Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Transcript

1 Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Οι συνήθεις αυτές διαφορικές εξισώσεις συνοδεύονται από καθορισµένες συνθήκες σε δύο οριακά σηµεία. Τα προβλήµατα αυτά ονοµάζονται προβλήµατα οριακών τιµών, ώστε να ξεχωρίζουν από τα προβλήµατα αρχικών τιµών όπου οι γνωστές συνθήκες ορίζονται σε ένα σηµείο. Πολλές φορές οι λύσεις των προβληµάτων οριακών συνθηκών προκύπτουν σαν ορθογωνικές σειρές ιδιοσυναρτήσεων. Το αντικείµενο του κεφαλαίου είναι οι ιδιοσυναρτήσεις µε τις αντίστοιχες ιδιοτιµές τους, η ορθογωνικότητα τους και τα αναπτύγµατα τους σε σειρές ώστε να αποτελούν λύσεις προβληµάτων οριακών τιµών. Η µελέτη των ιδιοσυναρτήσεων συνδέεται άµεσα µε τις δευτεροβάθµιες γραµµικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: d dx p dy dx + [ q + λr ] y = µε οριακές συνθήκες ( ) βy' ( ), (..) ay + = (..a) και ( ) δy' ( ) γy + =, (..b) όπου και είναι τα δύο οριακά σηµεία του προβλήµατος. Οι συναρτήσεις p(x), q(x) και r(x) είναι πραγµατικές και συνεχείς στο διάστηµα x και το λ µια παράµετρος. Το πρόβληµα οριακών τιµών όπως ορίζεται από την εξίσωση (..) και τις οριακές συνθήκες (..) είναι γνωστό σαν πρόβληµα Stur-Liouvie αφού αρχικά µελετήθηκε από τους γάλλους µαθηµατικούς Stur και Liouvie. Ένας άλλος τύπος οριακών συνθηκών είναι οι περιοδικές οριακές συνθήκες όπου: ( ) y( ) y =, (..3a) και ( ) y' ( ) y' =. (..3b) Εάν οι συναρτήσεις p(x), q(x) και r(x) µηδενίζονται σε κάποιο σηµείο του διαστήµατος [, ] ή όταν το διάστηµα έχει άπειρο µήκος το πρόβληµα ονοµάζεται ιδιόµορφο πρόβληµα τύπου Stur-Liouvie. Αν και η µορφή της εξίσωσης (..) φαίνεται αρκετά ειδική, εύκολα αποδεικνύεται ότι κάθε συνήθης διαφορική εξίσωση της µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

2 d y dy + ( ) y, (..4) dx dx a + a + λa a 3 = µπορεί να γραφεί όπως η εξίσωση (..), επιλέγοντας κατάλληλα τις συναρτήσεις p(x), q(x) και r(x). Για παράδειγµα η εξίσωση Legedre ( x ) y xy + ( + ) y = (..5) γράφεται στη µορφή [( x ) y ] λy = (..6) όπου λ=(+). Αντίστοιχα εφαρµόζοντας στην εξίσωση Besse ( s = ) y = s y + sy + (..7) τον µετασχηµατισµό s=kx προκύπτει η εξίσωση x, (..8) [ xy ] + + λx y = όπου λ=k. Η µορφή των εξισώσεων (..6) και (..7) είναι αντίστοιχη µε τη µορφή της εξίσωσης (..). Άρα οι εξισώσεις Legedre και Besse, συνοδευόµενες από οµογενείς οριακές συνθήκες αποτελούν προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Το πρόβληµα Stur-Liouvie µπορεί να λυθεί αναλυτικά µε αναπτύγµατα δυναµοσειρών γύρω από οµαλά ή ιδιόµορφα σηµεία (µέθοδος Frobeius) ή αριθµητικά. Έχει ήδη βρεθεί ότι η λύση του προβλήµατος είναι η µηδενική (y=) εκτός εάν η παράµετρος λ πάρει συγκεκριµένες τιµές. Οι τιµές του λ που οδηγούν σε µη τετριµένες (µηδενικές) λύσεις ονοµάζονται ιδιοτιµές του προβλήµατος και οι αντίστοιχες µη τετριµένες λύσεις ιδιοσυναρτήσεις. Αποδεικνύεται ότι το οµαλό πρόβληµα Stur-Liouvie έχει άπειρες πραγµατικές ιδιοτιµές λ, =,, 3, που µπορούν να γραφούν σε αύξουσα σειρά λ, λ,, λ έτσι ώστε λ τείνει στο άπειρο καθώς τείνει στο άπειρο. Σηµειώνεται ότι υπάρχει αντιστοιχία ανάµεσα στο πρόβληµα Stur-Liouvie και σε προβλήµατα γραµµικής άλγεβρας, όπου το οµογενές σύστηµα Αx= έχει µη µηδενικές λύσεις που ονοµάζονται ιδιοδιανύσµατα και αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές του πίνακα Α, που προκύπτουν θέτοντας την det ( A λi) =.. Παραδείγµατα προβληµάτων Stur-Liouvie. Για την ειδική περίπτωση όπου p(x)=, q(x)=, r(x)=, a=, β=, γ= και δ= οι εξισώσεις (..) και (..) ανάγονται στις u' ' + λu =, (..) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

