dc(x) kc(x) = 0 d 2 c(x) dx d 4 v(x) + kv(x) = p(x) dx 4 p(t) du(t) + ω 0 u(t) = dt d 4 X(x) d 2 q(t) dq(t) d q(t) = p θ(x) = v (x) κ(x) = θ (x)

Transcript

1 T/5: : Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Να γίνει κατανοητό σε πολύ μεγαλύτερο αθμό απ τα γνωστά διδακτικά συγγράμματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ότι οι εξισώσεις αυτές έχουν ευρεία χρησιμότητα σε ποικίλα προλήματα της Επιστήμης του Δηλαδή αποτελούν «εργαλείο» και του Προς το σκοπό αυτό όλα τα ασικά είδη των ταλαντώσεων και συντονισμός), τη Μηχανική των Υλικών (δοκοί, δοκοί επί ελαστικής άσεως, λυγισμός στύλου, ιξοελαστικότητα και ερπυσμός), τις Πλάκες (κυκλική πλάκα), τη Δυναμική των από το άκρο σωλήνα, γραμμές ροής), την Περιαλλοντική Υδραυλική (μεταφορά και αποδόμηση ρύπου σε ένα υδατόρρευμα) και την Περιαλλοντική Μηχανική γενικότερα (αποδόμηση ρύπου). Το παρόν είναι μόνο το ένα (το πρώτο: Εφαρμοσμένες Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις για Πολιτικούς Μηχανικούς) από τα τρία τεύχη του συγγράμματος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Τα τεύχη αυτά είναι τα εξής: Tεύχος : Εφαρμοσμένες Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις : Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook II Tεύχος 3: Χρήσιμες Εντολές της Mhic ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ. Nα οηθηθούν ο φοιτητής και η φοιτήτρια Πολιτικός Μηχανικός που για οποιοδήποτε λόγο δε διαθέτουν σ επαρκή αθμό τις απαιτούμενες μαθηματικές γνώσεις να κατανοήσουν ευκολότερα την ύλη των Συνήθων Τμημάτων Πολιτικών Μηχανικών ή ακόμη και από κάθε Πολιτικό Μηχανικό που θα ήθελε να ξαναθυμηθεί τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. d c(x) kc(x) V d v(x) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ kv(x) du() p() d u() ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ξω ω u() d d q() dq() Εφαρμοσμένες Εξισώσεις Cd Συνήθεις KΔιαφορικές d q() p d () θ(x) v (x) κ(x) θ (x) M(x) κ (x) Q(x) M (x) Q (x) v (x) p(τ) ξω ( τ) in[ω ( τ)] dτ u() Νικόλαοςω Ι. rfc v() v nh ( /τ)

2 T/5: :5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Να γίνει κατανοητό σε πολύ μεγαλύτερο αθμό απ τα γνωστά διδακτικά συγγράμματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ότι οι εξισώσεις αυτές έχουν ευρεία χρησιμότητα σε ποικίλα προλήματα της Επιστήμης του Δηλαδή αποτελούν «εργαλείο» και του Προς το σκοπό αυτό όλα τα ασικά είδη των ταλαντώσεων και συντονισμός), τη Μηχανική των Υλικών (δοκοί, δοκοί επί ελαστικής άσεως, λυγισμός στύλου, ιξοελαστικότητα και ερπυσμός), τις Πλάκες (κυκλική πλάκα), τη Δυναμική των από το άκρο σωλήνα, γραμμές ροής), την Περιαλλοντική Υδραυλική (μεταφορά και αποδόμηση ρύπου σε ένα υδατόρρευμα) και την Περιαλλοντική Μηχανική γενικότερα (αποδόμηση ρύπου). Το παρόν είναι μόνο το ένα (το δεύτερο: Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook II για Πολιτικούς Μηχανικούς) από τα τρία τεύχη του συγγράμματος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Τα τεύχη αυτά είναι τα εξής: Tεύχος : Εφαρμοσμένες Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις : Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook II Tεύχος 