Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ:

2 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα. Θεωρούμε την ακόλουθη μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) x u x + u y = xy u, (x, y) R 2. αʹ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο και να βρεθεί η εξίσωση της χαρακτηριστικής που διέρχεται από το σημείο (, 2). βʹ) Να βρεθεί η γενική λύση της ΜΔΕ. γʹ) Να βρεθεί η λύση της ΜΔΕ που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη Απάντηση: u(x, ) = e x, < x <, και να προσδιορισθεί η περιοχή που ισχύει η λύση που βρήκατε. α ) Η ΜΔΕ είναι ομογενής γραμμική. Το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο προσδιορίζονται από την γενική λύση των ΣΔΕ x () = x() y () = } ln x() = + y() = + } x() = e e y() = + } x() = ± e e y() = + } x() = s e, (.) y() =, όπου s = ±e και χωρίς βλάβη της γενικότητας θέσαμε =. Επιπλέον, η ευθεία x = (ο άξονας των y) ικανοποιεί το σύστημα των ΣΔΕ συνεπώς είναι κι αυτή χαρακτηριστική καμπύλη την οποία παίρνουμε για s =, οπότε s R. y Με απαλοιφή της παραμέτρου από τις σχέσεις 2 (.), παίρνουμε ότι οι χαρακτηριστικές καμπύλες δίνονται από την μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών x = s e y. (.2) x H χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο (, 2) θα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση = s e 2, συνεπώς s = e 2 κι η συγκεκριμένη 2 χαρακτηριστική έχει εξίσωση x = e y 2. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται χαρακτηριστικές καμπύλες για διάφορες τιμές της παραμέτρου s και με κόκκινο η χαρ. καμπύλη που διέρχεται 3 από το σημείο (, 2). Ο άξονας των y είναι κι αυτός χαρακτηριστική καμπύλη (s = ). β ) Κατά μήκος των χαρακτηριστικών η ΜΔΕ μετατρέπεται στην ΣΔΕ φ () = se φ() φ () φ() = s e φ () φ() d = s e d ln φ() = c + s ( ) e φ() = e c e s ( ) e φ() = ±e c e s ( ) e φ(, s) = C e s ( ) e (.3) όπου C = ± e c R. Από τις σχέσεις (.) έχουμε ότι J(x, y) = (x, y) (, s) = X (, s) Y (, s) X s (, s) Y s (, s) = s e e = e (x, y) R 2.

3 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Συνεπώς οι σχέσεις (.) μπορούν να λυθούν ως προς, s ως συναρτήσεις των x, y σε κάθε σημείο του R 2, κι έχουμε = y, s = x e y. (.4) Η γενική λύση της ΜΔΕ δίνεται από την σχέση (.3) θέτοντας την σταθερή ολοκλήρωσης C = F (s) μια αυθαίρετη συνάρτηση της παραμέτρου s, και στην συνέχεια αντικαθιστώντας τις παραμέτρους, s από τις σχέσεις (.4). Οπότε έχουμε u(x, y) = φ(, s) = C e s ( ) e = F (s)e s ( ) e = F (xe y )e x y x u(x, y) = F (xe y )e x y x. (.5) γ ) Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = e x μας δίνεται πάνω στον άξονα των x ο οποίος τέμνει τις χαρακτηριστικές καμπύλες, συνεπώς το πρόβλημα έχει μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται επιβάλλοντας την αρχική συνθήκη στην γενική λύση που δίνεται από την σχέση (.5). Έχουμε u(x, y) = F (x e y )e x y x u(x, ) = F (x)e x = e x F (x) =. Άρα η λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι η u(x, y) = e x y x. Παρατηρούμε ότι η λύση του ΠΑΤ ισχύει για κάθε (x, y) R 2, και μάλιστα ανήκει στην κλάση συναρτήσεων C (R 2 ).