3 και u ( ) =, (..a) u ( L) =, (..b) όπου το διάστηµα [, ] ορίζεται σαν x L. Η γενική λύση της εξίσωσης (..) είναι: u A cosh + B sih =, όταν λ<, (..3a) C Dx u = +, όταν λ=, (..3b) και Ecos( kx) Fsi(kx u = + ), όταν λ>, (..3c) όπου λ = < στην εξίσωση (..3a) και λ = k > στην εξίσωση (..3c). Τα k και είναι πραγµατικά και µεγαλύτερα του µηδενός. Με βάση την οριακή συνθήκη (..a) προκύπτει ότι A=C=E=, ενώ η δεύτερη οριακή συνθήκη (..b) δίδει ότι ( sih ( L) ) = B, (..4a) D= (..4b) και ( si ( kl) ) =. F (..4c) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ποσότητα ( L) sih είναι πάντα διάφορη του µηδενός και εποµένως για να ικανοποιείται η (..4a), Β=. Άρα, για λ< και λ= µόνο οι τετριµένες (µηδενικές) λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση (..) και τις οριακές συνθήκες (..). Αντίθετα, για λ< µια µη µηδενική λύση ( F ) προκύπτει από την εξίσωση (..4c) εάν si ( kl ) =. (..5) Εποµένως, το τετράγωνο των ριζών k =π/l, =,, της εξίσωσης (..5) είναι οι ιδιοτιµές λ =k του προβλήµατος Stur-Liouvie που περιγράφεται από τις εξισώσεις (..) και (..). Οι λύσεις του προβλήµατος είναι οι ιδιοσυναρτήσεις F si( πx L) u = /, (..6) όπου η απροσδιόριστη σταθερά F συνήθως ορίζεται ίση µε τη µονάδα. Σαν δεύτερο παράδειγµα θεωρούµε το πρόβληµα Stur-Liouvie ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

4 u' ' + λ u =, (..7) µε οριακές συνθήκες ( ) ( L) u ' =, (..8a) u ' =. (..8b) Η γενική λύση της εξίσωσης (..7) δίδεται από τις εξισώσεις (..3). Εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες (..8) στη γενική λύση (..3) προκύπτει ότι A=B=D=F=, ενώ οι συντελεστές C και E παραµένουν αυθαίρετοι. Εποµένως, στην ιδιοτιµή λ= αντιστοιχεί η λύση u x = ενώ για λ< προκύπτει ( kl) ( ) ct E si =, (..9) ή k=π/l. Στη περίπτωση αυτή οι λύσεις του προβλήµατος είναι οι ιδιοσυναρτήσεις cos( πx L) u = /. (..) Τέλος θα θεωρήσουµε ένα τρίτο πιο γενικό πρόβληµα Stur-Liouvie u' ' + λ u =, (..) µε οριακές συνθήκες ( ) u' ( ) = ( L) + u' ( L) = u, (..a) u. (..b) Η γενική λύση της εξίσωσης (..) δίδεται από τις εξισώσεις (..3). Εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες (..) στη γενική λύση (..3a ) για λ< προκύπτει το αλγεβρικό σύστηµα Α-B= (..3a) [ cosh ( L) sih( L) ] + B[ sih( L) cosh( L) ] = A. (..3b) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουµε ότι ( L)( ) = B sih. (..4) Με βάση ότι τοsih (L) είναι πάντα διάφορο του µηδενός για συνεπάγεται ότι το B µόνο όταν =. Για όλες τις άλλες τιµές του, B= και από την (..3a) συνάγεται ότι και Α=. Άρα, για δεν υπάρχουν ιδιοτιµές λ=- που να οδηγούν σε µη µηδενικές λύσεις. Αντίθετα η τιµή της παραµέτρου λ=- είναι ιδιοτιµή και η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση και λύση του προβλήµατος είναι: x = + sih e u cosh =. (..5) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