3: Χρήσιμες Eντολές της Mhic ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ. Nα οηθηθούν ο φοιτητής και η φοιτήτρια Πολιτικός Μηχανικός που για οποιοδήποτε λόγο δε διαθέτουν σ επαρκή αθμό τις απαιτούμενες μαθηματικές γνώσεις να κατανοήσουν ευκολότερα την ύλη των Συνήθων Τμημάτων Πολιτικών Μηχανικών ή ακόμη και από κάθε Πολιτικό Μηχανικό που θα ήθελε να ξαναθυμηθεί τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. d c(x) kc(x) V d v(x) kv(x) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ du() p() d u() ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ξω ω u() d d q() Εφαρμοσμένες dq() Ασκήσεις και Nobook II Cd Kd q() p d () θ(x) v (x) κ(x) θ (x) M(x) κ (x) Q(x) M (x) Q (x) v (x) p(τ) ξω ( τ) in[ω ( τ)] dτ u() Νικόλαοςω Ι. rfc v() v nh ( /τ)

3 T3/5: :53 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Να γίνει κατανοητό σε πολύ μεγαλύτερο αθμό απ τα γνωστά διδακτικά συγγράμματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ότι οι εξισώσεις αυτές έχουν ευρεία χρησιμότητα σε ποικίλα προλήματα της Επιστήμης του Δηλαδή αποτελούν «εργαλείο» και του Προς το σκοπό αυτό όλα τα ασικά είδη των ταλαντώσεων και συντονισμός), τη Μηχανική των Υλικών (δοκοί, δοκοί επί ελαστικής άσεως, λυγισμός στύλου, ιξοελαστικότητα και ερπυσμός), τις Πλάκες (κυκλική πλάκα), τη Δυναμική των από το άκρο σωλήνα, γραμμές ροής), την Περιαλλοντική Υδραυλική (μεταφορά και αποδόμηση ρύπου σε ένα υδατόρρευμα) και την Περιαλλοντική Μηχανική γενικότερα (αποδόμηση ρύπου). Το παρόν 3 είναι μόνο το ένα (το τρίτο: Χρήσιμες Εντολές της Mhic ) από τα τρία τεύχη του συγγράμματος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Τα τεύχη αυτά είναι τα εξής: Tεύχος : Εφαρμοσμένες Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις : Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook II Tεύχος 3: Χρήσιμες Εντολές της Mhic ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ. Nα οηθηθούν ο φοιτητής και η φοιτήτρια Πολιτικός Μηχανικός που για οποιοδήποτε λόγο δε διαθέτουν σ επαρκή αθμό τις απαιτούμενες μαθηματικές γνώσεις να κατανοήσουν ευκολότερα την ύλη των Συνήθων 3 Τμημάτων Πολιτικών Μηχανικών ή ακόμη και από κάθε Πολιτικό Μηχανικόπου που θα ήθελε να ξαναθυμηθεί τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. d c(x) kc(x) V d v(x) kv(x) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ du() p() d u() ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ξω ω u() d 3 d q() dq() Εντολές της Mhic Χρήσιμες Cd Kd q() p d () θ(x) v (x) κ(x) θ (x) M(x) κ (x) Q(x) M (x) Q (x) v (x) p(τ) ξω ( τ) in[ω ( τ)] dτ u() Νικόλαοςω Ι. rfc v() v nh ( /τ)

4 -9-8 6:58 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι. Να γίνει κατανοητό σε πολύ μεγαλύτερο αθμό απ τα γνωστά διδακτικά συγγράμματα για τα πιο πάνω κεφάλαια των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ότι τα κεφάλαια αυτά έχουν ευρεία χρησιμότητα σε ποικίλα προλήματα της Επιστήμης του Δηλαδή αποτελούν «εργαλείο» και του Πολιτικού Μηχανικού. Προς το σκοπό αυτό έχουν συμπεριληφθεί στο σύγγραμμα αυτό και πολλές εφαρμογές που αφορούν άμεσα στην Επιστήμη του Συγκεκριμένα έχουν συμπεριληφθεί εφαρμογές από τη Δυναμική και