Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ:

2 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα. Θεωρούμε την ακόλουθη μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) x u x + u y = xy u, (x, y) R 2. αʹ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο και να βρεθεί η εξίσωση της χαρακτηριστικής που διέρχεται από το σημείο (, 2). βʹ) Να βρεθεί η γενική λύση της ΜΔΕ. γʹ) Να βρεθεί η λύση της ΜΔΕ που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη Απάντηση: u(x, ) = e x, < x <, και να προσδιορισθεί η περιοχή που ισχύει η λύση που βρήκατε. α ) Η ΜΔΕ είναι ομογενής γραμμική. Το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο προσδιορίζονται από την γενική λύση των ΣΔΕ x () = x() y () = } ln x() = + y() = + } x() = e e y() = + } x() = ± e e y() = + } x() = s e, (.) y() =, όπου s = ±e και χωρίς βλάβη της γενικότητας θέσαμε =. Επιπλέον, η ευθεία x = (ο άξονας των y) ικανοποιεί το σύστημα των ΣΔΕ συνεπώς είναι κι αυτή χαρακτηριστική καμπύλη την οποία παίρνουμε για s =, οπότε s R. y Με απαλοιφή της παραμέτρου από τις σχέσεις 2 (.), παίρνουμε ότι οι χαρακτηριστικές καμπύλες δίνονται από την μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών x = s e y. (.2) x H χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο (, 2) θα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση = s e 2, συνεπώς s = e 2 κι η συγκεκριμένη 2 χαρακτηριστική έχει εξίσωση x = e y 2. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται χαρακτηριστικές καμπύλες για διάφορες τιμές της παραμέτρου s και με κόκκινο η χαρ. καμπύλη που διέρχεται 3 από το σημείο (, 2). Ο άξονας των y είναι κι αυτός χαρακτηριστική καμπύλη (s = ). β ) Κατά μήκος των χαρακτηριστικών η ΜΔΕ μετατρέπεται στην ΣΔΕ φ () = se φ() φ () φ() = s e φ () φ() d = s e d ln φ() = c + s ( ) e φ() = e c e s ( ) e φ() = ±e c e s ( ) e φ(, s) = C e s ( ) e (.3) όπου C = ± e c R. Από τις σχέσεις (.) έχουμε ότι J(x, y) = (x, y) (, s) = X (, s) Y (, s) X s (, s) Y s (, s) = s e e = e (x, y) R 2.

3 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Συνεπώς οι σχέσεις (.) μπορούν να λυθούν ως προς, s ως συναρτήσεις των x, y σε κάθε σημείο του R 2, κι έχουμε = y, s = x e y. (.4) Η γενική λύση της ΜΔΕ δίνεται από την σχέση (.3) θέτοντας την σταθερή ολοκλήρωσης C = F (s) μια αυθαίρετη συνάρτηση της παραμέτρου s, και στην συνέχεια αντικαθιστώντας τις παραμέτρους, s από τις σχέσεις (.4). Οπότε έχουμε u(x, y) = φ(, s) = C e s ( ) e = F (s)e s ( ) e = F (xe y )e x y x u(x, y) = F (xe y )e x y x. (.5) γ ) Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = e x μας δίνεται πάνω στον άξονα των x ο οποίος τέμνει τις χαρακτηριστικές καμπύλες, συνεπώς το πρόβλημα έχει μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται επιβάλλοντας την αρχική συνθήκη στην γενική λύση που δίνεται από την σχέση (.5). Έχουμε u(x, y) = F (x e y )e x y x u(x, ) = F (x)e x = e x F (x) =. Άρα η λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι η u(x, y) = e x y x. Παρατηρούμε ότι η λύση του ΠΑΤ ισχύει για κάθε (x, y) R 2, και μάλιστα ανήκει στην κλάση συναρτήσεων C (R 2 ).