4 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 2. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ y u x xu y = x y u, u(x, ) = x2, < x <, y >. αʹ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο και να βρεθεί η εξίσωση της χαρακτηριστικής που διέρχεται από το σημείο (, ). βʹ) Να βρεθεί μια γενικού τύπου λύση της ΜΔΕ. γʹ) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΤ και να προσδιορισθεί πλήρως η περιοχή που ισχύει η λύση που βρήκατε. Απάντηση: α ) Η ΜΔΕ είναι ημιγραμμική. Το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο προσδιορίζονται από την γενική λύση των ΣΔΕ x () = y() y () = x() } x () = y () y () = x() } x () + x() = y() = x () } x() = s sin( + ) y() = x () x() = s sin x() = s sin, y() = x () } y() = s cos, } (2.) όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας θέσαμε =. Απαλείφοντας την παραμέτρο στις σχέσεις (2.), παίρνουμε ότι οι χαρακτηριστικές καμπύλες δίνονται από την μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών x 2 + y 2 = s 2. (2.2) Επειδή από την υπόθεση εστιαζόμαστε στο θετικό ημιεπίπεδο (y > ), οι χαρακτηριστικές καμπύλες είναι ημικύκλια με κέντρο το (, ) κι ακτίνα s. Η χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο (, ) θα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση 2 = s 2, συνεπώς s = 2 κι η συγκεκριμένη χαρακτηριστική έχει εξίσωση x 2 + y 2 = 2. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται χαρακτηριστικές καμπύλες για διάφορες τιμές της s και με κόκκινο η χαρακτηριστική καμπύλη που διέρχεται από το σημείο (, ) y β ) Κατά μήκος των χαρακτηριστικών η ΜΔΕ μετατρέπεται στην ΣΔΕ φ () = s2 cos sin φ() φ() φ () = s 2 cos sin φ() φ ()d = s 2 cos sin d φ() d φ() = s2 sin d sin 2 φ2 () = 2 s2 sin 2 + c φ 2 () = s 2 sin 2 + 2c όπου C = 2 c. Από τις σχέσεις (2.) έχουμε ότι φ 2 (, s) = s 2 sin 2 + C, (2.3) J(x, y) = (x, y) (, s) = X (, s) Y (, s) X s (, s) Y s (, s) = s cos s sin sin cos = s, (x, y) R2 \(, ).

5 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Συνεπώς οι σχέσεις (2.) μπορούν να λυθούν ως προς, s ως συναρτήσεις των x, y σε κάθε σημείο του R 2 εκτός από την αρχή των αξόνων, δηλαδή το σημείο (, ), κι έχουμε = an ( x y ), s = x 2 + y 2. (2.4) Η γενική λύση της ΜΔΕ δίνεται από την σχέση (2.3) θέτοντας την σταθερή ολοκλήρωσης C = F (s) μια αυθαίρετη συνάρτηση της παραμέτρου s, και στην συνέχεια αντικαθιστώντας τις παραμέτρους, s από τις σχέσεις (2.4). Μπορούμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, να αποφύγουμε την γραφή της γενικής λύσης με τετραγωνικές ρίζες αν θεωρήσουμε ότι C = F (s 2 ). Οπότε μια γενικού τύπου λύση της ΜΔΕ βρίσκεται ως εξής: u 2 (x, y) = φ 2 (, s) = s 2 sin 2 + C = s 2 sin 2 + F (s 2 ) u 2 (x, y) = x 2 + F (x 2 + y 2 ). (2.5) γ ) Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = x 2 μας δίνεται πάνω στον άξονα των x, ο οποίος τέμνει τις χαρακτηριστικές καμπύλες, συνεπώς το πρόβλημα έχει μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται επιβάλλοντας την αρχική συνθήκη στην γενική λύση που δίνεται από την σχέση (2.5). Συνεπώς θα πρέπει u 2 (x, y) = x 2 + F (x 2 + y 2 ) u 2 (x, ) = x 2 + F (x 2 ) = x 4 F (x 2 ) = x 4 x 2 F (z) = z 2 z, όπου z = x 2. Άρα η λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι η u 2 (x, y) = x 2 + (x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2 y 2 = (x 2 + y 2 + y)(x 2 + y 2 y) Αφού για y >, έχουμε ότι x 2 + y 2 + y >, τότε για να ισχύει η (2.6) θα πρέπει x 2 + (y 2 )2 4 >. Δηλαδή η λύση του ΠΑΤ ισχύει στο χωρίο D = { (x, y) R 2, x 2 + (y 2 )2 4 > }, στο οποίο η λύση του ΠΑΤ παίρνει την μορφή u 2 (x, y) = (x 2 + y 2 + y) ( x 2 + (y 2 )2 4 ). (2.6) u(x, y) = (x 2 + y 2 + y) ( x 2 + (y 2 )2 4 ), όπου επιλέξαμε τον θετικό κλάδο στην τετραγωνική ρίζα γιατί ο κλάδος αυτός ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u(x, ) = x 2. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται ένα τμήμα της λύσης του ΠΑΤ, όπου με μπλε χρώμα σημειώνεται η καμπύλη των αρχικών δοσμένων, με μαύρο χρώμα ο κύκλος με κέντρο το σημείο (, 2) κι ακτίνα, στο εξωτερικό του οποίου ισχύει 2 η λύση του ΠΑΤ, και με κόκκινο χρώμα οι χαρακτηριστικές καμπύλες στο xy-επίπεδο.