τις Ταλαντώσεις, τη Μηχανική των Υλικών, την Επίπεδη Ελαστικότητα και την Ιξοελαστικότητα, τις Δοκούς και τις Πλάκες, τη Δυναμική των Κατασκευών, τη Θραυστομηχανική (Μηχανική της Θραύσεως), την Εδαφομηχανική, τη Ρευστομηχανική, την Περιαλλοντική Υδραυλική και την Περιαλλοντική Μηχανική γενικότερα και τέλος την Κυκλοφοριακή Ροή. Οι εφαρμογές αυτές δείχνουν την ιδιαίτερη χρησιμότητα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών III στην Επιστήμη του να κατανοούν άμεσα την πρακτική χρησιμότητα των μεθόδων επιλύσεως που έχουν μελετήσει αμέσως πριν στα πιο πάνω κεφάλαια των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Το παρόν είναι μόνο ένα (το πρώτο: Εφαρμοσμένες Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, Ολοκληρωτικές Εξισώσεις, Μιγαδικές Συναρτήσεις ) από τα δύο τεύχη του παρόντος συγγράμματος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι. Τα τεύχη αυτά είναι τα εξής: Tεύχος : Εφαρμοσμένες Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, Ολοκληρωτικές Εξισώσεις, Μιγαδικές Συναρτήσεις : Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook IΙI ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ. Nα οηθηθούν ο φοιτητής και η φοιτήτρια Πολιτικός Μηχανικός που για οποιοδήποτε λόγο δε διαθέτουν σ επαρκή αθμό τις απαιτούμενες μαθηματικές γνώσεις να κατανοήσουν ευκολότερα την ύλη των πιο πάνω κεφαλαίων των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Προς το σκοπό αυτό το μαθηματικό επίπεδο είναι εδώ κάπως χαμηλότερο από το συνηθισμένο. Επίσης υπάρχουν και πάρα πολλές επεξηγήσεις και διασαφηνίσεις στοιχειώδους χαρακτήρα που συνήθως παραλείπονται. Με τον τρόπο αυτόν η μελέτη του συγγράμματος αυτού δεν παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία. Το διδακτικό αυτό σύγγραμμα (σε δύο τεύχη) αναφέρεται στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, στις Ολοκληρωτικές Εξισώσεις καθώς και στις Μιγαδικές Συναρτήσεις. Σκοπός του είναι να αποτελέσει ένα διδακτικό σύγγραμμα κατάλληλο για το μάθημα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά I στο τρίτο εξάμηνο σπουδών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Μπορεί όμως θαυμάσια να χρησιμοποιηθεί και από φοιτητές και φοιτήτριες και άλλων Σχολών και Τμημάτων Πολιτικών Μηχανικών ή ακόμη και από κάθε Πολιτικό Μηχανικό που θα ήθελε να ξαναθυμηθεί τις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, τις Ολοκληρωτικές Εξισώσεις και τις Μιγαδικές Συναρτήσεις. c c (x, ) x V kc, rfc c p(x, y, ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ρh I ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ (xv ξ ) dξ c(x, ) f (ξ) xp π u u Εφαρμοσμένες Διαφορικές v Εξισώσεις v EA ρa f (x, ), με Μερικές ρaπαραγώγους, p(x,) h Εξισώσεις, h Μιγαδικές Συναρτήσεις u uολοκληρωτικές, k x k z για Πολιτικούς, V k grd h Μηχανικούς cv Vx Vy Vx Vy T/5: Φ ε() J()σ () J ( τ)σ (τ) dτ, {J()} {Y()} Νικόλαος Ι. σx σy RΦ(z), σ y σ xiτ xy [z Φ (z) Ψ(z)] Ω (z) dz Γ iq C

