Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Ύλη Δυναμικής Μηχανών Ι Πρόβλημα/Ερώτημα 1) Μοντελοποίηση Ανάλυση απόκρισης συχνότητας 4) Απόκριση στο πεδίο συχνότητας Μοντέλο 2) Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Δυναμικές εξισώσεις Ιδιοανυσματική Ανάλυση Αναλυτικός Υπολ. Απόκρισης 3) Απόκριση στο πεδίο χρόνου

4 Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων

5 Στόχος Μοντελοποίησης Η προσέγγιση ενός πολύπλοκου προβλήματος από ένα απλούστερο, για το οποίο όμως μπορούν να καταστρωθούν δυναμικές εξισώσεις ώστε να αναλυθεί η συμπεριφορά του Ν=1 Ν=4 Ν=1000s

6 1) Μοντελοποίηση Μοντέλα Διακριτών Στοιχείων Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Μηχανικά συστήματα Ηλεκτρικά συστήματα Υδραυλικά συστήματα Κάμψη Εφελκυσμός Στρέψη Γραμμικά Περιστροφικά

7 Μοντελοποίηση: Εξεταστέα Ύλη Φυσική σημασία αδράνειας, ελαστικότητας, απόσβεσης Επιλογή κατάλληλου μοντέλου Βαθμοί ελευθερίας Κατάλληλα διακριτά συνεχή στοιχεία Φυσική προέλευση αδράνειας, δυνάμεων επαναφοράς και απόσβεσης Μοντελοποίηση μηχανικών, ηλεκτρικών, ρευστομηχανικών συστημάτων. Στρεπτικές, καμπτικές ταλαντώσεις Μοντελοποίηση απόσβεσης σε κατασκευές Στοιχεία παροχής, μετατροπής & κατανάλωσης ισχύος

8 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων

9 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Η κατάστρωση μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά ενός μοντέλου. Σε αυτό το μάθημα το τελικό στάδιο είναι συνήθως γραμμικές ΣΔΕ ώστε να μπορούν να επιλυθούν και να αναλυθούν περαιτέρω Μ q + C q + K q = G f t

10 2) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Μοντέλα Διακριτών Στοιχείων Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Μηχανικά συστήματα Ηλεκτρικά συστήματα Υδραυλικά συστήματα Μέθοδος Galerkin Πεπερασμένα στοιχεία Εξισώσεις Lagrange Νόμοι Kirchoff

11 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Εξισώσεις Lagrange: Κινηματική, ιακωβιανό μητρώο Στοιχεία m-k-c σε γραμμικά και περιστροφικά συστήματα Κινητική ενέργεια & μητρώο αδράνειας Δυναμική ενέργεια & μητρώο στυβαρότητας Δυνατό έργο εξωτερικών εξωτερικών δυνάμεων & δυνάμεων απόσβεσης Υπολογισμός γενικευμένων δυνάμεων από το δυνατό έργο Μη γραμμικές δυνάμεις, δυνάμεις βαρύτητας, & απόσβεσης Νόμοι Kirchoff Απλά ηλεκτρικά/υδραυλικά συστήματα μόνο Αντιστοιχία ρευστομηχανικών συστημάτων σε ηλεκτρικά Βλέπε σημειώσεις «εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα»

12 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Μεταβλητές ισχύος (ροή, σθένος) σε μηχανικά, ηλεκτρικά και ρευστομηχανικά συστήματα. Περιγραφή συστημάτων μέσω μεταβλητών κατάστασης (ΜΚ) Εξισώσεις μετασχηματιστών και αναστροφέων Γραμμικοποίηση Υπολογισμός σημείων ισορροπίας Γραμμικοποίηση εξισώσεων γύρω από ένα σημείο ισορροπίας Ευστάθεια σημείου ισορροπίας Μορφές δυναμικών εξώσεων Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης

13 Αναλυτικός Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης

14 Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης Αναλυτικός υπολογισμός της απόκρισης q t των Β.Ε. του συστήματος (ή ισοδύναμα των Μ.Κ.) από τις δυναμικές εξισώσεις (σύστημα ΣΔΕ) που περιγράφουν το σύστημα, των αρχικών συνθηκών και της εξωτερικής διέγερσης f t Μ q + C q + K q = G f t q t q 0, q(0)

15 3) Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης Συστήματα 1 Β.Ε. Ομογενής λύση Ειδική λύση Απόκριση σε Εξωτ. Διέγερση Απόκριση σε Αρχικές Συνθήκες Σε βηματική διέγερση Σε αρμονική διέγερση Σε σύνθετη διέγερση Απόκριση σε Τυχαίες Αρχικές Συνθήκες και Διέγερση

16 3) Αναλυτικός Υπολογισμός Απόκρισης Συστήματα Ν Β.Ε. Υπολογισμός ιδιοανυσμάτων & ιδιοσυχνοτήτων Ομογενής λύση Ειδική λύση Απόκριση σε Εξωτ. Διέγερση Απόκριση ιδιοανυσμάτων (Συστήματα 1 Β.Ε.) Απόκριση σε Αρχικές Συνθήκες Σε βηματική διέγερση Σε αρμονική διέγερση Ιδιοανυσματικός μ/χ Σε σύνθετη διέγερση Απόκριση σε Τυχαίες Αρχικές Συνθήκες και Διέγερση

17 Ιδιοανυσματική Ανάλυση : Σκοπός Υπολογισμός των χαρακτηριστικών τρόπων (ιδιοανύσματα) με τα οποία ταλαντώνεται (στις αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες) ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα πολλών βαθμών ελευθερίας Μ q + K q = 0 i φ, i ω, i = 1,2,, N