6 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 3. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ x u x + uu y = y, u(, y) = 2y, < y <, x >. αʹ) Να λυθούν οι εξισώσεις που ορίζουν οι χαρακτηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ. βʹ) Να βρεθεί ο γενικός τύπος που ορίζει (με έμμεσο τρόπο) μια γενικού τύπου λύση της ΜΔΕ. γʹ) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΤ. δʹ) Σωστό ή Λάθος; Η λύση του ΠΑΤ ισχύει σε όλο το χωρίο D = {(x, y) R 2 x, < y < }. Απάντηση: α ) Οι χαρακτηριστικές καμπύλες της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ είναι οι ολοκληρωτικές καμπύλες του διανυσματικού πεδίου v = (x, z, y) οι οποίες βρίσκονται ολοκληρώνοντας το σύστημα των ΣΔΕ x () = x() y () = z() z () = y() x() = c e y () = z () z () = y() x() = c e y () = y() z() = y () x() = c e y() = s sinh z() = y () όπου θέσαμε δίχως βλάβη της γενικότητας =. x() = c e y() = s sinh( + ) z() = y () x() = c e, y() = s sinh, z() = s cosh, (3.) β ) Από τις δυο τελευταίες των σχέσεων (3.) έχουμε ότι = anh ( y z ), z 2 y 2 = s 2. (3.2) Επιπλέον, από την πρώτη των παραπάνω σχέσεων και χρησιμοποιώντας την πρώτη των σχέσεων (3.) έχουμε ότι y z = anh = e e = x2 c 2 e + e x 2 + c 2 x2 2 z + y = c z y. (3.3) Λαμβάνοντας υπόψη ότι z = u(x, y) και θέτοντας στην σχέση (3.3) την παράμετρο c 2 μια αυθαίρετη συνάρτηση της παραμέτρου s 2, παίρνουμε τον γενικό τύπο που ορίζει με έμμεσο τρόπο την γενική λύση της ΜΔΕ x 2 = F (u 2 y 2 u + y ) u y. (3.4) γ ) Επιβάλλοντας στην σχέση (3.4) την αρχική συνθήκη u(, y) = 2 y, παίρνουμε = F (4 y 2 y 2 ) 2 y + y 2 y y = F (3 y2 ) 3 y y = 3 F (3 y 2 ) F (3y 2 ) = 3. (3.5) Οπότε η F είναι σταθερή συνάρτηση, F (z) = /3, και από την σχέση (3.4) έχουμε ότι x 2 = 3 u + y u y u(x, y) = y 3 x2 + 3 x 2. (3.6) δ ) Οι ευθείες x = ± στο xy-επίπεδο κατά μήκος των οποίων δεν ορίζεται η λύση του ΠΑΤ, δεν 3 περιέχονται στο χωρίο D αφού <, οπότε η λύση του ΠΑΤ ισχύει σε όλο το χωρίο D. 3