5 Εξετάζοντας την λύση (..3b) προκύπτει ότι ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες (..) µόνο όταν C=D=. Τέλος, µε την εφαρµογή των οριακών συνθηκών (..) στη λύση (..3c) βρίσκουµε το σύστηµα: Ε-kF= (..6a) [ cos ( kl) k si( kl) ] + F[ si( kl) + k cos( kl) ] = E. (..6b) Λύνοντας για τον συντελεστή F προκύπτει ( k ) si( )} = F {k cos( kl) + kl. (..7) H εξίσωση (.7) ικανοποιείται για F µόνο όταν k ta( kl ) =, (..8) k που οδηγεί στην εύρεση των ιδιοτιµών λ = k, =,,3,, όπου k οι ρίζες της εξίσωσης (..8). Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από τις σχέσεις u si ( k x) + k cos( k x) =, (..9) αφού Ε=kF, όπως προκύπτει από την εξίσωση (..6a)..3 Ορθογωνικότητα ιδιοσυναρτήσεων Έστω ότι y και y είναι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ και λ. Τότε: d p dx και d p dx dy + [ q + r ] y = dx dy + [ q + r ] y = dx λ (.3.a) λ (.3.b) Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε y και τη δεύτερη µε y, στη συνέχεια αφαιρώντας τις δύο προκύπτουσες εξισώσεις και τέλος, ολοκληρώνοντας από έως την τελική εξίσωση βρίσκουµε ' ' { y [ p y' ] y [ p y' ]} dx = ( λ λ ) r y y dx. (.3.) Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (.3.) γράφεται σαν [ y' ( ) y ( ) y ( ) + y' ( ) y ( ) y ( ) y ( )] p. (.3.3) ' ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

6 Από τις οριακές συνθήκες γνωρίζουµε ότι στο x= ( ) + by' ( ) = ( ) + by ( ) ay, (.3.4a) ay ' =. (.3.4b) Εποµένως, αφού ένας τουλάχιστον συντελεστής από τους δύο συντελεστές a και b θα πρέπει να είναι διάφορος του µηδενός συνεπάγεται ότι εάν οι εξισώσεις (.3.4) θεωρηθούν σαν σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους τα a και b θα πρέπει η ορίζουσα ( ) y ( ) y' ( ) y ( ) y ' =. (.3.5) Αντίστοιχα και για x= προκύπτει ( ) y ( ) y' ( ) y ( ) y ' =. (`.3.6) Εποµένως, το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (.3.) γίνεται µηδέν και από το αποτέλεσµα αυτό συνεπάγεται ότι r y y dx =, (.3.7) εάν λ λ. Η εξίσωση (.3.7) αποδεικνύει ότι οι ιδιοσυναρτήσεις y (x) και y (x) είναι ορθογωνικές µεταξύ τους στο διάστηµα [, ] µε συνάρτηση βαρύτητας την r(x). Η έννοια της ορθογωνικότητας αντιστοιχεί στην γραµµική άλγεβρα µε το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων. Όταν το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι µηδέν N x y = x y =, εάν x y, (.3.8) = τότε λέγεται ότι τα διανύσµατα x και y είναι ορθογωνικά µεταξύ τους. Σηµειώνεται ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα Α είναι µηδέν αφού τα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογωνικά µεταξύ τους όπως είναι και οι ιδιοσυναρτήσεις ενός προβλήµατος Stur-Liouvie. Χρησιµοποιώντας τη σχέση της ορθογωνικότητας αποδεικνύεται ότι οι ιδιοτιµές ενός προβλήµατος Stur-Liouvie είναι πραγµατικές. Υποθέτοντας ότι λ = µ + iv και y = u + iυ, όπου µ, ν και u, υ είναι πραγµατικές παράµετροι και συναρτήσεις αντίστοιχα, η εξίσωση (.3.7) γράφεται ως ( λ λ) r y y dx =, (.3.9) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