4 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 2. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ y u x xu y = x y u, u(x, ) = x2, < x <, y >. αʹ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο και να βρεθεί η εξίσωση της χαρακτηριστικής που διέρχεται από το σημείο (, ). βʹ) Να βρεθεί μια γενικού τύπου λύση της ΜΔΕ. γʹ) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΤ και να προσδιορισθεί πλήρως η περιοχή που ισχύει η λύση που βρήκατε. Απάντηση: α ) Η ΜΔΕ είναι ημιγραμμική. Το σύνολο των χαρακτηριστικών καμπυλών στο xy-επίπεδο προσδιορίζονται από την γενική λύση των ΣΔΕ x () = y() y () = x() } x () = y () y () = x() } x () + x() = y() = x () } x() = s sin( + ) y() = x () x() = s sin x() = s sin, y() = x () } y() = s cos, } (2.) όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας θέσαμε =. Απαλείφοντας την παραμέτρο στις σχέσεις (2.), παίρνουμε ότι οι χαρακτηριστικές καμπύλες δίνονται από την μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών x 2 + y 2 = s 2. (2.2) Επειδή από την υπόθεση εστιαζόμαστε στο θετικό ημιεπίπεδο (y > ), οι χαρακτηριστικές καμπύλες είναι ημικύκλια με κέντρο το (, ) κι ακτίνα s. Η χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο (, ) θα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση 2 = s 2, συνεπώς s = 2 κι η συγκεκριμένη χαρακτηριστική έχει εξίσωση x 2 + y 2 = 2. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται χαρακτηριστικές καμπύλες για διάφορες τιμές της s και με κόκκινο η χαρακτηριστική καμπύλη που διέρχεται από το σημείο (, ) y β ) Κατά μήκος των χαρακτηριστικών η ΜΔΕ μετατρέπεται στην ΣΔΕ φ () = s2 cos sin φ() φ() φ () = s 2 cos sin φ() φ ()d = s 2 cos sin d φ() d φ() = s2 sin d sin 2 φ2 () = 2 s2 sin 2 + c φ 2 () = s 2 sin 2 + 2c όπου C = 2 c. Από τις σχέσεις (2.) έχουμε ότι φ 2 (, s) = s 2 sin 2 + C, (2.3) J(x, y) = (x, y) (, s) = X (, s) Y (, s) X s (, s) Y s (, s) = s cos s sin sin cos = s, (x, y) R2 \(, ).

5 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Συνεπώς οι σχέσεις (2.) μπορούν να λυθούν ως προς, s ως συναρτήσεις των x, y σε κάθε σημείο του R 2 εκτός από την αρχή των αξόνων, δηλαδή το σημείο (, ), κι έχουμε = an ( x y ), s = x 2 + y 2. (2.4) Η γενική λύση της ΜΔΕ δίνεται από την σχέση (2.3) θέτοντας την σταθερή ολοκλήρωσης C = F (s) μια αυθαίρετη συνάρτηση της παραμέτρου s, και στην συνέχεια αντικαθιστώντας τις παραμέτρους, s από τις σχέσεις (2.4). Μπορούμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, να αποφύγουμε την γραφή της γενικής λύσης με τετραγωνικές ρίζες αν θεωρήσουμε ότι C = F (s 2 ). Οπότε μια γενικού τύπου λύση της ΜΔΕ βρίσκεται ως εξής: u 2 (x, y) = φ 2 (, s) = s 2 sin 2 + C = s 2 sin 2 + F (s 2 ) u 2 (x, y) = x 2 + F (x 2 + y 2 ). (2.5) γ ) Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = x 2 μας δίνεται πάνω στον άξονα των x, ο οποίος τέμνει τις χαρακτηριστικές καμπύλες, συνεπώς το πρόβλημα έχει μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται επιβάλλοντας την αρχική συνθήκη στην γενική λύση που δίνεται από την σχέση (2.5). Συνεπώς θα πρέπει u 2 (x, y) = x 2 + F (x 2 + y 2 ) u 2 (x, ) = x 2 + F (x 2 ) = x 4 F (x 2 ) = x 4 x 2 F (z) = z 2 z, όπου z = x 2. Άρα η λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι η u 2 (x, y) = x 2 + (x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2 y 2 = (x 2 + y 2 + y)(x 2 + y 2 y) Αφού για y >, έχουμε ότι x 2 + y 2 + y >, τότε για να ισχύει η (2.6) θα πρέπει x 2 + (y 2 )2 4 >. Δηλαδή η λύση του ΠΑΤ ισχύει στο χωρίο D = { (x, y) R 2, x 2 + (y 2 )2 4 > }, στο οποίο η λύση του ΠΑΤ παίρνει την μορφή u 2 (x, y) = (x 2 + y 2 + y) ( x 2 + (y 2 )2 4 ). (2.6) u(x, y) = (x 2 + y 2 + y) ( x 2 + (y 2 )2 4 ), όπου επιλέξαμε τον θετικό κλάδο στην τετραγωνική ρίζα γιατί ο κλάδος αυτός ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u(x, ) = x 2. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται ένα τμήμα της λύσης του ΠΑΤ, όπου με μπλε χρώμα σημειώνεται η καμπύλη των αρχικών δοσμένων, με μαύρο χρώμα ο κύκλος με κέντρο το σημείο (, 2) κι ακτίνα, στο εξωτερικό του οποίου ισχύει 2 η λύση του ΠΑΤ, και με κόκκινο χρώμα οι χαρακτηριστικές καμπύλες στο xy-επίπεδο.