7 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 4. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ u = 4u x x + sin ω cos x, u(x, ) = u (x, ) =, < x <, >, όπου ω μια θετική πραγματική παράμετρος. αʹ) Να βρεθεί η λύση u(x, ) του ΠΑΤ. βʹ) Για ποιές τιμές τις παραμέτρου ω η συνάρτηση h() = u(, ) είναι περιοδική συνάρτηση ; (Υπόδειξη: Διερευνήστε τις εξής περιπτώσεις για τις τιμές της παραμέτρου ω = 2, θετικός ρητός και θετικός άρρητος.) Απάντηση: α ) Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι η λύση της μη-ομογενούς κυματικής εξίσωσης με ομογενή αρχικά δοσμένα δίνεται από τον τύπο u(x, ) = 4 = 4 x+2 ( s) x 2 ( s) = 2 = 2 cos x sin ω s cos y dy d s sin ω s[ sin (x + 2( s)) sin (x 2( s))] d s sin ω s cos x sin (2 ( s)) d s = 4 cos x = 4 cos x = 4 sin ω s sin (2 ( s)) d s [ cos(ω s s) cos(ω s s)] d s cos(ω s s) d s 4 cos x cos x sin(2 ) + sin(ω ) ω cos x όπου χρησιμοποιήσαμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες cos(ω s s) d s cos(ω s s) d s, (4.) sin(a + B) sin(a B) = 2 cos A sin B, 2 sin A sin B = cos(a B) cos(a + B). Το ολοκλήρωμα στην σχέση (4.) είναι cos[ω s s) d s = sin(ω ) sin(2 ) ω 2, < ω 2, cos(2 ), ω = 2. (4.2) οπότε συνολικά η λύση του ΠΑΤ δίνεται από τον τύπο u(x, ) = cos x 2 cos x 8 ω sin(2 ) 2 sin(ω ) ω 2 4, < ω 2, ( sin(2 ) 2 cos(2 )), ω = 2. (4.3)

8 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας β ) Από την τελευταία σχέση έχουμε ότι h() = u(, ) = 2 ω sin(2 ) 2 sin(ω ) ω 2 4, < ω 2, 8 ( sin(2 ) 2 cos(2 )), ω = 2. Παρατηρούμε ότι, αν ω 2, τότε η h() είναι φραγμένη, αφού είναι ένας συνδυασμός δυο ταλαντώσεων, μιας ταλάντωσης που εισέρχεται στην λύση από τον εξωτερικό όρο εξαναγκασμού με συχνότητα ω, και μιας εσωτερικής ταλάντωσης με συχνότητα 2. Αν ω = p /q 2 είναι ένας θετικός ρητός αριθμός, τότε η h() είναι περιοδική συνάρτηση του. Από την άλλη, αν η παράμετρος ω είναι άρρητος, τότε η h() είναι ημιπεριοδική και ποτέ δεν επαναλαμβάνεται ακριβώς. Τέλος, αν ω = 2, τότε η h() ταλαντώνεται δίχως όριο καθώς ο χρόνος αυξάνει, το οποίο δηλώνει ότι η συχνότητα αυτή είναι συχνότητα συντονισμού. Για να κατανοηθεί καλύτερα η διαφορά μεταξύ της περιοδικής και ημιπεριοδικής ταλάντωσης ας θεωρήσουμε την στοιχειώδη τριγωνομετρική συνάρτηση g() = cos + cos ω, η οποία είναι ένας γραμμικός συνδυασμός δυο απλών περιοδικών ταλαντώσεων, συχνοτήτων και ω, αντίστοιχα. Αν ω = p /q, τότε η g() είναι μια περιοδική συνάρτηση περιόδου 2 π q, αφού g( + 2 π q) = cos( + 2 π q) + cos ( p q + 2 p π ) = cos + cos ( p q ) = g(). Αν ω είναι άρρητος, τότε η g() δεν είναι περιοδική και ποτέ δεν επαναλαμβάνεται. Δείτε τα παρακάτω σχήματα όπου απεικονίζεται η γραφική παράσταση της g() για ω = 7 / και ω = (4.4) cos + cos 7 3, cos + cos 5.