5 -9-8 7:6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι. Να γίνει κατανοητό σε πολύ μεγαλύτερο αθμό απ τα γνωστά διδακτικά συγγράμματα για τα πιο πάνω κεφάλαια των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ότι τα κεφάλαια αυτά έχουν ευρεία χρησιμότητα σε ποικίλα προλήματα της Επιστήμης του Δηλαδή αποτελούν «εργαλείο» και του Πολιτικού Μηχανικού. Προς το σκοπό αυτό έχουν συμπεριληφθεί στο σύγγραμμα αυτό και πολλές εφαρμογές που αφορούν άμεσα στην Επιστήμη του Συγκεκριμένα έχουν συμπεριληφθεί εφαρμογές από τη Δυναμική και τις Ταλαντώσεις, τη Μηχανική των Υλικών, την Επίπεδη Ελαστικότητα και την Ιξοελαστικότητα, τις Δοκούς και τις Πλάκες, τη Δυναμική των Κατασκευών, τη Θραυστομηχανική (Μηχανική της Θραύσεως), την Εδαφομηχανική, τη Ρευστομηχανική, την Περιαλλοντική Υδραυλική και την Περιαλλοντική Μηχανική γενικότερα και τέλος την Κυκλοφοριακή Ροή. Οι εφαρμογές αυτές δείχνουν την ιδιαίτερη χρησιμότητα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών III στην Επιστήμη του να κατανοούν άμεσα την πρακτική χρησιμότητα των μεθόδων επιλύσεως που έχουν μελετήσει αμέσως πριν στα πιο πάνω κεφάλαια των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Το παρόν είναι μόνο ένα (το δεύτερο: Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook III για Πολιτικούς Μηχανικούς) από τα δύο τεύχη του παρόντος συγγράμματος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι για Πολιτικούς Μηχανικούς. Τα τεύχη αυτά είναι τα εξής: Tεύχος : Εφαρμοσμένες Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, Ολοκληρωτικές Εξισώσεις, Μιγαδικές Συναρτήσεις : Εφαρμοσμένες Ασκήσεις και Nobook IΙI ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ. Nα οηθηθούν ο φοιτητής και η φοιτήτρια Πολιτικός Μηχανικός που για οποιοδήποτε λόγο δε διαθέτουν σ επαρκή αθμό τις απαιτούμενες μαθηματικές γνώσεις να κατανοήσουν ευκολότερα την ύλη των πιο πάνω κεφαλαίων των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Προς το σκοπό αυτό το μαθηματικό επίπεδο είναι εδώ κάπως χαμηλότερο από το συνηθισμένο. Επίσης υπάρχουν και πάρα πολλές επεξηγήσεις και διασαφηνίσεις στοιχειώδους χαρακτήρα που συνήθως παραλείπονται. Με τον τρόπο αυτόν η μελέτη του συγγράμματος αυτού δεν παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία. Το διδακτικό αυτό σύγγραμμα (σε δύο τεύχη) αναφέρεται στις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, στις Ολοκληρωτικές Εξισώσεις καθώς και στις Μιγαδικές Συναρτήσεις. Σκοπός του είναι να αποτελέσει ένα διδακτικό σύγγραμμα κατάλληλο για το μάθημα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά I στο τρίτο εξάμηνο σπουδών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Μπορεί όμως θαυμάσια να χρησιμοποιηθεί και από φοιτητές και φοιτήτριες και άλλων Σχολών και Τμημάτων Πολιτικών Μηχανικών ή ακόμη και από κάθε Πολιτικό Μηχανικό που θα ήθελε να ξαναθυμηθεί τις Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους, τις Ολοκληρωτικές Εξισώσεις και τις Μιγαδικές Συναρτήσεις. c c (x, ) x V kc, rfc c p(x, y, ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ρh I ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ (xv ξ ) c(x, ) f (ξ) xp dξ π u u v v EA ρa Εφαρμοσμένες f (x, ), και ρaνobook p(x,) Ασκήσεις III h h u u, k x k z, V k grd h cv Vx Vy Vx Vy T5/5: Φ ε() J()σ () J ( τ)σ (τ) dτ, {J()} {Y()} Νικόλαος Ι. σx σy RΦ(z), σ y σ xiτ xy [z Φ (z) Ψ(z)] Ω (z) dz Γ iq C