6 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 3. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ x u x + uu y = y, u(, y) = 2y, < y <, x >. αʹ) Να λυθούν οι εξισώσεις που ορίζουν οι χαρακτηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ. βʹ) Να βρεθεί ο γενικός τύπος που ορίζει (με έμμεσο τρόπο) μια γενικού τύπου λύση της ΜΔΕ. γʹ) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΤ. δʹ) Σωστό ή Λάθος; Η λύση του ΠΑΤ ισχύει σε όλο το χωρίο D = {(x, y) R 2 x, < y < }. Απάντηση: α ) Οι χαρακτηριστικές καμπύλες της σχεδόν γραμμικής ΜΔΕ είναι οι ολοκληρωτικές καμπύλες του διανυσματικού πεδίου v = (x, z, y) οι οποίες βρίσκονται ολοκληρώνοντας το σύστημα των ΣΔΕ x () = x() y () = z() z () = y() x() = c e y () = z () z () = y() x() = c e y () = y() z() = y () x() = c e y() = s sinh z() = y () όπου θέσαμε δίχως βλάβη της γενικότητας =. x() = c e y() = s sinh( + ) z() = y () x() = c e, y() = s sinh, z() = s cosh, (3.) β ) Από τις δυο τελευταίες των σχέσεων (3.) έχουμε ότι = anh ( y z ), z 2 y 2 = s 2. (3.2) Επιπλέον, από την πρώτη των παραπάνω σχέσεων και χρησιμοποιώντας την πρώτη των σχέσεων (3.) έχουμε ότι y z = anh = e e = x2 c 2 e + e x 2 + c 2 x2 2 z + y = c z y. (3.3) Λαμβάνοντας υπόψη ότι z = u(x, y) και θέτοντας στην σχέση (3.3) την παράμετρο c 2 μια αυθαίρετη συνάρτηση της παραμέτρου s 2, παίρνουμε τον γενικό τύπο που ορίζει με έμμεσο τρόπο την γενική λύση της ΜΔΕ x 2 = F (u 2 y 2 u + y ) u y. (3.4) γ ) Επιβάλλοντας στην σχέση (3.4) την αρχική συνθήκη u(, y) = 2 y, παίρνουμε = F (4 y 2 y 2 ) 2 y + y 2 y y = F (3 y2 ) 3 y y = 3 F (3 y 2 ) F (3y 2 ) = 3. (3.5) Οπότε η F είναι σταθερή συνάρτηση, F (z) = /3, και από την σχέση (3.4) έχουμε ότι x 2 = 3 u + y u y u(x, y) = y 3 x2 + 3 x 2. (3.6) δ ) Οι ευθείες x = ± στο xy-επίπεδο κατά μήκος των οποίων δεν ορίζεται η λύση του ΠΑΤ, δεν 3 περιέχονται στο χωρίο D αφού <, οπότε η λύση του ΠΑΤ ισχύει σε όλο το χωρίο D. 3