9 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 5. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών u x x u y y = < x <, < y <, u(x, ) = f(x), u y (x, ) = g(x), x <, (Α) u x (, y) =, y <. (Σ) Να λυθεί το παραπάνω πρόβλημα ακολουθώντας τα εξής βήματα: αʹ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο του d Alember, να γράψετε την λύση u (x, y) στην περιοχή Ω που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (Α). βʹ) Έστω ότι η λύση της κυματικής εξίσωσης στην περιοχή Ω 2 έχει την γενική μορφή y Ω 2 y > x y = x u 2 (x, y) = F (y x) + G(y + x). y < x Ω Επιβάλλοντας την συνοριακή συνθήκη (Σ) στην u 2 (x, y), βρείτε μια σχέση που συνδέει την συνάρτηση F (z) με την G(z). x γʹ) Επιβάλλοντας την συνθήκη συνέχειας lim u x y + (x, y) = lim u x y 2 (x, y) u (y, y) = u 2 (y, y), κατά μήκος της χαρακτηριστικής y = x προσδιορίστε την G(z) και την τιμή G() και στην συνέχεια προσδιορίστε πλήρως την u 2 (x, y). Απάντηση: α ) Σε κάθε σημείο στην περιοχή Ω = {(x, y) R 2, y x}, η λύση καθορίζεται μονοσήμαντα από τα αρχικά δοσμένα (Α) και δίνεται από τον τύπο του d Alember u (x, y) = 2 ( f(x y) + f(x + y)) + 2 x+y x y g(s) ds. (5.) β ) Έστω ότι στην περιοχή Ω 2 = {(x, y) R 2, y > x} η λύση της κυματικής εξίσωσης έχει την γενική μορφή u 2 (x, ) = F (y x) + G(y + x). Θα πρέπει η u 2 (x, y) να ικανοποιεί την συνοριακή συνθήκη x u 2 (, y) =, οπότε x u 2 (x, y) x= = [ F (y x) + G (y + x)] x= = F (y) + G (y) = F (y) = G(y) + c, όπου μπορούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, να ενσωματώσουμε την σταθερή ολοκλήρωσης στην άγνωστη συνάρτηση G(x), και συνεπώς να θέσουμε c =. Οπότε η u 2 (x, y) παίρνει την μορφή u 2 (x, y) = G(y x) + G(y + x). (5.2)

10 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας γ ) Αναζητούμε μια κλασική λύση u(x, y) για το πρόβλημα αρχικών συνοριακών τιμών. Οπότε η u(x, y) θα πρέπει να είναι τουλάχιστον C 2 στο χωρίο Ω Ω 2, και κατά συνέπεια θα πρέπει να είναι συνεχής στο χωρίο αυτό, άρα και κατά μήκος της χαρακτηριστικής καμπύλης y = x. Η συνθήκη συνέχειας κατά μήκος της χαρακτηριστικής ευθείας είναι lim x y x y x y + u u(x, y) = lim u(x, y) lim + (x, y) = lim u x y 2 (x, y) u (y, y) = u 2 (y, y). (5.3) Αντικαθιστώντας τις u (x, y) και u 2 (x, y) που δίνονται από τις σχέσεις (5.) και (5.2) αντίστοιχα, στην συνθήκη συνέχειας (5.3) παίρνουμε 2 ( f() + f(2 y)) y g(s)ds = G() + G(2y) G(2 y) = G() + 2 ( f() + f(2 y)) + 2 G(z) = G() + 2 ( f() + f(z)) + 2 z 2 y g(s)ds όπου z = 2 y. Θέτοντας στην τελευταία εξίσωση z =, βρίσκουμε ότι G() = G() + f() 2 G() = f() G() = 2 f(). g(s) ds. (5.4) Οπότε αντικαθιστώντας την τιμή G() που μόλις βρήκαμε στην σχέση (5.4), η G(z) γίνεται G(z) = 2 f(z) + 2 z g(s) ds. Αντικαθιστώντας την τελευταία στην σχέση (5.2) παίρνουμε u 2 (x, y) = 2 f(y x) + 2 y x u 2 (x, y) = 2 ( f(y x) + f(y + x)) + 2 ( g(s) ds + 2 f(y + x) + 2 y x y+x g(s) ds y+x g(s) ds + g(s) ds. (5.5) ) Συνεπώς η λύση του προβλήματος αρχικών - συνοριακών τιμών δίνεται από την σχέση u(x, y) = 2(f(x y) + f(x + y)) + 2 x+y g(s)ds, y x, x y 2 (f(y x) + f(y + x)) + 2 ( y x g(s) ds + y+x g(s) ds ), y > x. (5.6) Ο αναγνώστης καλείται να βρει τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι f(x), g(x) για να έχει η u(x, y) συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης κατά μήκος της y = x. Τι σχέση έχουν αυτές με τις συνθήκες συμβατότητας f () = g () = των αρχικών δοσμένων;

