάς του άρα και της ορμς του. Ένα σώμα μάζας έχει ταχύτητα υ. Στο σώμα ασκείται δύναμη F η οποία προκαλεί επιτάχυνση α. Το σώμα σε χρόνο αποκτά ταχύτητα υ. Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

5 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Για την δύναμη F από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικς έχουμε Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται F = α, αλλά Δυ α = υ -υ α = υ -υ υ - υ άρα F = F =. Η αρχικ ορμ του σώματος είναι p = υ και η τελικ p = υ άρα για την δύναμη έχουμε p -p Δp F = F = Η σχέση αυτ είναι ο ος νόμος Newton και μας δείχνει ότι για να μεταβληθεί η ορμ ενός σώματος πρέπει να ασκηθεί πάνω του δύναμη. 4. Η αρχ διατρησης της ορμς Οι δύο μπάλες με μάζες και κινούνται με σταθερές ταχύτητες υ και υ. Οι μπάλες μετά την κρούση κινούνται με ταχύτητες v και v αντίστοιχα. Κατά τη διάρκεια της κρούσης η οποία διάρκεσε χρόνο στα σώματα ασκθηκαν οι δυνάμεις F και F αντίστοιχα. η μπάλα : Η μεταβολ της ταχύτητας είναι v - υ και εφαρμόζοντας το υ υ v - υ δεύτερο νόμο της κίνησης έχουμε F = ❶ η F F μπάλα : Η μεταβολ της ταχύτητας είναι v - υ και εφαρμόζοντας το v - υ δεύτερο νόμο της κίνησης έχουμε F = ❷ v v Για τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης από τον 3 ο νόμο της κίνησης ισχύει : F =-F ❸ Από τις εξισώσεις ❶, ❷ και ❸ έχουμε : v -υ v -υ F =-F = - ( v -υ ) =-( v -υ ) v -υ =- v +υ v + v =υ +υ p =p. τελ αρχ Γενικεύοντας το συμπέρασμα αυτό για οποιοδποτε σύστημα σωμάτων έχουμε την αρχ διατρησης της ορμς : «Η ορμ ενός συστματος διατηρείται εφόσον δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα». Παρατρηση : Αν οι ταχύτητες έχουν όλες την ίδια διεύθυνση μπορούμε να χρησιμοποισουμε στην εξίσωση τις αλγεβρικές τιμές ( η ορμ θεωρείται θετικ αν η ταχύτητα έχει κατεύθυνση προς τα θετικά του άξονα και αρνητικ στην αντίθετη περίπτωση ). Άρα υ + υ = v + v 5. Κρούση Κρούση ονομάζεται το φαινόμενο της σύγκρουσης δύο περισσότερων σωμάτων. Το φαινόμενο θεωρούμε ότι διαρκεί πολύ λίγο χρόνο. Κατά τη διάρκεια του φαινομένου τα σώματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις δράσης αντίδρασης και μπορούμε να θεωρσουμε ότι αποτελούν ένα μονωμένο σύστημα. Σε όλες τις κρούσεις ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς. Ελαστικ κρούση Ονομάζεται η κρούση στην οποία ισχύει η αρχ διατρησης της ενέργειας. Ανελαστικ κρούση Ονομάζεται η κρούση στην οποία δεν ισχύει η αρχ διατρησης της ενέργειας. Έχουμε απώλειες ενέργειας με τη μορφ θερμότητας. Πλαστικ κρούση : Είναι μια ειδικ περίπτωση ανελαστικς κρούσης στην οποία έχουμε συσσωμάτωμα μετά την κρούση, δηλαδ τα σώματα συμπεριφέρονται σαν ένα σώμα με μάζα ολ = + +

6 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Παρατρηση : Θεωρούμε ότι η διάρκεια της κρούσης είναι πολύ μικρ και τα σώματα έχουν μόνο κινητικ ενέργεια. Κινητικ ενέργεια Κ έχει ένα σώμα όταν κινείται. Αν υ η ταχύτητα του σώματος και η μάζα του τότε Κ = υ. 6. Εφαρμογές της αρχς διατρησης της ορμς α) Εφαρμογ στην ανάκρουση του όπλου Όταν το όπλο πυροβολεί, εκτινάσσεται στην αντίθετη κατεύθυνση. Στο σύστημα όπλο βλμα οι δυνάμεις που ασκούνται είναι εσωτερικές, άρα το σύστημα είναι μονωμένο. Αν εφαρμόσουμε την αρχ διατρησης της ορμς για το σύστημα βλμα όπλο θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε την v M + υ ταχύτητα οπισθοχώρησης του όπλου (ταχύτητα ανάκρουσης). p =p τελ αρχ, αλλά p = 0 αρχ, άρα υ + Μ v = 0 και p = υ + Μv τελ Μ v = - υ v = - υ M β) Σύστημα ελατριο μάζα Θεωρούμε το σύστημα με τα δύο σώματα και το ελατριο που φαίνονται στο σχμα. Τα δύο σώματα κινούνται χωρίς τριβές και το ελατριο αρχικά συγκρατείται συμπιεσμένο με νμα. Αν κόψουμε το νμα τα σώματα θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα. Επειδ κινούνται στην ίδια ευθεία τα διανύσματα της ορμς έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Το σύστημα είναι μονωμένο γιατί όλες οι δυνάμεις είναι εσωτερικές. Αν εφαρμόσουμε την αρχ διατρησης της ορμς έχουμε : p = p p + p = p + p άρα - υ + υ = υ = υ ολ,τελ ολ,αρχ,τελ,τελ,αρχ,αρχ υ N F ελ N w w F ελ (+) υ. Σε σώμα μάζας = 5 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται σταθερ δύναμη με μέτρο F = 50 N που σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια επιφάνεια. Για την γωνία θ ισχύει ημθ = 0.6 και συνθ = 0.8. Ο συντελεστς τριβς μεταξύ σώματος και επιφάνειας είναι μ = 0.5. Το σώμα μετατοπίζεται οριζόντια κατά = 0. Να βρεθούν α) Το έργο κάθε δύναμης που ασκείται στο σώμα, β) το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων, γ) η συνισταμένη δύναμη και δ) το έργο της συνισταμένης δύναμης και να συγκριθεί με το αποτέλεσμα του (β). α) Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος w, η δύναμη F, η δύναμη στριξης F και η τριβ Τ. Η δύναμη F αναλύεται στις κ συνιστώσες F = Fσυνθ και F y = Fημθ.Στον άξονα y έχουμε ισορροπία άρα ΣF y = 0 άρα F y + F κ w = 0 F κ = g Fημθ F κ = F κ = 0 Ν. Για την τριβ έχουμε Τ = μf κ Τ = Τ = 0 Ν. Τα έργα των δυνάμεων είναι : W F = F συνθ W F = W F = 400 J Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται Τ y F θ F F F y k w