7 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 4. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΤ u = 4u x x + sin ω cos x, u(x, ) = u (x, ) =, < x <, >, όπου ω μια θετική πραγματική παράμετρος. αʹ) Να βρεθεί η λύση u(x, ) του ΠΑΤ. βʹ) Για ποιές τιμές τις παραμέτρου ω η συνάρτηση h() = u(, ) είναι περιοδική συνάρτηση ; (Υπόδειξη: Διερευνήστε τις εξής περιπτώσεις για τις τιμές της παραμέτρου ω = 2, θετικός ρητός και θετικός άρρητος.) Απάντηση: α ) Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι η λύση της μη-ομογενούς κυματικής εξίσωσης με ομογενή αρχικά δοσμένα δίνεται από τον τύπο u(x, ) = 4 = 4 x+2 ( s) x 2 ( s) = 2 = 2 cos x sin ω s cos y dy d s sin ω s[ sin (x + 2( s)) sin (x 2( s))] d s sin ω s cos x sin (2 ( s)) d s = 4 cos x = 4 cos x = 4 sin ω s sin (2 ( s)) d s [ cos(ω s s) cos(ω s s)] d s cos(ω s s) d s 4 cos x cos x sin(2 ) + sin(ω ) ω cos x όπου χρησιμοποιήσαμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες cos(ω s s) d s cos(ω s s) d s, (4.) sin(a + B) sin(a B) = 2 cos A sin B, 2 sin A sin B = cos(a B) cos(a + B). Το ολοκλήρωμα στην σχέση (4.) είναι cos[ω s s) d s = sin(ω ) sin(2 ) ω 2, < ω 2, cos(2 ), ω = 2. (4.2) οπότε συνολικά η λύση του ΠΑΤ δίνεται από τον τύπο u(x, ) = cos x 2 cos x 8 ω sin(2 ) 2 sin(ω ) ω 2 4, < ω 2, ( sin(2 ) 2 cos(2 )), ω = 2. (4.3)

8 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας β ) Από την τελευταία σχέση έχουμε ότι h() = u(, ) = 2 ω sin(2 ) 2 sin(ω ) ω 2 4, < ω 2, 8 ( sin(2 ) 2 cos(2 )), ω = 2. Παρατηρούμε ότι, αν ω 2, τότε η h() είναι φραγμένη, αφού είναι ένας συνδυασμός δυο ταλαντώσεων, μιας ταλάντωσης που εισέρχεται στην λύση από τον εξωτερικό όρο εξαναγκασμού με συχνότητα ω, και μιας εσωτερικής ταλάντωσης με συχνότητα 2. Αν ω = p /q 2 είναι ένας θετικός ρητός αριθμός, τότε η h() είναι περιοδική συνάρτηση του. Από την άλλη, αν η παράμετρος ω είναι άρρητος, τότε η h() είναι ημιπεριοδική και ποτέ δεν επαναλαμβάνεται ακριβώς. Τέλος, αν ω = 2, τότε η h() ταλαντώνεται δίχως όριο καθώς ο χρόνος αυξάνει, το οποίο δηλώνει ότι η συχνότητα αυτή είναι συχνότητα συντονισμού. Για να κατανοηθεί καλύτερα η διαφορά μεταξύ της περιοδικής και ημιπεριοδικής ταλάντωσης ας θεωρήσουμε την στοιχειώδη τριγωνομετρική συνάρτηση g() = cos + cos ω, η οποία είναι ένας γραμμικός συνδυασμός δυο απλών περιοδικών ταλαντώσεων, συχνοτήτων και ω, αντίστοιχα. Αν ω = p /q, τότε η g() είναι μια περιοδική συνάρτηση περιόδου 2 π q, αφού g( + 2 π q) = cos( + 2 π q) + cos ( p q + 2 p π ) = cos + cos ( p q ) = g(). Αν ω είναι άρρητος, τότε η g() δεν είναι περιοδική και ποτέ δεν επαναλαμβάνεται. Δείτε τα παρακάτω σχήματα όπου απεικονίζεται η γραφική παράσταση της g() για ω = 7 / και ω = (4.4) cos + cos 7 3, cos + cos 5.