7 όπου το σύµβολο ( ) συµβολίζει την συζυγή ιδιοτιµή και ιδιοσυνάρτηση. Αντικαθιστώντας τις µιγαδικές εκφράσεις για y και y προκύπτει ( λ λ) r [ u + υ ] dx =. (.3.) Αφού το ολοκλήρωµα στην (.3.) είναι διάφορο του µηδενός ( ) r, συνεπάγεται ότι λ = λ ή ότι το φανταστικό τµήµα της ιδιοτιµής είναι µηδέν (ν=). Άρα, οι ιδιοτιµές λ είναι πραγµατικές. Και πάλι σηµειώνεται η αντιστοιχία µε την γραµµική άλγεβρα όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι όταν ο πίνακας Α=Α* τότε όλες οι ιδιοτιµές του Α είναι πραγµατικές..4 Αναπτύγµατα συναρτήσεων σε σειρές ιδιοσυναρτήσεων Συναρτήσεις που αποτελούν λύσεις προβληµάτων Stur-Liouvie είναι ιδιοσυναρτήσεις και ικανοποιούν σχέσεις ορθογωνικότητας µεταξύ τους. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις cosx και six, τα πολυώνυµα Legedre, Chebyshev και Herite οι συναρτήσεις Besse αποτελούν µερικές από τις λύσεις προβληµάτων Stur-Liouvie και κατέχουν την ιδιότητα της ορθογωνικότητας. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα αυτή είναι δυνατό να προσεγγίσουµε συναρτήσεις µε απειροσειρές όπου οι συναρτήσεις βάσης είναι λύσεις προβληµάτων Stur-Liouvie. Έστω, ότι η συνάρτηση f(x) γράφεται ως f C y = =, (.4.) όπου οι συναρτήσεις y (x) δίδονται από ένα οµαλό πρόβληµα Stur-Liouvie. Η ιδιότητα της ορθογωνικότητας επιτρέπει τον υπολογισµό των αγνώστων συντελεστών C. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της (.4.) µε r y ( λ) και ολοκληρώνοντας από έως προκύπτει f r y dx C r(x)y y dx = =. (.4.) Από τη σχέση ορθογωνικότητας (.3.7) προκύπτει ότι τα ολοκληρώµατα στο δεξιό τµήµα της (.4.) είναι µηδέν εκτός όταν =. Εποµένως: C r y ( λ) f dx =. r y ( λ)dx (.4.3) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

8 Αξίζει να σηµειωθεί ότι εάν χρησιµοποιήσουµε µια κανονικοποιηµένη οικογένεια ιδιοσυναρτήσεων ο παρανοµαστής της εξίσωσης (.4.3) θα είναι ίσος µε τη µονάδα ελαττώνοντας τους αναγκαίους υπολογισµούς. Για παράδειγµα οι σχέσεις ορθογωνικότητας ανάµεσα στις ηµιτονοειδείς συναρτήσεις στο διάστηµα [, π] είναι π, εάν si si =. (.4.4) ( π cos ( π) ), εάν = Επιλέγοντας τις ιδιοσυναρτήσεις στη µορφή si( k x) ( π cos ( kπ ))} / y =, (.4.5) { η σχέση ορθογωνικότητας γράφεται ως π, y y ( λ) dx =. (.4.6), = Η επιλογή αυτή ονοµάζεται κανονικοποίηση (oraizatio) και µειώνει σηµαντικά την υπολογιστική προσπάθεια. Οι αντίστοιχες σχέσεις ορθογωνικότητας για τις συνηµιτονοειδής συναρτήσεις είναι: π cos cos π dx = π,,, = = = (.4.7) Οι αντίστοιχες εκφράσεις για τις πολυωνυµικές συναρτήσεις Legedre, Chebyshev και Herite όπως και για τις συναρτήσεις Besse µπορούν να βρεθούν από εγχειρίδια εφαρµοσµένων µαθηµατικών ή αριθµητικής ανάλυσης. Σαν παράδειγµα θα βρεθεί το ανάπτυγµα της συνάρτησης < x < f =, (.4.8) < x < σε πολυώνυµα Legedre. Η συνάρτηση f(x) γράφεται f = A P =, (.4.9) Χρησιµοποιώντας τη σχέση ορθογωνικότητας των πολυωνύµων Legedre, P P dx = (.4.), = + ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