7 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης W w = 0 ( Το βάρος είναι κάθετο στη μετατόπιση ) W = 0 ( Η δύναμη στριξης είναι κάθετη στη μετατόπιση ) F κ W Τ = - Τ W Τ = W Τ = - 00 J β) Είναι W ολ = W F + W B + W + W T = (- 00 ) = 300 J F κ γ) Επειδ ΣF y = 0 η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με F άρα F ολ = ΣF F ολ = F Τ F ολ = Fσυνθ Τ F ολ = F ολ = 30 Ν δ) W ολ = F ολ W ολ = 30 0 W ολ = 300 J Παρατηρούμε ότι : Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο σώμα.. Το πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς κ = 00 N/ είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Στο κάτω άκρο κρέμεται ένα σώμα μάζας = 4 kg και το κατεβάζουμε σιγά σιγά μέχρι να ηρεμσει σε κάποια θέση. α) Να βρεθεί η επιμκυνση του ελατηρίου αν δίνεται g = 0 /s. β) Ασκούμε δύναμη F στο σώμα και το μετατοπίζουμε σιγά σιγά προς τα κάτω κατά = 0,. Να υπολογιστεί το έργο του βάρους και το έργο της δύναμης του ελατηρίου για αυτ τη μετατόπιση. α) Στη θέση ισορροπίας στο σώμα ασκούνται : Το βάρος και η δύναμη από το ελατριο. Από την g συνθκη ισορροπίας έχουμε ΣF = 0 w F ελ = 0 g = k = k 4 0 = = β) Για την μετατόπιση το έργο του βάρους είναι W w = g W w = W w = 4 J Το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι W = κ - κ. ελ F Αλλά = + = = 0.3 άρα W = W ελ ελ = 5 J. 3. Σώμα μάζας = kg μεταφέρεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου κλίσης θ, με ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8, στην κορυφ με την δράση δύναμης F. Η δύναμη έχει μέτρο F = 40 N και διεύθυνση παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο με φορά προς τα πάνω. Ο συντελεστς τριβς ολίσθησης ανάμεσα στο σώμα και το κεκλιμένο επίπεδο είναι μ = 0.5. Να βρεθεί το έργο της κάθε δύναμης για μετατόπιση = 0 αν g = 0 /s. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος w, η δύναμη F, η δύναμη στριξης από το δάπεδο F κ, και η τριβ Τ. Θεωρούμε τον άξονα ( παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο ) και τον άξονα y ( κάθετο στον ). Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες την w = gημθ και την w y = gσυνθ, όπως στο σχμα. Υπολογισμός τριβς : Η συνθκη ισορροπίας στον άξονα y δίνει : ΣF y = 0 F k w y = 0 F k = gσυνθ F k = F k = 6 Ν Για την τριβ ισχύει Τ = μ F k Τ = Τ = 8 Ν. Υπολογισμός έργων των δυνάμεων : Για το έργο της κάθε δύναμης έχουμε : Δύναμη F : W = F συν0 0 W = 40 0 W = 400 J Βάρος w : W = W + W W = gημθ + 0 W = W = 0 J w w y Τριβ Τ : W = Τ Τ = 8 0 Τ = 80 J Δύναμη στριξης F k : W = 0 ( γιατί η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση ) y T w θ F F k w θ w y Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

8 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης 4. Σε σώμα με μάζα = 0 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντια επιφάνεια ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 60 Ν. Ο συντελεστς τριβς ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του επιπέδου είναι μ = 0.. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμ που έχει διανύσει απόσταση = 8. Δίνεται g = 0 /s. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις που φαίνονται στο σχμα. Υπολογισμός τριβς : Στον άξονα y το σώμα ισορροπεί άρα ΣF y = 0 επομένως F k w = 0 άρα F k = g. Για την τριβ ισχύει Τ = μ F k άρα Τ = μ g Τ = Τ = 0 Ν Θεώρημα της κινητικς ενέργειας : υ - 0 = W F + W T + W w + W Fk Κ Κ = W ολ άρα ❶ Υπολογισμός έργων των δυνάμεων : W F = F W F = 60 8 άρα W F = 480 J W Τ = Τ W Τ = 0 8 άρα W Τ = 60 J W = W = 0 ❶ w F k υ = W + W + W + W F T w Fk άρα υ = ( W + W + W + W F T w F ) k άρα υ = ( ) 0 υ = 8 /s. 5. Κατακόρυφο ελατριο σταθεράς κ είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του. Στο πάνω άκρο του προσθέτουμε σώμα μάζας = kg και το συγκρατούμε ώστε το ελατριο να είναι συμπιεσμένο κατά = 0.3. Όταν αφσουμε ελεύθερο το σώμα, τότε αυτό κινείται προς τα πάνω και φθάνει σε ύψος h = 0.4 πάνω από την αρχικ του θέση. Να βρεθεί η σταθερά κ του ελατηρίου. Δίνεται g = 0 /s. Παραμορφώσεις του ελατηρίου : Στην αρχικ θέση το ελατριο είναι συμπιεσμένο κατά. Στην τελικ θέση το ελατριο έχει επιμηκυνθεί κατά = h = άρα = 0.. Οι παραμορφώσεις του ελατηρίου είναι πάντα μετρημένες από το φυσικό του μκος!!! Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος του και η δύναμη από το ελατριο. Θεώρημα της κινητικς ενέργειας : Κ Κ = W ολ άρα 0-0 = W + W ❶ ελ w Υπολογισμός έργων των δυνάμεων : W = κ - κ ελ W w = gh ❶ W ελ + W w = 0 άρα κ - κ + (- gh ) = 0 κ ( - ) = gh gh 0 0,4 άρα κ = κ = επομένως k = 00 Ν/ Προσδένουμε ένα μικρό σώμα μάζας = kg στην άκρη νματος με μκος l = 0,4. Κρατάμε το νμα τεντωμένο ώστε να σχηματίζει γωνία θ = 60 0 με τη κατακόρυφο. Αφνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος (***και η τάση του νματος όταν το σώμα περνάει από την Τ l Ο θ κατακόρυφο). Δίνεται g = 0 /s 0. Α Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : Το βάρος και η τάση του νματος ( Η h Τ τάση μεταβάλλεται συνέχεια κατά την κίνηση του σώματος, αλλά είναι υ πάντα κάθετη στη μετατόπιση γιατί έχει τη κατεύθυνση της ακτίνας, άρα Γ w δεν εκτελεί έργο ). Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται h

9 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Επειδ η μόνη δύναμη που εκτελεί έργο στο σώμα είναι το βάρος, η μηχανικ ενέργεια του συστματος διατηρείται. Αν θεωρσουμε σαν επίπεδο μηδενικς δυναμικς ενέργειας την κατώτερη θέση του σώματος έχουμε : Ε ( Α ) = Ε ( Γ ) άρα Κ Α + U A = K Γ + U Γ 0 + gh = υ + 0 άρα υ = gh ❶ Υπολογισμός της υψομετρικς διαφοράς : Από το τρίγωνο ΟΑΔ το τμμα OΔ είναι : OΔ = ΑΟ συνθ επομένως OΔ = l συνθ. Για το h είναι : h = OΓ ΟΔ άρα h = l l συνθ h = l ( συνθ) ❷ Η μέθοδος αυτ χρησιμοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις που απαιτείται η υψομετρικ διαφορά δύο θέσεων στην κίνηση εκκρεμούς. Από τις σχέσεις ❶ και ❷ έχουμε : υ = g l ( - συνθ ) ( ) υ = 0 0,4-0,5 υ = /s. *** Υπολογισμός της τάσης του νματος : Η συνισταμένη των δυνάμεων στο κατώτερο σημείο της τροχιάς είναι η κεντρομόλος δύναμη άρα ΣF R = F κ και σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της κίνησης έχουμε : Τ w = Τ = g + g ( - συνθ) l l υ άρα Τ = g + l υ l Τ = g + g gσυνθ Τ = 3g gσυνθ Τ = g( 3 συνθ ) άρα Τ = 0 ( ) Τ = 0 Ν. Η μέθοδος αυτ χρησιμοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις που απαιτείται η τάση του νματος σε κάποια θέση στην κίνηση εκκρεμούς αφού υπολογίσουμε πρώτα την ταχύτητα του σώματος στη θέση αυτ. 7. Ένα σώμα μάζας = kg ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο έχει μ = 0,5. Ασκούμε στο σώμα δύναμη F, που η τιμ της μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογς της, σύμφωνα με τη σχέση F = ( σε, F σε N ). Να υπολογίσετε : α. Κατά πόσο θα μετακινηθεί το σώμα, πριν εγκαταλείψει το οριζόντιο επίπεδο ; β. Την ταχύτητα του σώματος τη στιγμ που εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται : ημθ = 0,8, συνθ = 0,6 και g = 0 /s. α. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις : το βάρος w, η κάθετη αντίδραση N, η δύναμη της τριβς Τ και η δύναμη F. Αναλύουμε τη δύναμη F στις συνιστώσες : F = ,6 άρα F = (S.I.) F = Fσυνθ ( ) F y = Fημθ F = y ( 0 + 5) 0,8 άρα F y = (S.I.) Στον άξονα y το σώμα ισορροπεί, άρα ΣF = 0 Ν + F y w = 0 άρα N = - 4 (S.I.). Ν = g F y επομένως Ν = 0 /s ( ) N άρα ( ) Η τριβ δίνεται από τον νόμο της τριβς ολίσθησης Τ = μ Ν ( ) Τ = 0,5-4 (S.I.) άρα ( ) Το σώμα εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο όταν Ν = 0 άρα - 4 = 0 άρα = 3. Τ = 3 - (S.I.) ❶ β. Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για μετατόπιση του σώματος κατά Δ = 3 άρα K τελ K αρχ = W ολ, όπου K = υ και K = 0 ❷ τελ αρχ ΣF = Η συνισταμένη δύναμη στον άξονα των είναι ΣF = F T άρα λόγω της ❶ έχουμε ( ) άρα ΣF = ( )(S.I.) T F y N y w θ F θ F F Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

10 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Το έργο της συνισταμένης δύναμης για μετατόπιση = 3 θα υπολογιστεί από το διάγραμμα ΣF. ΣF = (S.I.) Για = 0 είναι ΣF = 3 N F(N) Για = 3 είναι ΣF = 5 N 5 Είναι ( ) ( 3 + 5) 3 Από το διάγραμμα W = άρα W ολ ολ = 7 J. υ = Από τις σχέσεις ❷ έχουμε 7 J kg επομένως υ = 3 3 /s υ - 0 = Wολ άρα Wολ υ = υ = Wολ άρα 3 0 W ολ 3 () Παράδειγμα 8. Υπολογισμός ορμς Πόση είναι η ορμ ενός αυτοκιντου μάζας =.500 kg που κινείται με ταχύτητα υ = 0 /s ; Είναι p = υ άρα p = 500 kg 0 /s άρα p = kg /s Παράδειγμα 9. Δύναμη και ορμ Πόση είναι η δύναμη που επιβραδύνει ένα αυτοκίνητο μάζας = 000 kg, αν αυτό έχει αρχικ ταχύτητα υ = 30 /s και ακινητοποιείται μετά από χρόνο t = 0 s ; Από την σχέση Δp p - p F = έχουμε F = υ - υ F = To - δείχνει ότι η δύναμη επιβραδύνει το αυτοκίνητο. Παράδειγμα 0. Δύναμη και ορμ kg 30 /s F = 0 s άρα F = N. Ένα κιβώτιο αφνεται να πέσει από ελικόπτερο. Αν η μάζα του κιβωτίου είναι = 0 kg, ποιος νομίζετε ότι είναι ο ρυθμός μεταβολς της ορμς του ; Αν g = 0 /s πόση ταχύτητα θα αποκτσει το κιβώτιο μετά από δύο δευτερόλεπτα ; Η μοναδικ δύναμη που ασκείται στο κιβώτιο είναι το βάρος του, άρα Δp = 0 kg 0 /s Δp = 00 kg /s άρα Δp = 00 N. Είναι υ = g t άρα υ = 0 /s s άρα υ = 0 /s Παράδειγμα. Δύναμη και ορμ Δp F = Δp = g Μια μπάλα μάζας 0,3 kg αφνεται να πέσει από τέτοιο ύψος, ώστε να φτάσει στο δάπεδο με ταχύτητα υ = 0 /s. Η μπάλα αναπηδά κατακόρυφα με ταχύτητα υ = 5 /s αφού μείνει σ' επαφ με το δάπεδο για χρόνο = 0,05 s. Δίνεται g = 0 /s.