18 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Ιδιότητες γραμμικών ΣΔΕ Επαλληλία, χρονική ανεξαρτησία, παραγώγιση & ολοκλήρωση Αναλυτική επίλυση απόκρισης σε σύστημα 1 Β.Ε. (ΣΔΕ 1 ης ή 2 ης τάξης) Χαρακτηριστικό πολυώνυμο, ιδιοτιμές, ευστάθεια Ειδική και ομογενής λύση Λόγος απόσβεσης και φυσική κυκλική συχνότητα Απόκριση σε αρχικές συνθήκες Μεταβατική και μόνιμη απόκριση

19 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Είδη μοντέλων εξωτερικών διεγέρσεων Βηματική, κρουστική, ράμπα, αρμονική, περιοδική, τυχαία Απόκριση συστήματος 1 Β.Ε. σε εξωτερική διέγερση Σε βηματική διέγερση σε κρουστική διέγερση Σε σύνθετη διέγερση Σε αρμονική διέγερση, συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης Ολοκλήρωμα συνέλιξης

20 Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Εξεταστέα Ύλη Αναλυτική επίλυση απόκρισης συστήματος Ν Β.Ε. Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοανυσμάτων Ομογενής λύση και ειδική λύση σε βηματική ή αρμονική διέγερση Αναλυτική επίλυση απόκρισης συστήματος Ν Β.Ε. μέσω ιδιοανυσματικού μ/χ Βλέπε ύλη μαθήματος «συνήθεις διαφορικές εξισώσεις»: Λύση γραμμικών ΣΔΕ σταθερών συντελεστών Λύση συστημάτων γραμμικών ΣΔΕ σταθερών συντελεστών

21 Ιδιοανυσματική Ανάλυση: Εξεταστέα Ύλη Φυσική σημασία ιδιοανυσμάτων και ιδιοσυχνοτήτων Υπολογισμός ιδιοανυσμάτων σε μηχανικά συστήματα Ν Β.Ε. χωρίς απόσβεση Ιδιότητες ιδιοανυσμάτων Ιδιοανύσματα στερεού σώματος Κανονικοποίηση ιδιοανυσμάτων Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός Ελεγξιμότητα και παρατηρισιμότητα Επίδραση αρχικών συνθηκών Μοντελοποίηση απόσβεσης, modal damping

22 Απόκριση Απόκρισης Συχνότητας

23 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Σκοπός Ανάλυση της απόκρισης ενός συστήματος σε αρμονικές διεγέρσεις Μ q + C q + K q = G f t H jω

24 4) Ανάλυση Απόκρισης Συχνότητας Μ q + C q + K q = G f t H(s) H(jω) F(jω) q(jω)

25 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Εξεταστέα Ύλη Μ/x Laplace Ιδιότητες Μ/χ Laplace βασικών συναρτήσεων Υπολογισμός απόκρισης γραμμικών συστημάτων Ανάλυση σε απλά κλάσματα Συνάρτηση (1 Β.Ε.) και μητρώο (Ν Β.Ε.) μεταφοράς Πόλοι και μηδενιστές. Φυσικό νόημα. Σχέση με ιδιοτιμές Σχέση με την απόκριση σε κρουστική διέγερση Απόκριση συχνότητας Συνάρτηση απόκρισης συχνότητας. Κέρδος και διαφορά φάσης Διαγράμματα Bode απλών όρων Δεν θα ζητηθεί να φτιάξετε Bode αλλά θα πρέπει να μπορείτε να τα αναγνωρίσετε και να εξάγετε βασικές πληροφορίες (βλέπε σημειώσεις «εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα»)

26 Μ/Χ Laplace και Απόκριση Συχνότητας: Εξεταστέα Ύλη Σειρές Fourier Απόκριση γραμμικών συστημάτων σε περιοδικές διεγέρσεις Μ/χ Fourier Περιεχόμενο συχνοτήτων ενός σήματος Απόκριση γραμμικών συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Σχέση με την απόκριση σε κρουστική διέγερση Βλέπε ύλη μαθήματος «συνήθεις διαφορικές εξισώσεις»: Υπολογισμός απόκρισης ΣΔΕ σταθερών συντελεστών μέσω μ/χ Laplace Σειρές και μ/χ Fourier 26

27 Γραμμική Άλγεβρα Διαφορικές Εξισώσεις Μηχανική Στοιχεία μηχανών Ηλεκτρικά κυκλώματα & συστήματα Δυναμική Μηχανών Ι Δυναμική μηχανών ΙΙ Δυναμική οχημάτων Πεπερασμένα στοιχεία (ΑΜΚ) Συστήματα αυτομάτου ελέγχου Ρομποτική.. και πολλά άλλα

28 Γραπτή Εξέταση Φέρτε Λευκές κόλλες, τυπολόγιο (το από το site του μαθήματος), κομπιουτεράκι Απαγορεύονται: Σημειώσεις, βιβλία, χρήση κινητού τηλεφώνου Έλεγχος ταυτοπροσωπείας: Απαιτείται επίδειξη πάσου/ατ/διαβατηρίου Δεν επιτρέπεται η χρήση κινητού στην εξέταση Η αντιγραφή οδηγεί στον μηδενισμό

29 Η Εκπαίδευση σαν μια Κλίμακα Απαιτείται προσωπικός κόπος.. Στόχος Είστε εδώ Ξεκινήσατε εδώ

30 Καλή Τύχη 30