9 και αφού πολλαπλασιάσουµε µε P (x) την εξίσωση (.4.9) και ολοκληρώσουµε από έως προκύπτει ότι + A = f P dx. (.4.) 3 Εύκολα προκύπτουν οι συντελεστές A =, A =, 4 A =, 7 A 3 =, 4 6 A =, A 5 = κ.ο.κ. Οι πρώτοι έξι όροι του αναπτύγµατος της f(x) είναι f = P + P P + P +... (.4.) Μη οµογενή προβλήµατα οριακών τιµών Οι περισσότερες εφαρµογές σχετίζονται µε µη οµογενή προβλήµατα οριακών τιµών. Έστω λοιπόν η µη οµογενής δευτεροβάθµια συνήθης διαφορική εξίσωση: d dy L [ y] = p q y = µr y + f, (.5.) dx dx όπου ο γραµµικός τελεστής L ορίζεται στην εξίσωση (.5.), ο µη οµογενής όρος f(x) είναι µια γνωστή συνάρτηση και ονοµάζεται πηγαίος όρος, ενώ οι υπόλοιπες συναρτήσεις ορίζονται όπως και στην εξίσωση (..). Χωρίς να εξειδικεύεται το πρόβληµα ορίζεται το διάστηµα x και οι οριακές συνθήκες ( ) + a y' ( ) a (.5.a) y = και () + b y' () = by. (.5.b) Η επίλυση του µη οµογενούς προβλήµατος οριακών τιµών (.5.) και (.5.) σχετίζεται άµεσα µε την επίλυση του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος οριακών τιµών που είναι ισοδύναµο µε το γνωστό µας πρόβληµα Stur-Liouvie [ y] λry L =. (.5.3) Εάν λ <λ < <λ < είναι οι ιδιοτιµές και φ, φ,, φ, είναι οι αντίστοιχες κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος Stur-Liouvie τότε η γενική λύση του µη οµογενούς προβλήµατος (.5.) µπορεί να γραφεί σαν σειρά b ϕ = ϕ. (.5.4) = Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές b δεν ανάγονται από την ορθογωνική σχέση ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

10 b ϕ ϕ dx = r, (.5.5) αφού η λύση φ(x) είναι ακόµα άγνωστη. Προκύπτουν ικανοποιώντας τη µη οµογενή συνήθη διαφορική εξίσωση (.5.) και τις οριακές συνθήκες (.5.). Αντικαθιστώντας την λύση φ(x) στην (.5.) προκύπτει η εξίσωση [ ] = µr ϕ f L ϕ +. (.5.6) Εκφράζοντας τώρα την φ(x) µε το ανάπτυγµά της (.5.4) και χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του γραµµικού τελεστή L, όπως και το γεγονός ότι οι ιδιοσυναρτήσεις φ (x) είναι λύσεις της οµογενούς εξίσωσης (.5.3) το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (.5.6) γράφεται ως L = b ϕ = b L[ ϕ ] = b λ r ϕ. (.5.7) = = Εισάγοντας το παραπάνω αποτέλεσµα στην εξίσωση (.5.6) προκύπτει ότι f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x ) x = µr x b ϕ x r x r b λ r ϕ +. (.5.8) = Ο λόγος f(x)/r(x) προσεγγίζεται µε την σειρά f r = cϕ =, (.5.9) όπου οι συντελεστές c υπολογίζονται από την έκφραση c f ( ) ( x x ) r dx f ϕ dx = r ϕ =. (.5.) Αντικαθιστώντας το ανάπτυγµα (.5.9) στην εξίσωση (.5.8) και αφού απαλείψουµε τον κοινό παράγοντα r(x) και αναδιατάξουµε κατάλληλα τους όρους προκύπτει ότι = [( µ ) b c ] λ ϕ =. (.5.) Με βάση ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ϕ ( ) ( λ µ ) b c = x συνάγεται ότι, για =,,. (.5.) Εάν λ µ, που σηµαίνει ότι η παράµετρος µ δεν είναι ίση µε καµιά ιδιοτιµή του οµογενούς προβλήµατος τότε ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

11 b c =, =,,3,, (.5.3) λ µ όπου το c δίδεται από το ολοκλήρωµα (.5.) και c y ϕ = = ϕ (.5.4) = λ µ είναι η λύση του µη οµογενούς προβλήµατος. Εποµένως, το µη οµογενές πρόβληµα έχει λύση όταν το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα Stur-Liouvie έχει µόνο την µηδενική λύση ( αφού µ λ ). Εάν τώρα µ=λ το οµογενές πρόβληµα έχει µη µηδενικές λύσεις ενώ το µη οµογενές δεν έχει λύση όταν c. Αντίθετα, όταν µ=λ και c = τότε οι συντελεστές b δεν προσδιορίζονται και το µη οµογενές έχει λύση που όµως δεν είναι µοναδική. Σηµειώνεται ότι c = µόνο όταν οι συναρτήσεις f(x) και φ(x) είναι ορθογωνικές. Οι πιθανές περιπτώσεις που πρέπει να εξετάζονται απεικονίζονται γραφικά στο παρακάτω σχηµατικό διάγραµµα: ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