να βρείτε : α. Τη μεταβολ της ορμς της μπάλας κατά τη διάρκεια. β. Τη μέση δύναμη που δέχθηκε η μπάλα. Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

11 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης α. Στο σχμα φαίνεται η αρχικ και η τελικ ταχύτητα της μπάλας και η δύναμη που δέχτηκε η μπάλα από το δάπεδο. Ορίζουμε αυθαίρετα (+) φορά προς τα πάνω. Είναι Δp = p - p Δp = υ - ( - υ ) Δp = ( υ + υ ) άρα Δp = 0,3 kg ( 5 /s + 0 /s ) Δp = 4,5 kg /s. β. Η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολς της ορμς της Δp Δp Δp 4,5 kg /s μπάλας, άρα ΣF = F - w = F = + g F = + 0,3 kg 0 /s 0,05 s Παράδειγμα. Δύναμη και ορμ άρα F = 93 N. Η ορμ ενός σώματος μάζας = kg μεταβάλλεται όπως φαίνεται στην εικόνα. Η αρχικ και η τελικ ορμ έχουν την ίδια κατεύθυνση. α. Πόση είναι η ελάχιστη και πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα του σώματος; β. Να παραστσετε γραφικά τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Από το σχμα βλέπουμε ότι η μέγιστη ορμ είναι p = 0kg /s άρα από την σχέση p = υ 0 kg /s έχουμε υ = υ = 5 /s. a a kg Από το σχμα βλέπουμε ότι η ελάχιστη ορμ είναι p = 5 kg /s άρα από την p 5 kg /s σχέση p = υ υ = έχουμε υ = υ =,5 /s. in in kg Δp β. Από t 0 = 0 έως t = s η ορμ είναι σταθερ άρα από την F = F = 0. Από t = s έως t = s η ορμ μεταβάλλεται άρα από την 5 kg /s - 0 kg /s F = άρα F = - 5 N (σταθερ). s - s Δp3 Από t = s έως t 3 = 3 s η ορμ είναι σταθερ άρα από την F = έχουμε F = 0. 3 Με βάση τις παραπάνω τιμές κατασκευάζουμε το διάγραμμα της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σώμα. Παράδειγμα 3. Δύναμη και ορμ 3 3 Δp F = έχουμε υ υ (+) F p(kg/s) F(Ν) 3 p - p p υ = F = t - t 3 t(s) t(s) Ένα κιβώτιο μάζας 0 kg, ωθείται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο το κιβώτιο έχει συντελεστ τριβς ολίσθησης μ = 0,5. Το κιβώτιο είναι αρχικά ακίνητο και μία σταθερ οριζόντια δύναμη F = 50 Ν, το μετακινεί για χρόνο t = 4 s. Πόση είναι τότε η ταχύτητα του κιβωτίου; Είναι g = 0 /s. υ 0 = 0 Τ N w y F, t υ Στο σχμα βλέπουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο κιβώτιο κατά την κίνησ του. Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

12 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης ΣF = 0 y Είναι Είναι υ = /s. άρα N - w = 0 N = g Ν = 0 kg 0 /s N = 00 Ν. T = μ Ν Τ = 0, 00 Ν άρα Τ = 40 Ν. Δp ΣF = ( ) υ - 0 = F - T Δp = F - T ( ) ( ) t - 0 άρα ( F - T) t υ = άρα ( 50 Ν - 0 Ν) 4 s υ = 0 kg Παράδειγμα 4. Δύναμη και ορμ Ένα μπαλάκι του τένις μάζας = 0, kg πέφτει με οριζόντια ταχύτητα υ = 0 /s σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται με επίσης οριζόντια ταχύτητα υ = 5 /s. Να βρείτε: α. Την ορμ που έχει το μπαλάκι πριν και μετά την επαφ του με τον τοίχο. β. Τη μεταβολ της ορμς του, λόγω της σύγκρουσης με τον τοίχο. γ. Τη μέση δύναμη που δέχθηκε το μπαλάκι από τον τοίχο, αν η επαφ διαρκεί χρόνο = 0,0 s. α. Θεωρούμε θετικ φορά προς τα αριστερά, όπως φαίνεται στο σχμα. Η αρχικ ορμ έχει μέτρο p = υ p = 0, kg 0 /s p = kg /s. Η τελικ ορμ έχει μέτρο p = υ p = 0, kg 5 /s p =,5 kg /s. β. Η μεταβολ της ορμς είναι Δp = p - p Δp = p - (- p ) άρα Δp = p + p άρα Δp =,5 kg /s + kg /s άρα Δp =,5 kg /s γ. Για την μέση δύναμη που δέχτηκε το μπαλάκι από τον τοίχο εφαρμόζουμε τη Δp Δp,5 kg /s σχέση F = F = άρα F = άρα F = 50 N. 0,0 s υ F υ (+) Παράδειγμα 5. Αρχ διατρησης ορμς Από ακίνητο πυροβόλο, του οποίου η μάζα είναι M = 000 kg, εκτοξεύεται βλμα μάζας = 5 kg με οριζόντια ταχύτητα υ 0 = 800 /s. α. Πόση ταχύτητα αποκτά το πυροβόλο μετά την εκπυρσοκρότηση; β. Αν το πυροβόλο έχει με το δάπεδο συντελεστ τριβς ολίσθησης μ = 0,4, για πόσο χρόνο θα κινηθεί; α. Θεωρούμε θετικ κατεύθυνση την κατεύθυνση κίνησης του βλματος. Στο σύστημα βλμα πυροβόλο οι εξωτερικές δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν άρα ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς : p ολ,τελ = pολ,αρχ. Η αρχικ ορμ του συστματος είναι ίση με μηδέν ενώ η τελικ είναι το άθροισμα των ορμών του βλματος και του πυροβόλου. Άρα p + p = 0 υ - M v = 0 βλ πυρ υ = M v άρα υ0 v = 5 kg 800 /s v = 000 kg άρα v = /s. 0 Μ β. Στο πυροβόλο ασκούνται οι δυνάμεις : Βάρος w, κάθετη αντίδραση από το δάπεδο Ν και τριβ Τ. Στον άξονα y : ΣF y = 0 άρα Ν w = 0 άρα Ν = M g Ν = 000 kg 0 /s άρα Ν = 0000 Ν. Αλλά Τ = μ Ν Τ = 0, Ν άρα Τ = 8000 Ν. Η επιτάχυνση του πυροβόλου είναι 0 = v + α t Τ α = - Μ v /s t = - άρα t = άρα t = 0,5 s. α 4 /s 8000 Ν α = kg άρα α = - 4 /s. Όταν σταματάει υ = 0 άρα 0 Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