11 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 6. Με βάση τα αποτελέσματα του Προβλήματος 5, να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών συνοριακών τιμών u x x u y y = < x <, < y <, u(x, ) = f(x), u y (x, ) = g(x), x <, (Α) u x (, y) =, y <, (Σ) για τις παρακάτω επιλογές αρχικών δοσμένων: αʹ) f(x) = { ((x 2) 2 ) 4, x [, 3], x [, 3], g(x) =. βʹ) f(x) =, g(x) = { ((x 2) 2 ) 2, x [, 3], x [, 3]. γʹ) f(x) = { ( (x 3) 2 ) 3, x [2, 4], x [2, 4], g(x) = f (x). δʹ) Με βάση τα αποτελέσματά σας σημειώστε στα παρακάτω σχήματα σε ποιά αρχικά δοσμένα αντιστοιχεί η κάθε μια λύση που απεικονίζεται: Σχήμα : α ) β ) γ ) Σχήμα 2: α ) β ) γ ) Σχήμα 3: α ) β ) γ ) Απάντηση: Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε στο Πρόβλημα 5, σε κάθε περίπτωση η λύση του προβλήματος αρχικών - συνοριακών τιμών δίνεται από τον τύπο u(x, y) = 2(f(x y) + f(x + y)) + 2 x+y g(s)ds, y x, x y 2 (f(y x) + f(y + x)) + 2 ( y x g(s) ds + y+x g(s) ds ), y > x. Οπότε αρκεί να εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο για κάθε μια από τις δοσμένες συναρτήσεις των αρχικών τιμών f, g. (6.)

12 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας α ) Επειδή σε αυτή την περίπτωση έχουμε g(x) =, η λύση (6.) παίρνει την μορφή u(x, y) = 2(f(x y) + f(x + y)), y x, 2 (f(y x) + f(y + x)), y x. Παρατηρούμε στην (6.2) ότι u(x, y) = u(y, x), δηλαδή η λύση σε αυτήν την περίπτωση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y = x. Αρκεί λοιπόν να περιγράψουμε την λύση u (x, y) στην περιοχή Ω = {(x, y) R 2, y x}. Η λύση u 2 (x, y) στην περιοχή Ω 2 = {(x, y) R 2, y x} προκύπτει από την λύση u (x, y) με απλή εναλλαγή στα ορίσματα, δηλαδή u 2 (x, y) = u (y, x). (6.2) Επικεντρώνουμε την προσοχή μας στην περιοχή Ω. Επειδή τα αρχικά δοσμένα δίνονται κατά κλάδους, ενδείκνυται να σχηματίσουμε τις χαρακτηριστικές ευθείες που διέρχονται από τα σημεία του άξονα x στα οποία αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης f των αρχικών τιμών. Αυτές είναι οι ευθείες y y = x x ± y = 3, και x ± y =. A II Έτσι το χωρίο Ω χωρίζεται σε τριγωνικές περιοχές και λωρίδες όπου η λύση έχει διαφορετικό τύπο. A I A IV A V A V I 3 A III x Ας ονομάσουμε τις περιοχές αυτές ως εξής: A I = {(x, y) R 2, y x < y}, A II = {(x, y) R 2, y x < y +, y > 3 x}, A III = {(x, y) R 2, y < x 3}, A IV = {(x, y) R 2, < x + y 3, x y < }, A V = {(x, y) R 2, 3 x y, x > 3 y}, A V I = {(x, y) R 2, + y x 3 y, y }. Σημειώνοντας στο παραπάνω Σχήμα τα άκρα της περιοχής καθορισμού για κάθε σημείο του χωρίου Ω, και λαμβάνοντας υπόψη ότι η f είναι ταυτοτικά μη μηδενική μόνο για x 3, εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι περιοχές του Ω που η λύση είναι μη μηδενική είναι οι A IV, A V και A IV. Αναλυτικά, η λύση σε καθένα χωρίο του Ω, είναι u (x, y) = /2 ((x + y 2) 2 ) 4, (x, y) A IV, /2 ((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V, /2 ((x + y 2) 2 ) 4 + /2((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V I,, (x, y) A Ι ή A II ή A III. (6.3) Η λύση στην περιοχή Ω 2 προκύπτει από την u (x, y) με εναλλαγή των ορισμάτων, όπου φυσικά ισχύει στα συμμετρικά χωρία A I V I των A I V I, ως προς την ευθεία y = x, για παράδειγμα A II = {(x, y) R 2, x y < x +, x > 3 y},