12 µ=λ ; OXI NAI Υπάρχει µοναδική λύση στο µη οµογενές πρόβληµα και µόνο µηδενική λύση στο οµογενές y ) ( f = ; NAI OXI Υπάρχει µη µοναδική λύση εν υπάρχει λύση Σαν παράδειγµα θα λυθεί το µη οµογενές πρόβληµα οριακών τιµών (ή µη οµογενές πρόβληµα Stur-Liouvie): y + y = x, (.5.5) y ( ) =, (.5.6a) () + y () = y. (.5.6b) Χρησιµοποιώντας γνωστές τεχνικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων η λύση του προβλήµατος είναι si x x y = (.5.7) si + cos Θα γίνει τώρα προσπάθεια επίλυσης του ίδιου προβλήµατος εφαρµόζοντας τη θεωρία επίλυσης µη οµογενών προβληµάτων Stur-Liouvie. Η εξίσωση (.5.5) γράφεται στη µορφή ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

13 y = + y + x (.5.8) Στη συνέχεια επιλύεται το πρόβληµα y + λy =, =, y ( ) ( ) + y ( ) = y (.5.9) και οι κανονικοποιηµένες ιδιοσυναρτήσεις που αποτελούν και λύση του προβλήµατος είναι φ cos λ = ), (.5.) + si( λ x όπου οι ιδιοτιµές λ ικανοποιούν την εξίσωση si λ λ cos λ =. (.5.) + Εποµένως µε βάση τα παραπάνω η λύση του µη οµογενούς προβλήµατος γράφεται στη µορφή y b φ = =, (.5.) όπου οι συναρτήσεις φ δίδονται από τη σχέση (.5.) και οι συντελεστές c b =. (.5.3) λ c Τέλος τα είναι οι συντελεστές του αναπτύγµατος της συνάρτησης δίδονται από την έκφραση f = x και c si λ =. (.5.4) λ ( + cos λ ) / Τελικά η λύση του προβλήµατος είναι y si λ 4 = si λ x. (.5.5) = λ + ( λ )( cos λ ) Σηµειώνεται ότι η τιµή λ =, δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης (.5.), άρα δεν είναι ιδιοτιµή του οµογενούς προβλήµατος. Τονίζεται ότι, οι λύσεις (.5.7) και (.5.5) ενώ φαίνονται διαφορετικές στην πραγµατικότητα ταυτίζονται. Αυτό αποδεικνύεται αναπτύσσοντας κατάλληλα σε δυναµοσειρά µε συναρτήσεις βάσης τα x τη λύση (.5.7). φ ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθεί ένα από τα προβλήµατα Stur Liouvie του πίνακα 4... Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος Stur Liouvie: y' ' + 6y' + λ y =, y ( ) = = y( ) 3. Στην ανάλυση ελεύθερης ταλάντωσης δοκών χρησιµοποιείται η εξίσωση: ϕ ( 4 ) 4 = α ϕ όπου α =. Να βρεθούν οι πρώτες τρεις ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις EI της ταλάντωσης για ϕ ( ) = ϕ'' ( ) = ϕ( L) = ϕ'' ( L = ), όπου L είναι το µήκος της δοκού. 4 ω 4. Να βρεθούν οι τιµές της παραµέτρου k για τις οποίες το παρακάτω πρόβληµα έχει µη µηδενικές λύσεις: d du r + k r dr dr u =, r a µε u(α) = και u() να ορίζεται ή u () =. 5. Εάν '' + u =, u' ( L) = u' ( L) = u λ να αποδειχθεί ότι: L L πx πx cos cos dx = L L εάν 6. Να βρεθούν οι τρεις πρώτοι µη µηδενικοί συντελεστές των αναπτυγµάτων Legedre και Besse των συναρτήσεων: i) F, < x < = x, < x < f ( ) ( µ ) κ η k ρίζα της ii) = x = x Ak J k x, όπου µ k = αντίστοιχα. J και 7. Να λυθεί το πρόβληµα οριακών τιµών y '+y = x y() + y' () =. Χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα ιδιοσυναρτήσεων. ', ( ) = y, ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προβλήµατα Stur-Lιouvie