13 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Παράδειγμα 6. Αρχ διατρησης ορμς Δύο σώματα = kg και = 4 kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες υ = 30 /s και υ = 5 /s αντίστοιχα στην ίδια κατεύθυνση και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε : α. Την ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη σύγκρουση. β. Την μεταβολ της ορμς του κάθε σώματος. γ. Την μέση δύναμη που δέχθηκε κάθε σώμα αν η διάρκεια της κρούσης είναι = 0,0 s. δ. Την απώλεια της κινητικς ενέργειας του συστματος στην κρούση. α. (+) υ υ πριν (+) ολ υ µετά Η ορμ του συστματος είναι : p = p + p ολ p =υ + υ άρα p = kg 30 /s + 4 kg 5 /s άρα ολ ολ p =50 kg /s. ολ Από την αρχ διατρησης της ορμς έχουμε : p = p ολ,τελ 50 kg /s υ = άρα υ = 0 /s. kg + 4 kg β. Για το είναι : Δp = p - p,τελ,αρχ Δp = - 0 kg /s. Για το είναι : Δp = p - p,τελ,αρχ Δp = 0 kg /s. ολ,αρχ ( + ) υ = p ολ p ολ υ = άρα + άρα Δp = υ υ Δp = kg 0 /s - kg 30 /s επομένως άρα Δp = υ υ Δp =4 kg 0 /s - 4 kg 5 /s επομένως Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές των ορμών είναι αντίθετες, όπως επιβάλλει η Α.Δ.Ο. γ. Η δύναμη που ασκεί το σώμα στο σώμα (εσωτερικ δύναμη, αντίδραση της δύναμης που ασκεί Δp το σώμα στο σώμα ) είναι υπεύθυνη για την μεταβολ της ορμς του σώματος άρα F = 0 Kg / s F = άρα F = 000 N. 0,0 s Η δύναμη που ασκεί το σώμα στο σώμα (εσωτερικ δύναμη, αντίδραση της δύναμης που ασκεί το Δp σώμα στο σώμα ) είναι υπεύθυνη για την μεταβολ της ορμς του σώματος άρα F = - 0 kg / s F = άρα F = N. 0,0 s δ. Η κινητικ ενέργεια ενός σώματος μάζας που κινείται με ταχύτητα υ είναι K = υ. Η απώλεια κινητικς ενέργειας στην κρούση είναι : ΔΚ = Κ ολ,τελ Κ ολ,αρχ άρα ΔΚ = ( + ) υ - υ + υ ΔΚ = 50 J 500 J άρα ΔΚ = 50 J. επομένως ΔΚ = ( kg + 4 kg)( 0 /s ) - kg ( 30 /s ) + 4 kg ( 5 /s) Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

14 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης Παράδειγμα 7. Αρχ διατρησης ορμς Βλμα μάζας = 0, kg, κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ = 500 /s και διαπερνά ένα ακίνητο κιβώτιο μάζας = 5 kg, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν το βλμα βγαίνει από το κιβώτιο με ταχύτητα υ = 00 /s σε χρόνο = 0,05 s να βρείτε: α. Την ταχύτητα που αποκτά το κιβώτιο. β. Τη μέση οριζόντια δύναμη που ασκεί το βλμα στο κιβώτιο. (+) υ πρίν (+) µετά υ υ α. Στο σύστημα βλμα κιβώτιο η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν άρα ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς : p = p υ + υ = υ άρα υ = υ - υ επομένως ολ,τελ ολ,αρχ ( ) ( ) υ - υ 0, Kg 500 /s - 00 /s υ = υ = άρα υ = /s. 5 kg β. Η δύναμη που ασκεί το βλμα στο κιβώτιο (εσωτερικ δύναμη, αντίδραση της δύναμης που ασκεί το κιβώτιο στο βλμα) είναι υπεύθυνη για την μεταβολ της ορμς του κιβωτίου άρα p - p κιβ,τελ F = κιβ,αρχ υ - 0 F = άρα 5 Kg /s - 0 F = 0,05 s άρα F = 00 N. F = Δp κιβ Παράδειγμα 8. Έκρηξη και Διατρηση Ορμς Ένα διαστημόπλοιο συνολικς μάζας M =.000 kg κινείται κατακόρυφα απομακρυνόμενο από τη Γη. Κάποια στιγμ και ενώ η ταχύτητα του είναι υ = 000 /s, το διαστημόπλοιο διαχωρίζεται σε δύο κομμάτια. Το ένα κομμάτι έχει μάζα = 00 kg και η ταχύτητα του αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ =.500 /s, ίδιας κατεύθυνσης με αυτν της ταχύτητας υ. Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το άλλο κομμάτι αμέσως μετά τη διάσπαση. Η μάζα του δεύτερου κομματιού είναι = M = 000 kg 00 kg άρα = 800 kg. Στο διαστημόπλοιο η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι (+) μηδέν άρα ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς : p = p ολ,τελ ολ,αρχ πριν υ + υ = M υ άρα υ = M υ - υ Mυ - υ υ = 000 kg 000 /s - 00 Kg 500 /s υ = άρα υ = - 50 /s. 800 kg Παρατρηση : Το ( ) στην αλγεβρικ τιμ της ταχύτητας δείχνει ότι το κομμάτι κινείται προς τα αρνητικά, δηλαδ αντίθετα από την αρχικ κατεύθυνση κίνησης του διαστημόπλοιου. M υ µετά υ υ Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