13 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας κλπ. Συνολικά η λύση του προβλήματος αρχικών - συνορικών τιμών είναι β ) u(x, y) = /2 ((x + y 2) 2 ) 4, (x, y) A IV ή A IV, /2 ((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V, /2 ((y x 2) 2 ) 4, (x, y) A V, /2 ((x + y 2) 2 ) 4 + /2((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V I, /2 ((x + y 2) 2 ) 4 + /2((y x 2) 2 ) 4, (x, y) A V I,, (x, y) A Ι ή A II ή A III ή A I ή A II ή A III. Επειδή σε αυτή την περίπτωση έχουμε f(x) =, η λύση (6.) παίρνει την μορφή (6.4) u(x, y) = 2 x+y x y g(s)ds, y x, 2 ( y x g(s) ds + y+x g(s) ds ), y > x. Παρατηρούμε στην τελευταία ότι y x u 2 (x, y) = u (y, x) + g(s) ds = u (y, x) + = 2 x+y x y 2 y+x y x g(s)ds, y x, g(s) ds + y x g(s) ds, y > x., (x, y) A Ι ή A II ή A IV, y x g(s) ds, (x, y) A V ή A V I, 3 g(s) ds = 6, (x, y) 5 A III. όπου u (x, y) και u 2 (x, y), είναι η λύση του προβλήματος στα χωρία Ω και Ω 2, αντίστοιχα. Οπότε αρκεί να προσδιορίσουμε τον τύπο της u (x, y) στα χωρία A I V I. Για να γράψουμε την λύση σε όσο το δυνατόν πιο συμπαγή μορφή, ας συμβολίσουμε με G ένα (βολικό από πλευράς πράξεων) αόριστο ολοκλήρωμα ¹ της συνάρτησης ((x 2) 2 ) 2, δηλαδή x G(x) = ((s 2) 2 ) 2 ds = 9x 2x x3 2x x5. Βρίσκοντας τις περιοχές καθορισμού για κάθε σημείο (x, y) του χωρίου Ω, έχουμε ότι γ ) u (x, y) = 2 (G(x + y) G()), (x, y) A IV, 2 (G(3) G(x y)), (x, y) A V, 2 (G(x + y) G(x y)), (x, y) A V I, 2 (G(3) G()) = 8, (x, y) A 5 II,, (x, y) A Ι ή A III. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε g(x) = f (x). Οπότε η λύση στο χωρίο Ω είναι (6.5) u (x, y) = 2 ( f(x + y) + f(x y)) + 2 x+y x y g(s) ds = 2 ( f(x + y) + f(x y)) 2 x+y x y f (s) ds = 2 ( f(x + y) + f(x y)) 2 ( f(x + y) f(x y)) = f(x y). (6.6) ¹Επειδή στην λύση (6.5) εμφανίζονται μόνο διαφορές τιμών της G, η σταθερή στον ορισμό του αόριστου ολοκληρώματος είναι αδιάφορη.

14 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Στο χωρίο Ω 2 έχουμε u 2 (x, y) = 2 ( f(y x) + f(y + x)) + 2 = 2 ( f(y x) + f(y + x)) 2 y x y x g(s) ds + 2 f (s) ds 2 y+x y+x g(s) ds f (s) ds = 2 ( f(y x) + f(y + x)) 2 ( f(y x) f()) 2 ( f(y + x) f()) = f() =. (6.7) Οπότε η λύση είναι ταυτοτικά μη-μηδενική μόνο στην λωρίδα και η οποία δίνεται από τον τύπο Λ = {(x, y) R 2, 2 + y x 4 + y, y }, u(x, y) = { ( (x y 3) 2 ) 3, (x, y) Λ,, (x, y) (Ω Ω 2)\Λ. (6.8) δ ) Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε, η λύση που απεικονίζεται στο Σχήμα αντιστοιχεί στα αρχικά δοσμένα α ), αυτή του Σχήματος 2 αντιστοιχεί στα αρχικά δοσμένα γ ), και τέλος η λύση του Σχήματος 3 αντιστοιχεί στα αρχικά δοσμένα β ).