9 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 5. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών u x x u y y = < x <, < y <, u(x, ) = f(x), u y (x, ) = g(x), x <, (Α) u x (, y) =, y <. (Σ) Να λυθεί το παραπάνω πρόβλημα ακολουθώντας τα εξής βήματα: αʹ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο του d Alember, να γράψετε την λύση u (x, y) στην περιοχή Ω που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (Α). βʹ) Έστω ότι η λύση της κυματικής εξίσωσης στην περιοχή Ω 2 έχει την γενική μορφή y Ω 2 y > x y = x u 2 (x, y) = F (y x) + G(y + x). y < x Ω Επιβάλλοντας την συνοριακή συνθήκη (Σ) στην u 2 (x, y), βρείτε μια σχέση που συνδέει την συνάρτηση F (z) με την G(z). x γʹ) Επιβάλλοντας την συνθήκη συνέχειας lim u x y + (x, y) = lim u x y 2 (x, y) u (y, y) = u 2 (y, y), κατά μήκος της χαρακτηριστικής y = x προσδιορίστε την G(z) και την τιμή G() και στην συνέχεια προσδιορίστε πλήρως την u 2 (x, y). Απάντηση: α ) Σε κάθε σημείο στην περιοχή Ω = {(x, y) R 2, y x}, η λύση καθορίζεται μονοσήμαντα από τα αρχικά δοσμένα (Α) και δίνεται από τον τύπο του d Alember u (x, y) = 2 ( f(x y) + f(x + y)) + 2 x+y x y g(s) ds. (5.) β ) Έστω ότι στην περιοχή Ω 2 = {(x, y) R 2, y > x} η λύση της κυματικής εξίσωσης έχει την γενική μορφή u 2 (x, ) = F (y x) + G(y + x). Θα πρέπει η u 2 (x, y) να ικανοποιεί την συνοριακή συνθήκη x u 2 (, y) =, οπότε x u 2 (x, y) x= = [ F (y x) + G (y + x)] x= = F (y) + G (y) = F (y) = G(y) + c, όπου μπορούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, να ενσωματώσουμε την σταθερή ολοκλήρωσης στην άγνωστη συνάρτηση G(x), και συνεπώς να θέσουμε c =. Οπότε η u 2 (x, y) παίρνει την μορφή u 2 (x, y) = G(y x) + G(y + x). (5.2)

10 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας γ ) Αναζητούμε μια κλασική λύση u(x, y) για το πρόβλημα αρχικών συνοριακών τιμών. Οπότε η u(x, y) θα πρέπει να είναι τουλάχιστον C 2 στο χωρίο Ω Ω 2, και κατά συνέπεια θα πρέπει να είναι συνεχής στο χωρίο αυτό, άρα και κατά μήκος της χαρακτηριστικής καμπύλης y = x. Η συνθήκη συνέχειας κατά μήκος της χαρακτηριστικής ευθείας είναι lim x y x y x y + u u(x, y) = lim u(x, y) lim + (x, y) = lim u x y 2 (x, y) u (y, y) = u 2 (y, y). (5.3) Αντικαθιστώντας τις u (x, y) και u 2 (x, y) που δίνονται από τις σχέσεις (5.) και (5.2) αντίστοιχα, στην συνθήκη συνέχειας (5.3) παίρνουμε 2 ( f() + f(2 y)) y g(s)ds = G() + G(2y) G(2 y) = G() + 2 ( f() + f(2 y)) + 2 G(z) = G() + 2 ( f() + f(z)) + 2 z 2 y g(s)ds όπου z = 2 y. Θέτοντας στην τελευταία εξίσωση z =, βρίσκουμε ότι G() = G() + f() 2 G() = f() G() = 2 f(). g(s) ds. (5.4) Οπότε αντικαθιστώντας την τιμή G() που μόλις βρήκαμε στην σχέση (5.4), η G(z) γίνεται G(z) = 2 f(z) + 2 z g(s) ds. Αντικαθιστώντας την τελευταία στην σχέση (5.2) παίρνουμε u 2 (x, y) = 2 f(y x) + 2 y x u 2 (x, y) = 2 ( f(y x) + f(y + x)) + 2 ( g(s) ds + 2 f(y + x) + 2 y x y+x g(s) ds y+x g(s) ds + g(s) ds. (5.5) ) Συνεπώς η λύση του προβλήματος αρχικών - συνοριακών τιμών δίνεται από την σχέση u(x, y) = 2(f(x y) + f(x + y)) + 2 x+y g(s)ds, y x, x y 2 (f(y x) + f(y + x)) + 2 ( y x g(s) ds + y+x g(s) ds ), y > x. (5.6) Ο αναγνώστης καλείται να βρει τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι f(x), g(x) για να έχει η u(x, y) συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης κατά μήκος της y = x. Τι σχέση έχουν αυτές με τις συνθήκες συμβατότητας f () = g () = των αρχικών δοσμένων;