15 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης. Σε σώμα μάζας = 0kg που αρχικά ισορροπεί σε λείο και οριζόντιο δάπεδο ασκείται σταθερ οριζόντια δύναμη που το μετακινεί για χρόνο t = 0 s με επιτάχυνση α = 0,5/s. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης που ασκείται στο σώμα.. Σε σώμα μάζας = kg, που ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο ασκείται στην αρχ μέτρησης των χρόνων σταθερ οριζόντια δύναμη F = 0N. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F από τη χρονικ στιγμ t = 5 s μέχρι τη χρονικ στιγμ t = 0 s, αν ο συντελεστς τριβς σώματος - επιπέδου είναι μ = 0,. Δίνεται g = 0/s. 3. Σε σώμα μάζας = 5 kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη F = 5N και το μετατοπίζει κατά διάστημα =. Στη συνέχεια καταργείται η δύναμη και το σώμα διανύει διάστημα = 3 μέχρι να σταματσει. Να υπολογιστεί ο συντελεστς τριβς μεταξύ σώματος και επιπέδου. Δίνεται g = 0/s. 4. Σώμα μάζας = kg που είναι δεμένο στην άκρη νματος μκους l = διαγράφει κατακόρυφη κυκλικ τροχιά. Να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στις εξς διαδρομές : α) από την ανώτερη μέχρι τη θέση. β) από την ανώτερη μέχρι τη θέση που το νμα με την κατακόρυφο σχηματίζει γωνία φ = 60 ο. Δίνεται g = 0 /s. 5. Σώμα μάζας = 5kg ολισθαίνει με σταθερ ταχύτητα κατά μκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30 ο με την επίδραση δύο δυνάμεων με μέτρα F και F όπως στο σχμα. Αν ο συντελεστς τριβς σώματος κεκλιμένου επιπέδου είναι μ = 3/5 να υπολογιστεί το έργο κάθε δύναμης για μετατόπιση του σώματος κατά =. Δίνεται F = 00Ν και g = 0/s. 6. Σώμα μάζας = 0kg ξεκινάει από την ηρεμία, σε οριζόντιο δάπεδο με την επίδραση σταθερς οριζόντιας δύναμης F = 30N. Το σώμα αποκτά ταχύτητα υ = 0/s όταν μετατοπιστεί κατά = 0 από την αρχικ θέση. Να εξεταστεί αν υπάρχει τριβ και να υπολογιστεί ο συντελεστς τριβς. Δίνεται: g = 0 /s. 7. Σώμα μάζας αφνεται από την κορυφ κεκλιμένου επιπέδου ύψους h = 5. Το σώμα ολισθαίνει, φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο, συνεχίζει την κίνησ του και τελικά σταματά σε σημείο Δ. Αν η απόσταση του Δ από την προβολ του σημείου που αφνεται το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο απέχει απόσταση d = 0 να υπολογιστεί ο συντελεστς τριβς μ, αν είναι ο ίδιος για όλες τις επιφάνειες. 8. Σώμα μάζας = 0,kg βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχικ ταχύτητα υ 0 = 00 /s. Σε κάποιο ύψος της κατακόρυφου συναντάει στρώμα παραφίνης πάχους d = c, το οποίο διαπερνά και τελικά το σώμα ανέρχεται σε ύψος h = 400 από το σημείο εκτόξευσης. Να υπολογιστεί η δύναμη F που άσκησε η παραφίνη στο σώμα αν θεωρηθεί σταθερ. Δίνεται g = 0/s. 9. Σώμα βάρους w = 00Ν βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο και ηρεμεί. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη F = 30N και μετακινεί το σώμα και = 4 και στη συνέχεια παύει να ενεργεί στο σώμα. Το σώμα μετατοπίζεται ακόμη κατά = και σταματάει. α. Να υπολογιστεί ο συντελεστς τριβς σώματος δαπέδου. β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ = f( t ), α = f( t ) και = f( t ). (g = 0/s ). 0. Σώμα μάζας εκτοξεύεται με αρχικ ταχύτητα υ ο κατά μκος κεκλιμένου επιπέδου γωνιακς κλίσης φ, με το οποίο παρουσιάζει τριβ με συντελεστ τριβς μ. Αν εφφ > μ, να υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας ΔΕ μέχρι το σώμα να επιστρέψει στο σημείο από το οποίο εκτοξεύτηκε.. Σε ελατριο εφαρμόζουμε δύναμη F = 50 N και επιμηκύνεται κατά Δl = 0,. Πόση δυναμικ ενέργεια έχει το ίδιο ελατριο, όταν επιμηκυνθεί από δύναμη F = 80 N. φ F F Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

16 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης. Ελατριο έχει φυσικό μκος l o = 0,3 και σταθερά k = 0 3 N/. Μια δύναμη αυξάνει το μκος του ελατηρίου από l = 0,5 σε l = 0,6. Πόσο έργο παράγει αυτ η δύναμη ; 3. Στο ελατριο δυναμόμετρου εφαρμόζουμε δύναμη F = 00N και τότε το ελατριο επιμηκύνεται κατά. Στο ελατριο του ίδιου δυναμόμετρου εφαρμόζουμε μαζί με την F και μια άλλη δύναμη F = 00 N που προκαλεί αύξηση της επιμκυνσης του ελατηρίου κατά = 0c. α. Πόσο έργο παράγεται κατά τη δεύτερη επιμκυνση του ελατριου β. πόση είναι η ολικ ενέργεια του τεντωμένου ελατηρίου. 4. Βλμα μάζας = 0g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο και σφηνώνεται σε ξύλινο κύβο μάζας Μ = 990g που είναι δεμένος στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 400N/. Αν το ελατριο συμπιεστεί κατά Δ = 0c και το δάπεδο είναι λείο να υπολογιστούν : α. Η ταχύτητα του ξύλου μετά την κρούση. β. Η ταχύτητα υ ο. 5. Δίσκος μάζας κρέμεται στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου και προκαλεί σε αυτό επιμκυνση o = 4c. Ένα κομμάτι στόκου μάζας αφνεται χωρίς αρχικ ταχύτητα από ύψος h = 0,6 πάνω από το δίσκο και κολλάει σε αυτόν. Να υπολογιστεί η μέγιστη μετατόπιση του δίσκου από τη θέση ισορροπίας του. 6. Βλμα μάζας = 0,kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο = 80/s και κτυπάει κάθετα σε κορμό υ δέντρου πάχους d = 0, και εξέρχεται με ταχύτητα υ = 0 σε χρόνο t = 0,5 s. Να υπολογιστεί : 4 α. η μεταβολ της κινητικς ενέργειας του βλματος. β. Η μεταβολ της ορμς του βλματος. γ. το κλάσμα της κινητικς ενέργειας του βλματος που έγινε θερμότητα. δ. το μέτρο της δύναμης που ασκθηκε από τον κορμό στο βλμα αν θεωρηθεί σταθερ. 7. Σφαίρα μάζας = 0,5kg αφνεται να πέσει από ύψος h = πάνω από το έδαφος. Σε ύψος h = από το έδαφος συναντά στρώμα παραφίνης πάχους s = το οποίο διαπερνά και βγαίνει από αυτό με υ = 4 /s, ενώ στη συνέχεια πέφτει στο έδαφος. Ζητείται : α. η απώλεια ενέργειας της σφαίρας μέσα στην παραφίνη. β. η ταχύτητα υ με την οποία η σφαίρα πέφτει στο έδαφος και γ. η αντίσταση της παραφίνης αν θεωρηθεί σταθερ. Δίνεται g = 0 /s. 8. Αυτοκίνητο μάζας = 000kg και ισχύος Ρ = 0kW, αποκτά μέγιστη ταχύτητα υ = 7k/h. Να υπολογιστεί η μέγιστη επιτάχυνση α με την οποία μπορεί να κινηθεί το αυτοκίνητο. 9. Δύο σώματα με μάζες = 6kg και = 4kg κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία και στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες υ = 0/s και υ = 5/s. Τα σώματα συγκρούονται και μένουν ενωμένα μετά την κρούση. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος. [Απ. υ = 8 /s] 0. Δύο σώματα με μάζες = 0kg και κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία και σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες υ = 0/s και υ = /s. Τα σώματα συγκρούονται και μένουν ενωμένα μετά την κρούση. Να βρεθεί η μάζα του δεύτερου σώματος αν η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση είναι υ = /s. [Απ.: = 0kg]. Δύο μπάλες με μάζες = 0 kg και κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες υ = /s και υ = 3 /s και συγκρούονται. Μετά την κρούση οι δύο μπάλες κινούνται με ταχύτητες που έχουν την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά από την αρχικ τους ταχύτητα και μέτρα v = 3/s και v = /s. Να υπολογιστεί η μάζα. [Απ.: =,5kg]. Σώμα μάζας Μ = 0kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Βλμα μάζας = kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 00/s. Το βλμα διαπερνά το πρώτο σώμα και εξέρχεται με ταχύτητα v = 40 /s. Να βρεθεί η ταχύτητα του πρώτου σώματος αμέσως μετά την κρούση. [Απ.: υ = 6/s] Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται

17 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης 3. Σώμα μάζας = 0kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 0 /s. Το σώμα διασπάται σε δύο κομμάτια με μάζες = kg και = 8kg. Τα δύο κομμάτια αμέσως μετά τη διάσπαση κινούνται οριζόντια. Η ταχύτητα του κομματιού μάζας αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ = 40/s. Να βρεθεί η ταχύτητα του άλλου κομματιού. [Απ. υ = 6 /s] 4. Μια μπάλα μάζας = 0,3kg πέφτει από ύψος h = 0 σε οριζόντιο έδαφος και αναπηδά σε ύψος h = 5 πάνω από το έδαφος. Αν η διάρκεια της επαφς της μπάλας με το έδαφος είναι = 0,0s να βρεθεί η μέση δύναμη που ασκθηκε στη μπάλα από το έδαφος. Δίνεται g = 0 /s. [Απ. F = 903 N] 5. Σώμα μάζας = 3kg κινείται με ταχύτητα u = 0 /s πάνω στον άξονα και συγκρούεται με ακίνητο σώμα μάζας = kg. Τα δύο σώματα μετά την κρούση κινούνται πάνω στον άξονα. Η ταχύτητα της μάζας μετά την κρούση είναι v = /s. Να βρεθούν : α. Η ταχύτητα της μάζας μετά την κρούση. β. Η μεταβολ της ορμς κάθε μάζας. [Απ.: α. v = /s, β. Δp = - 4kg /s, Δp = 4kg /s] 6. Βλμα μάζας = 0,kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σε ένα κομμάτι ξύλο μάζας Μ = 9,9kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντια επιφάνεια. Ο συντελεστς τριβς ολίσθησης μεταξύ της επιφάνειας και του ξύλου είναι μ = 0,4. Το σύστημα ξύλο βλμα μετατοπίζεται κατά Δ = πάνω στην οριζόντια επιφάνεια και σταματάει. Να βρεθεί η ταχύτητα του βλματος πριν την κρούση. [Απ.: υ = 400 /s] 7. Σώμα μάζας = 3kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Το σώμα διασπάται σε δύο κομμάτια με μάζες = kg και = kg. Τα δύο κομμάτια αμέσως μετά τη διάσπαση κινούνται οριζόντια. Η ταχύτητα του κομματιού μάζας αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ = 0 /s. Ο συντελεστς τριβς ολίσθησης μεταξύ των κομματιών και της οριζόντιας επιφάνειας είναι μ = 0,. Δίνεται g = 0/s. Να υπολογιστεί πόσο θα απέχουν μεταξύ τους οι μάζες και : α. Όταν θα έχουν σταματσει. β. Σε χρόνο = 6 s μετά την διάσπαση. [Απ.: α. Δ = 5, β. Δ = 09] 8. Σώμα μάζας Μ = 70kg κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα υ = 300/s και ξαφνικά εκργνυται σε δύο κομμάτια. Το ένα κομμάτι μάζας = 30kg κινείται κατά την ίδια διεύθυνση και φορά με το αρχικό κομμάτι με ταχύτητα υ = 500/s. Να υπολογιστούν α) η ταχύτητα του άλλου κομματιού, β) η ενέργεια της έκρηξης. [ Απάντηση : α) υ = 50 /s, β) Ε εκρ = J ] 9. Σώμα κινείται ευθύγραμμα και η γραφικ παράσταση της αλγεβρικς τιμς της ορμς του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχμα. Να γίνει το αντίστοιχο διάγραμμα της αλγεβρικς τιμς της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. 