11 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Πρόβλημα 6. Με βάση τα αποτελέσματα του Προβλήματος 5, να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών συνοριακών τιμών u x x u y y = < x <, < y <, u(x, ) = f(x), u y (x, ) = g(x), x <, (Α) u x (, y) =, y <, (Σ) για τις παρακάτω επιλογές αρχικών δοσμένων: αʹ) f(x) = { ((x 2) 2 ) 4, x [, 3], x [, 3], g(x) =. βʹ) f(x) =, g(x) = { ((x 2) 2 ) 2, x [, 3], x [, 3]. γʹ) f(x) = { ( (x 3) 2 ) 3, x [2, 4], x [2, 4], g(x) = f (x). δʹ) Με βάση τα αποτελέσματά σας σημειώστε στα παρακάτω σχήματα σε ποιά αρχικά δοσμένα αντιστοιχεί η κάθε μια λύση που απεικονίζεται: Σχήμα : α ) β ) γ ) Σχήμα 2: α ) β ) γ ) Σχήμα 3: α ) β ) γ ) Απάντηση: Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε στο Πρόβλημα 5, σε κάθε περίπτωση η λύση του προβλήματος αρχικών - συνοριακών τιμών δίνεται από τον τύπο u(x, y) = 2(f(x y) + f(x + y)) + 2 x+y g(s)ds, y x, x y 2 (f(y x) + f(y + x)) + 2 ( y x g(s) ds + y+x g(s) ds ), y > x. Οπότε αρκεί να εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο για κάθε μια από τις δοσμένες συναρτήσεις των αρχικών τιμών f, g. (6.)

12 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας α ) Επειδή σε αυτή την περίπτωση έχουμε g(x) =, η λύση (6.) παίρνει την μορφή u(x, y) = 2(f(x y) + f(x + y)), y x, 2 (f(y x) + f(y + x)), y x. Παρατηρούμε στην (6.2) ότι u(x, y) = u(y, x), δηλαδή η λύση σε αυτήν την περίπτωση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y = x. Αρκεί λοιπόν να περιγράψουμε την λύση u (x, y) στην περιοχή Ω = {(x, y) R 2, y x}. Η λύση u 2 (x, y) στην περιοχή Ω 2 = {(x, y) R 2, y x} προκύπτει από την λύση u (x, y) με απλή εναλλαγή στα ορίσματα, δηλαδή u 2 (x, y) = u (y, x). (6.2) Επικεντρώνουμε την προσοχή μας στην περιοχή Ω. Επειδή τα αρχικά δοσμένα δίνονται κατά κλάδους, ενδείκνυται να σχηματίσουμε τις χαρακτηριστικές ευθείες που διέρχονται από τα σημεία του άξονα x στα οποία αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης f των αρχικών τιμών. Αυτές είναι οι ευθείες y y = x x ± y = 3, και x ± y =. A II Έτσι το χωρίο Ω χωρίζεται σε τριγωνικές περιοχές και λωρίδες όπου η λύση έχει διαφορετικό τύπο. A I A IV A V A V I 3 A III x Ας ονομάσουμε τις περιοχές αυτές ως εξής: A I = {(x, y) R 2, y x < y}, A II = {(x, y) R 2, y x < y +, y > 3 x}, A III = {(x, y) R 2, y < x 3}, A IV = {(x, y) R 2, < x + y 3, x y < }, A V = {(x, y) R 2, 3 x y, x > 3 y}, A V I = {(x, y) R 2, + y x 3 y, y }. Σημειώνοντας στο παραπάνω Σχήμα τα άκρα της περιοχής καθορισμού για κάθε σημείο του χωρίου Ω, και λαμβάνοντας υπόψη ότι η f είναι ταυτοτικά μη μηδενική μόνο για x 3, εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι περιοχές του Ω που η λύση είναι μη μηδενική είναι οι A IV, A V και A IV. Αναλυτικά, η λύση σε καθένα χωρίο του Ω, είναι u (x, y) = /2 ((x + y 2) 2 ) 4, (x, y) A IV, /2 ((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V, /2 ((x + y 2) 2 ) 4 + /2((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V I,, (x, y) A Ι ή A II ή A III. (6.3) Η λύση στην περιοχή Ω 2 προκύπτει από την u (x, y) με εναλλαγή των ορισμάτων, όπου φυσικά ισχύει στα συμμετρικά χωρία A I V I των A I V I, ως προς την ευθεία y = x, για παράδειγμα A II = {(x, y) R 2, x y < x +, x > 3 y},