30. ***Σφαίρα μάζας κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση. Διερεύνηση αν i) = =, ii) > και iii) <. 3. Κιβώτιο μάζας Μ = 950g είναι τοποθετημένο σε οριζόντια επιφάνεια. Βλμα μάζας = 50g εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ = 400/s και σφηνώνεται στο κιβώτιο. Ο συντελεστς τριβς σώματος οριζόντιου επιπέδου είναι μ = 0,5. Πόσο διάστημα θα διανύσει το σύστημα μέχρι να σταματσει. Η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Δίνεται g = 0/s. 3. Σώμα μάζας κινείται με ταχύτητα υ ο και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας. Αν κατά την κρούση χάνονται τα 40% της αρχικς κινητικς ενέργειας να υπολογιστεί ο λόγος των μαζών των δύο σωμάτων. 33. Σφαίρα μάζας κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα υ ο και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας. Αν τα μέτρα των ταχυττων των σφαιρών μετά την κρούση είναι υ = 0,8υ 0 και υ = 0,υ 0 και η σφαίρα κινείται με αντίθετη φορά από την αρχικ να υπολογιστεί ο λόγος των μαζών των δυο σφαιρών. Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται 0 0 p(kg /s) Διάγραμμα ορμς - χρόνου t(s)

18 . ιατρηση της Ενέργειας ο ΓΕΛ Πετρόυπολης 34. Σώμα μάζας Μ είναι κρεμασμένο με νμα μκους l = 0,4 και ισορροπεί, όπως στο σχμα. Ένα βλμα μάζας, κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 00/s l και σφηνώνεται στο κέντρο του σώματος. υ Μ α. Πόση είναι η μέγιστη απόκλιση φ του νματος, μετά την κρούση; β. Ποιο ποσοστό της κινητικς ενέργειας του βλματος έγινε θερμότητα; Δίνονται g = 0 /s, M = 99 και διάρκεια κρούσης αμελητέα. 35. Ένα κομμάτι ξύλο μάζας =,9kg είναι δεμένο στο ένα άκρο νματος μκους l = 0,9, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Το ξύλο ισορροπεί με το νμα σε κατακόρυφη θέση. Βλμα μάζας = 0,kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο σφηνώνεται στο ξύλο. Το σύστημα βλμα ξύλο εκτρέπεται ώστε η μέγιστη απόκλιση του νματος από την αρχικ κατακόρυφη θέση του να είναι φ = 60 ο. Δίνεται g = 0 /s. Να υπολογιστούν : α. η ταχύτητα υ ο β. το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της κινητικς ενέργειας του συστματος βλμα ξύλο κατά την κρούση. 36. Βλμα μάζας = 5g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο και σφηνώνεται στο κέντρο ξύλινου κύβου μάζας Μ = 95g που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και ηρεμεί. Ο συντελεστς τριβς σώματος δαπέδου είναι μ = 0, και το σύστημα μετά την κρούση μετατοπίζεται κατά Δ = 6 μέχρι να ηρεμσει. Δίνεται g = 0 /s. Να υπολογιστούν : α. το κλάσμα της κινητικς ενέργειας που έχασε το σύστημα των σωμάτων. β. το μέτρο της αρχικς ταχύτητας υ ο. 37. Ένα βλμα ηρεμεί σε λείο και οριζόντιο επίπεδο και σε κάποια χρονικ στιγμ από εσωτερικ έκρηξη σπάει σε δύο τμματα με λόγο μαζών = που κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο σε αντίθετες κατευθύνσεις. Να υπολογιστούν : α. ο λόγος των ορμών των δύο τμημάτων. β. ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δύο τμημάτων. γ. ο λόγος των ταχυττων των δύο τμημάτων. δ. η ενέργεια της έκρηξης αν η κινητικ ενέργεια του τμματος μάζας είναι Κ. Θεωρούμε ότι όλη η ενέργεια της έκρηξης έγινε κινητικ ενέργεια των δύο κομματιών. 38. Ένα σώμα Α με μάζα Μ = kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο τραπέζι δεμένο στο ένα άκρο αβαρούς νματος. Το νμα περνάει από το αυλάκι αβαρούς τροχαλίας και στο άλλο άκρο του νματος έχει δεθεί σώμα Β μάζας = 0,3kg. Το σώμα Β βρίσκεται σε ύψος h = 0,5 από το έδαφος. Α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στα δύο σώματα και να υπολογίσετε τα μέτρα τους. (Το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία) Β. Αντικαθιστούμε το σώμα Β με άλλο σώμα Γ μάζας = kg και το αφνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Το σώμα Δ μόλις φτάσει στο έδαφος το σταματάμε, ενώ το σώμα Α διανύει πάνω στο τραπέζι απόσταση d = h = 0,5 πριν σταματσει ξανά. Να υπολογίσετε B. το μέτρο της κινητικς τριβς (τριβς ολίσθησης) που ασκείται στο σώμα Α κατά τη διάρκεια της κίνησς του. Β. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Γ τη στιγμ που φτάνει στο έδαφος. Δίνεται g = 0/s. Γενικ ενότητα : Μεγέθη που διατηρούνται