13 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας κλπ. Συνολικά η λύση του προβλήματος αρχικών - συνορικών τιμών είναι β ) u(x, y) = /2 ((x + y 2) 2 ) 4, (x, y) A IV ή A IV, /2 ((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V, /2 ((y x 2) 2 ) 4, (x, y) A V, /2 ((x + y 2) 2 ) 4 + /2((x y 2) 2 ) 4, (x, y) A V I, /2 ((x + y 2) 2 ) 4 + /2((y x 2) 2 ) 4, (x, y) A V I,, (x, y) A Ι ή A II ή A III ή A I ή A II ή A III. Επειδή σε αυτή την περίπτωση έχουμε f(x) =, η λύση (6.) παίρνει την μορφή (6.4) u(x, y) = 2 x+y x y g(s)ds, y x, 2 ( y x g(s) ds + y+x g(s) ds ), y > x. Παρατηρούμε στην τελευταία ότι y x u 2 (x, y) = u (y, x) + g(s) ds = u (y, x) + = 2 x+y x y 2 y+x y x g(s)ds, y x, g(s) ds + y x g(s) ds, y > x., (x, y) A Ι ή A II ή A IV, y x g(s) ds, (x, y) A V ή A V I, 3 g(s) ds = 6, (x, y) 5 A III. όπου u (x, y) και u 2 (x, y), είναι η λύση του προβλήματος στα χωρία Ω και Ω 2, αντίστοιχα. Οπότε αρκεί να προσδιορίσουμε τον τύπο της u (x, y) στα χωρία A I V I. Για να γράψουμε την λύση σε όσο το δυνατόν πιο συμπαγή μορφή, ας συμβολίσουμε με G ένα (βολικό από πλευράς πράξεων) αόριστο ολοκλήρωμα ¹ της συνάρτησης ((x 2) 2 ) 2, δηλαδή x G(x) = ((s 2) 2 ) 2 ds = 9x 2x x3 2x x5. Βρίσκοντας τις περιοχές καθορισμού για κάθε σημείο (x, y) του χωρίου Ω, έχουμε ότι γ ) u (x, y) = 2 (G(x + y) G()), (x, y) A IV, 2 (G(3) G(x y)), (x, y) A V, 2 (G(x + y) G(x y)), (x, y) A V I, 2 (G(3) G()) = 8, (x, y) A 5 II,, (x, y) A Ι ή A III. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε g(x) = f (x). Οπότε η λύση στο χωρίο Ω είναι (6.5) u (x, y) = 2 ( f(x + y) + f(x y)) + 2 x+y x y g(s) ds = 2 ( f(x + y) + f(x y)) 2 x+y x y f (s) ds = 2 ( f(x + y) + f(x y)) 2 ( f(x + y) f(x y)) = f(x y). (6.6) ¹Επειδή στην λύση (6.5) εμφανίζονται μόνο διαφορές τιμών της G, η σταθερή στον ορισμό του αόριστου ολοκληρώματος είναι αδιάφορη.

14 ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας Στο χωρίο Ω 2 έχουμε u 2 (x, y) = 2 ( f(y x) + f(y + x)) + 2 = 2 ( f(y x) + f(y + x)) 2 y x y x g(s) ds + 2 f (s) ds 2 y+x y+x g(s) ds f (s) ds = 2 ( f(y x) + f(y + x)) 2 ( f(y x) f()) 2 ( f(y + x) f()) = f() =. (6.7) Οπότε η λύση είναι ταυτοτικά μη-μηδενική μόνο στην λωρίδα και η οποία δίνεται από τον τύπο Λ = {(x, y) R 2, 2 + y x 4 + y, y }, u(x, y) = { ( (x y 3) 2 ) 3, (x, y) Λ,, (x, y) (Ω Ω 2)\Λ. (6.8) δ ) Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε, η λύση που απεικονίζεται στο Σχήμα αντιστοιχεί στα αρχικά δοσμένα α ), αυτή του Σχήματος 2 αντιστοιχεί στα αρχικά δοσμένα γ ), και τέλος η λύση του Σχήματος 3 αντιστοιχεί στα αρχικά δοσμένα β ).

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 2018-2019 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Προκαταρκτικά. Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Προκαταρκτικά. Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Το πρόβλημα αρχικών τιμών Προκαταρκτικά Το πρόβλημα αρχικών τιμών μιας σδε πρώτης τάξης y = F (, y), y( ) = y, (, y) D R 2 συνίσταται στο να βρούμε την συνάρτηση y = f(),

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι ΑΠ. 36 2. Να δείξετε ότι: i) Για κάθε x (0, + ), 2x e x + e x -1 > 0 ii) Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = 2x e x + e x - 1 iii. Αρκεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές εξισώσεις 302.

Διαφορικές εξισώσεις 302. Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος 014-15 ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 Α ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: y y6 y 5 1 : 1 : 3 : y 6 0 y 5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου

Διαβάστε περισσότερα

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du = ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα